离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量的方差公式
离散型随机变量的方差公式离散型随机变量的方差公式是离散型随机变量的方差的计算公式。
方差是用来度量随机变量离其均值的距离的一个指标，方差越大表示离散型随机变量的取值越分散，方差越小表示离散型随机变量的取值越集中。
在统计学中，方差是一种常用的指标，用来描述离散型随机变量的分布的变异程度。
定义：对于离散型随机变量X，其方差定义为：Var(X) = E[(X - E(X))^2]其中，E表示期望函数，E(X)表示随机变量X的期望。
对方差公式的含义进行解释：(1)X-E(X)表示随机变量X与其期望E(X)的差距；(2)(X-E(X))^2表示这个差距的平方，为了保证计算结果为正数；(3)E[(X-E(X))^2]表示随机变量X与其期望E(X)的差距的平方的平均值，即方差。
方差计算的具体步骤如下：(1)计算随机变量X的期望E(X)，即E(X)；(2)计算每个随机变量X取值与期望E(X)的差异(X-E(X))；(3)计算每个差异的平方((X-E(X))^2)；(4) 对所有差异的平方求和，得到方差Var(X)。
方差的计算过程可以通过一个例子来进行说明。
假设有一个离散型随机变量X的概率分布如下：X，1，2，3，4-------，-------，-------，-------，-------P(X)，0.2，0.3，0.4，0.1首先计算期望E(X)：E(X)=(1*0.2)+(2*0.3)+(3*0.4)+(4*0.1)=2.6然后，计算每个差异的平方((X-E(X))^2)：(1-2.6)^2=2.56(2-2.6)^2=0.16(3-2.6)^2=0.16(4-2.6)^2=1.6最后，计算方差Var(X)：Var(X) = E[(X - E(X))^2] = (2.56 * 0.2) + (0.16 * 0.3) + (0.16 * 0.4) + (1.6 * 0.1) = 0.992所以，该离散型随机变量X的方差为0.992需要注意的是，方差是一个非负数，因为方差是差距的平方的平均值，而差距的平方一定是非负的。
12.2 离散型随机变量的期望与方差
互不相同)相互独立,且 P ( A1 ) 1 , P ( B2 ) 1 , P (C3 ) 1 .
2 3 6
(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率
0 3
故ξ 的分布列是 1 2 3 2 4 8 P 9 27 9 1 2 4 8 2. ξ 的数学期望 E 0 1 2 3 27 9 9 27 探究提高 (1)求离散型随机变量的期望与方差关键
0 1 27
是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布
列,正确运用期望、方差公式进行计算. (2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项 分布的,可用二项分布的期望与方差公式计算,则更为 简单.
P=3！P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3) 1 1 1 1 6 . 2 3 6 6 (2)设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为
η ,由已知, ~ B(3, ), 且 3 ,
1 3 1 1 所 以P ( 0) P ( 3) C3 ( )3 , 3 3 27
又E(η )=aE(ξ )+b,
所以当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2. 当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4.
a 2, a 2, 或 即为所求. b 2, b 4.
题型三
期望与方差的实际应用
【例3】 (12分）(2008·广东理,17)随机抽取某厂的
[1分]
[5分]
故ξ 的 分布列为
6 P 0.63 2 0.25 1 0.1 -2 0.02 [6分] (2)Eξ =6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02 =4.34(万元). [8分]
期望与方差公式离散型随机变量连续型随机变量
期望与方差公式离散型随机变量连续型随机变量概述:在概率论和数理统计中，期望和方差是两个重要的统计量。
它们用于描述随机变量的集中程度和离散程度。
本文将介绍期望和方差的定义及其计算公式，并分别讨论了离散型和连续型随机变量的情况。
一、离散型随机变量的期望和方差公式:离散型随机变量是指在有限或可数的样本空间内取值的随机变量。
对于一个离散型随机变量X，其期望和方差的公式如下：1. 期望公式:期望是用来衡量随机变量取值的中心位置，常表示为E(X)。
对于离散型随机变量X，其期望的计算公式为：E(X) = ∑[x * P(X = x)]其中，x表示随机变量X取到的每个可能值，P(X = x)表示相应取值的概率。
2. 方差公式:方差是用来衡量随机变量取值的离散程度，常表示为Var(X)或σ²。
方差的计算公式为：Var(X) = ∑[(x - E(X))² * P(X = x)]其中，x表示随机变量X的每个可能值，P(X = x)表示相应取值的概率，E(X)表示X的期望。
二、连续型随机变量的期望和方差公式:连续型随机变量是指取值在某一连续区间内的随机变量。
对于一个连续型随机变量X，其期望和方差的公式如下：1. 期望公式:连续型随机变量的期望的计算公式为：E(X) = ∫[x * f(x)] dx其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
2. 方差公式:连续型随机变量的方差的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))² * f(x)] dx其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，E(X)表示X的期望。
总结:本文介绍了期望和方差的定义及其计算公式，并分别讨论了离散型和连续型随机变量的情况。
对于离散型随机变量，期望的计算公式为E(X) = ∑[x * P(X = x)]，方差的计算公式为Var(X) = ∑[(x - E(X))² * P(X = x)]。
对于连续型随机变量，期望的计算公式为E(X) = ∫[x * f(x)] dx，方差的计算公式为Var(X) = ∫[(x - E(X))² * f(x)] dx。
离散型随机变量的期望及方差
3．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个 面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，则向上 的数之积的数学期望________．
解析：随机变量 ξ 的取值为 0,1,2,4，P(ξ＝0)＝34，P(ξ＝1)＝19，P(ξ ＝2)＝19，P(ξ＝4)＝316，因此 Eξ＝49.
(1)X的概率分布；
(2)X的数学期望．
解：摸球的情形有以下5种：甲1白，乙2白(0元)；甲1红，乙2 白或甲1白，乙1红1白(10元)；甲1红，乙1红1白(20元)；甲1白，乙 2红(50元)；甲1红，乙2红(60元)．
(1)X的所有可能的取值为0,10,20,50,60， P(X＝0)＝(190)3＝1702090； P(X＝10)＝110×(190)2＋190×11082＝1204030； P(X＝20)＝110×11082＝110800；
[例1] 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记 上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一个，ξ表示所取球的标 号．
(1)求ξ的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求a，b的值． [课堂记录] (1)ξ 的分布列为
ξ0 1 2 3 4
P
1 2
P(X＝50)＝190×1102＝10900； P(X＝60)＝1103＝10100； ∴X 的概率分布为
(2)EX＝0×1702090＋10×1204030＋20×110800＋50×10900＋60×10100＝ 3.3(元)．
热点之二 期望与方差的性质及应用 利用均值和方差的性质，可以避免复杂的运算．常用性质 有： (1)EC＝C(C为常数)； (2)E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b为常数)； (3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2；E(aX1＋bX2)＝aE(X1)＋bE(X2)；
离散型随机变量的期望和方差
离散型随机变量的期望和方差
离散型随机变量期望和方差是统计学中一个重要的知识点，也是概率论的基础知识。
期望和方差是离散随机变量可以推断出的一些重要数学性质，它们反映了离散随机变量的变化趋势。
在数学表述上，离散型随机变量的期望是指，取值不同的概率乘以该值的积分的平均值，用记号μ (mu)表示。
期望是离散型随机变量的基本特征，它描述了离散型随机变量中最有可能出现的值的程度，它的大小也反映了随机变量的中心位置。
离散型随机变量的方差是指期望和均值之差的平均平方值，用记号σ2 (sigma squared)表示，其中σ (sigma)是标准差。
方差反映了离散型随机变量取值之间的方差，它比较了每一个取值与离散型随机变量在期望上的偏差，表示了离散型随机变量取值分布情况。
运用离散型随机变量的期望和方差可以推断出更多的信息，即对离散随机变量要有更深入的了解，以便于更准确的预测。
可以利用期望和方差的知识来分析一个离散随机变量的发展趋势，以及在分析工具使用中的投资组合。
总之，离散型随机变量的期望和方差是随机变量分析的基础，也是揭示离散随机变量分布情况的重要工具，在众多领域都有重要的应用价值，如统计分析、投资组合设计等等。
以上就是关于离散型随机变量期望和方差的主要内容。
随机变量及其分布-离散型随机变量的数学期望和方差
离散型随机变量的数学期望和方差知识点一、离散型随机变量的数学期望 1.定义一般地，如果离散型随机变量的分布列为则称n n i i p x p x p x p x X E +++++= 2211)(为随机变量X 的数学期望或均值。
2.意义：反映离散型随机变量取值的平均水平。
3.性质：若X 是随机变量，b aX Y +=，其中b a ,是实数，则Y 也是随机变量，且b X aE b aX E +=+)()( 二、离散型随机变量的方差 1.定义一般地，如果离散型随机变量的分布列为则称∑=-=ni i ip X E x X D 12))(()(为随机变量的方差。
2.意义：反映离散型随机变量偏离均值的程度。
3.性质：)()(2X D a b aX D =+ 三、二项分布的均值与方差如果),(~p n B X ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=。
题型一离散型随机变量的均值【例1】设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b＝()X0123P0.1a b0.1A.0.2 B．0.1C．－0.2 D．0.4【例2】随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则所得点数ξ的数学期望为()A．0.6 B．1C．3.5 D．2【例3】某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．【例4】(2016年高考全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？【过关练习】1.今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为ξ，则E (ξ)等于( ) A ．0.765 B ．1.75 C ．1.765D ．0.222.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：3.已知随机变量ξ的分布列为则x ＝______，P (1≤ξ<3)＝4.(2015年高考重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白棕5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．题型二 离散型随机变量方差的计算【例1】若X 的分布列为其中p ∈(0,1)，则( ) A ．D (X )＝p 3 B ．D (X )＝p 2 C ．D (X )＝p －p 2D ．D (X )＝pq 2【例2】设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n⎝⎛⎭⎫23k .⎝⎛⎭⎫13n －k ，k ＝0,1,2，…，n ，且E (ξ)＝24, 则D (ξ)的值为( ) A ．8 B ．12 C.29D ．16【例3】若D (ξ)＝1，则D (ξ－D (ξ))＝________.【例4】若随机变量X 1～B (n,0.2)，X 2～B (6，p )，X 3～B (n ，p )，且E (X 1)＝2，D (X 2)＝32，则σ(X 3)＝( )A ．0.5 B. 1.5 C. 2.5D ．3.5【例5】根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：求工期延误天数Y 的均值与方差．【过关练习】1.某人从家乘车到单位，途中有3个路口．假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为( ) A ．0.48 B ．1.2 C ．0.72D ．0.62.设投掷一个骰子的点数为随机变量X ，则X 的方差为________．3.盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X 表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数．给出下列结论：①E (X )＝65，E (η)＝95；②E (X 2)＝E (η)；③E (η2)＝E (X )；④D (X )＝D (η)＝925.其中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)4.海关大楼顶端镶有A 、B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1、X 2(单位：s)，其分布列如下：课后练习【补救练习】1．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为()A．2×0.44B．2×0.45C．3×0.44D．3×0.642．已知ξ～B(n，p)，E(ξ)＝8，D(ξ)＝1.6，则n与p的值分别为()A．100和0.08 B．20和0.4C．10和0.2 D．10和0.83.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计()A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较4．一次数学测验有25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项正确，每选一个正确答案得4分，不做出选择或选错的不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.8，则此学生在这一次测试中的成绩的期望为________；方差为________．【巩固练习】1.现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是() A．6 B．7.8C．9 D．122.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后剩余子弹数目的均值为()A．2.44 B．3.376C．2.376 D．2.43.已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是()A．6,2.4 B．2,2.4C．2,5.6 D．6,5.64.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.5.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.6.随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.7.某城市出租汽车的起步价为6元，行驶路程不超出3 km 时按起步价收费，若行驶路程超出3 km ，则按每超出 1 km 加收3元计费(超出不足 1 km 的部分按 1 km 计)．已知出租车一天内行车路程可能为200,220,240,260,280,300(单位：km)，它们出现的概率分别为0.12,0.18，0.20，0.20,0.18,0.12，设出租车行车路程ξ是一个随机变量，司机收费为η(元)，则η＝3ξ－3，求出租车行驶一天收费的均值．8.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E (ξ)＝3，标准差D (ξ)为62. (1)求n ，p 的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．【拔高练习】1．设ξ为离散型随机变量，则E (E (ξ)－ξ)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．不确定2.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．3.A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2.根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为：(1)在A ，B 两个项目上各投资10012A 和B 所获得的利润，求方差D (Y 1)，D (Y 2)；(2)将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目，(100－x )万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值．。
概率分布的期望与方差计算
概率分布的期望与方差计算概述：在概率论中，期望和方差是两个重要的统计量，用于描述随机变量的分布特征。
期望代表了随机变量平均取值的位置，方差则描述了这些取值在平均值周围的离散程度。
本文将介绍如何计算概率分布的期望和方差。
一、离散型随机变量的期望和方差计算对于离散型随机变量，其取值只能是某些特定的离散值，我们可以通过计算每个取值与其对应的概率的乘积，并将结果相加得到期望。
方差的计算涉及到每个取值与期望之间的差异。
以一个简单的例子来说明离散型随机变量的期望和方差的计算方法。
假设有一个骰子，它的六个面分别标有1至6的数字。
我们可以用一个随机变量X来表示这个骰子的结果。
X的概率分布如下：X 1 2 3 4 5 6P(X) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6其中，P(X)表示随机变量X取各个值的概率。
1. 期望的计算：期望E(X)的计算公式为：E(X) = Σ(X * P(X))其中，Σ表示求和，X表示随机变量的取值，P(X)表示对应取值的概率。
对于上述骰子的例子，期望E(X)的计算为：E(X) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6= (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6= 21 / 6≈ 3.5因此，骰子的期望值为3.5。
2. 方差的计算：方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = Σ((X - E(X))^2 * P(X))其中，X表示随机变量的取值，E(X)表示期望，P(X)表示对应取值的概率。
对于上述骰子的例子，方差Var(X)的计算为：Var(X) = (1 - 3.5)^2 * 1/6 + (2 - 3.5)^2 * 1/6 + (3 - 3.5)^2 * 1/6 + (4 - 3.5)^2 * 1/6 + (5 - 3.5)^2 * 1/6 + (6 - 3.5)^2 * 1/6= (2.5^2 + 1.5^2 + 0.5^2 + 0.5^2 + 1.5^2 + 2.5^2) / 6= (6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25) / 6= 17.5 / 6≈ 2.92因此，骰子的方差为2.92。
随机变量的期望与方差知识点
随机变量的期望与方差知识点统计学中的随机变量是指在一次试验中可以取得不同数值的变量。
对于随机变量，我们常常关注它的期望与方差，这些是描述随机变量性质的重要指标。
本文将介绍随机变量的期望与方差的概念、计算方法以及它们的实际含义。
一、随机变量的期望随机变量的期望是一个数学期望值，用来衡量随机变量的平均取值水平。
对于离散型随机变量X，其期望的计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中Σ 表示求和，x 表示随机变量X可以取到的值，P(X=x) 表示随机变量X取到值x的概率。
对于连续型随机变量X，其期望的计算公式为：E(X) = ∫ [x * f(x)]dx其中∫ 表示积分，x 表示随机变量X可以取到的值，f(x) 表示X的密度函数。
期望的计算方法可以帮助我们了解随机变量的平均取值水平。
例如，在某个游戏中，随机变量X表示一次投掷骰子的结果。
假设骰子是均匀的，那么它的每个面出现的概率都是1/6。
我们可以通过计算期望来了解投掷骰子的平均结果是多少。
二、随机变量的方差随机变量的方差是衡量随机变量取值的离散程度，它描述了随机变量偏离期望的程度。
方差的定义如下：Var(X) = E[(X-E(X))^2]其中 E(X) 表示随机变量X的期望。
方差的计算方法可以帮助我们了解随机变量取值的离散程度。
对于同样表示投掷骰子结果的随机变量X，假设我们想知道投掷10次骰子的结果的离散程度。
我们可以通过计算方差来了解。
三、随机变量期望与方差的实际含义随机变量的期望和方差都是对随机变量的性质进行描述的重要指标。
它们不仅有着严格的数学定义，也有着实际的含义。
期望是描述随机变量的平均取值水平，它可以用来预测随机变量的未来表现。
例如，在股票市场中，可以用过去的股价数据计算股票未来收益的期望，帮助投资者做出投资决策。
方差是描述随机变量取值离散程度的指标，它可以用来评估随机变量的风险。
例如，在金融领域中，可以利用方差来衡量投资组合的风险。
概率论中的期望与方差公式整理方法
概率论中的期望与方差公式整理方法在概率论中，期望和方差是两个重要的概念。
它们可以帮助我们描述一个随机变量的分布特征。
在本文中，我们将着重介绍期望和方差的公式整理方法。
一、期望的公式整理方法期望是对随机变量取值的加权平均，它用来表示一个随机变量的平均取值大小。
在概率论中，我们通常用E(X)来表示随机变量X的期望。
对于离散型随机变量，其期望的计算公式为：E(X) = Σ(x * P(X = x))其中，x代表随机变量X的取值，P(X = x)表示X取值为x的概率。
对于连续型随机变量，其期望的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x)) dx其中，f(x)表示X的概率密度函数。
在实际计算中，如果随机变量X服从某种分布，我们可以利用该分布的概率密度函数或者概率质量函数来计算期望。
二、方差的公式整理方法方差用来度量随机变量的取值偏离其期望值的程度。
方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中。
在概率论中，我们通常用Var(X)或σ^2来表示随机变量X的方差。
对于离散型随机变量，其方差的计算公式为：Var(X) = Σ((x-E(X))^2 * P(X = x))对于连续型随机变量，其方差的计算公式为：Var(X) = ∫((x-E(X))^2 * f(x)) dx方差的计算需要先求出随机变量的期望值，然后再对随机变量取值与期望值之差的平方进行加权平均。
方差的单位为随机变量的单位的平方。
三、应用举例为了更好地理解期望和方差的公式整理方法，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有一个骰子，我们想要计算这个骰子的期望和方差。
首先，我们知道这个骰子是均匀的，即每个面出现的概率相等。
对于骰子的期望，我们可以计算每个面出现的概率乘以对应的点数，然后将所有结果相加，即：E(X) = 1/6 * 1 + 1/6 * 2 + 1/6 * 3 + 1/6 * 4 + 1/6 * 5 + 1/6 * 6 = 3.5对于骰子的方差，我们首先需要计算每个点数与期望之差的平方，然后再乘以每个面出现的概率，最后将所有结果相加，即：Var(X) = 1/6 * (1-3.5)^2 + 1/6 * (2-3.5)^2 + 1/6 * (3-3.5)^2 + 1/6 * (4-3.5)^2 + 1/6 * (5-3.5)^2 + 1/6 * (6-3.5)^2 ≈ 2.92通过这个例子，我们可以看出，期望和方差通过加权平均的方法给出了随机变量的平均取值和取值的离散程度。
离散型随机变量期望与方差
离散型随机变量期望与方差引言离散型随机变量是概率论与统计学中的重要概念之一。
在处理离散型随机变量时，我们经常需要计算其期望与方差，以帮助我们了解变量的分布特征。
本文将详细介绍离散型随机变量的期望与方差的定义及其计算方法。
期望的定义与计算离散型随机变量的期望表示了该随机变量可能取值的加权平均。
如果离散型随机变量X的取值为x1, x2, …, xn，对应的概率为p1, p2, …, pn，那么随机变量X的期望可以通过以下公式计算：E(X) = x1 * p1 + x2 * p2 + … + xn * pn其中E(X)表示变量X的期望。
下面以一个简单的例子来说明期望的计算过程。
假设某班级有10个学生，他们的考试成绩（以百分制计）分别为60、70、80、90、90、80、70、80、90、60，对应的概率分别为0.1、0.2、0.1、0.2、0.1、0.05、0.1、0.1、0.05、0.1。
现在我们来计算这些考试成绩的期望。
60 * 0.1 + 70 * 0.2 + 80 * 0.1 + 90 * 0.2 + 90 * 0.1 + 80 * 0.05 + 70 * 0.1 + 80 * 0.1 + 90 * 0.05 + 60 * 0.1 = 79所以，这些考试成绩的期望为79。
方差的定义与计算离散型随机变量的方差反映了该变量的取值相对于其期望的离散程度。
方差的计算公式如下所示：Var(X) = E((X - E(X))²) = (x1 - E(X))² * p1 + (x2 - E(X))² * p2 + … + (xn - E(X))² * pn其中Var(X)表示变量X的方差。
方差的计算比较繁琐，但仍然是可行的。
我们可以利用先前计算得到的X的期望，将其带入方差计算公式中，即可求得方差的值。
继续以前面的例子进行说明，我们已经计算得到班级考试成绩的期望为79。
离散型随机变量的期望与方差_图文
因为P(η＝axi＋b)＝P(ξ＝xi)，i＝1，2，3，… 所以，η的分布列为
ξ
x1
x2
…
xn
…
η
…
…
P
p1
p2
…
pn
…
于是
Eη＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axn＋b)pn＋… ＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…)＋b(p1＋p2＋…+pn＋…) ＝aEξ＋b．
即 E(aξ＋b)＝aEξ＋b．
超几何分布的期望： 证明如下：
引入 一组数据的方差：
在一组数：x1， x2 ，… x n 中，各数据 的平均数为 x，则这组数据的方差为：
S2=
( x1 – x )2 + ( x2 – x )2 +…+ ( x n – x )2 n
方差反映了这组 数据的波动情况
二、新课 1、离散型随机变量的方差
3…
k
…
P
p
pq
pq2 …
pqk-1 …
Dη=(1 –1/p)2·p+ (2 - 1/p)]2·pq+ …+ (k - 1/p)]2·pqk-1 + … ……(要利用函数f(q)=kqk的导数）
三、应用
例1：已知离散型随机变量ξ1的概率分布
ξ1 1
234567
P 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
p1
p2
…
pi
…
则称 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为ξ的数学期望 或平均数、均值，数学期望又简称为期望．
期望值和方差的公式
期望值和方差的公式一、期望值概念：期望值是随机变量取值与其概率的加权平均，用来表示随机变量的平均取值。
1.离散型随机变量的期望值：设X是一个离散型随机变量，其取值为x1,x2,...,xn，对应的概率分别为p1,p2,...,pn，则随机变量X的期望值E(X)定义为：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn2.连续型随机变量的期望值：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则随机变量X 的期望值E(X)定义为：E(X) = ∫xf(x)dx性质：1.期望值的线性性质：对于任意的常数a和b，以及随机变量X和Y，有：E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)2.期望值的保序性：如果随机变量X的取值总是大于等于随机变量Y的取值，则有：E(X)≥E(Y)二、方差概念：方差是用来度量随机变量与其期望值之间的偏离程度或波动程度。
1.离散型随机变量的方差：设X是一个离散型随机变量，其取值为x1,x2,...,xn，对应的概率分别为p1,p2,...,pn，则随机变量X的方差Var(X)定义为：Var(X) = E((X - E(X))^2) = (x1 - E(X))^2*p1 + (x2 -E(X))^2*p2 + ... + (xn - E(X))^2*pn2.连续型随机变量的方差：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则随机变量X 的方差Var(X)定义为：Var(X) = E((X - E(X))^2) = ∫(x - E(X))^2f(x)dx性质：1.方差的线性性质：对于任意的常数a和b，以及随机变量X和Y，有：Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y)2.方差的非负性：对于任意的随机变量X，有：Var(X) ≥ 03.方差的可加性：对于独立随机变量X和Y，有：Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)三、期望值和方差的计算公式1.对离散型随机变量的期望值和方差的计算公式：（1）期望值：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn（2）方差：Var(X) = (x1 - E(X))^2*p1 + (x2 - E(X))^2*p2 + ... + (xn -E(X))^2*pn2.对连续型随机变量的期望值和方差的计算公式：（1）期望值：E(X) = ∫xf(x)dx（2）方差：Var(X) = ∫(x - E(X))^2f(x)dx总结：期望值和方差是概率论中重要的概念，用于描述随机变量的分布特征。
离散型随机变量的期望和方差公式
离散型随机变量的期望和方差公式
离散型随机变量是指其概率分布中的取值非连续，比较容易准确衡量的一种变量。
它的期望（Expectation）和方差（Variance）很容易求取，分别表示离散型
随机变量的平均值与离差的大小。
其具体的期望和方差的计算公式分别为：
期望：E(X)=∑(X×P(X))
方差：Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
其中，E(X)是离散型随机变量X的期望，P(X)是该随机变量X出现各种取值的
概率，Var(X)是X的方差。
从数学角度看，衡量离散型随机变量不同取值组合对系统产生的影响大小，首
先要做的就是求取这些函数的期望和方差。
以上公式可以很好地满足这一要求，只要知道每种取值的概率分布，按照公式便可轻松求得它的期望和方差。
计算期望和方差更重要的意义在于，它可以作为评价随机变量取值组合优劣的
标准。
期望和方差能够对随机对象的平均水平和变异程度有一个明确而准确的量化，是经济学研究中不可或缺的一项重要工具。
因此，熟练掌握离散型随机变量的期望和方差计算公式，可以有效的指导系统
优化、风险分析等管理与计算中的实际应用。
离散型随时机变量的期望与方差
2．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一 旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实 施结果：
投资成功 192次
投资失败 8次
则该公司一年后估计可获收益的期望是________元． 答案：4 760
3．已知 ξ服从二项分布，即ξ～B(100， )，则E(2ξ＋3)＝________. 解析：由已知Eξ＝100× ＝50，∴E(2ξ＋3)＝2Eξ＋3＝103. 答案：103
【答题模板】
解答：根据已知条件随机变量x的取值分别是1,2,3.
P(x＝1)＝
，P(x＝2)＝
P(x＝3)＝
则随机变量ξ的分布列为
x
1
2
3
ξ
Eξ＝ ＋1＋ ＝
【分析点评】
1. 离散型随机变量的期望和方差是高考考查离散型随机变量分布列的重 点．高考中也考查二项分布和几何分布相关的分布列及期望和方差．
复试验，故ξ～B(5， )，即有P(ξ＝k)＝
，k＝0,1,2,3,4,5.
由此计算ξ的分布列如解法一．
(2)Eξ＝
.
解法三：(1)同解法一或解法二． (2)由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布， 故期望值相等．即3Eξ＝5，从而Eξ＝ .
变式2. 2010年广州亚运组委会向民间招募防暴犬，首先进行入围测试，计划考 查三类问题：①体能；②嗅觉；③反应，这三类问题中只要有两类通过测试， 就可以入围．某驯犬基地有4只优质犬参加测试，已知这4只优质犬通过①类问 题的概率都是 ，通过②类问题的概率都是 ， 通过③类问题的概率都是 . (1)求每只优质犬能够入围的概率； (2)若每入围1只优质犬给基地计10分，设基地得分为随机变量ξ，求Eξ.
离散型随机变量的期望和方差
岚山一中导学学案学习改写人生，反思启迪智慧离散型随机变量的期望和方差【复习指导】均值与方差是离散型随机变量的两个重要数字特征，是高考在考查概率时考查的重点，复习时，要掌握期望与方差的计算公式，并能运用其性质解题． 【知识梳理】1、离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值称E (X )＝ 为随机变量X 的均值或 ，它反映了离散型随机变量取值的 ． (2)方差称D (X )＝ i ＝1n[x i －E (X )]2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 的 ，其 为随机变量X 的标准差． 2、三种分布(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )；(2)X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )；(3)若X 服从超几何分布，则E (X )＝n MN.（不用记忆） 3、六条性质(1)E (C )＝C (C 为常数) (2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b (a 、b 为常数)(3)E (X 1＋X 2)＝EX 1＋EX 2 (4)D (aX ＋b )＝a 2·D (X)【基础自测】 1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )． A.65 B.65C. 2 D ．22、已知X 的分布列（如图）设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( )． A.73 B ．4 C ．－1 D ．1 3、(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下： 已知ξ的期望E (ξ)＝8.9，则y 的值为________． A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.94．设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( )． A ．n ＝8，p ＝0.2 B ．n ＝4，p ＝0.4 C ．n ＝5，p ＝0.32 D ．n ＝7，p ＝0.45【考向透析】 【例1】（2012济南一模）将编号为1，2，3，4的四张同样材质的卡片，随机放入编码分别为1，2，3，4的四个小盒中，每盒仅放一张卡片，若第k 号卡片恰好落入第k 号小盒中，则称其为一个匹对，用ξ表示匹对的个数. （1）求第2号卡片恰好落入第2号小盒内的概率; （2）求匹对数ξ的分布列和数学期望ξE .【例2】（2013山东）甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23,假设各局比赛结果相互独立.(Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;(Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.【例3】某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品.现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：（I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（II）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元.在（I）的前提下，（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率.巩固练习1、某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元）．求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）． 2、某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A 、B 、C 、D 、E 五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试。
离散型随机变量的期望值和方差
(3)一次英语测验由50道选择题构成，每道
有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，
每个选对得3分，选错或不选均不得分，满
分 150 分，某学生选对每一道题的概率为
0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望与
方差。 说明：可根据离散型随机变量的期望和方 差的概念、公式及性质解答。
三、课堂小结：
1 、利用离散型随机变量的方差与期望的知 识，可以解决实际问题。利用所学知识分析 和解决实际问题的题型，越来越成为高考的 热点，应予重视。 2、常生产生活中的一些问题，我们可以转 化为数学问题，借助于函数、方程、不等 式、概率、统计等知识解决。同时，要提 高分析问题和解决问题的能力，必须关注 生产和生活。
例2、设 是一个离散型随机变量，其分布 列如下表，试求E 、D
P
－1
1 2
0
1
2
q 剖析：应先按分布列的性质，求出 q 的值 后，再计算出E 、D 。
说明：解答本题时，应防止机械地套用期望 和方差的计算公式，出现以下误解： 1 1 2 2 E ＝ (1) 0 (1 2q) 1 q q 。
说明：（1）离散型随机变量的期望表征了
随机变量取值的平均值 （2）本题中D 有什么实际意义？
例4：把4个球随机地投入4个盒子中去，设
表示空盒子的个数，求E 、D
剖析：每个球投入到每个盒子的可能性是相 等的，总的投球方法数为
4 ，空盒子的个数 4 可能为0个，此时投球方法数为 4! 6 4 A4 4!, P( 0) 4 ；空盒子的个数 64 4 3 为1时，此时投球方法数为 C1C 2 A ， 4 4 3 36 。 P( 1) ,同样可分析 P( 2), P( 3) 64
随机变量与概率分布离散型与连续型随机变量的期望与方差计算方法
随机变量与概率分布离散型与连续型随机变量的期望与方差计算方法随机变量与概率分布：离散型与连续型随机变量是概率论中一个重要的概念，它用来描述试验结果的数字特征。
概率分布则是随机变量各个取值的概率分布情况。
根据随机变量的不同特性，可以将其分为离散型和连续型随机变量。
一、离散型随机变量与其概率分布离散型随机变量的取值是有限或可数无穷的。
离散型随机变量的概率分布可以用概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）来描述。
离散型随机变量的期望与方差计算方法如下：1. 期望的计算对于离散型随机变量X，其期望E(X)可以通过以下公式计算：E(X) = Σ(xi * P(xi))其中，xi表示随机变量X的每个取值，P(xi)表示X取值为xi的概率。
2. 方差的计算离散型随机变量的方差Var(X)可以通过以下公式计算：Var(X) = Σ((xi - E(X))^2 * P(xi))其中，xi表示随机变量X的每个取值，P(xi)表示X取值为xi的概率，E(X)表示X的期望。
二、连续型随机变量与其概率分布连续型随机变量的取值是无限的，通常用概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）来描述其概率分布情况。
连续型随机变量的期望与方差计算方法如下：1. 期望的计算对于连续型随机变量X，其期望E(X)可以通过以下公式计算：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，f(x)表示X的概率密度函数。
2. 方差的计算连续型随机变量的方差Var(X)可以通过以下公式计算：Var(X) = ∫((x - E(X))^2 * f(x))dx其中，f(x)表示X的概率密度函数，E(X)表示X的期望。
三、离散型与连续型随机变量的区别离散型随机变量和连续型随机变量在概率分布和计算方法上有一些不同之处。
1. 取值方式：离散型随机变量的取值是有限或可数无穷的，而连续型随机变量的取值是无限的。
离散型随机变量方差计算公式
离散型随机变量方差计算公式
离散型随机变量方差是描述随机变量取值分散程度的一种数学工具。
它的定义是每个随机变量与其期望值之差的平方的数学期望的平均值。
换言之，它是每个随机变量与其期望值之间的偏差程度的度量。
离散型随机变量方差的计算公式为：$var(X) = E[(X-E(X))^2]$，其中$E(X)$表示随机变量$X$的期望值。
在实际应用中，可以使用下面的简化公式来计算方差：$var(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2p_i$，其中$x_i$是随机变量$X$的可能取值，$\mu$是$X$的期望值，$p_i$是$X$取值为$x_i$的概率。
离散型随机变量方差的应用非常广泛。
例如，在金融领域中，方差被用来衡量投资组合的风险。
如果一个投资组合中有多个资产，那么方差可以用来描述这些资产价格波动的程度。
在统计学中，方差是很多统计分布的基础，例如卡方分布和t分布等。
在物理学中，方差被用来描述系统的能量分布。
然而，需要注意的是，离散型随机变量方差并不能完全描述随机变量的取值情况。
这是因为随机变量的取值还有可能出现在期望值周围聚集的情况。
为了解决这个问题，人们引入了标准差和变异系数等概念。
标准差是方差的平方根，它描述了随机变量取值分散的范围。
变异系数则是方差与期望值之比，它度量了取值分散程度相对于期望值的比例。
总之，离散型随机变量方差是一种重要的数学工具，可以用来描述随机变量取值分散程度。
在实际应用中，需要注意方差的限制和缺陷，并选择合适的指标来描述随机变量的取值情况。
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离散型随机变量的分布列、期望、方差一、知识与方法：1性质：10≤≤i p ；且=∑=i i p1________ 。
2．离散型随机变量的数学期望：E ξ=______________，它反映随机变量取值的平均水平。
3．离散型随机变量的方差：D ξ=______________________，反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度：ξD 越小，ξ取值越集中，ξD 越大，ξ取值越分散。
4．ξD 的算术平均数ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ。
5．性质：=+)(b aX E _________；=+)(b aX D __________。
6．提示：（1）在实际中经常用期望来比较平均水平，当平均水平相近时，再用方差比较稳定程度；（2）注意离散型随机变量的期望、方差与样本数据的平均数、方差的联系。
二、例题分析：例1．甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件，乙盒子内有5个正品元件和4个次品元件，现从两个盒子内各取出2个元件.（1）求取得的4个元件均为正品的概率；（2）取得正品元件个数ξ的数学期望.解：（1）从甲盒中取两个正品的概率23271()7C P A C ==； 从乙盒中取两个正品的概率为25295()18C P B C ==。
故取得的4个元件均为正品的概率5()()()126P A B P A P B ⋅=⋅=。
（2）取得正品元件个数ξ的分布列为632533051240123412612612612612663E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 例2 ．A 、B 两队进行篮球决赛，共五局比赛，先胜三局者夺冠，且比赛结束。
根据以往成绩，每场中A 队胜的概率为32，设各场比赛的胜负相互独立.（1）求A 队夺冠的概率；（2）设随机变量ξ表示比赛结束时的场数，求E ξ.（1）A 队连胜3场的概率为312()3P =，打4场胜3场的概率为223232122()()3333P C =⋅⋅⋅=， 打5场胜3场的概率为2224342122()()().3333P C =⋅⋅⋅= 故A 队获胜的概率为123P P P P =++=8164， （2）31)31()32()3(33=+==ξP ；2710)31(32)32()4(3133=⋅⋅+==C P ξ； 278)32()31()5(2224=⋅⋅==C P ξ；故ξ的分布列为（略） .27107278527104313=⨯+⨯+⨯=∴ξE 三、练习题：1．已知随机变量ξ的分布列如下，则x =_12；E ξ=__1_；D ξ=___12__。
2．随机变量ξ的分布列为)(k p =ξ，其中=k 1、2、3、4、5、6，则)5.35.1(<<ξP为_______，=ξE ______。
521，133 3．从签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签中，任意取3支，设ξ为这3支签的号码之中最大的一个。
则ξ的的数学期望为________。
214 4．某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过.（1）求第一天通过检查的概率；（2）求前两天全部通过检查的概率；（3）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分.求该车间在这两天内得分的数学期望.解：（1）∵第一天有9件正品，故第一天通过检查的概率为 53410491==C C P （2）第一天有8件正品，第二天通过检查的概率为48241013C P C ==，又第一天，第二天是否通过检查相互独立。
所以，两天全部通过检查的概率为.51315321=⨯==P P P （3）记得分为ξ，则ξ的值分别为0，1，2， ∴ 224(0)5315P ξ==⨯=，32128(1)533515P ξ==⨯+⨯=；311(2)535P ξ==⨯=. 故ξ的分布列为（略），因此.151451215811540=⨯+⨯+⨯=ξE 5．两个排球队进行比赛采用五局三胜的规则，即先胜三局的队获胜，比赛到此也就结束，较强队每局取胜的概率为0.6，设比赛结束时的局数为ξ，求E ξ.（计算结果保留三个有效数字）解：比赛结束时的局数为ξ的取值为3，4，5.33(3)0.60.40.28P ξ==+=，221233(4)0.60.60.60.40.40.3744P C C ξ==⋅⋅+⋅⋅⋅=22222244(5)0.60.40.60.40.30.3456P C C ξ==⋅⋅+⋅⋅⋅=ξ的概率分布为（略）故 4.07E ξ= =3×0.2800+4×0.3744+5×0.3456 = 4.0656.6．甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人 投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为41，乙每次投中的概率为.31 （1）乙投篮次数不超过1次的概率；（2）记甲、乙两人投篮次数和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.解：（1）“乙投篮次数不超过1次”的对立事件是“乙投篮2次”，所以，所求的概率是 )(1A B A P P ⋅⋅-==)()()(1A P B P A P ⋅⋅-854332431=⨯⨯-= （2）甲、乙投篮总次数ξ的取值1，2，3，4，则1(1)()4P P A ξ===， 311(2)()()()434P P A B P A P B ξ==⋅=⋅=⨯=， 3211(3)()()()()4348P P A B A P A P B P A ξ==⋅⋅=⋅⋅=⨯⨯= ， 83433243)()()()()4(=⨯⨯=⋅⋅=⋅⋅==A P B P A P A B A P P ξ。
ξ的分布列（略），数学期望为821834813412411=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 。
7．甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92。
（1）求该题被乙独立解出的概率。
（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差。
解：（1）记甲独立解出此题的事件为A 、乙独立解出此题的事件为B ，则()0.6P A =， 依题意得1()0.92P A B -⋅=，即……，解得0.8p =，（2） 1.4E ξ=，0.4D ξ=。
8．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响.已知某学生只选修 甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表 示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.（1）设事件A 表示“函数x x x f ξ+=2)(为偶函数”，求事件A 的概率；（2）求ξ的分布列和数学期望.解：（1）设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z依题意得(1)(1)0.08(1)0.121(1)(1)(1)0.88x y z xy z x y z --=⎧⎪-=⎨⎪----=⎩，即…… ，解得0.40.60.5x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，若函数x x x f ξ+=2)(为偶函数，则ξ=0，故事件A 表示该学生选修三门功课或三门功课都没选∴()(0)(1)(1)(1)P A P xyz x y z ξ===+---0.24== ， （2）ξ的数学期望为 1.52E ξ=。
9．某小组有7个同学，其中4个同学从来没有参加过天文研究性学习活动，3个同学曾经参加过天文研究性学习活动.（1）现从该小组中随机选2个同学参加天文研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过天文研究性学习活动的同学的概率；（2）若从该小组随机选2个同学参加天文研究性学习活动，则活动结束后，求该小组没有参加过天文研究性学习活动的同学个数数学期望E ξ.解：（1）记“随机选2个同学，恰好选到1个曾经参加过天文研究性学习活动”为事件A ，其概率为.74)(271314==C C C A P （2）24272(2)7C P C ξ===，1143274(3)7C C P C ξ===，23271(4)7C P C ξ=== ∴ E ξ207== 。
10．旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；（2）求恰有2条线路没有被选择的概率；（3）求选择甲线路旅游团数的期望.解：（1）3个旅游团选择3条不同的线路的概率为3413348A P ==；（2）恰有两条线路没有被选择的概率为222432239416C C A P ⋅⋅==； （3）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ的取值为0，1，2，3，33327(0)464P ξ===，(1)P ξ==6427433213=⋅C ， (2)P ξ== 64943313=⋅C ， (3)P ξ==6414333=C ， ∴ ξ的分布列为（略），期望E ξ== 43 11．甲盒有标号分别为1、2、3的三个红球；乙盒有标号分别为1、2、…、n (2)n ≥的n个黑球，从甲、乙两盒中各抽取一个小球，抽取到红球1号、黑球n 号的概率为112。
（1）求n ；（2）现从甲、乙两盒各随机抽取1个小球，抽得红球的得分为其标号数；抽得黑球，若标号数为奇数，则得分为1，若标号数为偶数，则得分为零，设被抽取的2个小球得分之和为ξ，求ξ的数学期望E ξ. 解：（1）由121131=⋅n ，得4n =， （2）ξ是被抽取的2个小球得分之和，则ξ的取值为1、2、3、4，则有121(1)346P ξ==⨯=， (2)P ξ==6242314231=⨯+⨯， (3)P ξ==6242314231=⨯+⨯，(4)P ξ==614231=⨯， 概率分布表（略），故1221146415512346666662E ξ+++=⨯+⨯+⨯+⨯===， 12．一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球，每次从袋中任意摸出一个球。
（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；（2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差. 解：（1）“有放回摸取”可看作独立重复实验，每次摸出一球得白球的概率为3162==P ， 记“有放回摸两次，颜色不同”为事件A ，其概率为124()(1)9P A C p =-=； （2）设摸得白球的个数为ξ，则ξ的取值为0、1、2， 432(0)655P ξ==⨯=，42248(1)656515P ξ==⨯+⨯=，211(2)6515P ξ==⨯=， ξ的概率分布表（略），1812012215153E ξ=⨯+⨯+⨯=， 22222282116(0)(1)(2)3531531545D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=， 13．在一个盒子里放有6张卡片，上面标有数字1、2、3、4、5、6，现在从盒子里每次任意取出一张卡片，取两片.（1）若每次取出后不再放回，求取到的两张卡片上数字之积大于12的概率；（2）在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中，得到的两张卡片上的最大数字的期望值是否相等？请说明理由.解：（1）取到的两张卡片上数字之积大于12的事件的概率3112624=-=C C P . （2）若每次取出后不再放回，则得到的两张卡片上的数字中最大数字随机变量ξ的取值为2、3、4、5、6， 则2611(2)15P C ξ===，12262(3)15C P C ξ===，13263(4)15C P C ξ===， 14264(5)15C P C ξ===，15265(6)15C P C ξ===，ξ的概率分布表（略），∴ 123451423456.151********E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 若每次取出后再放回，则得到的两张卡片上的数字中最大数字是随机变量η的取值为1、2、3、4、5、6.则1(1)36P η==，3(2)36P η==，5(3)36P η==，7(4)36P η==，9(5)36P η==，11(6)36P η==，η的分布列（略） ∴ 135791116112345636363636363636E η=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=。