与圆有关的证明及计算

专题跟踪突破10 与圆有关的证明及计算

1．(导学号：01262163)(2016·百色)如图，已知AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，OC 交⊙O 于点D ，BD 的延长线交AC 于点E.

(1)求证：∠1＝∠CAD ；

(2)若AE ＝EC ＝2，求⊙O 的半径．

(1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠ADO ＋∠BDO ＝90°，∵AC 为⊙O 的切线，∴OA ⊥AC ，∴∠OAD ＋∠CAD ＝90°，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∵∠1＝∠BDO ，∴∠1＝∠CAD

(2)解：∵∠1＝∠CAD ，∠C ＝∠C ，∴△CAD ∽△CDE ，∴CD ∶CA ＝CE ∶CD ，∴CD 2

＝CA ·CE ，∵AE ＝EC ＝2，∴AC ＝AE ＋EC ＝4，∴CD ＝22，设⊙O 的半径为x ，则OA ＝OD ＝x ，则Rt △

AOC 中，OA 2＋AC 2＝OC 2，∴x 2＋42＝(22＋x)2

，解得x ＝ 2.∴⊙O 的半径为 2

2．(导学号：01262164)(2016·东营)如图，在△ABC 中，以BC 为直径的圆交AC 于点D ，∠ABD ＝∠ACB.

(1)求证：AB 是圆的切线；

(2)若点E 是BC 上一点，已知BE ＝4，tan ∠AEB ＝5

3

，AB ∶BC ＝2∶3，求圆的直径．

(1)证明：∵BC 是直径，∴∠BDC ＝90°，∴∠ACB ＋∠DBC ＝90°，∵∠ABD ＝∠ACB ，∴∠ABD ＋∠DBC ＝90°∴∠ABC ＝90°∴AB ⊥BC ，∴AB 是圆的切线

(2)解：在Rt △AEB 中，tan ∠AEB ＝53，∴AB BE ＝53，即AB ＝53BE ＝203，在Rt △ABC 中，AB

BC ＝

23，∴BC ＝3

2

AB ＝10，∴圆的直径为10

3．(导学号：01262165)(2016·贺州)如图，在△ABC 中，E 是AC 边上的一点，且AE ＝AB ，∠BAC ＝2∠CBE ，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，交BE 于点F.

(1)求证：BC 是⊙O 的切线；

(2)若AB ＝8，BC ＝6，求DE 的长．

(1)证明：∵AE ＝AB ，∴△ABE 是等腰三角形，∴∠ABE ＝ 12(180°－∠BAC)＝90°－1

2∠

BAC ，∵∠BAC ＝2∠CBE ，∴∠CBE ＝12∠BAC ，∴∠ABC ＝∠ABE ＋∠CBE ＝(90°－12∠BAC)＋1

2∠

BAC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线

(2)解：连接BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠ABC ＝90°，∴∠ADB ＝∠ABC ，∵∠A ＝∠A ，∴△ABD ∽△ACB ，∴AD AB ＝AB

AC ，∵在Rt △ABC 中，AB ＝8，BC ＝6，∴AC ＝

AB 2＋BC 2

＝10，∴AD 8＝810，解得AD ＝6.4，∵AE ＝AB ＝8，∴DE ＝AE －AD ＝8－6.4＝1.6

4．(导学号：01262166)(2016·常德)如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，且BD ＝BC ，延长AD 到E ，且有∠EBD ＝∠CAB.

(1)求证：BE 是⊙O 的切线；

(2)若BC ＝3，AC ＝5，求圆的直径AD 及切线BE 的长．

(1)证明：连接OB ，∵BD ＝BC ，∴∠CAB ＝∠BAD,

∵∠EBD ＝∠CAB ，∴∠BAD ＝∠EBD ，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°，OA ＝OB ，∴∠BAD ＝∠ABO ，∴∠EBD ＝∠ABO ，∴∠OBE ＝∠EBD ＋∠OBD ＝∠ABO ＋∠OBD ＝∠ABD ＝90°，∵点B 在⊙O 上，∴BE 是⊙O 的切线

(2)解： 设圆的半径为R ，连接CD ，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°，∵BC ＝BD ，

∴OB ⊥CD ，∴OB ∥AC ，∵OA ＝OD ，∴OF ＝12AC ＝5

2，∵四边形ACBD 是圆内接四边形，∴

∠BDE ＝∠ACB ，∵∠DBE ＝∠CAB ，∴△DBE ∽△CAB ，∴

DB CA ＝DE CB ，∴35＝DE 3

，∴DE ＝3

5，∵∠OBE ＝∠OFD ＝90°，∴DF ∥BE ，∴OF OB ＝OD OE ，∴5

2R ＝R R ＋3

5，∵R ＞0，∴R ＝3，∴AB ＝AD 2－BD

2

＝33，∵AC AB ＝BD BE ，∴BE ＝311

5

5．(导学号：01262167)(2016·十堰)如图1，AB 为半圆O 的直径，D 为BA 的延长线上一点，DC 为半圆O 的切线，切点为C.

(1)求证：∠ACD ＝∠B ；

(2)如图2，∠BDC 的平分线分别交AC ，BC 于点E ，F ； ①求tan ∠CFE 的值；

②若AC ＝3，

BC ＝4

，求CE 的长．

(1)证明：如图1中，连接OC.∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠2，∵CD 是⊙O 切线，∴OC ⊥CD ，∴∠DCO ＝90°，∴∠3＋∠2＝90°，∵AB 是直径，∴∠1＋∠B ＝90°，∴∠3＝∠B ，即∠ACD ＝∠B

(2)解：①∵∠CEF ＝∠ECD ＋∠CDE ，∠CFE ＝∠B ＋∠FDB ，∵∠CDE ＝∠FDB ，∠ECD ＝∠B ，∴∠CEF ＝∠CFE ，∵∠ECF ＝90°，∴∠CEF ＝∠CFE ＝45°，∴tan ∠CFE ＝tan 45°＝1 ②在Rt △ABC 中，∵AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝AC 2

＋BC 2

＝5，∵∠CDA ＝∠BDC ，∠DCA ＝

∠B ，∴△DCA ∽△DBC ，∴DC DB ＝CA BC ＝DA DC ＝3

4，∵∠CDE ＝∠BDF ，∠DCE ＝∠B ，∴△DCE ∽△DBF ，

∴EC FB ＝DC DB ＝34，设EC ＝CF ＝x ，∴x 4－x ＝34，∴x ＝127，∴CE ＝127

6．(导学号：01262168)(2016·娄底)如图所示，在Rt △ABC 与Rt △OCD 中，∠ACB ＝∠DCO ＝90°，O 为AB 的中点．

(1)求证：∠B ＝∠ACD ；

(2)已知点E 在AB 上，且BC 2

＝AB ·BE ；

①若tan ∠ACD ＝3

4

，BC ＝10，求CE 的长；

②试判定CD 与以A 为圆心、AE 为半径的⊙A 的位置关系，并请说明理由．