勾股定理(1)2016

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专题20 勾股定理(解析版)

1
变式：
1）a²=c²- b²
2）b²=c²- a²
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应
用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
勾股定理的证明：
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
【详解】如图，连接 AD，
4
∵AB=AC，∠BAC=120°，D 为 BC 的中点，
∴∠BAD=60°，AD⊥BC，
∴∠B=90°﹣60°=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°﹣60°=30°，
设 EA=x，
在 Rt△ADE 中，AD=2EA=2x，
在 Rt△ABD 中，AB=2AD=4x，
∴EB=AB﹣EA=4x﹣x=3x，
所以 BC＝ 102 -82 ＝6．
故选：C．
10
4．
（2019·湖北中考真题）在一次海上救援中，两艘专业救助船 A, B 同时收到某事故渔船的求救讯息，已知
此时救助船 B 在 A 的正北方向，事故渔船 P 在救助船 A 的北偏西 30°方向上，在救助船 B 的西南方向上，
且事故渔船 P 与救助船 A 相距 120 海里．
1．
（2017·河北中考模拟）如图，一只蚂蚁沿边长为 a 的正方体表面从点 A 爬到点 B，则它走过的路程最短
为（
）
A． 2 a
B．
（1+ 2 ）a
C．3a
D． 5 a
7
【答案】D
【解析】
详解：如图，则 AB=
AP 2 + PB2 = a 2 + 4a 2 = 5 a．故选 D．

2016安徽教师考编教案勾股定理

《勾股定理》教学设计一、内容和内容解析本节课为人教版八年级数学下册第十八章第一节，教材64页至66页（不含探究1）的内容。

其内容包括章前对勾股定理整章的引入：2002年北京召开的国际数学家大会的会徽及“赵爽弦图”的简介，反映了我国古代对勾股定理的研究成果，是对学生进行爱国主义教育的良好素材。

教材正文中从毕达哥拉斯发现等腰直角三角形的边之间的数量关系这一事实引入对勾股定理的探究，用面积法得到勾股定理的结论，而后教材又重点从“赵爽弦图”的方法对勾股定理进行了详细的论证；课后习题18.1的第1、2、7、11、12等题目针对勾股定理的内容适当的加以巩固，特别是第11、12题侧重对面积法运用的巩固。

勾股定理是几何中几个重要定理之一，揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是对直角三角形性质的进一步学习和深入，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，在实际生活中用途很大。

它不仅在数学领域而且在其他自然科学领域中也被广泛地应用，而说明数学是一门基础学科，是人们生活的基本工具。

学生接受勾股定理的内容“在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方”这一事实从学习的角度不难，包括对它的应用也不成问题。

但对勾股定理的论证，教材中介绍的面积证法即：依据图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积就不会改变。

学生接受起来有障碍（是第一次接触面积法），因此从面积的“分割”“补全”两种方法进行演示同时学生动手亲自拼接图形构成“赵爽弦图”并亲自验证三个正方形之间的面积关系得到勾股定理的证明。

有利的让学生经历了“感知、猜想、验证、概括、证明”的认知过程，感触知识的产生、发展、形成以提高学生学习习惯和能力。

本节的后续学习中，对勾股定理运用的探究和勾股定理逆命题的论证和应用，都是将图形与数量紧密的结合，将有利的培养学生数形结合的意识以提高学生分析问题、解决问题的能力。

同时也为后期学习四边形、圆中的有关计算及计算物体面积奠定基础，因此本节课无论从知识的角度还是从数学技能、数学思想方法及数学活动经验等层面都起着举足轻重的作用。

17.1勾股定理(第一课时)教案

商丘市乡村中小学、幼儿园教师优质课评选17.1勾股定理（第一课时）教案商丘市城乡一体化示范区七中赵伯超2016年6月21日17.1勾股定理（第一课时）教案商丘市城乡一体化示范区七中赵伯超勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，它在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。

勾股定理是在学习了三角形有关性质的基础上提出来的，勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，对前面的知识起到完善，延伸的作用。

学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

本节课试图通过数学活动，对学生所学知识进行内化与迁移，以发展思维。

同时对勾股定理的学习，对比我国数学家和西方数学家对勾股定理的研究，对学生进行爱国主义的教育，以落实素质教育的目标。

一、教学目标：知识与技能：了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

了解利用拼图验证勾股定理的方法。

数学思考：在勾股定理的探索过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”，培养合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想。

解决问题：1、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。

2、在探索活动中，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和探索的结果。

情感与态度：1、通过对勾股定理历史的了解，对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，感受数学文化，激发学生的爱国热情，激励学生奋发学习。

2、在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。

二、重点、难点1．重点：探索和证明勾股定理。

经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值。

2．难点：勾股定理的证明。

经历用不同的拼图方法证明勾股定理。

3．突破方法：发挥学生主体作用，通过学生动手实验，让学生在实验中探索，在探索中领悟，在领悟中理解。

各地数学中考真题：直角三角形与勾股定理含答案

直角三角形与勾股定理一、选择题1. （ 2016·四川达州· 3 分）如图，在5×5 的正方形网格中，从在格点上的点 A ，B，C，D 中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（）A．B．C．D．【考点】勾股定理的应用．【分析】从点 A ，B ，C， D 中任取三点，找出全部的可能，以及能构成直角三角形的状况数，即可求出所求的概率．【解答】解：∵从点 A，B ，C，D 中任取三点能构成三角形的一共有 4 种可能，此中△ABD ，△ADC ，△ABC 是直角三角形，∴所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为．应选 D．2.（ 2016 ·广东广州）如图2，已知三角形ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE是 AC的垂直均分线，DE交 AB 于 D，连接 CD， CD＝( )A、3B、4C、4.8D、5CEAD B图2［难易］中等［考点］勾股定理及逆定理，中位线定理，中垂线的性质［分析］由于 AB=10,AC=8,BC=8, 由勾股定理的逆定理可得三角形ABC为直角三角形，因为 DE为 AC边的中垂线，因此DE与 AC垂直， AE=CE=4，因此 DE为三角形 ABC 的中位线，1BC=3,再依据勾股定理求出CD=5因此 DE=2［参照答案］D3.（ 2016 年浙江省台州市）如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点点 B 为圆心， AB 长为半径画弧，交PQ 于点 C，以原点 O 为圆心， OC 数轴于点M ，则点 M 对应的数是（）B作 PQ⊥ AB ，以长为半径画弧，交A．B．C．D．【考点】勾股定理；实数与数轴．【分析】直接利用勾股定理得出OC的长，从而得出答案．【解答】解：以以下图：连接OC，由题意可得： OB=2 ， BC=1 ，则AC==，故点 M 对应的数是：．应选： B．4．（2016·山东烟台）如图， Rt△ ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，B点与 0刻度线的一端重合，∠ABC=40 °，射线 CD 绕点 C 转动，与量角器外沿交于点D，若射线 CD 将△ ABC 切割出以BC 为边的等腰三角形，则点 D 在量角器上对应的度数是（）A．40°B． 70°C． 70°或80°D ．80°或140°【考点】角的计算．=∠ DOB=2 ∠BCD ，【分析】如图，点 O 是 AB 中点，连接 DO ，易知点 D 在量角器上对应的度数只要求出∠ BCD 的度数即可解决问题．【解答】解：如图，点O 是 AB 中点，连接DO ．∵点 D 在量角器上对应的度数=∠DOB=2 ∠BCD ，∵当射线 CD 将△ ABC 切割出以BC 为边的等腰三角形时，∠BCD=40 °或 70°，=∠DOB=2∠BCD=80 °或 140°，∴点 D 在量角器上对应的度数应选 D．5．（ 2016. 山东省威海市， 3 分）如图，在矩形ABCD 中， AB=4 ， BC=6 ，点 E 为点，将△ ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，连接CF，则 CF 的长为（BC的中）A ．B．C．D．【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）【分析】连接 BF ，依据三角形的面积公式求出∠BFC=90 °，依据勾股定理求出答案．【解答】解：连接 BF ，∵BC=6 ，点 E 为 BC 的中点，∴BE=3 ，又∵ AB=4 ，．BH ，获得BF ，依据直角三角形的判断获得∴AE==5，∴BH=，则BF=，∵FE=BE=EC ，∴∠ BFC=90 °，∴CF==．应选： D．6．（ 2016·江苏连云港）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为 S1、S2、S3；如图 2，分别以直角三角形三个极点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．此中 S1=16 ，S2=45，S5=11 ，S6=14 ，则 S2+S4=（）A ．86B ．64C ．54D ． 48【分析】分别用AB 、BC 和 AC 表示出 S 1、S 2、S 3，而后依据 AB 2=AC 2+BC 2即可得出 S 1、S 2、 S 3 的关系．同理，得出 S 4、 S 5、 S 6 的关系．【解答】解：如图1， S 1=AC 2， S 2=BC 2， S 3=AB 2．222，∵AB =AC +BC∴S +S =AC 2+BC 2=AB 2=S ，1 2 3如图 2， S 4 =S 5+S 6，∴S 3+S 4=16+45+11+14=86 ．应选 A ．【评论】此题观察了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：假如直角三角形的两条直角7.（ 2016 ·江苏南京）以下长度的三条线段能构成钝角三角形的是A ．3，4，4B. 3，4，5C. 3，4，6D. 3，4，7答案：C考点：构成三角形的条件，勾股定理的应用，钝角三角形的判断。

勾股定理(第一、二、三课时)

答：梯子低端B外移大于4m。
2014年9月2日星期二5时 48分24秒
O
B
D
10 2
生活中勾股定理的应用
拓展练习
2.有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？解：设水深为X尺，则芦苇长为（X＋1）尺，由勾股定理得： 10 （X＋1）2＝X2＋（ 2 ）2 解得 X＝12 ∴X＋1＝13 答：水池的深度为12尺，芦苇长为13尺。
2014年9月2日星期二5时 48分24秒
勾股定理的历史
勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。
2014年9月2日星期二5时 48分24秒
希腊对勾股定理的研究
最早研究的是希腊著名数学家毕达哥拉斯（前580 至568- 前501至500），故西方国家均称此定理为毕达哥拉斯定理，据说毕达哥拉斯十分喜爱这个定理，当他在公元前550 前年左右发现这个定理时，宰杀了百头牛羊以谢神的默示．但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传．
2
∵ 荧屏对角线大约为 74厘米 ∴售货员没搞错 2014年 9月2日星期二5时
生活中勾股定理的应用
拓展练习
1. 如图，一个 25m 长的梯子 AB ，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？解：由勾股定理得： OB2=AB2-AO2=252-242 解得： OB=7 A OD2=CD2-CO2=252-(24-4)2 C 解得：OD2=225 所以OD=15 OD-OB=8m>4m

北师大版八年级上册数学第3讲《勾股定理复习》知识点梳理

北师大版八年级上册数学第3讲《勾股定理复习》知识点梳理【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理　如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：a b 、c 222a b c +=a b c 、、222a b c +=（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证：与是否具有相等关系：若，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若时，△ABC 是锐角三角形；若时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股数，当t 为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、（2016•益阳）在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．c 22a b +2c 222a b c +=222a b c +＞222a b c +＜222x y z +=x y z 、、a b c 、、at bt ct 、、a b c 、、a b c <<2a b c =+2729【思路点拨】根据题意正确表示出AD 2的值是解题关键.【答案与解析】解：如图，在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，设BD=x ，则CD=14﹣x ，由勾股定理得：AD 2=AB 2﹣BD 2=152﹣x 2，AD 2=AC 2﹣CD 2=132﹣（14﹣x ）2，故152﹣x 2=132﹣（14﹣x ）2，解之得：x=9．∴AD=12．∴S △ABC =BC •AD=×14×12=84．【总结升华】此题主要是要读懂解题思路，然后找到解决问题的切入点，问题才能迎刃而解.举一反三：【变式】在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12．求△ABC 的周长．【答案】解：在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理，得．∴ ．同理．∴ ．①当∠ACB ＞90°时，BC ＝BD －CD ＝9－5＝4．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋4＋13＝32．22222151281BD AB AD =-=-=9BD =22222131225CD AC AD =-=-=5CD=②当∠ACB ＜90°时，BC ＝BD ＋CD ＝9＋5＝14．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋14＋13＝42．综上所述：△ABC 的周长为32或42．2、如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，M 为AB 上一点．求证：．【思路点拨】欲证的等式中出现了AM 2、BM 2、CM 2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要作CD ⊥AB ．【答案与解析】证明：过点C 作CD ⊥AB 于D ．∵ AC ＝BC ，CD ⊥AB ，∴ AD ＝BD ．∵ ∠ACB ＝90°，∴ CD ＝AD ＝DB ．∴ 在Rt △CDM 中，，∴ ．【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．举一反三：【变式】已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上任一点，求证：.2222AM BM CM +=()()2222AM BM AD DM AD DM +=-++222222AD AD DM DM AD AD DM DM =-⋅+++⋅+222()AD DM =+222()CD DM =+222CD DM CM +=2222AM BM CM +=22AB AD BD CD -=⋅【答案】解：如图，作AM ⊥BC 于M ，∵AB ＝AC ，∴BM ＝CM,则在Rt △ABM 中：……①在Rt △ADM 中：……②由①－②得：＝（MC ＋DM ）•BD ＝CD ·BD类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（2014秋•黎川县期中）如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定△BEF 的形状，并说明理由．【思路点拨】根据勾股定理求出BE 2、EF 2、BF 2，根据勾股定理的逆定理判断即可．【答案与解析】解：∵△BEF 是直角三角形，理由是：∵在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，∴∠A=∠C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC=4，DE=4﹣2=2，CF=4﹣1=3，∵由勾股定理得：BE 2=AB 2+AE 2=42+22=20，EF 2=DE 2+DF 2=22+12=5，BF 2=BC 2+CF 2=42+32=25，∴BE 2+EF 2=BF 2，∴∠BEF=90°，222AB AM BM =+222AD AM DM =+22AB AD -=()()22BM DM BM DM BM DM -=+-即△BEF是直角三角形．【总结升华】本题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出BE2+EF2=BF2.4、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ． (1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论． (2)若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．【答案与解析】　解：(1)猜想：AP=CQ　证明：在△ABP与△CBQ中， ∵ AB=CB，BP=BQ，∠ABC=∠PBQ=60° ∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ ∴△ABP≌△CBQ∴ AP=CQ (2)由PA：PB：PC=3：4：5 可设PA=3a，PB=4a，PC=5a 连结PQ，在△PBQ中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60° ∴△PBQ为正三角形∴ PQ=4a 于是在△PQC中，∵∴△PQC是直角三角形【总结升华】本题的关键在于能够证出△ABP≌△CBQ，从而达到线段转移的目的，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求DC 的长．【答案】解：在△ABD 中，由可知：，又由勾股定理的逆定理知∠ADB ＝90°．在Rt △ADC 中，．5、如果ΔABC 的三边分别为，且满足，判断ΔABC 的形状.【答案与解析】解：由，得： ∴ ∵ ∴ ∵ , ∴ . 由勾股定理的逆定理得：△ABC 是直角三角形.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要用到.类型三、勾股定理的实际应用6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处爬到B 处的最短路线长为多少?22212513+=222AD BD AB +=22281,9DC AC AD DC =-==a b c 、、222506810a b c a b c +++=++222506810a b c a b c +++=++2226981610250a a b b c c -++-++-+=222(3)(4)(5)0a b c -+-+-=222(3)0(4)0(5)0a b c -≥-≥-≥，，3,4, 5.a b c ===222345+=222a b c +=【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况．【答案与解析】解：如图②③所示．因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB 的长度．在图②中，由勾股定理，得．在图③中，由勾股定理，得．因为130＞100，所以图③中的AB 的长度最短，为10，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10．【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解．举一反三：【变式】（2014秋•郑州期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？222311130AB =+=22268100AB =+=cm cm【答案】解：如图所示，在如图所示的直角三角形中，∵BC=20尺，AC=5×3=15尺，∴AB==25（尺）．答：葛藤长为25尺．。

初三精英班第2讲勾股定理与三角函数

tan 60 DF=BD-OE=41 3 10(米)
CF=DF+CD=41 3-10+40=41 3+3（0 米） EF=CF tan =41 3 30 41 1.7 99.7 100(米) 答：点E离地面的高度EF是100米
中考专练
1.(2014 年山东泰安）如图，∠ACB=90°，D 为 AB 的中点，连接 DC 并
延长到 E，使 CE= 1 CD，过点 B 作 BF∥DE，与 AE 的延长线交于点 F．若
3
AB=6，则 BF 的长为（）
A.6 B.7 C.8
D.10
解： ACB 90 ，D为AB的中点，AB 6
CD 1 AB 3．又CE 1 CD
2
3
CE 1
ED CE CD 4 又 BF DE，点D是AB的中点
2X
x
2X
x
3.（2015•牡丹江）在△ABC 中，AB=12 2 ，AC=13，cos∠B= 2 ， 2
则 BC 边长为（
）
A．7 B．8
C．8 或 17
D．7 或 17
4. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90º，AC＝3，BC＝4，将边 AC 沿 CE 翻折，使点 A 落在 AB 上的点 D 处；再将边 BC 沿 CF 翻折，使点 B 落在 CD 的延长线上的点 B′处，两条折痕与斜边 AB 分别交于点 E、F，则线段 B′F 的长为（）
锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦；锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切。
即：
sinA
（斜对），cosA
=（斜邻），tanA
对
=（邻）
2.特殊角的三角函数值
锐角 α

2016届中考数学真题类编-知识点026 直角三角形、勾股定理及逆定理2016A

一、选择题1.（2016山东东营，9，3分）在△ABC中，AB=10，AC=BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A．10 B．8 C．6或10 D．8或10【答案】C【逐步提示】本题考查勾股定理，分类讨论思想．根据题意画出相应的图形，然后利用勾股定理分别求出BC的长．【详细解答】解：如图①所示，在Rt△ABD中，8，在Rt△ACD中，2，∴BC=BD+CD=8+2=10．如图②所示，同理求出BD=8，CD=2，∴BC=BD－CD=8－2=6．故选C．【解后反思】解答本题易出现漏解的错误，即只考虑高在三角形内部的情况，而忽视高在外部的情况，而造成漏解．【关键词】勾股定理；分类讨论思想2.（2016山东潍坊，7，3分）木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B 也随之沿射线OM方向滑动，下列各图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）【答案】D【逐步提示】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握能够观察到图中的OP是斜边AB上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OP的长度始终保持不变，然后结合图形可选出答案．【详细解答】解：连接OP，∵△AOB为直角三角形，∴12OP AB=．故点P下落路线为以O为圆心，OP为半径的一段圆弧，故选择D .【解后反思】本题在解答时需掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而OP的长度不变，本题是来源于青岛版八下课本.【关键词】直角三角形；14.3.（2016山东省烟台市，14，3分）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应-3，3，作腰长为4的等腰【答案】7 【逐步提示】利用等腰△ABC 三线合一定理判断出AB OC ⊥，然后利用勾股定理即可求出OM 的长，则点M 对应的实数即可求出.【详细解答】解： ∵A ，B 两点分别对应-3，3，即OA=OB ，又∵△ABC 为等腰三角形，∴AB OC ⊥, ∴ OM=OC=2234-=7 ，故答案为 7 .【解后反思】1.本题考查数轴与点一一对应关系，需要借助数轴和勾股定理判断出字母对应的数值.2.在数轴上，数轴形象地反应了数与点之间的关系，数轴上的点与实数之间是一一对应的，借助于数与形的相互转化来解决数学问题，数轴具有如下作用：（1）利用数轴可以用点直观地表示数.（2）利用数轴可以比较数的大小.（3）利用数轴可以解决绝对值问题.【关键词】等腰三角形；勾股定理；数轴；数形结合思想；4.5. (2016浙江杭州，9，3分)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m 和n (m ＜n )，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则( )A ．m 2＋2mn ＋n 2＝0B ．m 2－2mn ＋n 2＝0C ．m 2＋2mn －n 2＝0D ．m 2－2mn －n 2＝0【答案】C ．【逐步提示】本题考查了直角三角形从一个顶点出发的一条射线将原三角形分成两个等腰三角形条件下的两条直角边的数量关系，解题的关键是画出符合题意的图形后，利用数形结合思想将两条直角边m 、n 及其代数式表示直角三角形的三边后用勾股定理建立等量关系．在解题时，首先画出符合题意的图形，利用斜边的垂直平分线与较长直角边的交点，得到一个等腰直角三角形后就产生了两个等腰三角形；再将等腰直角三角形的斜边用n －m 表示；最后由勾股定理，得到m 、n 的等量关系，化简后即可选择正确答案．【解析】如下图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝m ，BC ＝n ，过点A 的射线AD 交BC 于点D ，且将△ABC 分成两个等腰三角形：△ACD 和△ADB ，则AC ＝CD ＝m ，AD ＝DB ＝n －m ．在Rt △ACD 中，由勾股定理，得m 2＋m 2＝(n －m )2，2m 2＝m 2－2mn ＋n 2，从而m 2＋2mn －n 2＝0，故选择C ．n －mn －mm mDBC A【解后反思】解答本题的关键在于将题意用图形语言表示出来，所以说几何画图是学习好数学的基本功之一．在本题中，两个等三角形一定有一个是等腰直角三角形，另一个等腰三角形也一定是顶角为135°(45°的邻补角)的等腰三角形，此时利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等来画原三角形斜边的中垂线即可．在解决了画图关后，如何用m 、n 的代数式表示等腰直角三角形的斜边就容易得多了，最后利用勾股定理不难探索出m 、n 的等量关系．综上所述，对于数学的学习，尤其是几何题，将文字语言、符号语言、图形语言三者之间的相互转换，就显得尤为重要了．【关键词】直角三角形；等腰三角形；勾股定理(2016淅江丽水，7，3分)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，已知AD=8,BD=12,AC=6,则△OBC 的周长为A.13B.17C.20D.26 【答案】【逐步提示】根据平行四边形的性质得到BC 及OB+OC 的长,从而求得△OBC 的周长.【解析】由题意得BC=AD=8, OB+OC=12(AC+BD)=9,所以△OBC 的周长=8+9=17，故选择B. 【解后反思】平行四边形的对角线互相平分,平行四边形的对边相等,对角相等.【关键词】平行四边形的性质；；；；6.(2016浙江衢州，5，3分)如图，在▱ABCD 中，M 是BC 延长线上的一点，若∠A ＝135°，则∠MCD 的度数是( )A.45°B.55°C.65°D.75°【答案】A.【逐步提示】利用平行四边形和平行线的性质即求.MDC B A【解后反思】利用平行四边形的性质可以寻求线的平行关系，而平行线可以转换角的关系.【关键词】平行线的性质、平行四边形的性质、角的计算.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空题1. (2016天津，18，3分)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点.(I)AE的长等于.(II)若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP=PQ=QB，请在如图所示的网格中，用无刻度尺的直尺，画出线段PQ，并简要说明P，Q的位置是如何找到的(不要求证明) .【答案】(II)如图，AC 与网格线相交，得点P ；取格点M ，连接AM 并延长与BC 相交，得点Q ．连接PQ ，线段PQ 即为所求．【逐步提示】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质，三角函数等知识．解题的关键是分析题意并构造出如图所示的三个全等的三角形．在解答本题时，应先从结论AP =PQ =PB 出发，通过构造全等三角形，分析出点P 与点Q 的形成过程，由此得出用直尺画出点P 与点Q 的方法．【解析】(I)AE．(II)如图，过A ．Q 作铅垂线，过A ．B ．P 作水平线，构造三个全等且两直角边比为1:2的直角三角形．设BH =PK =QG =a ，则QH =PG =AK =2a ．则①BN =BH +PG +PK =a +2a +a =4a ；②QR =QG +AK =a +2a =3a ；③AR =KP +PG =a +2a =3a ．在网格中，∵BN =6，BN =4a ，∴a =1.5，∴AK =2a =3，过点K 的水平线与AC 的交点即为点P ．∵QR =AR =2a ，∠ARQ =90°，∴∠RAQ =45°，∴点Q 在AM 的延长线上，由此可确定点Q ．【解后反思】在解答有关格点的问题时，应注意分析已作图形的特点，通过逆推找出用于直尺作图的网格点或直线的交点，从而得出作图的过程．2.(2016浙江舟山，16，4分)如图，在直角坐标系中，点A．B分别在x轴、y轴上，点A的坐标为(－1，0)，∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x 轴的非负半轴上运动，如果PQ=3，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为.【答案】4【逐步提示】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据题意能将点Q运动的总路程正确分解成几段路径之和. 根据已知条件在Rt△AOB中求出OB=3，AB=2. 设AB的中点为C，当点P运动一周时，点Q运动的总路程可以分解为点P从“O→B”、“B→C”、“C→A”、“A→O”四段路径之和.【解析】∵A(－1，0)，∴OA=1.在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，∴AB=2，OB= 3.设AB的中点为C.当点P从点O→B运动时，点Q运动的路径长(自右到左)为3；当点P从点B→C运动时，点Q运动的路径长(自左到右)为1；当点P从点C→A运动时，点Q运动的路径长(自右到左)为2－3；当点P从点A→O运动时，点Q运动的路径长(自左到右)为1；因此当点P运动一周时，点Q运动的总路程为3+1+2－3+1=4，故答案为4 .【解后反思】本题的难点是点P在B→A运动过程中，点Q运动的路径长，化解该难点的方法一是抓住“AB的中点C”这个特殊的零界点，而是关注点P到达A．C．B这三个特殊点时，线段AQ相应的长度，由此可确定点Q运动的路径长.【关键词】特殊角三角函数值的运用；点的位置的确定；实验操作题型；动线题型3.（2016四川省广安市，24，8分）在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行，画四种图形，并直接写出其周长（所画图形相似的只算一种）.周长＝周长＝以画出的直角三角形的两条直角边可以有以下几种关系：两直角边相等、一条直角边等于另一条直角边的2倍、一条直角边等于另一条直角边的3倍、一条直角边等于另一条直角边的4倍等.【详细解答】解：第一种（四选一）：周长＝周长＝周长＝周长＝第二种（二选一）：周长＝周长＝5第三种：第四种：第五种：周长＝周长＝周长＝【解后反思】（1）在网格中通过画两个45°角的和画出直角；（2）相同边长的正方形网格，如果线段在网格线上，可以通过数网格得到线段的长度，如果线段不在网格线上，还需要结合勾股定理解决问题．【关键词】直角三角形；勾股定理；网格数学题型4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答题1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.31.32.33.34.35.36.37.38.39.。

勾股定理的应用

由勾股定理得，BC2+AC2=AB2
即
52+ x2= (x+1)2
25+ x2= x2+2 x+1， 2 x=24， ∴ x=12， x+1=13 答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺。
2016/10/9
这一问题在世界数学史上很有影响．印度古代数学家婆什迦罗（Bhāskara，1114～1185）的《丽罗瓦提》一书中有按这一问题改编的＂风动红莲＂；
15 14-x 14 D x 13
B
C
2016/10/9
风动红莲平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？
阿拉伯数学家阿尔•卡西的《算术之钥》也有类似的＂池中长茅＂问题；欧洲《十六世纪的算术》一书中又有＂圆池芦苇＂问题．
2016/10/9
下图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段, 旗杆有多高呢？你能想个办法吗?请你与同伴交流设计方案?
（二）、填空题
注意数形结合
1、已知Rt△ABC中，∠C=90°. （1）BC=8，AC=15，则AB=___ 17 12 （2）AB=13，AC=5，则BC=___ （3）BC:AC=3:4,AB=10，则BC= 6 ,AC= 8 . 8 (4)AB=2,则AB2+AC2+BC2=___.
看谁厉害!
勾股定理的应用（一）
2016/10/9
简要提示
《周髀算经》中有＂陈子测日＂的记载
＂若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股自乘，并开方而除之，得邪至日者．＂
根据勾股定理，周子可以测量太阳的高度，太阳的直径和天地的长阔等．

勾股定理初中八年级下册数学教案教学设计课后反思人教版

教学设计学校名称吉林省东丰县大阳镇影壁山中学课例名称勾股定理教师姓名刘颖学段学科初中数学教材版本2016人教版章节八年级下册第十七章第一节年级八年级教学目标（1）通过观看视频，学生初步了解勾股定理的内容。

（2）从实际问题中抽象出数学模型，利用勾股定理解决，渗透建模思想和数形结合思想。

（3）通过研究一系列富有探究性的问题，培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

（4）在对勾股定理历史的了解过程中，感受数学文化，增强爱国情操，激发学习热情，养成关爱生活、观察生活、思考生活的习惯。

教学重难点1.教学重点：勾股定理的证明以及对勾股定理在生活中的应用。

2. 教学难点：勾股定理在生活中的应用。

学情分析八年级学生好动,好奇,好表现,应采用形象生动,形式多样的教学方法和学生广泛的,积极主动参与的学习方式,去激发学生学习的兴趣.教学方法采用“视频展示--设疑解惑--引导互动”的教学模式，通过情境再现、资料研习、小组活动探究等教学方法。

教学过程1.播放视频，展示封面，引起兴趣。

2.播放视频，使学生了解勾股定理的概况3.通过生活中常见的地砖引出图形，进入三角形三边关系，用割补法证明勾股定理，概括总结勾股定理。

4.通过练习巩固勾股定理。

5.通过生活中的实际问题，拓展延伸勾股定理。

6.播放视频，了解外国对勾股定理的认识及概况。

7.谢幕教学反思以视频、图片、中外名人等多种教学材料贯穿课堂，形式多样、形象生动，效果较好；课堂上以学生为主体，很好落实以学生为主导的新型课堂模式。

不足之处：勾股定理在实际生活中的应用广泛，学生在短时间内不能完全掌握。

改进措施：加强与生活实际的联系，逐渐培养学生解读能力。

精品 2016年八年级数学勾股定理-最短路径问题题型汇总

勾股定理-最短路径问题题型汇总1.如图,有一圆柱,它的高等于8cm,底面直径等于4cm （3=π）,在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁,它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物,需要爬行的最短路程大约是多少？2.如图,无盖玻璃容器,高18,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm 的点C 处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm 的F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度为 cm.3.如图,一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马,而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？4.如图,A、B是笔直公路L同侧的两个村庄,且两个村庄到直路的距离分别是300m和500m,两村庄之间的距离为CD(已知CD2=400000m2),现要在公路上建一汽车停靠站,使两村到停靠站的距离之和最小.问最小是多少？5.如图,这是一个供滑板爱好者使用的U型池,该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆,其边缘AB=CD=20m,点E在CD上,CE=2m,一滑行爱好者从A 点到E点,则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可以忽略不计，结果取整数）6.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm,3dm,2dm,A和B是这个台阶两个相对的端点,A 点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是________7.如图为一棱长为3cm的正方体,把所有面都分为9个小正方形,其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点,最少要花几秒钟?8.如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,上只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是9.如图,有一个长方体的长,宽,高分别是 6,4,4,在底面A处有一只蚂蚁,它想吃到长方体上面B处的食物,需要爬行的最短路程是多少?10.如图,牧童在A处放羊,其家在B处,A,B到河岸的距离分别为AC=400m,BD=200m,CD=800m,牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家.试问:在何处饮水,所走路程最短？最短路程是多少？11.如图,已知在平面直角坐标系中,A(-2,1),B(3,3)，点P在x轴上为一动点,当PA+PB最小时,最小值是多少？。

2016年芜湖市智慧教育平台信息化(教案)评选活动《勾股定理》教案

五、教学反思
在本次《勾股定理》的教学过程中，我发现了一些值得注意的地方。首先，学生在理解勾股定理的基本概念上存在一定的困难。尽管我通过直观的图形和实例进行了讲解，但仍有部分学生难以理解直角三角形三边之间的关系。在今后的教学中，我需要更加耐心地引导学生，通过多种方式帮助他们理解和记忆勾股定理。
其次，学生在运用勾股定理解决实际问题时，往往容易忽视题目中的关键信息。这可能是因为他们在阅读题目时不够仔细，或者是对定理的应用场景不够熟悉。针对这一问题，我计划在课堂上增加一些实际案例的分析，让学生更好地掌握如何从问题中提炼关键信息，并运用勾股定理进行解答。
二、核心素养目标
《勾股定理》教学的核心素养目标如下：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过探索和证明勾股定理的过程，让学生学会运用逻辑推理分析问题，培养严谨的数学思维。
2.提高学生的空间想象力：借助直观图形和实际操作，培养学生的空间想象力，增强对直角三角形三边关系的理解。
3.增强学生的应用意识：结合实际例子，让学生感受数学知识在实际生活中的应用，提高解决问题的能力。
4.培养学生的合作交流能力：在设计勾股定理应用题和拓展题时，鼓励学生相互讨论、交流，共同解决问题，提升合作能力。
本章节核心素养目标与新教材要求相符，注重培养学生的学科素养，提高解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）掌握勾股定理的基本概念：勾股定理是直角三角形三条边之间的重要关系，即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。这是本节课的核心内容，需要教师通过实例讲解和图示演示，使学生深刻理解并记忆该定理。
3.应用勾股定理：结合实际例子，让学生学会运用勾股定理解决相关问题。
4.拓展勾股定理：介绍勾股定理在生活中的应用，激发学生的学习兴趣，提高解决问题的能力。

人教版数学勾股定理第一课时比赛课件16比9

图 17－1－12
图 17－1－13
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第1课时勾股定理
8．[2016·红安县期中]图 17－1－14 是一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．
图 17－1－14
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谢谢,再见!
④若 c= 10, a∶b＝8∶15 ，
则a=
, b=
.
方程思想
变式2：若一个直角三角形的三边长分别为
8，15， x，则x＝ 161或17.
感悟
分类思想
分类讨论是一种重要的解题方法．
一个定理
课堂小结
a2 b2 c2
两个方法三个思想
作业：必做：教材24页练习1，2题。选做：教材34页复习巩固1，2题。
C
a
c
b
结论变形
a c2 b2
b c2 a2
方程思想
学以致用，做一做：例1：已知:在Rt△ABC中，∠C=90°.
B
①若a = 5，b = 12，则c= 13 ； a
c
②若c = 6，b = 4，则a= 2 5 ； C
b
A
③若c = 25 ，a = 24 ，则b= 7 .
变式1
17.1 勾股定理（第一课时）
2500年前，毕达哥拉斯在一次朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中蕴含一种奇妙的数量关系。
观察猜想：
A
B
ab
c
C
1、A、B、C的面积有什么关系？为什么？
2、等腰直角三角形三边有什么关系？
结论：等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理知识讲解

勾股定理知识点学习要求：学习重点是利用计算面积和拼图的方法探索并验证勾股定理借助三角形三边关系来判断一个三角形是否是直角三角形。

难点是各种拼图的理解和勾股定理的应用。

中考热点：主要考查勾股定理及直角三角形判定条件的应用和勾股数常与三角形其他知识结合考查。

一、探索勾股定理：１．勾股定理（重点）内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 即：直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方注：勾股定理揭示的是直角三角形三边关系的定理，只使用与直角三角形。

使用勾股定理时首先确定最长边即斜边。

２.勾股定理的证明（难点）勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBA方法二：见右图四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形（22a b +＞2c ）和钝角三角形（22a b +＜2c 的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用（重点）①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c b ，a = ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。

勾股定理详解

勾股定理（基础）【学习目标】1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想； 2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-．要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．要点三、勾股定理的作用1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3．与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用．【典型例题】类型一、勾股定理的直接应用1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长．【答案与解析】解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12，所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13．（2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24，所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10．【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式．举一反三：【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）已知b ＝6，c ＝10，求a ；（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ．【答案】解：（1）∵ ∠C ＝90°，b ＝6，c ＝10，∴ 2222210664a c b =-=-=， ∴ a ＝8．（2）设3a k =，5c k =，∵ ∠C ＝90°，b ＝32，∴ 222a b c +=．即222(3)32(5)k k +=．解得k ＝8．∴ 33824a k ==⨯=，55840c k ==⨯=．类型二、与勾股定理有关的证明2、（2015•丰台区一模）阅读下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．由图1可以得到（a+b）2=4×，整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．所以a2+b2=c2．如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：由图2可以得到，整理，得，所以．【答案与解析】证明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，∴c2=4×ab+（b﹣a）2，整理，得2ab+b2﹣2ab+a2=c2，∴c2=a2+b2．故答案是：；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2．【总结升华】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（）A．AC2B．BD2C．BC2D．DE2【答案】连接AD 构造直角三角形，得，选A ．类型三、与勾股定理有关的线段长3、如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】D ；【解析】解：设AB ＝x ，则AF ＝x ，∵ △ABE 折叠后的图形为△AFE ， ∴ △ABE ≌△AFE ．BE ＝EF ， EC ＝BC －BE ＝8－3＝5，在Rt △EFC 中，由勾股定理解得FC ＝4，在Rt △ABC 中，()22284x x +=+，解得6x =．【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解．类型四、与勾股定理有关的面积计算4、如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（）A ．6B ．5C ．11D ．16 【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b 是正方形，可求△ABC ≌△CDE ．由勾股定理可求b 的面积=a 的面积+c 的面积．【答案】D 【解析】解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC ，在△ABC 和△CDE 中，∵ABC CDE ACB DEC AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△CDE ∴BC=DE∵222AB BC AC += ∴222AB DE AC +=∴b 的面积为5+11=16，故选D ．【总结升华】此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题，考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．举一反三：【变式】（2015•东莞模拟）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S 1=4，S 2=9，S 3=8，S 4=10，则S=（）A.25B.31C.32D.40【答案】解：如图，由题意得：AB 2=S 1+S 2=13， AC 2=S 3+S 4=18，∴BC 2=AB 2+AC 2=31，∴S=BC 2=31，故选B ．类型五、利用勾股定理解决实际问题5、（2016春•淄博期中）有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高．【思路点拨】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高．【答案与解析】解：设门高为x 尺，则竹竿长为（x +1）尺，根据勾股定理可得：x 2+42=（x +1）2，即x 2+16=x 2+2x +1，解得：x=7.5，竹竿高=7.5+1=8.5（尺）答：门高7.5尺，竹竿高8.5尺．【总结升华】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m 处断裂，旗杆顶部落在离底部12m 处，则旗杆折断前有多高？【答案】解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C ＝90°，BC ＝5m ，AC ＝12m ，∴ 22222512169AB BC AC =+=+=． ∴ 13AB =(m )．∴ BC ＋AB ＝5＋13＝18(m )． ∴ 旗杆折断前的高度为18m ．勾股定理（基础）【巩固练习】一．选择题 1．（2016•荆门）如图，△ABC 中，AB=AC,AD 是∠BAC 的平分线.已知AB=5，AD=3，则BC 的长为（）A ．5B ．6C ．8D ．102．若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的值可能有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( ) A ．12米 B ．10米 C ．8米 D ．6米 4．Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为( )A ．8B ．4C ．6D ．无法计算5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于( )A ．4B ．6C ．8D ．5 6．（2015•深圳模拟）如图，在△ABC 中，AB=AC=5，P 是BC 边上除B 、C 点外的任意一点，则代数式AP 2+PB•PC 等于（）A ．25B ．15C ．20D ．30 二．填空题 7．（2016•黔东南州一模）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=5cm ，BC=3cm ，CD ⊥AB 于D ，CD= ． 8．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______米路，却踩伤了花草．9．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．10．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是6、8，则正方形的边长是______．12.（2015•延庆县一模）学习勾股定理相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题：“已知直角三角形的两条边长分别为3，4，请你求出第三边．”张华同学通过计算得到第三边是5，你认为张华的答案是否正确：，你的理由是．三．解答题13．如图四边形ABCD的周长为42，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，求BC的长．14．已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．15.（2015春•滨州月考）如图所示的一块地，AD=9m ，CD=12m ，∠ADC=90°，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积．【答案与解析】一．选择题 1．【答案】C ；【解析】勾股定理． 2．【答案】B ；【解析】x 可能是直角边，也可能是斜边． 3．【答案】A ；【解析】设旗杆的高度为x 米，则()22215x x +=+，解得12x =米．4．【答案】A ；【解析】222228AB AC BC BC ==＋＋． 5．【答案】B ；【解析】AD ＝8，2222210836BD AB AD =-=-=,∴BD=6． 6．【答案】A.【解析】解：过点A 作AD⊥BC 于D ，∵AB=AC=5，∠ADP=∠ADB=90°，∴BD=CD，根据勾股定理得：PA 2=PD 2+AD 2，AD 2+BD 2=AB 2，∴A P 2+PB•PC=AP 2+（BD+PD ）（CD ﹣PD ）=AP 2+（BD+PD ）（BD ﹣PD ）=AP 2+BD 2﹣PD 2=AP 2﹣PD 2+BD 2=AD 2+BD 2=AB 2=25．故选A.二．填空题 7．【答案】125； 8．【答案】2；【解析】走捷径是5米，少走了7－5＝2米． 9．【答案】150；【解析】∵AC=150﹣60=90mm ，BC=180﹣60=120mm ，22222500AB AC BC =+=，所以AB=150mm ． 10．【答案】10；【解析】∵()22882+-=100，∴飞行距离为10m ．11．【答案】10；【解析】可证两个三角形全等，∵22268=10+，∴正方形边长为10． 12．【答案】不正确；若4为直角边，第三边为5；若4为斜边，第三边为.【解析】解：张华的答案不正确，理由为：若4为直角边，第三边为=5；若4为斜边，第三边为=．三．解答题 13．【解析】解：连接BD ，因为AB ＝AD ＝12，∠A ＝60°所以△ABD 是等边三角形，又因为∠D ＝150°，所以△BCD 是直角三角形，于是BC ＋CD ＝42－12－12＝18，设BC ＝x ，从而CD ＝18－x ，利用勾股定理列方程得222(18)12x x -+=，解得x ＝13，即BC 的长为13． 14．【解析】解：过D 点作DE ⊥AB 于E ，∵AD 平分∠BAC ，∠C ＝90°，∴DE ＝CD ＝3，易证△ACD ≌△AED ， ∴AE ＝AC ，在Rt △ DBE 中，∵BD ＝5 ，DE ＝3，∴BE ＝4 在Rt △ACB 中，∠C ＝90° 设AE ＝AC ＝x ，则AB ＝4x +∵222AB AC BC =+∴()22248x x +=+解得6x =，∴AC ＝6．15．【解析】解：解：连结AC，由勾股定理可知AC===15，又∵AC2+BC2=152+362=392=AB2，∴△ABC是直角三角形，故这块地的面积=S△ABC﹣S△ACD=×15×36﹣×12×9=216（m）2，即这块地的面积是216平方米．。