上海第二工业大学高数第一学期期末试卷

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一、填空题 （每格3分，共15分）

1、884231lim ________322

x x x x x →∞-+=+-. 2、若函数sin 0()20kx x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩在0x =处连续，则_____k =.

3、设ln y x x =，则()1_____________y ''=.

4

、设是()f x 的一个原函数，则()21xf x dx -=⎰_____________.

5、微分方程20y y '''-=的通解为___________.

二、选择题（每题3分，共15分）

1、函数()f x 在点0x x =连续是函数在该点可导的 （ ）. （A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充要条件 （D ）无关条件

2、函数211

x y x -=-的间断点1x =的类型是 （ ）. （A ）第一类可去间断点 （B ）第一类跳跃间断点

（C ）第二类无穷间断点 （D ）第二类震荡间断点

3、函数22y x x =-在区间[]0,2上满足罗尔定理条件的点ξ= （ ）.

（A ） 3 （B ）2 （C ）1 （D ）0

4、下列式子中正确的是 （ ）.

（A) 210

0x d e dx dx =⎰ （B) 22x x d e e c =+⎰ （C ）221x t x d e dt e c dx =+⎰ （D) 22x x d e dx e c dx

=+⎰. 5、下列反常积分中收敛的是 （ ）. （A ）0x e dx +∞⎰

（B ）1ln x dx x +∞⎰ （C

）1-⎰ （D ）121dx x --∞⎰

三、计算题（每题6分，共36分） 1、 ()

02lim ln 12x x

x e e x x -→--+

2、 21lim(tan )cos x x x

π

→-

3、cos x y x = ()0x >，求1x dy

=.

4、23t t x e y e

-⎧=⎨=⎩，求22d y dx

5、()ln 1x x dx +⎰

6、321

21arctan 1x x dx x -++⎰

四、解答题（每题7分，共21分）

1、求函数()32531f x x x x =-+-的单调区间与极值，凹凸区间与拐点.

2、求微分方程sin y x y x x '+

=满足初始条件1x y π==的特解.

3、求微分方程23x y y y e '''--=通解.

五、应用题（本题8分）

设平面图形由曲线21y x =+及其上点()1,2处切线与直线0x =围成，求：

（1） 此平面图形的面积；（2）该平面图形绕x 轴旋转一周形成的旋转体的体积.

六、证明题（本题5分） 证明：当02x π

<<时， 31tan 3x x x >+.