人教A版文科数学课时试题及解析(41)空间点、直线、平面之间的位置关系

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高中数学必修2(人教A版)第二章几点、直线、平面的位置关系2.1知识点总结含同步练习及答案

描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系一、学习任务理解空间点、线、面的位置关系，会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系；了解可以作为推理依据的公理和定理，能正确地判断空间线线、线面与面面的位置关系．二、知识清单平面的概念与基本性质点、线、面的位置关系三、知识讲解1.平面的概念与基本性质平面的概念生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是几何中的平面是没有厚度、无限延展的．平面的画法我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面，平行四边形的锐角通常画为，且横边长等于其邻边长的倍．如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡的部分用虚线画出来．平面的表示为了表示平面，常把希腊字母等等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面、平面；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如图中的平面可以表示为平面、平面或者平面．集合符号在立体几何中的应用以点作为元素，直线和平面都是由点构成的集合．几何中许多符号的规定都是源于将图形视为点集．例如：点在平面内，记作；点不在平面内，记作．直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作；直线与相交于点，记作；平面与平面相交于直线，记作．平面的基本性质平面的基本性质是由三条公理描述的：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．45∘2α,β,γαβABCD AC BD A αA ∈αA αA ∉αl αl ⊂αl αl ⊄αl m A l ∩m =A αβa α∩β=a A ∈l A ∈α例题：符号语言：，，且，．公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．符号语言：，且，且．空间位置关系与几何量的基础平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．A∈l B∈l A∈αB∈α⇒l⊂αP∈αP∈β⇒α∩β=l P∈l用符号语言表示下列语句．（1）点在平面外，点在平面内，直线经过点，；（2）与交于，与交于．解：（1），，，．（2），．AαBαl A B平面ABD平面BCD BD平面ABC平面ADC ACa∉αB∈αA∈l B∈l平面ABD∩平面BCD=BD平面ABC∩平面ADC=AC如图所示，在四面体中，、、、分别是、、、上的点，且，求证，，三点共线．ABCD E F G H AB AD BC CDEF∩GH=PB D P2.点、线、面的位置关系证明：因为，，所以，同理，，又，所以，，而，所以，即，，三点共线．E ∈ABF ∈AD EF ⊂平面 ABD GH ⊂平面 BCD EF ∩GH =P P ∈平面 ABD P ∈平面 BCD 平面 ABD ∩平面 BCD =BD P ∈直线BD B D P 已知：如图，，，．求证：直线，，在同一平面内．证法一：（同一法）因为，所以和确定一个平面．　因为，所以．又因为，所以．同理可证．又，，所以．因此，直线，，在同一个平面内．证法二：（重合法）因为，所以，确定一个平面．因为，所以，确定一个平面．又因为，，所以．又，，所以．同理可证得，，，．所以不共线的三个点，，在平面内，又在平面内．所以平面和平面重合，即直线，，在同一平面内．∩=A l 1l 2∩=B l 2l 3∩=C l 1l 3l 1l 2l 3∩=A l 1l 2l 1l 2α∩=B l 2l 3B ∈l 2⊂αl 2B ∈αC ∈αB ∈l 3C ∈l 3⊂αl 3l 1l 2l 3∩=A l 1l 2l 1l 2α∩=B l 2l 3l 2l 3βA ∈l 2⊂αl 2A ∈αA ∈l 2⊂βl 2A ∈βB ∈αB ∈βC ∈αC ∈βA B C αβαβl 1l 2l 3结合空间想象回答下列问题：（1）个平面可以分空间为______部分；（2）个平面可以分空间为______部分；（3）正方体的各个面延伸后将空间分成______部分．解：（1），；（2），，，；（3）．对于（1）：当个平面平行时，分成部分；当两个面相交时，分成部分；对于（2）：当个平面两两平行时，分成部分；当其中两个平面平行，和另外一个平面相交或者三个平面相交于一条直线时，分成部分；当个平面两两相交且交线两两平行时，分成部分；当个平面两两相交且交线相交于一点时，分成部分；对于（3）：首先，将正方体的四个侧面延伸，可知将空间分成部分，然后，将正方体的上下底面延伸可知将之前部分分成了层，每层部分，共部分．233446782723434637389393×9=27若直线、、相交于一点，则这条直线可能确定的平面有（）A．个 B．个 C．无数个 D．个或个解：D当、、三线共面时，平面只有个；当三线不共面时，任意两条可确定一个平面，共个．a b c 30113a b c 13描述：例题：点与平面的位置关系平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点在平面内，记作；点不在平面内，记作．直线与直线的位置关系空间直线与直线的位置关系共有以下两种：共面直线在同一平面内的两条直线．更进一步，若这两条直线有且只有一个公共点，则称它们是相交直线，若这两条直线没有公共点，则称它们是平行直线；异面直线不同在任何一个平面内的两条直线．直线垂直如果两条直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直，记作．在空间，两条直线垂直包括两种情形：共面垂直和异面垂直．直线与平面的位置关系空间直线与平面的位置关系共有以下三种：直线在平面内直线上的所有点都在平面内；直线与平面相交直线与平面有且仅有一个公共点；直线与平面平行直线与平面没有公共点．平面与平面的位置关系空间平面与平面的位置关系共有以下两种：平行两个平面没有公共点，则称这两个平面平行；相交两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，此时这条公共直线称为这两个平面的交线．A αA ∈αA αA ∉αa ⊥b 如果在两个平面内分别各有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直相交解：C可根据题意作图判断，如图所示，分别为两个平面平行、相交的情况．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．异面或相交 D．平行解：C如图所示，可能相交，也可能异面，若两直线平行，则此两条直线确定一个平面，且原两条异面直线均在此平面内，故矛盾．四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）若直线不平行于平面，且，则（）A．内的所有直线与异面 B．内不存在与平行的直线 C．内存在唯一的直线与平行 D．内的直线与都相交解：B依题意，设直线，如图．内的直线若经过点，则与直线相交；若不经过点，则与直线是异面直线，但不可能与平行．l αl ⊄ααl αl αl αl l ∩α=A αA l A l l 答案：解析：1. 如图，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是上的动点，则直线、的位置关系是．A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直C和点确定平面，且平面，判定与平面的位置关系，只需判定直线的位置关系即可．ABCD −A 1B 1C 1D 1O ABCD M D D 1N A 1B 1NO AM ()A 1B 1O O A 1B 1NO ⊂O A 1B 1∴MA O A 1B 1NO 、AM 答案：2. 平行六面体中，既与共面也与共面的棱的条数为 A ．B ．C ．D ．C ABCD −A 1B 1C 1D 1AB C C 1()3456答案：3. 正方体中，、、分别是、、的中点．那么，正方体的过、、的截面图形是 A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形D ABCD −A 1B 1C 1D 1P Q R AB AD B 1C 1P Q R ()4. 下列正方体或正四面体中，，，，分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是 P Q R S ()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

人教A版文科数学课时试题及解析(41)空间点、直线、平面之间的位置关系

课时作业(四十一)[第41讲空间点、直线、平面之间的位置关系][时间：45分钟分值：100分]根底热身1．下面列举的图形一定是平面图形的是()A．有一个角是直角的四边形B．有两个角是直角的四边形C．有三个角是直角的四边形D．有四个角是直角的四边形2．直线l∥平面α ,a、b是夹在直线l与平面α之间的两条线段,那么a∥b是a＝b的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．以下说法正确的选项是()A．如果两个不重合的平面α、β有一条公共直线a,就说平面α、β相交,并记作α∩β＝aB．两个平面α、β有一个公共点A ,就说α、β相交于过A点的任意一条直线C．两个平面α、β有一个公共点A ,就说α、β相交于A点,并记作α∩β＝AD．两个平面ABC与DBC相交于线段BC4．以下四个命题中,正确的命题是________(填序号)．①不共面的四点中,其中任意三点不共线；②假设点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,那么A、B、C、D、E共面；③假设直线a、b共面,直线a、c共面,那么直线b、c共面；④依次首|尾相接的四条线段必共面．能力提升5．假设A、B、C表示不同的点,a、l表示不同的直线,α、β表示不同的平面,以下推理不正确的选项是()A．A∈l ,A∈α ,B∈l ,B∈α⇒l⊂αB．A∈α ,A∈β ,B∈α ,B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α ,A∈l⇒A∉αD．A、B、C∈α ,A、B、C∈β且A、B、C不共线⇒α与β重合6．假设空间中有四个点,那么 "这四个点中有三点在同一条直线上〞是 "这四个点在同一个平面上〞的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件7．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为() A．3 B．4 C．5 D．68．正方体ABCD－A′B′C′D′中,P、Q、R分别是AB、AD、B′C′的中点,那么,正方体的过P、Q、R的截面图形是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形9．如图K41－2所示,平面α∩平面β＝l ,A∈α ,B∈α ,AB∩l＝D ,C∈β ,C∉l ,那么平面ABC与平面β的交线是()图K41－2A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC10．共点的四条直线最|多能确定平面的个数是________．11．给出以下条件：①空间的任意三点；②空间的任意两条直线；③梯形的两条腰所在的直线；④空间的任意一条直线和任意一个点；⑤空间两两相交的三条直线．其中一定能独立确定一个平面的条件的序号是________．12．直线m、n及平面α ,其中m∥n ,那么平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的选项是________(填序号)．13．以下命题中正确的选项是________(填序号)．①假设△ABC在平面α外,它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R ,那么P、Q、R 三点共线；②假设三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点,那么这四条直线共面；③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面．14．(10分)如图K41－3 ,设E ,F ,G ,H分别是三棱锥A－BCD的棱AB、BC、CD、AD 的中点,假设AC＝BD＝1 ,求EG2＋FH2的值．15．(13分)如图K41－4所示,在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中,M、N分别为AA1、C1D1的中点,过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出直线l ,并说明画法的依据；(2)设A1B1∩l＝P ,求线段PB1难点突破16．(12分)如图K41－5 ,平面ABEF⊥平面ABCD ,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,∠BAD＝∠F AB＝90° ,BC綊12AD ,BE綊12F A ,G、H分别为F A、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面?为什么?(3)证明：FE、AB、CD三线共点．图K41－5课时作业(四十一)【根底热身】1．D[解析] 对于前三个,可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；在翻折的过程中,某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形．2．A[解析] 当a∥b时,设a、b、l确定的平面与平面α的交线为l′ ,那么a、b、l、l′构成平行四边形,可得a＝b；反之,假设a＝b ,那么不一定有a∥b.应选A.3．A[解析] 根据平面的性质公理3可知,A对；对于B ,其错误在于 "任意〞二字上；对于C ,错误在于α∩β＝A上；对于D ,应为平面ABC和平面DBC相交于直线BC.4．①[解析] ①正确,可以用反证法证明,假设有三点共线,那么由直线和直线外一点确定一个平面,得这四点共面；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C ,但是假设A、B、C共线,那么结论不正确；③不正确,共面不具有传递性；④不正确,因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．【能力提升】5．C[解析] 由公理1知,A正确；由公理3知,B正确；由公理2知,D正确；l⊄α⇒l可能与α相交,C不正确,应选C.6．A[解析] 假设有三点共线于l ,当第四点在l上时共面,当第四点不在l上时,l与该点确定一个平面α ,这四点共面于α；假设四点共面,那么未必有三点共线．应选A.7．C[解析] 如下图,、CD、C1D1、BB1、AA1.8．D[解析] 如图,作RG∥BD交C′D′于G ,连接QP ,并延长与CB的延长线交于M ,连接MR交BB′于E ,连接PE、RE ,同理延长PQ交CD的延长线于N ,连接NG交DD′于F ,连接QF、FG.故截面为六边形PQFGRE.9．C[解析] 由题意知,D∈l ,l⊂β ,∴D∈β.又D∈AB ,∴D∈平面ABC ,即D在平面ABC与平面β的交线上．又C∈平面ABC ,C∈β ,∴点C在平面β与平面ABC的交线上．从而有平面ABC∩平面β＝CD ,应选C.10．6[解析] 观察四棱锥模型,它的四个侧面,以及两个对角面,可以看成共点的四条直线最|多能确定平面的个数的情形．11．③[解析] ①中三点共线时,②中两直线不平行也不相交时,④中点在直线上时,⑤中三直线交于一点时(此时可能不共面) ,都不能独立确定一个平面．12．①②④[解析] 如图(1) ,当直线m或直线n在平面α内且m、n所在平面与α垂直时不可能有符合题意的点；如图(2) ,直线m、n到平面α的距离相等且两直线所在平面与平面α垂直,那么平面α为符合题意的点集；如图(3) ,直线m、n所在平面与平面α平行,那么符合题意的点为一条直线．13．①② [解析] 在①中 P 、Q 上 ,又在平面α上 ,所以这三点必在平面ABC 与α的交线上 ,即P 、Q 、R 三点共线 ,故①正确；在②中 ,因为a ∥b ,所以a 与b 确定一个平面α ,而l 上有A 、B 两点在该平面上 ,所以l ⊂α ,即a 、b 、l 三线共面于α；同理a 、c 、l 三线也共面 ,不妨设为β ,而α、β有两条公共的直线a 、l ,∴α与β重合 ,即这些直线共面 ,故②正确；在③中 ,不妨设其中有四点共面 ,那么它们最|多只能确定7个平面 ,故③错．14．[解答] 易知四边形EFGH 为平行四边形 ,由平行四边形性质知：EG 2＋FH 2＝2(EF 2＋FG 2)＝2×14(AC 2＋BD 2)＝12×(12＋12)＝1. 15．[解答] (1)延长DM 交D 1A 1的延长线于E ,连接NE ,那么NE 即为所求的直线l .依据如下：∵E ∈直线DM ,直线DM ⊂平面DMN ,∴E ∈平面DMN .又E ∈直线A 1D 1 ,直线A 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1 ,∴E ∈平面A 1B 1C 1D 1.∴E 为平面A 1B 1C 1D 1与平面DMN 的公共点．∵平面A 1B 1C 1D 1∩平面DMN ＝l ,∴E ∈l .同理可证N ∈l .∴直线EN 就是所求的直线．(2)∵M 为AA 1的中点 ,且AD ∥ED 1 ,∴AD ＝A 1E ＝A 1D 1＝a .又∵A 1P ∥D 1N ,且D 1N ＝12a ,∴A 1P ＝12D 1N ＝14a ,∴PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝34a . 即线段PB 1的长为34a . 【难点突破】16．[解答] (1)证明：由题设知 ,FG ＝GA ,FH ＝HD ,所以GH 綊12AD . 又BC 綊12AD ,故GH 綊BC , 所以四边形BCHG 是平行四边形．(2)C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下：由BE 綊12AF ,G 是F A 的中点知 ,BE 綊GF , 所以EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ,所以EF ∥CH ,故EC 、FH 共面．又点D 在直线FH 上 ,所以C 、D 、F 、E 四点共面．(3)证明：连接EC ,∵BE 綊12AF ,BC 綊12AD , ∴BE AF ＝BC AD ＝12,故EC ∥FD 且EC ≠FD , ∴FE 与DC 交于一点P .又AB ⊂平面ABEF ,AB ⊂平面ABCD ,∴P 点在AB 上 ,故FE 、DC 、AB 三线共点．。

2022版高考数学人教A版：课时作业四十空间点、直线、平面之间的位置关系

【解析】易知 EH∥BD∥FG，且 EH＝21 BD＝FG，同理 EF∥AC∥HG，且 EF＝12 AC＝HG，显然四边形 EFGH 为平行四边形．要使平行四边形 EFGH 为菱形需满足 EF＝EH，即 AC＝BD；要使平行四边形 EFGH 为正方形需满足 EF＝EH 且 EF⊥EH，即 AC＝BD 且 AC⊥BD. 答案：AC＝BD AC＝BD 且 AC⊥BD
该几何体的表面积是 3＋12 ×2×1＋12 ×2×1＋12 ×1× 22＋12 ＋12 × 6 ×( 5 )2－
6 2
2
＝5＋
5 2
＋
21 2
.
答案：1
5＋
5 2
＋
21 2
8．如图所示，在三棱锥 A-BCD 中，E，F，G，H 分别是棱 AB，BC，CD， DA 的中点，则当 AC，BD 满足条件________时，四边形 EFGH 为菱形；当 AC，BD 满足条件________时，四边形 EFGH 是正方形．
3．(2021·金华模拟)已知在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，M，N 分别为 AC，B1C1
的中点，E，F 分别为 BC，B1B 的中点，则直线 MN 与直线 EF，平面 ABB1A1
的位置关系分别为( )
A．平行、平行
B．异面、平行
C．平行、相交
D．异面、相交
【解析】选 B.
因为在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，M，N 分别为 AC，B1C1 的中点，E，F 分别为 BC，B1B 的中点，所以 EF⊂ 平面 BCC1B1，MN∩平面 BCC1B1＝N，N∉EF，所以由异面直线判定定理得直线 MN 与直线 EF 是异面直线．取 A1C1 中点 P，连接 PN，PM，则 PN∥B1A1，PM∥A1A，因为 AA1∩A1B1＝A1，PM∩PN＝P，所以平面 PMN∥平面 ABB1A1，因为 MN⊂ 平面 PMN，所以直线 MN 与平面 ABB1A1 平行．

空间点、直线、平面之间的位置关系高中数学例题课后习题详解

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1平面练习1.判断下列命题是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”.（1）书桌面是平面.（2）平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点.（3）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.【答案】（1）×；（2）×；（3）√.【解析】【分析】根据平面性质可知（1）错误，根据公理2知（2）错误，根据公理3可判断（3）正确.【详解】（1）由平面性质知，平面具有无限延展性，所以桌面只是平面一部分，不是平面；（2）根据公理2可知，若两个平面有一个共点，则有过该点的唯一交线，可知有无限个公共点，且在一条直线上，故判断错误；根据公理3，不共线的三个点确定一个平面，因此两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合，正确.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质，属于容易题.2.下列命题正确的是（）A.三点确定一个平面B.一条直线和一个点确定一个平面C.梯形可确定一个平面D.圆心和圆上两点确定一个平面【答案】C【解析】【分析】根据公理2对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A选项错误.对于B选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B选项错误.对于C选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C选项正确.对于D选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以D 选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查公理2的理解和运用，属于基础题.3.不共面的四点可以确定几个平面？请画出图形说明你的结论.【答案】4个【解析】【分析】画出空间四边形，可以得到确定的平面个数.【详解】可确定4个平面，如图：由不共线的三个点确定一个平面可知，不共线的四个点可确定平面ABC ,平面ACD ,平面ABD ,平面BCD ，共4个平面.【点睛】本题主要考查了不共线的三个点确定一个平面，属于容易题.4.用符号表示下列语句，并画出相应的图形：（1）点A 在平面α内，点B 在平面α外；（2）直线a 经过平面α外的一点M ；（3）直线a 既在平面α内，又在平面β内.【答案】（1）,A B αα∈∉，如图.（2）,M M a α∉∈，如图.（3）,a a αβ⊂⊂，如图.【解析】【分析】根据点线面的关系，借用集合符号，表示即可.【详解】（1）,A B αα∈∉，如图：（2）,M M a α∉∈，如图：（3）,a a αβ⊂⊂或=a αβI ，如图：【点睛】本题主要考查了空间几何中的符号语言，属于容易题.8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系例1：如图8.4-16，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系.分析：根据图形，先判断直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.解：在（1）中， l αβ= ，a A α= ，a B β⋂=.在（2）中，l αβ= ，a α⊂，b β⊂，a l P = ，b l P = ，a b P = .例2：如图8.4-17，AB B α⋂=，A αÏ，a α⊂，B a ∉.直线AB 与a 具有怎样的位置关系？为什么？解：直线AB 与a 是异面直线.理由如下.若直线AB 与直线a 不是异面直线，则它们相交或平行.设它们确定的平面为β，则B β∈，a β⊂.由于经过点B 与直线a 有且仅有一个平面α，因此平面α与β重合，从而AB α⊂，进而A α∈，这与A αÏ矛盾.所以直线AB 与a 是异面直线.练习5.如果两条直线a 与b 没有公共点，那么a 与bA.共面B.平行C.异面D.平行或异面【答案】D【解析】【分析】根据空间中直线与直线的位置关系的定义即可判断出直线a 与b 的位置关系.【详解】如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，则a 与b 平行或异面.故选：D.【点睛】本题考查空间中两直线位置关系的判断，属于基础题.6.设直线a b ，分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a 与b （）A.平行B.相交C.是异面直线D.可能相交，也可能是异面直线【答案】D【解析】【分析】按直线的三种位置关系分析．【详解】如图，长方体ABCD A B C D ''''-中，当'A B 所在直线为a ，BC '所在直线为b 时，a 与b 相交；当'A B 所在直线为a ，B C '所在直线为b 时，a 与b 异面.故选：D.【点睛】本题考查空间两条直线间的位置关系，属于基础题．7.如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，判定直线AB 与AC ，直线AC 与A C ''，直线A B '与AC ，直线A B '与C D '的位置关系.【答案】见解析【解析】【分析】按直接的三种位置关系判断．【详解】解：直线AB 与AC 相交；直线AC 与A C ''平行；直线A B '与AC 异面；直线A B '与C D '异面.【点睛】本题考查空间两条直线间的位置关系，属于基础题．8.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α.（）（2）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行.（）（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.（）（4）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.（）【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√【解析】【分析】（1）举反例说明；（2）分析三种位置关系的可能性．由线面平行的性质定理得平行线，平面内与这平行相交的直线，与平面外的那条直线异面；（3）把与平行平行的直线平移，观察与平面的位置关系；（4）由线面平行的定义判断．【详解】（1）当直线1与平面α相交时，直线1上也有无数个点不在平面α内；（2）也可能异面；（3）也可能直线在平面内；（4）∵1∥a ，∴l 与α没有公共点，∴l 与α内任意一条直线都没有公共点.答案：（1）×（2）×（3）×（4）√【点睛】本题考查线面平行的定义与性质．掌握线面平行的定义是解题基础．9.已知直线,a b ，平面,αβ，且a α⊂，b β⊂，//αβ．判断直线,a b 的位置关系，并说明理由．【答案】它们是平行直线或异面直线；答案见解析．【解析】【分析】利用反证法，根据两条直线交点的个数，可判断其位置关系；【详解】直线,a b 的位置关系是平行直线或异面直线；理由如下：由//αβ，直线,a b 分别在平面α，β内，可知直线,a b 没有公共点．因为若,a b 有公共点，那么这个点也是平面α，β的公共点，这与是平面α，β平行矛盾．因此直线,a b 不相交，它们是平行直线或异面直线．习题8.4复习巩固10.画出满足下列条件的图形：（1）,,,a b a b A c A ααα⊂⊂⋂=⋂=；（2）,,,//,//l AB CD AB l CD lαβαβ⋂=⊂⊂【答案】见解析【解析】【分析】由题意直接画图即可.【详解】如图【点睛】本题主要考查的是空间图形的画法，直线和平面的位置关系，基本知识的考查，是基础题.11.经过同一条直线上的3个点的平面A.有且只有一个B.有且只有3个C.有无数多个D.不存在【答案】C【解析】【分析】根据平面的性质，直接判定即可得出结果.【详解】经过一条直线可以作无数多个平面.故选：C.【点睛】本题主要考查由线确定平面的数量，熟记基础题型.12.若直线a 不平行于平面α且a α⊄，则下列结论成立的是A.平面α内的所有直线与a 异面B.平面α内不存在与a 平行的直线C.平面α内存在唯一的直线与a 平行D.平面α内的直线与a 都相交【答案】B【解析】【分析】由题意知直线a 与平面α相交，依次判断选项即可.【详解】解:由条件知直线a 与平面α相交，则平面α内的直线与a 可能相交，也可能异面.不可能平行故选:B.【点睛】本题考查判断直线与平面相交，属于基础题.13.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”（1）两两相交且不共点的三条直线确定一个平面.（）（2）四边形可以确定一个平面.（）（3）若a ，b 是两条直线，,αβ是两个平面，且,a b αβ⊂⊂，则a ，b 是异面直线.（）【答案】①.√②.×③.×【解析】【分析】根据空间中的平面公理与推理，以及异面直线的定义，对命题进行判断即可.【详解】对于(1)，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面,如三角形所在的三边确定一个平面，(1)正确；对于(2)，当四边形是空间四边形时不能确定一个平面，(2)错误；对于(3)，若a ，b 是两条直线，,αβ是两个平面，且,a b αβ⊂⊂，则a ，b 是平行、相交、异面直线，(3)错误.【点睛】本题主要考查的是平面公理与推论的应用问题以及异面直线的判定，是基础题.14.填空题（1）如果a 、b 是异面直线，直线c 与a 、b 都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有_______个；（2）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是________；（3）已知两条相交直线a 、b ，且//a 平面α，则b 与α的位置关系是__________．【答案】①.2②.直线平行于平面或直线在平面内③.//b α或b 与α相交【分析】（1）根据两相交直线可确定一个平面可得解；（2）利用图形可判断直线与平面的位置关系；（3）利用图形可判断b 与α的位置关系.【详解】（1）因为a 、b 是异面直线，直线c 与a 、b 都相交，则c 与a 、c 与b 可分别确定一个平面，故这三条直线中的两条所确定的平面共有2个；（2）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线在这个平面内或这条直线与平面平行，如下图所示：已知//αβ，//a α，则//a β（如图1），a β⊂（如图2）.（3）已知两条相交直线a 、b ，且//a 平面α，如下图所示：如图3所示，可知//b α，如图4所示，b 与α相交.故答案为：（1）2；（2）直线与平面平行或直线在平面内；（3）//b α或b 与α相交.15.正方体各面所在平面将空间分成几部分？【答案】27个部分【分析】根据题意画出图形即可得出答案.【详解】如图，图中画出了正方体最上层把空间分成9个部分，同理中层、下层也分别把空间分成9个部分，因此共将空间分成27个部分.【点睛】本题主要考查的是平面基本性质，正确理解确定平面的几个公理及由题意画出图形且有较强的空间想象能力是解题的关键，是中档题.综合运用16.如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面吗？请说说你的理由.【答案】共面，理由见解析【解析】【分析】先说明两条平行直线确定一个平面，再证第三条直线在这个平面内即可.【详解】共面.两条平行直线确定唯一的平面，又第三条直线与两条平行直线都相交，第三条直线有两个点在此平面内，则第三条直线也在这个平面内，所以这三条直线共面.【点睛】本题主要考查的线共面的判定，以及学生对平面基本性质的理解和应用，是基础题.17.如图，三条直线两两平行且不共面，每两条直线确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？【答案】三条直线两两平行且不共面，一共可以确定三个平面；如果三条直线相交于一点，则最多可以确定三个平面.【解析】【分析】这三条直线象三棱柱的三条侧棱根据平面的基本性质可以确定3个平面，得到结果；满足相交于一点的三条直线能够确定一个平面或三个平面，从而得出其最多可以确定几个平面.【详解】①三条直线两两平行，这三条直线象三棱柱的三条侧棱，其中每两条直线可以确定一个平面,则可以确定3个平面；②三条直线两两相交每两条确定一个平面，当这三条直线在同一个平面时则可以确定1个平面；当这三条直线不在同一个平面时，则可以确定3个平面；这三条直线能够确定一个平面或三个平面,最多可以确定3个平面.【点睛】本题考查查平面的基本性质及其应用，考查进行简单的合情推理，本题是一个推论应用问题，是一个基础题.18.已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.【答案】证明见解析【解析】【分析】推导出P，Q，R都在平面ABC与平面α的交线上，即可证明.【详解】证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P，Q，R三点共线.法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线.拓广探索19.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在AB，CD，EF，GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？【答案】直线EF和直线HG，直线AB和直线HG，直线AB和直线CD.【解析】【分析】首先将正方体的展开图还原成正方体，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线，进行判断.【详解】还原正方体如图，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不进过该点的直线是异面直线可得，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线为：直线EF和直线HG，直线AB和直线HG，直线AB和直线CD.【点睛】本题考查的是异面直线的判定，将正方体的展开图还原成正方体，再利用异面直线的判定定理判断是解题的关键，是基础题.20.在本节，我们学习了平面，了解了它的基本特征以及一些利用点、直线、平面等组成立体图形的基本元素刻画这些特征的方法，类似地，直线有什么基本特征？如何刻画直线的这些基本特征？【答案】答案见解析.【解析】【分析】写出直线的特点：直的，无限延伸，无粗细，不可以测量长度，再指出直线的对称性即可.【详解】直线的基本特征：直线是直的，没有粗细，没有端点，可以向两端无线延展、不可以测量长度；刻画直线的基本特征：直线是轴对称图形，它有无数条对称轴，直线本身以及与它垂直的直线都是它的对称轴.变式练习题21.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，点G，H分别在边CD，DA上，且满足12CG GD，DH＝2HA.求证：四边形EFGH为梯形．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用条件证明,EF HG互相平行，且不相等即可证得四边形为梯形.【详解】证明：因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF12AC = .又21DHHA=，21DGGC=，所以DH DGHA GC=，从而HG23AC=，所以EF∥HG且EF≠HG，故四边形EFGH为梯形．22.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，M，N分别为AD，AB，C1D1，B1C1的中点．求证：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据平行四边形的性质及等角定理，即可得到答案；【详解】证明：如图，取A1B1的中点K，连接BK，KM.易知四边形MKBC为平行四边形，所以CM∥BK.因为A1K∥BQ且A1K＝BQ，所以四边形A1KBQ为平行四边形，从而A 1Q ∥BK .由基本事实4有A 1Q ∥CM .同理可证A 1P ∥CN .因为∠PA 1Q 与∠MCN 对应边分别平行，且方向相反，所以∠PA 1Q ＝∠MCN .23.如图，P 是△ABC 所在平面外一点，D ，E 分别是△PAB 和△PBC 的重心．求证：D ，E ，A ，C 四点共面且DE ＝13AC .【答案】证明见解析【解析】【分析】如图，连接PD ，PE 并延长，分别交AB ，BC 于点M ，N ，连接MN ，证明DE ∥MN 且DE ＝23MN ，原题即得证.【详解】证明：如图，连接PD ，PE 并延长，分别交AB ，BC 于点M ，N ，因为D ，E 分别是△PAB ，△PBC 的重心，所以M ，N 分别是AB ，BC 的中点，连接MN ，则MN ∥AC 且MN ＝12AC .在△PMN 中，因为23PD PE PM PN ==，所以DE ∥MN 且DE ＝23MN .所以DE ∥AC 且DE ＝23×12AC ＝13AC .则D ，E ，A ，C 四点共面．24.如图，在四面体ABCD 中，E ，G 分别为BC ，AB 的中点，点F 在CD 上，点H 在AD 上，且有DF ∶FC ＝1∶3，DH ∶HA ＝1∶3.求证：EF ，GH ，BD 交于一点．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用基本事实4和基本事实2可证三线共点.【详解】证明连接GE ，HF .因为E ，G 分别为BC ，AB 中点，所以1//2GE AC .因为DF ∶FC ＝1∶3，DH ∶HA ＝1∶3，所以1//3HF AC .从而GE ∥HF 且GE HF ≠，故G ，E ，F ，H 四点共面且四边形EFHG 为梯形，因为EF 与GH 不能平行，设EF ∩GH ＝O ，则O ∈平面ABD ，O ∈平面BCD .而平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以EF ，GH ，BD 交于一点．25.在长方体1111ABCD A B C D -中，（1）直线1A B 与直线1D C 的位置关系是___________；（2）直线1A B 与直线1B C 的位置关系是_______________；（3）直线1D D 与直线1D C 的位置关系是______________；（4）直线AB 与直线1B C 的位置关系是______________.【答案】①.平行.②.异面.③.相交.④.异面.【解析】【分析】（1）根据题意得出四边形11A BCD 为平行四边形，即可得出结论；（2）根据异面直线的定义判断即可；（3）直线1D D 与直线1D C 相交于一点，则直线1D D 与直线1D C 的位置关系是相交；（4）根据异面直线的定义判断即可.【详解】（1）在长方体1111ABCD A B C D -中，11//A D BC ，四边形11A BCD 为平行四边形.11//A B D C ∴.（2）直线1A B 与直线1B C 不同在任何一个平面内，所以直线1A B 与直线1B C 的位置关系是异面.（3）直线1D D 与直线1D C 相交于点1D ，所以直线1D D 与直线1D C 的位置关系是相交.（4）直线AB 直线1B C 不同在任何一个平面内，所以直线AB 与直线1B C 的位置关系是异面.故答案为：(1)平行；(2)异面；(3)相交；(4)异面【点睛】本题主要考查了判断直线与直线的位置关系，属于基础题.26.如图所示，G 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 延长线上的一点，E ，F 是棱AB ，BC 的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．（1）过点G 及AC .（2）过三点E ，F ，1D .【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）连接GA 交11A D 于点M ，连接GC 交11C D 于点N ；连接MN ，AC ，由图可得交线；（2）根据公理，连接EF 分别交DC 、DA 的延长线于点P ，Q ，连接1D P 交1CC 于点M ，连接1D Q 交1AA 于点N ；连接MF ，NE 由图可得交线.【小问1详解】连接GA 交11A D 于点M ，连接GC 交11C D 于点N ；连接MN ，AC ，则MA ，CN ，MN ，AC 为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．【小问2详解】连接EF 交DC 的延长线于点P ，交DA 的延长线于点Q ；连接1D P 交1CC 于点M ，连接1D Q 交1AA 于点N ；连接MF ，NE ，则1D M ，MF ，FE ，EN ，1ND 为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．。

2019大一轮高考总复习文数课时作业提升41 空间点、直

课时作业提升(四十一)空间点、直线、平面的位置关系A组夯实基础1．下列命题正确的个数为()①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0B．1C．2D．3解析：选C①④错误，②③正确．2．(2018·郑州联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面解析：选D依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．3．过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选D连接AC1，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条．4．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则()A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M既不在AC上，也不在BD上解析：选A由于EF∩HG＝M，且EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，所以点M为平面ABC与平面ACD的一个公共点，而这两个平面的交线为AC，所以点M一定在直线AC上，故选A ．5．(2018·河北师大附中月考)三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1与AC 、AB 所成的角均为60°，∠BAC ＝90°，且AB ＝AC ＝AA 1，则A 1B 与AC 1所成角的正弦值为( )A ．1B ．13C ．33D ．63解析：选D 如图所示，把三棱柱补形为四棱柱ABDC -A 1B 1D 1C 1，连接BD 1，A 1D 1，则BD 1∥AC 1，则∠A 1BD 1就是异面直线A 1B 与AC 1所成的角，设A 1B ＝a ，在△A 1BD 1中，A 1B ＝a ，BD 1＝3a ，A 1D 1＝2a ，∴sin ∠A 1BD 1＝63.6．如图，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中既与AB 共面又与CC 1共面的棱有________条．解析：依题意，与AB 和CC 1都相交的棱有BC ；与AB 相交且与CC 1平行有棱AA 1，BB 1；与AB 平行且与CC 1相交的棱有CD ，C 1D 1.故符合条件的有5条．答案：57．(2018·佛山模拟)如图所示，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________．解析：取A 1C 1 的中点E ，连接B 1E ，ED ，AE ，在Rt △AB 1E 中，∠AB 1E 即为所求，设AB ＝1，则A 1A ＝2，AB 1＝3，B 1E ＝32，AE ＝32，故∠AB 1E ＝60°. 答案：60°8．设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交； ④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a ⊥b ，b ⊥c 时，a 与c 可以相交、平行或异面，故②错；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故③错；a ⊂α，b ⊂β，并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①9．如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行； ②BD 与MN 为异面直线； ③GH 与MN 成60°角； ④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE ⊥MN .答案：②③④10．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，求异面直线AC1与BC所成角的正切值．解：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，则因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.11．如图所示，三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC＝60°，P A＝AB＝AC＝2，E 是PC的中点．(1)求证AE 与PB 是异面直线；(2)求异面直线AE 与PB 所成角的余弦值． (1)证明：假设AE 与PB 共面，设平面为α， ∵A ∈α，B ∈α，E ∈α，∴平面α即为平面ABE ，∴P ∈平面ABE ，这与P ∉平面ABE 矛盾，所以AE 与PB 是异面直线．(2)解：取BC 的中点F ，连接EF ，AF ，则EF ∥PB ，所以∠AEF (或其补角)就是异面直线AE 与PB 所成的角．∵∠BAC ＝60°，P A ＝AB ＝AC ＝2，P A ⊥平面ABC ， ∴AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2，cos ∠AEF ＝AE 2＋EF 2－AF 22·AE ·EF ＝2＋2－32×2×2＝14，故异面直线AE 与PB 所成角的余弦值为14.B 组能力提升1．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为 a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是( )A ．(0, 2)B ．(0, 3)C ．(1, 2)D ．(1, 3)解析：选A 如图所示，AB ＝2，CD ＝a ，设点E 为AB 的中点，则ED ⊥AB ，EC ⊥AB ，则ED ＝AD 2－AE 2＝22，同理EC ＝22.由构成三角形的条件知0<a <ED ＋EC ＝2，所以0<a < 2.2．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的A B ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面直线的有________对．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB ，CD ，EF 和GH 在原正方体中，显然AB 与CD ，EF 与GH ，AB 与GH 都是异面直线，而AB 与EF 相交，CD 与GH 相交，CD 与EF 平行．故互为异面直线的有3对．答案：33．如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P -ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P -ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.。

人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》(内含答案解析)

人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》（内含答案解析）一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条也可能是．故选B.【答案】B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】C3．下列命题中不正确的是()A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】A4．如图2221，四棱锥P ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面P AD，则()图2221A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能【解析】∵MN∥平面P AD，MN⊂平面P AC，平面P AD∩平面P AC＝P A，∴MN∥P A.【答案】B5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】D二、填空题6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．图229【解析】①设MP中点为O，连接NO.易得AB∥NO，又AB⊄平面MNP，所以AB∥平面MNP.②若下底面中心为O，易知NO∥AB，NO⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．③易知AB∥MP，所以AB∥平面MNP.④易知存在一直线MC∥AB，且MC⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．【答案】①③7．在如图2210所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形，则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？______(填“是”或“否”)．图2210【解析】因为侧面AA1B1B是平行四边形，所以AB∥A1B1，因为AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1，同理可证：BC∥平面A1B1C1.又因为AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以平面ABC∥平面A1B1C1.【答案】是三、解答题8．如图2123，长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.图2123【证明】(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM═∥A1B1，∵A1B1═∥C1D1，∴EM═∥C1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MB═∥C1F，∴BF═∥C1M.∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BM∥EA1，又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠D1EA1.9．如图2124，正方体ABCDEFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．图2124【解】(1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD═∥EA，EA═∥FB，所以HD═∥FB，所以四边形HFBD为平行四边形，所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA、AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又依题意知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角是30°.10．如图2125是正方体的平面展开图，在这个正方体中，图2125①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是()A．①②③B．②④C．③④ D．②③④【解析】由题意画出正方体的图形如图：显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC＝60°，正确；④正确．【答案】C11．在四面体ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．若BD、AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1.求EF的长度．【解】如图，取BC中点O，连接OE、OF，∵OE∥AC，OF∥BD，∴OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC、BD所成的角为60°.∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝21.当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×43＝23.。

高中数学人教A版2019必修第二册空间点直线平面之间的位置关系同步练习(解析版)

8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固1.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条()A.相交B.异面C.相交或异面D.平行2.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行3.下列命题中正确的个数是()①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.34.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条5.已知直线l和平面α,无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l()A.相交B.平行C.垂直D.异面6.若a,b是两条异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是.7.如图的直观图,用符号语言表述为(1),(2).8.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问(1)AM和CN是否是异面直线?(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.能力提升9.若平面α∥β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条直线与a平行C.存在无数条直线与a平行D.存在唯一一条与a平行的直线10.已知下列说法:①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.其中正确的序号是.(将你认为正确的序号都填上)11.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系并证明你的结论.素养达成12.如图所示,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,C∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC 与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论.8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固答案1.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条()A.相交B.异面C.相交或异面D.平行【答案】C【解析】一条直线与两条平行线中的一条异面,则它与另一条可能相交,也可能异面.故选C.2.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行【答案】C【解析】如图,a′与b异面,但a′∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;若a∥c,b∥c,则a∥b,与a,b异面矛盾,故D错.3.下列命题中正确的个数是()①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】对于①,当直线l与α相交时,直线l上有无数个点不在平面α内,故①不正确;对于②,直线l与平面α平行时,l与平面α内的直线平行或异面,故②不正确:对于③,当两条平行直线中的一条与一个平面平行时,另一条与这个平面可能平行,也有可能在这个平面内,故③不正确;对于④,由线面平行的定义可知④正确.4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条【答案】D【解析】由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,则它们都与平面D1EF平行,故选D.5.已知直线l和平面α,无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l()A.相交B.平行C.垂直D.异面【答案】C【解析】当直线l与平面α平行时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直;当直线l⊂平面α时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直;当直线l与平面α相交时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直,所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l垂直.故选C.6.若a,b是两条异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是.【答案】b与α平行或相交或b在α内【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设平面ABCD为α,A1B1为a,则a∥α,当分别取EF,BC1,BC为b 时,均满足a与b异面,于是b∥α,b∩α=B,b⊂α(其中E,F为棱的中点).7.如图的直观图,用符号语言表述为(1),(2).【答案】(1)a∩b=P,a∥平面M,b∩平面M=A;(2)平面M∩平面N=l,a∩平面N=A,a∥平面M【解析】(1)a∩b=P,a∥平面M,b∩平面M=A(2)平面M∩平面N=l,a∩平面N=A,a∥平面M8.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问(1)AM和CN是否是异面直线?(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.【答案】(1) 不是异面直线;(2)是异面直线,证明见解析.【解析】由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点,可证明MN∥AC,因此AM与CN不是异面直线.由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大,判断的方法可用反证法.(1)不是异面直线.理由:因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1.又因为A1A C1C,所以A1ACC1为平行四边形.所以A1C1∥AC,得到MN∥AC,所以A,M,N,C在同一个平面内, 故AM和CN不是异面直线.(2)是异面直线,证明如下:假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1D内,则B∈平面CC1D1D,C∈平面CC1D1D.所以BC⊂平面CC1D1D,这与ABCD A1B1C1D1是正方体相矛盾.所以假设不成立,故D1B与CC1是异面直线.能力提升9.若平面α∥β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条直线与a平行C.存在无数条直线与a平行D.存在唯一一条与a平行的直线【答案】D【解析】因为α∥β,B∈β,所以B∉α.因为a⊂α,所以B,a可确定平面γ且γ∩α=a,设γ与β交过点B的直线为b,则a∥b.因为a,B在同一平面γ内.所以b唯一,即存在唯一一条与a平行的直线.10.已知下列说法:①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.其中正确的序号是.(将你认为正确的序号都填上)【答案】③④【解析】①错.a与b也可能异面.②错.a与b也可能平行.③对.因为α∥β,所以α与β无公共点.又因为a⊂α,b⊂β,所以a与b无公共点.④对.由③知a与b无公共点,那么a∥b或a与b异面.⑤错.a与β也可能平行.11.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系并证明你的结论.【答案】a,b无公共点, a∥β,证明见解析.【解析】a∥b,a∥β,理由:由α∩γ=a知a⊂α且a⊂γ,由β∩γ=b知b⊂β且b⊂γ,因为α∥β,a⊂α,b⊂β,所以a,b无公共点.又因为a⊂γ,且b⊂γ,所以a∥b.因为α∥β,所以α与β无公共点,又a⊂α,所以a与β无公共点,所以a∥β.素养达成12.如图所示,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,C∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC 与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论.【答案】平面ABC与β的交线与l相交,证明见解析.【解析】平面ABC与β的交线与l相交.证明:因为AB与l不平行,且AB⊂α,l⊂α,所以AB与l一定相交,设AB∩l=P,则P∈AB,P∈l.又因为AB⊂平面ABC,l⊂β,所以P∈平面ABC,P∈β.所以点P是平面ABC与β的一个公共点,而点C也是平面ABC与β的一个公共点,且P,C是不同的两点,所以直线PC就是平面ABC与β的交线.即平面ABC∩β=PC,而PC∩l=P,所以平面ABC与β的交线与l相交.。

2021高考数学一轮复习课时作业41空间点、直线、平面之间的位置关系理

课时作业41 空间点、直线、平面之间的位置关系[基础达标]一、选择题1．[2020·江西七校联考]已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a 在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( ) A．相交或平行 B．相交或异面C．平行或异面 D．相交、平行或异面解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．答案：D2．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α解析：b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．答案：D3.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：连接A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A ，M ，O 三点共线．答案：A4．[2020·河北张家口模拟]三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等边三角形，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AB ，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.110B.35 C.710 D.45解析：取BC 的中点O ，连接NO ，AO ，MN ，因为B 1C 1綊BC ，OB ＝12BC ，所以OB ∥B 1C 1，OB ＝12B 1C 1，因为M ，N 分别为A 1B 1，A 1C 1的中点，所以MN ∥B 1C 1，MN ＝12B 1C 1，所以MN 綊OB ，所以四边形MNOB 是平行四边形，所以NO ∥MB ，所以∠ANO 或其补角即为BM 与AN 所成角，不妨设AB ＝2，则有AO ＝3，ON ＝BM ＝5，AN ＝5，在△ANO 中，由余弦定理可得cos∠ANO ＝AN 2＋ON 2－AO 22AN ·ON＝5＋5－32×5×5＝710.故选C. 答案：C5．[2020·陕西省高三质检]已知P 是△ABC 所在平面外的一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．若MN ＝BC ＝4，PA ＝43，则异面直线PA 与MN 所成角的大小是( )A ．30° B．45° C ．60° D．90° 解析：本题考查异面直线所成角，取AC 中点为O ，连接OM ，ON ，则易证OM 綊12BC ，ON 綊12PA ，所以∠ONM 就是异面直线PA 与MN 所成的角．由MN ＝BC ＝4，PA ＝43，得OM ＝12BC ＝2，ON＝12AP ＝23，则cos∠ONM ＝ON 2＋MN 2－OM 22×ON ×MN ＝32，所以∠ONM ＝30°，即异面直线PA 与MN 所成角的大小是30°，故选A.答案：A 二、填空题6．设P 表示一个点，a ，b 表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．①P ∈a ，P ∈α⇒a ⊂α； ②a ∩b ＝P ，b ⊂β⇒a ⊂β；③a ∥b ，a ⊂α，P ∈b ，P ∈α⇒b ⊂α； ④α∩β＝b ，P ∈α，P ∈β⇒P ∈b . 解析：当a ∩α＝P 时，P ∈a ，P ∈α，但a ⊄α，∴①错；a ∩β＝P 时，②错；如图∵a ∥b ，P ∈b ，∴P ∉a ，∴由直线a 与点P 确定唯一平面α，又a ∥b ，由a 与b 确定唯一平面γ，但γ经过直线a 与点P ，∴γ与α重合，∴b ⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．答案：③④7．如图所示，G ，H ，M ，N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析：图(1)中，直线GH ∥MN ；图(2)中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图(3)中，连接MG ，HN ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图(4)中，G ，M ，N 共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以图(2)，(4)中GH与MN异面．答案：(2)(4)8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C 与EF所成的角的大小为________．解析：如图，连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C(或其补角)即为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.答案：60°三、解答题9.如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线．证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β.又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，因为若两个平面有公共点，那么它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．10．[2020·福建四地六校联考]已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，求异面直线AB与MN所成角的大小．解析：如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD . ∴∠MPN 或其补角为AB 与CD 所成的角，则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°， ∵PM ∥AB ，∴∠PMN 或其补角是AB 与MN 所成的角， ∵AB ＝CD ，∴PM ＝PN ，若∠PMN ＝60°，则△PMN 是等边三角形，∴∠PMN ＝60°， ∴AB 与MN 所成的角为60°. 若∠MPN ＝120°，则∠PMN ＝30°，∴AB 与MN 所成的角为30°，综上，异面直线AB 与MN 所成的角为30°或60°. 答案：30°或60°[能力挑战]11．[2020·四川成都一诊]在各棱长均相等的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知M 是棱BB 1的中点，N 是棱AC 的中点，则异面直线A 1M 与BN 所成角的正切值为( )A. 3 B ．1 C.63 D.22解析：通解取AA 1的中点P ，连接PN ，PB ，则由直三棱柱的性质可知A 1M ∥PB ，则∠PBN 为异面直线A 1M 与BN 所成的角(或其补角)．设三棱柱的棱长为2，则PN ＝2，PB ＝5，BN ＝3，所以PN 2＋BN 2＝PB 2，所以∠PNB ＝90°，在Rt△PBN 中，tan∠PBN ＝PNBN＝23＝63，故选C.优解以N 为坐标原点，NB ，NC 所在的直线分别为x 轴，y 轴，过点N 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝2，则N (0,0,0)，A 1(0，－1,2)，B (3，0,0)，M (3，0,1)，所以NB →＝(3，0,0)，A 1M →＝(3，1，－1)．设直线A 1M 与BN 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈NB →，A 1M →〉|＝|NB →·A 1M →||NB →|·|A 1M →|＝33×5＝155，则sin θ＝105，tanθ＝63，故选C. 答案：C12．[2020·安徽联合检测]若在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠A 1AC ＝∠BAC ＝60°，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，AA 1＝AC ＝AB ，则异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值为( )A.22 B.24 C.32 D.34解析：解法一如图，在平面ABC ，平面A 1B 1C 1中分别取点D ，D 1，连接BD ，CD ，B 1D 1，C 1D 1，使得四边形ABDC ，A 1B 1D 1C 1为平行四边形，连接DD 1，BD 1，则AB ＝C 1D 1且AB ∥C 1D 1，所以AC 1∥BD 1，故∠A 1BD 1即异面直线AC 1与A 1B 所成的角．连接A 1D 1，过点A 1作A 1M ⊥AC 于点M ，连接BM ，设AA 1＝2，由∠A 1AM ＝∠BAC ＝60°，得AM ＝1，BM ＝3，A 1M ＝3，因为平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1M ⊂平面A 1ACC 1，所以A 1M ⊥平面ABC ，所以A 1M ⊥BM ，所以A 1B ＝6，在菱形A 1ACC 1中，易求得AC 1＝23＝BD 1，在菱形A 1B 1D 1C 1中，易求得A 1D 1＝23，所以cos∠A 1BD 1＝A 1B 2＋BD 21－A 1D 212A 1B ·BD 1＝6＋12－1226×23＝24，所以异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值为24.解法二令M 为AC 的中点，连接MB ，MA 1，易得MA ，MB ，MA 1两两垂直．以M 为原点，MA →，MB →，MA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AA 1＝AC ＝AB ＝2，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，A 1(0,0，3)，C 1(－2,0，3)，所以AC 1→＝(－3,0，3)，A 1B →＝(0，3，－3)，所以cos 〈AC 1→，A 1B →〉＝－323×6＝－24，故异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值为24. 答案：B13．[2020·广东广州质检]如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点．在这个正四面体中：①GH 与EF 平行； ②BD 与MN 为异面直线； ③GH 与MN 成60°角； ④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：把正四面体的平面展开图还原，如图所示，由正四面体的性质易知GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE ⊥MN .答案：②③④。

高中数学(人教A版)必修第二册课后习题：空间点、直线、平面之间的位置关系【含答案及解析】

第八章立体几何初步8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系课后篇巩固提升必备知识基础练1.如图所示,用符号语言可表示为()A.α∩β=lB.α∥β,l∈αC.l∥β,l⊄αD.α∥β,l⊂α2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C、平面ABC1D1、平面ADC1B1、平面BB1D1D、平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个,结合图形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D.3.(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则以下四个结论正确的是()A.直线AM与CC1是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线AM与DD1是异面直线AM与CC1不同在任何一个平面内,直线AM与BN不同在任何一个平面内,故A,B错误;直线BN与MB1不同在任何一个平面内,直线AM与DD1不同在任何一个平面内,故C,D正确.4.如果空间的三个平面两两相交,那么()A.不可能只有两条交线B.必相交于一点C.必相交于一条直线D.必相交于三条平行线,可能相交于一点,也可能相交于一条直线,还可能相交于三条平行线,故选A.5.若两个平面内分别有一条直线,且这两条直线是异面直线,则这两个平面的公共点()A.有有限个B.有无数个C.不存在D.不存在或有无数个,直线AB与直线CC1异面,平面ABCD与平面CDD1C1相交,有无数个公共点;平面ABB1A1与平面CDD1C1平行,没有公共点.6.以下说法正确的是()A.若直线a不平行于平面α,则直线a与平面α相交B.直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b一定相交C.若直线a和b都和平面α平行,则a和b也平行D.若点M∈l,点N∈l,N∉α,M∈α,则直线l与平面α相交a不平行于平面α,则直线a与平面α相交,或a⊂α,故A错误;若直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b相交或异面,故B错误;若直线a和b都和平面α平行,则a和b可能平行,可能相交,也可能异面,故C错误;若点M,N∈l,N∉α,M∈α,则直线l和平面α相交,故D正确.故选D.7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有条.,知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有CD,A1B1,AD,B1C1,AA1,CC1共6条.8.已知直线a,平面α,β,且a∥α,a∥β,则平面α与β的位置关系是.a∥α,a∥β,所以平面α与β相交(如图①)或平行(如图②).9.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有条.,与平面ABB1A1平行的直线有6条:D1E1,E1E,ED,DD1,D1E,DE1.10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何?B1∈平面A1B1C1D1,D1∈平面A1B1C1D1,∴B1D1⊂平面A1B1C1D1.∵B1∈平面BB1C1C,D1∉平面BB1C1C,∴直线B1D1∩平面BB1C1C=B1.同理直线B1D1与平面AA1B1B、平面AA1D1D、平面CC1D1D都相交.在平行四边形B1BDD1中,B1D1∥BD,B1D1与BD无公共点,∴B1D1与平面ABCD无公共点,∴B1D1∥平面ABCD.关键能力提升练11.若a,b是异面直线,且a∥平面α,那么b与平面α的位置关系是()A.b∥αB.b与α相交C.b⊂αD.以上三种情况都有可能a,b是异面直线,且a∥平面α,则根据空间中线面的位置关系可得,b∥a,或b⊂α,或b与α相交.12.(多选题)以下结论中,正确的是()A.过平面α外一点P,有且仅有一条直线与α平行B.过平面α外一点P,有且仅有一个平面与α平行C.过直线l外一点P,有且仅有一条直线与l平行D.过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l平行①所示,过点P有无数条直线都与α平行,这无数条直线都在平面β内,过点P有且只有一个平面与α平行,故A错,B正确;如图②所示,过点P只有一条直线与l平行,但有无数个平面与l平行,故C正确,D错.13.(多选题)下列说法中正确的是()A.若直线a不在平面α内,则a∥αB.若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥αC.若l∥α,则直线l与平面α内任何一条直线都没有公共点D.平行于同一平面的两直线可以相交中,直线a也可能与平面α相交,故A错误;B中,直线l与平面α相交时,l上也有无数个点不在平面α内,故B错误;C中,当l∥α时,l与α没有公共点,所以l与α内任何一条直线都没有公共点,故C正确;D中,平行于同一个平面的直线,可以平行也可以相交,也可以是异面直线,故D正确.14.一个正方体的平面展开图如图所示,A,B,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中()A.AB∥CDB.AB与CD相交C.AB⊥CDD.AB与CD异面,则在原来的正方体中,由异面直线的定义可知AB与CD异面.故选D.15.下列命题正确的有.(填序号)①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;②若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线;③若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;④若直线a⊂平面α,平面α∩平面β=b,a∥b,则a∥β.显然是正确的;②中,直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面,所以②是错误的;③中,直线l与平面α没有公共点,所以直线l与平面α内的直线没有公共点,即它们平行或异面,所以③是正确的;因为a∥b,所以a与b无公共点.又因为a⊂α,且α与β的公共点都在直线b上,所以a 与β无公共点,故a与β平行,故④是正确的.16.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系,并证明你的结论.∥b,a∥β.证明如下.由α∩γ=a知a⊂α,且a⊂γ,由β∩γ=b知b⊂β,且b⊂γ.∵α∥β,a⊂α,b⊂β,∴a,b无公共点.又∵a⊂γ,且b⊂γ,∴a∥b.∵α∥β,∴α与β无公共点.又a⊂α,∴a与β无公共点,∴a∥β.学科素养创新练17.若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是()A.平面α内的所有直线与a异面B.平面α内不存在与a平行的直线C.平面α内存在唯一的直线与a平行D.平面α内的直线与a都相交a与平面α相交,则平面α内的直线与a可能相交,也可能异面,不可能平行.故选B.18.(多选题)已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列说法中正确的是()A.若a∥b,b⊂α,则直线a平行于平面α内的无数条直线B.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线C.若α∥β,a⊂α,则a∥βD.若α∩β=b,a⊂α,则a,b一定相交中,a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,所以不管a在平面内还是平面外,结论都成立,故A正确;B中,直线a与b没有交点,所以a与b可能异面,也可能平行,故B错误;C中,直线a与平面β没有公共点,所以α∥β,故C正确;D中,直线a与平面β有可能平行,所以a,b可能相交,也可能平行,故D错误.。

(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：空间点、直线、平面之间的位置关系

■名师点拨 (1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行． (2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有 a⊂α，b⊂β，即 a，b 分别在两个不同的平面内，但是因为 a∩b＝O，所以 a 与 b 不是异面直线．
2．空间中直线与平面的位置关系
2．[变条件]在本例中，若将条件改为平面 α 内有无数条直线与平面 β 平行，那么平面 α 与平面 β 的关系是什么？解：如图，α 内都有无数条直线与平面 β 平行．
由图知，平面 α 与平面 β 可能平行或相交．
3．[变条件]在本例中，若将条件改为平面 α 内的任意一条直线与平面 β 平行，那么平面 α 与平面 β 的关系是什么？解：因为平面 α 内的任意一条直线与平面 β 平行，所以只有这两个平面平行才能做到，所以平面 α 与平面 β 平行．
平行．( × ) (10)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．( × )
异面直线是指( ) A．空间中两条不相交的直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线 C．平面内的一条直线与平面外的一条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线
解析：选 D.对于 A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面，所以 A 应排除．对于 B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是相交的情况，所以 B 应排除．对于 C，如图中的 a，b 可看作是平面 α 内的一条直线 a 与平面 α 外的一条直线 b，显然它们是相交直线，所以 C 应排除．只有 D 符合定义．
位置关系
直线 a 在平面 α 内
直线 a 在平面 α 外
直线 a 与平
直线 a 与

2020高考数学总复习第七章立体几何课时作业41空间点、直线、平面之间的位置关系文(含解析)新人教A版

课时作业41 空间点、直线、平面之间的位置关系1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( D )解析：A、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面．2．(2019·烟台质检)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( C ) A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c解析：若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c 相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．3．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( A )①若直线m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若直线m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知平面α，β互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④若直线m，n在平面α内的射影互相垂直，则m⊥n.A．②B．②③C．①③D．②④解析：对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，①错误；对于②，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故②正确；对于③，还有可能n∥β或n与β相交或n在β内，③错误；对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面α，则m与n在α内的射影分别为AB与BC，且AB⊥BC．而m与n所成的角为60°，故④错误．4．过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( D )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：如图，连接体对角线AC 1，显然AC 1与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，所成角的正切值都为 2. 联想正方体的其他体对角线，如连接BD 1，则BD 1与棱BC ，BA ，BB 1所成的角都相等， ∵BB 1∥AA 1，BC ∥AD ，∴体对角线BD 1与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，同理，体对角线A 1C ，DB 1也与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，过A 点分别作BD 1，A 1C ，DB 1的平行线都满足题意，故这样的直线l 可以作4条．5．如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱DD 1上运动，点N 在正方体的底面ABCD 内运动，则MN 的中点P 的轨迹的面积是( D )A ．4πB ．πC ．2πD ．π2解析：连接DN ，则△MDN 为直角三角形，在Rt △MDN 中，MN ＝2，P 为MN 的中点，连接DP ，则DP ＝1，所以点P 在以D 为球心，半径R ＝1的球面上，又因为点P 只能落在正方体上或其内部，所以点P 的轨迹的面积等于该球面面积的18，故所求面积S ＝18×4πR 2＝π2.6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是( D )A ．0＜θ＜π2B ．0＜θ≤π2C ．0≤θ≤π3D ．0＜θ≤π3解析：连接CD 1，CA ．∵A 1B ∥D 1C ，∴异面直线CP 与A 1B 所成的角即为CP 与D 1C 所成的角． ∵△AD 1C 是正三角形，∴当P 与A 重合时，所成角最大，为π3.又∵P 不能与D 1重合(此时D 1C 与A 1B 平行，不是异面直线)，∴θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3，故选D ．7．如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是( A )A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 共面解析：连接A 1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ，所以A 1，C 1，C ，A 四点共面，所以A 1C ⊂平面ACC 1A 1，因为M ∈A 1C ，所以M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1，所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，所以A ，M ，O 三点共线．8．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( C )A ．110B ．25C ．3010D ．22解析：取BC 的中点Q ，连接QN ，AQ ，易知BM ∥QN ，则∠ANQ 或其补角的余弦值即为所求，设BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AQ ＝5，AN ＝5，QN ＝6，∴cos ∠ANQ ＝AN 2＋NQ 2－AQ 22AN ·NQ ＝5＋6－525×6＝6230＝3010.9．(2019·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是②③④.解析：还原成正四面体A-DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合．如图所示．易知GH与EF异面，BD与MN异面．又△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正确的序号是②③④.10．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，如图．因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以AD ∥BC ，所以直线AC 1与AD 所成的角即为异面直线AC 1与BC 所成的角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，所以C 1D ⊥圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD ．因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，所以C 1D ＝2AD ，所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2，所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为 2. 11．如图所示，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P -ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P -ABC 的体积为 V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433. (2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角)．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2， cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.12．如图，已知二面角α-MN -β的大小为60°，菱形ABCD 在平面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，DO ⊥平面α，垂足为O .(1)证明：AB ⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．解：(1)证明，∵DO ⊥α，AB ⊂α， ∴DO ⊥AB ．连接BD ，由题意知，△ABD 是正三角形．又E 是AB 的中点，∴DE ⊥AB ．而DO ∩DE ＝D ，∴AB ⊥平面ODE .(2)∵BC ∥AD ，∴BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角，即∠ADO 是异面直线BC 与OD 所成的角．由(1)知，AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥OE .又DE ⊥AB ，∴∠DEO 是二面角α-MN -β的平面角，即∠DEO ＝60°.不妨设AB ＝2，则AD ＝2，易知DE ＝ 3. 在Rt △DOE 中，DO ＝DE ·sin60°＝32.连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO ＝DO AD ＝322＝34.故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.13．正四棱锥P -ABCD 中，四条侧棱长均为2，底面ABCD 是正方形，E 为PC 的中点，若异面直线PA 与BE 所成的角为45°，则该四棱锥的体积是( D )A ．4B ．2 3C ．43D ．233解析：如图所示，连接AC ，BD ．设AC ∩BD ＝O ，连接PO ，OE ， ∵O ，E 分别是AC 和PC 的中点， ∴OE ∥PA ，OE ＝12PA ＝1，则∠BEO 或其补角即为异面直线PA 与BE 所成的角． ∵底面ABCD 是正方形，∴BO ⊥AC ，又PO ⊥OB ，PO ∩AC ＝O ， ∴BO ⊥平面PAC ，则BO ⊥OE ， ∴△BOE 是等腰直角三角形， ∴OB ＝OE ＝1，PO ＝PB 2－OB 2＝3，BC ＝2，则四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13×(2)2×3＝233，故选D ．14．如图是三棱锥D -ABC 的三视图，点O 在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO 和AB 所成角的余弦值等于( A )A ．33B ．12C ． 3D ．22解析：由三视图及题意得如图所示的直观图，从A 出发的三条线段AB ，AC ，AD 两两垂直且AB ＝AC ＝2，AD ＝1，O 是BC 的中点，取AC 中点E ，连接DE ，DO ，OE ，则OE ＝1，又可知AE ＝1，由于OE ∥AB ，故∠DOE 即为所求两异面直线所成的角或其补角．在直角三角形DAE中，DE ＝2，由于O 是BC 的中点，在直角三角形ABC 中可以求得AO ＝2，在直角三角形DAO 中可以求得DO ＝ 3.在三角形DOE 中，由余弦定理得cos ∠DOE ＝1＋3－22×1×3＝33，故所求异面直线DO 与AB 所成角的余弦值为33，故选A ． 15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下列四个命题中不正确的是③.(填序号)①BM 是定值；②点M 在某个球面上运动； ③存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ④存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE .解析：取DC 的中点F ，连接MF ，BF ，则MF ∥A 1D 且MF ＝12A 1D ，FB ∥ED 且FB ＝ED ，所以∠MFB ＝∠A 1DE .由余弦定理可得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB ·cos∠MFB 是定值，所以M 是在以B 为球心，MB 为半径的球面上，可得①②正确；由MF ∥A 1D 与FB ∥ED 可得平面MBF ∥平面A 1DE ，可得④正确；若存在某个位置，使DE ⊥A 1C ，则因为DE 2＋CE 2＝CD 2，即CE ⊥DE ，因为A 1C ∩CE ＝C ，则DE ⊥平面A 1CE ，所以DE ⊥A 1E ，与DA 1⊥A 1E 矛盾，故③不正确．16．(2019·新疆乌鲁木齐诊断)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝2，AB ＝AA 1＝2，E 是棱CC 1的中点．(1)求证：A 1B ⊥AE ；(2)求点A 1到平面ABE 的距离．解：(1)证明：如图，取A 1B 的中点F ，连接AF ，EF . ∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，∴CC 1⊥A 1C 1，CC 1⊥CB ，AC ＝A 1C 1. 又∵E 是CC 1的中点，AC ＝BC ， ∴A 1E ＝BE ，∴A 1B ⊥EF . 又∵AB ＝AA 1，∴A 1B ⊥AF .又AF ∩EF ＝F ，∴A 1B ⊥平面AEF .又AE ⊂平面AEF ， ∴A 1B ⊥AE .(2)V 三棱锥A 1-ABE ＝V 三棱锥B -A 1AE ＝13×12×2×2×2＝23，设A 1到平面ABE 的距离为h ，则13S △ABE ·h ＝23，由已知得AE ＝BE ＝3，∴S △ABE ＝12×2×2＝2，∴h ＝ 2.。

2025版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业四十一空间点直线平面的位置关系

课时作业(四十一) 空间点、直线、平面的位置关系一、单项选择题1．若l 1、l 2为异面直线，直线l 3∥l 1，则l 3与l 2的位置关系是( ) A ．相交B ．异面C ．平行D ．异面或相交2．[2024·山东郯城一中月考]若直线a ，b 是异面直线，且a ∥α，则直线b 与平面α的位置关系是( )A ．b ⊂αB ．b ∥αC ．b 与α相交D ．以上都有可能3．[2024·河南开封模拟]在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的全部面对角线中，所在直线与直线A 1B 互为异面直线且所成角为60°的面对角线的条数为( )A ．2B ．4C ．6D ．84．若∠AOB ＝∠A ′O ′B ′，OA ∥O ′A ′，且OA 与O ′A ′的方向相同，则OB 与O ′B ′( )A ．肯定平行且方向相同B ．肯定平行且方向相反C ．肯定不平行D ．不肯定平行5．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D ，BC 的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．无法确定6．如图，在下列四个正方体中，A ，B ，C ，D 分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A ，B ，C ，D 四点共面的是( )7.[2024·河南扶沟二中期末]如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，若AA 1＝AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1C ，AB 所成角的大小是( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π28．[2024·江西南昌期末]在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，假如直线EF 与GH 相交于点M ，那么( )A．点M肯定在直线AC上B．点M肯定在直线BD上C．点M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D.点M既不在直线AC上，也不在直线BD上9．(实力题)设a，b是异面直线，那么( )A．必定存在唯一的一个平面，同时平行于a，bB．必定存在唯一的一个平面，同时垂直于a，bC．过直线a存在唯一的一个平面平行于直线bD．过直线a存在唯一的一个平面垂直于直线b10.(实力题)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为线段BD上随意一点(包括端点)，则肯定有( )A．PC1与AA1异面B．PC1与AA1相交C．PC1与平面AB1D1平行D．PC1与平面AB1D1相交二、多项选择题11.如图，是正方体的平面绽开图，则在这个正方体中：以下四个命题中，正确的是( ) A．BM与ED平行B．CN与BM成60°角C．CN与BE是异面直线D．DM与BN是异面直线12.(实力题)[2024·山东潍坊一中模拟]如图所示，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，SD＝AB，则下列选项中两异面直线所成夹角大于45°的是( ) A．BC与SD B．AB与SCC．SB与AD D．AC与SB三、填空题13．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．则四边形EFGH是________．14．(实力题)[2024·河南商丘一中学期末]已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为正方形且AB ＝2，AA 1＝4，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值为________．四、解答题15．[2024·广东韶关期末]如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是AB ，AA 1的中点．(1)求直线B 1E 与直线C 1D 1所成角的正切值； (2)求三棱锥D B 1EF 的体积．优生选做题16．[2024·山东聊城模拟]已知某圆锥的侧面积等于底面的3倍，直线l 是底面所在平面内的一条直线，则该直线l 与母线所成的角的余弦值的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤223，1 17．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、AA 1的中点．求证：(1)CE 、D 1F 、DA 三线共点；(2)直线BC 和直线D 1F 是异面直线．课时作业（四十一）空间点、直线、平面的位置关系1．解析：∵l1、l2为异面直线，∴直线l1与l2所成角为锐角或直角，∵l3∥l1，∴直线l3与l2所成角为锐角或直角，由此可得：l3与l2不平行，即直线l3与l2的位置关系为相交或异面．答案：D2．解析：在长方体ABCDA1B1C1D1中，平面ABCD视为平面α，直线A1B1为直线a，点E，F分别为棱AA1，DD1的中点，如图，明显有a∥α，当直线b为直线AD时，直线a，b是异面直线，此时b⊂α；因EF∥AD，AD⊂平面α，EF⊄平面α，则EF∥α，当直线b为直线EF时，直线a，b 是异面直线，此时，b∥α；当直线b为直线CC1时，直线a，b是异面直线，此时，b与α相交，所以直线b与平面α可能平行，可能相交，也可能在平面内．故选D.答案：D3．解析：如图，易知△A1BC1为等边三角形，所以∠BA1C1＝60°，又AC∥A1C1，所以异面直线AC 与A1B的夹角为60°，符合题设．同理，面对角线B1C，B1D1，AD1也满意题意，所以满意条件的面对角线共4条．故选B.答案：B4．解析：如图，若∠AOB＝∠A′O′B′，OA∥O′A′，且OA与O′A′的方向相同，OB与O′B′不肯定平行．故选D.答案：D5．解析：如图所示：连接D1C，由题意得D1C∩C1D＝E，因为D1C∥A1B，所以D1，C，A1，B共面，所以直线D1C，A1B，EF共面，因为EF∩D1C＝E，所以直线A1B与直线EF的位置关系是相交，故选A.答案：A6．解析：由正方体性质，选项A，B，C中，A，B，C，D四点明显不共面．对于D选项，如图取E，F为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBF，易知ADCEBF为平面正六边形，所以A，B，C，D四点共面．故选D.答案：D7．解析：如图所示，连接B1C，∵A1B1∥AB，∴∠B1A1C即为异面直线A1C，AB所成角，∵AA1＝AC＝BC＝1，∴A1C＝2，B1C＝2，又AC⊥BC，∴AB＝A1B1＝2，在△B1A1C中，∵A1B1＝A1C＝B1C＝2，∴△B1A1C是正三角形，∴∠B 1A 1C ＝π3.故选C. 答案：C 8．解析：如图，空间四边形ABCD ，因为EF ⊂平面ABC ，GH ⊂平面ACD ，所以点M ∈平面ABC ，且M ∈平面ACD ，而平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，所以点M ∈直线AC .因为AC 与BD 为异面直线，所以M ∈/直线BD . 答案：A9．解析：A 选项，存在平面，同时平行于a ，b ，但不唯一，如图，a ，b 是异面直线，存在平面α，β同时平行于a ，b ，A 错误；B 选项，假设存在唯一的一个平面，同时垂直于a ，b ，则可推出a ∥b ，明显这与a ，b 是异面直线冲突，故B 错误；C 选项，首先证明这样的平面存在，如图，a ，b 为异面直线，过直线b 作一个平面β，交直线a 于点F ，过点F 作直线c 平行于b ，直线a ，c 确定平面α，所以平面α与直线b 平行，故这样的平面存在，接下来证明唯一性，假设过直线a 存在另一平面γ，平行于直线b ，则有α∩γ＝a ，由线面平行的性质可知，过直线b 的平面χ交γ于直线d ，则b ∥d ∥c ，且a 与d 相交，则a ，d 确定平面γ，由于c ∥d ，所以a ，c 确定的平面与a ，d 确定的平面为同一平面，即α与γ重合，证毕．C 正确．D 选项，假设过直线a 存在唯一的一个平面垂直于b ，则可推出a ⊥b ，由已知可知a ，b 是异面直线，但不肯定垂直，故这样的平面可能不存在，所以D 不肯定正确．故选C. 答案：C 10．解析：连接AC 、A 1C 1，因为AA 1∥CC 1且AA 1＝CC 1，所以，四边形AA 1C 1C 为平行四边形，当P 为AC 、BD 的交点时，PC 1与AA 1相交，当P 不为AC 、BD 的交点时，PC 1与AA 1异面，AB 选项都不肯定成立；连接BC 1、C 1D ，因为AB ∥C 1D 1且AB ＝C 1D 1，故四边形ABC 1D 1为平行四边形， ∴BC 1∥AD 1，∵BC 1⊄平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，∴BC 1∥平面AB 1D 1，同理可证C 1D ∥平面AB 1D 1，因为BC 1∩C 1D ＝C 1，BC 1、C 1D ⊂平面BC 1D ，∴平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，∵PC 1⊂平面BC 1D ，∴PC 1∥平面AB 1D 1，C 选项肯定满意，D 选项肯定不满意．故选C. 答案：C 11．解析：正方体的直观图如图所示：很明显，BM 与ED 不平行，A 错误；连接AN ，AC ，易知△ACN 是等边三角形，CN 与BM 的夹角即为∠ANC ＝60°，B 正确；很明显，CN ∥BE ，C 错误； DM 与BN 是异面直线，D 正确．故选BD. 答案：BD12．解析：对于A ，因为SD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以SD ⊥BC ，则BC 与SD 所成角的大小为90°，A 项符合．对于B ，因为底面ABCD 是正方形，所以AB ∥CD ，则AB 与SC 所成的角为∠SCD ＝45°，B 项不符合．对于C ，因为AD ∥BC ，所以SB 与AD 所成的角为∠SBC ，由题知tan∠SBC ＝SC BC＝2>1，所以∠SBC >45°，C 项符合．对于D ，因为SD ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以SD ⊥AC .因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD . 又因为SD ∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面SBD .因为SB ⊂平面SBD ，所以AC ⊥SB ，则AC 与SB 所成角的大小为90°，D 项符合．故选ACD.答案：ACD 13．解析：如图，依据中位线性质可知：EH ∥FG 且EH ＝FG ＝12BD ，所以四边形EFGH 是平行四边形．答案：平行四边形14．解析：取A 1B 1中点F ，连接AE 、EF 、AF ，则EF ∥B 1C 1，又BC ∥B 1C 1，则BC ∥EF ，则∠AEF 为异面直线AE 与BC 所成的角或其补角，又△AEF 中，EF ⊥AF ，EF ＝2，AF ＝17，则AE ＝21，则cos∠AEF ＝221＝22121则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值为22121.答案：2212115．解析：（1）在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，有AB ∥C 1D 1，所以∠B 1EB 即为直线B 1E 与直线C 1D 1所成角，在Rt△B 1EB 中，易知BE ＝1，BB 1＝2，所以tan∠B 1EB ＝BB 1BE＝2，所以直线B 1E 与直线C 1D 1所成角的正切值为2. （2）在正方形ABB 1A 1中，有＝－S △AEF －－＝32，又DA ⊥平面ABB 1A 1. 所以＝13××DA ＝1，即三棱锥D B 1EF 的体积为1. 16．解析：设底面圆的半径为r ，母线长为R ，因为圆锥的侧面积等于底面的3倍，所以12·2πr ·R ＝3πr 2，即R ＝3r ，因为直线与直线所成角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以当直线l 与底面圆相切时，直线l 与母线所成角最大为π2，则该直线l 与母线所成的角的余弦值的最小值为cos π2＝0；当直线l 过底面圆的圆心时，由线面角的定义可知，此时直线l与母线所成角最小，则该直线l 与母线所成的角的余弦值的最大值为OC AC ＝r R ＝13，即该直线l与母线所成的角的余弦值的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13.故选A. 答案：A 17．证明：（1）分别延长D 1F ，DA ，交于点P ， ∵P ∈DA ，DA ⊂平面ABCD ， ∴P ∈平面ABCD .∵F 是AA 1的中点，FA ∥D 1D ， ∴A 是DP 的中点，连接CP ，∵AB ∥DC ，∴CP ，AB 的交点为线段AB 的中点，即为E ， ∴CE ，D 1F ，DA 三线共点于P .（2）假如直线BC 和直线D 1F 不是异面直线，则存在一个平面α，使得BC ⊂α，D 1F ⊂α，由于在正方体中AD ∥BC ，BC ⊂α，AD ⊄α，因此AD ∥α，又因为AD ⊂平面ADD 1A 1，且平面ADD 1A 1∩α＝D 1F ，故AD ∥D 1F ，在正方形ADD 1A 1中，明显AD ，D 1F 不平行，故冲突，因此假设不成立，即直线BC和直线D1F是异面直线．。

2019-2020学年人教A版必修第二册 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系课件

0的点有两个.
类型三平面与平面的位置关系
【典例】已知下列说法： ①两平面α ∥β ，a⊂α ，b⊂β ，则a∥b； ②若两个平面α ∥β ，a⊂α ，b⊂β ，则a与b是异面直线；
③若两个平面α ∥β ，a⊂α ，b⊂β ，则a与b一定不相交； ④若两个平面α ∥β ，a⊂α ，b⊂β ，则a与b平行或异面； ⑤若两个平面α ∩β =b，a⊂α ，则a与β 一定相交. 其中正确的序号是________(将你认为正确的序号都填上). 世纪金榜导学号
题干图④中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，所以 GH与MN异面. 答案：②④
【内化·悟】平面几何中的定理、结论在空间几何体中能直接使用吗？提示：不能.要把关于平面图形的结论推广到空间图形，必须经过证明，绝不能单凭自己的主观猜测.
【类题·通】 1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍 (1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系.特别关注异面直线.
2.下列四个命题中正确命题的个数是 ( ) ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面； ②如果直线a和平面α 满足a∥α ，那么a与平面α 内的任何一条直线平行；
③如果直线a，b和平面α 满足a∥b，a∥α ，b⊄α ，那
么b∥α ；
④如果a与平面α 上的无数条直线平行，那么直线a必
【解析】1.选C.把平面展开图折合成正方体，观察相对位置的变化，可知AB与CD，EF与GH，AB与GH是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行.故异面直线有且仅有3对.
2.如题干图①中，直线GH∥MN；题干图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；题干图③中，连接MG(图略)，GM∥HN，因此，GH与MN 共面；

空间点、直线、平面之间的位置关系(人教A版2019必修二)

(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线． (2)异面直线的画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托.
（二）空间点、直线、平面的位置关系
知识点二空间两条直线的位置关系
【探究2】分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
位置关系
特点
相交
同一平面内，有且只有一个公共点
第八章立体几何初步
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
教材分析
本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第八章《立体几何初步》的第四节《空间点、直线、平面之间的位置关系》。以下是本节的课时安排：
课时内容所在位置新教材内容分析
核心素养培养
教学主线
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
（三）典型例题
1.空间直线与直线的位置关系
例1.如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是 ②直线A1B与直线B1C的位置关系是 ③直线D1D与直线D1C的位置关系是 ④直线AB与直线B1C的位置关系是
重点、难点
1.重点：了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示 2.难点：了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线。
（一）新知导入
观察你所在的教室.
【问题】 (1)教室内同一列的灯管所在的直线是什么位置关系？ (2)教室内某灯管所在的直线和地面是什么位置关系？ (3)教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是什么位置关系？ (4)教室内黑板面和教室的后墙面是什么位置关系？提示 (1)平行. (2)平行. (3)二者是异面直线. (4)平行.

【高考冲刺】人教A版高中数学高考复习专题--空间直线和平面的位置关系(含解析)

——————————教育资源共享步入知识海洋————————空间直线和平面的位置关系一、考纲要求1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系(特别是平行和垂直关系)以及它们所成的角与距离的概念.2.对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.3.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题.4.会用斜二侧的画法画水平放置的平面图形(特别是正三角形、正四边形、正五边形、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系.5.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题.二、知识结构1.空间多边形不在同一平面内的若干线段首尾相接所成的图形叫做空间折线.若空间折线的最后一条线段的尾端与最初一条线段的首端重合，则叫做封闭的空间折线.若封闭的空间折线各线段彼此不相交，则叫做这空间多边形平面，平面是一个不定义的概念，几何里的平面是无限伸展的.平面通常用一个平行四边形来表示.平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：A∈l—点A在直线l上；A∉α—点A不在平面α内；l⊂α—直线l在平面α内；a⊄α—直线a不在平面α内；l∩m=A—直线l与直线m相交于A点；α∩l=A—平面α与直线l交于A点；α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.2.平面的基本性质公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.金戈铁骑。

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