4.3向量平行的坐标表示(说课稿)
湖南师范大学附属中学高一数学教案：向量平行的坐标表示
教材：向量平行的坐标表示目的：复习巩固平面向量坐标的概念，掌握平行向量充要条件的坐标表示，并且能用它解决向量平行（共线）的有关问题。
过程：一、复习：1．向量的坐标表示 (强调基底不共线，《教学与测试》P145例三)2．平面向量的坐标运算法则练习： 1．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 21=MP MN , 求P 点的坐标； 解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=21(-8, 1)=(-4, 21) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-21243y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=231y x ∴P 点坐标为(-1, -23) 2．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则AB 2BC =(-3,-3)3．已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求证：四边形ABCD 是梯形。
解：∵AB =(-2, 3) DC =(-4, 6) ∴AB =2DC∴AB ∥DC 且 |AB ||DC | ∴四边形ABCD 是梯形二、1．提出问题：共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得b ρ=λa ρ，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？2．推导：设a ρ=(x 1, y 1) b ρ=(x 2, y 2) 其中b ρa ρ由a ρ=λb ρ (x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ：x 1y 2-x 2y 1=0结论：a ρ∥b ρ (bρ0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0 注意：1消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0， ∵bρ0 ∴x 2, y 2中至少有一个不为02充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1, x 2有可能为03从而向量共线的充要条件有两种形式：a ρ∥b ρ (b ρ0)01221=-=⇔y x y x b a λ 三、应用举例例一（P111例四） 例二（P111例五）例三 若向量a ρ=(-1,x)与b ρ=(-x, 2)共线且方向相同，求x解：∵a ρ=(-1,x)与b ρ=(-x, 2) 共线 ∴(-1)×2- x •(-x )=0∴x=±2 ∵a ρ与b ρ方向相同 ∴x=2例四 已知A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量AB 与CD 平行吗？直线AB与平行于直线CD 吗？解：∵AB =(1-(-1), 3-(-1))=( 2, 4) CD =(2-1,7-5)=(1,2) 又：∵2×2-4-1=0 ∴AB ∥CD又：AC =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) AB =(2, 4)2×4-2×60 ∴AC 与AB 不平行∴A ，B ，C 不共线 ∴AB 与CD 不重合 ∴AB ∥CD四、练习：1．已知点A(0,1) B(1,0) C(1,2) D(2,1) 求证：AB ∥CD2．证明下列各组点共线：1 A(1,2) B(-3,4) C(2,3.5)2 P(-1,2) Q(0.5,0) R(5,-6)3．已知向量a ρ=(-1,3) b ρ=(x,-1)且a ρ∥b ρ 求x五、小结：向量平行的充要条件（坐标表示）六、作业：P112 练习 4 习题5.4 7、8、9《教学与测试》P146 4、5、6、7、8及思考题。
苏教版向量平行的坐标表示教案
第2课时向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0；反过来，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b.思考：当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？[提示]坐标不为0时成正比例．1．下列各组向量中，共线的是()A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)D[∵在D中，b＝(6，－4)，a＝(－3,2)，∴b＝－2(－3,2)＝－2a，∴a与b共线．]2．若a＝(2,3)，b＝(x,6)，且a∥b，则x＝________.4 [∵a ∥b ，∴2×6－3x ＝0， 即x ＝4.]3．已知四点A (－2，－3)，B (2,1)，C (1,4)，D (－7，－4)，则AB →与CD →的关系是________．(填“共线”或“不共线”)共线 [AB →＝(2,1)－(－2，－3)＝(4,4)， CD →＝(－7，－4)－(1,4)＝(－8，－8)， 因为4×(－8)－4×(－8)＝0， 所以AB →∥CD →， 即AB →与CD →共线．]向量平行的判定【例1】 已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)，判断AB →与CD →是否平行？如果平行，它们的方向相同还是相反？思路点拨：根据已知条件求出AB →和CD →，然后利用两向量平行的条件判断． [解] ∵A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)， ∴AB →＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)， CD →＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4＜0， ∴AB →与CD →平行且方向相反．此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断. 提醒：利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.1．已知A ，B ，C 三点坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB → .[证明] 设点E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 依题意有，AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)． ∵AE →＝13AC →，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)， ∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，同理点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又83×(－1)－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0，∴EF →∥AB →.利用向量共线求参数的值【例2】 已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？思路点拨：充分利用向量共线的条件解题．[解] 法一：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )． 即(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13. 当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行， 这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )， 因为λ＝－13<0，所以k a ＋b 与a －3b 反向． 法二：由题知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)． 因为k a ＋b 与a －3b 平行， 所以(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0， 解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．1．对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路：一是利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．2．利用x 1y 2－x 2y 1＝0求解向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．2．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，求实数x 的值． [解] 因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，由a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2. 共线向量与定比分点公式[探究问题]1．若点P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，且P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，试用P 1，P 2的坐标表示点P 的坐标．提示：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，因为P 1P →＝12P 1P 2→， 所以(x －x 1，y －y 1)＝12(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.2．若P 1P →＝λPP 2→，则点P 的坐标如何表示？提示：P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ，推导方法类同于探究问题1. 已知两点A (3，－4)，B (－9,2)在直线AB 上，求一点P 使|AP →|＝13|AB →|. 思路点拨：分“AP →＝±13AB →”两类分别求点P 的坐标． [解] 设点P 的坐标为(x ，y )， ①若点P 在线段AB 上，则AP →＝12PB →， ∴(x －3，y ＋4)＝12(－9－x ,2－y )， 解得x ＝－1，y ＝－2，∴P (－1，－2)．②若点P 在线段BA 的延长线上，则AP →＝－14PB →，∴(x－3，y＋4)＝－14(－9－x2－y)，解得x＝7，y＝－6，∴P(7，－6)．综上可得点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．1．向量具有大小和方向两个要素，因此共线向量模间的关系可以等价转化为向量间的等量关系，但要注意方向性．2．本例也可以直接套用定比分点公式求解． 提醒：注意方程思想的应用．教师独具1．本节课的重点是平面向量共线的坐标表示． 2．要正确理解向量平行的条件(1)a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb .这是几何运算，体现了向量a 与b 的长度及方向之间的关系．(2)a ∥b ⇔a 1b 2－a 2b 1＝0，其中a ＝(a 1，b 1)，b ＝(a 2，b 2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化代数运算．(3)a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2，其中a ＝(a 1，b 1)，b ＝(a 2，b 2)且b 1≠0，b 2≠0.即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．1．下列说法不正确的是( )A ．存在向量a 与任何向量都是平行向量B ．如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1＝x 2y 2C ．如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 2－x 2y 1＝0D ．如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1＝x 2y 2，则a ∥bB [A 当a 是零向量时，零向量与任何向量都是平行向量；B 不正确，当y 1＝0或y 2＝0时，显然不能用x 1y 1＝x 2y 2来表示；C 、D 正确．]2．已知a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，若a ∥b ，则y ＝________. －4 [∵a ∥b ，∴－12＝2y ，∴y ＝－4.]3．若P 1(1,2)，P (3,2)，且P 1P →＝2PP 2→，则P 2的坐标为________．(4,2) [设P 2(x ，y )，则P 1P →＝(2,0)， PP 2→＝(x －3，y －2)，2PP 2→＝(2x －6,2y －4)． 由P 1P →＝2PP 2→可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6＝2，2y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2.]4．给定两个向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若a ＋2b 与2a －2b 共线，求λ的值． [解] ∵a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)， 2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)， 又a ＋2b 与2a －2b 共线， ∴2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0， ∴λ＝12.。
高一数学教案：《向量平行的坐标表示》人教A版必修
教学目标：1.知识与技能：1．掌握两向量平行时坐标表示的充要条件；2．能利用两向量平行的坐标表示解决有关综合问题。
2.过程与方法：通过学生自主探究体会平面向量共线的条件，体会数形结合的思想。
3.情感态度与价值观：培养学生数学化处理问题的思想方法。
教学重点：平面向量共线的条件简单应用教学难点：平面向量共线的条件的证明教学过程：一、激趣导学：我们知道，对于两个非零向量()b a a ρρρρ,0≠，如果有一个实数λ，使a b ρρλ=，那么是共线向量与a b ρρ。
问题1 能否向量形式坐标化？即利用坐标关系来刻画向量共线？问题2 向量a=（1，4），b=（-2，8）是否平行？问题3 设a ρ=（x 1，y 1），b ρ =（x 2，y 2），x 1，y 1不同时为零，如果a ρ∥b ρ，那么相应向量的坐标有什么关系？如果x 1y 2-x 2y 1=0，那么向量b a ρρ,有什么关系？二、重点讲析：1．向量平行的坐标表示： 设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，（0b ≠r r ），且//a b r r ，则(,0)a b R b λλ=∈≠r r r r ，∴112222(,)(,)(,)x y x y x y λλλ==.∴1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩，∴12210x y x y -=. 2.向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式：①//a b r r (0)b ≠⇔r r (,0)a b R b λλ=∈≠r r r r ；②//a b r r (0)b ≠r r 且设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =⇔r 12210x y x y -=（1212,,,x x y y R ∈）三、典题拓展： 例1．已知(4,2)a =r ，(6,)b y =r ，且//a b r r ，求y ．例2．已知(1,1)A --，(1,3)B ，(2,5)C ，求证A 、B 、C 三点共线．例3．已知(1,0)a =r ，(2,1)b =r ， 当实数k 为何值时，向量ka b -r r 与3a b +r r 平行？并确定此时它们时同向还是反向？例4．已知点O ，A ，B ，C 的坐标分别为（0，0）、（3，4）、（-1，2）、（1，1），是否存在常数t ，使得OC OB t OA =+成立，解释你所得结论的几何意义。
2018-2019学年高二数学北师大版必修4教案：2.4.3 向量平行的坐标表示
文二学生已经学习了有关向量平行的基本概念和基础知识，同时也已经具备一定的自学能力。但在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，对于坐标表示下的平行不善于转化。
艺术学生已经学习了有关向量平行的基本概念和基础知识，同时也已经具备一定的自学能力。但在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，对于坐标表示下的平行不善于转化。
三维目标
知识与能力
复习巩固平面向量坐标的概念，并且能用它解决向量平行关问题。
过程与方法
能利用两向量平行的的坐标表示解决有关社会问题。
情感态度与价值观
通过向量平行的坐标表示，体会数学中一题多解的思路.
教学重难点
教学重点平行向量充要条件的坐标表示，解决向量平行（共线）的有关问题
教学难点充要条件的推导，共线条件的判断
当堂检测
有效练习
1．已知平面向量 ， ，且 ∥ ，则 的坐标为．
2.已知点A(0,1) B(1,0) C(1,2) D(2,1)求证：AB∥CD
作业布置
作业：P64练习8-6
《同步训练》P38、39
板书设计
4.3向量平行的坐标表示
1.向量平行的定义；例2、变式一、变式二
2.向量平行的表示
3.向量平行的坐标表示课堂练习
同时，在对课堂上学生回答问题的评价时，我们还是要多注意鼓励性评价，不要一味的说好，很好，要评价的具体得当，让学生理解到什么该改正，什么要保持。
备注
五、高考链接
⑴（08全国2）设向量 ,若向量 ，与向量 共线，求 值．⑵（10陕西11）已知向量 ， ， ，若( )∥ ，则m= .
五、小结：
1.向量平行的充要条件（坐标表示）
2．利用向量共线求未知数
2.4.3向量平行的坐标表示 课件高中数学必修4(北师大版)
答 ∵a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0.
∴x2，y2 不全为 0，不妨假设 x2≠0. ∵a∥b，∴存在实数 λ，使 a＝λb，
2.4.3
即(x1，y1)＝λ(x2，y2)＝(λx2，λy2)，
x ＝λx ， 1 2 ∴ y1＝λy2，
本 课 时 栏 目 开 关
x1 ∵x2≠0.∴λ＝ . x2
的中点 P 的坐标.
本 课 时 栏 目 开 关
答 如图所示，P 为 P1P2 的中点，
2.4.3
→ → ∴P P＝PP ，
1 2
∴ OP －OP1＝OP2－ OP ，
1 → → → ∴ OP ＝ (OP ＋ OP ) 2
1 2
→ → → →
本 课 时 栏 目 开 关
x ＋x 2 y1＋y2 1 ＝ ， 2 . 2
1 2
本 课 时 栏 目 开 关
时， P 为线段 P1P2 的中点； 当 λ∈ (－∞，－1) 时，P 位于线段 P1P2 的延长线上； 当 λ∈(－1,0) 时， P 位于线段 P P 的反向延长线上.
1 2
2.4.3
探究点一
平面向量共线的坐标表示
本 课 时 栏 目 开 关
a 与非零向量 b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数 λ 使得 a＝λb.那么这个共线向量定理如何用坐标来表示？ 问题 1 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，如果 a∥b， 那么 x1y2－x2y1＝0，请你写出证明过程.
x1 x1y2 将 λ＝ 代入 y1＝λy2 得 y1＝ ，即 x1y2－x2y1＝0. x2 x2
2.4.3
问题 2 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，如果 x1y2－ x2y1＝0，那么 a∥b.请你写出证明过程.
高一数学北师大版必修4课件2.4.3 向量平行的坐标表示
=- (10,-4)=- (a-3b),
∴ 当 k=- 时,ka+b 与 a-3b 平行,并且反向.
探究一
探究二
探究三
探究四
解法二:由解法一知 ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4). 当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一的实数 λ, 使 ka+b=λ(a-3b).由(k-3,2k+2)=λ(10,-4), ∴ ������-3 = 10������, 1 1 解得 k=- ,λ=- . 3 3 2������ + 2 = -4������, 当 k=- 时,ka+b 与 a-3b 平行, 这时 ka+b=- a+b. ∵ λ=- <0,∴ - a+b 与 a-3b 反向.
探究一
探究二
探究三
探究四
解法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).∵ (ka+b)∥(a-3b), ∴ (k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,解得 k=- . 此时 ka+b= - -3,- + 2 = 1 3 1 3 2 3 10 4 , 3 3 1 3 1 3 1 3
3 2
=4+4=8≠0,
所以 a 与 b 不平行.
探究一
探究二
探究三
探究四
点评满足 x1y2-x2y1=0 或������1 = ������2 或 a=λb 都可判断 a∥b.
1 2
������
������
探究一
Hale Waihona Puke 探究二探究三探究四
高一数学必修课件向量平行的坐标表示
坐标表示法优势
坐标表示法使得向量的运算更加直观和简便，可以通过简单的代数运算实现向量的 加、减、数乘和点积等运算。
坐标表示法便于将向量与解析几何中的点、直线等概念联系起来，从而建立起一套 完整的解析几何体系。
坐标表示法为向量的进一步应用，如向量的投影、向量的夹角等提供了方便的计算 工具。
03
平行向量坐标运算技巧
特殊情况
当 $k > 0$ 时，两向量同向；当 $k < 0$ 时，两向量反向。
拓展延伸内容
三维空间中的向量平行
在三维空间中，对于向量 $vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，若 $vec{a} parallel vec{b}$，则同样存在实数 $k$ 使得 $a_1 = kb_1, a_2 = kb_2, a_3 = kb_3$。
解题思路和方法，有助于提高解题速度和准确性。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结
向量平行定义
若两向量方向相同或相反，则称 这两向量平行。
坐标表示
对于向量 $vec{a} = (a_1, a_2)$ 和 $vec{b} = (b_1, b_2)$，若 $vec{a} parallel vec{b}$，则存在 实数 $k$ 使得 $a_1 = kb_1, a_2 = kb_2$。
对于起点在原点的向量，其坐标 即为终点坐标减去起点坐标。
向量运算规则
01
02
03
向量的加法运算
两个向量相加，等于将它 们的对应坐标相加得到一 个新的向量。
向量的数乘运算
一个向量与一个实数相乘 ，等于将该向量的每个坐 标乘以这个实数得到一个 新的向量。
高中数学北师大版必修4第二章《4.3向量平行的坐标表示》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
高中数学北师大版必修4第二章《4.3向量平行的坐标表示》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
(1)知识教学目标:
理解向量的坐标表示法与平面向量和一对有序实数的一一对应关系;
能准确表述平面向量的坐标运算的规律;
并掌握用平面向量的坐标运算解决平面几何问题的方法。
(2)能力训练目标:
培养学生观察、分析、比较、归纳的能力及创新能力;
培养学生运用数形结合的方法去分析和解决问题的能力。
(3)德育渗透目标:
通过学习平面向量的坐标运算,实现几何与代数的完全结合,让学生明白:知识与知识之间,
事物与事物之间的相互联系和相互转化;
通过讨论探究及加强练习的学习,培养学生的辩证思维能力,养成勤于动脑,明辨是非的学习作风。
2学情分析
本节的授课内容为高三数学总复习《平面向量的基本定理及坐标表示》的第二课时,总复习辅助教材为《与名师对话》第五章第二节,内容来自北京师范大学版教科书《数学》(必修) 4第二章第四节。
平面向量的坐标将平面向量和一对有序实数建立了一一对应关系;平面向量的坐标运算,则使向量的运算完全数量化,将数与形紧密地结合起来,为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。
这样,用向量的方法解决几何问题更加方便,从而极大地提高了学生利用向量知识解决实际问题的能力。
同时,这节课的教学内容和教学过程对进一步培养学生观察、分析和归纳问题的能力具有重要意义。
结合教参和本班学生的学习能力,将《平面向量的基本定理及坐标表示》安排了3课时。
本节为第二课时。
2019_2020学年高中数学第2章 4.3向量平行的坐标表示学案北师大版必修4
4.1 平面向量的坐标表示 4.2 平面向量线性运算的坐标表示4.3 向量平行的坐标表示1．平面向量的坐标表示如图所示，在平面直角坐标系xOy中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j 作为基底，对于平面上的向量a ，由平面向量基本定理可知有且只有一对有序实数(x ，y )，使得a ＝x i ＋y j .我们把有序实数对(x ，y )称为向量a 的(直角)坐标，记作a ＝(x ，y )．思考1：相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗？[提示] 由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同．2．平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示 (1)平面向量的坐标运算①已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么： (ⅰ)a ＋b ＝(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)； (ⅱ)a －b ＝(x 1，y 1)－(x 2，y 2)＝(x 1－x 2，y 1－y 2)； (ⅲ)λa ＝λ(x 1，y 1)＝(λx 1，λy 1)．②已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，O (0,0)，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．(2)向量平行的坐标表示①设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a∥b ，则x 1y 2－x 2y 1＝0. 若y 1≠0且y 2≠0，则上式可变形为x 1y 1＝x 2y 2. ②文字语言描述向量平行的坐标表示(ⅰ)定理 若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例． (ⅱ)定理 若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．思考2：如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？ [提示] 能．将b 写成λa 的形式，当λ>0时，b 与a 同向，当λ<0时，b 与a 反向．1．若A (2，－1)，B (－1,3)，则AB →的坐标是( ) A ．(1,2) B ．(－1，－2) C ．(－3,4) D ．(3，－4)[答案] C2．若向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，则a －b 的坐标为( ) A ．(1,5) B ．(1,1) C ．(3,1) D ．(3,5)[答案] C3．已知向量a ＝(2，－3)，b ＝(3，λ)，且a ∥b ，则λ＝________. [答案] －924．已知A (1,2)，B (4,5)，若AP →＝2PB →，则点P 的坐标为________．(3,4) [设P (x ，y )，则AP →＝(x －1，y －2)，PB →＝(4－x,5－y )，又AP →＝2PB →， 所以(x －1，y －2)＝2(4－x,5－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2(4－x )，y －2＝2(5－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，所以点P 的坐标为(3,4)．]【例1】 轴上，C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标．[解] 如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0,0)，B (2,0)，C (2cos 60°，2sin 60°)，∴C (1，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3)，BC →＝(1－2，3－0)＝(－1，3)． BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2，32－0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.1．向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．1．若已知A (1,2)，B (0，－1)，C (3，k )． (1)求AB →；(2)若已知12AB →－BC →＝(m ，－2)，试求k ，m .[解] (1)∵A (1,2)，B (0，－1)， ∴AB →＝(－1，－3)．(2)∵12AB →－BC →＝12(－1，－3)－(3，k ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－52－k .由已知⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－52－k ＝(m ，－2)，∴m ＝－72，k ＝－12.【例2】 平行？平行时它们是同向还是反向？[解] 法一：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)．∴⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13.当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．法二：由法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行， ∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )，∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．向量平行的坐标表达式与向量共线定理是对一个问题从数和形两个角度的描述，是有机结合的一个整体，学习时注意对照体会，选择应用.2．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．[解] (1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)． ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， 即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →＝λBC →，λ∈R ，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.[探究问题1．平面向量的坐标与哪些因素有关？[提示] 平面向量的坐标与该向量的始点、终点的坐标都有关，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等．2．向量的坐标与点的坐标有何区别？[提示] 符号(x ，y )在平面直角坐标系中具有了双重意义，它可以表示一个点，又可以表示一个向量，为加以区分，常说点P (x ，y )或者向量a ＝(x ，y )，注意前者没有等号，后者有等号．3．向量共线的条件如何应用？[提示] 遇到与共线有关的问题时，我们要根据需要，合理地选择向量共线的条件来进行问题的转化，如果遇上了坐标表示，一般选用x 1y 2－x 2y 1＝0，而不选用x 1＝λx 2，y 1＝λy 2与x 1x 2＝y 1y 2(因为后者有b ≠0，需要讨论)．【例3】 已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)．若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，试求λ为何值时．(1)点P 在第一、三象限角平分线上； (2)点P 在第三象限内．[思路探究] 先求AP →，AB →，AC →坐标后利用条件表示P 点坐标，再根据问题求解． [解] 设点P 的坐标为(x ，y )， 则AP →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)， AB →＝(5,4)－(2,3)＝(3,1)， AC →＝(7,10)－(2,3)＝(5,7)．∴AB →＋λAC →＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∵AP →＝AB →＋λAC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ.(1)若P 在第一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ， ∴λ＝12.(2)若P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，∴λ<－1.1．将例3中的条件变为“O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →”，试求当t 为何值时，P 在x 轴上、P 在y 轴上、P 在第三象限？[解] 由OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )，则P (1＋3t,2＋3t )． 若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23；若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13；若P 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t <0，所以t <－23.2．将例3的条件变为母题探究1的条件，试求四边形OABP 是否能成为平行四边形？若能，则求出t 的值；若不能，说明理由．[解] 因为OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )，若OABP 是平行四边形，则OA →＝PB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，此方程组无解．故四边形OABP 不可能是平行四边形．向量坐标运算的方法：(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.1．在平面直角坐标系中，向量的坐标与点的坐标形式相同，但意义不同．它们之间的对应关系：有序实数对(x ，y ) 一一对应向量OA →――――→ 一一对应点A (x ，y )．2．通过平面向量的坐标表示和运算，应着重体会用向量处理问题的两种方法：向量法和坐标法．体会数形结合思想的指导作用，体会向量在解决问题中的工具性作用．3．两个向量共线条件的表示方法已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，(1)当b ≠0时，a ＝λb .(2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．( )(3)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1.( )(4)向量a ＝(1,2)与b ＝(－3，－6)共线且同向．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( ) A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)D [12a －32b ＝12(1,1)－32(1，－1)＝(－1,2)．] 3．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(x 2，x ＋2)，若a ，b 共线，则实数x 的值为( )A ．－1B ．2C ．1或－2D ．－1或2 D [由题意知，1·(x ＋2)－x 2·1＝0，即x 2－x －2＝0，解得x ＝－1或x ＝2.]4．已知点A (－1，－3)，B (1,1)，直线AB 与直线x ＋y －5＝0交于点C ，求点C 的坐标．[解] 设点C (x ，y )．∵A 、B 、C 三点共线，∴AC →＝λAB →＝λ(2,4)＝(2λ，4λ)．∴(x ＋1，y ＋3)＝(2λ，4λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2λ－1，y ＝4λ－3，∴C (2λ－1,4λ－3)．把点C (2λ－1,4λ－3)代入x ＋y －5＝0得(2λ－1)＋(4λ－3)－5＝0，解得λ＝32. ∴C (2,3)．。
《向量平行的坐标表示》教案
向量平行的坐标表示教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否平行.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=二、讲解新课：a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a .由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0 探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)01221=-=⇔y x y x b a λ 三、讲解范例：例1已知a =(4，2)，b =(6， y)，且a ∥b ，求y. 例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系.例3设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).(1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；(2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.例4若向量a =(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x解：∵a =(-1，x)与b =(-x ， 2) 共线 ∴(-1)×2- x •(-x )=0∴x=±2 ∵a 与b 方向相同 ∴x=2例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB 与CD 平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？解：∵AB =(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， CD =(2-1，7-5)=(1，2)又∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD又∵AC=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6) ，AB=(2，4)，2×4-2×6 0 ∴AC 与AB不平行∴A，B，C不共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD四、课堂练习：1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（）A.6B.5C.7D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（）A.-3B.-1C.1D.33.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). AB与DC共线，则x、y的值可能分别为（）A.1，2B.2，2C.3，2D.2，44.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y= .5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为.6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x= .五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：。
北师大版高中必修44.3向量平行的坐标表示课程设计 (2)
北师大版高中必修44.3向量平行的坐标表示课程设计背景向量是线性代数的重要内容，在高中数学课程中也占有重要地位。
本课程设计主要围绕高中数学必修课程44.3向量平行的坐标表示展开，通过理论讲解和实践操作，帮助学生深入了解向量的平行概念和坐标表示方法，从而提高学生的向量知识运用能力和数学思维能力。
目标通过本课程设计，学生应该能够：•理解向量平行的概念，能够判断两个向量是否平行；•掌握向量的坐标表示方法，能够将向量的坐标表示出来；•通过实践操作，巩固和提高对向量平行和坐标表示的理解和应用。
设计教学资源•北师大版高中数学教材44.3向量平行的坐标表示篇章；•讲义、课件和习题集等辅助教材。
教学内容理论讲解•向量平行的概念：通过示意图、例题等方式引入向量平行的概念，让学生理解向量平行的定义和特点；•向量的坐标表示方法：通过示例演示和实践操作，让学生掌握向量的坐标表示方法和应用。
•运用向量平行的坐标表示方法解决实际问题：通过课堂练习、小组讨论等方式，让学生巩固和应用所学知识，提高数学思维和解决问题的能力。
教学过程第一步：引入向量平行的概念•通过幻灯片展示向量平行的定义和示意图等内容，引入向量平行的概念；•让学生通过思考、讨论等方式，探索向量平行的特点。
第二步：向量的坐标表示方法•通过幻灯片展示向量的坐标表示方法，让学生掌握向量的坐标表示方法；•让学生通过实践操作，演示和计算向量的坐标表示方法。
第三步：运用向量平行的坐标表示方法解决实际问题•通过示例演示，让学生理解向量坐标表示方法在实际问题中的应用；•分组，让学生进行小组讨论，解决实际问题，提高数学解决问题的能力。
教学评估本课程设计通过以下方式进行教学评估：课堂小测验在理论讲解和实践操作阶段，通过课堂小测验进行快速检测，帮助学生掌握所学知识。
在实践操作阶段，通过课堂练习进行个人和小组表现的评估，帮助学生巩固和应用所学知识。
作业评估通过作业的布置、批改及阶段性检查，对学生应用所学知识进行考核和评估。
2.4.3【教学设计】《向量平行的坐标表示 》(北师大)
《§4.3向量平行的坐标表示》教材主要介绍向量线性运算的和、差、数乘运算以及运算性质。
在前一节课《向量的坐标表示》的学习之后，向量的运算用坐标表示已经顺其自然了。
【知识与能力目标】会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
【过程与方法目标】通过引导激发学生的学习兴趣并引发学生思考，充分调动学生的学习积极性。
【情感态度价值观目标】通过学习平面向量线性运算的坐标表示，使学生进一步了解数形结合的思想，认识事物之间的相互联系，培养学生的辩证思维能力。
【教学重点】理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
【教学难点】对平面向量坐标运算的熟练运用 。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、探究新知。
向量平行的坐标表示(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则x 1y 2－x 2y 1＝0若y 1≠0且y 2≠0，则上式可变形为x 1y 1＝x 2y 2(2)文字语言描述向量平行的坐标表示：①定理：若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例。
②定理：若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行。
巩固练习判断(正确的打“√”，错误的打“×”)。
(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1 。
( )(2)向量a ＝(1,2)与b ＝(－3，－6)共线且同向。
( )(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ，则x 1y 1＝x 2y 2。
( )【解析】 (1)正确。
a ∥b ，则a ＝λb 可得x 1y 2＝x 2y 1。
(2)错误。
a ＝－3b ，a 与b 共线且反向。
(3)错误。
若y 1＝0，y 2＝0时表达式无意义。
【答案】 (1)√ (2)× (3)×探究1 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若向量a ，b 共线，则这两个向量的坐标满足什么关系？反之成立吗？【提示】 这两个向量的坐标应满足x 1y 2－x 2y 1＝0，反之成立。
〖2021年整理〗《向量平行的坐标表示导学案教师版》优秀教案
§ 向量平行的坐标表示目标要求1、理解并掌握向量平行的坐标表示及相关结论．2、理解并掌握向量平行的坐标表示及应用．3、理解并掌握向量平行在平面几何中的应用．4、理解并掌握向量平行与垂直综合问题学科素养目标向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．重点难点重点：向量平行的坐标表示及应用；难点：向量平行在平面几何中的应用．教学过程基础知识点向量平行的坐标表示1坐标表示,a b 0b ≠平行的充要条件是2本质:平面向量平行的坐标表示反映的是平行向量坐标之间的关系,定量描述了共线向量之间的关系 3应用:①已知两个向量的坐标判定两向量共线;②已知两个向量共线,求点或向量的坐标【思考】若1122(,),(,)a x y b x y ==,且220x y ≠,则向量,a b 共线时,它们的坐标之间的关系如何用比例形式表示 提示:可以表示为1122x y x y = 【课前基础演练】题1（多选．．）下列命题正确．．的是 A 已知向量(2,4),(1,2)a b =-=-,则2a b =-B 已知1122(,),(,)a x y b x y ==,其中0b ≠,且12120x x y y -=,则//a bC 已知A-6,10,B0,2,则线段AB 的中点坐标为-3,6D 若两个非零向量的夹角θ满足co θ>0,则两向量的夹角θ一定是锐角【答案】选AC提示:A √因为b =1,-2,所以-2b =-21,-2=-2,4=aB ×平面向量共线的坐标表示的特点是两个向量的坐标“纵横交错积相减”C √由中点坐标公式可知线段AB 的中点坐标为60102(,)22-++，即-3,6D × 当两个向量方向相同时,它们的夹角θ=0°满足co θ=1>0 题2已知向量(4,2),(,3)a b x ==,且//a b ,则=【解析】选B 因为//a b ,所以4×3-2=0,解得=61,2,B 4,5,若2AP PB =,则点(1,2),(4,5)AP x y PB x y =--=--2AP PB =12(4),y 22(5),x x y -=-⎧⎨-=-⎩3,4,x y =⎧⎨=⎩(1,2),(2,4)a b ==--(3,4),(4,3)a b ==(2,1),(2,1)a b =-=-(3,5),(6,10)a b ==(sin ,2020),(cos ,2021)a b θθ==//a b 202020212021202020202021-20212020-(sin ,2020),(cos ,2021)a b θθ==//a b sin 2020cos 2021θθ=2020tan 2021θ=(1,),(,2)a b λλ==()//()a b a b +-(1,2),(1,2)a b a b λλλλ+=++-=--()//()a b a b +-22±AB 34(,)55-43(,)55-AB =AB (1,1),(3,1),(,)OA OB OC a b ==-=2AC AB =(1,1),(3,1),(,)OA OB OC a b ==-=//AB AC AC AB λ=2,(1,1)2(2,2)AC AB a b =--=-(,12),(4,5),(10,)OA k OB OC k ===AB AC R AB ACλ=(4,7),(10,12)AB OB OA k AC OC OA k k =-=--=-=--4(10),7(12),k k k λλ-=-⎧⎨-=-⎩AB AC(4,7),(10,12)AB OB OA k AC OC OA k k =-=--=-=--11,42OC OA OD OB ==//AM AD //CM CB 115(0,5)(0,)444OC OA ===5(0,)4C 113(4,3)(2,)222OD OB ===3(2,)2D 37(,5),(20,5)(2,)22AM x y AD =-=--=-//AM AD 72(5)02x y ---=57(,),(4,)44CM x y CB =-=//CM CB 754()044x y --=12712(,2)7(3,6),(8,8)AC x y AB =-+=-3688x y -+=-(2,1),(3,0),(,3)OA OB OC m =-===8时,将OC 用OA 和OB 表示;2若A ,B ,C 三点能构成三角形,求实数m 应满足的条件【解析】1当m =8时, (8,3)OC =,设OC xOA yOB =+,则2,-13,0=23,-=8,3,所以238,3,x y x +=⎧⎨-=⎩ 所以3,14,3x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩所以1433OC OA OB =-+ 2因为A ,B ,C 三点能构成三角形,所以,AB AC 不共线,又(1,1),(2,4)AB AC m ==-,所以1×4-1×m -2≠0,所以m ≠6【拓展延伸】题13如图所示,若点12PP 111222(,),(,)P x y P x y 12PP PP λ=12PP PP λ=1212(,)11x x y y λλλλ++++12PP PP λ=1122(,)(,)x x y y x x y y λ--=--1212(),(),x x x x y y y y λλ-=-⎧⎨-=-⎩1212,1.1x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩1212(,)11x x y y λλλλ++++1212(,)22x x y y ++12PP AB AP PB λ=231(,)(,)11x y λλλλ+-=++23145011λλλλ+-⨯--=++14λ=-(4,4)(4,4)OP tOB t t t ===(4,4)(4,0)(44,4)AP OP OA t t t t =-=-=-(2,6)(4,0)(2,6)AC OC OA =-=-=-,AP AC 34t =OP =(,),(4,4)OP x y OB ==,OP OB (2,6),(2,6)CP x y CA =--=-,CP CA (0,0),(1,2)a b ==-(1,2),(5,7)a b =-=(1,5),(2,10)a b =-=-(2,3),(4,6)a b =-=-(0,0)a =(1,2)b =-(1,5)a =-(2,10)2b a =-=-(2,3)a =-(4,6)2b a =-=(1,),(,23)a m b m m =-=-+//a b 等于或3 或-2【解析】选C 由已知得-2m 3m 2=0,所以m =-1或m =3-1,-5和向量(2,3)a =,若3AB a =,则点B 的坐标为________ 【解析】设O 为坐标原点,因为(1,5),3(6,9)OA AB a =--==,故(5,4)OB OA AB =+=,故点B 的坐标为5,4答案:5,4题19向量(,1)a n =与(4,)b n =共线且方向相同,则n =________【解析】因为//a b ,所以n 2-4=0,所以n =2或n =-2,又a 与b 方向相同,所以n =2答案:2中,已知点A -1,-2,B 2,3,C -2,-1若Dm ,2m ,且AB 与CD 共线,求非零实数m 的值 【解析】因为A -1,-2,B 2,3,C -2,-1,Dm ,2m ,所以(3,5),(2,21)AB CD m m ==++与CD ,又因为AB 与CD 共线,即//AB CD ,所以32m 1=5m 2,解得m =7,所以非零实数m 的值为7【补偿训练】题21已知(1,2),(3,2)a b ==-,当为何值时, ka b +与3a b -平行平行时它们是同向还是反向【解析】方法一: (1,2)(3,2)(3,22),3(1,2)3(3,2)(10,4)ka b k k k a b +=+-=-+-=--=-, 当ka b +与3a b -平行时,存在唯一实数λ,使(3)ka b a b λ+=-即-3,22=λ10,-4,所以310,224,k k λλ-=⎧⎨+=-⎩解得=λ=13- 当=13-时, ka b +与3a b -平行,这时11(3)33ka b a b a b +=-+=--, 因为λ=13- <0,所以ka b +与3a b -反向 方法二:由题知(3,22),3(10,4)ka b k k a b +=-+-=-,因为ka b +与3a b -平行,所以-3×-4-1022=0,解得=13-这时121(3,2)(3)333ka b a b +=---+=-- 所以当=13-时, ka b +与3a b -平行,并且反向。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§4平面向量的坐标4.3平面向量共线的坐标表示说课稿教材：北师大版教材数学必修4【教材分析】（一）地位和作用本节内容在教材中启着向量坐标运算延伸的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，平面向量共线的坐标表示则为用“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，同时也为定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础；向量共线的坐标表示，对立体几何教材也有着深远的意义，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推到“定量”的深度。
（二）学情分析学生已经掌握了平面几何的基本知识，而且学习了平面向量共线的相关概念和坐标表示的简单运算，这为本节课的学习奠定了必要的知识基础。
他们已经具备了初步归纳的能力但是要加强他们全面深入探究问题能力，通过本节课的学习使学生在自主探索和合作交流的过程中将感性认识升华到理性认识，充分锻炼他们的思维能力。
（三）教学目标(1)知识目标：理解平面向量共线的坐标表示，会根据向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；(2)能力目标：通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力；(3)情感目标：在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.(四)教学重点和难点(1)重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解；(2)难点：定比分点的理解和应用。
【教法分析】教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。
针对本节课的教学目标和学生的实际情况，在教学中采用“问题教学法和引探式教学法”的教学方法。
教学手段：应用多媒体课件、实物投影仪。
【学法指导】本节课主要调动学生积极思考主动探索，增加学生参与教学活动的时间，我采用了以下学法指导：1.探究式指导法：应用平面向量共线条件的坐标表示来解决向量的共线问题优点在于不需要引入“λ”从而减少了未知数的个数，而且使问题具有代数化的特点、程序化的特征;2.归纳式指导法:三点共线问题的实质是向量共线问题．利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点．3.迁移式指导法：引导学生推导平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式。
.,)0(//a b a a b λλ=⇔≠使存在唯一实数4.合作交流法。
【教学过程设计】一、新知导入（一）、复习回顾1、向量共线充要条件:2.平面向量的坐标运算： （1）.已知 a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2).a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2).λa =λ(x 1ｉ+y 1j )=λx 1ｉ+λy 1j .∴λa =(λx 1,λy 1).（2）.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.[设计意图]以提问的方式完成对旧知识的复习巩固，从而起到引入新课的作用。
（二）、问题引入已知下列几组向量：(1)a ＝(0,2)，b ＝(0,4)；(2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)；(3)a ＝(－1,4)，b ＝(2，－8)；(4)a ＝⎝⎛⎭⎫12，1，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，－1. 问题1：上面几组向量中，a 与b 有什么关系？提示：(1)(2)中b ＝2a ；(3)中b ＝－2a ；(4)中b ＝－a.问题2：以上几组向量中a ，b 共线吗？提示：共线[设计意图]设计的提问既与本节内容有密切关系，又有利于引入新课，同时引导学生为学生理解新知清除了障碍，有意识地培养学生分析理解问题的能力。
二、新知探究思考: 两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个共线向量？设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a 。
由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时能不能两式相除？),,(),,(2211y x B y x A 若),(1212y y x x AB --=则（不能 ∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0）（2）能不能写成2211x y x y = ？ （不能。
∵x 1， x 2有可能为0） (3)向量共线有哪两种形式？ a ∥b (b ≠0)⎩⎨⎧===⇔.01221y x y x b a λ[设计意图]通过问题的形式调动学生积极思考、主动探索、归纳总结；从而得到用坐标表示两个共线向量的结论；同时增加学生在学习中的获取知识的快乐。
三、新知巩固（实例分析合作探究与指导应用）1．向量共线问题：例1. 已知(4,2)a = ，(6,)b y = ，且//a b ，求y ． 解：∵//a b ，∴4260y -⨯=．∴3y =．点评：利用平面向量共线的充要条件直接求解. 变式练习1：已知//a b ，且(,2)a x = ，(2,1)b = 求x 的值规律归纳遇到与共线有关的问题时，我们只需要把向量共线的条件转化为坐标运算，一般选用x 1y 2－x 2y 1＝0.[设计意图]引导学生利用平面向量共线的充要条件完成了例1的解答后，通过变式训练1由一个典型例题的解答促使知识的系统化。
使新旧知识系统化，完善了认知结构；再由这个问题牵出一个问题链，引导学生从不同的问题中领悟新旧知识的本质属性，体现了问题变换的思想。
2．证明三点共线问题：例2: 例2.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系。
解：在平面直角坐标系中作出A ，B ，C 三点，观察图形，我们猜想A ，B ，C 三点共线。
下面给出证明。
∵(1(1),3(1))(2,4)AB =----= ， (2(1),5(1))(3,6)AC =----= ，又26340⨯-⨯=， ∴//AB AC .∵直线AB 、直线AC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线。
点评:若从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.变式训练2：设向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k)，求当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线．[设计意图]引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式.3．共线向量与线段分点坐标问题：例3:设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).（1）当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；（2）当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.独立探究：(1)中P1P ：PP2＝? (2)中P1P ：PP2＝? 图1解：(1)如图1,由向量的线性运算可知OP =21 (OP 1+OP 2)=(.2,22121y y x x ++). 所以点P 的坐标是(.2,22121y y x x ++) 即21PP P P =21或(2)如图2,当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,有两种情况,21PP P P =2. 如果21PP P P =21,那么 OP =1OP +P P 1=1OP +3121P P =1OP +31(2OP -1OP ) =321OP +312OP 图2 =(32,322121y y x x ++). 即点P 的坐标是(32,322121y y x x ++). 同理,如果21PP P P =2,那么点P 的坐标是.32,322121y y x x ++迁移问题：当21PP P P λ=时,点P 的坐标是什么？[设计意图]充分让学生思考,实际上此题给出了线段的中点坐标公式和线段三等分点坐标公式.并提出这一结论可以推广吗?让学生共同讨论,一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广。
有学生可能提出如下推理方法:由P P 1=λ2PP ,知(x-x 1,y-y 1)=λ(x 2-x,y 2-y), 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-.1,1)()(21212121λλλλλλy y y x x x y y y y x x x x 这就是线段的定比分点公式，鼓励学生积极探索,这是学习数学的重要品质.四、课堂小结1.教师引导学生思考，通过本节课的学习，你都学习了哪些数学知识:（1）平面向量共线的坐标表示；（2）会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线；（3）平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；2.与学生一起总结本节学习的数学方法,归纳和迁移的发散思维。
强调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神,为将来的发展打下良好基础.[设计意图]小节是一堂课内容的概括和总结，是必不可少的一个环节，有利于使学生把握本节所学的重要内容，让学生总结，是检查学生的收获情况，是更进一步培养学生的归纳总结能力。
五、课后作业必做题P101习题A 组5、6 、7 ，选做题P101习题B 组1、2[设计意图]为尊重学生的个体差异，满足多样化学习的需要，分两部分来布置作业，一部分是课本的习题，要求学生必做；另一部分是选做题，允许学生根据个人情况来完成。
六、板书设计：标题 1、复习回顾 2、归纳探究3、实例分析4、课堂小结5、课后作业投影区教学过程中应用多媒体能直观生动的反映问题情境，形象的刻画事物的变化过程，但同时也存在弊端，如教学内容相互覆盖，不易持续保留，而板书恰恰可以弥补这些不足。
七、设计评价本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算.这对学生来说学习并不困难,可大胆让学生自己探究.本教案设计流程符合新课改精神.在引导学生探究时,始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点.让学生在了解向量知识网络结构基础上,进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律,能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用,并加强数学应用意识,提高分析问题、解决问题的能力.通过平面向量坐标的加、减代数运算,结合图形,不但可以建立向量的坐标与点的坐标之间的联系,而且教师可在这两题的基础上稍作推广,就可通过求向量的模而得到直角坐标系内的两点间的距离公式.。