高考数学理第一轮专题复习课件(19)
高考数学第一轮复习立体几何专题题库19.doc
241. 已知点P 是正方形ABCD 所在的平面外一点，PD ⊥面AC ，PD=AD=l ，设点C 到面PAB 的距离为d 1，点B 到平面PAC 的距离为d 2，则（ ） （A ）l <d 1 <d 2（B ）d 1< d 2<l （C ）d 1<l < d 2（D ）d 2<d 1<l解析：l d 221=，l d 332=，故d 2<d 1<l ，选D 。
242.如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。
点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a ).20(<<a （1）求MN 的长；（2）当a 为何值时，MN 的长最小； （3）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小。
解析：（1）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连接PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP=NQ ，即MNQP 是平行四边形。
∴MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1,∴2==BF AC ,21,21a BQ a CP ==, 即2aBQ CP ==, ∴=+-==22)1(BQ CP PQ MN )20(21)22()2()21(222<<+-=+-a a a a（2）由（1）知: 2222==MN a 时，当，的中点时，分别移动到即BF AC N M ,, 22的长最小，最小值为MN (3)取MN 的中点G ，连接AG 、BG ，∵AM=AN,BM=BN ，∴AG ⊥MN,BG ⊥MN ，∴∠AGB 即为二面角α的平面角。
又46==BG AG ，所以由余弦定理有 ADE31464621)46()46(cos 22-=∙∙-+=α。
故所求二面角)31arccos(-=α。
243. 如图，边长均为a 的正方形ABCD 、ABEF 所在的平面所成的角为)20(πθθ<<。
高考理科数学一轮总复习课标通用版课件：第2章函数2-4
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高考总复习/新课标版 数学·理
[强化训练 1.1] 已知 y＝f(x)是二次函数，且 f(－32＋x)＝f(－23－x)对 x∈R 恒成立，f(－ 32)＝49，方程 f(x)＝0 的两实根之差的绝对值等于 7.求此二次函数的解析式．
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答案
1．(1)ax2＋bx＋c (2)a(x－h)2＋k
(3)a(x－x1)(x－x2) 2．(1)－2ba (2)(－2ba，4ac4－a b2) (3)向上 向下 (4)[4ac4－a b2，＋∞) (－∞，4ac4－a b2]
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02 函数的概念、基本初等函数 (Ⅰ)及函数的应用
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§2.4 二次函数
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2．(教材改编)若函数 f(x)＝4x2－kx－8 在区间[5，20]上是单调函数，则实数 k 的取 值范围是________．
解析：二次函数的对称轴方程是 x＝8k，
故只需8k≤5 或8k≥20，即 k≤40 或 k≥160. 故所求 k 的取值范围是(－∞，40]∪[160，＋∞) 答案：(－∞，40]∪[160，＋∞)
高考数学一轮总复习课件：专题研究-利用导数证明不等式
2a2－4或x＝a＋
a2－4 2.
当x∈(0，a－ 2a2－4)，(a＋ 2a2－4，＋∞)时，f′(x)<0；当
x∈(a－ 2a2－4，a＋ 2a2－4)时，f′(x)>0.
所以f(x)在
0，a－
a2－4
2
，
a＋
2a2－4，＋∞
上单调递
减，在a－ 2a2－4，a＋ 2a2－4上单调递增．
(2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a>2时
课外阅读
一、赋值法证明正整数不等式 (1)函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质 证明数列不等式，证明此类问题时常根据已知的函数不等式， 用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量．通过多次 求和达到证明的目的．此类问题一般至少两问，所证的不等式 常由第一问根据待证式的特征而得到． (2)已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式 为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、 对数式的互化，如ex>x＋1可化为ln(x＋1)<x等．
所以函数h′(x)＝ex＋1－
1 x＋1
在(－1，＋∞)上有唯一零点
x0，且x0∈－12，0. 因为h′(x0)＝0，所以ex0＋1＝x0＋1 1， 即ln(x0＋1)＝－(x0＋1)． 当x∈(－1，x0)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(x0，＋
∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：
f（x1）－f（x2） x1－x2
<a
－2.
【思路】 (1)求f(x)的定义域，对函数f(x)求导，对参数a进
行分类讨论，即可判断f(x)的单调性；(2)结合(1)，求出f(x)存在
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：统计与统计分析
n
uivi－n u ·v
n
u
i－
u
2
i＝1
i＝1
^
^
＝
，α＝ v －β u .
n
u2i －n u 2
i＝1
123456
7
7
参考数据： yi＝9.24， tiyi＝39.75，
i＝1
i＝1
7
yi－ y 2≈0.53， 7≈2.646.
i＝1
样本相关系数 r＝
n
xi－ x yi－ y
i＝1
.
n
123456
由图可知，10×(2×0.005＋a＋0.02＋0.025＋0.03)＝1， 解得a＝0.015. 设中位数为x， 则0.05＋0.15＋0.2＋0.03× (x－70)＝0.5， 所以 x＝2320. 这100人问答成绩的平均数为 45×0.05＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝72.
n
xi－ x 2 yi－ y 2
i＝1
i＝1
123456
由 y ＝9.724＝1.32，
7
ti－ t yi－ y
^ i＝1
又由(1)得b＝
7
ti－ t 2
＝22.789≈0.10，
i＝1
^
^
a＝ y －b t ≈1.32－0.10×4＝0.92，
^
所以 y 关于 t 的经验回归方程为y＝0.92＋0.10t.
i＝1
7
xiyi－7
i＝1
所以b^ ＝
7
x
·y
＝452－7×42×8 70＋7m＋n，
x2i －7 x 2
i＝1
高考数学专题讲座ppt课件
重视近五年新课程高考试题的演练。
21
1．选择、填空题的强化训练．
选择题要在速度，准确率上下功夫．定
时定量进行训练（每周1～2次），总量不少 于8次，14（理8+6、文10+4）道选择、填空 题一般用时30～50分钟，“优秀生” 要争取 有更多的时间完成解答题。做选择填空题要
重视直接解法的训练，不要过分依赖特殊解
强化训练 提炼方法
通过专题复习和综合演练（套卷，选择、填空题的专项 训练等），达到对知识的全面整合。在整套试卷的模拟 训练中，对错题所涉及到的知识点，题型方法、数学思 想等方面，自我检查，及时补救。做到“二个强化二个 重视” ：
选择、填空题的强化训练．
前三个大题的强化训练。
重视初中与高中、高中与大学衔接知识的复习。
出同样的写出参数方程的要求。
8
减低要求部分
（1）、反函数的处理，只要求以具体的函数为例进行解释和直观理解， 不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数；
（2）、仅要求认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，对棱 柱、正棱锥、球的性质由“掌握”降为不作要求；
（3）、不要求使用真值表； （4）、对双曲线的定义、几何图形和标准方程度要求由“掌握”降为
高考数学专题讲座：
科学备考 迈向成功
1
合理规划复习的三个阶段：
I：现在～I模（3月中旬） II ：I模（3月中旬）～II模（4月下旬） III ：II模（4月下旬）～5月下旬
2
第一阶段【现在～Iห้องสมุดไป่ตู้（3月中旬）】：
夯实基础 形成能力 一、全面复习基本知识和基本技能
第一轮复习，基本上涵盖数学学科的基础知 识，这一阶段应该在老师的带领下，对每一 章的知识进行梳理，构建框架，使知识系统 化、条理化，注重“通理通法”，抓住重点， 总结规律，形成知识板块和网络。
2022年高考数学一轮复习考点专题19、不等式有解和恒成立问题(解析版)【上海专用】
考向19 不等式有解和恒成立问题1.（2020•上海真题）下列不等式恒成立的是（）A 、222a b ab +≤B 、22-2a b ab +≥C 、2a b ab+≥-D 、2a b ab +≤【答案】B含参不等式的恒成立与有解问题是高考与会考考察不等式的一个重点内容，也是常考的内容。
因此这部分内容是十分重要的。
大致来说这类问题在高考中有两种解法，一种是二次函数法，另一种是分离变量法。
➢ 不等式有解与不等式恒成立问题✧ 子知识点一：二次函数法。
在高考中，很多不等式可以通解变形为一元二次不等式。
因此利用二次函数来求解不等式的恒成立（有解）问题是一个非常有用的方法。
✧ 子知识点二：分离参数法。
所谓分离参数法就是将不等式同解变形为()a f x >或者()a f x <的形式，然后再利用以下命题进行求解。
m min ax ()()(())a f x a x a f x f >⇔>>恒成立（有解） ； m max in ()()(())a f x a x a f x f <⇔<<恒成立（有解）..一、单选题 1．（2022·全国高三专题练习（理））若关于x 的不等式22840x x a --->在[1,4]内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(4,)-+∞B ．(,4)-∞-C ．(12,)-+∞D ．(,12)-∞-【答案】B【分析】关于x 的不等式22840x x a --->在[1,4]内有解，等价于在[1,4]内()2max284x x a -->，然后求出()2max284x x --即可【详解】解：关于x 的不等式22840x x a --->在[1,4]内有解，等价于在[1,4]内()2max284xx a -->，令2()284,[1,4]f x x x x =--∈， 因为抛物线的对称轴为824x -=-=， 所以当4x =时，()f x 取最大值(4)2168444f =⨯-⨯-=-， 所以4a ，故选：B2．（2020·安徽淮北·高三（理））已知命题P ：“存在正整数N ，使得当正整数n N >时，有111112020234n+++++>成立”，命题Q ：“对任意的R λ∈，关于x 的不等式10011.0010x x λ->都有解”，则下列命题中不正确．．．的是（ ） A ．P Q ∧为真命题 B ．()P Q ⌝∨为真命题 C ．()P Q ∨⌝为真命题 D ．()()P Q ⌝∨⌝为真命题【答案】D【分析】直接利用放缩法证得命题P 是真命题；利用指数函数和幂函数的性质，分类讨论可知命题Q 为真．进而利用复合命题的真假性判定. 【详解】解：对于任意2,k k N ≥∈,11112111111212122222222k k k k k k k k k ----++⋯+>++⋯+==++项， 21111111111111112342232212222k k k kk --⎛⎫⎛⎫+++++=++++++++>+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 为使111112020234n+++++>，只需要2,12020,2k kn ≥+≥只需要2048k ≥,40382n ≥，故取403821N =-时，只要n N >成立，111112020234n+++++>便成立.故命题P 是真命题；对于命题Q ：∵1.0010x >，∴当0λ≤时，只要0x ≥，则10011.0010x x λ->成立； 当0λ>时，只要0x ≤，10011.0010x x λ->成立，所以对于λ∀∈R ,关于x 的不等式10011.0010x x λ->都有解，故命题Q 为真命题.从而P Q ∧为真命题，()P Q ⌝∨为真命题， ()P Q ∨⌝为真命题，()()P Q ⌝∨⌝为假命题．故选：D ．3．（2019·上海市建平中学）已知()f x 为奇函数，当[]0,1x ∈时，()1122f x x =--，当(],1x ∈-∞-，()11x f x e --=-，若关于x 的不等式()()f x m f x +>有解，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()()1,00,-+∞B ．()()2,00,-+∞C ．()1ln 2,10,2⎛⎫---+∞ ⎪⎝⎭D ．()1ln 2,00,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】利用()f x 为奇函数及已知区间解析式求出()f x 在x ∈R 上分段函数的表示形式，由()()f x m f x +>有解，即0x R ∃∈使()()00f x m f x +>即可，结合函数图象分析即可得m 的取值范围；【详解】若[]1,0x ∈-，即[]0,1x -∈，则()11121222f x x x -=---=-+； ∵()f x 是奇函数， ∴()()1122f x x f x -=-+=-，则()1212f x x =+-，[]1,0x ∈-； 同理，若[)1,x ∈+∞，即(],1x -∈-∞-，则()()11xf x ef x -+-=-=-，有()11x f x e -+=-，[)1,x ∈+∞；综上，有111,112||1,102()112||,0121,1x xe x x xf x x x ex ---+⎧-≤-⎪⎪+--≤≤⎪=⎨⎪--≤≤⎪⎪-≥⎩作出函数()f x 的图象如图：1、当0m >时，()f x m +是()f x 的图象向左平移m 个单位，即如下图此时()()f x m f x +>有解，满足条件.2、当0m <时，()f x m +是()f x 的图象向右平移m 个单位，即如下图当()f x m +的图象与()f x 在1x >相切时，()1x f x e -'=，此时对应直线斜率2k =，由12x e -=，得ln 21x =+，此时ln 21111y e +-=-=，即切点坐标为()1ln 2,1+； 设切线方程为()2y x a =-，此时()121ln 2a =+-，得1ln 22a =+； ∴当10ln 22m <-<+时，满足题设条件，解之得：1ln 202m --<<； 综上，有1ln 202m --<<或0m >，即m 的取值范围是()1ln 2,00,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭；故选：D.【点睛】本题考查了利用函数奇偶性求函数解析式，并利用函数不等式能成立，结合函数图象分析边界情况，利用导数求边界值，进而得到参数范围； 二、填空题4．（2021·广西柳州·高三（理））定义域为实数集的偶函数()f x 满足()()11,f x f x x R+=-∈恒成立，若当[]2,3x ∈时，()f x x =，给出如下四个结论： ①函数()f x 的图象关于直线4x =-对称；②对任意实数a ，关于x 的方程()0f x x a --=一定有解；③若存在实数a ，使得关于x 的方程()0f x x a --=有一个根为2，则此方程所有根之和为20-；④若关于x 的不等式()0f x x a --<在区间[)0,+∞上恒成立，则a 有最大值． 其中所有正确结论的编号是__________． 【答案】① ②【分析】由已知根据周期函数定义可得，函数()f x 为周期为2的函数，对于①：结合函数的周期性与对称性可得，函数的对称轴为：()x k k Z =∈，从而可判断； 对于②：问题可转化为函数()f x 的图象与函数||y x a =-的图象一定有交点，在同一个直角坐标系中，作出两个函数||y x =与()y f x =的图象即可判断； 对于③：将2x =代入方程，求出4a =或0，分析0a =不符合题意； 对于④：当0a <时， ||()min max x a f x ->，即||2a ->，即可判断.【详解】解：函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，对任意x ∈R 恒成立，∴用1x +替换上式中的x 可得，(2)()f x f x +=， ∴函数()f x 为周期为2的函数，又函数为偶函数，∴()f x 图象关于y 轴对称，对于①：结合函数的周期性与对称性可得，函数的对称轴为：()x k k Z =∈， 由此可得，函数关于直线4x =-对称，故①正确；对于②：方程()||0f x x a --=一定有解，即方程()||f x x a =-一定有解，即函数()f x 的图象与函数||y x a =-的图象一定有交点.因为函数||y x a =-的图象是将函数||y x =的图象沿x 轴平移||a 个单位长度得到的， 所以在同一个直角坐标系中作出两个函数||y x =与()y f x =的图象如下：由图象可得，将||y x =左右平移后一定会与函数()y f x =相交，故②正确；对于③：如图，若2x =为()y f x =与||y x a =-的一个交点，则当0a =时，||y x =与()y f x = 的图象都关于y 轴对称，所有交点的横坐标之和为0，故③错误；对于④：若关于x 的不等式()||0f x x a --<在区间[)0,+∞上恒成立，即||()x a f x ->恒成立，当0a <时，函数||y x a =-的对称轴在y 轴左侧，且有||()min max x a f x ->， 即||2a ->，解得2a >，或2a <-，2∴<-a ，即实数a 没有最大值，故④错误．故答案为：①②.【点睛】关键点点睛：根据函数()f x 的周期性与对称性，在同一个直角坐标系中，作出两个函数||y x =与()y f x =的图象，借助图象分析求解.三、解答题 5．（2021·全国高三专题练习）已知[3,4]x ∈-.（1）不等式222a x x ≤-+恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若不等式222a x x ≤-+有解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1a ≤；（2）17a ≤.【分析】(1)令2()22f x x x =-+，求出()f x 在[3,4]-上的最小值即可； (2)令2()22f x x x =-+，求出()f x 在[3,4]-上的最大值即可.【详解】令22()22(1)1f x x x x =-+=-+，当[3,4]x ∈-时，()f x 在[3,1]-上单调递减，在[1,4]上单调递增，min ()(1)1f x f ==，max ()(3)17f x f =-=，（1）因222a x x ≤-+在[3,4]x ∈-恒成立，于是得1a ≤， 所以实数a 的取值范围是1a ≤；（2）因不等式222a x x ≤-+在[3,4]x ∈-有解，于是得17a ≤， 所以实数a 的取值范围是17a ≤.6．（2021·正阳县高级中学高三（理））已知函数()2f x x x a =+-+. （1）当1a =时，画出()y f x =的图象；（2）若关于x 的不等式()3f x a ≥有解，求a 的取值范围. 【答案】（1）图象答案见解析；（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【分析】（1）先对函数化简，然后画出分段函数图像即可；（2）由题意可得()max 3f x a ≥，由绝对值三角不等式可得()2f x a ≤-，从而有23a a -≥，进而可求出a 的取值范围【详解】解：（1）1a =时，()1,22123,211,1x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+-+=+-<≤-⎨⎪>-⎩，其图像为：（2）若关于x 的不等式()3f x a ≥有解，即()max 3f x a ≥， ∵()222f x x x a x x a a =+-+≤+--=-， ∴23a a -≥，∴23a a -≥或23a a -≤-， 故12a ≤或1a ≤-，故12a ≤， 故a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.7．（2021·江西萍乡·高三（理））已知()3544f x x x =-++.（1）关于x 的不等式()2f x a a ≤-有解，求实数a 的取值范围；（2）设,m n R +∈，且22m n +=()1212m n f x ++【答案】（1）(][),12,-∞-⋃+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）利用绝对值三角不等式求出()min f x ，不等式转化为22a a ≤-，解一元二次不等式即可.（2）由（1）可得()222f x (((2221212121m n m n ⎡⎤++≤+++⎢⎥⎣⎦，即证.【详解】（1）由()()()353524444f x x x x x =-++≥--+=所以原不等式等价于22a a ≤-，得1a ≤-，或2a ≥(][),12,a ∴∈-∞-+∞（2）由（1）知()min 2f x =，即()222f x ((()222121212121218m n m n m n ⎡⎤++≤+++=+++=⎢⎥⎣⎦()121222m n f x ∴++8．（2020·全国高三专题练习）已知p ：1x 和2x 是方程220x mx --=的两个实根，不等式21253a a x x --≥-对任意实数[]1,1m ∈-恒成立；q ：不等式2210ax x +->有解，若p 为真，q 为假，求a 的取值范围．【答案】1a ≤-试题分析：由韦达定理可得12x x -[]1,1m ∈-时，12max ||3x x -=，不等式21253a a x x --≥-对任意实数[]1,1m ∈-恒成立即2533a a --≥，可得6a ≥或1a ≤-；不等式2210ax x +->有解的充要条件为1a >-，则由p 为真，q 为假可得a 的取值范围． 试题解析：∵1x ，2x 是方程220x mx --=的两个实根， ∴12x x m +=，122x x =-，∴12124x x x x -== ∴当[]1,1m ∈-时，12max ||3x x -=，由不等式21253a a x x --≥-对任意实数[]1,1m ∈-恒成立，可得2533a a --≥，∴6a ≥或1a ≤-，① 若不等式2210ax x +->有解，则 当0a >时，显然有解，当0a =时，2210ax x +->有解， 当0a <时，∵2210ax x +->有解， ∴440a ∆=+>，∴10a -<<， ∴不等式2210ax x +->有解时1a >-， ∴q 假时a 的范围为1a ≤-，② 由①②可得a 的取值范围为1a ≤-． 考点：命题真假性的应用9．（2021·全国高三（理））已知函数f (x )=|x ﹣m |+|x +2m |. （1）当m =﹣1时，求不等式f (x )≤7的解集； （2）若不等式f (x )≤9有解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）[﹣3，4]；（2）[﹣3，3].【分析】（1）代入m 的值，用零点分段讨论法求解即可； （2）用三角不等式求得()f x 的最小值，进而可得结果. 【详解】（1）m =﹣1时，f (x )=|x +1|+|x ﹣2|=21,23,1212,1x x x x x -⎧⎪-<⎨⎪-<-⎩，∴ x ≥2时，2x ﹣1≤7，解得：2≤x ≤4，x <﹣1时，1﹣2x ≤7，解得：﹣3≤x <﹣1，﹣1≤x <2时，3<7成立，解得：﹣1≤x <2， 故不等式的解集是[﹣3，4]；（2）因为()2()(2)33f x x m x m x m x m m m =-++≥--+=-=， 所以min ()3f x m =，依题意可得39m ≤，解得33m -≤≤， 即实数m 的取值范围是[3,3]-.【点睛】结论点睛：对于不等式有解问题，常用到以下两个结论： （1）()a f x ≥有解min ()a f x ⇔≥； （2）()a f x ≤有解max ()a f x ⇔≤.10．（2022·全国高三专题练习（理））已知函数2()21x x af x -=+为定义在R 上的奇函数，（1）求()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 的单调性，并用单调性定义证明；（3）若关于x 的不等式(())()0f f x f t +<有解，求t 的取值范围． 【答案】（1）1a =；（2）()f x 在R 上单调递增，证明见解析；（3）1-∞（，］【分析】（1）根据奇函数的定义得到()()f x f x -=-，化简可求得a 的值；（2）先取12x x <，然后根据()()12f x f x -与0的大小关系可证明出()f x 在R 上的单调性；（3）利用()f x 的奇偶性和单调性将问题转化为min2121x x t ⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭，根据指数函数的值域求解出2121x x -+的取值范围，从而可求t 的取值范围. 【详解】（1）因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以222121x x x x a a-----=++， 所以2122121x x x x a a --⋅=++且120x +>，所以212x x a a -=-⋅，所以()()1212x xa +=+， 所以1a =；（2）()f x 在R 上单调递增； 由条件知()2121x x f x -=+，任取12x x <，所以()()()()()()()()12211212121221212121212121212121x x x x x x x x x x f x f x -+--+---=-=++++， 所以()()()()()1212122222121x x x x f x f x --=++，又因为12x x <，2x y =在R 上单调递增，所以12220x x -<且()()1221210x x++>，所以()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <， 所以()f x 在R 上单调递增；（3）因为(())()0f f x f t +<有解，所以(())()f f x f t <-有解， 由()f x 的奇偶性可知：(())()f f x f t <-有解， 由()f x 的单调性可知：()f x t <-有解，所以2121x x t -<-+有解，所以min2121x x t ⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭，因为2121221212121x x x x x-+-==-+++，()211,x+∈+∞， 所以()20,221x ∈+，()211,121x-∈-+， 所以1t --＞，所以1t ＜，即t 的取值范围是1-∞（，）.【点睛】思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如()()()()0f g x f h x +>的不等式的思路： （1）利用奇偶性将不等式变形为()()()()f g x f h x >-；、 （2）根据单调性得到()g x 与()h x -的大小关系；（3）结合函数定义域以及()g x 与()h x -的大小关系，求解出x 的取值范围即为不等式解集. 11．（2021·全国高三（理））已知函数()f x x a x b =-+-，,a b ∈R ．（1）当1b =时，对任意的m R ∈，关于x 的不等式()222f x m m -+＜总有解，求实数a 的取值范围．（2）当0,0a b =＞时，求不等式()2f x ＜的解集．【答案】（1）()0,2；（2）当2a ≥时，()2f x ＜的解集为∅；当02a ＜＜时，()2f x ＜的解集为22,22a a -+⎛⎫⎪⎝⎭． 【分析】（1）当1b =时，()1f x x a x =-+-，原问题转化为()()2min min 2+2f x m m -＜成立，根据二次函数的性质和绝对值三角不等式可求得实数a 的取值范围；（2）当0a ＞，0b =时．分类讨论可求得函数()f x 的解析式，作出()f x 的大致图象如图所示，分2a ≥和02a ＜＜两种情况，求得不等式的解集. 【详解】（1）当1b =时，()1f x x a x =-+-，因为对任意得m R ∈，关于x 的不等式()22+2f x m m -＜总有解，所以()()2min min2+2f x m m -＜，又()222+2=111y m m m =--+≥，当且仅当1m =时取最小值1，()()()11f x x a x a ≥---=-，当且仅当()()10x a x --≤时取等号，故只需11a -＜，解得，02a ＜＜， 即实数a 的取值范围为()0,2；（2）当0a ＞，0b =时．()2,,0,2,0x a x af x x a x a x a x a x -≥⎧⎪=-+=≤≤⎨⎪-+≤⎩作出()f x 的大致图象如图所示； 令22x a -=，得()122x a =+， 令22x a -+=，得()122x a =-， 结合图象可得，当2a ≥时，()2f x ＜得解集为∅，当02a ＜＜时，()2f x ＜得解集为22,22a a -+⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 12．（2021·全国（理））已知关于x 的不等式|1||2||1|x x t t +--≥-+有解． （1）求实数t 的取值范围；（2）若,,a b c 均为正数，m 为t 的最大值，且a b c m ++=．求证：22243a b c ++≥． 【答案】（1）(,2]-∞；（2）证明见解析．【分析】（1）依题意得()f x 取得最大值为3，原不等式等价于max ()3|1|f x t t =≥-+，讨论t 即可求解范围；（2）根据（1）可得,,a b c 均为正实数，且满足2a b c ++=，由()2223a b c ++≥2222222(2)4a b c ab bc ac a b +++++=++=，即可证明．【详解】解：（1）3,2()1221,123,1x f x x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩，∴当2x ≥时，()f x 取得最大值为3，关于x 的不等式|1||2||1|x x t t +--≥-+有解等价于max ()3|1|f x t t =≥-+， 当1t ≥时，上述不等式转化为31t t ≥-+，解得12t ≤≤， 当1t <时，上述不等式转化为31t t ≥-++，解得1t <， 综上所述t 的取值范围为2t ≤， 故实数t 的取值范围(,2]-∞；证明：（2）根据（1）可得,,a b c 均为正实数，且满足2a b c ++=， ()()()()2222222222223a b c a b c a b b c a c ++=++++++++≥2222222(2)4a b c ab bc ac a b +++++=++=，当且仅当23a b c ===时，取等号， 所以22243a b c ++≥． 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 13．（2021·上海）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，||2ϕπ<）的图象与x 轴的交于A ，B 两点，A ，B 两点的最小距离为2π，且该函数的图象上的一个最高点的坐标为,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求证：存在大于3π的正实数0x，使得不等式|()|ln f x x>(0x 有解.（其中e 为自然对数的底数）【答案】（1）2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）证明见解析.【分析】（1）由题可得2A =，周期为π，则可求出2ω=，由212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可解得3πϕ=；（2）问题可化为1|()|2f x >在区间(0x 有解，再求解不等式sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】解：（1）由题意可知，2A =，122T π=，故函数()f x 的周期为π，故2ω=，故()2sin(2)f x x ϕ=+，2sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则2,62k k Z ππϕπ+=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈，||2πϕ<，∴3πϕ=，∴2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）证明：因为03x π⎛∈ ⎝，故当(0x x ∈时，10ln 2x <<，原不等式可化为|()|f x x >，又因为10ln 2x <<，则12x >，要使得|()|f x x >在(0x 有解，只需1|()|2f x >在区间(0x 有解，代入得：sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭当sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,6x k k πππ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，k Z ∈时，此时与区间,6k k π⎛⎫ππ+ ⎪⎝⎭与区间(0x 的交集为空集，当sin 23x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭,23x k k ππππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，k Z ∈时，令1k =得2,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，满足sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭2π>，故只需0,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，原不等式在区间(0x 有解. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数不等式有解问题，解题的关键是将问题转化为1|()|2f x >在区间(0x 有解，从而求解sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭1．（★★★☆）已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）【答案】[－2，0] 【解析】由题意作出的图象(如图)当a>0时直线y=ax 过一、三象限（如图），必与y=ln(x+1)相交，所以a ≤0 当a ≤0时，直线y=ax 过三、四象限对x>0，|f(x)|=ln(x+1)> ax 成立; 对x<0，由|f(x)|=x 2－2x ≥ax a ≥x －2，而当x<0时x －2<－2，所以a ≥－2综合知－2≤a ≤02．（★★☆☆）设x ∈R ，如果lg(|3||7|)a x x <-++ 恒成立，那么 ( ) A ．1a ≥ B ．1a > C ．01a <≤ D ．1a < 【答案】D【解析】本题考查对数运算和性质，绝对值不等式的性质，不等式恒成立的含义. 不等式恒成立，等价于的最小值；因为所以；所以故选D3．（★★☆☆）存在实数a 使不等式12x a -+≤ 在[1,2]- 成立,则a 的范围为【答案】【解析】有解问题，()1(1)1max224x a -+--+≤==4．（★★★☆）当102x ≤≤ 时，不等式sin x kx π≤恒成立.则实数k 的取值范围是 【答案】【解析】画出sin y x π=与y kx = 的图像，由图像易知当y kx =过1,12⎛⎫⎪⎝⎭时，k 取最大值。
高三数学第一轮复习课件(ppt)目录
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目录 CONTENTS
第二章
2.1 函数及其表示 2.2 函数的单调性与最值 2.3 函数的奇偶性与周期性 2.4 一次函数、二次函数 2.5 指数与指数函数 2.6 对数与对数函数 2.7 幂函数 2.8 函数的图象及其变换 2.9 函数与方程
函数
2.10 函数模型及其应用
第一讲：三角函数
S ABC=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2ah，可得sinA=√15/8，sinC=√15/4。
∴cosA=7/8,cosC=1/4，
∴cos（A-C）=7/8 x 1/4 + √15/8 x √15/4
=11/16 c=2
A
b=2
h=√15/2
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B
C 1/2 a
1/2
C、﹙1，＋∞﹚
D、[1，＋∞﹚
解析：由于3x＞0，所以3x+1＞1，所以f（x）＞0，集合表示为（0，＋∞），答案为A
2、已知函数y=2x＋1的值域为（5,7），则对应的自变量x的范围为（
）
A、[2,3）
B、[2,3]
C、(2,3)
D、（2,3]
解析：根据题意：5＜2x+1＜7,解得2＜x＜3，用集合表示为（2,3），答案为C
A [1,2]
解析：解二元一次不等式x2 +2x-8≤0，可得-4≤x≤2，所以M为[-4,2]; 解不等式3x-2≥2x-1,可得x≥1,所以N为[1,＋∞﹚。此时我们可以应用数轴马 上解决问题：
-4 0 1 2
如图所示，阴影部分即为所求。答案：A 启示：掌握好数轴工具，在集合、函数问题（ B
B、﹙－∞，5]
）
D、[5，＋∞﹚
高考一轮总复习数学(理)课件 第2章 函数、导数及其应用 2-11 板块一 知识梳理 自主学习ppt版本
第2章 函数、导数及其应用 第11讲 导数在研究函数中的应用
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点1 函数的导数与单调性的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内 单调递增 ； (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内 单调递减 ； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是 常数函数 ．
1
－
a.
∴
f′(x)
＝
1 x
－
ax
＋
a
－
1
＝
－ax2＋1＋ x
ax－x.①若
a≥0，当
0<x<1
时，f′(x)>0，f(x)
单调递增；当 x>1 时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以 x＝1
是 f(x)的极大值点．②若 a<0，由 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x
＝－1a.因为 x＝1 是 f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－
命题角度2 根据函数的单调性求参数范围
例2 已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]
上是单调减函数，则a的取值范围是(
)
A．0，34
C．34，＋∞
B.12，34 D.0，12
[解 析 ] f′(x)＝ (2x－ 2a)ex ＋ (x2 － 2ax)ex ＝ [x2 ＋ (2 － 2a)x－2a]ex，由题意知当 x∈[－1,1]时，f′(x)≤0 恒成立， 即 x2＋(2－2a)x－2a≤0 恒成立．
①当－a2≤1 时，即－2≤a＜0 时，f(x)在[1,4]上的最小
值为 f(1)，由 f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得 a＝±2 2－2，均不符
2020年高考数学一轮复习专题19三角函数的图像与性质(含解析)
专题19 三角函数的图像与性质一、【知识精讲】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π[微点提醒] 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.3.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数. 二、【典例精练】考点一 三角函数的定义域、值域(最值) 【例1】 (1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________.(2(2016·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A.4B.5C.6D.7【答案】(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z (2)B【解析】 (1)函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π （k ∈Z ），－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π （k ∈Z ）， 所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时，函数f (x )的最大值为5.【解法小结】 1.求三角函数的定义域其实质是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数的图象求解.2.求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).考点二 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调性【例2－1】 已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R ).(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间. 【解析】 (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝(32)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，得f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝2. (2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x ， 得f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期是π. 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z ).所以，f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z ).角度2 已知单调性求参数【例2－2】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π【答案】A【解析】 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4， 由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.【解法小结】 1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.。
高考数学一轮复习全程复习构想数学(理)【统考版】第二节 命题及其关系充分条件与必要条件(课件)
(2)因为p是q的必要不充分条件，所以{x|x≥2} {x|x>a}，则实数a的取值范围是 a<2.
(四)走进高考 7．[2021·浙江卷]已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b” 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
三、必练4类基础题 (一)判断正误 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)“x－3>0”是命题．( × ) (2)一个命题非真即假．( √ ) (3)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则¬q”．( × ) (4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少 有一个为真．( √ ) (5)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √ ) (6) 命 题 “ 若 p 不 成 立 ， 则 q 不 成 立 ” 等 价 于 “ 若 q 成 立 ， 则 p 成 立”．( √ )
A．逆命题
B．否命题
C．逆否命题
D．否定
答案：B
解析：“正数a的平方不等于0”即“若a是一个正数，则它的平方不等于0”， 其否命题为“若a不是正数，则它的平方等于0”．故选B.
2．对于命题“单调函数不是周期函数”，下列说法正确的是( ) A．逆命题为“周期函数不是单调函数” B．否命题为“单调函数是周期函数” C．逆否命题为“周期函数是单调函数” D．以上都不正确
答案：D
解析：根据四种命题的构成可知，选项A，B，C均不正确．故选D.
3．下列命题中为真命题的是( ) A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程 B．抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点 C.互相包含的两个集合相等 D．空集是任何集合的真子集
高考数学第1轮总复习 第19讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式课件 理 (广东专版)
(2)原式＝2sisni2n2xx－＋scinoxs＋x 1 cosx sinx
＝sinxcosx(2－cosx－sinx) ＝(－1225)×(2－15)＝－110285.
方法 2：(1)联立方程组sinx＋cosx＝15
①
sin2x＋cos2x＝1
②
由①得 sinx＝15－cosx，将其代入②，
cosx sinx
【解析】方法 1：(1)由 sinx＋cosx＝15，两边平方得 sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝215，得 2sinxcosx＝－2245， 所以(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4295， 又因为－π2<x<0， 所以 sinx<0，cosx>0，sinx－cosx<0， 故 sinx－cosx＝－75.
＝－1.
【点评】(1)求任意角三角函数值的过程可以归纳为“负化 正，大化小，化成锐角再查表”，求值时，一定要认真审 题，选择恰当公式，找出最佳途径，完成求值．
(2)三角函数的化简是各类考试重点的内容之一，要注 意灵活，准确地使用诱导公式．
素材1
已知 cos(75°＋α)＝13，其中 α 为第三象限角，求 cos(105° －α)＋sin(α－105°)的值．
所以
cos(56π－θ)＝cos[π－(π6＋θ)]＝－cos(π6＋θ)＝－
3 3.
5.cos(π＋α)＝－12，则 sin(32π＋α)＝ －12 .
【解析】由 cos(π＋α)＝－cosα，得 cosα＝12， 所以 sin(32π＋α)＝－cosα＝－12.
一 诱导公式的应用
【例 1】(1)求 sin(－136π)的值； (2)化简：
素材2 已知tantaαn－α 1＝－1，求 sin2α＋sinαcosα＋2 的值．
专题19 函数的周期性(解析版)-2022年高考数学一轮复习考点覆盖专项练之函数(全国通用)
专题19 函数的周期性主要考查：函数周期性的应用一、单选题1．已知函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=-，若1(2)2f =，则(2020)f =（ ） A ．12- B ．12 C ．2-D ．2 【解析】11(2)(4)()4()(2)f x f x f x T f x f x +=-∴+=-=∴=+，，， 1(2020)(4)2(2)f f f ∴==-=-，故选：C 2．已知函数()y f x =对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-且(4)()0f x f x -+=成立，若(0)0f =，则()2019(2020)(2021)f f f ++的值为（ ）A ．4B ．2C ．0D ．2-【解析】由(2)()f x f x +=-，可知(2)()f x f x -=．又(4)()f x f x -=-，(4)(2)0f x f x ∴-+-=，(2)()f x f x ∴+=-，(4)[(2)2](2)()f x f x f x f x ∴+=++=-+=，∴函数()y f x =是周期为4的周期函数，(2019)(3)f f ∴=，(2020)(0)f f =，(2021)(1)f f =．由(4)()0f x f x -+=可得(41)(1)0f f -+=，即(3)(1)0f f +=，(2019)(2020)(2021)000f f f ∴++=+=.故选：C ．3．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()4f x f x =-，当[]0,2x ∈时，()21x f x =-，则()21f =（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．3【解析】由()()4f x f x =-知，()f x 图像对称轴为2x =；由()f x 为奇函数得，()f x 图像对称中心为()0,0，则()f x 的周期为8；所以()()()()213311f f f f =-=-=-=-，故选:B.4．设奇函数()f x 的定义域为R ，且(4)()f x f x +=，当(]4,6x ∈时()21x f x =+，则()f x 在区间[)2,0-上的表达式为（ ）A ．()21x f x =+B ．4()21x f x -+=--C ．4()21x f x -+=+D ．()21x f x -=+【解析】当[2,0)x ∈-时，(]0,2x -∈，(]44,6x ∴-+∈又∵当(]4,6x ∈时，()21x f x =+，4(4)21x f x -+∴-+=+ 又(4)()f x f x +=，∴函数()f x 的周期为4T =，(4)()f x f x ∴-+=- ，又∵函数()f x 是R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=- ，∴4()21x f x -+-=+，∴当[)2,0x ∈-时，4()21x f x -+=--．故选：B ．5．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且122f ⎛⎫=⎪⎝⎭()00f ≠，则()2021f =（ ）．A ．2021B ．1C ．0D ．1- 【解析】令0x y ==，则()()()()00200f f f f +=，故()()()20010f f -=，故()01f =，（()00f =舍），令12x y ==，则()()1110222f f f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()10f =．∴()()()()11210f x f x f x f ++-==，即()()()()()()1124f x f x f x f x f x f x +=--⇒+=-⇒+=，故()f x 的周期为4，即()f x 是周期函数．∴()()202110f f ==．故选：C ．6．已知函数()f x 的定义域为R 且满足()()f x f x -=-，()(4)f x f x =+，若(1)6f =，则()()22log 128log 16f f +=（ ）A ．6B ．0C ．6-D ．12-【解析】因为()(4)f x f x =+，所以()f x 的周期4T =，因为函数()f x 的定义域为R 且满足()()f x f x -=-，所以(0)0f =，(1)(1)6f f -=-=-，所以()()22log 128log 16f f +=7422(log 2)(log 2)f f +(7)(4)f f =+()()870f f =-++(1)(0)f f =-+(1)(0)f f =-+60=-+6=-.故选：C7．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则函数()4log y f x x =-的零点个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】()4log y f x x =-的零点个数，即()y f x =与4log y x =的图像的交点个数，作出图像可得共有8个交点.故选：D.8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()πcos 2f x x =，则函数()y f x x =-的零点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【解析】∵()()2f x f x +=，则函数()f x 是周期2T =的周期函数．又∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且[]0,1x ∈时，()πcos2f x x =， ∴当[)1,0x ∈-时，()()ππcos cos 22f x f x x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 令()0f x x -=，则函数()y f x x =-的零点个数即为函数()y f x =和()g x x =的图象交点个数， 分别作出函数()y f x =和()g x x =的图象，如下图，显然()f x 与()g x 在[)1,0-上有1个交点，在0,1上有一个交点， 当1x >时，()1g x >，而()1f x ≤，所以1x >或1x <-时，()f x 与()g x 无交点．综上，函数()y f x =和()g x x =的图象交点个数为2，即函数()y f x x =-的零点个数是2． 故选：A二、多选题9．已知()f x 的定义域为R ，其函数图象关于直线3x =-对称且(3)(3)f x f x +=-，当[0,3]x ∈时，()2211x f x x =+-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 为偶函数B ．()f x 在[6,3]--上单调递减C ．()f x 关于3x =对称D ．(2021)7f =-【解析】对于A ，因为()f x 的定义域为R ，其函数图象关于直线3x =-对称，所以(3)(3)f x f x -=--，又(3)(3)f x f x +=-，所以(3)(3)f x f x +=--，所以[][](3)3(3)3f x f x -+=---，即()()f x f x =-，所以函数为偶函数，故A 正确；对于B ：因为(3)(3)f x f x +=-，所以()()()(3)333f x f x ++=+-，即()()6f x f x +=所以函数是周期为6的周期函数，当[6,3]x ∈--时，[]60,3x +∈，因为当[0,3]x ∈时，()2211x f x x =+-函数在[]0,3上单调递增，所以当[6,3]x ∈--时，()()()6622611x f x f x x +=+=++-，函数在[]6,3--上单调递增，故B 错误；对于C ：因为函数图象关于直线3x =-对称，所以(3)(3)f x f x -=--，又函数是偶函数，所以()()f x f x =-，即()()(3)33f x f x f x ⎡⎤-=--=-⎣⎦，()()(3)33f x f x f x ⎡⎤--=---=+⎣⎦，所以()()33f x f x +=-，所以()f x 关于3x =对称，故C 正确；对于D ：()()()()()()20213366555561f f f f f f =⨯+==-=-+=，又[0,3]x ∈时，()2211x f x x =+-，所以()()120211221117f f ==+⨯-=-，故D 正确；故选：ACD10．已知函数()f x 为偶函数，且()()22f x f x +=--，则下列结论一定正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于点(2,0)-中心对称B ．()f x 是周期为4的周期函数C ．()f x 的图象关于直线2x =-轴对称D ．(4)f x +为偶函数【解析】因为()2()2f x f x +=--，所以()f x 的图象关于点()2,0中心对称，又因为函数()f x 为偶函数，所以()f x 是周期为8的周期函数，且它的图象关于点(2,0)-中心对称和关于直线4x =轴对称，所以()4f x +为偶函数.故选：AD.11．已知(2)y f x =+为奇函数，且(3)(3)f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，4()2log (1)1x f x x =++-，则（ ）A ． ()f x 的图象关于(2,0)-对称B ．()f x 的图象关于(2,0)对称C ． 4(2021)3log 3f =+D ． 3(2021)2f = 【解析】因为(2)f x +为奇函数，所以(2)(2)f x f x -+=-+，即(2)(2)f x f x +=--，，所以()f x 的图象关于(2,0)对称．故选项B 正确，由(2)(2)f x f x +=--可得(4)()f x f x +=--，由(3)(3)f x f x +=-可得()(6)f x f x -=+，所以(4)(6)f x f x -+=+，可得(2)()f x f x +=-，所以()2(()4)f x f x f x -+=+=，所以()f x 周期为4，所以()f x 的图象关于(2,0)-对称，故选项A 正确，43(2021)(45051)(1)2log 212f f f =⨯+==+-=.故选项D 正确，选项C 不正确，故选: ABD ．12．已知函数()f x 的定义域为R ，满足(2)(6),(2)(6)f x f x f x f x +=+-=-，当02x ≤≤时，()22f x x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．(2021)(1)f f =B ．函数(2)f x +是偶函数C ．当06x ≤≤时，()f x 的最大值为6D ．当68x ≤≤时，()f x 的最小值为14- 【解析】对任意实数x 满足(2)(6)f x f x +=+，(4)()f x f x ∴+=即函数()f x 是周期函数，周期为4．(2)(6)(2)(42)(2)f x f x f x f x f x -=-⇒-=+-=-，那么()()f x f x -=，∴函数()f x 是偶函数，(2)(6)f x f x -=-，可得函数()f x 关于2x =对称轴， 又当02x 时，2()2f x x x =-，故函数对应图像大致如图，∴函数()f x 在区间1[4，2]上单调递增．∴函数()f x 在区间[0，1]4上单调递减． ∴当02x 时，函数()f x 的最小值为11()48f =-，最大值为f （2）6=． 且(2021)f f =（1）成立，函数(2)f x +是偶函数成立，当06x 时，()f x 的最大值为6，当68x 时，()f x 的最小值为14-不成立，故正确答案为ABC ． 三、填空题13．已知定义在R 上的函数()f x 满足1(1)()f x f x +=，当(0,1]x ∈时，()2x f x =，则23(log )(2018)16f f +=___________. 【解析】函数()f x 满足：()()11f x f x +=，可得：对x R ∀∈，都有()()()121f x f x f x +==+，∴ 函数()f x 的周期2T =. ∴ ()()()()2log 2223123112log log 34log 3163132log f f f f -⎛⎫=-==== ⎪-⎝⎭， 由()()11012f f ==得()()1201802f f ==， ∴()23217log 201816326f f ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)(3)0f x f x ++-=，且当(3,0)x ∈-时，2()log (3)f x x a =+-，若(7)2(11)f f =，则实数a =______.【解析】因为函数是奇函数，所以()()33f x f x -=--，即()()()()()()33330,33f x f x f x f x f x f x ++-=+--=+=-，所以函数()f x 的周期为6， ()()()()()721112121f f f f f =⇔=-=-，即()10f =，()()110f f -=-=，而()21log 20f a -=-=，解得：1a =.15．设函数()f x 满足对任意x ∈Z ，都有()(1)(1)f x f x f x =-++成立，(1)f a -=，(1)f b =，则(2019)(2020)f f +=________【解析】∵函数()f x 满足()(1)(1)f x f x f x =-++，∴(1)()(2)f x f x f x +=++，两式相加得到0(1)(2)f x f x =-++，即()(3)0f x f x ++=，①，∴f （x +3）+f （x+6）＝0，②由①②可得f （x ）＝f （x+6），∴函数f （x ）的一个周期T ＝6，∴f （2019）＝f （6×336+3）＝f （3）＝-f （0），f （2020）＝f （6×336+4）＝f （4）＝-f （1）,又(0)(01)(01)(1)(1)f f f f f a b =-++=-+=+，∴(2019)(2020)(0)(1)2f f f f a b +=--=--16．已知定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，若函数()()sin F x f x x π=-，在区间[]2,m -上有2021个零点，则m 的取值范围是___________【解析】由题意，函数()f x 为R 上奇函数，所以(0)0f =，且()()f x f x -=-，又(2)()0f x f x -+=，可得(2)()f x f x -=-，可得函数()f x 的图象关于点()1,0对称，联立可得(2)()f x f x -=-，所以()f x 是以2为周期的周期函数，又由函数sin y x =π的周期为2，且关于点(,0)()k k Z ∈对称，因为当(0,1]x ∈时，2()log f x x =-，由图象可知，函数2()log f x x =-和sin y x =π的图象在[)1,1-上存在1234111,,0,22x x x x =-=-==四个零点， 即一个周期内有4个零点，要使得函数()()sin F x f x x π=-，在区间[2,]m -上有2021个零点， 其中1234312,,1,22x x x x =-=-=-=-都是函数的零点,即函数()()sin F x f x x π=-在[]0,m 上有2017个零点，如果m 是第2017个零点，则20171210084m -=⨯=，如果m 是第2018个零点，则12017100822m =+=，即20171008,2m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.四、解答题17．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有(2)()f x f x +=-．当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-．（1）当[2,4]x ∈时，求()f x 的解析式；（2）计算(0)(1)(2)(2020)f f f f ++++的值．【解析】（1）因为(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=．所以()f x 是周期为4的周期函数．当[2,0]x ∈-时，[0,2]x -∈，由已知得22()2()2f x x x x x -=---=--，又()f x 是奇函数，所以2()()2f x f x x x -=-=--，所以2()2f x x x =+．当[2,4]x ∈时，4[2,0]x -∈-，所以2(4)(4)2(4)f x x x -=-+-，又()f x 是周期为4的周期函数，所以22()(4)(4)2(4)68f x f x x x x x =-=-+-=-+．故当[2,4]x ∈时，2()68f x x x =-+．（2）(0)0f =，(1)1f =，(2)0f =，(3)1f =-，又()f x 是周期为4的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f f +++=+++(2012)(2013)(2014)(2015)f f f f ==+++(2016)(2017)(2018)(2019)0f f f f =+++=，所以(0)(1)(2)(2020)(2020)(0)0f f f f f f =+++=+=． 18．设()f x 是定义在R 上的函数，且[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，(2)()f x f x +=-．（1）当[2,0]x ∈-时，求()f x 的表达式；（2）求(1)(2)(3)(2008)f f f f ++++的值；（3）判断()f x 的奇偶性，并求出()f x 的单调区间及()f x 的解析式．【解析】（1）当[2,0]x ∈-时，2[0,2]x +∈，()(2)f x f x =-+=22[2(2)(2)]2x x x x -+-+=+；（2）由(2)()f x f x +=-，得()f x 的周期为4．(1)1f =，(2)0f =，(0)0f =，(1)1f -=-．∴(3)1f =-，(4)0f =，(1)(2)(3)(2008)0f f f f ++++=；（3）由（1）（2）可知：222,[0,2]()2,[2,0)x x x f x x x x ⎧-∈=⎨+∈-⎩，当[2,0)x ∈-时，22()2()()(2)()f x x x x x f x -=---=-+=-，当2(]0,x ∈时，22()()2()(2)()f x x x x x f x -=-+-=--=-，而(0)0f =，所以当[2,2]x ∈-时，函数是奇函数，因为函数的周期为4，所以函数在整个定义域内是奇函数；当[0,2]x ∈时，()()22211f x x x x =-=--+， 则有当[0,1]x ∈时，函数单调递增，当[1,2]x ∈函数单调递减，当[2,0)x ∈-时，()222(1)1f x x x x =+=+-，则有当[2,1]x ∈--时，函数单调递减，当[1,0)x ∈-函数单调递增，而(0)0f =因此有当[2,1]x ∈--时，函数单调递减，当[1,1]x ∈-函数单调递增，当[1,2]x ∈函数单调递减，而函数的周期为4，所以函数单调区间为：()f x 在[41,41]k k -+上递增，在[4143]k k ++，递减，其中k Z ∈．因为[2,2]x ∈-时，222,[0,2]()2,[2,0)x x x f x x x x ⎧-∈=⎨+∈-⎩ 由函数的周期为4，所以函数的解析式为：222(4)(4),[4,42]()()(4)2(4),[42,4)x k x k x k k f x k Z x k x k x k k ⎧---∈+=∈⎨-+-∈-⎩. 19．已知函数()y f x =，()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，且()15f =-. （1）求()f x 的一个周期；（2）求()()25f f 的值.【解析】（1）由()()12f x f x +=，所以()()()142f x f x f x +==+， 所以函数的一个周期为4（2）()()251f f =，又()15f =-，所以()()2515f f ==-，所以()()()()()11255115f f f f f =-=-==- 20．已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()1()11()f x f x f x -+=+. （1）若1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求52f ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）证明：2是函数()f x 的周期；（3）当[)0,1x ∈时，()f x x =，求()f x 在[)1,0x ∈-时的解析式，并写出()f x 在[)()21,21x k k k Z ∈-+∈时的解析式.【解析】（1）1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1111312211231122f f f ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭∴=== ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭， 3111512313221132f f f ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭∴=== ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭； （2）因为()1()11()f x f x f x -+=+，令x 取1x +得， 所以1()11(1)1()(2)()1()1(1)11()f x f x f x f x f x f x f x f x ---+++===-++++， 所以，2是函数()f x 的周期.（3）当[)1,0x ∈-时，[)10,1x +∈，则()11f x x +=+，又()1()11()f x f x f x -+=+，即1()11()f x x f x -=++，解得()2x f x x =-+. 所以，当[)1,0x ∈-时，()2x f x x =-+.所以，[)[),1,0()2,0,1x x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩. 因为()f x 的周期为2，所以当[)()21,21x k k k Z ∈-+∈时， ()[)[)2,21,2()2222,2,21x k x k k f x f x k x k x k x k k -⎧-∈-⎪=-=-+⎨⎪-∈+⎩.21．已知定义域为R 的函数()f x 是以2为周期的周期函数，当[]0,2x ∈时，()()21f x x =-； （1）求()2015f 的值；（2）求()f x 的解析式；（3）若()()lg g x f x x =-，求函数()g x 的零点的个数.【解析】（1）由题意，()f x 是以2为周期的周期函数，∴()()()()220152*********f f f =⨯+==-=.（2）由题意，对于任意的x ∈R ，必存在一个k Z ∈，使得(]2,22x k k ∈+，则(]20,2x k -∈，∴()()()2221f x f x k x k =-=--， ∴()f x 的解析式为：()()(]()221,2,22,f x x k x k k k Z =--∈+∈. （3）由()0g x =，()lg 0f x x -=，即()lg f x x =，∵当[]0,2x ∈时，()01f x ≤≤.()f x 最小值为0，最大值1，其它区间可根据周期性进行平移. 又∵lg101=，∴当010x <<时，lg 1x <；当10x >时，lg 1x作出()y f x =与lg y x =的大致图像如下：()y f x =与lg y x =的图像在(]0,10上有10个交点，在()10,+∞上没有交点.∴函数()g x 的零点的个数为10.22．设()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 有3()2f x f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭成立. （1）证明：对任意实数x ，等式(3)()f x f x +=成立；（2）若(1)2f =，求(2)(3)+f f 的值； （3）若函数2()3g x x ax =++，且函数()|()|()h x f x g x =⋅是偶函数.求函数21y x x a=++的单调区间. 【解析】（1）由3()2f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且()()f x f x -=-， 可知33(3)22f x f x ⎡⎤⎛⎫+=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[]3()()2f x f x f x ⎛⎫=-+=--= ⎪⎝⎭，所以()y f x =是周期函数，且3T =是其一个周期.所以对任意实数x ，等式(3)()f x f x +=成立.（2）因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，且(1)(1)2f f -=-=-，又3T =是()y f x =的一个周期， 所以()()()()2310202f f f f +=-+=-+=-；（3）因为|()|()y f x g x =⋅是偶函数，由于|()||()||()|-=-=f x f x f x ，所以|()|y f x =是偶函数，所以2()3g x x ax =++为偶函数，即()()g x g x -=恒成立.于是22()()33x a x x ax -+-+=++恒成立，于是20ax =恒成立，所以0a =. 所以()22111==1y x x a x x x x =++++，1x ≠-且0x ≠，由复合函数的单调性可知， 函数单调递增为1(,1),(1,)2-∞---；单调递减为1(,0),(0,)2-+∞.。
立体几何高考备考课件-2025届高三数学一轮复习
加强文字语言、符号语言和图形语言的转化训练，认识基本图形，对图形进 行分解组合，提高图形的解读能力.
二、研究高考题
1、研究历年真题找共性；高考真题中反复出现的知识点是高考的高频考点，观察高频考点是怎样 反复出现在高考试题中，命题专家是如何对重点知识进行考查。从最近五年的高考真题中发现试题 的共同特征。 2、研究近年真题找趋势；年年岁岁花相似，岁岁年年题不同。每一年都有一些比较创新性的题目 出现，为了落实课程标准的育人目标，在高考试题中一定出现创新性的试题，而且还有利于高校对 考生的选拔要求，这些变换趋势是高考试题的走向，可以从高考试题中"嗅"到一些新发现。 3、研究相同考点找规律；重点内容重点考查，相同知识点出现不同的考查形式，这有利于进行变 式练习和探寻一题多解的数学解题功能，而且还是比较好的素材，比一般市面上的模拟试题性价比 还高。每一年试题的规律都是在变化之中探寻不变性，可以从试题中找到一些规律，有利于教学设 计的"高标准"定位。
三、回扣课本
回扣课本，回归学科本质，对新高考而言及其重要，但真要回扣课本，极难。
如果仅仅在课前罗列一下基础知识，那么绝对称不上什么回扣课本。
回扣课本的要义是首先让整个高中数学知识系统化，然后挖掘其中的数学基本思想与方法， 使之成为一条线。它的目的之一是在遇到题目需要利用这些知识解决问题时能够快速发生联 系，从而找到解题方法，即提供解题思考的线索。因为高考中，中等及中等以上难度的题目 必定出在知识的交汇处，如果学生不能搞清楚哪些知识有交汇，怎么交汇，那么注定不能很 快且准确地找到相关知识点及其思想方法，即找到解题思路。
高考数学一轮专题复习 函数的定义域,解析式课件
元a与 素元 b对素 ,那 应么b 把 叫元 做 a的 素 元 ,元 象 素 素
a叫b的 做原 . 象
原象组成 M 称 的为 集原 合象 ,则 M 的 与 A 集 的合 关系
是 MA,所有的象组 C称 成为 的,象 则 集 C与 集 B 合
的关C 系 B 是 .
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1
A f:AB B
2 1
4
3
2
3
2
1
(1)则f[g(1)]_________;
(2)当g[f(x)]2时,x______;
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5
例1:集合P{x|0 x4},Q{y|0 y2}, 下列从 P到Q的对应法f不 则能构成映射(的)是 .
A. f : xy1x 2
C. f : xy2x 3
B. f : xy1x 3
D. f : xy1x 8
6.已知 f[g函 (x)的 ]数 定D 义 ,求域 函 f(x)为 的 数
定义 ,只x 域 需 {y|yg(x)}即 ,g(x)的值 . 域
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8
例: 求下列函数的定义域
x2 (1)y
x2 4
(2)y x2 3x2 | x|x
1
(3 )y lo x(x g 1 )
(4)y log2(x1)
2 6
3
8
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2
A
B
A
B
1
2 1
2
4
4
2
6
2
6
3
8
3
8
A
B
A
B
2
2
1
1
4
4
2
6
2
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第2章 §2.1 函数的概念及其表示
3.已知 f(x3)＝lg x，则 f(10)的值为
A.1
B.3 10
√C.13
1
令x3＝10，则x＝103.
1 D. 3 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）
第二章 函 数
§2.1 函数的概念及其表示
考试要求
1.了解函数的含义. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)
表示函数. 3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
教材改编题
y＝x－2 1与 v＝t－2 1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相 同，所以是同一个函数，故选项 D 正确.
教材改编题
3.已知函数 f(x)＝lenx，x，x≤x>00，，
则函数
f
f
13等于
A.3
B.－3
√C.13
D.－13
由题意可知，f 13＝ln 13＝－ln 3，
思维升华
(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其 中的x的取值集合； (2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出； (3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在 [a，b]上的值域.
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.函数的概念 一般地，设A，B是 非空的实数集 ，如果对于集合A中的 任意 一个数x， 按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 唯一确定 的数y和它对应，那 么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素： 定义域 、 对应关系 、 值域 . (2)如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，则这两个函 数为同一个函数.
高考数学一轮总复习课件：导数的概念与运算
(4)f(x)＝ 1－1 2x2；
π (5)f(x)＝cos(3x2－ 6 )．
【解析】 (1)∵f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′，
∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
(2)∵f(x)＝11＋ －
xx＋11＋－
x x
＝（1＋ 1－xx）2＋（1－ 1－xx）2
π 5．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝ 2 处的瞬时变化率为
k1，k2，则k1，k2的大小关系为( A )
A．k1>k2
B．k1<k2
C．k1＝k2
D．不确定
解析 ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx. π
k1＝cos0＝1，k2＝cos 2 ＝0，∴k1>k2.
授人以渔
题型一 导数的概念(自主学习)
(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为k＝x02＝1， 解得x0＝±1，故切点为1，53或(－1，1)． 故所求切线方程为y－53＝x－1或y－1＝x＋1. 即3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0.
【答案】 (1)4x－y－4＝0 (2)4x－y－4＝0或x－y＋2＝0 (3)3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0
状元笔记
求曲线的切线方程的两种类型 (1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在 点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线， 一定是以点P为切点；过点P的切线，不确定点P在不在曲线上， 点P不一定是切点． (2)求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
数的平均变化率Δ Δyx的极限是否存在．
(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量Δy，
2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用
1 答案： □ A φ 7 － □ ω 12 □0
2 □
2π ω
3 □
1 T
4 □
ω 2π
5 6 □ ωx＋φ □ φ 2π－φ 11 □ ω
φ π 8 － ＋ □ ω 2ω 3π 15 □2
π－φ 9 □ ω 16 □2π
3π φ 10 □ 2ω － ω
π 13 14 □2 □π
名 师 微 博 ●一种方法 在由图像求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值 M－m M＋m 2π 为m，则A＝ 2 ，k＝ 2 ，ω由周期T确定，即由 ω ＝T 求出，φ由特殊点确定．
0
A
0
－A
0
3.函数y＝sinx的图像经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像 的步骤如下
4．三角函数模型的应用 (1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像． (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． (3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函 数拟合，从而得到函数模型．
π 2x－3 x f(x)
π －3 0 1 2
0 π 6 1
π 2 5 12π 0
π 2 3π －1
3 2π 11 12π 0
5 3π π 1 2
图像如图：
方法点睛
①“五点法”作图的关键是正确确定五个
点，而后列表、描点、连线即可．②变换法作图像的关键看 x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用
2π 解析：(1)由最低点为M 3 ，－2，得A＝2.
π T π 由x轴上相邻的两个交点之间的距离为 2 ，得 2 ＝ 2 ，即T
2π 2π 2π ＝π，所以ω＝ T ＝ π ＝2.由点M 3 ，－2 在图像上，得 4π 2π 2sin2× 3 ＋φ＝－2，即sin 3 ＋φ＝－1.