第四章 稳定性与李雅普诺夫方法

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
x描述了系统在n维状态空间中从初始条件(t0,x0)出发的一条状态 运动的轨线,称系统的运动或状态轨线
31.05.2020
15
平衡状态
若系统存在状态向量xe,对所有t,都使: f(xe,t)0
成立,则称xe为系统的平衡状态。 对于一个任意系统,不一定都存在平衡状态,有时即使存在也 未必是唯一的。
x f(x,t)Ax
lim (t;0,x0,0)0
t
则称系统是内部稳定的,或称为是渐近稳定的。
31.05.2020
8
对于该式所描述的线性定常系统,其为渐近稳定的充分必要条 件是矩阵A的所有特征值均具有负实部,即:
Ri e (A ) { } 0 ,i 1 ,2 , n
其中n为系统的维数。
当矩阵A给定后,则一旦导出其特征多项式:
此外,在现代控制理论的许多方面,例如最优系统设计、最优 估值、最优滤波以及自适应控制系统设计等,李雅普诺夫理论 都有广泛的应用。
31.05.2020
4
4.1 外部稳定性和内部稳 定性
31.05.2020
5
一、外部稳定性
考虑一个线性因果系统,如果对应于一个有界的输入u(t),即满足 条件:
u (t) k 1 , t t0 ,
结论3:如果线性定常系统为能控和能观的,则其内部稳定性与 外部稳定性必是等价的。
31.05.2020
10
举例
x
1
0
0 1 1x 1u
y 1 0x
分析系统的外部稳定性与内部稳定性
W ( s ) c ( sI A ) 1 b
传递函数的极点s=-1位于s的 左半平面,故系统外部稳定。
1
0
s
0
只是在满足一定的条件时,系统的内部稳定性和外部稳定性之 间才存在等价关系。
31.05.2020
2
在经典控制理论中,对于单输入单输出线性定常系统,应用劳 斯(Routh)判据和赫尔维茨(Hurwitz)判据等代数方法判定系统的 稳定性,非常方便有效。
至于频域中的奈奎斯特(Nyquist)判据则是更为通用的方法,它不 仅用于判定系统是否稳定,而且还指明改善系统稳定性的方向。
的输入u(t),所产生的输出y(t)也是有界的,即成立:
y ( t) k 2 , t t0 ,
则称此因果系统是外部稳定的,也即是有界输入-有界输出稳定 的,并简称为BIBO稳定。
31.05.2020
6
在讨论外部稳定性时,必须假定系统的初始条件为零;
在这种假定下,系统的输入-输出描述才是唯一的和有意义的。
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
31.05.2020
1
一个实际的系统必须是稳定的,不稳定的系统是不可能付诸于工 程实施的。
系统的稳定性,表示系统在遭受外界绕扰动偏离原来的平衡状态, 而在扰动消失后,系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种 “顽性”。
可按两种方式来定义系统运动的稳定性:
通过输入―输出关系来表征的外部稳定性 通过零输入状态下的状态运动的响应来表征的内部稳定性
当A为非奇异矩阵时,满足Axe0的解xe=0是系统唯一存在的一 个平衡状态。
上述方法都是以分析系统特征方程在根平面上根的分布为基础 的。但对于非线性和时变系统,这些判据不适用了。
早在1892年,俄国数学家李雅普诺夫就提出将判定系统稳定Fra Baidu bibliotek 的问题归纳为两种方法:李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二 法。
前者是通过求解系统微分方程,然后根据解的性质来判定系统 的稳定性。它的基本思想和分析方法与经典理论是一致的。
31.05.2020
3
本章重点讨论李雅普诺夫第二法。
它的特点是不求解系统方程,而是通过一个叫李雅普诺夫函数的 标量函数来直接判定系统的稳定性。
因此,它特别适用于那些难以求解的非线性系统和时变系统。
李雅普诺夫第二法除了用于对系统进行稳定性分析外,还可用于 对系统瞬态响应的质量进行评价以及求解参数最优化问题。
对于零初始条件的线性定常系统,G(s)为其传递函数阵,则系统 为BIBO稳定的充要条件是:
当G(s)为真的有理分式函数矩阵时,G(s)的每一个元传递函数的 所有极点均具有负实部。
31.05.2020
7
二、内部稳定性
y x C Ax x D Bu ux(0)x0 如果外输入u(t)0,初始状态x0为任意,且由x0引起的零输入响 应(t;0, x0,0)满足关系式:
31.05.2020
13
一、系统状态的运动及平衡状态
设所研究的齐次状态方程为:
x f(x,t)
f为与x同维的向量函数,是x的各元素x1,x2,,xn和时间t的函数。
31.05.2020
14
运动、状态轨线
设方程式在给定初始条件(t0,x0)下,有唯一解:
x(t;x0,t0) x0(t0;x0,t0)表示x在初始时刻t0的状态。
结论2:线性定常系统是BIBO稳定的,不能保证系统必是渐近稳 定的。
证:由系统结构的规范分解定理可知,通过引入线性非奇异变换, 可将系统分解为能控能观、能控不能观、不能控能观和不能控不 能观四个部分,而输入-输出特性只能反映系统的能控能观部分。 因此,系统的BIBO稳定只是意味着其能控能观部分为渐近稳定, 它既不表明也不要求系统的其它部分是渐近稳定的。
11
4.2 李雅普诺夫关于稳定 性的定义
31.05.2020
12
线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数,而与系统的初 始条件及外界扰动的大小无关。 非线性系统的稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。
因此在经典控制理论中没有给出稳定性的一般定义。
李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义
( s ) d s e A I ) t s n ( a n 1 s n 1 a 1 s a 0
那么就可利用劳斯-赫尔维茨判据,直接由特征多项式的系数 来判断系统的渐近稳定性。
31.05.2020
9
三、内部稳定性和外部稳定性间的关系
结论1:线性定常系统是内部稳定的,则其必是BIBO稳定的。
1
0 1 1 s 1 1
s 1
1
( s 1)( s 1) s 1
这是因为具有正实部的特征值 2=+1被系统的零点s=+1对消 了,所以在系统的输入输出特 性中没被表现出来。
de I A t) (( 1 )( 1 ) 0
可得特征值1=-1,2=+1。
31.05.2020
故系统不是内部稳定的。
相关文档
最新文档