西安电子科技大学数值分析往年题1
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,,}n e 是Hilbert ,}n e ，则对于 .
1x xe =-，则求f ．
21012A a ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥，当cholesky 分解LL ()'⎰
b
a
f x ()'⎰
b
a
f x 问它们是否构成内积？说明理由分）设()f x C ∈使得求积公式 2
(2)Cf +⎰
答 案
一． 填空题
1、① 5 ② 5 ③6.6
2、④ 1
3、⑥
1
(,)n
i
i
i x e e =∑
4、⑦11k
x k k k k
x e x x x -+-=-+
5
、⑧||a 或
a <<或
(a ∈ 6、⑨ 0
7、⑩ 02ω<<
二． 答：1.不构成内积，举反例说明.
2.按定义(,)f g 构成内积
验证：（1）正定性 22(,)()()0b
a
f f f x dx f a '=
+≥⎰
而()0()(,)0()0()0
f x f x c
f f f x f a '=⇒=⎧=⇔⇒=⎨
=⎩ （2）共轭对称性 由于(,)()()()()b
a
f g f x g x dx f a g a ''=+⎰
而(,)()()()()b a
g f g x f x dx g a f a ''=
+⎰
()()()()b
a
g x f x dx g a f a ''=+⎰()()()()b a
f x
g x dx f a g a ''=+⎰
所以 (,)(,)f g g f =.
（3）第一变元线性性
()()121
212(,)()()b
a
f f
g f
f g dx f f a g a αβαβαβ''+=
+++⎰
()1
2
1
2
()()()()b
a
f g f g dx f a g a f a g a αβαβ''''=
+++⎰
12(,)(,)f g f g αβ=+
综上，按定义(,)f g 构成内积.
三． 解：设求积公式至少满足二次代数精度，则有方程组
20
2202
32220;012;012;
x dx A B C x dx A B C x dx A B C ⎧=++⎪⎪=⨯+⨯+⨯⎨⎪⎪=⨯+⨯+⨯⎩⎰⎰⎰求此方程组得 04323A B C ⎧
⎪=⎪
⎪
=⎨⎪⎪=⎪⎩
则求积公式为
2
42
()(1)(2);33
xf x dx f f ≈
+⎰
当3
()f x x =时，5220
53
≠，所以该求积公式是二次代数精度的。
四．解：5,0.1,m h ==求积节点为10.1(0,1,...,10)k x k k =+=，故用Simpson 公式计算
积分，得
21211
54
2
1/1/2
1
11
0.1(42) 2.0200773i i x x x i i e dx e e e e -==≈+++≈∑∑⎰
，
截断误差估计44(4)
1221(0.1)|R |(0.1)max |()|198.430.00011180180
s x f x ≤≤-≤
=⨯= 五．解：插值多项式为
22(0)(1)(1)(1)(1)(0)()0.512
(10)(11)(01)(01)(11)(10)0.250.751
x x x x x x p x x x --+-+-=
++----+-+-=++
0.322(0.3) 1.2475p ∴≈=
又3
0.3
()2(ln 2)2x
f x '''=，3
11
max |()|2(ln 2)0.6660,x f x -≤≤'''==
所以0.3
20.6660
|2(0.3)||(0.31)(0.30)(0.31)|0.030303!
p -≤
+--=
六．解：设二次多项式函数
2012()s x a a x a x =++。
记201
2=1,x x ϕϕϕ==，，并取权1(1~5)i i ω==，计算得
5
5
5
20010201
1
4
5
5
5
20111211115
5
5
22220212221
1
1
(,)115,
(,)15,
(,)17.5,
(,)15,
(,)7.5,
(,)12.5,
(,)17.5,(,)12.5,(,)2==========⨯==⨯==⨯==⨯==⨯==⨯==⨯==⨯==⨯=∑∑∑∑∑∑∑∑∑i i i i i i i i i i i i i i
i i
i
i
i i i x x x x x x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ555
20121
1
1
2.125,
(,)1 2.5,(,) 2.49,(,) 4.6075,
====⨯==⨯==⨯=∑∑∑i i i i i i i i f y f y x f y x ϕϕϕ
法方程组为
0125 5 7.5 2.55 7.5 12.5 2.49.7.5 12.5 22.125 4.6075⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦a a a 解得0
121.0054, 2.0097, 1.0029.==-=a a a 故二次拟合多项式为
2() 1.0054 2.0097 1.0029=-+s x x x
均方误差
2
δ
=
≈
七．解：（1）答：A 可以分解为T
A LDL =
由于A 是三对角占优矩阵，因此A 可唯一分解为
12
233441111111u c u A LU c u c u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
又验证知A 是对称正定矩阵，所以A 可唯一分解为
11
2
223
3
34
411111111T d c c d c
A LDL c d c c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣
⎦⎣
⎦ （2） 直接分解得T
A LDL =，其中
12151
22,218
1555
8511818L D ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，解为21.30⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦x