12--第十二章概率与统计

第十二章概率与统计 1． （2006 年福建卷）一个均匀小正方体的 6 个面中，三个面上标以数 0，两个面上标以数 1， 一个面上标 以数 2。 将这个小正方体抛掷 2 次， 则向上的数之积的数学期望是＿＿
4 ＿＿。 9
2． ( 2006 年重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区 100 名年龄 为 17.5 岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：

P
63 162 ； ； 125 625
3 4 … …
k
… …
27 125
162 625
2 3 Ck21 ( ) k 3 ( )3 5 5
10． （2006 年全国卷 II）某批产品成箱包装，每箱 5 件．一用户在购进该批产品前先取出 3 箱，再从每箱中任意抽取 2 件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有 0 件、1 件、 2 件二等品，其余为一等品． （Ⅰ）用ξ 表示抽检的 6 件产品中二等品的件数，求ξ 的分布列及ξ 的数学期望； （Ⅱ）若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这 批产品级用户拒绝的概率． 10．解： （Ⅰ）ξ 可能的取值为 0，1，2，3． 2 2 C4 C3 18 9 P(ξ ＝0)＝ 2· 2＝ ＝ C C 100 50 P(ξ P(ξ P(ξ
5 5 1 2 2 1 1 C4 C3 C4 C3· C2 12 ＝1)＝ 2· 2＋ 2· 2 ＝ 25 C5 C5 C5 C5 1 1 1 2 2 C4 C3· C2 C4 C2 15 ＝2)＝ 2· 2 ＋ 2· 2＝ C5 C5 C5 C5 50 1 2 C4 C2 1 ＝3)＝ 2· 2＝ ． C5 C5 25
1.18 万元、1.17 万元的概率分别为 的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为 ,对乙项目每投资十万元, 取 0、1、2 时, 一年后相应利润是 1.3 万元、1.25 万元、0.2 万元.随机变量 1 、 2 分别表示对甲、乙两 项目各投资十万元一年后的利润. (I) 求 1 、 2 的概率分布和数学期望 E1 、 E 2 ; (II) 当 E1 E2 时,求 p 的取值范围. 【解析】 (I)解法 1:
1 的概率分布为
1.18 1.17
1
P
1.2
1 6
1 2
1 3
1 1 1 +1.18 +1.17 =1.18. 6 2 3 由题设得 ~ B(2, p) ,则 的概率分布为
E 1 =1.2

P
0
1
2
2
(1 p)
1.3
2 p(1 p)
1.25
p2
0.2
故 2 的概率分布为
1 10, 则 x y 20 ；又由于方差 5 1 2 2 2 2 2 为 2，则 x 10 y 10 10 10 11 10 9 10 2 得 5
解： 由平均数公式为 10，得 x y 10 11 9 所以有 x y x2 y 2 208 2xy=192 ，
E 1 =1.2
1 1 1 +1.18 +1.17 =1.18. 6 2 3
2
设 Ai 表示事件”第 i 次调整,价格下降”(i=1,2),则 P( =0)= P( A 1 ) P( A 2 ) (1 p) ; P( =1)= P( A 1 ) P( A 2 ) P( A 1 ) P( A 2 ) 2 p(1 p) ;
根据上图可得这 100 名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是 ( C) (A)20 (B) 30 (C)40 （D）50 3． （2006 年全国卷 II）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人，并根据所 得数据画了样本的频率分布直方图（如下图） ．为了分析居民的收入与年龄、学历、职 业等方面的关系，要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则 在［2500，3000） （元）月收入段应抽出 25 人． 频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 4． （2006 年四川卷）设离散性随机变量 可能取的值为 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 月收入(元)
2 P( =2)= P( A 1 ) P( A 2) p
故 2 的概率分布为

1.3
1.25
0.2
P
(1 p)2

2 p(1 p)
p2
所以 2 的数学期望为 E 2 = 1.3 (1 p)2 + 1.25 2 p(1 p) + 0.2 p2 = p 2 0.1 p 1.3 . (II) 由 E1 E2 ,得:
………………8 分
ξ 的分布列为 0 1 ξ
2
3
9 12 15 50 25 50 数学期望为 Eξ ＝1.2． (Ⅱ)所求的概率为 P
1 25
15 1 17 p＝P(ξ ≥2)＝P(ξ ＝2)＋P(ξ ＝3)＝ ＋ ＝ 50 25 50
……………12 分
11． （2006 年安徽卷）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同 的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分 别为 0，1，2，3，4，5 的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取 两种不同的添加剂进行搭配试验。用 表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。 （Ⅰ）写出 的分布列； （以列表的形式给出结论，不必写计算过程） （Ⅱ）求 的数学期望 E 。 （要求写出计算过程或说明道理） 解： （Ⅰ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1,2,3,4, P k ak b k 1,2,3,4 ，又 的数学期望 E 3 ，则 a b __
1 _____; 10
5． （2006 年江苏卷）某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x，y，10，11， 9.已知这组数据的平均数为 10，方差为 2，则｜x－y｜的值为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
分布列为 0 P 729
10
20
50
60
1000
(2)E＝33
243 1000
18 1000
9 1000
1 1000
7． （2006 年辽宁卷）现有甲、乙两个项目， 对甲项目每投资十万元， 一年后利润是 1.2 万元、
1 1 1 、 、 ;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关, 6 2 3 在每次调整中价格下降的概率都是 p(0 p 1) ,设乙项目产品价格在一年内进行 2 次独立
x y
2
故选 （D） x 2 y 2 2 xy 4 ，
点评：本题主要考查平均数与方差的定义等统计方面的基础知识 6． （2006 年江西卷）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有 9 个白球，1 个红球的 箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金 10 元；摸 出 2 个红球可获得奖金 50 元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令 表示甲，乙摸球后获得的奖金总额。求： （1）的分布列 （2）的的数学期望 6．解： （1）的所有可能的取值为 0，10，20，50，60
1 2 3 1 2 3
1 2 1 3 5 2
∴3 人都没有投进的概率为
1 . 5
2 (Ⅱ)解法一: 随机变量ξ 的可能值有 0,1,2,3), ξ ~ B(3, ), 5 2 3 2 6 － P(ξ =k)=C3k( )k( )3 k (k=0,1,2,3) , Eξ =np = 3× = . 5 5 5 5 解法二: ξ 的概率分布为: ξ P 0 27 125 1 54 125 2 36 125 3 8 125
P 0.04 0.21 0.39 0.36 (Ⅲ) 的数学希望为 E 7 0.04 8 0.21 9 0.39 10 0.36 9.07
13． （2006 年陕西卷）甲、乙、丙 3 人投篮，投进的概率分别是 , , . （I）现 3 人各投篮 1 次，求 3 人都没有投进的概率； （II）用 表示投篮 3 次的进球数，求随机变量 的概率分布及数学期望 E . 13.解: (Ⅰ)记"甲投篮 1 次投进"为事件 A1 , "乙投篮 1 次投进"为事件 A2 , "丙投篮 1 次投进" 1 2 1 为事件 A3, "3 人都没有投进"为事件 A . 则 P(A1)= , P(A2)= , P(A3)= , 3 5 2 －A －A －)=P(A －)·P(A － )·P(A －) ∴ P(A) = P(A 1 2 1 1 = [1－P(A1)] ·[1－P (A2)] ·[1－P (A3)]=(1－ )(1－ )(1－ )= 3 5 2 5
p2 0.1p 1.3 1.18 ( p 0.4)( p 0.3) 0 0.4 p 0.3 因 0<p<1,所以 E1 E2 时,p 的取值范围是 0<p<0.3.
【点评】本小题考查二项分布、分布列、数学期望、方差等基础知识,考查同学们运用概率 知识解决实际问题的能力. 8． (2006 年山东卷）袋中装着标有数学 1，2，3，4，5 的小球各 2 个，从袋中任取 3 个小 球，按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用 表示取出的 3 个小球上的最大数字，求： （1）取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量 的概率分布和数学期望； (3)计分介于 20 分到 40 分之间的概率. 8． （I） P( A)