2015-2016学年高中数学 1.3.1.2函数的最大(小)值双基限时练新人教A版必修1

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高中数学 1.3.1.2函数的最大(小)值双基限时练新人教A版必修1

高中数学 1.3.1.2函数的最大（小）值双基限时练新人教A版必修11．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( ) A.13 B ．－12C ．1 D.12解析函数y ＝1x －1在[2,3]上是减函数，∴当x ＝3时，取最小值为12. 答案 D2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1，则函数f (x )的最大值和最小值分别为( )A ．8,6B ．8,8C ．10,6D ．10,8解析当x ∈[1,2]时，f (x )∈[8,10]；当x [－1,1)时，f (x )∈[6,8)，∴f (x )的最大值和最小值分别为10,6.答案 C3．函数y ＝|x ＋1|＋2的最小值是( ) A ．0 B ．－1 C ．2D ．3解析 y ＝|x ＋1|＋2的图象如下：所以最小值为2. 答案 C4．函数f (x )＝x 2＋2x －1，x ∈[－3,2]的最大值、最小值分别为( ) A ．9,0 B ．7,3 C ．2，－2D ．7，－2解析 f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，∴当x ＝－1时，有最小值－2，当x ＝2时，有最大值7.答案 D5．函数f (x )＝2x －1＋x 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析易知当x ≥12时，函数f (x )为增函数，故值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.答案 A6．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，若该公司在两地共销售15辆(销售量单位：辆)，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元解析设在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，则利润y ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1922＋4814∴当x ＝9或10时，可获最大利润120万元．答案 C7．函数y ＝1x 在[1，a ]上的最小值为14，则a ＝______.解析 ∵y ＝1x在[1，a ]上是减函数，∴最小值为f (a )＝1a ＝14，∴a ＝4.答案 4 8．函数f (x )＝xx －1在区间[2,5]上的值域为________．解析 f (x )＝xx －1＝1＋1x －1，易知f (x )在[2,5]上为减函数，∴最小值为f (5)＝54，最大值为f (2)＝2，故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，2 9．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围是________．解析 y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，作出图象，由图象知，1≤m ≤2.答案 [1,2]10．函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，求a ，b 的值．解由f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b 的对称轴为x ＝1知，无论f (x )的单调性怎样，f (x )在[2,3]上存在最值的情况有两种：⎩⎪⎨⎪⎧f 2＝2，f3＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧f2＝5，f3＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.11．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最值； (2)若f (x )是单调函数，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，∵x ∈[－5,5]，∴当x ＝1时，f (x )取得最小值1；当x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2的图象是抛物线，其对称轴为x ＝－a . 若函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．是单调函数，则有－a ≤－5，或－a ≥5， ∴a ≥5，或a ≤－5.故所求实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)． 12．若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，∴c ＝1， ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ， ∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，其对称轴为x ＝32，∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数， ∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0， ∴m <－1.。

高中数学1.3.3函数的最大(小)值与导数课时作业(含解析)新人教A版选修22

高中数学1.3.3函数的最大（小）值与导数课时作业（含解析）新人教A 版选修22知识点一函数最值的概念1.设f (x )是[a ，b ]上的连续函数，且在(a ，b )内可导，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )的极值点一定是最值点 B ．f (x )的最值点一定是极值点 C ．f (x )在此区间上可能没有极值点 D ．f (x )在此区间上可能没有最值点答案 C解析根据函数的极值与最值的概念判断知选项A ，B ，D 都不正确，只有选项C 正确． 2．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D ．以上都有可能答案 A解析由题意，知在区间[a ，b ]上，有m ≤f (x )≤M ，当M ＝m 时，今M ＝m ＝C ，则必有f (x )＝C ，∴f ′(x )＝C ′＝0.故选A.知识点二求函数的最值3.函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值答案 D解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.4．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1 B.π2－1 C ．π D ．π＋1答案 C解析因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，则函数y ＝x －sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sinπ＝π，故选C.知识点三含参数的函数的最值问题5.若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[－2,1]上的最大值为92，则m 等于( )A ．0B ．1C ．2 D.52答案 C解析 y ′＝3x 2＋3x ＝3x (x ＋1)，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝－1. 因为f (0)＝m ，f (－1)＝m ＋12，又f (1)＝m ＋52，f (－2)＝m －2，所以f (1)＝m ＋52最大，所以m ＋52＝92，所以m ＝2.故选C.6．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m ，n ，则m －n ＝________.答案 20解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3， ∴当x >1或x <－1时f ′(x )>0，当－1<x <1时，f ′(x )<0.∴f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1)＝1－3－a ＝－2－a ＝n . 又∵f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ， ∴f (0)<f (3)．∴f (x )max ＝f (3)＝18－a ＝m . ∴m －n ＝18－a －(－2－a )＝20.7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝43－43a ＋b ＝0，解得a ＝－12，b ＝－2，所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：单调递增单调递减单调递增所以函数f (x )的递增区间为⎝ ⎭⎪⎫－∞，－3和(1，＋∞)；递减区间为⎝ ⎭⎪－3，1. (2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝2227＋c 为极大值，因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值．要使f (x )<c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2>f (2)＝2＋c ，解得c <－1或c >2. 故c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．一、选择题1．使函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值的x 为( )A ．0 B.π6 C.π3D.π2答案 B解析 ∵f ′(x )＝1－2sin x ＝0，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin x ＝12，x ＝π6，∴当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，f ′(x )>0，f (x )是增函数．当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，即x ＝π6，f (x )取最大值．故选B.2．函数y ＝x e －x，x ∈[0,4]的最大值是( ) A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e2 答案 B解析 y ′＝e －x－x ·e －x＝e －x(1－x )，令y ′＝0， ∴x ＝1.∵f (0)＝0，f (4)＝4e 4，f (1)＝e －1＝1e ，∴f (1)为最大值．故选B.3．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．－11答案 A解析 ∵f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，由f ′(x )＝0得x ＝0或2.∵f (0)＝m ，f (2)＝－8＋m ，f (－2)＝－40＋m ，显然f (0)>f (2)>f (－2)，∴m ＝3，最小值为f (－2)＝－37.4．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．0≤a <1 B ．0<a <1 C ．－1<a <1 D ．0<a <12答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2. 又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1，故选B.5．已知(a ＋1)x －1－ln x ≤0对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．1－2ln 2 D.－1＋ln 22答案 C解析原问题等价于a ＋1≤ln x ＋1x 对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1恒成立，令h (x )＝ln x ＋1x ，则h ′(x )＝－ln x x 2，令h ′(x )＝0，得x ＝1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1时，h ′(x )＞0，当x ∈(1,2]时，h ′(x )＜0，所以函数h (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以最小值为min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，h 2＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2，所以a ≤2－2ln 2－1＝1－2ln 2，选C.二、填空题 6．函数f (x )＝4xx 2＋1，x ∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________．答案 2 －2 解析 ∵y ′＝4x 2＋1－2x ·4x x 2＋12＝－4x 2＋4x 2＋12，令y ′＝0，可得x ＝1或－1.又∵f (1)＝2，f (－1)＝－2，f (2)＝85，f (－2)＝－85，∴最大值为2，最小值为－2.7．若F (x )＝x －2ln x ＋2a ，则F (x )在(0，＋∞)上的最小值是________．答案 2－2ln 2＋2a解析令F ′(x )＝1－2x ＝x －2x＝0得x ＝2.当x ∈(0,2)时F ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，F ′(x )>0， ∴当x ＝2时F (x )min ＝F (2)＝2－2ln 2＋2a .8．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax2(a ＞0)．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [e ，＋∞)解析 f (x )≥2即a ≥2x 2－2x 2ln x .令g (x )＝2x 2－2x 2ln x ，x ＞0，则g ′(x )＝2x (1－2ln x )．由g ′(x )＝0得x ＝e 12，且0＜x ＜e 12 时，g ′(x )＞0；当x ＞e 12时g ′(x )＜0， ∴x ＝e 12 时g (x )取最大值g (e 12)＝e ，∴a ≥e. 三、解答题9．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数． (1)求f (x )的表达式；(2)求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值．解 (1)∵f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ， ∴g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .∵g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，∴g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2(舍去)，x 2＝2，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.10．已知函数f (x )＝ln x ＋ax.(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值．解函数f (x )＝ln x ＋a x的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2，(1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增． (2)x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a <1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当a ＝1时，函数f (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为f (1)＝1，同样与最小值是32相矛盾；③当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e.④当a ＝e 时，函数f (x )在[1，e]上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，其最小值为f (e)＝2，这与最小值是32相矛盾；⑤当a >e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋ae >2，仍与最小值是32相矛盾；综上所述，a 的值为 e.。

人教版必修一《函数的最大(小)值》课时训练和答案

数学·必修1(人教A 版)1.3.2 函数的最大（小）值►基础达标1．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( ) A ．2 B.12 C.13 D ．－12答案：B2．函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是( ) A.45 B.54 C.34 D.43答案：D3．已知函数f (x )＝x 2－2，其中x ∈[0,2]，这个函数的最大值和最小值分别为( )A ．－2和1B ．2和－2C ．2和－1D ．－1和2解析：∵f (x )＝x 2－2，x ∈[0,2]是单调递增函数，∴y max ＝f (2)＝2，y min ＝f (0)＝－2.答案：B4．函数y ＝(x －1)2，x ∈(－1,5)的最小值为______．答案：05．已知f (x ＋4)＝4x 2＋4x ＋3(x ∈R)，那么函数f (x )的最小值为________．解析：∵f (x ＋4)＝4x 2＋4x ＋3，设x ＋4＝t ，则x ＝t －4，∴f (t )＝4(t －4)2＋4(t －4)＋3＝4t 2－28t ＋51.∴f (x )＝4x 2－28x ＋51＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －722＋2，∴f (x )min ＝2.答案：26．已知0＜t ≤14，那么1t －t 的最小值是() A.154 B.638 C ．2 D ．－2解析：∵y ＝1t －t 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上为减函数，∴t ＝14时有最小值154.答案：A►巩固提高7．函数y ＝x 2＋x (－1≤x ≤3)的值域是() A ．[0,12] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，12解析：画y ＝x 2＋x 在[－1,3]部分的图象知y min ＝－14，y max ＝12.即所求值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12.答案：B8．已知函数f (x )＝x 2－4x ，x ∈[1,5)，则此函数的值域为( )A ．[－4，＋∞)B ．[－3,5)C ．[－4,5]D ．[－4,5)答案：D9．设函数f (x )＝x 2－2x ＋2(x ∈[t ，t ＋1])的最小值为g (t )．求g (t )的表达式．解析：∵f (x )＝(x －1)2＋1，①当t ＋1≤1，即t ≤0时，由图1知截取了减区间上的一段g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1.②当1＜t ＋1≤2，即0＜t ≤1时，正巧将顶点截取在内，g (t )＝f (1)＝1(图2)．③当t ＋1＞2，即t ＞1时，由图3知截取了增区间上一段g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.综上知，g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，t ≤0，1，0＜t ≤1，t 2－2t ＋2，t ＞1.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (－2≤x ＜1)，－x 2＋2x (1≤x ＜3)，求f (x )的值域．解析：f (x )＝⎩⎨⎧ (x －1)2－1(－2≤x ＜1)，－(x －1)2＋1(1≤x ＜3)，作出f (x )的图象(如下图)．由图可知，f (x )的值域为(－3,8]．1．函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .2．函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M [f (x )≥M ]．3．判断函数的最大(小)值的方法：①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值；②利用图象求函数的最大(小)值；③利用函数单调性判断函数的最大(小)值．4．如果函数y ＝f (x )(x ∈[a ，c ])在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减，则函数y ＝f (x )在x ＝b 处有最大值f (b )．5．如果函数y ＝f (x )(x ∈[a ，c ])在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，则函数y ＝f (x )在x ＝b 处有最小值f (b ).。

人教新课标版数学高一人教A数学必修1作业 1-3-1-2函数的最大(小)值

课时作业(十一) 函数的最大(小)值一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1)，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对答案：A 解析：f (x )在[－1,2]上单调递增，∴最大值为f (2)＝10，最小值为f (－1)＝6.2．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( )A ．[－2,2]B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[－2， 2 ]答案：C 解析：要求函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域，只需求t ＝－x 2＋4x ，x ∈[0,4]的值域即可．设二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，x ∈[0,4]，∴f (x )的值域是[0,4]．∵t ＝f (x )，∴t 的值域是[0,2]，∴－t 的值域是[－2,0]，∴函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是[0,2]．故选C.3．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元答案：C 解析：设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，设两地销售的利润之和为y 万元，则y ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30.由题意知，⎩⎨⎧ x ≥0，15－x ≥0.∴0≤x ≤15，且x ∈Z . 当x ＝19－2×(－1)＝9.5时，y 值最大， ∵x ∈Z ，∴取x ＝9或10.当x ＝9时，y ＝120，当x ＝10时，y ＝120.综上可知，公司获得的最大利润为120万元．故选C.4．函数f (x )＝x 2－4x ＋5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[2,4]C ．(－∞，2]D ．[0,2]答案：B 解析：由f (x )＝(x －2)2＋1知，当x ＝2时，f (x )的最小值为1，当f (x )＝5时，即x 2－4x ＋5＝5，解得x ＝0或x ＝4.结合函数图象可知，2≤m ≤4.故选B.5．当0≤x ≤2时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，0)C ．(－∞，0]D ．(0，＋∞)答案：B 解析：a ＜－x 2＋2x 恒成立，则a 小于函数f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]的最小值，而f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]的最小值为0，故a ＜0.二、填空题6．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为________．答案：12 解析：易知函数在[2,3]上单调递减，故当x ＝3时，函数有最小值为12.7．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不等实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b＞0成立，且f (－3)＝a ，f (－1)＝b ，则f (x )在[－3，－1]上的最大值是________．答案：b 解析：由f (a )－f (b )a －b＞0，得f (x )在R 上是增函数，则f (x )在[－3，－1]上的最大值是f (－1)＝b .8．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是________．答案：(－∞，－5] 解析：当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0可化为m ＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ，又函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x 在(1,2)上递增，则f (x )＞－5，则m ≤－5. 9．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围是________．答案：[1,2] 解析：y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，作出图象，由图象知，1≤m ≤2.10．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m)．答案：20 解析：设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y 40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20 m 时，面积最大．11．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋1，在(－∞，－2]上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f (x )在[1,2]上的值域为________．答案：[21,49] 解析：由题意知，x ＝－2是f (x )的对称轴，则m 2×4＝－2，m ＝－16， ∴f (x )＝4x 2＋16x ＋1＝4(x ＋2)2－15.又∵f (x )在[1,2]上单调递增，f (1)＝21，f (2)＝49，∴f (x )在[1,2]上的值域为[21,49]．三、解答题12．已知函数f (x )＝x 2－x ＋a ＋1.(1)若f (x )≥0对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求f (x )在区间(－∞，a ]上的最小值g (a )的表达式．解：(1)由f (x )≥0对一切实数x 恒成立知，x 2－x ＋a ＋1≥0对x ∈R 恒成立，∴Δ＝1－4(a ＋1)≤0，解得a ≥－34，∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞. (2)∵f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋a ＋34(x ≤a )， ①当a ＜12时，g (a )＝f (x )min ＝f (a )＝a 2＋1，②当a ≥12时，g (a )＝f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a ＋34， ∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋1，a ＜12，a ＋34，a ≥12.13．某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20 000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益(单位：元)满足分段函数φ(x )，其中φ(x )＝⎩⎨⎧ 400x －12x 2，0<x ≤400，80 000，x >400，x 是“玉兔”的月产量(单位：件)，总收益＝成本＋利润． (1)试将利润y 表示为月产量x 的函数；(2)当月产量为多少件时利润最大？最大利润是多少？解：(1)依题设，总成本为20 000＋100x ，则y ＝⎩⎨⎧ －12x 2＋300x －20 000，0<x ≤400，且x ∈N ，60 000－100x ，x >400，且x ∈N .(2)当0<x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25 000，则当x ＝300时，y max ＝25 000；当x >400时，y ＝60 000－100x 是减函数，则y <60 000－100×400＝25 000，所以当月产量为300件时，有最大利润25 000元．尖子生题库14．已知函数f (x )的定义域为R ，对于任意a ，b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－2，试判断f (x )在[－3,3)上是否有最大值和最小值？如果有，求出最大值和最小值，如果没有，说明理由．解：设－3≤x 1＜x 2＜3，则x 2－x 1＞0.∴f (x 2－x 1)＜0，f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)－f (x 1＋x 2－x 1)＝f (x 1)－[]f (x 1)＋f (x 2－x 1)＝－f (x 2－x 1)＞0.∴f (x )在[－3,3)上是减函数，∴f (x )在[－3,3)上有最大值f (－3)，但无最小值．由题意，令a ＝b ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0；令a ＝1，b ＝－1，得f (1－1)＝f (1)＋f (－1)．∴f(－1)＝f(0)－f(1)＝2，∴f(－3)＝f(－1)＋f(－2)＝3f(－1)＝6，∴f(x)max＝f(－3)＝6，无最小值．。

高中数学函数的最大(小)值练习题(含答案)

第2课时函数的最大(小)值(教师独具内容)课程标准：1.理解最值的概念，了解函数的最值与极值的区别和联系.2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．教学重点：在闭区间上求函数的最值．教学难点：与函数最值有关的参数问题.1．对函数最值的两点说明(1)给定的区间必须是闭区间，y＝f(x)的图象在开区间上虽然连续不断，但不能保证有最大值或最小值．例如：函数f(x)＝1x，x∈(0,2)，y＝f(x)的图象在(0,2)上连续不断，但y＝f(x)没有最大值和最小值．(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证y＝f(x)有最大值和最小值．2．函数极值与最值的内在联系(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．(关键词：局部概念)(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个．(关键词：整个定义区间)(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．(关键词：极值与最值的区别)1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)设函数f(x)＝e2x＋3x(x∈R)，则f(x)________(填“有”或“无”)最值．(2)已知函数y＝x3－x2－x，该函数在区间[0,3]上的最大值是________.(3)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________.题型一求已知函数的最值例1 (1)求函数f(x)＝x3－12x2－2x＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值；(2)求函数f(x)＝12x＋sin x在区间[0,2π]上的最大值与最小值．[跟踪训练1] (1)求函数f(x)＝－x3＋3x2－6x＋5在[－1，1]上的最值；(2)求函数f(x)＝e x(3－x2)在区间[2,5]上的最值．题型二由函数的最值确定参数的值例2 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．[跟踪训练2] 设23<a<1，函数f(x)＝x3－32ax2＋b在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－62，求函数的解析式．题型三利用函数最值证明不等式例3 已知函数f(x)＝e x－ln (x＋m)．证明：当m≤2时，f(x)>0.[跟踪训练3] 设f(x)＝x－1x－2ln x．证明：当x≥1时，f(x)≥0恒成立．题型四利用函数最值解决不等式恒成立问题例4 已知f(x)＝x ln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．[跟踪训练4] 已知函数f(x)＝x ln x(x>0)．(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥－x2＋mx－32恒成立，求实数m的最大值．题型五与函数图象有关的综合问题例5 已知函数f(x)＝xe x，x∈R.(1)写出函数的定义域，判断函数的单调性，并求出极值；(2)作出函数的大致图象；(3)求出方程f(x)＝a(a∈R)解的个数．[跟踪训练5] 若函数f(x)＝ln xx2，x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e，＋∞.(1)写出函数的定义域，判断函数的单调性，并求出极值；(2)作出函数的大致图象；(3)求出方程f(x)＝a(a∈R)解的个数．题型六导数在解决实际问题中的应用例6 如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于距河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？[跟踪训练6] 用长为90 cm，宽为 48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？1．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )A．单调递增B．单调递减C．有最大值D．有最小值2．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产( )A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台3．(多选)已知ln x1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－4－2ln 2＝0，记M＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2，则以下正确的为( )A．M的最小值为25B．当M最小时，x2＝125C．M的最小值为45D．当M最小时，x2＝654．函数f(x)＝4xx2＋1，x∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________.5．已知函数f(x)＝ln x－x＋1，x∈(0，＋∞)，求函数f(x)的最大值．A级：“四基”巩固训练一、选择题1．函数f(x)＝x3－12x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是( ) A．1，－1 B．1，－17C．17,1 D．9，－192．g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－log 2(x ＋1)在区间[0,1]上的最小值为( )A ．12B ．－12C ．1D ．－13．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )4．函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值时，x 的值为( )A ．0B ．π6C ．π3D ．π25．(多选)已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，下列关于函数f (x )的结论正确的是( )x －1 0 4 5 f (x )1221B ．函数f (x )在[0,2]上是减函数C ．若x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，则t 的最大值为4D ．当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点二、填空题6．函数y ＝x e －x ，x ∈[0,4]的最大值为________.7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2(万元)与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km 处建仓库，y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么当仓库建在离车站________km 处时，费用之和最小，费用之和的最小值为________万元．8．若a 为实数，对任意k ∈[－1,1]，当x ∈(0,4]时，不等式6ln x ＋x 2－9x ＋a ≤kx 恒成立，则实数a 的最大值是________.三、解答题9．已知函数f (x )＝e x －e x －e 2. (1)求f (x )的最小值； (2)求证：e x －ln x >2310.(参考数据：e ≈1.65) 10．如图，在P 地正西方向8 km 的A 处和正东方向1 km 的B 处各有一条正北方向的公路AC 和BD ，现计划在AC 和BD 路边各修建一个物流中心E 和F ，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE 和PF ，设∠EPA ＝α⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2.(1)为减少对周边区域的影响，试确定E ，F 的位置，使△PAE 与△PFB 的面积之和最小；(2)为节省建设成本，求使PE ＋PF 的值最小时AE 和BF 的值．B 级：“四能”提升训练1．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 2．已知函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象在点(t ，f (t ))处的切线方程为y ＝3x －1.(1)求a 的值；(2)已知k ≤2，当x >1时，f (x )>k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x ＋2x －1恒成立，求实数k 的取值范围；(3)对于在(0,1)中的任意一个常数b ，是否存在正数x 0，使得e f (x 0＋1)－3x 0－2＋b2x 2<1，请说明理由．第2课时函数的最大(小)值(教师独具内容)课程标准：1.理解最值的概念，了解函数的最值与极值的区别和联系.2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．教学重点：在闭区间上求函数的最值．教学难点：与函数最值有关的参数问题.1．对函数最值的两点说明(1)给定的区间必须是闭区间，y ＝f (x )的图象在开区间上虽然连续不断，但不能保证有最大值或最小值．例如：函数f (x )＝1x，x ∈(0,2)，y ＝f (x )的图象在(0,2)上连续不断，但y＝f (x )没有最大值和最小值．(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证y ＝f (x )有最大值和最小值．例如：函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |－1≤x ≤1，x ≠0，1x ＝0，作图可知f (x )无最小值．2．函数极值与最值的内在联系(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．(关键词：局部概念)(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个．(关键词：整个定义区间)(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．(关键词：极值与最值的区别)1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)设函数f(x)＝e2x＋3x(x∈R)，则f(x)________(填“有”或“无”)最值．(2)已知函数y＝x3－x2－x，该函数在区间[0,3]上的最大值是________.(3)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________.答案(1)无(2)15 (3)1题型一求已知函数的最值例1 (1)求函数f(x)＝x3－12x2－2x＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值；(2)求函数f(x)＝12x＋sin x在区间[0,2π]上的最大值与最小值．[解](1)因为f(x)＝x3－12x2－2x＋5，所以f′(x)＝3x2－x－2.令f′(x)＝0，得x 1＝－23，x 2＝1.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝15727，f (1)＝72，又f (－2)＝－1，f (2)＝7，所以函数f (x )在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1.(2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝2π3或x ＝4π3. 因为f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝π3＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2π3－32，f (2π)＝π，所以函数f (x )在[0,2π]上的最大值是π，最小值是0.求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数为零的点，无需判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值．[跟踪训练1] (1)求函数f (x )＝－x 3＋3x 2－6x ＋5在[－1，1]上的最值； (2)求函数f (x )＝e x (3－x 2)在区间[2,5]上的最值．解 (1)∵f ′(x )＝－3x 2＋6x －6＝－3(x 2－2x ＋2)＝－3(x －1)2－3， ∴f ′(x )在[－1,1]内恒小于0. ∴f (x )在[－1,1]上为减函数，∴当x ＝－1时，取得最大值为f (－1)＝15；当x ＝1时，取得最小值为f (1)＝1.即f (x )在[－1,1]上的最小值为1，最大值为15. (2)∵f ′(x )＝3e x －e x x 2－2e x x ，∴f ′(x )＝－e x (x 2＋2x －3)＝－e x (x ＋3)(x －1)， ∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x (x ＋3)(x －1)<0， ∴函数f (x )在区间[2,5]上单调递减，∴当x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；当x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5. 题型二由函数的最值确定参数的值例2 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．[解]由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a>0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x －1(－1,0)0(0,2) 2 f′(x)＋0－f(x)－7a＋b ↗ b ↘－16a＋b∴f(0)＝3，即b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝－29，即b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而求出参数的值，这也是方程思想的应用．[跟踪训练2] 设23<a<1，函数f(x)＝x3－32ax2＋b在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－62，求函数的解析式．解f′(x)＝3x2－3ax，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故需比较f(0)与f(1)的大小及f(－1)与f(a)的大小．因为f(0)－f(1)＝32a－1>0，所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1.又f(－1)－f(a)＝12(a＋1)2(a－2)<0，所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－32a＋b＝－32a，所以－32a＝－62，所以a＝6 3.故所求函数的解析式是f(x)＝x3－62x2＋1.题型三利用函数最值证明不等式例3 已知函数f(x)＝e x－ln (x＋m)．证明：当m≤2时，f(x)>0. [证明] 当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln (x＋m)≤ln (x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)>0.当m＝2时，函数f′(x)＝e x－1x＋2在(－2，＋∞)上单调递增．又f′(－1)<0，f′(0)>0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x∈(－1,0)．当x∈(－2，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0得e x0＝1x＋2，ln (x0＋2)＝－x0，故f (x )≥f (x 0)＝1x 0＋2＋x 0＝x 0＋12x 0＋2>0.综上，当m ≤2时，f (x )>0.本题的证明遵循了一般解法，但要注意到两个函数分别是对数函数和指数函数，因此需要进行分离．事实上，还可以利用搭桥的方式，通过传递进行证明．应选择一个一次式或多项式，使之能够在指数和对数之间起到桥梁作用，而且不增加计算量，此时经验的作用凸显，因为e x ≥1＋x ，所以找到使1＋x ≥ln (m ＋x )成立的m 是解决本题的关键．[跟踪训练3] 设f (x )＝x －1x－2ln x ．证明：当x ≥1时，f (x )≥0恒成立．证明 f (x )＝x －1x－2ln x 的定义域为(0，＋∞)．∴f ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x 2＝x －12x 2≥0，∴f (x )在[1，＋∞)上是单调增函数， ∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)．∴f (x )≥f (1)＝1－1－2ln 1＝0对于x ∈[1，＋∞)恒成立. 题型四利用函数最值解决不等式恒成立问题例4 已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 3＋ax 2－x ＋2. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，2f (x )≤g ′(x )＋2恒成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1.令f ′(x )<0，得ln x ＋1<0，解得0<x <1e ，∴f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .令f ′(x )>0，得ln x ＋1>0，解得x >1e，∴f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.(2)g ′(x )＝3x 2＋2ax －1，由题意得2x ln x ≤3x 2＋2ax ＋1恒成立．∵x >0，∴a ≥ln x －32x －12x 在x ∈(0，＋∞)上恒成立．设h (x )＝ln x －32x －12x (x >0)，则h ′(x )＝1x －32＋12x2＝－x －13x ＋12x 2.令h ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－13(舍去)．当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)h ′(x ) ＋ 0 － h (x )↗极大值↘max ∴若a ≥h (x )在x ∈(0，＋∞)上恒成立，则a ≥h (x )max ＝－2，即a ≥－2，故实数a的取值范围是[－2，＋∞)．(1)涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论．(2)不等式恒成立、能成立常见的转化策略①a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ，a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min ； ②f (x )＞g (x )＋k 恒成立⇔k ＜[f (x )－g (x )]min ； ③f (x )＞g (x )恒成立⇔[f (x )－g (x )]min ＞0；④a ＞f (x )能成立⇔a ＞f (x )min ，a ＜f (x )能成立⇔a ＜f (x )max . [跟踪训练4] 已知函数f (x )＝x ln x (x >0)． (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥－x 2＋mx －32恒成立，求实数m 的最大值．解 (1)由f (x )＝x ln x (x >0)，得f ′(x )＝1＋ln x ，令f ′(x )>0，得x >1e ；令f ′(x )<0，得0<x <1e.∴f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .故f (x )在x ＝1e 处有极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ，无极大值．(2)由f (x )≥－x 2＋mx －32及f (x )＝x ln x ，得m ≤2x ln x ＋x 2＋3x 恒成立，问题转化为m ≤⎝⎛⎭⎪⎫2x ln x ＋x 2＋3x min . 令g (x )＝2x ln x ＋x 2＋3x(x >0)，则g ′(x )＝2x ＋x 2－3x 2，由g ′(x )>0⇒x >1，由g ′(x )<0⇒0<x <1.所以g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝4，因此m ≤4，所以实数m 的最大值是4. 题型五与函数图象有关的综合问题例5 已知函数f (x )＝xex ，x ∈R . (1)写出函数的定义域，判断函数的单调性，并求出极值； (2)作出函数的大致图象；(3)求出方程f (x )＝a (a ∈R )解的个数．[解] (1)已知函数的定义域为R ，f ′(x )＝1－xe x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，所以f (x )的极大值为f (1)＝1e，所以函数的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)，极大值为1e，无极小值．(2)显然，当x→－∞时，f(x)＝xe x→－∞，又x>0时，f(x)>0，且x→＋∞时，f(x)＝xe x→0，所以作出f(x)＝xe x的图象如下．(3)由函数f(x)的图象得，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝1e，故方程f(x)＝a(a∈R)解的个数为当a≤0或a＝1e时，方程有一解；当a>1e时，方程无解；当0<a<1e时，方程有两解．画函数f(x)大致图象的步骤如下：(1)求出函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)及函数f′(x)的零点；(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；(4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；(5)画出f(x)的大致图象．[跟踪训练5] 若函数f(x)＝ln xx2，x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e，＋∞.(1)写出函数的定义域，判断函数的单调性，并求出极值；(2)作出函数的大致图象；(3)求出方程f (x )＝a (a ∈R )解的个数．解 (1)已知函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞；f ′(x )＝1x·x 2－ln x ·2xx 4＝1－2ln xx 3，令f ′(x )＝0，得x ＝e ，当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，所以f (x )＝ln xx 2的极大值为f (e)＝ln e e2＝12e ，所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，e ，单调递减区间为(e ，＋∞)，极大值为12e，无极小值． (2)f (1)＝0，当x →＋∞时，f (x )＝ln x x 2→0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝－e 2，所以作出f (x )＝ln xx 2的图象如下．(3)由函数f (x )的图象得，当x ＝e 时，f (x )有最大值12e.故方程f (x )＝a (a ∈R )解的个数为当a <－e 2或a >12e时，方程无解；当－e 2≤a ≤0或a ＝12e时，方程有一解；当0<a<12e时，方程有两解.题型六导数在解决实际问题中的应用例6 如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于距河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？[解]设C点距D点x km，则BD＝40，AC＝50－x，∴BC＝CD2＋BD2＝x2＋402.又设总的水管费用为y元，依题意，得y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0<x<50)．则y′＝－3a＋5axx2＋402，令y′＝0，解得x1＝30，x2＝－30(舍去)．在(0,50)上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30 km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处时，可使水管费用最省．(1)根据题设建立数学模型，借助图象寻找各条件间的联系，适当选定变量，构造相应的函数关系，通过求导或其他方法求出最值．(2)在实际问题中，若函数在某区间内只有一个极值点，则只要根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．[跟踪训练6] 用长为90 cm，宽为 48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解设容器的高为x cm，容器的容积为V(x) cm3，则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(0<x<24)，V′(x)＝12x2－552x＋4320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)(0<x<24)．令V′(x)＝0，解得x1＝10，x2＝36(舍去)．当0<x<10时，V′(x)>0，V(x)是增函数；当10<x<24时，V′(x)<0，V(x)是减函数．因此，在定义域(0,24)内，只有当x＝10时函数V(x)取得最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19600.故当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19600 cm3.1．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )A．单调递增B．单调递减C．有最大值D．有最小值答案 A解析因为f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．2．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产( )A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台答案 A解析设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x>0)，∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．令y′＝0，解得x＝0(舍去)或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．3．(多选)已知ln x1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－4－2ln 2＝0，记M＝(x1－x2)2＋(y 1－y 2)2，则以下正确的为( )A ．M 的最小值为25B ．当M 最小时，x 2＝125C ．M 的最小值为45D ．当M 最小时，x 2＝65答案 BC解析由ln x 1－x 1－y 1＋2＝0，得y 1＝ln x 1－x 1＋2，故(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值可转化为函数y ＝ln x －x ＋2图象上的点到直线x ＋2y －4－2ln 2＝0上的点的距离的最小值的平方．由y ＝ln x －x ＋2，得y ′＝1x－1，与直线x ＋2y－4－2ln 2＝0平行的直线的斜率为－12，则令1x －1＝－12，解得x ＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)，∴点(2，ln 2)到直线x ＋2y －4－2ln 2＝0的距离d ＝|2＋2ln 2－4－2ln 2|1＋4＝255，即函数y ＝ln x －x ＋2图象上的点到直线x ＋2y－4－2ln 2＝0上的点的距离的最小值为255，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为d 2＝45.过点(2，ln 2)与x ＋2y －4－2ln 2＝0垂直的直线为y －ln 2＝2(x －2)，即2x －y －4＋ln 2＝0，由⎩⎨⎧x ＋2y －4－2ln 2＝0，2x －y －4＋ln 2＝0，解得x ＝125，即当M 最小时，x 2＝125.故选BC ．4．函数f (x )＝4xx 2＋1，x ∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________. 答案 2 －2 解析 ∵y ′＝4x 2＋1－2x ·4x x 2＋12＝－4x 2＋4x 2＋12，令y ′＝0可得x ＝1或x ＝－1.又∵f (1)＝2，f (－1)＝－2，f (2)＝85，f (－2)＝－85，∴最大值为2，最小值为－2.5．已知函数f (x )＝ln x －x ＋1，x ∈(0，＋∞)，求函数f (x )的最大值．解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)上是增函数；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上是减函数，故函数f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝0.A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．函数f (x )＝x 3－12x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是( ) A ．1，－1 B ．1，－17 C ．17,1 D ．9，－19答案 C解析令f ′(x )＝3x 2－12＝0，得x ＝±2，f (－2)＝17，f (－3)＝10，f (0)＝1，所以最大值为17，最小值为1.故选C ．2．g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －log 2(x ＋1)在区间[0,1]上的最小值为( )A ．12B ．－12C ．1D ．－1 答案 B解析因为g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－log 2(x ＋1)是减函数，所以g (x )在区间[0,1]上的最小值为g (1)＝－12.故选B ．3．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )答案 A解析令h (x )＝f (x )－g (x )，x ∈[a ，b ]，则h ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，∴h (x )是[a ，b ]上的减函数．∴h (x )max ＝[f (x )－g (x )]max ＝f (a )－g (a )．故选A ．4．函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值时，x 的值为( )A ．0B ．π6C ．π3D ．π2答案 B解析 f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )＝0，得x ＝π6，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，f ′(x )>0，f (x )为单调递增函数，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2时，f ′(x )<0，f (x )为单调递减函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的极大值，也是最大值．故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值时，x 的值为π6.5．(多选)已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，下列关于函数f (x )的结论正确的是( )x －1 0 4 5 f (x )1221B ．函数f (x )在[0,2]上是减函数C ．若x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，则t 的最大值为4D ．当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点答案 AB解析由f ′(x )的图象可知，当－1≤x <0或2<x <4时，f ′(x )>0，函数f (x )为增函数，当0<x <2或4<x ≤5时，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数，即当x ＝0时，函数f(x)取得极大值，当x＝4时，函数f(x)取得极大值，即函数f(x)有两个极大值点，故A正确；函数f(x)在[0,2]上是减函数，故B正确；作出f(x)的图象如图1，若x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，则t满足0≤t≤5，即t的最大值是5，故C错误；由y＝f(x)－a＝0得f(x)＝a，若f(2)≤1，当1<a<2时，f(x)＝a有四个根，如图2.若1<f(2)<2，当1<a<2时，f(x)＝a不一定有四个根，有可能是两个或三个，如图3，故函数y＝f(x)－a不一定有4个零点，故D错误．故选AB．二、填空题6．函数y＝x e－x，x∈[0,4]的最大值为________.答案1 e解析令y＝f(x)＝x e－x，则f′(x)＝e－x－x e－x＝e－x(1－x)，令f′(x)＝0，得x＝1.∵f(0)＝0，f(4)＝4e4，f(1)＝e－1＝1e，∴函数的最大值为f(1)＝1e.7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元，那么当仓库建在离车站________km 处时，费用之和最小，费用之和的最小值为________万元．答案 5 8解析依题意可设每月土地占用费y1＝k1x，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数．由2＝k110得k1＝20；由8＝10k2得k 2＝45.因此，两项费用之和为y＝20x＋4x5(x>0)，y′＝－20x2＋45，令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去)．当0<x<5时，y′<0；当x>5时，y′>0.因此，当x＝5时，y取得极小值，也是最小值，故当仓库建在离车站5 km处时，费用之和最小，费用之和的最小值为205＋4×55＝8万元．8．若a 为实数，对任意k ∈[－1,1]，当x ∈(0,4]时，不等式6ln x ＋x 2－9x ＋a ≤kx 恒成立，则实数a 的最大值是________.答案 7解析因为对任意k ∈[－1,1]，当x ∈(0,4]时，不等式6ln x ＋x 2－9x ＋a ≤kx 恒成立，所以对任意k ∈[－1,1]，当x ∈(0,4]时，不等式6ln x ＋x 2－9x ＋ax≤k恒成立，即6ln x ＋x 2－9x ＋a x ≤k min ⇒6ln x ＋x 2－9x ＋ax≤－1⇒a ≤－6ln x －x 2＋8x ，所以当x ∈(0,4]时，不等式a ≤－6ln x －x 2＋8x 恒成立．令f (x )＝－6ln x －x 2＋8x ，x ∈(0,4]，则a ≤f (x )min ，f ′(x )＝－2x 2＋8x －6x＝－2x －2x －3x，当f ′(x )>0时，⎩⎨⎧2x －2x －3<0，0<x ≤4⇒1<x <3，当f ′(x )<0时，⎩⎨⎧2x －2x －3>0，0<x ≤4⇒0<x <1或3<x ≤4，所以函数f (x )在区间(0,1)和(3,4]上单调递减，在区间(1,3)上单调递增．f (1)＝0－1＋8＝7，f (4)＝－6ln 4－16＋32＝16－6ln 4，因为16－6ln 4－7＝9－6ln 4＝3×(3－ln 16)＝3ln e 316>0，所以f (x )min ＝7，所以a ≤7，a 的最大值为7.三、解答题9．已知函数f (x )＝e x －e x －e 2. (1)求f (x )的最小值；(2)求证：e x－ln x >2310.(参考数据：e ≈1.65)解 (1)由f (x )＝e x －e x －e2，得f ′(x )＝e x －e ，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )的极小值也是最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.(2)证明：由(1)知，f (x )＝e x －e x －e2≥0，即e x≥ e x ＋e2，则e x －ln x ≥ e x －ln x ＋e 2. 令g (x )＝e x －ln x ＋e 2，则g ′(x )＝e －1x ＝e x －1x(x >0)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1－ln 1e ＋e 2＝1＋12＋e 2≈3＋1.652＝23.2510>2310.所以e x－ln x >2310.10．如图，在P 地正西方向8 km 的A 处和正东方向1 km 的B 处各有一条正北方向的公路AC 和BD ，现计划在AC 和BD 路边各修建一个物流中心E 和F ，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE 和PF ，设∠EPA ＝α⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2.(1)为减少对周边区域的影响，试确定E ，F 的位置，使△PAE 与△PFB 的面积之和最小；(2)为节省建设成本，求使PE ＋PF 的值最小时AE 和BF 的值．解 (1)在Rt △PAE 中，由题意可知∠APE ＝α，AP ＝8，则AE ＝8tan α，所以S △PAE ＝12PA ·AE ＝32tan α.同理，在Rt △PBF 中，∠PFB ＝α，PB ＝1，则BF ＝1tan α，所以S △PBF ＝12PB ·BF ＝12tan α，故△PAE 与△PFB 的面积之和为 32tan α＋12tan α≥232tan α·12tan α＝8，当且仅当32tan α＝12tan α，即tan α＝18时，取“＝”，故当AE ＝1 km ，BF ＝8 km 时，△PAE 与△PFB 的面积之和最小． (2)在Rt △PAE 中，由题意可知∠APE ＝α，则PE ＝8cos α. 同理，在Rt △PBF 中，∠PFB ＝α，则PF ＝1sin α. 令f (α)＝PE ＋PF ＝8cos α＋1sin α，0<α<π2，则f ′(α)＝8sin αcos 2α－cos αsin 2α＝8sin 3α－cos 3αsin 2αcos 2α.令f ′(α)＝0，得tan α＝12，记tan α0＝12，0<α0<π2，当α∈(0，α0)时，f ′(α)<0，f (α)单调递减；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫α0，π2时，f ′(α)>0，f (α)单调递增．所以tan α＝12时，f (α)取得最小值，此时AE ＝AP ·tan α＝8×12＝4，BF ＝BPtan α＝2.所以当AE ＝4 km ，BF ＝2 km 时，PE ＋PF 的值最小．B 级：“四能”提升训练1．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，g ′(a )＝1a＋1>0，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．2．已知函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象在点(t ，f (t ))处的切线方程为y ＝3x －1.(1)求a 的值；(2)已知k ≤2，当x >1时，f (x )>k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x ＋2x －1恒成立，求实数k 的取值范围；(3)对于在(0,1)中的任意一个常数b ，是否存在正数x 0，使得e f (x 0＋1)－3x 0－2＋b2x 20<1，请说明理由．解 (1)函数f (x )＝ln x ＋ax 的导数为f ′(x )＝1x＋a ，因为函数f (x )的图象在点(t ，f (t ))处的切线方程为y ＝3x －1，所以f ′(t )＝1t＋a ＝3，又因为函数f (x )的图象在点(t ，f (t ))处的切线方程为y －(ln t ＋at )＝3(x －t )，即y －(ln t ＋3t －1)＝3(x －t )，y ＝3x ＋ln t －1，所以⎩⎨⎧1t ＋a ＝3，ln t －1＝－1，解得a ＝2.(2)由(1)可得f (x )＝ln x ＋2x ，因为f (x )>k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x ＋2x －1，所以ln x >k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x －1，所以x ln x ＋x －k (x －3)>0.令g (x )＝x ln x ＋x －k (x －3)，g ′(x )＝2＋ln x －k ，由x >1，k ≤2，可得ln x >0,2－k ≥0，即有g ′(x )>0，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，可得g (x )>g (1)＝1＋2k ≥0，所以－12≤k ≤2，故实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2.(3)对于在(0,1)中的任意一个常数b ，假设存在正数x 0，使得e f (x 0＋1)－3x 0－2＋b2x 20<1，则e f (x 0＋1)－3x 0－2＋b 2x 20＝e ln (x 0＋1)－x 0＋b 2x 20＝(x 0＋1)·e －x 0＋b2x 20<1.令H (x )＝(x ＋1)·e －x ＋b2x 2－1，则H ′(x )＝e －x －(x ＋1)e －x ＋bx ＝x (b －e －x )，令H ′(x )>0，解得x >－ln b ，令H ′(x )<0，解得0<x <－ln b ，则x ＝－ln b 是函数H (x )的极小值点，也是最小值点．故H (x )的最小值为H (－ln b )＝(－ln b ＋1)·e ln b ＋b 2ln 2b －1＝b2ln 2b －b ln b＋b－1.再令G(x)＝x2ln2x－x ln x＋x－1(0<x<1)，则G′(x)＝12(ln2x＋2ln x)－(1＋ln x)＋1＝12ln2x>0，所以G(x)在(0,1)上单调递增，所以G(x)<G(1)＝0，则H(－ln b)<0.故存在正数x0＝－ln b，使得e e f(x0＋1)－3x0－2＋b2x2<1.。

高中数学 1.3.1 第2课时函数的最大(小)值课时作业新人教A版必修1

第2课时函数的最大(小)值课时目标1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.体会函数的最大(小)值与单调性之间的关系.3.会求一些简单函数的最大(小)值．1．函数的最大值、最小值(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为________，最小值为________．(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为______，最小值为______．一、选择题1．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是( )A．a≤－3 B．a≥－3C．a≤5 D．a≥32．函数y＝x＋2x－1( )A ．有最小值12，无最大值B ．有最大值12，无最小值C ．有最小值12，最大值2D ．无最大值，也无最小值3．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0,2] C ．(－∞，2] D ．[1,2]4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (－2)<f (0)<f (2) B ．f (0)<f (－2)<f (2) C ．f (2)<f (0)<f (－2) D ．f (0)<f (2)<f (－2) 5．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的( ) A ．最小值是0，最大值是4 B ．最小值是－4，最大值是0 C ．最小值是－4，最大值是4 D ．没有最大值也没有最小值6．函数f (x )＝11－x 1－x的最大值是( )A.45B.54C.34D.4 题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．函数y ＝2|x |＋1的值域是________．8．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a <b <3)有最大值9，最小值－7，则a ＝________，b ＝__________.9．若y ＝－2x，x ∈[－4，－1]，则函数y 的最大值为________．三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.(1)求f (x )在区间[12，3]上的最大值和最小值；(2)若g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围．11．若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．能力提升12．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)＝g(x)；当f(x)<g(x)时，F(x)＝f(x)，那么F(x)( )A．有最大值3，最小值－1B．有最大值3，无最小值C．有最大值7－27，无最小值D．无最大值，也无最小值13．已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1，其中a≥0，a∈R.(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．知识梳理1．(1)f (x )≤M (2)f (x 0)＝M (3)f (x )≥M (4)f (x 0)＝M 2．(1)f (b ) f (a ) (2)f (a ) f (b ) 作业设计1．A [由二次函数的性质，可知4≤－(a －1)，解得a ≤－3.]2．A [∵y ＝x ＋2x －1在定义域[12，＋∞)上是增函数，∴y ≥f (12)＝12，即函数最小值为12，无最大值，选A.]3．D [由y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2知，当x ＝1时，y 的最小值为2，当y ＝3时，x 2－2x ＋3＝3，解得x ＝0或x ＝2.由y ＝x 2－2x ＋3的图象知，当m ∈[1,2]时，能保证y 的最大值为3，最小值为2.]4．D [依题意，由f (1＋x )＝f (－x )知，二次函数的对称轴为x ＝12，因为f (x )＝x 2＋bx ＋c 开口向上，且f (0)＝f (1)，f (－2)＝f (3)，由函数f (x )的图象可知，[12，＋∞)为f (x )的增区间，所以f (1)<f (2)<f (3)，即f (0)<f (2)<f (－2)．] 5．C [y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4 x ≥3－2x ＋2 －1≤x <34 x <－1.因为[－1,3)是函数y ＝－2x ＋2的减区间，所以－4<y ≤4，综上可知C 正确．]6．D [f (x )＝1x －122＋34≤43.]7．(0,2]解析观察可知y >0，当|x |取最小值时，y 有最大值，所以当x ＝0时，y 的最大值为2，即0<y ≤2，故函数y 的值域为(0,2]． 8．－2 0解析 y ＝－(x －3)2＋18，∵a <b <3，∴函数y 在区间[a ，b ]上单调递增，即－b 2＋6b ＋9＝9，得b ＝0(b ＝6不合题意，舍去) －a 2＋6a ＋9＝－7，得a ＝－2(a ＝8不合题意，舍去)． 9．2解析函数y ＝－2x在[－4，－1]上是单调递增函数，故y max ＝－2－1＝2.10．解 (1)∵f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[12，3]，∴f (x )的最小值是f (1)＝1，又f (12)＝54，f (3)＝5，所以，f (x )的最大值是f (3)＝5，即f (x )在区间[12，3]上的最大值是5，最小值是1.(2)∵g (x )＝f (x )－mx ＝x 2－(m ＋2)x ＋2， ∴m ＋22≤2或m ＋22≥4，即m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．11．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，∴c ＝1，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴2ax ＋a ＋b ＝2x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝(x －32)2－54－m ，其对称轴为x ＝32，∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数，∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，∴m <－1.12．C [画图得到F (x )的图象：射线AC 、抛物线»AB 及射线BD 三段，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x 2－2x ，得x A ＝2－7，代入得F (x )的最大值为7－27，由图可得F (x )无最小值，从而选C.]13．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－|x |＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1， x <0x 2－x ＋1， x ≥0.作图(如右所示)．(2)当x ∈[1,2]时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1.若a ＝0，则f (x )＝－x －1在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝－3.若a >0，则f (x )＝a (x －12a )2＋2a －14a－1，f (x )图象的对称轴是直线x ＝12a.当0<12a <1，即a >12时，f (x )在区间[1,2]上是增函数，g (a )＝f (1)＝3a －2.当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，g (a )＝f (12a )＝2a －14a －1，当12a >2，即0<a <14时，f (x )在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝6a －3.综上可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧6a －3， 0≤a <142a －14a －1， 14≤a ≤123a －2， a >12。

数学1.3.1.2函数的最大(小)值双基达标(人教A版必修1)

1.3.1.2双基达标 (限时20分钟)1．函数y ＝f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )．A ．f (－2)，0B ．0,2C ．f (－2)，2D ．f (2)，2解析由函数最值的几何意义知，当x ＝－2时，有最小值f (－2)；当x ＝1时，有最大值2.答案 C2．函数y ＝1x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是( )． A.14 B ．－1 C ．4 D ．－4解析显然y ＝x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递增，故y ＝1x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递减，∴y max ＝4. 答案 C3．函数f (x )＝x 2＋3x ＋2在区间(－5,5)上的最大、最小值分别为( )．A ．42,12B ．42，－14C ．12，－14D ．无最大值，最小值为－14解析 ∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－14，x ∈(－5,5)， ∴当x ＝－32时，f (x )有最小值－14，f (x )无最大值．答案 D4．函数y ＝2x 2＋1，x ∈N *的最小值为________．解析 ∵x ∈N *，∴y ＝2x 2＋1≥3.答案 35．若函数y ＝k x (k >0)在[2,4]上的最小值为5，则k 的值为________．解析因为k >0，所以函数y ＝k x 在[2,4]上是减函数，所以当x ＝4时，y ＝k 4最小，由题意知，k 4＝5，k ＝20.答案 206．画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ∈(－∞，0)，x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞)的图象，并写出函数的单调区间，函数最小值．解 f (x )的图象如图所示，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f (0)＝－1.综合提高 (限时25分钟)7．函数y ＝2x 在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是( )．A ．1，12 B.12，1 C.12，14 D.14，12解析 y ＝2x 在[2,4]上是减函数，∴y max ＝1，y min ＝12.答案 A8．函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是( )． A.45 B.54 C.34 D.43解析 f (x )＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≤43. 答案 D9．已知函数y *f (x )是(0，＋∞)上的减函数，则f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系是________．解析 ∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，又f (x )在(0，＋∞)上是减函数∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34 答案 f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34 10．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是________．解析由题意知，f (x )在[1，a ]内是单调递减的，又∵f (x )的单调减区间为(－∞，3]，∴1<a ≤3.答案 (1,3]11．某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费60元．(1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？解 (1)租金增加了900元．所以未出租的车有15辆，一共出租了85辆．(2)设租金提高后有x 辆未租出，则已租出(100－x )辆，租车公司的月收益为y 元． y ＝(3 000＋60x )(100－x )－160(100－x )－60x ，其中x ∈[0,100]，x ∈N ，整理得：y ＝－60x 2＋3 100x ＋284 000＝－60⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15562＋972 1253，当x ＝26时，y max ＝324 040，此时，月租金为：3 000＋60×26＝4 560元．即当每辆车的月租金为4 560元时，租车公司的月收益最大，为324 040元．12．(创新拓展)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．解(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，∵x∈[－5,5]，故当x＝1时，f(x)的最小值为1.当x＝－5时，f(x)的最大值为37.(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2图象的对称轴方程为x＝－a.∵f(x)在[－5,5]上是单调的，故－a≤－5，或－a≥5.即实数a的取值范围是a≤－5，或a≥5.高:考☆试≦题)库。

高中数学1.3.1.2函数的最大(小)值随堂练习新人教A版必修1

【金版教程】2015-2016高中数学 1.3.1.2函数的最大（小）值随堂练习新人教A 版必修11.函数f (x )的图象如右图，则函数的最大、最小值分别为( )A ．f (32)、f (－32) B ．f (0)、f (32) C ．f (0)、f (－32) D ．f (0)、f (3)[解析] 由图象可知，当x ＝0时，对应点最高，故最大值为f (0)，同理最小值为f (－32)． [答案] C2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋6 x ∈[1，2]x ＋7 x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对 [解析] 本题为分段函数最值问题，其最大值为各段上最大值中的最大值，最小值为各段上最小值中的最小值．当1≤x ≤2时，8≤2x ＋6≤10，当－1≤x ≤1时，6≤x ＋7≤8.∴f (x )min ＝f (－1)＝6， f (x )max ＝f (2)＝10.[答案] A3．函数f (x )＝1x 在[1，b ](b ＞1)上的最小值是14，则b ＝________. [解析] ∵函数f (x )＝1x在[1，b ]上为减函数， ∴f (x )＝1x在[1，b ]上的最小值为f (b )， ∴1b ＝14，即b ＝4. [答案] 44．函数y ＝－1x，x ∈[－3，－1]的最大值与最小值的差是 ________.[解析] 易证函数y ＝－1x在[－3，－1]上为增函数， ∴y min ＝13，y max ＝1，∴y max －y min ＝1－13＝23. [答案] 235．[2015·江西新余高一月考]已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5，分别求下列条件下函数的最小值：(1)x ∈[－1,0]；(2)x ∈[a ，a ＋1]．[解] (1)∵二次函数y ＝x 2－4x ＋5的对称轴为x ＝2且开口向上，∴二次函数在x ∈[－1,0]上是单调递减的．∴y min ＝02－4×0＋5＝5.(2)当a ≥2时，函数在x ∈[a ，a ＋1]上是单调递增的， y min ＝a 2－4a ＋5；当a ＋1≤2即a ≤1时，函数在[a ，a ＋1]上是单调递减的，y min ＝(a ＋1)2－4(a ＋1)＋5＝a 2－2a ＋2；当a <2<a ＋1即1<a <2时，y min ＝22－4×2＋5＝1. 故函数的最小值为⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－2a ＋2，a ≤1，1，1<a <2，a 2－4a ＋5，a ≥2.。

2015-2016学年高一数学人教A版必修一精品教案：1.3.1函数的最大(小)值 Word版含答案

课题：§1.3.1函数的最大（小）值教学目的：（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．教学过程：一、引入课题画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：○1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； ○2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？（1）32)(+-=x x f（2）32)(+-=x x f ]2,1[-∈x （3）12)(2++=x x x f（4）12)(2++=x x x f ]2,2[-∈x 二、新课教学（一）函数最大（小）值定义1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；（2）存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value ）．思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value ）的定义．（学生活动）注意：○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M ； ○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）．2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○2 利用图象求函数的最大（小）值 ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；（二）典型例题例1．（教材P 36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．解：（略）说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．巩固练习：如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x ，面积为y25试将y 表示成x 的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？例2．（新题讲解）旅馆定价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．设y 为旅馆一天的客房总收入，x 为与房价160相比降低的房价，因此当房价为)160(x -元时，住房率为)%102055(⋅+x ，于是得 y =150·)160(x -·)%102055(⋅+x ．由于)%102055(⋅+x ≤1，可知0≤x ≤90．因此问题转化为：当0≤x ≤90时，求y 的最大值的问题．将y 的两边同除以一个常数0.75，得y 1=－x 2＋50x ＋17600．由于二次函数y 1在x =25时取得最大值，可知y 也在x =25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）例3．（教材P 37例4）求函数12-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值．解：（略）注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．巩固练习：（教材P 38练习4）三、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 下结论四、作业布置1．书面作业：课本P 45 习题1．3（A 组）第6、7、8题．提高作业：快艇和轮船分别从A 地和C 地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h 和15 km/h ，已知AC=150km ，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？A BCD。

高中数学 1.3.1.2 函数的最大值、最小值训练(教师版) 新人教A版必修1

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数y ＝x －1x在[1,2]上的最大值为( ) A ．0B.32 C ．2D ．3 解析：函数y ＝x 在[1,2]上是增函数函数y ＝－1x在[1,2]上是增函数 ∴函数y ＝x －1x在[1,2]上是增函数．当x ＝2时，y max ＝2－12＝32. 答案： B2．函数y ＝kx ＋b 在区间[1,2]上的最大值比最小值大2，则k 的值为( )A ．2 B.12C ．－2或2D ．－2解析：当k ＞0时，y max ＝2k ＋by min ＝k ＋b ，∴2k ＋b －(k ＋b )＝2∴k ＝2当k ＜0时，y max ＝k ＋b ，y min ＝2k ＋b ，∴k ＋b －(2k ＋b )＝2∴k ＝－2，综上k ＝±2，故选C.答案： C3．函数f (x )＝x 2＋3x ＋2在区间(－5,5)上的最大值、最小值分别为( )A ．42,12B ．42，－14C ．12，－14D ．无最大值，最小值－14解析： f (x )＝x 2＋3x ＋2＝(x ＋32)2－14， ∵－5＜－32＜5， ∴无最大值f (x )min ＝f (－32)＝－14. 答案： D4．函数y ＝x ＋1－x －1的值域为( ) A ．(－∞，2] B ．(0，2]C ．[2，＋∞)D ．[0，＋∞)解析： y ＝2x ＋1＋x －1，x ≥1时，y 是x 的减函数，当x ＝1时，y max ＝2，0＜y ≤ 2.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y ＝f (x )的定义域为[－4,6]，且在区间[－4，－2]上递减，在区间[－2,6]上递增，且f (－4)＜f (6)，则函数f (x )的最小值是________，最大值是________．答案： f (－2) f (6)6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a 的值为________．解析： f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，对称轴x ＝－1，当a ＞0时，图象开口向上，在[－2,3]上的最大值为f (3)＝9a ＋6a ＋1＝6，所以a ＝13，当a ＜0时，图象开口向下，在[－2,3]上的最大值为f (－1)＝a －2a ＋1＝6，所以a ＝－5.答案： 13或－5 三、解答题(每小题10分，共20分)7．求函数y ＝x 2x －3在区间[1,2]上的最大值和最小值．解析：任取x 1，x 2，且1≤x 1＜x 2≤2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21x 1－3－x 22x 2－3＝x 21x 2－3x 21－x 1x 22＋3x 22x 1－3x 2－3＝x 2－x 1[3x 1＋x 2－x 1x 2]x 1－3x 2－3因为1≤x 1＜x 2≤2，所以2＜x 1＋x 2＜4，即6＜3(x 1＋x 2)＜12，又1＜x 1x 2＜4，x 2－x 1＞0，故f (x 1)－f (x 2)＞0，即y 1＞y 2.所以函数y ＝x 2x －3在区间[1,2]上为减函数， y max ＝f (1)＝－12，y min ＝f (2)＝－4.8．画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x，x ∈－∞，0x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞的图象，并写出函数的单调区间，函数最小值．解析： f (x )的图象如图所示，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f (0)＝－1.尖子生题库☆☆☆9．(10分)某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件．经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元/件)可近似看作一次函数y ＝kx ＋b 的关系(如图所示)．(1)根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b 的解析式；(2)设公司获得的利润为S 元(利润＝销售总价－成本总价；销售总价＝销售单价×销售量，成本总价＝成本单价×销售量)．①试用销售单价x 表示利润S ；②试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？解析： (1)由图象知，当x ＝60时，y ＝40；当x ＝70时，y ＝30，代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧40＝60k ＋b 30＝70k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－1b ＝100.∴y ＝－x ＋100(50≤x ≤80)．(2)由题意可知：S ＝xy －50y＝x (－x ＋100)－50(－x ＋100)＝－x 2＋150x －5 000＝－(x －75)2＋625(50≤x ≤80)．当x ＝75时，利润S 取得最大值625，∴当销售单价为75元/件时，可获得最大利润625元，此时销售量为25件．。

【精品提分练习】高中数学一练习：1.3.1 第2课时函数的最大(小)值

第一章 1.3 1.3.1 第2课时1.函数f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．f (－2)，0B ．0,2C ．f (－2)，2D ．f (2)，2解析：由函数最值的几何意义知，当x ＝－2时，有最小值f (－2)；当x ＝1时，有最大值2.答案：C2．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( ) A ．2B.12C.13D ．－12 解析：作出图象可知y ＝1x －1在[2,3]上是减函数，y min ＝13－1＝12. 答案：B3．函数y ＝ax ＋1(a ＜0)在区间[0,2]上的最大值与最小值分别为( )A ．1,2a ＋1B ．2a ＋1,1C ．1＋a,1D ．1,1＋a 解析：因为a ＜0，所以一次函数在区间[0,2]上是减函数，当x ＝0时，函数取得最大值为1；当x ＝2时，函数取得最小值为2a ＋1.答案：A4．函数y ＝2x 2＋1，x ∈N *的最小值为________．解析：∵x ∈N *，∴y ＝2x 2＋1≥3.答案：35．若函数y ＝k x(k ＞0)在[2,4]上的最小值为5，则k 的值为________．解析：因为k ＞0，所以函数y ＝k x 在[2,4]上是减函数，所以当x ＝4时，y 最小＝k 4，由题意知k 4＝5，k ＝20.答案：206．如图为某市一天24小时内的气温变化图．(1)上午6时的气温是多少？这天的最高、最低气温分别是多少？(2)在什么时刻，气温为0℃？(3)在什么时间段内，气温在0℃以上？解：(1)上午6时的气温约是－1℃，全天的最高气温是9℃，最低气温是－2℃.(2)在上午7时和晚上23时气温是0℃.(3)从上午7时到晚上23时气温在0℃以上．。

高中数学 1.3.3 函数的最大(小)值与导数课时练新人教

【金版新学案】2014-2015学年高中数学 1.3.3 函数的最大(小)值与导数课时练新人教A 版选修2-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值是( ) A ．－π2B ．2C ．π6＋ 3D ．π3＋1解析： f ′(x )＝1－2sin x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0， ∴sin x ∈[－1,0]，∴－2sin x ∈[0,2]．∴f ′(x )＝1－2sin x >0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上恒成立，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递增．∴f (x )min ＝－π2＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－π2.答案： A2．函数y ＝ln xx的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D ．103解析：令y ′＝1－ln x x2＝0，则x ＝e 当x ∈(0，e)时，y ′>0，当x ∈(e ，＋∞)时，y ′<0. ∴当x ＝e 时y 取最大值1e ，故选A.答案： A3．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A．－37 B．－29C．－5 D．以上都不对解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∵f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x＝0时，f(x)＝m最大．∴当m＝3，从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴最小值为－37.故选A.答案： A4．下列关于函数f(x)＝(2x－x2)e x的判断正确的是( )①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}；②f(－2)是极小值，f(2)是极大值；③f(x)没有最小值，也没有最大值．A．①③B．①②③C．②D．①②解析：由f(x)>0得0<x<2，故①正确．f′(x)＝(2－x2)e x，令f′(x)＝0，得x＝±2，当x<－2或x>2时，f′(x)<0.当－2<x<2时，f′(x)>0.∴x＝－2时，f(x)取得极小值，当x＝2时，f(x)取得极大值，故②正确．当x→－∞时，f(x)<0，当x→＋∞时，f(x)<0.综合函数的单调性与极值画出函数草图(如下图)．∴函数f(x)有最大值无最小值，故③不正确．答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数f(x)＝1x＋1＋x(x∈[1,3])的值域为________．解析： f ′(x )＝－1x ＋12＋1＝x 2＋2xx ＋12，所以在[1,3]上f ′(x )>0恒成立，即f (x )在[1,3]上单调递增，所以f (x )的最大值是f (3)＝134，最小值是f (1)＝32.故函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，134. 答案： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，134 6．设函数f (x )＝12x 2e x，若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )＞m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析： f ′(x )＝x e x＋12x 2e x＝ex2·x (x ＋2)，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－2.当x ∈[－2,2]时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：x －2 (－2,0) 0 (0,2) 2 f ′(x ) 0－＋f (x )min 要使f (x )＞m 对x ∈[－2,2]恒成立，只需m ＜f (x )min ，∴m ＜0. 答案： m ＜0三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x ，x ＝3是函数f (x )的极值点，求函数f (x )在x ∈[1,5]上的最大值和最小值．解析：根据题意，f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3，x ＝3是函数f (x )的极值点，得f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0，得a ＝5. 所以f (x )＝x 3－5x 2＋3x .令f ′(x )＝3x 2－10x ＋3＝0，得x ＝3或x ＝13(舍去)．当1<x <3时，f ′(x )<0，函数f (x )在[1,3)上是减函数；当3<x <5时，f ′(x )>0，函数f (x )在(3,5]上是增函数．由此得到当x ＝3时，函数f (x )有极小值f (3)＝－9，也就是函数f (x )在[1,5]上的最小值；又因为f (1)＝－1，f (5)＝15，即函数f (x )在[1,5]上的最大值为f (5)＝15.综上，函数f (x )在[1,5]上的最大值为15，最小值为－9. 8．设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a ＞0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．解析：函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x 2－x ，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)．(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx 2－x＋a ＞0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.尖子生题库☆☆☆(10分)已知函数f (x )＝－23x ＋13x ＋ln x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上存在x 0使得不等式f (x 0)－c ≤0成立，求c 的取值范围．解析：在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上存在x 0，使得不等式f (x 0)－c ≤0成立，只需c ≥f (x )min ，由f ′(x )＝－23－13x 2＋1x＝－2x 2－3x ＋13x 2＝－2x －1x －13x2， ∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12时，f ′(x )<0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在(1,2)上单调递减．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12是f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上的极小值．而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝13＋ln 12＝13－ln 2，f (2)＝－76＋ln 2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f (2)＝32－ln 4＝ln e 32－ln 4，又e 3－16>0，∴ln e 32－ln 4>0，∴在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上f (x )min ＝f (2)， ∴c ≥f (x )min ＝－76＋ln 2.∴c 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－76＋ln 2，＋∞.。

(新课程)高中数学《1.3.3函数的最大(小)值与导数》评估训练新人教A版选修2-2

1. 3.3 函数的最大(小)值与导数D3为活页规范训练 _____ »岂巴gt晳双基达标限时20分钟1.函数y= x e「x, x€ [0,4]的最大值是( ).142A. 0B. -C. ~4D.-2e e e解析—xy = e —x •e —x= e—x(1 —x)，令y '= 0,- '• x= 1,4 —, 1••• f (0) = 0, f(4) = r, f(1) = e—= —,••• f (1)为最大值，故选 B. e e答案B2 .函数f (x) = x3—3ax—a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( ).A. 0< a<1B. 0<a<11 C.—1<a<1 D. 0<a<22 __ 2解析T f'( x) = 3x —3a,令f'(x) = 0,可得a= x ,又••• x€ (0,1) ,••• 0<a<1，故选 B.答案B3. 设f (x) = x(ax2+ bx + c)( a*0)在x= 1和x=—1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是( ).A. (a, b) B . (a, c) C . (b, c) D . (a+ b, c)解析f '(x) = 3ax2+ 2bx+ c,由题意知—1,1是方程3ax2+ 2bx+ c= 0的两根，由根与2b 系数的关系知1 —1 = —，所以b= 0,故选A.3a答案An4. 函数y= x+ 2cos x在区间0,刁上的最大值是_______________ _n n n n 厂解析y'= 1 —2sin x = 0, x=，比较0, , 了处的函数值，得y max= + 3.6 6 2 6 ¥答案nn +. 3n n5. ___________________________________________________________________ 函数f(x) = sin x + cos x在x€ ——,—的最大、最小值分别是________________________________ .解析 f '(x ) = cos x — sin x = 0，即 tan x = 1,nx = k n + —, (k € Z), ,,n n r n n 「，而 x € ——,—，当——vx <_4时，f (x ) > 0; r nn t当 4< x v —时，f '(X ) < 0 ,n ••• f 是极大值.4n lnn又 f 玄=丿2，f —=— 1，f y =1,:. n j — : .nf "4 = ,'2,最小值为f — =— 1.答案 .—16. 求函数f (x ) = x 5+ 5x 4+ 5x 3 + 1在区间［—1,4］上的最大值与最小值.4322解 f '(x ) = 5x + 20x + 15x = 5x (x + 3)( x + 1), 由 f '( x ) = 0 得 x = 0 或 x =— 1 或 x =— 3(舍)，又 (0) = 1, ( — 1) = 0，右端点处 (4) = 2 625 ,•函数y = x 5 + 5x 4+ 5x 3+ 1在区间［—1,4］上的最大值为2 625，最小值为0.综合提高限时25分钟3x7. 函数y = - + x 2— 3x — 4在［0,2］上的最小值是3答案 A&已知函数f (x ) = 2x 3— 6x 2 + n(m 为常数)在［—2,2］上有最大值3，那么此函数在［—2,2］上的最小值为A.17 ~364解析 2y '= x + 2x — 3(x €，令x 2 + 2x — 3 = 0,知x =— 3或x = 1为极值点.当x = 1 时，y min =173，故选A.A. — 37 B 29 C 5 D 112解析 ■/ f '(x ) = 6x — 12x = 6x (x — 2)，由 f '(x ) = 0 得 x = 0 或 2.•/f (0) = m f (2) =— 8 + m f ( — 2) =— 40+ m 显然 f (0)> f (2)> f ( — 2) ,••• m= 3,最小值为 f ( — 2) = — 37. 答案 A9. _____________________________________________ 函数f (x ) = T , x € [ — 2,2]的最大值是 _____________________________________________________，最小值是x 十I令y '= 0可得x = 1或—1.8 8又••• f (1) = 2, f ( — 1) = — 2, f (2) = 5, f ( — 2) = — 5, •••最大值为2，最小值为—2. 答案 2— 2310. 如果函数f (x ) = x —只十a 在［—1,1］上的最大值是2，那么f (x )在［—1,1］上的最小值是 ________ .解析 f '(x ) = 3x 2— 3-,令 f '( x ) = 0 得 x = 0，或 x = 1.•- f (0) = a, f ( — 1) = — 5十a ,1f (1) =— 2十 a ,「. f ( X ) max = a = 2. 5 1--f ( x ) min = — 2 十 a =—1答案 —2___3211. 已知函数 f (x ) = — x + 3x + 9x + a .(1) 求f (x )的单调递减区间；(2) 若f (x )在区间［—2,2］上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.2解(1) • f '(x ) =— 3x + 6x 十9. 令 f '( x ) v 0，解得 x v — 1 或 x > 3,•函数f (x )的单调递减区间为(一g, — 1) , (3 ,十8). (2) • f ( — 2) = 8+ 12— 18+ a = 2+ a ,f (2) =— 8+ 12+ 18+ a = 22 + a ,解析x 2+ 1 — 2x ・4x,2 ,—4x + 4••• f(2) > f( - 2).于是有22+ a= 20,「. a=— 2.3 2•- f (x) = —x + 3x + 9x — 2.•••在(—1,3)上f'(x) > 0,「. f (x)在［—1,2］上单调递增.又由于f (x)在［—2, —1］上单调递减，•f (2)和f( —1)分别是f (x)在区间［—2,2］上的最大值和最小值，•f ( —1) = 1 + 3—9— 2 = —7, 即f(x)最小值为一7.12. (创新拓展)已知函数f (x) = x2e—ax(a>0)，求函数在［1,2］上的最大值.丄 2 —ax解•/ f (x) = x e (a>0),•f '(x) = 2x e—ax+ x2( —a)e —ax= e—ax( —ax2+ 2x).令f '(x)>0,即卩e—ax( —ax2+ 2x)>0 , 得0<x<2.a2•f (x)在(—g, 0) , , +m上是减函数，a2在o, a上是增函数.2当0<;<1，即a>2时，f (x)在(1,2)上是减函数，a•f ( x) max= f (1) = e .2当1w-w2, 即卩1< a<2 时，af(x)在1, 2上是增函数,a2在a，2上是减函数,2 4 — 2• f(x)max=f a =評当a>2,即0<a<1时，f (x)在(1,2)上是增函数, a—2a• f ( x) max= f (2) = 4e综上所述，当0<a<1时，f(x)的最大值为4e—2a;当K a w2时，f(x)的最大值为$e—2；a当a>2时，f (x)的最大值为e—a。

【高中数学】【名师一号】高中数学 133 函数的最大(小)值与导数双基限时训练

【名师一号】2014-2015学年高中数学 1-3-3函数的最大（小）值与导数双基限时训练新人教版选修2-21．函数f (x )＝x ＋2cos x 在[0，π2]上的最大值点为( )A ．x ＝0B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析令f ′(x )＝1－2sin x ＝0，则sin x ＝12，又x ∈[0，π2]，∴x ＝π6，又f (0)＝2，f (π6)＝π6＋3，f (π2)＝π2，∴f (π6)最大，∴最大值点为x ＝π6.答案 B2．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( ) A ．0≤a <1 B ．0<a <1 C ．－1<a <1D ．0<a <12解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )，依题意f ′(x )＝0在(0,1)内有解． ∴0<a <1. 答案 B3．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，也无最小值 D ．无最大值，但有最小值解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当－1<x <1时，f ′(x )<0.∴f (x )在(－1,1)上是减函数，没有最值．答案 C4．已知函数f (x )＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A ．－32B.12C ．－12D ．－12或－32解析 f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，易知，f (x )的图象是开口向下的抛物线，对称轴x ＝－1，而f (－1)＝4>154，f (2)＝－5<154，∴－1<a <2.由f (a )＝－(a ＋1)2＋4＝154，解得a ＝－12，或a ＝－32(舍去)．答案 C5．函数y ＝x e －x，x ∈[0,4]的最大值为( ) A ．0 B.1e C.4e4 D.2e2 解析 ∵y ＝x e －x，∴y ′＝e －x＋x e －x(－x )′＝(1－x )e －x.∵e －x>0，∴当x ∈(0,1)时，y ′>0；当x ∈(1,4)时，y ′<0.故当x ＝1时，y 有极大值1e .又当x ＝0时，y ＝0；当x ＝4时，y ＝4e 4.∴最大值为1e. 答案 B6．函数f (x )＝si n x ＋cos x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，函数的最大值、最小值分别是________．解析 f ′(x )＝cos x －sin x ，x ∈[－π2，π2]，令f ′(x )＝0，得x ＝π4，又f (π4)＝2，f (－π2)＝－1，f (π2)＝1，即最大值为2，最小值为－1.答案2，－17．函数f (x )＝12x －x 3在区间[－3,3]上的最小值是________．解析 f ′(x )＝12－3x 2＝3(4－x 2)，令f ′(x )＝0，得x ＝±2，而f (－3)＝－36＋27＝－9，f (－2)＝－24＋8＝－16， f (2)＝24－8＝16， f (3)＝36－27＝9.∴最小值是－16. 答案－168．设f (x )，g (x )是定义在[a ，b ]上的可导函数，且f ′(x )>g ′(x )，令F (x )＝f (x )－g (x )，则F (x )在[a ，b ]上的最大值为________．解析 F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )>0， ∴F (x )在[a ，b ]上是增函数． ∴最大值为F (b )＝f (b )－g (b )．答案 f (b )－g (b )9．在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x(x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．解析如图所示，设点P (x 0，e x 0)，则f ′(x 0)＝e x 0(x 0>0)．∴f (x )＝e x(x >0)在点P 处的切线方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，令x ＝0，得 M (0，e x 0－x 0e x 0)．过点P 与l 垂直的直线方程为y －e x 0＝－1e x 0(x －x 0)，令x ＝0，得N (0，e x 0＋x 0e x 0)．∴2t ＝e x 0－x 0e x 0＋e x 0＋x 0e x 0＝2e x 0－x 0e x 0＋x 0e －x 0，则(2t )′＝2e x 0－e x 0－x 0e x 0＋e －x 0－x 0e －x 0＝(1－x 0)(e x 0＋e －x 0)．∵e x 0＋e －x 0>0，∴当1－x 0>0时，即0<x 0<1时，(2t )′>0，∴2t 在(0,1)上单调递增；当1－x 0<0，即x 0>1时，(2t )′<0， ∴2t 在(1，＋∞)上单调递减．故当x 0＝1时，2t 有最大值e ＋1e ，即t 的最大值为12(e ＋1e)．答案 12(e ＋1e)10．已知a ∈R ，f (x )＝(x 2－4)(x －a )． (1)求f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求f (x )在[－2,2]上的最值；(3)若函数f (x )在(－∞，－2]和[2，＋∞)上是递增的，求a 的取值范围．解 (1)由原式得f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4. (2)由f ′(－1)＝0，得a ＝12，此时f (x )＝(x 2－4)(x －12)，f ′(x )＝3x 2－x －4.由f ′(x )＝0，得x ＝43，或x ＝－1.又f (43)＝－5027，f (－1)＝92，f (－2)＝0，f (2)＝0，∴f (x )在[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.(3)f ′(x )＝3x 2－2ax －4的图象是开口向上的抛物线，且过定点(0，－4)．由条件得f ′(－2)≥0，f ′(2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋8≥0，8－4a ≥0，∴－2≤a ≤2.故a 的取值范围是[－2,2]．11．已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )．(1)若f ′(1)＝3，求a 的值及曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )在区间[0,2]上的最大值．解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ， ∵f ′(1)＝3－2a ＝3，∴a ＝0. 又当a ＝0时，f (1)＝1，f ′(1)＝3，∴曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为3x －y －2＝0. (2)令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3.当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增，从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a . 当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减，从而f (x )max ＝f (0)＝0. 当0<2a 3<2，即0<a <3时，f (x )在[0，2a 3]上单调递减，在[2a3，2]上单调递增，从而f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，0<a ≤2，0，2<a <3，)综上所述，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，a ≤2，0，a >2.)12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝－13时是f (x )的极值点，求f (x )在[1，a ]上的最大值．解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－2ax －3≥0在[1，＋∞)上恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－－2a 2×3≤1，f ′1＝3－2a －3≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，a ≤0⇒a ≤0，∴a 的取值范围是(－∞，0]． (2)若x ＝－13是f (x )的极值点，则f ′(－13)＝3(－13)2＋23a －3＝0，∴a ＝4，∴f (x )＝x 3－4x 2－3x .f ′(x )＝3x 2－8x －3＝(3x ＋1)(x －3)．令f ′(x )＝0得，x 1＝－13，或x 2＝3.f ′(x )，f (x )随x 变化的情况如下表：x 1(1,3) 3 (3,4) 4 f ′(x )－＋高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。