离散数学集合证明

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离散数学

2019/3/2 离散数学 7
3、：N×NN，N是自然数集 (0∈N)，(<x,y>)=|x2-y2|
解: 取<1,1>,<2,2>∈ N×N (<1,1>)=|12－12|=0 (<2,2>)=|22－22|=0 故不是单射. 又取2∈N, 因不存在自然数x,y∈N 满足: |x2－y2|=2 故不是满射. ∴ 既不是单射也不是满射.
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离散数学
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§3.2 映射的运算
• 逆映射的概念
定义3.2.1 设：AB，定义关系RBA为： R={<y,x> | y∈B , x∈A,且(x)=y}；如果R是B 到A的映射，则称R为的逆映射。记为– 1。
• 例如：设：N E，N 是自然数集合，E是自然数中所有偶数的集合，(n) = 2n，n∈N。则的逆映射-1为： -1 ：E N，-1(m)=m/2，m∈E。
§3.1 基本概念
定义3.1.1：设A，B是两个集合，是A到B的二元关系，若对A中每个元素a，有唯一的 b∈B，使得<a,b>∈ ，则称为A到B的映射，记为： : AB 或 A B
• 所谓从A到B的映射就是A中的每个人都向B中的人射了一箭，并且都射中了B中的一个人。既没有人偷懒不射，也没有人一箭双雕。 • 这时，B中的人，有的可能身中数箭，有的可能一箭未中。当然也可能刚好每人中了一箭。
• 充分性：设是双射，考虑的逆关系，易知，对于B 中的每个元素y，都对应着A中唯一的一个在下以y 为映象的元素x，因此，的逆关系是B到A的映射。
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满射、单射和双射的例子
• 设：N N，N 是自然数集，(n)= 2n， n∈N。则是单射，但不是满射。

离散数学---集合的基本运算

6、零一律 A∩=，A∪E=E
（A∩B）=A∪B
7、补余律 A∩A=，A∪A=E
10、双重否定律（A）=A
8、吸收律 A∪（A∩B）=A
注：A-B=A∩B
A∩（A∪B）=A
集合相等的证明的方法
一、利用集合的定义证明；二、利用集合等式证明；（常用）三、利用谓词公式证明；四、用集合成员表。（略）
abcabac续2?x?a?b?a?c?x?a?b且x?a?c分两种情况a若x?a则x?a?b?cb若x?a由x?axa?b?xb由x?ax?a?b?x?b由x?ax?a?c?x?c?x?b?c?x?a?b?c任何情况均有x?a?b?c?a?b?a?c?a?b?c12合并为a?b?ca?b?a?c求证
只有数学系和计算机系二年级的学生才选离散数学。
T ( M∪R )∩S ①
求证：A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) 证明： x(A-B)∩(A-C)，
则x(A-B)∧ x(A-C) （xA)∧(xB)∧(xA)∧(xC) （xA)∧(xB)∧(xC) （xA)∧(xB)∧(xC) （xA)∧ (xB∨xC) (xA)∧(xB∪C ) x A-(B∪C) 从而， A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
证明:B=B(AB) (吸收律)
=B(AC) (等量代入)
=(BA)(BC)(分配律)
=(AC)(BC)(等量代入)
=(AB)C(分配律)
=(AC)C(等量代入)
=C
(吸收律)
说明:AB=ACB=C
AB=ACB=C
两种推理均是不成立的。
课堂练习
用三种方法求证： (B-A)∪A=B∪A
证明：A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）(续)

离散数学第三章集合

别地，以集合为元素的集合称为集合族或集合类，
如A={{1,2,3}, { 8,9,6}}。
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2. 子集、全集与空集子集是描述一个集合与另一个集合之间的关系，其定义如下。

定义3.1.1 设A和B是任意两个集合，如果集合 A 的每个元素，都是集合 B 中的一个元素，则
称A是B的子集，或称A被包含于B中，或者说
正则公理的一个自然推论是: 对任何集合S, {S} S (否则有…SSS),
从而规定了集合{S}与 S的不同层次性。
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集合与其成员是两个截然不同的概念, 集合的元素可以是任何具体或抽象事物, 包括别的集
合, 但不能是本集合自身。
因为一个集合是由它的成员构成的, 是先有
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表示一个特定集合，基本上有两种方法：

一是枚举法，在可能时列出它的元素，元素之间用逗号分开，再用花括号括起。如 A={a,e,i,o,u}
表明集合A是由字母a, e, I ,o和u为元素构成的。
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二是谓词法，用谓词公式来确定集合。即个体域中能使谓词公式为真的那些元素，确定了一个集合，因为这些元素都具有某种特殊性质。若P(x)含有一个自由变元的谓词公式，则 {x|P(x)}定义了集合S，并可表为 S={x|P(x)}
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定义3.1.3 如果一个集合包含了所要讨论的每一个集合，则称该集合为全集，记为U或E。它可形式地表为 U={x|P(x)∨┐P(x)}
其中P(x)为任何谓词公式。
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离散数学集合

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离散数学
无重复性是集合的四大性质之一。五.空集（empty,null,void set）：记为空集是没有成员的集合。即注.将空集作为集合实际上是集合运算的封 x(x）（所谓的空集公理）；闭性所要求的 ! 所以={ }；空集是集合(作这点规定是运算封闭性的要求)。空集是唯一的。因为若有两个空集，则它们有完全相同的元素(都没有任何元素)，所以它们相等，是同一集合。六.全集（universe of discourse）：记为X 全集是所要研究的问题所需的全部对象（元素）所构成的集合。全集给个体（研究的对象）划定适当的范围。
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离散数学
两个集合不相等，记为AB ；根据这个定义，关于集合我们可得下列性质： (1) 无序性：集合中的元素是无序的。例如 {a,b,c}= {b, a, c} = {b , c, a} 因此，为了使用方便，我们可任意书写集合中元素的顺序。但一般情况下，通常采用字母序、字典序；有时，还需要强行命名一种序；无序性是集合的四大性质之一。 (2)无重复性：集合中元素的重复是无意义的。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c}= {a, b, c} 包（bag）：若允许元素重复称为包。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c} 一般记布尔系统图论
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离散数学 Discrete Mathematics
序言：
离散数学是现代数学的一个重要分支，计算机科学基础理论的核心课程。它充分描述了计算机科学的离散性特点，是随着计算机科学的发展而逐步建立起来的新兴的基础性学科。本课程作为计算机科学的基础性课程，把握离散数学的关键性问题，介绍五大块内容：集合论、代数系统、布尔代数、图论、数理逻辑。这些和计算机科学密切相关的理论的结构按排，既着重于各部分之间的紧密联系，又深入探讨各部分内容的概念、例子、理论、算法、以及实际应用。

离散数学简明教程

离散数学简明教程
第一章：数论基础
数论是离散数学中的基础部分，主要研究的是整数及其性质。

这一部分内容将介绍整除、质数、合数、素数定理等基本概念，以及一些重要的数论问题，如中国剩余定理、费马大定理等。

第二章：集合论
集合论是离散数学的基础理论之一，主要研究的是集合及其性质。

这一部分内容将介绍集合的基本概念、集合的运算、幂集、二元关系等基本概念，以及一些重要的集合论定理，如鸽笼原理、康托尔定理等。

第三章：图论
图论是离散数学中最为重要的分支之一，主要研究的是图形的性质和结构。

这一部分内容将介绍图的基本概念、图的矩阵表示、欧拉路径和欧拉回路、哈密尔顿路径和哈密尔顿回路等基本概念，以及一些重要的图论定理，如克鲁斯卡尔定理、普利姆定理等。

第四章：逻辑学
逻辑学是离散数学的另一个基础理论，主要研究的是推理和证明。

这一部分内容将介绍命题逻辑、谓词逻辑、一阶逻辑等基本概念，以及一些重要的逻辑学定理，如哥德尔完备性定理、塔斯基不可定义定理等。

第五章：算法分析
算法分析是离散数学的一个重要应用领域，主要研究的是算法的时间和空间复杂度。

这一部分内容将介绍算法分析的基本概念、大O 符号、递归算法等基本概念，以及一些重要的算法分析定理，如阿克曼函数不可计算性定理等。

离散数学第五章无限集合

那么Fk包括所有这样的函数, 其象是包含在B的枚举的前k个元素
组成的集合中; |Fk|=kn。因为A是有限的, 对每一函数f:A→B存在某
m∈N, 如果取k＞m, 那么f∈Fk; 所以
。但每一集合Fk
是有限的因而BA是可数的。证毕。
5.1.3 基数c
不是所有无限集都是可数无限的, 下一定理说明需要新的无限集基数。
。
(b) 设Σ={a,b}, S是Σ上以a带头的有限串集合, 考虑S的基数。因为
f: Σ*→S, f(x)=ax
是一个双射函数。所以, |S|=|Σ*|=
。
第一个定理叫做三歧性定律。
定理5.2-2(Zermelo) 成立:
A和B是集合,那么下述情况恰有一个
N所
属等价类的名称。
(ii) 要证明一个集合S有基数α, 只需选基数为α的任意集合S′, 证明从S到S′或从S′到S存在一双射函数。选取集合S′的原则是使证明尽可能容易。
例1 (a) 设E是正偶数集合, 考虑E的基数。因为
f: I+→E, f(x)=2x
是从I+到E的双射函数, 所以, |E|=|I+|=
(b) ｜(0,1)｜=｜［0,1］｜。这两个集合的不同仅在于区间的两端点; 为了构造从［0,1］到(0,1)的一个双射函数, 我们必须在(0,1)中找出0和1的象而保持映射是满射的。定义集合A是
, 定义映射f如下:
图 5.1-4
(c) ｜R｜=c。我们定义一个从(0,1)到R的双射函数如下:
是Ai的枚举; 如果Ai是有限的我们用无限重复枚举。如果Ai= ,
我们置第i行等于第i-1行。这样, 数组包含所有A的元素而无其它
元素。A元素的一个枚举由图5.1-3中的有向路径指定。从定理

《离散数学》刘任任版第十章

习题十1．证明：若G 是简单图，则()()q p p G 2/22-≥χ.分析：()G χ指G 的点色数，显然如果()G χ=k ，则G 的顶点集可以划分为k 个独立集。

设每个独立集的顶点数为p i ，则∑=ki i p 1=p ，由柯西－施瓦丝不等式有：且由于每个独立集中的任意两个点不邻接，所以第i 个独立集中任何一点的度不会大于p-p i ，本题的关键是利用这两个结论。

2．()k G =χ的临界图G 称为k 临界图. 证明：唯一的1临界图是1K ，唯一的2临界图是2K ，仅有的3临界图是长度为奇数3≥k 的回路.分析：若G 的每个点都是临界点，则G 称为临界图。

由于1-色图是零图，因此1-临界图仅能是1K ，2-色图是2部图，因此2-临界图仅能是2K ，3-色图恒含奇圈，且奇圈至少是3-色才能正常着色，因此3-临界图仅能是长度为奇数3≥k 的回路.证明：（1）()11=K χ，且()01=-v K χ<1，故K1是1临界图；反之，G 是1-临界图，若|V(G)|>1，则G 是零图，()1=-v G χ，所以|V(G)|=1，从而G 是平凡图K1。

（2）()22=K χ，且()1),(22=-∈∀v K K V v χ，故K2是2临界图；反之，G 是2-临界图，即()2=G χ，于是G 的顶点可划分为两个极大独立集V1和V2，若|V1|>1，则())(2),(1G v G G V V v χχ==-⊆∈∀，与G 是临界图矛盾，因此|V1|=1，同理|V2|=1。

因此G=K2。

（3）因为不含奇回路的图是二分图)2)((=G χ。

故3-色图必含奇回路。

显然，奇回路必是3-临界图。

设G 是含奇回路的3-临界图。

若G 不是奇回路，则可分两种情况讨论：)2/()( 2 2 )()(2 ,,1,| | ,, ,)( 2222221222211112221121q p p G x q p p k k p q p k p p p p p p p p p p v d q p p V k p k p p k i p V V V k G k G x ki i p i k i k i k i i i i i i i i k i i k i i i i k -≥-≥≥--≤-=-=-≤=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥===∑∑∑∑∑∑∑=======故，即从而而个顶点相邻，每个顶点最多与其它且），（柯西－施瓦丝不等式因为。

离散数学-集合

例题
利用上例中的公式可以证明对称差A⊕B下列的性质。设A,B是任意的集合。 ① A⊕A = φ ② A⊕φ = A ③ A⊕E = ~A 证明： ① A⊕A = (A-A)∪(A-A) = φ⊕φ = φ ② A⊕φ = (A-φ)∪(φ-A) = A∪φ = A ③ A⊕E = (A-E)∪(E-A)= φ∪~A = ~A
有限集合的计数
例8 某班有50名学生，第一次考试中26人成绩为优，第二次考试中21人成绩为优，已知两次考试中都不为优的共17人。问两次考试中都为优的有多少人？解：设A，B分别表示第一次和第二次考试中成绩为优的学生集合。画出文氏图，如图3.7所示。首先填A∩B中的人数，这正是要求的，设为x。 A-B中的人数是26-x，B-A中的人数是21-x，分别填入对应的区域。并列出如下方程： (26-x)＋x＋(21-x)＋17=50 解得：x=14
对称差
定义3-2.5 设A，B是集合，由 A中元素或B中元素，但不是A与B的公共元素组成的集合，称为A和B的对称差，记为A⊕B。 A⊕B=⎨x|x∈A ∨ x∈B⎬=(A∪B)-(A∩B) A⊕B的定义如图所示。例6 令A=⎨1,2,3,4⎬，B= ⎨1,2,5,6⎬，则 A⊕B = A∪B-A∩B = ⎨1,2,3,4,5,6⎬-⎨1,2⎬ = ⎨3,4,5,6⎬
3-2 集合的运算
定义3-2.1 设A，B是集合，由A与B的公共元素组成的集合，称为A和B的交集，记为A∩B。 A∩B=⎨x|x∈A∧x∈B⎬ 交集的定义如图所示。从交集的定义可以得到： A∩B⊆A，A∩B⊆B 如果A与B无公共元素，即 A∩B=φ，称A和B是互不相交的。例1 令A=⎨a,b,c⎬，B=⎨d,e⎬，则A∩B=φ，A和B是互不相交的。

离散数学集合

则B = C
证明对于任意xB，分两种情形讨论。情形一：xA。由xA及交集的定义，xAB。从而，由对称
差的定义知xAB，那么由已知条件得到xAC。假定 xC，那么由差集的定义知：xA–C；进而，由AC = (A–C)(C–A)知：xAC。矛盾。所以有xC。故B C 情形二：xA。由xB及差集的定义，xB–A。由AB = (A–B)(B–A)知：xAB，那么由已知条件得到xAC 。再由AC = (A–C)(C–A)知：xA–C或xC–A。由于xA，于是xA–C。由此，xC–A。进而xC。故B C 同理，可证得C B。
A∩ = 因此，x P(A)且x P(B)。 ③结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)
=166+100+71 (33+23+14) + 4 = 271
|A B C|=[500/(3 5 7)]=4
A B = A∩ B
(A B) C = A (B C) 综上知，如果A B = A C，则B = C。以对集合运算的定义为基础。
由此， (A–B) (B–A) A B。
由x B及差集的定义，x B–A。
A∩定(A∪理B)1= .A4(容斥原理)：设A，B是有限集合，则： |A∪B| = 根据以上提供的数据回答以下问题：
综上述，A B = (A–B) (B–A)。
|A| 求集合A和B的并集、交集、差集、补集和对称差集 + |B| - |A∩B|
A(B∪C) = (AB)∩(AC) A(B∩C) = (AB)∪(AC)
⑬(余补集) = U U =
上述性质都可用文氏图得到方便分析和直观理解。
证明集合运算的性质
如何证明这些基本性质的正确性？以对集合运算的定义为基础。以已经得到证明的性质为基础，利用集合演算。

《离散数学集合》课件

满射。
双射
03
如果一个映射既是单射又是满射，则称该映射为双射。
函数的基本性质
确定性
对于任意一个输入，函数只能有一个输出。
互异性
函数的输出与输入一一对应，没有重复的输出值。
可计算性
对于任意给定的输入，函数都能计算出唯一的输出值。
域和陪域
函数的输入值的集合称为函数的定义域，函数输出的集合称为函数的陪域。
04
集合的运算性质
并集运算性质
并集的交换律
对于任意集合A和B，有A∪B=B∪A。
并集的幂等律
对于任意集合A，有A∪A=A。
并集的结合律
对于任意集合A、B和C，有 A∪(B∪C)=(A∪B)∪C。
并集的零律
对于任意集合A和空集∅，有A∪∅=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。
交集运算性质
交集的交换律
对于任意集合A和B，有A∩B=B∩A。
在数学中的应用
集合论
集合论是数学的基础，它为数学提供了基本的逻辑和概念框架。通过集合，可以定义和讨论概念、关系和性质等。
概率论
在概率论中，集合用来表示事件，事件发生的概率可以定义为该事件所对应的集合的元素个数与样本空间所对应的集合的元素个数之比。
拓扑学
拓扑学是研究几何形状在大范围内变化的学科。在拓扑学中，集合用来表示空间中的点、线、面等元素，以及它们之间的关系。
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03
集合的分类
有穷集和无穷集
有穷集
集合中元素的数量是有限的，可以明确地列举出集合中的所有元素。例如，集合{1, 2, 3}是一个有穷集。
无穷集
集合中元素的数量是无限的，无法列举出集合中的所有元素。例如，自然数集N={1, 2, 3,...}是一个无穷集。

离散数学题型梳理-第1章

离散数学常考题型梳理第1章集合及其运算一、题型分析本章主要介绍集合论的基本概念和结论，集合的运算及其性质，以及利用运算性质进行集合表达式的化简和集合恒等式的证明等内容．经常涉及到的题型有：1-1集合与集合之间的包含、元素与集合之间的属于关系1-2幂集的计算1-3集合之间的运算1-4利用集合运算性质证明集合恒等式因此，在本章学习过程中希望大家要清楚地知道：1．集合与集合之间存在一种包含关系，当两个集合A 和B 存在关系A 包含B ，用A ⊇B 表示，或存在关系B 被A 包含，用B ⊆A 表示，这时称B 为A 的子集．注意空集∅是任意一个集合的子集，集合A 也是自己的子集．当B ⊆A 且B ≠A ，也就是说，只有B ⊂A 或A ⊃B 成立，则称B 为A 的真子集．若B 不是A 的子集，即B ⊆A 不成立时，则称A 不包含B ，记作B ⊆A ．然而，元素与集合之间存在一种从属关系，当a 是集合A 中的元素，则称a 属于A ，记作a∈A ；若a 不是集合A 中的元素，则称a 不属于A ，记作a ∉A ．因此，这两种关系一定不要混淆．2．由集合A 的所有子集组成的集合，称为A 的幂集，记作P (A )或2A ．若集合A 是由n 个元素所组成的集合，则A 的幂集由2n 元素组成．当n =3时，A 的幂集由23=8个元素组成．例如，设集合A = {0, 1, 2 }，则A 的全部子集由以下子集组成：0元子集（即空集）：∅；1元子集：{0}，{1}，{2}；2元子集：{0, 1}，{0, 2}，{1, 2}；3元子集（即集合A ）：{0, 1, 2}．因此，计算集合A 的幂集时，首先要按照上述方法写出集合A 的全部子集，然后检验写出的子集个数是否等于2n 个，其中n 是集合A 的元素个数．3．集合之间的运算有并（⋃）、交（⋂）、差（-）、补（~）和对称差（⊕）等五种运算，在做集合运算的题目时，一定要按照它们的定义进行计算．(1) 集合A 和B 的并集A B x x A ⋃=∈{或 x B ∈} 特点：由集合A 和B 的所有元素组成的集合．见图1 图1 图2(2) 集合A 和B 的交集A B x x A ⋂=∈{ 且 x B ∈}特点：由集合A 和B 的公共元素组成的集合．见图2(3) 集合A 与B 的差集A B -=∈∉{}x x A x B 且特点：由属于A ，而不属于B 的所有元素组成的集合．见图3(4) 集合A 的补集~A ={}x x E x A ∈∉且特点：由属于全集E 但不属于集合A 的元素组成的集合．见图4补集总相对于一个全集而言，可以看作是全集E 与集合A 的差集．(5) 集合A 与B 的对称差A ⊕B ＝(A －B )⋃(B －A )或 A ⊕B ＝(A ⋃B )－(A ⋂B )特点：由分别属于集合A 与B 的元素但不属于它们公共元素组成的集合．见图5(6) 把集合A ，B 合成集合A ×B 叫做笛卡儿积，规定A ×B ＝{<x , y >∣x ∈A 且y ∈B }注意：由于有序对<x , y >中x ，y 的位置是确定的，因此A ×B 的记法也是确定的，不能写成B ×A.．笛卡儿积的运算一般不能交换.．虽然，笛卡儿积的内容是第2章2.1.1目的内容，是二元关系的预备知识，但我们认为把它作为集合的一种运算考虑更好些。

离散数学证明题解题方法(5篇范例)

离散数学证明题解题方法（5篇范例）离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程。

离散数学以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数个元素，因此他充分描述了计算机科学离散性的特点。

1、定义和定理多。

离散数学是基于大量定义的逻辑推理学科。

所以，理解概念是我们学习这门学科的核心。

在这些概念的基础上，要特别注意概念之间的关系，描述这些关系的实体是大量的定理和性质。

●证明等价关系：即要证明关系有自反、对称、传递的性质。

●证明偏序关系：即要证明关系有自反、反对称、传递的性质。

（特殊关系的证明就列出来两种，要证明剩下的几种只需要结合定义来进行）。

●证明满射：函数f：XY，即要证明对于任意的yY，都有x或者对于任意的f(x1)=f(x2)，则有x1=x2。

●证明集合等势：即证明两个集合中存在双射。

有三种情况：第一、证明两个具体的集合等势，用构造法，或者直接构造一个双射，或者构造两个集合相互间的入射；第二、已知某个集合的基数，如果为א，就设它和R之间存在双射f，然后通过f 的性质推出另外的双射，因此等势；如果为א0，则设和N之间存在双射；第三、已知两个集合等势，然后再证明另外的两个集合等势，这时，先设已知的两个集合存在双射，然后根据剩下题设条件证明要证的两个集合存在双射。

●证明群：即要证明代数系统封闭、可结合、有幺元和逆元。

（同样，这一部分能够作为证明题的概念更多，要结合定义把它们全部搞透彻）。

●证明子群：虽然子群的证明定理有两个，但如果考证明子群的话，通常是第二个定理，即设<g,*>是群，S是G的非空子集，如果对于S中的任意元素a和b有a*b-1是<g,*>的子群。

对于有限子群，则可考虑第一个定理。

●证明正规子群：若<g,*>是一个子群，H是G的一个子集，即要证明对于任意的aG，有aH=Ha，或者对于任意的hH，有a-1 *h*aH。

离散数学傅彦课后习题答案

离散数学傅彦课后习题答案离散数学傅彦课后习题答案离散数学是计算机科学中的一门重要课程，它涵盖了许多基础的数学概念和理论，为我们理解和应用计算机科学提供了坚实的基础。

在学习离散数学的过程中，我们经常会遇到许多习题，这些习题旨在帮助我们巩固所学的知识，并提高我们的问题解决能力。

本文将为大家提供一些离散数学中常见的习题答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 集合论习题：证明集合A和它的幂集P(A)的基数不相等。

解答：首先，我们知道一个集合的基数表示该集合中元素的个数。

对于集合A 来说，它的基数为n。

而它的幂集P(A)中的元素是A的所有子集，即包含0到n个元素的集合。

因此，P(A)的基数为2的n次方。

由于n和2的n次方是不相等的，所以集合A和它的幂集P(A)的基数也是不相等的。

2. 图论习题：证明在任意一个简单图中，度数为奇数的顶点的个数一定是偶数个。

解答：假设图中度数为奇数的顶点个数为奇数个，记为n。

那么这n个顶点的度数之和为奇数。

但是，图中每条边都会贡献两个顶点的度数，因此度数之和必须是偶数。

这与前提矛盾，所以假设不成立。

因此，度数为奇数的顶点的个数一定是偶数个。

3. 逻辑与命题演算习题：判断以下命题是否为永真式：(p∨q)→(¬p→q)解答：我们可以通过真值表的方法来判断该命题是否为永真式。

首先列出命题中的所有原子命题，即p和q。

然后根据原子命题的取值情况，计算整个命题的取值。

最后，观察整个命题在所有情况下的取值是否都为真。

如果是，则说明该命题为永真式；如果存在一种情况使得命题的取值为假，则说明该命题不是永真式。

根据真值表的计算，可以得出该命题为永真式。

4. 树与图习题：证明一棵有n个顶点的树有n-1条边。

解答：首先，我们知道一棵树是一个连通且无环的图。

当树的顶点数为1时，显然边数为0，命题成立。

假设当树的顶点数为n时，边数为n-1，即命题成立。

现在考虑树的顶点数为n+1的情况。

我们可以将这棵树的一个叶子节点去掉，得到一棵有n个顶点的树。

离散数学知识点整理

离散数学一、逻辑和证明命题逻辑命题：是一个可以判断真假的陈述句。

联接词：∧、∨、→、↔、¬。

记住“p仅当q”意思是“如果p，则q”，即p→。

记住“q除非p”意思是“¬p→q”。

会考察条件语句翻译成汉语。

构造真值表语句翻译系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。

命题等价式逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。

证逻辑等价是通过p推导出q，证永真式是通过p推导出T。

量词谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如∀x>0P(x)。

当论域中的元素可以一一列举，那么∀xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。

同理，∃xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。

两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如∀x（P(x)∧Q(x))和(∀xP(x))∧(∀xQ(x))。

量词表达式的否定：¬∀xP(x) ⇔∃x¬P(x)，¬∃xP(x) ⇔∀x¬P(x)。

量词嵌套我们采用循环的思考方法。

量词顺序的不同会影响结果。

语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。

嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。

推理规则一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。

但有效论证不代表结论正确，因为也许有的前提是假的。

命题和量化命题的组合使用。

二、集合、函数、序列、与矩阵集合∈说的是元素与集合的关系，⊆说的是集合与集合的关系。

常见数集有N={0,1,2,3...}，Z整数集，Z+正整数集，Q有理数集，R实数集，R+正实数集，C复数集。

A和B相等当仅当∀x(x∈A↔x∈B)；A是B的子集当仅当∀x(x∈A→x∈B)；A是B的真子集当仅当∀x(x∈A→x∈B)∧∃x(x∉A∧x∈B)。

离散数学集合证明

分配律
A (B C) = (A B ) (A C ) A (B C) = (A B ) (A C )
排中律
A ~A=E
矛盾律
A ~A=
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11
对偶原理(举例、续)
零律同一律
A E =E A=
A =A A E=A
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12
对偶原理(举例、续)
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16
零律(证明)
A =
证明: x, xA
xA x
(定义)
xA 0
(定义)
0
(命题逻辑零律)
A =
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排中律(证明)
A~A = E
证明: x, xA~A
xA x~A
(定义)
xA xA
(~定义)
xA xA
(定义)
1
(命题逻辑排中律)
AB. #
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分配律(证明)
A(BC)=(AB)(AC)
证明: x, xA(BC)
xA x(BC)
(定义)
xA (xB xC) (定义)
(xAxB)(xAxC) (命题逻辑分配律)
(xAB)(xAC)
(定义)
x(AB)(AC)
(定义)
A(BC)=(AB)(AC)
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特征函数与集合运算:
AB(x) = A(x)•B(x) ~A(x) = 1-A(x) A-B(x) = A~B(x)=A(x)•(1-B(x)) AB(x) = (A-B)B(x)
= A(x)+B(x)-A(x)•B(x) A B AB(x) = A(x)+B(x) (mod 2)

离散数学652考研题库

离散数学652考研题库一、集合论1. 定义集合的基本运算，包括并集、交集、差集、补集，并给出相应的例题。

2. 证明集合等式，如A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)。

3. 利用幂集的概念解决实际问题。

二、关系与函数1. 描述关系的三种基本性质：自反性、对称性和传递性。

2. 给出函数的定义，并区分一一映射与单射、满射与映射。

3. 利用关系矩阵和有向图表示关系。

三、图论1. 区分有向图和无向图，并解释它们的基本性质。

2. 描述树的概念，包括生成树和最小生成树。

3. 解决图的遍历问题，包括深度优先搜索和广度优先搜索。

四、命题逻辑1. 定义命题逻辑中的联结词，并给出真值表。

2. 证明命题逻辑中的等价关系和蕴含关系。

3. 应用德摩根定律简化逻辑表达式。

五、谓词逻辑1. 介绍量词的概念，包括全称量词和存在量词。

2. 构建谓词逻辑表达式，并解释其含义。

3. 应用谓词逻辑解决推理问题。

六、组合数学1. 掌握排列组合的基本概念和计算方法。

2. 利用二项式定理解决组合问题。

3. 探索组合设计，如拉丁方和区组设计。

七、数理逻辑与集合论1. 介绍一阶逻辑的语法和语义。

2. 解释哥德尔不完备性定理和图灵机的概念。

3. 探讨集合论的公理系统，如ZFC。

八、应用题1. 利用离散数学知识解决计算机科学中的算法问题。

2. 应用图论解决网络流问题。

3. 使用集合论和逻辑解决数据库查询问题。

结束语离散数学的学习和应用是一个不断深入和拓展的过程。

考研题库的建立旨在帮助学生系统地掌握离散数学的基本概念、原理和方法，提高解题能力和逻辑思维能力。

希望本题库能够成为你考研路上的得力助手。

请注意，以上内容仅为示例，实际的考研题库应包含更详细的题目、解答和解析。

离散数学

AB:蕴涵式AB是重言式的简记. AB:等价式AB是重言式的简记，称A与B等值，AB是等值式.
10
基本等值式
双重否定律 AA 幂等律 AAA, AAA 交换律 ABBA, ABBA 结合律 (AB)CA(BC) (AB)CA(BC) 分配律 A(BC)(AB)(AC) A(BC) (AB)(AC) 德· 摩根律 (AB)AB (AB)AB
11. 余补律
12. 双重否定律 13. 补交转换律
=E,
A=A
E=
A-B= AB
27
基本集合恒等式(续)
14. 关于对称差的恒等式 (1) 交换律 AB=BA (2) 结合律 (AB)C=A(BC) (3) 对的分配律 A(BC)=(AB)(AC) (4) A=A, AE= ~ A (5) AA=, A ~ A= E
18
空集与全集
空集: 不含任何元素的集合例如, {x | x2<0xR}= 定理1.1 空集是任何集合的子集证用归谬法. 假设不然, 则存在集合A, 使得 ⊈ A, 即存在x, x且xA, 矛盾. 推论空集是惟一的. 证假设存在1和2，则12 且21，因此1=2 全集E:限定所讨论的集合都是E的子集. 相对性
13
谓词与量词
个体域:被研究对象的全体, 如自然数集, 人类等. 个体词:个体域中的一个元素. 全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等. 存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等. 谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词
例如, 谓词P(x)表示x具有性质P x P(x) 表示个体域中所有的x具有性质P x P(x) 表示个体域中存在x具有性质P
7
p ¬ q的真值为 0
¬ p ¬ q的真值为 1

离散数学集合 PPT

(A×C)∪(A×D)∪(B×C)∪(B×D)
32
本章主要掌握集合的谓词表示法，和集合的基本运算，以及序偶的概念，集合的笛卡尔集，及相关定理。定理的证明相对简单，所以证明略。
对于数学归纳法，由于中学就已学过，所以这里就省略。
33
思考题：
1 AB与AB能同时成立吗？ 2 何为一个集合的幂集，含有n个元素的集合，其
有序偶:它不仅与含有的元素x，y有关，还与x，y出现的次序有关。
这样的偶集称为有序偶，并记为：<x,y>
例如，用<x，y>表示平面直角坐标系下的横坐标为x且纵坐标为y的点时，则<x，y>和<y，x>在xy时就代表不同的点，因而就不相同。
25
用集合定义有序偶
定义1 有序偶的集合定义：若x，y为任意两个元素，令 <x，y>={{x}，{x，y}}
6
例1 如果论域是整数集I，那么能被3整除的正整数集合S 用归纳法可定义如下：
（1）（基础）3S，（2）（归纳）如果xS和yS，则x+yS
7
集合的特殊情况
1、不含任何元素的集合称为空集，记为φ 2、含讨论问题所需全部元素的集合称为全集，记为∪ 3、称含有有限个元素的集合为有限集合 4、含有无限个元素的的集合称为无限集合或无限集 5、集合A中元素的个数（或基数或集合的势）记为:|A|
(A=B 当且仅当AB 且 BA） 3)集合的包含关系具有传递性:即
若A B且B C，则A C
9
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
10
子集的两种特殊情况（平凡子集）： 1）空集是任一集合的子集。 2）任何集合都是它自己的子集。

离散数学知识点整理（一）

离散数学知识点整理（⼀）离散数学数学语⾔与证明⽅法集合幂集运算交集并集相对补集绝对补集对称差集运算律交换律结合律分配律德摩根律恒等式证明⽅法直接证明归谬法分情况证明构造性证明数学归纳法命题逻辑命题简单命题p,q,r复合命题基本复合命题五种复杂复合命题真值真命题假命题命题符号化联结词否定联结词¬否定式合取联结词∧合取式析取联结词∨析取式相容或p∨q排斥或(¬p∧q)∨(p∧¬q)蕴含联结词蕴含式p->q真值p真q假，p->q为真其他全为真前件p后件q等价联结词等价式p<->q真值p,q真值相同，p<->q为真不同为假‘当且仅当’公式命题常项p,q,r为定值变项p,q,r为变量合式公式/命题公式A，B，C，D永真式重⾔式永假式⽭盾式可满⾜式赋值/解释成真赋值成假赋值等值演算A<->B，则A<=>B等价式为重⾔式常⽤等值公式蕴含等值式A→B⇔¬A∨B德摩根律 ¬(A∨B)⇔¬A∧¬B联结词集优先顺序扩展与⾮联结词p↑q⇔¬(p∧q)或⾮联结词p↓q⇔¬(p∨q)联结词完备集(1)S={¬,∧,∨}(2)S={↑}(3)S={↓}范式分类析取范式主析取范式极⼤项合取范式主合取范式极⼩项计算推理概念蕴含式为重⾔式⇒形式结构(A1∧A2∧...∧A k)⇒B前提结论证明推理规则前提引⼊结论引⼊置换规则等值置换A⇔B:A⇒B;B⇒A推理定律特殊证明⽅法附加前提证明法(A1∧A2∧...∧A k)⇒A→B(A1∧A2∧...∧A k∧A)⇒B归结证明法归结规则(L∨C1)∧(¬L∨C2)⇒C1∨C2基本思想归谬法证明步骤结论的否定引⼊前提把所有前提化成合取范式，并将简单析取式作为单个前提归结规则进⾏推理推出0则推理正确⼀阶逻辑表达个体与总体之间的内在联系与数量关系概念个体词个体常项a,b,c....个体变项个体域x,y,z....谓词谓词常项表⽰具体性质或关系⼦主题 2谓词变项表⽰抽象性质或关系F，G....0元谓词不带个体变项的谓词当谓词为谓词常项时为命题量词全称量词存在量词符号化不同个体域形式可能不同引⼊特性谓词公式分类原⼦公式合式公式/谓词公式闭式A中不含⾃由出现的个体变项概念x:指导变元A:辖域x在A中约束出现A中出现的除x所有其他个体变项都为⾃由出现解释/赋值定义封闭的公式在任何解释下都变成命题分类永真式/逻辑有效式A在任何解释和任何赋值下均为真永假式/⽭盾式A在任何解释和任何赋值下均为假可满⾜式⾄少存在⼀个解释和⼀个赋值使A为真代换实例重⾔式的代换实例都是重⾔式⽭盾式的代换实例都是⽭盾式等值演算命题逻辑的代换实例等值式消去量词等值式量词否定等值式量词辖域收缩与扩张等值式量词分配等值式规则置换规则换名规则前束范式存在但不唯⼀利⽤等值演算求前束范式Processing math: 100%。

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