2003-2004高等数学下试题B

合集下载

03级高等数学试题(下)(A,B)

一、判断题：（对的划“√”，错的划“Ⅹ”，每题1分共14分）1、二元函数f 在P 点可微，则f 在P 点连续。

2、二元函数f 在P 点的偏导数存在，则f 在P 点可微。

3、 },|),{(d y c b x a y x D ≤≤≤≤=，)()(y g x f ⋅在D 上可积，则等式⎰⎰⎰⎰∙=dcb aDdy y g dx x f dxdy y g x f )()()()(成立。

4、若),(lim 00y x f y y x x →→存在，则),(lim 00y x f y y x x →→和),(lim lim 00y x f x x y y →→一定相等。

5、 0=⋅⇔⊥，其中,为两个向量。

6、方向向量l 的方向余弦为}cos ,{cos βα，),(y x f 在0P ),(00y x 的偏导数存在，则βαcos cos 0p p p yf xf lf ∂∂+⋅∂∂=∂∂。

7、三个向量的混合积的绝对值就是以这三个向量为邻边的平行六面体的体积。

8、两个向量的向量积就是以这两个向量为邻边的平行四边形的面积。

9、 0P 是函数),(y x f 的极值点，则0P 一定是函数),(y x f 的驻点。

10、级数∑∞=1n n a 收敛，其中0>n a ，则1lim1<=+∞→l a a nn n 成立。

11、微分方程02)(2=+'-'+x y y y x y 是二阶微分方程。

12、)(x f 是以π2为周期的连续的奇函数，则它的傅立叶级数展开式是余弦级数。

13、级数∑∞=1n na收敛，则级数∑∞=12n na一定收敛。

14、幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为)1,1[-。

二、计算题（1）（每小题4分共8分）1．3),(,2,5π===Λb a b a ，求：2)32(b a -2. 设)(x f 是周期为π2的周期函数，它在区间),[ππ-上定义为⎩⎨⎧<<+≤≤--=)0(,1)0(,2)(2ππx x x x x f ,求)(x f 的傅立叶级数的和函数)(x S 。

2003-2004-2-微积分B-期中考试卷解答

2003-2004 学年第二学期微积分期中考试试卷答案
2003-2004 学年第二学期微积分期中考试试卷答案
一．（本题满分 35 分，共有 5 道小题，每道小题 7 分）
( ) 1．设 z = f x2 − y2， xy ，其中函数 f 具有二阶连续的偏导数，试求 ∂z ， ∂2 z ． ∂x ∂x∂y
∫∫(x + y)dxdy = ∫ dθ ∫ (cosθ + sinθ )r2dr
D
−π
0
2
π
∫ = 8
2
(cosθ
+ sinθ )cos3 θ
dθ
3 −π
2
=π
3．求球面 x2 + y2 + z2 = 6 与抛物面 z = x2 + y2 的交线在点 (1， 1， 2)处的切线方程．
解：
由方程组
⎧x2 + y2 + z2
⎨ ⎩z
=
x2
+
y2
=
6 两端对
x
求导，得
⎪⎧2x ⎨ ⎪2x
+ +
2 2
y y
dy
dx dy
+ −
2z dz
dz = dx =0
0
⎩
dx dx
即
⎪⎧2 ⎨ ⎪2
y yBiblioteka dydx dy+ −
2z dz
dz = −2x dx = −2x
，
⎩ dx dx
解得， dy = x + 2xz ， dz = 0 dx − y − 2 yz dx
F2dy + F3dz
f =
2+ 0

2003---2004高二下学期期末数学试卷

17 24
B.
21 40
C.
7 40
D.
7 24
（）
5、在下列条件中，可判断平面α 与β 平行的是 A．α 、β 都垂直于平面 r. B．α 内存在不共线的三点到β 的距离相等. C．l，m 是α 内两条直线，且 l∥β ，m∥β . D．l，m 是两条异面直线，且 l∥α ，m∥α , l∥β ，m∥β .
第 3 页，共 22 题
18(12 分). 解关于 x 的不等式：
a2 ≤ 1 . x2
19(12 分).如图，已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P，PA⊥平面 ABCD，E、F 分别是 AB、 PC 的中点． (1) 求证：EF∥平面 PAD； (2) 求证：EF⊥CD； (3) 若PDA＝45，求 EF 与平面 ABCD 所成的角的大小．
1、已知 a＜0 ，－1＜b＜0，那么 A.a＞ab＞ab2 B. ab2＞ab＞a 2、 4×5×6×……×(n－1)×n＝
4 A． Cn n3 B． An
C.ab＞a＞ab
2
( ) 2 D. ab＞ab ＞a ( )
C．(n－3)！
n 3 D． Cn
3、设 a 与 b 是异面直线，下列命题正确的是 ( ) A.有且仅有一条直线与 a、b 都垂直 B．过直线 a 有且仅有一个平面与 b 平行 C．有一个平面与 a、b 都垂直 D．过空间任意一点必可作一直线与 a、b 相交 4、在 10 件产品中，有 7 件正品，3 件次品。从中任取 3 件，其中至少有 1 件为次品的概率为 ( ) A.
一、选择题答案
1 D 2 B 3 B 4 A 5 D 6 C 7 B 8 D 9 C 10 B 11 B 12 A
二、填空题： 9 13. 64

高等数学B-下册-历年考试题目及答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2004学年第2学期考试科目高等数学（经济类）考试类型：（闭卷）考试时间： 120分钟学号姓名专业年级一、填空题（每空2分）1．设函数()f x 可微，若()()01,11,1lim2x f x f x x →+--=，则11x y fx==∂∂= 。

2．设(){}22,4D x y xy y =+≤，则(),Df x y dxdy ⎰⎰在极坐标系下的二次积分为。

3．()200sin limx y xy x→→= 。

4．级数1025n n +∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑= 。

5．设2x xy z y e =+，则()1,2z y∂∂= 。

6．320y y y '''-+=的通解为。

7．设收益函数()260R x x x =-（元），当产量10x =时，其边际收益是。

8. 差分方程12n n n y y n +-=⋅的通解为。

9. 函数()sin 2x z e x y -=+在点04π⎛⎫⎪⎝⎭，处的全微分为。

10. 若级数211p n n∞+=∑发散，则p ≤ 。

二、选择题（每题3分）1. 若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑（）A 条件收敛B 发散C 不能确定D 收敛2. 设22D 14x y ≤+≤：，则二重积分Ddxdy ⎰⎰=（） A π B 4π C 3π D 15π3. 微分方程3xy y '+=满足条件()10y =的特解是（）()11313111A B x C D x x x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4. 设点()00，是函数(),f x y 的驻点，则函数(),f x y 在()00，处（） A 必有极大值 B 可能有极值，也可能无极值 C 必有极小值 D 必无极值5. 若级数1n n u ∞=∑及1n n v ∞=∑都发散，则（）A()1nn n uv ∞=+∑必发散 B ()1n n n u v ∞=∑必发散C()1nn n uv ∞=+∑必发散 D ()221n n n u v ∞=+∑必发散三、计算题（每题8分） 1. ()arctan z xy =，求dz2. 设()22,z f x y xy =-，f 可微，求zx∂∂ 3. 求级数13nnn x n ∞=⋅∑的收敛域 4. 将函数()14f x x=-展开成()2x -的幂级数，并确定收敛区间 5. 求由抛物面225z x y =--与平面1z =所围成的立体的体积。

2004-2005(2)期末考试试卷(B)参考答案(高等数学)

5
1
sin
y(1
y)dy
0
8
1 sin1
10
1
5.原式 2 d 2 er2 rdr
0
0
(e4 1)
5 10
6.
P ye
x ， Q 2x cos y 2 ，
Q x
P y
211
2
由格林公式
I d x d y
D
=
6 10
ydy
7.
1
y2
dx x
两边积分得
ln(1 2
y2)
ln
x
高等数学期末试卷（B）参考答案
05.6 一、填空题(每小题 2 分, 共 12 分)
1. 5
2. 4x y 2
3. a 2 。
4、 9 2 。
5、
x3 6
C1x C2 .
6、 y C1 y1 C2 y2 .
二、解答下列各题(每小题 8 分,，总计 72 分)
1. 所求平面垂直于平面 3x 2 y z 4 0 和 2x 3y 4z 5 0 ，
zx
e z e y cos x 2z xe z
，
4
同理 z y
e y sin x 2z xe z
7dzຫໍສະໝຸດ z x dxz y dy
e z e y cos x 2z xe z
dx +
e y sin x 2z xe z
dy
10
4.
sin y dxdy
1
dy
y sin y dx
Dy
0
y y 2
8
x
又 y x
1，所求特解为 y
1 cos x x

2003-2004学年第二学期微积分期中考试试卷解答

2003-2004学年第二学期微积分期中考试试卷答案一．（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分）1．设()xy y x f z ，22-=，其中函数f 具有二阶连续的偏导数，试求x z ∂∂，yx z ∂∂∂2．解：212f y f x xz'+'=∂∂ ， ()2221222112224f xyf f y x xyf yx z++-+-=∂∂∂ ．2．计算二重积分()⎰⎰+Ddxdy y x ，其中x y x D 222≤+：．解：作极坐标变换θθsin cos r y r x ==，，有()()⎰⎰⎰⎰-+=+22cos 202sin cos ππθθθθdr r d dxdy y x D()⎰-+=223c o s s i n c o s 38ππθθθθd π=3．求球面6222=++z y x 与抛物面22y x z +=的交线在点()211，，处的切线方程．解：由方程组⎩⎨⎧+==++222226yx z z y x 两端对x 求导，得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++0220222dx dzdx dy y x dx dz z dx dy y x即 ⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+x dxdz dx dy y x dx dz z dx dyy 22222，解得，yz y xzx dx dy 22--+=，0=dxdz 所以，()1211-=，，dx dy ，()0211=，，dx dz因此，曲线在点()211，，处的切线方程为21111-=--=-z y x ． 4．设向量场为()()()k j i Ax y z x y z 2332-+-+-=，试求A rot ．解：k j i kji A 6422332r o t++=---∂∂∂∂∂∂=xy zx y z z y x 5．计算曲线积分⎰+Lds y x 22，其中L 为圆周x y x 422=+．解：圆周x y x 422=+的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y tx sin 2cos 22 ，则()()dt dt t t ds 2cos 2sin 222=+-=因此，⎰⎰=+LLds x ds y x 422322cos 8cos 2222020==+=⎰⎰ππdt tdt t 二．（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分） 6．设()x y y =，()x z z =由方程组()()()⎩⎨⎧==0,,,,z y x F y x g y x f z所确定，其中函数F g f ,,具有连续的偏导数．试求dxdz dx dy ,．解：对方程()()y x g y x f z ,,=求微分，得()()()()dy g f f g dx g f f g dy g dx g f dy f dx f g dz 22112121+++=+⋅++⋅= 对方程()0,,=z y x F 求微分，得0321=++dz F dy F dx F 所以得方程组()()⎩⎨⎧=++=+++03212211dz F dy F dx F dz dy g f f g dx g f f g ．解此方程组，得()()22321131gf fg F F gf fg F F dx dy +⋅++⋅+-=， ()()()2232221112gf fg F F gf fg F gf fg F dx dz+⋅++⋅++⋅-=．7．计算三重积分⎰⎰⎰Ω=zdxdydz I其中Ω是由曲面224y x z --=与z y x 322=+围成的立体．解：由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=zy x y x z 342222得0432=-+z z ，解得1=z ，4-=z （舍去）．因此，得空间区域Ω在xOy 面上的投影区域为D ：322≤+y x⎰⎰⎰⎰⎰⎰-Ω==2243r r Dzdz dxdy zdxdydz I⎰⎰⎰-=2243320r r z d z r d r d πθ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3042209421dr r r r d πθ π413=8．⑴ 试求曲面1=xyz 上任意一点()000z y x ，，处的切平面的方程；⑵ 证明：曲面1=xyz 的切平面与三个坐标平面所围成的空间区域的体积为一常数．解： ⑴ 设()1-=xyz z y x F ，，，则曲面1=xyz 上任意一点()000z y x ，，处的法向量为 {}(){}000000000y x x z z y F F F z y x zy x ，，，，，，==n，因此，所求切平面的方程为()()()1000000000=-+-+-z z y x y y x z x x z y即0000000003z y x z y x y x z x z y =++或1333000=++z z y y x x ⑵ 切平面1333000=++z z y y x x 在x 、y 、z 轴上的截距分别为 000333z y x ，，，该切平面与三个坐标平面所围成的空间区域的体积为 293332131000=⨯⋅⋅⨯=z y x V ．为一常数． 9．求曲线积分()[]⎰+++++=Ldy x a x y x xa dx y I 22222ln 22其中L 是圆周222a y x =+上由点()0，a A 沿逆时针方向到点()0，a B -的圆弧，0>a 为常数．解： ()()⎰⎰⎰⎰⎰-++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=-=00，，a A a B D BABAL Qdy Pdx dxdy y P x Q I而 222xa dx y P +=， ()[]22ln 22x a x y x Q +++=所以，2224xa y x Q ++=∂∂， 222xa y y P+=∂∂因此，2124a dxdy dxdy y P x Q I DD π==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎰⎰⎰⎰， ()()()[]0ln 022022002=++⋅++⋅=+=⎰⎰--aaa A a B dy x a x x dx Qdy Pdx I ，，所以，2212a I I I π=-= 10．求曲面积分⎰⎰∑=dzdy xz I 2 ，其中∑是曲面222y x R z --= ()R z ≤≤0的上侧．解：添加曲面01=∑z ： ()222R y x ≤+，取下侧，设闭曲面1∑+∑（取外侧）所围区域为Ω，由Gauss 公式，得 ⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-=1122dzdy xz dzdy xzI02-=⎰⎰⎰ΩdV z⎰⎰⎰≤++=2222221R z y x dV z （对称性） ()⎰⎰⎰≤++++=222222261R z y x dV z y x 504020152sin 61R dr r d d Rπϕϕθππ==⎰⎰⎰三．（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分）11．已知力场k j i Fxy zx yz ++=，问将质点从原点O 沿直线移动到曲面1222222=++c z b y a x 的第一卦限上的哪一点时，使F 所作的功为最大？并求此最大功．解：设()z y x ，，为曲面1222222=++cz b y a x 第一卦限上的任意点，则射线段OM 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧===zt Z yt Y xtX ()10≤≤t 因此，F沿OM 所作的功为xyz dt xyzt XYdZ ZXdY YZdX W OM==++=⎰⎰123 ()c z b y a x <<<<<<000，，因此，要使三角形的面积为最小，必须使()()y x y x 33++为最大．设Lagrange 函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++=1222222c z b y a x x y z L λ由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂020202222c z xy zL by xz y L a x yz x L λλλ解得唯一驻点 3a x =，3b y =，3c z =．即点⎪⎭⎫ ⎝⎛333c b a ，，为所求的点．且abc W 93max =． 12．设函数()y x Q ，在xOy 平面上有连续的一阶偏导数，且曲线积分()⎰+Ldy y x Q xydx ，2与积分路径无关，并且对任意的t ，恒有()()()()()()⎰⎰+=+t t dy y x Q xydx dy y x Q xydx ，，，，，，10010022试求()y x Q ，．解：设()xy y x P 2=，，由曲线积分与路径无关的条件，得x yPx Q 2=∂∂=∂∂，由此得()()y C x y x Q +=2，，其中()y C 为待定函数．()()()()[]()⎰⎰⎰+=+=+121021002dy y C t dy y C tdy y x Q xydx t ，，，()()()()[]()⎰⎰⎰+=+=+tt t dy y C t dy y C dy y x Q xydx 0210012，，，由题设：()()()()()()⎰⎰+=+t t dy y x Q xydx dy y x Q xydx ，，，，，，10010022，得()()⎰⎰+=+tdy y C t dy y C t 0102上式两端对t 求导，得()t C t +=12 所以，()12-=t t C 因此，()122-+=y x y x Q ，。

2003～2004学年第二学期《高等数学》期末考试试题B卷(180学时)

1
1
x
f ( x) f ( y )dy =
二、解下列各题（每题 7 分，共 5 题）
1. 验证函数 z = xf ( 微函数。
y ∂z ∂z ) ， x ≠ 0 ，满足方程式 x + 2 y = z ，其中 f 为任意的可 2 ∂x ∂y x
2．求微分方程 y ′′ − 3 y ′ + 2 y = xe
4．设周期为 2 的奇函数 f ( x) 在 [ −1, 0] 上的表达式为 f ( x) = x + 1 ，它的傅里叶级数的和函数为 S ( x) ，则 S ( −4) = 5 ．设。
f ( x) 在区间
[0,1]
。
上连续，且
∫
1
0
f ( x)dx = A ，则
∫ dx ∫
0
c
y[ϕ ′( x) + e x ]dx + ϕ ′( x)dy = 0 且
ϕ (0) = 0, ϕ ′(0) = 1 ，
求 ϕ ( x) 。四、（9 分）设 f ( x, y ) 为连续函数， I = 交换所给积分的积分次序。五、（10 分）计算
∫
0
−1
dx ∫ f ( x, y )dy + ∫ dx ∫
⎧ xy , ( x , y ) ≠ ( 0, 0), ⎪ 5．讨论函数 f ( x , y ) = ⎨ x + y 在 ( 0, 0) 的连续性和可微性。 ⎪0 , ( x , y ) = ( 0, 0) ⎩
三、（ 9 分）设 ϕ ( x) 二次可微，对任意闭曲线 c 有
v ∫
2x
的通解。
3．计算二重积分： 4．计算线积分

2003年高数(二)试题与解答

P 1 AP .
【答案】矩阵 A 的特征多项式为
220
EA 8
2 a ( 6)[( 2)2 16]
0
0
6
= ( 6)2 ( 2) ，
故 A 的特征值为 1 2 6, 3 2. 由于 A 相似于对角矩阵，故对应 1 2 6 应有两个线性无关的特征向量，即 3 r(6E A) 2 ，于是有 r(6E A) 1.
当 k=4，即 4-k=0 时， (x) 0 有唯一实根，即两条曲线只有一个交点；
当 k>4，即 4-k<0 时，由于
lim (x) lim[ln x(ln3 x 4) 4x k]
；
x0
x0
lim (x) lim [ln x(ln3 x 4) 4x k]
，
x
x
故 (x) 0 有两个实根，分别位于(0,1)与 (1, ) 内，即两条曲线有两个交点.
1
x0
4
= 4 lim eax x0
x 2 ax 1 x2
aeax 4 lim
2x a
2a 2
4.
x0
令 f (0 0) f (0 0) ，有 6a 2a 2
或2x .
4 ，得 a 1 a 2
当 a=-1 时， lim f (x) 6 f (0) ，即 f(x)在 x=0 处连续. x0
当 a=-2 时， lim f (x) 12 x0
【答案】 (1) 设在 t 时刻，液面的高度为 y，则由题设知此时液面的面积为
2 ( y) 4 t , 从而 t 2 ( y) 4.
(2) 液面的高度为 y 时，液体的体积为 y 2 (u)du 3t 3 2 ( y) 12. 0

高数03-04学年第二学期期末(工)(题+答案)

北京工业大学2003-2004学年第二学期《高等数学》期末试卷学号______________ 姓名______________ 成绩____________一、填空题：（本大题共15小题，每空3分，共60分）1．设函数23z x x y =+，则z x ∂=∂_________ ， zy∂=∂__________ ， ()0,1dz =_________ .2．设可微函数2(,)x z f e x y =-，则zy∂=∂ __________ . 3．设函数(),z f x y =是由z x y z e ++=所确定，则zy∂=∂ ___________ . 4．曲线cos ,sin ,x t y t z t ===在点()1,0,0处的切线方程为_______________________，法平面方程为 ________________ .5．二次积分210(,)x x dx f x y dy ⎰⎰交换积分次序后得___________________.6．设空间域Ω由22z x y =+与1z =围成，则三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(在柱面坐标系下的累次积分为 ___________________ .7．若平面曲线L 为221x y +=，则()22Lx y ds +=⎰__________________ .8．曲线积分(2,3)(0,0)I ydx xdy =+=⎰_______________ .9．判断下列级数的敛散性，若收敛需指出是绝对收敛还是条件收敛：（1）1(1)nn n ∞=-∑ __________；（2）21sin n nn∞=∑_____________ 。

10．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛区间为()3,3-，则幂级数()01nn n a x ∞=-∑的收敛区间为______________ . 11．函数1()1f x x=+关于x 的幂级数展开式为 _________________ . 12．设函数()()f x x x ππ=-≤≤，()S x =1sin n n b nx ∞=∑()x -∞<<+∞，其中1()sin (1,2,3,)n b f x nxdx n πππ-==⎰ ，则()5S π-= _________ .13．微分方程22232(1)x d y dyy x e dx dx-+=+所对应的齐次方程的通解为______________；该方程的一个特解形式可设为 ________________ .14．在球面2225x y z ++=上求一点使得函数ln ln 3ln u x y z =++取得最大值，则该条件极值问题的拉格朗日函数为________________________ .15．若函数()f x 在[]0,1上连续且恒正，则310110()()()()yxxf x dx I dx dy f x f y f z dz⎡⎤⎢⎥⎣⎦==⎰⎰⎰⎰_____ .二、计算下列各题：（本大题共5小题，每题8分，共40分） 16．计算二重积分22xy DI e dxdy --=⎰⎰，其中22:1D x y +≤.17．求微分方程()0dx x y dy -+=的通解。

2003-2004(下)高数期末考卷

高等数学（下）期末考卷一、填空题（每小题3分，共18分）1、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为________________. 2、设L 是半圆周)0(122≥=+y y x ，则⎰+L ds y x 2)(=____________________. 3、逐次积分⎰⎰=x x dy y x f dx I 220),(更换积分次序后为_______________________.4、 xy xy y x +-→→93lim 00=__________________. 5、设函数),(y x z z =是由方程0tan =+-y y xz 所确定的隐函数，则xz ∂∂=_________. 6、函数⎩⎨⎧≤<+≤<--=ππx x x x f 0,10,1)(2可展开为处处收敛的三角级数∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a ，此级数在π=x 处的和为_____________________.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1、微分方程yx x y dx dy +=的通解为______ A.c x x y +=ln 222； B. c x x y +=ln 22； C. c x x y +=ln 222； D. c x xy +=ln 22222、函数22y x z +=在原点（0，0）处______A. 偏导存在，但不可微；B. 可微；C. 偏导存在，但不连续；D. 连续，但偏导都不存在3、设函数),,(z y x f 处处连续，∑是下半球面221y x z ---=的上侧，xy D 、yz D 分别是∑在xoy 面和yoz 面上的投影区域，则以下公式中正确的是_________A.dxdy y x y x f dxdy z y x f xy D ⎰⎰⎰⎰∑--=)1,,(),,(22；B.dxdy y x y x f dxdy z y x f xy D ⎰⎰⎰⎰∑----=)1,,(),,(22； C. ⎰⎰∑=0),,1(dydz z y fD. dydz z y z y f dydz z y f yzD ⎰⎰⎰⎰∑--=221),,1(2),,1( 4、设0,1:222≥≤++Ωz z y x ，则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdv I 等于______. A.⎰⎰⎰1032020cos sin 4dr r d d ϕϕϕθππ； B. ⎰⎰⎰102020sin dr r d d ϕϕθππ； C.⎰⎰⎰1032020cos sin dr r d d ϕϕϕθππ； D. ⎰⎰⎰103020cos sin dr r d d ϕϕϕθππ.三、（每小题6分，共24分）1、设zy x u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，求函数u 的一阶偏导数z y x u u u ,, 2、设二元函数f 有连续的二阶偏导数，),(xy y x f z +=，求y x z z , 3、设函数)(),,(z y x zx yz xy z y x f ++-++=在点)0,4,3(P 处沿向量l 的方向导数最大，求此向量l 以及函数在点P 的最大方向导数.4、证明：曲面)0(3>=c c xyz 上任一点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为一定值.四、（每小题7分，共28分）1、计算积分dxdy y x I D⎰⎰--=)221(，其中⎩⎨⎧≤≤-≤≤-2211:y x D 2、计算积分⎰+-=L y x ydx xdy I 22，其中L 是逆时针指向的封闭圆周122=+y x3、计算积分⎰⎰∑++=zdxdy y dzdx xz dydz x I 22332，其中曲面∑为224y x z --=被0=z 所截下部分的下侧.4、平面曲线)(x y y =在任意一点),(y x 的二阶导数等于y 9-，该曲线在点)1,(-πP 与直线1--=πx y 相切，求该曲线的方程.五、（每小题6分，共18分）1、设某企业的产出u 取决于三个正的投入要素z y x ,,，若z y x ,,之和为定值1，且32z xy u =，为了使u 取得最大，试确定投入要素z y x ,,的份额.2、验证dy y y x dx x xy )32()22(222+-+++是某二元函数),(y x u 的全微分，求出),(y x u ，并计算⎰+-+++=)0,0()1,1(222)32()22(dy y y x dx x xy I 3、求幂级数∑∞=1n nn x 的和函数.。

2004年河南专升本高数真题+答案解析

2004年河南省普通高等学校选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试高等数学试卷一、单项选择题(每小题2分，共50分)在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需更改，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 1．函数1ln y x=+的定义域为（） A ．(2,2)- B ．[0,1)(1,2]C ．(2,1)(1,2)-D ．(0,1)(1,2)【答案】D【解析】要使函数有意义，须使240x ->，即22x -<<，由ln 0x ≠，得0x >且1x ≠，则行数的定义域为(0,1)(1,2)．2．函数1sin y x=是定义域内的（）A ．周期函数B ．单调函数C ．有界函数D ．无界函数【答案】C 【解析】由于1sin 1x≤，显然在其定义域内是一个有界的函数．3．lim sinn xn n→∞⋅=（） A ．x B ．0 C ．∞ D ．1【答案】A【解析】变量是n ，则sinsinlim sin lim lim 1n n n x xx n n n x x x n n n→∞→∞→∞⋅==⋅=．中公学员培训讲义2学员专用请勿外泄4．当0x →时，sin x x -是比2x （） A ．低阶的无穷小 B ．高阶的无穷小C ．等价的无穷小D ．同阶但非等价的无穷小【答案】B【解析】2200001sin 1cos 2lim lim lim lim 0224x x x x xx x x x x xx →→→→--====，所以当0x →时，sin x x -是比2x 高阶的无穷小．5．设2arcsin(1)()1x f x x -=-，则1x =是()f x 的（）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．第二类间断点【答案】B【解析】2111arcsin(1)arcsin(1)11lim ()limlim 1112x x x x x f x x x x →→→--==⋅=--+，间断点1x =处函数()f x 的左、右极限都存在且相等，所以1x =是()f x 的可去间断点．6．设()f x '在点0x x =的某个邻域内存在，且0()f x 为()f x 的极大值，则000(2)()limh f x h f x h→+-=（）A ．0B ．1C ．2D ．2-【答案】A 【解析】0000000(2)()(2)()lim 2lim 2()2h h f x h f x f x h f x f x h h→→+-+-'==，而由题目知0()f x '存在，且()f x 在0x x =处取到极大值，则0x x =是()f x 的驻点，所以0()0f x '=．故选A ．7．下列函数中，在1x =处连续但不可导的是（）A ．211x y x -=- B ．1y x =-C ．cot(1)y x =-D ．2y x x =-【答案】B【解析】该题采用排除法．A 、C 显然在1x =处不连续，B 、D 都在1x =处连续，但D 在1x =处可导，故只有B 符合要求．8．下列函数中，在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（）A ．2ln xB ．xC ．cos xD ．211x - 【答案】C【解析】罗尔定理条件有三个：①()f x 在[,]a b 上连续；②()f x 在(,)a b 内可导；③()()f a f b =．A 不满足①，2ln x 在0x =处不连续；B 不满足②，x 在0x =处不可导；C 满足罗尔定理得条件；D 不满①、②和③．9．设()f x 点3x =的某个邻域内有定义，若23()(3)lim 1(3)x f x f x →-=--，则在3x =处（）A ．()f x 的导数存在且(3)0f '≠B ．()f x 的导数不存在C ．()f x 取得极小值D ．()f x 取得极大值【答案】D 【解析】因为23()(3)lim 1(3)x f x f x →-=--，所以存在3x =的某个去心邻域，使得2()(3)0(3)f x f x -<-．即无论3x >或3x <都有()(3)f x f <，又()f x 在3x =的某邻域有定义，所以()f x 在3x =处取得极大值．10．曲线232(2)x y x +=-的渐近线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．0条中公学员培训讲义4学员专用请勿外泄【答案】B【解析】232lim 0(2)x x x →∞+=-，所以曲线有水平渐近线0y =；2322lim (2)x x x →+=∞-，所以曲线有垂直渐近线2x =，故y 有两条渐近线．11．下列函数对应的曲线在定义域内凹的是（）A ．x y e -=B ．2ln(1)y x =+C ．23y x x =-D ．sin y x =【答案】A【解析】x y e -=，x y e -'=-，0x y e -''=>，所以曲线x y e -=在定义域内时凹的．12．下列函数中，可以作为同一函数的原函数的是（） A ．21sin 2x 和1cos 24xB ．ln ln x 和2ln xC ．21sin 2x 和1cos 24x -D ．2tan 2x 和2csc 2x【答案】C【解析】2111sin 2sin cos sin 2222x x x x '⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭，111cos 2(sin 2)2sin 2442x x x '⎛⎫-=--⋅= ⎪⎝⎭，故选C ．13．下列等式正确的是（） A ．()()f x dx f x '=⎰B ．()()d df x f xC =+⎰C ．()()df x dx f x dx =⎰D ．()()d df x f x '=⎰【答案】C【解析】A 未加常数C ，而B 中()()d df x f x dx '=⎰，D 等号右端缺dx ．只有()()df x dx f x dx =⎰是对的，故选C ．14．设()f x '为连续函数，则102x f dx ⎛⎫'= ⎪⎝⎭⎰（）A ．12(0)2ff ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦B ．[]2(1)(0)f f -C ．11(0)22f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦D ．[]1(1)(0)2f f - 【答案】A 【解析】1111220000122()2()2(0)2222xu x x x f dx f d f u du f u f f =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=−−−→==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰．15．下列广义积分收敛的是（） A ．2ln e xdx x +∞⎰B ．1ln e dx x x +∞⎰C ．e+∞⎰D ．21ln edx x x+∞⎰【答案】D【解析】选项A ，223ln 1ln ln (ln )3ee e x dx xd x x x +∞+∞+∞===+∞⎰⎰；选项B ，11ln ln ln ln ln e ee dx d x x x x x+∞+∞+∞===+∞⎰⎰；选项C ，112(ln )ln 2(ln )eeex d x x +∞+∞-+∞===+∞⎰⎰；选项D ，22111ln 1ln ln ln ee e dx d x x x x x+∞+∞+∞==-=⎰⎰．16．设xy z e =，则(1,2)dz =（）A ．()xy e xdy ydx +B ．23eC ．222e dx e dy +D ．0【答案】C中公学员培训讲义6学员专用请勿外泄【解析】22(1,2)(1,2)()2xy xy dz e ydx e xdy e dx e dy =⋅+⋅=+．17．设22(,)(4)f x y x y =-+，则点(4,0)（） A ．不是驻点 B ．是驻点但非极值点C ．极大值点D ．极小值点【答案】D【解析】2(4)x f x =-，2y f y =，令两式等于0，解得4x =，0y =．2xx A f ==，0xy B f ==，2yy C f ==，240B AC -=-<，20A =>，所以点(4,0)为(,)f x y 的极小值点．18．设区域D 由y 轴及直线y x =，1y =所围成，则Dxdxdy =⎰⎰（）A ．1B ．12 C ．13D ．16【答案】D【解析】12111300011(1)236x Dx xdxdy dx xdy x x dx x ⎡⎤==-=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰．19．设直线L 1：1312x ty t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩与直线L 2：234112x y z ---==-的关系是（） A ．平行但不重合 B ．重合C ．垂直但不相交D ．垂直相交【答案】A【解析】两直线的方向向量分别为1(1,1,2)=--s ，2(1,1,2)=-s ，且112112--==-，所以两直线平行或重合，将第一条直线上的点(1,3,1)代入第二条直线方程显然不满足，所以两直线平行但不重合．20．方程2221x y -=表示的二次曲面是（）A ．球面B ．旋转抛物面C ．柱面D ．圆锥面【答案】C【解析】方程2221x y -=缺一个变量z ，因此表示一个母线平行于z 轴的柱面，由于它在xOy 坐标平面中表示双曲线，所以更具体地说，它表示的是双曲柱面．21．下列级数中绝对收敛的是（）A．n n ∞=B ．13(1)2nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑C ．32111(1)n n n ∞-=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑D ．11(1)nn n n∞=--∑ 【答案】C 【解析】选项A，n n ∞∞===，当n →∞~，级数发散；选项B ，1133(1)22nnnn n ∞∞==⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，公比1q >的等比级数，发散；选项C ，332211111(1)n n n n n ∞∞-==⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，1p >的p 级数，收敛，原级数绝对收敛；选项D ，1111(1)nn n n n n n ∞∞==---=∑∑，1lim1n n n →∞-=，不满足级数收敛的必要条件，级数发散．故选C ．22．下列级数中发散的是（）中公学员培训讲义8学员专用请勿外泄A ．1sin 2n n π∞=∑B ．111(1)1n n n ∞-=-+∑ C ．134nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑D ．311n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑【答案】A 【解析】limsin02n n π→∞≠，A 不满足级数收敛的必要条件，所以级数发散．23．级数02!nn n ∞=∑的和为（）A ．0B ．eC ．2eD ．不存在【答案】C【解析】因为幂级数0!n x n x e n ∞==∑，(,)x ∈-∞+∞，所以202!n n e n ∞==∑．24．用待定系数法求方程2x y y y xe '''-+=的特解*y 时，下列特解设法正确的是（） A ．*2()x y ax bx c e =++ B ．*2()x y x ax bx c e =++C ．*2()x y x ax b e =+D ．*22()x y x ax bx c e =++【答案】D【解析】方程2x y y y xe '''-+=对应的齐次方程20y y y '''-+=的特征方程为2210r r -+=，解得121r r ==．由()xf x xe =知1λ=是特征方程的二重根，故特解形式为*22()x y x ax bx c e =++．25．设L 为从点(1,0)A 沿x 轴到点(1,0)B -的直线段，则2L y dx =⎰（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】L ：0y =，x ：11→-，则12100Ly dx dx -==⎰⎰．二、填空题（每小题 2分，共 30分）1．设211(0)x x f x x x ++⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，则()f x =________．【答案】(1)x x - 【解析】令1x u x +=，解得11x u =-，代入原式变为()(1)f u u u =-，即()(1)f x x x =-．2．若lim 1n n x →∞=，则22lim 3n n n n x x x +-→∞++=________．【答案】1【解析】由lim 1n n x →∞=，得2lim 1n n x +→∞=，2lim 1n n x -→∞=，故22lim 13n n n n x x x +-→∞++=．3．设21cos ,0(),0xx f x x k x -⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k =________．【答案】12【解析】()f x 在0x =处连续，应有lim ()(0)x f x f →=，而22200011cos 12lim ()lim lim 2x x x xx f x x x →→→-===，(0)f k =，所以12k =．4．设3225x y x x e =++，则(10)y =________．【答案】1022x e【解析】3225x y x x e =++，223102x y x x e '=++，226102x y x e ''=++，3262x y e '''=+，，(10)1022x y e =．5．设2tx t y e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则22d y dx =________．中公学员培训讲义10学员专用请勿外泄【答案】3(1)4t e t t - 【解析】()()2t dy y t e dx x t t '=='，22232(1)()4t te d dy t d y e t dt dx dx dx t t dt'⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==='． 6．24sin 2lim x x tdt x→=⎰________．【答案】1 【解析】2220433000sin 2sin 2222lim lim lim 144x x x x tdt x x x x x x x→→→⋅⋅===⎰．7．3272y x x =-+在[]0,1上的最大值为________．【答案】2【解析】3272y x x =-+，223273(9)y x x '=-=-，因为[]0,1x ∈，所以0y '<，从而函数在[]0,1上单调递减，故最大值为(0)2y =．8．设2()sin x f x tdt π-=⎰，则2f f π⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦________．【答案】1-【解析】2()sin xf x tdt π-=⎰，则22sin 02f tdt πππ-⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰，则0022(0)sin cos 12f f f tdt tπππ--⎡⎤⎛⎫===-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰．9．1ln exdx =⎰________．【答案】1【解析】111111ln ln ln (1)1ee e e exdx x x xd x e x dx e dx e e x =-=-⋅=-=--=⎰⎰⎰⎰．10．设2x e 为()f x 的一个原函数，则2()xe f x dx -=⎰________．【答案】2x C +【解析】利用分部积分法，因为()f x 的一个原函数为2x e ，则222222()2x x x x x e f x dx e de e e xdx x C ---==⋅⋅=+⎰⎰⎰．11．广义积分1101qdx x +⎰当________收敛．【答案】0q <【解析】100111110000lim ln lim(ln1ln ),011lim 111lim lim 1,0q q q q x q dx dx x x q qx q εεεεεεεεεε+++++→→++→→→⎧=-=∞=⎪⎪==⎨⎡⎤⎛⎫⎪-=--≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩⎰⎰，第二式当0q <时极限为1q-，故0q <时，广义积分收敛．12．过原点且与直线L ：113213x y z -++==-垂直的平面方程为________．【答案】230x y z +-=【解析】该平面的法向量可取直线的方向向量(2,1,3)-，又平面过点(0,0,0)，故平面的点法式方程为230x y z +-=．13．设2xy z e x=+，则2z x y ∂=∂∂________．【答案】22yx-中公学员培训讲义12学员专用请勿外泄【解析】22221x xz y e y e x x x ∂⎛⎫=+⋅-=- ⎪∂⎝⎭，222z z y x y y x x ∂∂∂⎛⎫==- ⎪∂∂∂∂⎝⎭． 14．2221x y x ydxdy +≤=⎰⎰________．【答案】0【解析】在极坐标系下，区域D 可表示为0201r θπ≤≤⎧⎨≤≤⎩，所以22212222222000111cos sin cos sin cos cos 55x y x ydxdy d r r rdr d d πππθθθθθθθθ+≤=⋅⋅==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 32011cos 053πθ=-⋅=．15．设222(,)ln(3)x y f x y x y +=--，则10lim (,)x y f x y →→=________．【答案】2ln 2【解析】函数(,)f x y 在点(1,0)连续，故 2211022102lim (,)limln(3)ln(310)ln 2x x y y x y f x y x y →→→→+⋅+===----．三、判断是非题（每小题2分，共10分）1.若)(x f 在0x x =处连续，则)]([x f f 在点0x x =处一定连续．（）【答案】×【解析】把0x x =代入)]([x f f 中，可得)]([0x f f ．)(x f 在0x x =处连续，并不可以得到)(x f 在)(0x f 处是连续的，故错误． 2. 若数列{}n x 有界，则{}n x 必收敛．（）【答案】×【解析】3. 方程0)1ln(1=+x x 在]1,1[-e 上无实根．（）【答案】√ 【解析】 4.⎰⎰-<202cos cos ππxdx xdx ．（）【答案】× 【解析】5. 若二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数都存在，则),(y x f z =在点),(00y x 处可微．（）【答案】× 【解析】四、计算题（每小题5 分，共40 分） 1．求极限11lim 1x x x x +→∞-⎛⎫⎪+⎝⎭．【答案】2e - 【解析】11(2)2212lim lim 111x x x x x e x x ++⋅---→∞→∞--⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．2．设()y y x =是由方程221y x e y +=所确定的函数，求(1,0)dydx．【答案】2-【解析】方程221y x e y +=两边对x 求导得2220y y xe x e y y y ''++⋅=，代人1x =，0y =，得 (1,0)(1,0)2dy y dx'==-．中公学员培训讲义14学员专用请勿外泄3．计算不定积分32cos x x dx ⎰．【答案】22211sin cos 22x x x C ++【解析】()2322221111cos cos cos sin sin sin 2222x ux x dx x x dx u udu ud u u u udu ==−−−→==-⎰⎰⎰⎰⎰ ()2221111sin cos sin cos 222u u u C x x x C =++=++．4．计算0x⎰．【答案】233π⎫⎪⎭【解析】x t =，则2x t =，2dx tdt =，当0x =时，0t =，当3x =时，3t =[]33322000012212arctan 23113x t tdt dt t t t t π⎫⎫=⋅=-=-=⎪⎪++⎝⎭⎭⎰．5．设(,)z f x y xy =+可微，求dz ．【答案】1212()()dz f yf dx f xf dy ''''=+++ 【解析】12121zf f y f yf x∂''''=⋅+⋅=+∂，12121z f f x f xf y ∂''''=⋅+⋅=+∂， 1212()()z zdz dx dy f yf dx f xf dy x y∂∂''''=+=+++∂∂．6．计算2112200y dy x y dx -+⎰．【答案】6π【解析】1131201236dy d r rdr r πππθ=⋅=⋅=⎰⎰⎰．7．求幂级数211(1)2n nn x ∞=+∑的收敛区间（不考虑端点情况）．【答案】(1)【解析】由于缺项，令2(1)x t +=，则2111(1)22nnn n n n t x ∞∞==+=∑∑，11112lim lim 122n n n n nn a a ρ++→∞→∞===，所以收敛半径2R =，所以22t -<<，即2(1)2x +<时级数收敛，解得收敛区间为(1)．8．求微分方程0y y ''-=的积分曲线方程，使其在(0,0)处与直线y x =相切．【答案】1122x xy e e -=-【解析】0y y ''-=的特征方程为210r -=，得特征根1r =±，所以通解为12x x y C e C e -=+．由已知条件(0)0y =，01x y ='=，解得112C =，212C =-，于是所求积分曲线方程为1122x xy e e -=-．五、应用题（每小题7 分，共 14 分）1．某地域人口总数为50万，为在此地域推广某项新技术，先对其中1万人进行培训，使其掌握此项技术，并开始在此地域推广．设经过时间t ，已掌握此技术人数为()x t （将()x t 视为连续可微变量）．其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，且比例常数为(0)k k >，求()x t ．【答案】505050()49ktkte x t e =+中公学员培训讲义16学员专用请勿外泄【解析】令()y x t =，由题意可知(50)y ky y '=-，(0)1y =，分离变量(50)dykdt y y =-，两边同时积分(50)dykdt y y =-⎰⎰，解得ln ln(50)50y y kt C --=+．当0t =，1y =时，ln49C =-，故505050()49ktkte y x t e ==+．2．过点(1,0)P 做抛物线2y x =-的切线L ，L 与上述抛物线及x 轴所围成一平面图形，求此图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积．【答案】6π【解析】设切点为00(2)x x -，切线的斜率为0022x x y x ='=-则切线方程为0002)22y x x x x -=--，切线经过(1,0)P ，代入解得03x =，即切点坐标为(3,1)，切线方程为1(1)2y x =-．故3222112(2)36x V x dx πππ=⋅⋅⋅--=⎰．六、证明题（6 分）证明：当0x >时，22ln(1)1x x x +>+．【解析】令22()ln(1)1f x x x x =++，则2222222211()10111(1)x x x f x x x x x x +-⎛⎫+'=+=> +++++⎝，所以()f x 单调递增，而0x >，则()(0)0f x f >=，故ln(x >．。

2004～2005学年第一学期《高等数学》期末考试试题B卷(.

2004~2005学年第一学期《高等数学》期末考试试题B 卷答案一、填空题(4×4分1、32−x ; 2、31−; 3、4; 4、(xf x c +; 5、2222sin 1cos x x x + 二、单项选择题(5×3分1、C;2、D;3、A;4、C;5、B三、试解下列各题解:1、0000→→→→x 2、66sin 31ln(2lim sin 20lim 31(lim 00e e e x x x x x x x x x ===+→→+→ 3、xdx dx x x x x x erc dy arctan 11tan 22=⎦⎤⎢⎣⎡+−++= 4、两边对x 求导(10x y dy dy e y x dx dx++−−= x y x y dy e y dx x e ++−=−5、22sin dx t t dt =−222222(cos 2sin cos 2sin dy t t t t dt t tdt =−−=−2222sin 2sin dy t t t dx t t == dy d dt dx = 22212sin d y dx t t =− 6、2c ==+ 7、22204 4044sin sin sin 111x x xx x x dx dx dx e e e ππππ−−−−−−=++++∫∫∫ 220404sin sin 11x t x t dxx t dt e e ππ−−=−++∫∫ 22444004sin 1sin (1cos 221xx dx xdx x dx e ππππ−−==−+∫∫∫ 40111(sin 2(2228x x ππ=−=− 8、2201arctan(1arctan (1td t ′∫+− ∫+−−−=2122121(arctan 1(21dt tt t t 125/2arctan −+=u四、解:例如广义积分∫10d 1x x 收敛时,但广义积分∫10d 1x x 发散。

中国科学技术大学考研真题—中国科学技术大学

中国科学技术大学人文学院高等数学（B）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1993——2005（1993——2004有答案）管理学院西方经济学（中国科学技术大学命题试卷）1994——1998（1996—1997有答案）（注：1997年的答案共4页，缺P3-P4）概率统计（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2004——2007（2004——2007有答案）概率论与数理统计（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2008（2008有答案）数学系数学分析（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000，2008（注：2008年试卷为回忆版）数学分析（中国科学技术大学命题试卷）1993，1996——1998高等代数（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2008（注：2008年试卷为回忆版）线性代数（中国科学技术大学命题试卷）1997——1999物理系普通物理（A）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）普通物理（甲）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1997——1998，2000普通物理（B）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2004——2008有答案）普通物理（乙型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1997——2002（1998，2000——2002有答案）量子力学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）量子力学（实验型）（中国科学技术大学命题试卷）1990——1998（1997有答案）量子力学（实验型）（中国科学院命题试卷）1998——1999量子力学（实验型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）（2000——2002有答案）量子力学（理论型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1990——2002 半导体材料（半导体研究所命题试卷）1996，1998，2000——2001（1996，2000有答案）半导体材料物理（半导体研究所命题试卷）2002——2003半导体集成电路（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2001——2002，2004（2002有答案）半导体模拟集成电路（中国科学技术大学、半导体研究所联合命题试卷）1995——1996，1998（1996，1998，1999有答案）模拟集成电路（中国科学技术大学、半导体研究所联合命题试卷）1997（1997有答案）半导体物理（甲）（中国科学院研究生院命题试卷）2007半导体物理（乙）（中国科学院研究生院命题试卷）2007半导体物理（中国科学院、半导体研究所、中国科学技术大学联合命题试卷）1997——2002，2004（1997——2002有答案）半导体物理[试卷抬头标注为中国科学院微电子中心命题试卷]2004原子核物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2002原子物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2006（2003——2006有答案）原子物理与量子力学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2001——2002，2007——2008（2007——2008有答案）热力学与统计物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2002，2005——2008（2005——2008有答案）化学物理系物理化学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1987，1995——2008（1995——2008有答案）物理化学（B）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）物理化学（C）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2004无机化学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1999——2008（2001，2003——2008有答案）普通物理（A）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）普通物理（甲）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1997——1998，2000普通物理（B）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2004——2008有答案）普通物理（乙型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1997——2002（1998，2000——2002有答案）量子力学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）量子力学（实验型）（中国科学技术大学命题试卷）1990——1998（1997有答案）量子力学（实验型）（中国科学院命题试卷）1998——1999量子力学（实验型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）（2000——2002有答案）量子力学（理论型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1990——2002 原子核物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2002原子物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2006（2003——2006有答案）原子物理与量子力学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2001——2002，2007——2008（2007——2008有答案）热力学与统计物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2002，2005——2008（2005——2008有答案）近代物理系普通物理（A）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）普通物理（甲）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1997——1998，2000普通物理（B）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2004——2008有答案）普通物理（乙型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1997——2002（1998，2000——2002有答案）量子力学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）量子力学（实验型）（中国科学技术大学命题试卷）1990——1998（1997有答案）量子力学（实验型）（中国科学院命题试卷）1998——1999量子力学（实验型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）（2000——2002有答案）量子力学（理论型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1990——2002 电动力学（中国科学院命题试卷）1998电动力学（中国科学技术大学命题试卷）1999电动力学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2002电动力学（A）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）电动力学（B）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2005电子学基础（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2005，2008（2004——2005，2008有答案）原子核物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2002原子物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2006（2003——2006有答案）原子物理与量子力学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2001——2002，2007——2008（2007——2008有答案）热力学与统计物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2002，2005——2008（2005——2008有答案）力学和机械工程系理论力学（A）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2005理论力学（B）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2004——2005机械设计（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2005——2008有答案）电子工程与信息科学系信号与系统（中国科学技术大学命题试卷）1990——1999（1996——1999有答案）（另：有《信号与系统》期末考试试题11份，每份3元。

2004年下半年高等教育自学考试福建省统一命题考试

2004年下半年高等教育自学考试福建省统一命题考试高等数学（工本）试题课程代码：0023一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.函数f(x)=x xx +-11lg 1的定义域是（）A.-1<x<1B.0<x<1C.-1<x<0D.0<|x|<12.设函数f(x)=3x ，则f[f(x)]=（）A.9xB.6x 2C. 3x 3D. 3x 33.极限+∞→x lim x arctgx=（）A.0B.1C.+∞D.不存在4.当x→0时，下列表达式不正确的是（）A. e x -1~xB.sinx~xC.ln(1+x)~x 2D. x x 21~11-+5.曲线y=x 3在点（0，0）处的切线方程为（）A.x=0B.y=0C.x=yD.不存在6.设函数y=sec 2xtgx ，则dx dy=（）A.sec 2x(3tg 2x - 1)B.3sec 4x - 2sec 2xC.2sec 4xtgxD.2sec 2xtgx+21sec x x+7.函数f(x)=(5-x)x 32的临界点的个数为（）A.0B.1C.2D.38.曲线y=3ln -x x（）A.有一条渐近线B.有二条渐近线C.有三条渐近线D.不存在渐近线9.若⎰+=C x F dx x f )()(,则dx e f e x x )(--⎰=（）A. F(e x )+CB. -F(e x -)+CC. F(x)+CD. -F(x)+C10.设函数f(x)在[-a,a]上连续，则下列正确的结论是（）A.⎰-a a dx x f )(=⎰--a a dx x f )( B. ⎰-a a dx x f )(=⎰--a dx x f x f 0)]()([ C. ⎰-a a dx x f )(=2⎰a dx x f 0)( D. ⎰-a a dx x f )(=0 11.下列广义积分收敛的是（） A.dx xx ⎰+∞1ln 1 B. dx x ⎰101 C. dx x ⎰-202)2(1 D. dx x ⎰+∞+0211 12.设向量a=2i+3k ，b=i+j-k ，则a×b=（）A.-3i+5j+2kB.-3i-5j+2kC.-3i+2j-kD.-113.曲面394222=++z y x 在（-2，3，-1）处的切平面方程是（） A. x-32y+2z=0 B.3x-2y+6z+18=0 C.x+32y+2z+2=0 D.3x-2y-6z+6=0 14.极限22200)sin(lim x y x y x →→=（） A.0 B.1C.9D.不存在15.设u=222z y x ++,则（） A.x u ∂∂ +y u ∂∂+zu ∂∂=1 B. 22x u ∂∂+22y u ∂∂+22z u ∂∂=1 C. 22x u ∂∂+22y u ∂∂+22z u ∂∂=0 D. （x u ∂∂）2+（y u ∂∂）2+（zu ∂∂）2=1 16.已知B:y=x,y=0及y=22x a -(x≥0)所围成的第一象限区域，则⎰⎰Bd σ=（） A.281a π B. 241a π C. 283a π D. 221a π 17.下列各组函数中，哪组是线性相关的（）A.e x,sinx B.x,x-3C.e x 3cos4x,e x 3sin4xD. )1ln(),1ln(22x x x x -+++18.微分方程yy ’=y ’2的通解是（）A.y= e CxB.y=C 1e x C 2C.y=C 1x+C 2D.y=C 1+ ex C 219.下列级数中，收敛的级数是（） A.∑∞=11.01n nB.∑∞=11sin n n n C. ∑∞=178n n nD.∑∞=11.01n n 20.幂级数n n n n x ∑∞=-+1])3(21[的收敛半径是（） A. 31 B. 21 C.2 D.3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

2003～2004 学年第二学期《高等数学》期末考试试题B卷及答案(216 学时)

2 26 ( , ,D ⎰ 1⎰f (x , y ) = ♠二、（12 分）设函数 2003～2004 学年第二学期《高等数学》期末考试试题 B 卷（216 学时）专业班级学号姓名一、填空题（每小题 4 分，共 24 分）1、（）已知(axy 3 - y 2cos x )d x + (1 + by sin x + 3x2 y 2)d y 为某个二元函数 f (x , y ) 的全微分，则 a 和b 的值分别是。

A ． - 2 和 2B ．2 和- 2C ． - 3 和 3D ．3 和- 32、（）曲面 z = sin x sin y sin(x + y ) 上点 π π3) 处的法线与 xoy 面交角的正弦值为：A.B.13 26 6 3 413 1C.133、（） lin 1e x 2 - y 2 cos(x + y )d x d y =r →0πr 2 ⎰⎰A. πB. 1πC .1D. - 1♣2x 2 + y 2 + z 2 = 164、（）母线平行于 x 轴且通过曲线♦ ♥ x 2 - y 2 + z 2 = 0的柱面方程是A . 3x 2 + 2z 2 = 16 C . x 2 + 2 y 2= 16B . 3y 2 - z 2 = 16D . 3y 2- z = 16π5、（）累次积分⎰ 2 d θ ⎰cos θf (r cos θ , r sin θ )r d r 可写成。

A. ⎰ 0d y ⎰ 0y - y 2 0f (x , y )d xB.⎰ 1 1- y 2d y 0f (x , y )d x C.⎰ d x ⎰ 0 f (x , y )d yD. ⎰ 1 d x x - x 2f (x , y )d y6、（1）（）级数∑ n =1A ． (0,4) (x - 2)2n n 4n的收敛域为： B . (0,4]C .[0,4)D .[0,4]♣(x 2 + y 2 ) s i n ♦ ♠♥0,1 , x2 + y 2x 2 + y 2 ≠ 0x 2 + y 2 = 0 ，问在原点(0,0) 处：（1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？均说明理由。

2003-2004第二学期微积分用卷(180学时)

武汉大学数学与统计学院2003—2004第二学期《微积分》期末考试试题（180学时用）姓名学号专业班级成绩一、填空题（每小题4分）1．曲线3,2,x t y t z t ===上相应于2y =的点处的切线方程是。

2．arctan y u z x=在点A （1，0，1）处沿点A 指向点B （3，-2，2）方向的方向导数为。

3．设2222{(,,)|}V x y z x y z ρ=++≤，则424301lim x y z V edxdydz ρπρ++→⎰⎰⎰= 。

4．设周期为4的偶函数)(x f 在[0，2]上的表达式为()f x x =，它的傅里叶级数的和函数为)(x s ，则)5(-s = 。

5．微分方程(4)0y y -=的通解是。

二、计算下列各题（每小题7分）1．求微分方程2324x y y y e -'''++=的通解。

2．设f 具有二阶连续偏导数，且(,)y z xf x x =，求2z x y∂∂∂。

3．计算I ＝21sin 2x x x dx dy y π⎰⎰＋422sin 2x x dx dy yπ⎰⎰。

4．计算I ＝(sin )(cos )x x L e y my dx e y m dy -+-⎰，其中L 为从点(,)A a a 沿曲线22y ax x =-到点(0,0)O 的曲线弧（0a >）。

5．计算222(cos cos cos )S x y z ds αβγ++⎰⎰，其中S 为锥面222x y z +=上位于0z h ≤≤的部分，而cos ,cos ,cos αβγ为S 的外（下侧）法线的方向余弦。

三、（10分）讨论函数f(x,y)= ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++000222222y x y x y x xy 在（0，0）处的连续性、可导性、可微性。

四、（10分）求旋转椭球面x 2+y 2+42z =1在第一卦限部分上的一点,使该点处的切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小。

2003高等数学试题B卷

∫∫ | f ( x , y ) | dσ ≥ ∫∫
D1 D2
| g ( x , y ) | dσ
第 1 页共 7页
3. 设 C 1 , C 2 是围住原点的两条同向的封闭曲线 , 若已知
∫
C1
2 xdx + ydy = K ( 常数 ) ,则 x2 + y 2
∫
2 xdx + ydy ( C2 x2+ y2
学号
姓
班
广州大学 2003-2004 学年第二学期考试卷
课程:高等数学(B 卷) 考试形式: 闭卷四 22 五 12 六 14 七考试八总分 100
级
名
题次分数得分评卷人
一 15
二 15
三 22
一. 选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1. 设
求微分方程 x dy y ln y = 0 的通解 . dx
2. (本题 8 分)
求曲线,使其上任一点 ( x , y ) 的切线斜率为该点横坐标与纵坐标两倍之和,且曲线过原点.
第 7 页共 7页
�
2. (本题 6 分)
设 z = z ( x , y ) 由方程 z = e
x+ y z
所确定 , 求
z . x
第 3 页共 7页
3. (本题 8 分)
求函数 z = x 3 + y 3 xy 的极值.
四. 解答下列各题(本大题共 22 分) 1. (本题 6 分)
设 f (x, y) 为连续函数,交换二次积分的积分次序.
(C ) 当 D1 D 2 时 , 在 D 2 上 , f ( x , y ) ≥ g ( x , y ) 时 ,

大学,高等数学试卷统考下

大学,高等数学试卷统考下
高等数学统考试卷（2003－2004学年第二学期）
参改解答一、1．（漏“一”号扣一分）
2．3．4．5．y＝二、6．D7．D8．C9．B10．C三、11．解法1．记，解：将原方程两边同时对x、y求导(z=z(x,y))得（1）
（2）
联立（1）、（2）消去Gu、Gv得12．设三条移长分别为x,y,z，则长方体表面积为求
U=2xy+2zx+2yz，其中x+y+z=3a方法一：由得得x=y=z=a为所求唯一解故当x=y=z=a时u=6a2为所求条件最大值方法二：作解科x=y=z=a（唯一解）
（一般不要求判定）判定法（亦是初等解法）
且等号仅当x=y=z=a时或立，故x=y=z=a时u取得条件最大值13．记令即代入曲面方程所求点为(2,1,-2)或(-2,-1,2)14．原式=15．方法一：（投影法，柱面坐标法）
原式=方法二：截面法，用平行于xoy平面的平行平面截所给立体域截面积原式15．方法：（球面坐标法）
作锥面将分为1及2两部分原式17．故积分与路径无关选L1：，从点A(5,0)到B(3,4)亦可改选L2折线A(5,0),C(3,0),B(3,4)18．作辅助原式＝18．19．当|x|<|原级
数绝对收敛，当|x|>|原级数发散当x=1当＞1时原级数收敛当时原级数发散当x=－1
当＞1时原级数绝对收敛当0＜时原级数条件收敛当原级数发散20．记故R＝当幂级数绝对收敛当幂级数发散21．解：标准化方法一：先解求得改设代入方程（*）
故得：
方法二：
方法三：原方程为22．先解由得故知再求的特解，当，通解为当a=2，通解当a=3通解。