10-1对弧长的曲线积分的概念与性质

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高等数学第十章曲线积分

y x
du PdxQd , (yx, y)G—单连域.
四、两类曲线积分之间的联系
L P d Q x d L (P y co Q sco )ds .s
其中, 为有向曲线弧L在点(x, y) 处的切向量的方向角.
五、对坐标的曲线积分的解题方法
解题方法流程图
I LPdxQdy
Yes
积分与路径无关
代入，从而简化被积函数，然后再计算；对于积分L 2xyds,
由于L关于 y轴对称, 函数 2xy关于 x为奇函数, 故有
L 2xyds0.
解：由奇偶对称性可知 L 2xyds 0, 所以
(2xy3x24y2)ds (2xy12)ds
L
L
2L xyds12Lds
01a2 1a2
注：由于被积函数 f(x, y)定义在曲线 L上, 故 x, y满足曲线L
(0t2);
而
1
d sx2y2d t 2 a(1co t)2s d,(t0t2)
1
故
2
I yd sa (1 co t)s 2 a (1 co t)2d st
L
0
4a2
2
s
in3
t
dt8a2
s
in3 ud
u
0
2
0
16a2
2sin3 udu
32
a2.
0
2
【例2】计算曲线积分 L x2 y2 ds,其中L为圆周 x2 y2 ax.
f (x, y)ds f[(t) ,(t)]2 (t) 2 (t)dt
L
（2）直角坐标：若L:y(x)(x0 xX);则
f (x, y)ds Xf[x,(x)]12(x)dx
L

对弧长的曲线积分

都有 f (x, y) K.
函数f (x, y)在L上连续：＞０，＞０，当点(x, y), (x0 , y0 ) L,且 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，总有 f (x, y) f (x0 , y0 ) . (5)可积性．若函数 f (x, y)在有限长光滑曲线 L上连续，则
B,
第i段弧M
i
1
M
的长度记为
i
si
,
(i
1,, n).
n
任取点(i ,i ) M i1M i ,作积分和 I n f (i ,i )si ,并令
max
1in
si
.如果无论如何分割，无论如何i取1 点，极限
n
lim
0
i 1
f (i ,i )si
存在，则称此极限值为函数f (x, y)在曲线L上的对弧长的曲线
圆关于平面z y对称，关于平面 z x对称,关于平面y x对称,
故 x2ds y 2ds z 2ds 1 (x2 y 2 z 2 )ds 1 a2ds
L
L
L
3L
3L
2 a3.
3
例28.4 计算I L xds,其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
L
L
a
(4)若光滑曲线 L : x x( y), y [c, d], f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f (x( y), x)ds
d
f (x( y), y)
1 x2 ( y)dy.
L
L
c
(5)若光滑曲线 L : r r( ), [, ], f (x, y)在L上连续，则
其中, i [ti1, ti ], i 1,2,, n.

对弧长的曲线积分

在曲线L上连续.因此，以后总假定f(x,y)在曲线L上是连续的，
在此条件下，第一类曲线积分
总是存在的.
根据第一类曲线积分的定义，引例中曲线形物体的质量当线密度ρ(x,y)在L上连续时，就等于ρ(x,y)在L上的第一类曲线积分，即
一、第一类曲线积分的概念
曲线L的质心的坐标为
转动惯量为上述定义可类似地推广到积分弧段为空间曲线弧Γ的情形，即函数f(x,y,z)在空间曲线Γ上的第一类曲线积分为
图 10-3
二、第一类曲线积分的性质
解
二、第一类曲线积分的性质
【例4】
求
其中L为双纽线
（见图10-4）的弧.
图 10-4
二、第一类曲线积分的性质
解双纽线的极坐标方程为
用隐函数求导得
即
，因此
结合对称性，所以
二、第一类曲线积分的性质
【例5】
设L为椭圆
，其周长为a，求
解因为L关于y轴对称，且2xy是关于x的奇函数，所以
对弧长的曲线积分
一、第一类曲线积分的概念
引例1
设有一曲线形物体所占的位置是xOy面内的一段曲线L，它的端点是A，B，它的质量分布不均匀，其线密度为ρ(x,y)，试求该物体的质量 M（见图10-1）.
图 10-1
一、第一类曲线积分的概念
分析
如果该物体的线密度为常量，那么它的质量可用公式质量=线密度×长度
这种和的极限在研究其他问题时经常用到，于是将其抽象出来，得到第一类曲线积分的定义.
一、第一类曲线积分的概念
定义
设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数fx,y在L上有界.
在L上任意插入一点列M1,M2,…,Mn-1把L分成n个小段.设第i

数学分析考研讲义10

∫ 的部分，计算积分 xyds . C
{ 解：因C :
x = r cosθ y = r sinθ
，0
≤θ
≤
π 2
，所以
∫ ∫ ∫ xyds =
π
2 r2 sinθ cosθ
r2 dθ = r3
uLv+
r
∫ （2） L = L1 + L2 ，
F ( x, y) d r
L
uv
r uv
r
= ∫L1 F ( x, y) d r + ∫L2 F ( x, y) d r .
（3）（4）
∫L ∫L
k
⋅
uv F
(
x,
uv uFv
(
x,
y
r
)y+) rdGuvr(=x,kuyv⋅)∫L
uv F
(
∴
∫L
(
x,
y
)
ds
=
1
∫0
xdx
+
1
∫0
ydy
+
1
∫0
(
x
+
1
−
x
)
2dx
= 1 + 1 + 2 =1+ 2 . 22
∫ 例 10.1.2 （湖南大学考研试题）计算 x2 + y2 ds ，其中 c : x2 + y2 = −2 y . c
解：令 x = r cosθ ， y = r sinθ ，则 c : r = −2sinθ (−π ≤ θ ≤ 0) .
)
dx
+
Q
( x,
r
y
)
dy

对弧长的曲线积分

对弧长的曲线积分曲线积分是微积分中的一个重要概念，它在物理、工程学以及数学中都有广泛的应用。

本文将重点讨论对弧长的曲线积分，以及其在实际问题中的意义和计算方法。

一、对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分是指在一条曲线上的某个定点到另一定点的路径上，对曲线上的某个物理量在路径上的积分运算。

这个物理量可以是向量场、标量场或者其他更一般的场。

在二维空间中，对弧长的曲线积分可以表示为：∮(Pdx+Qdy)其中，P和Q是曲线上的某个向量场的分量。

在三维空间中，对弧长的曲线积分可以表示为：∮(Pdx+Qdy+Rdz)其中，P、Q和R分别是曲线上的某个向量场的分量。

二、对弧长的曲线积分的意义对弧长的曲线积分可以用于描述物理量在曲线上的累积变化。

例如，在电磁场中，对弧长的曲线积分可以用于计算沿着路径的电场强度变化，从而求解电场对电荷的做功。

此外，对弧长的曲线积分还可以用于计算力场对物体所做的功。

例如，在物体受到重力场作用下沿一条曲线移动时，对弧长的曲线积分可以用于计算重力场对物体的功。

三、对弧长的曲线积分的计算方法对弧长的曲线积分的计算方法与路径的参数化有关。

一般而言，我们需要先将曲线进行参数化，然后根据参数化得到的表达式来计算积分。

在二维空间中，如果曲线的参数化方程为x=t，y=f(t)，那么对弧长的曲线积分可以表示为：∫(P(t)x'(t)+Q(t)y'(t))dt，其中x'(t)和y'(t)分别表示参数化方程的偏导数。

在三维空间中，如果曲线的参数化方程为x=r(t)，y=s(t)，z=g(t)，那么对弧长的曲线积分可以表示为：∫(P(t)r'(t)+Q(t)s'(t)+R(t)g'(t))dt，其中r'(t)，s'(t)和g'(t)分别表示参数化方程的偏导数。

需要注意的是，对弧长的曲线积分的计算过程中，参数化的选取会影响最终的结果。

10.1第一类对弧长的曲线积分

10.1 第一类(对弧长)的曲线积分
例计算L| y | ds,其中L是右半圆周,即
x2 y2 R2 ( x 0).
解由曲线L(半圆周A⌒BC如图)的
y
A
方程x2 y2 R2, 得
O
C
ds 1 y2dx
x
2
y2
y
2
dx
|
R y
|
dx
| y | ds ⌒| y | ds ⌒ | y | ds
L1 L2
L1
L2
(对路径具有可加性)
6
10.1 第一类(对弧长)的曲线积分
性质3 设在L上 f ( x, y) g( x, y), 则
L f ( x, y)ds L g( x, y)ds
特别地, 有
L f ( x, y)ds L f ( x, y)ds
性质4(中值定理)若函数 f (x, y)在光滑曲线
或
12
( (
x, x,
y, y,
z) z)
0 0
此时需把它化为参数方程 (选择x, y, z中某一个
为参数), 再按上述方法计算.
18
10.1 第一类(对弧长)的曲线积分
例求I yds,其中L为y2 2x上自原点到 L
(2,2)的一段.
对x积分?
解 y2 2x x y2 (0 y 2)
10.1 第一类(对弧长)的曲线积分
10.1 第一类(对弧长)的 arc length 曲线积分 line integral
问题的提出对弧长的曲线积分的概念与性质
对弧长的曲线积分的几何与物理意义对弧长的曲线积分的计算小结思考题作业
第10章曲线积分与曲面积分

对弧长的曲线积分

n
0 时， (i ，i )si 的极限即为曲线形构件的质量，即 i 1
n
M
lim
0
i 1
(i
，i )si
．
上述例子是通过“分割、近似、求和、取极限”的方法来计算密度不均匀的曲
线形构件质量，对该过程进行提炼，便可得到对弧长的曲线积分的概念．
1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质
2．概念与性质
例，叙述其性质．
1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质
性质 1 设，为常数，则
L[ f (x ，y) g(x ，y)]ds L f (x ，y)ds L g(x ，y)ds ．
性质 2（可加性）若曲线弧 L 是由两段光滑的曲线弧 L1 和 L2 组成，则
f (x ，y)ds f (x ，y)ds f (x ，y)ds ．
以上定理可推广到空间曲线弧．设的参数方程为
x (t) ，yBiblioteka (t)，(t
)，
z (t) ，
则有
f (x ，y ，z)ds f [(t) ， (t) ，(t)] 2 (t) 2 (t) 2 (t)dt ( ) ．
Γ
这里(t) ， (t) ，(t) 连续且不同时为零．
1.2 对弧长的曲线积分的计算例 1 计算曲线积分 yds ，其中 L 是抛物线 y x2 上点 O(0 ，0) 与点 B(1，1) 之
L
L1
L2
性质 3 设曲线弧 L 的弧长为 s，则 L ds s ．
性质 4 若在曲线弧 L 上有 f (x ，y) g(x ，y) ，则
L f (x ，y)ds L g(x ，y)ds ，
特别地，有
L f (x ，y)ds L f (x ，y)ds ．

对弧长曲线积分课件

对弧长的曲线积分的结果是一个标量，与积分路径无关，只与起点和终点有关。
02 对弧长的曲线积分性质
线性性质
总结词
线性性质是指对弧长的曲线积分满足线性运算规则，即对弧长的曲线积分可以按照线性组合进行计算。
详细描述
对于两个或多个函数的线性组合，其对应的对弧长的曲线积分等于各函数对弧长的曲线积分的线性组合。即，如果 $f(x) 和 g(x)$ 是定义在同一直线上的函数，那么 $(f(x) + g(x))$ 的对弧长的曲线积分等于 $f(x)$ 的对弧长的曲线积分加上 $g(x)$ 的对弧长的曲线积分。
要点二
平面曲线的面积
通过计算平面曲线围成的区域的面积，可以利用曲线积分的方法。这种方法在几何学、物理学等领域有广泛应用。
平面曲线的曲率和挠率
平面曲线的曲率
曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。通过计算弧长曲线积分，可以得到曲线的曲率。这对于分析曲线的形状和性质具有重要意义。
平面曲线的挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的变化率，即曲线在某一点的倾斜程度。通过计算弧长曲线积分，可以得到曲线的挠率。这对于研究曲线的全局几何特征具有重要意义。
积分区间的可加性
总结词
积分区间的可加性是指对弧长的曲线积分可以在不同的区间上分别计算，然后再相加。
详细描述
如果函数 $f(x)$ 在两个不重叠的区间 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上有定义，那么 $f(x)$ 在整个区间 $[a, b] cup [c, d]$ 上的对弧长的曲线积分等于在 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上的对弧长的曲线积分之和。
03 对弧长的曲线积分的应用
平面曲线的长度
总结词
对弧长的曲线积分可以用来计算平面曲线的长度。

对弧长和曲线积分

则 f (x, y, z)ds
f ((t) , (t),(t) )
2 (t) 2 (t) 2 (t) d t
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解: L : y x2 ( 0 x 1)
1
0 x
1
x
1 4x2 dx
0
（k 为常数)
(3) f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds
1
2
( 由
组成)
( l 为曲线弧的长度)
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4、几何与物理意义
(1) 当( x, y)表示 L的线密度时,
M L ( x, y)ds ;
(2)
o
x
4 4 r cos
r 2 ( ) r2 ( ) d
0
4 4 a2 cos d 0
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例4. 计算曲线积分线
解: (x2 y2 z2 ) ds
其中为螺旋的一段弧.
a2 k 2 2 [a2 k 2t 2]d t 0
2 a2 k 2 (3a2 4 2k 2 )
解:
d
Fx
k
ds
R2
cos
(x, y)
d
Fy
k
ds
R2
sin
2k sin cos
R
0
Fy
2k R
0
sin
d
2k R
cos
sin
0
故所求引力为 F 4k , 2k
RR
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第十章第1节对弧长的曲线积分

α
β
(α < β )
8
∫
L
f ( x , y )ds = ∫ f [ϕ ( t ),ψ ( t )] ϕ ′2 ( t ) + ψ ′2 ( t )dt
α
β
(α < β )
说明: 说明
y
ds = (dx) +(dy)
2
2 2
2
= φ′ (t ) +ψ′ (t ) dt
o
ds d y dx x x
9
注意: 注意:
1. 定积分的下限 α 一定要小于上限 β ; 2. f ( x , y )中 x , y 不彼此独立 , 而是相互有关的 .
特殊情形
x = x ⇒ y = ψ ( x)
(1) L : y = ψ ( x )
2
a ≤ x ≤ b.
2
′2(x) d x ds = (dx) +(dy) = 1+ψ
α
− α
3
o α
L R x
= ∫ R2 sin2θ (−Rsinθ)2 +(Rcosθ )2 dθ
= R3(α −sinαcosα )
θ θ sin2 = R ∫ sin θdθ = 2R − α − 2 4 0
α
2
3
α
25
五、小结
1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用
π 2 0
= ab ∫ sin t cos t a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t dt
a ab u 2du (令 = a2 sin2 t +b2 cos2 t ) = 2 u 2 ∫b a −b

对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分

对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分
对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分是两种不同的积分方法，它们有不同的积分公式和不同的应用场景。

1. 对弧长的曲线积分：
对弧长的曲线积分也被称为第一类曲线积分，它是对弧长进行积分的一种方法。

这种积分方法可以求得曲线段上变力所做的功。

在这种方法中，我们假设线段在每一点的线密度为
f(x,y)，那么在这段线段上任意一点的附近取一个微小弧长ds，则有ds与dx、dy满足勾股定理。

在这种情况下，我们可以将
力F分解为两个分量，即沿着x轴的分力和沿着y轴的分力，它们分别记为P和Q。

这样，力F所做的功就可以分解为沿着
x轴和y轴的两个分量分别所做的功，再将它们相加即可得到
总功。

2. 对坐标的曲线积分：
对坐标的曲线积分也被称为第二类曲线积分，它是对坐标进行积分的一种方法。

这种积分方法可以求得沿着曲线段的功。

在这种方法中，我们将曲线段看作是由许多微小的线段组成的，然后对每一段微小的线段进行积分。

在线段上每一点，我们都有P=Fcosα，Q=Fcosβ，其中F是与x轴夹角为α，与y轴夹
角为β的力。

这样，我们就可以将力F分解为两个分量，即沿着x轴的分力和沿着y轴的分力，它们分别记为P和Q。

然后，我们可以将沿着x轴和y轴的两个分量分别与坐标x和y相乘，再将它们相加即可得到总功。

总之，对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分是两种不同的积分方法，它们有不同的积分公式和不同的应用场景。

在解决实际问题时，我们需要根据具体场景选择合适的积分方法。

对弧长的曲线积分

§10.1 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算
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一、对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上, 已知曲线形构件在点(x, y)处的线密度为µ(x, y). •把曲线弧L分成n个小段: ∆s1, ∆s2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆sn(∆si也表示弧长); •任取(ξi, ηi)∈∆si, 得第i小段质量的近似值µ(ξi , ηi)∆si;
∑ f (ξi ,ηi )∆si ;
如果当λ=max{∆s1, ∆s2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆sn}→0时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分, 记作
i=1 i =1
n
∫L f (x, y)ds ,
即
lim ∫L f (x, y)ds = λ →0 ∑ f (ξi ,ηi )∆si , i =1
M = lim ∑ µ (ξi ,ηi )∆si .
λ →0 i =1
n
n
i =1
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对弧长的曲线积分设L为xOy面内的一条光滑曲线弧, 函数f(x, y)在L上有界. 将L任意分成n个小弧段: >>>光滑曲线 ∆s1, ∆s2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆sn(∆si也表示第i个小弧段的长度); 在每个小弧段∆si上任取一点(ξi, ηi), 作和
L
(3) 当 f ( x, y )表示立于L上的柱面在点 ( x, y )处的高时,

《对弧长的曲线积分》课件

其他实际问题中的应用
曲线积分可用于电路和工程学中描述电流和磁场的路径积分。
四、总结
曲线积分和弧长的关系
曲线积分可以使用弧长来表示。曲线积分的计算基于弧长。
总结和拓展
通过本课程，您已经了解了对弧长的曲线积分的基本概念，计算方法和应用。您还可以拓展研究其他应用，如计算弯曲量和曲率。
五、参考文献
曲线积分的计算可以分为第一型和第二
股定理计算弧长。
型的积分。第一型积分是对曲线在各点
的函数值进行积分，第二型积分是对曲
线的切线和每点法向量的积进行积分。
3
面积的计算
利用二重积分的方法，可以计算由曲线围成的面积。这种计算有时是研究曲线性质的关键。
三、应用
物理学中的应用
曲线积分可用于描述物理学上的某些概念，如力和能量的路径的课程。本次课程将介绍如何计算弧长和曲线积分，以及其应用于物理学和其他实际问题中。我们将深入研究这一主题，让您从中受益。让我们开始吧！
一、基本概念
曲线积分的定义
曲线积分是指在弧线上的积分。它可以用来计算弧线上某些量的累积变化，如速度、位移和质量分布。
弧长的概念
弧长是曲线从起点到终点的长度。它是计算曲线积分的基本量。
曲线的参数方程与弧长公式
曲线的参数方程可以用来方便地计算弧长。通常采用勾股定理和导数的知识来推导弧长公式。
二、计算方法
1
利用参数方程计算弧长
通过曲线的参数方程，我们可以得到它
曲线积分的计算方法
2
在每个点的切线，从而确定其弧长。通过把切线摆放为三角形，我们可以用勾
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第19讲对弧长的曲线积分

§11.1 对弧长的曲线积分1、主要教学目标(1)对弧长的曲线积分的概念与性质 (2)对弧长曲线积分的计算(3)对弧长曲线积分的几何与物理意义及应用 2、重点内容对弧长曲线积分的计算 3、难点分析对弧长曲线积分的计算中，参数方程的确定及直角坐标、极坐标、参数方程三种情形下曲线积分计算公式 4、对教材的处理及其教学提示(1)注意教材在该部分的淡化，要注意考研的需求，介绍参考书； (2)注意线、面积分的性质局限在线性、可加、符号范畴；(3)曲线、曲面积分重在讲授转化成定积分的思想方法，定积分计算不宜过难； (4)注意构建第一类线、曲积分计算法与曲线长度、曲面面积计算的知识结构体系；5、作业布置 P190：3(2，3，5)教案内容一、问题的提出实例：曲线形构件的质量匀质之质量.s M ⋅=ρ 分割,,,,121i n s M M M ∆→-Λ,),(i i i s ∆∈ηξ取.),(i i i i s M ∆⋅≈∆ηξρ求和.),(1∑=∆⋅≈ni i i i s M ηξρ近似值取极限.),(lim1∑=→∆⋅=ni iiis M ηξρλ精确值二、对弧长的曲线积分的概念与性质1.平面上对弧长的曲线积分y上对弧长的曲线积分在曲线弧则称此极限为函数这和的极限存在时长度的最大值如果当各小弧段的并作和作乘积点个小段上任意取定的一为第又个小段的长度为设第个小段分成把上有界在函数面内一条光滑曲线弧为设L y x f s f s f i s i n L L y x f xoy L ni i i i i i i i i i ),(,,0,),(,),(,),(,..),(,1→∆⋅∆⋅∆∑=ληξηξηξ.),(lim ),(,),(1∑⎰⎰=→∆⋅=ni i i i LL s f ds y x f ds y x f ηξλ即记作2.空间中对弧长的曲线积分上对弧长的曲线积分为在空间曲线弧函数Γ),,(z y x f.),,(lim ),,(1i ni i i i s f ds z y x f ∆⋅=∑⎰=→Γζηξλ3.曲线积分的存在性.),(,),(存在对弧长的曲线积分上连续时在光滑曲线弧当⎰L ds y x f L y x f4.分段光滑的曲线上对坐标的曲线积分)(,)(21L L L L +=Γ是分段光滑的或若.),(),(),(2121⎰⎰⎰+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f5.闭曲线积分.),(),(⎰Lds y x f L y x f 为上对弧长的曲线积分记在闭曲线函数 6.对弧长的曲线积分的性质.),(),()],(),([)1(⎰⎰⎰±=±LLLds y x g ds y x f ds y x g y x f).(),(),()2(为常数k ds y x f k ds y x kf LL⎰⎰=.),(),(),()3(21⎰⎰⎰+=L L Lds y x f ds y x f ds y x f ).(21L L L +=三、对弧长的曲线积分的计算法1.定理(计算曲线积分的公式)的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设L L y x f ,),())((),(βαψϕ≤≤==t t y t x)()()()](),([),(,],[)(),(22βαψϕψϕβαψϕβα<'+'=⎰⎰dt t t t t f ds y x f t t L则上具有一阶连续导数在其中例1 ).(,sin ,cos :,象限第椭圆求I ⎩⎨⎧===⎰t b y t a x L xyds I L解答要点：dt t b t a t b t a I 2220)cos ()sin (sin cos +-⋅=⎰πdt t b t a t t ab 222220cos sin cos sin +=⎰π⎰-=ab du u b a ab 222)cos sin (2222t b t a u +=令.)(3)(22b a b ab a ab +++=2.其它计算公式.)(:)1(b x a x y L ≤≤=ψ.)(1)](,[),(2dx x x x f ds y x f baL⎰⎰'+=ψψ)(b a <.)(:)2(d y c y x L ≤≤=ϕ.)(1]),([),(2dy y y y f ds y x f dcL⎰⎰'+=ϕϕ)(d c <)().(),(),(:)3(βαωψϕ≤≤===Γt t z t y t x)()()()()](),(),([),,(222βαωψϕωψϕβα<'+'+'=⎰⎰Γdt t t t t t t f ds z y x f3.应注意的问题;.1βα一定要小于上限定积分的下限.,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中y x y x f例2 .)2,1()2,1(,4:,2一段到从其中求-==⎰x y L yds I L解答要点：dy y y I 222)2(1+=⎰-.0= 例3 ⎰Γ=xyzds I 求，其中)20(,sin ,cos :πθθθθ≤≤===Γk z a y a x解答要点：⎰+⋅=πθθθθ20222sin cos d k a k a I .21222k a ka +-=π例4 ⎩⎨⎧=++=++Γ=⎰Γ.0,,22222z y x a z y x ds x I 为圆周其中求解答要点：由对称性, 知.222⎰⎰⎰ΓΓΓ==ds z ds y ds xxy 42=⎰Γ++=ds z y x I )(31222故⎰Γ=ds a 32.323a π=),2(球面大圆周长⎰Γ=ds a π例5 计算曲线积分ds z y x )(222++⎰Γ, 其中Γ为螺旋线x =a cos t 、y =a sin t 、z =kt 上相应于t从0到达2π的一段弧.解在曲线Γ上有x 2+y 2+z 2=(a cos t )2+(a sin t )2+(k t )2=a 2+k 2t 2, 并且 dt k a dt k t a t a ds 22222)cos ()sin (+=++-=, 于是ds z y x )(222++⎰Γ⎰++=π2022222)(dt k a t k a)43(3222222k a k a ππ++=.四、几何与物理意义,),()1(的线密度时表示当L y x ρ;),(⎰=Lds y x M ρ;,1),()2(⎰=≡Lds L y x f 弧长时当,),(),()3(处的高时在点上的柱面表示立于当y x L y x f.),(⎰=Lds y x f S 柱面面积,)4(轴的转动惯量轴及曲线弧对y x .,22⎰⎰==Ly L x ds y I ds x I ρρ曲线弧的重心坐标)5(.,⎰⎰⎰⎰==LL L L dsds y y dsds x x ρρρρ 五、小结1、对弧长曲线积分的概念2、对弧长曲线积分的计算3、对弧长曲线积分的应用。

对弧长的曲线积分定义

对弧长的曲线积分定义弧长的概念在数学中，弧长是描述曲线长度的概念。

对于平面曲线或空间曲线，我们可以使用弧长来度量其长度。

在微积分中，我们经常需要计算曲线上某个函数的积分，而对于弧长的曲线积分就是其中一种特殊情况。

曲线参数化为了计算弧长的曲线积分，我们首先需要对曲线进行参数化。

参数化是将一个曲线表示为一个或多个参数的函数形式。

对于平面曲线来说，通常使用一个参数t来表示，而对于空间曲线，则可能需要使用多个参数。

以平面曲线为例，假设我们有一个光滑曲线C，通过将其参数化为x=f(t)和y=g(t)，其中f(t)和g(t)是连续可导函数。

这样我们就可以通过改变参数t的取值范围来遍历整条曲线。

弧长元素在计算弧长的过程中，我们需要考虑每一小段弧长的长度。

这里引入了一个概念——弧长元素（arc length element）。

对于平面上的一小段弧长Δs，可以通过勾股定理得到：Δs=√(Δx)2+(Δy)2其中，Δx和Δy分别是x和y的微小变化量。

当我们取极限Δx→0和Δy→0时，弧长元素可以表示为：ds=√(dx)2+(dy)2同样地，对于空间曲线，我们可以使用类似的方法得到弧长元素。

弧长的曲线积分有了弧长元素的概念，我们就可以定义弧长的曲线积分了。

对于平面曲线C上的函数f(x,y)，其曲线积分形式如下：∫f C (x,y)ds=∫fba(x(t),y(t))√(dxdt)2+(dydt)2dt其中，(x(t),y(t))是曲线参数化的表示形式。

积分区间a≤t≤b覆盖了整条曲线。

同样地，对于空间曲线上的函数f(x,y,z)，其曲线积分形式如下：∫f C (x,y,z)ds=∫fba(x(t),y(t),z(t))√(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2dt其中，(x(t),y(t),z(t))是曲线的参数化表示形式。

弧长的曲线积分的性质弧长的曲线积分具有一些重要的性质，这些性质使得我们可以更方便地计算和应用这种积分。

对弧长的曲线积分

f ( x, y, z)ds f [ (t), (t), (t)] 2(t) 2(t) 2(t)dt
( )
例1 求 L x2 y2 ds, L:x2 y2 4x
解法1 分析：因曲线L的方程关系
y
可直接用来化简被积函数,而
(x, y) r
x2 y2 4x ，
o 2 4x
故可将积分化为对x的定积分.
24 3( 2 sin2 t dt 2 sin4 t dt)
0
0
24 3(1 3 1 ) 3 3 .
22 422 2
五、小结
1.对弧长曲线积分的概念 2.对弧长曲线积分的计算
计算关键：选择合适的参数方程化为定积分,
计算步骤：(1)画弧L (2)将 L 用参数式表示
yx((tt)),. t
24
22
令
x 2 R cost, y x 1 Rsin t,
3
22
则 x 2 R sin t, 3
y 1 R cost x 1 R cost 2 R 1 sin t,
2
22
32
z x y, z2 x2 y2 2xy ,
x2 y2 z2 2(x2 y2 xy) 将x, y代入化简 R2
由 x2 y2 4x 对x求导得
yx
2x y
，
ds
1 yx2 dx
2 y2
dx，利用对称性,即L关于x轴对称,
4
2
I 2 4x dx
0
y2
而被积函数关于y为偶函数若不用对称性 , 就要分段积分
4
8
x dx
0 4x x2
后再求和 .因L位于 x轴上方的方程为y 4x x2 ,而下方一

对弧长的曲线积分的几何意义

理解几何意义有助于更好地掌握对弧长的曲线积分的计算方法和应用场景。
几何意义能够直观地展示对弧长的曲线积分与空间几何量之间的关系，为解决实际问题提供思路和方法。
02
弧长与曲线积分的关系
弧长的定义
弧长是曲线上的一个线段，其长度等于该线段上任意两点的横坐标之差与纵坐标之差的绝对值之和的正平方根。
曲线长度可用于测量和计算平面图形的周长，例如圆的周长。
曲线长度也可以用于计算平面图形的面积，例如圆的面积。
空间曲线的长度
空间曲线的长度是曲线在三维空间中的投影，表示曲线起点到终
点的直线距离。
空间曲线长度可用于测量和计算三维物体的表面积，例如球的表
面积。
空间曲线长度也可以用于计算三维物体的体积，例如球的体积。
平面曲线积分还可以表示曲线上的一个物体沿曲线运动时所经过的路径长度。
当曲线是封闭时，平面曲线积分表示的是该封闭曲线的周长。
空间中曲线积分的几何意义
空间曲线积分表示的是曲面下的体积，即曲面与xoy面围成
的体积。
当曲面是封闭时，空间曲线积分表示的是该封闭曲面的
表面积。
空间曲线积分还可以表示一个物体沿曲面上的曲线运动时所
在物理学中，对弧长的曲线积分常用于描述电磁场、流体场等物理现象，以及解决一些物理问题。
工程学
经济学
在工程学中，对弧长的曲线积分可以用于计算各种工程结构的几何参数，如管道的长度、桥梁的长度等。
在经济学中，对弧长的曲线积分可以用于计算各种经济指标，如GDP、CPI等。
对弧长的曲线积分的未来发展
对弧长的曲线积分的几何意义
• 引言 • 弧长与曲线积分的关系 • 对弧长的曲线积分的几何解释 • 实例分析 • 结论

10-1对弧长的曲线积分的概念与性质

高等数学第十章曲线积分

对弧长的曲线积分

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数学分析考研讲义10

对弧长的曲线积分

10.1第一类对弧长的曲线积分

对弧长的曲线积分

对弧长曲线积分课件

对弧长和曲线积分

第十章 第1节 对弧长的曲线积分

对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分

对弧长的曲线积分

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对弧长的曲线积分定义

对弧长的曲线积分

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第十章第1节对弧长的曲线积分

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