广东省中山市2017-2018学年高三上学期周考文数试题Word版含答案
广东省中山市第一中学2017届高三上学期第二次统测数学(文)试题Word版含答案
中山一中2017届高三第二次统测数学（文科）试题满分150分，时间120分钟 组题人: 审题人：一、选择题：（每题5分，共60分.每个小题只有一个选项符合题目要求.）1. 已知集合{}|22A x x =-<<，()(){}|130B x x x =+-≤，则()RA B ð=A ．()2,1--B ．(]2,1--C ．(1,2)-D ．()2,32. 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4)AB =，(1,3)AC =，则DA ＝A ．（2,4）B ．（3,5）C ．（1，1）D ．（－1，－1）3. 设π3ln ,)76(,26151===c b a , 则A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<4.在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的（ ）条件A ．充分而不必要B ．必要而不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要5. 已知抛物线)0(22>=p py x 的准线与椭圆14622=+y x 相切，则p 的值为 A ．4 B ．3 C ．2 D ．16. 已知1a >，22()xxf x a +=，则使()1f x <成立的一个充分不必要条件是A ．20x -<<B ．10x -<<C ．21x -<<D ．10x -<≤7. 要得到函数cos(2)3y x π=-的图象，只需将函数sin(2)2y x π=+的图象向（ ）平移（ ）个单位 A ．左，3π B ．右；3π C ．左，6π D ．右，6π8. 函数sin cos y x x x =+的图象大致为9. 若552)4sin(2cos -=+παα，且)2,4(ππα∈，则tan 2α=A ．43-B ．34-C ． 43D ．3410. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F0y +=的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C 的离心率为A ．12B．12 C ．2 D111. 已知()f x '为定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x 的导函数，且cos ()()sin x f x f x x '⋅<⋅在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，则 A43ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B64f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C63f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()12sin16f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭12. 已知,a b R ∈,直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图象在4x π=-处相切，设2()x g x e bx a =++,若在区间[1,2]上，不等式2()2m g x m ≤≤-恒成立，则实数m 有A ．最大值eB ．最大值1e +C ．最小值e -D ．最小值e 二、填空题：（每题5分，共20分）13．已知向量,a b 的夹角为3π，且()8a a b ⋅+=，2a =，则b = ．14．已知cos()63πα-=，则5sin(2)6πα-= .15．函数tan()42y x ππ=-的部分图象如右图所示，则()OA OB AB +⋅=u u r u u u r u u u r.16．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，()(1)xf x e x =+，给出下列命题：① 当0>x 时，()(1)xf x e x =-； ② 函数)(x f 有2个零点；③0)(>x f 的解集为),1()0,1(+∞- ； ④ R x x ∈∀21,，都有2)()(21<-x f x f ．其中正确的命题是 ．三、解答题：(共8个小题．只做6个小题；共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.（12分）某同学用“五点法”画函数()sin()(0,)2f x A x πωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) 请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数f (x )的解析式； (2) 将()y f x =图象上所有点向左平行移动6π个单位长度，得到()y g x =的图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心．18．（12分）已知向量),cos 2,1(),cos ,22sin 3(x x x =+=设函数()f x m n =⋅．（1）求函数)(x f 的单调递减区间；（2）设,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，若()4,1f A b ==，2ABC S ∆=，求a 的值.19．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系()(010)35kC x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1) 求k 的值及()f x 的表达式；(2) 隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．20．（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3O 为圆心，椭圆C 的长半轴为半径的圆与直线260x -+=相切． (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知点A ，B 为动直线(2)(0)y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使2EA EA AB +⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数()2ln (0)a e f x x a x+-=+≥. （1）()x f y =在()()1,1f 的切线与直线()011=+--y x e 平行，求a 的值； （2）不等式()a x f ≥对于0>x 的一切值恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在以下（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．22．(10分)选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB 经过圆O 上的点C ，并且,OA OB CA CB ==，圆O 交直线OB 于点,E D ，其中D 在线段OB 上．连结EC ，CD ． (1) 证明：直线AB 是圆O 的切线； (2) 若21=∠CED tan ，圆O 的半径为3，求OA 的长．23．(10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为)6π，曲线C的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）.（1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线:cos 2sin 10l ρθρθ++=的距离的最小值.24. (10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数()2f x x a a =++． （1）当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()21g x x =-，当x R ∈时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．中山一中2017届高三第二次统测数学（文科） 参 考 答 案一、选择题： A C B C A B D D A D C B 二、填空题： 13. 4； 14. 13-； 15. 6； 16. ③ ④. 【部分提示】： 10. 设椭圆的右焦点为1F ，AF0y +=的交点为B ．可知：FOB ∠=160AOB AOF ∠=∠=； 1AFF ∆为(130AFF ∠=的)直角三角形；于是有：2c a +=．11. 设()()sin f x g x x =，可知()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递增． 12. 由21()=cos f x x'可得：2,1a b ==-； min ()1g x e =+，2max ()2g x e =-； ∴ 1e m e ≤≤+或m e ≤-．15. 由图可知A(2,0)，B(3,1)， ∴ ()(5,1)(1,1)6OA OB AB +⋅=⋅=．16. 求解析式及函数图像可知： (1)(0)()0(0)(1)(0)x x x e x f x x x e x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩且f(x)(-1,1)∈． 三、解答题：''''''(1212121212[10]70+++++=分）17. 解： (1)由上表可得： f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6． ………………………………………6分 (2)由(1)知：f (x )＝5sin⎝⎛⎭⎫2x －π6，因此g (x )＝5sin⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6． ……………………8分因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ．令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z ． 即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ， ∴y ＝g (x )图象离原点O最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0． ……………………12分18. 解：（1） 2()3sin 222cos 2cos 23f x m n x x x x =⋅=++=++2sin(2)36x π=++，当3222262k x k πππππ+≤+≤+即263k x k ππππ+≤≤+时()f x 递减．∴()f x 单减区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦． ……………………6分 （2）由（1）知2sin(2)346A π++=得1sin(2)62A π+=得：5266A ππ+=∴ 3A π=．又2ABC S ∆=，1b = ∴ 2c = ∴2222cos33a b c bc π=+-=∴a = ……………………12分19.解：（1）由已知条件得C (0)＝8，则k＝40， ………………………………………2分∴f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)． ……………………5分 (2) f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2（6x ＋10）8003x ＋5－10＝70(万元)，（也可以利用导求最小值）．当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5，即x ＝5时等号成立． ……………………11分∴ 当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元． (12)分20. 解：(1) 由e ＝63，得 c a ＝63，即c ＝63a ① 又因为以原点O 为圆心， 椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2＋y 2＝a 2，且与直线2x －2y ＋6＝0相切， ∴ a ＝622＋（2）2＝6，代入①得c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝2. ∴椭圆的方程为x 26＋y 22＝1. ………………………………………………………4分 (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1y ＝k （x －2）得：(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，x 1·x 2＝12k 2－61＋3k 2， (6)分根据题意，假设x 轴上存在定点E (m ，0)，使得EA →2＋EA →·AB →＝EA →·(EA →＋AB →)＝EA →·EB →为定值，则有： EA →·EB →＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2)＝(x 1－m )·(x 2－m )＋y 1y 2＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1－2)(x 2－2) ＝(k 2＋1) x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋(4k 2＋m 2) ＝(k2＋1)·12k 2－61＋3k 2－(2k2＋m )·12k 21＋3k 2＋(4k 2＋m 2)＝（3m 2－12m ＋10）k 2＋（m 2－6）3k 2＋1. ……9分要使上式为定值，即与k 无关，则应使3m 2－12m ＋10＝3(m 2－6)， 即73m =， 此时2569E AE B m⋅=-=- 为定值，定点为7(,0)3E . ……………………12分21.解：（1）函数()2ln (0)a e f x x a x+-=+≥的定义域为()0,+∞， 22122()a e x a e f x x x x+---+'=-=，(1)3f a e '=--，由题意得31a e e --=-， 解得：2a =. ……………………………………3分（2）不等式()f x a ≥对于0x >的一切值恒成立，等价于ln 20x x a e ax ++--≥对于0x >的一切值恒成立.记()ln 2g x x x a e ax=++--()0x >，则()ln 1g x x a '=+-. ………………………6分令()0g x '=，得1a x e-=，当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表∴()g x 的最小值为11()2a a g e a e e --=+--. …………………………………………8分记1()2(0)a h a a e ea -=+--≥，则1()1a h a e -'=-，令()0h a '=，得1a =.当a 变化时，(),()h a h a '的变化情况如下表：∴ ①当01a ≤<时，函数()h a 在()0,1上为增函数，1(2)1()(0)20e e h a h e e e--≥=--=>， 即()g x 在()0,+∞上的最小值()h a >，满足题意. …………10分②当12a ≤≤时，函数()h a 在[]1,2上为减函数，()()20h a h ≥=， 即()g x 在()0,+∞上的最小值()0h a ≥，满足题意.③当2a >时，函数()h a 在()2,+∞上为减函数，()()20h a h <=，即()g x 在()0,+∞上的最小值()0h a <，不满足题意.综上,所求实数a 的取值范围为[]0,2． …………………………………………12分 22. (1)证明：连结OC . 因为OA OB CA CB ==，，∴ .OC AB ⊥ 又OC 是圆O 的半径，∴AB 是圆O 的切线. ………………… ……………………5分(2) 解: 因为直线AB 是圆O 的切线， ∴ .BCD E ∠=∠ 又CBD EBC ∠=∠，∴ .BCD BEC △△∽ 则有BC BD CDBE BC EC==， 又1tan 2CD CED EC ∠==，故12BD CD BC EC ==. 设BD x =，则2BC x =，又2BC BD BE =⋅，故2(2)(6)x x x =+，即2360x x -=. 解得2x =，即2BD =. ∴32 5.OA OB OD DB ==+=+= ……………………10分23. 解： (1) 点P的直角坐标，由2cos 2sin x y θθ=⎧⎪⎨=+⎪⎩，得22(4x y +=， ∴曲线C的直角坐标方程为22(4x y +=. …………………………………… 4分（2）曲线C的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的普通方程为210x y ++=，设(2cos ,2sin )Q θθ+，则3(cos ,sin )2M θθ+，那么点M 到直线l 的距离1d ==≥=， ∴点M 到直线l的最小距离为1. …………………………………………10分24. 解： (1) 当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤.∴ ()f x ≤的解集为{|1x x -≤≤. ……………………5分 （2）当x R∈时，()(f x g x x a a +=-++-|2x a x a ≥-+-+|1a a =-+， 当12x =时等号成立，所以当x R ∈时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① ……7分当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. ∴a的取值范围是[2,)+∞. ……………………………………………………………10分。
中山市高三年级2017—2018学年度第一学期期末统一考试 (答案)
中山市高三年级2017—2018学年度第一学期期末统一考试参考答案及评分细则2018年4月20日1．A．（解析：接受条件是“少数民族势力入主中原建立王朝”，并且“在与中原文化近距离相处和共存一个时期之后”。
）2．D．（解析：没有指出“解决路径”。
）3．C．（解析：原文说“如果一个文明群体被其他文明群体所打败，它自身肯定出现某些保守和停滞的特点，失去了活力，外来的冲击可以使其重新焕发青春”，并没有表达这一意思。
）4．A（解析：“折射出只注重物质而忽视精神追求的深层次社会问题”错，过分拔高主题。
）5．①详写打铁的过程，渲染了紧张、热烈的氛围（场面、场景、画面）；②表现了两位打铁老人对打铁一事的专注，配合默契，技艺高超。
③突出强调了两个老人对打铁的热爱，同时也表现了他们对往昔生活的怀念；④与前文两个老人困乏的生活与无奈形成对比，突出两个老人对打铁的信仰；评分细则：①场景，②技艺，③情感，④主旨。
答对一点1分，答对两点3分，答对三点给5分。
语言表述不准确，酌情扣分。
6．①“炉火”是贯穿全文的线索，推动故事情节的发展。
②“炉火”象征着两个老人的一种生活方式和生活态度。
③“炉火”喻指打铁职业，饱含着两个老人对打铁的热爱（喜爱）。
④“炉火”衬托出两个老人内心的热忱与执着。
评分细则：①情节结构，②象征意义，③情感态度，④人物性格。
答对一点2分，答对两点4分，答对其中三点给6分。
语言表述不准确，酌情扣分。
7．C（解析：浙江卫视《汉字风云会》的观众定位并非是小学五年级左右的孩子，而是低年龄萌娃，节目选手主要是小学五年级左右的孩子。
）8．BD（解析：A项中“自然而然形成了汉字文化圈”有误，汉字文化圈的形成有赖于人们积极通过汉字来沟通交流；C项中“提笔忘字”现象的直接原因不是拼音输入法应用过多，而是电子设备长时间使用，手写汉字场景不断减少；E项，根据统计可知，大部分人并不认同“提笔忘字”是社会发展不可避免的结果。
）9．（1）积极向国外介绍汉字，促进不同地域思想文化交流，扩大汉字的国际影响力。
广东省2017-2018高三学业水平考试模拟试题试题文科数学解析版
广东省2017-2018高三学业水平考试模拟试题试题（数学文）【解析版】第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内，复数()1i i -对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合(){}lg 3A x y x ==+，{}2B x x =≥，则下列结论正确的是（ ）A.3A -∈B.3B ∉C.A B B =D.A B B =3.“ϕπ=”是“函数()sin 2y x ϕ=+为奇函数” 的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件考点：1.三角函数的奇偶性；2.充分必要条件4.向量()1,2BA =- ，()3,4BC = ，则AC = （ ）A.()4,2B.()4,2--C.()2,6D.()4,2-5.某商场有四类食品,食品类别和种数见下表:现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类A.7B.6C.5D.46.方程125x x -+=的解所在的区间（ ）A.()0,1B.()1,2C.()2,3D.()3,47.若双曲线22221x y a b -=，则其渐近线的斜率为（ ） A.2±B. C.12±D.±8.已知x 、y 满足约束条件53151053x y x y x y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则35z x y =+的最小值为（ ）A.17B.11-C.11D.17-作直线:35l z x y =+，则z 为直线在x 轴上的截距的3倍，当直线经过可行域上的点A 时，直线在x 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即()()min 325111z =⨯-+⨯-=-，故选B.考点：线性规划9.图（1）中的网格纸是边长为的小正方形，在其上用粗线画出了一四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ）A.4B.8C.16D.20图（1）侧视图正视图俯视图10.已知函数()()()221,03,0ax x x f x ax x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.1a <B.0a >C.1a ≥D.01a <<第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11~13题） 11.计算：33log 18log 2-= .12.图（2）是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩的茎叶图，其中一个数字被污损；则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 .考点：1.茎叶图；2.平均数；3.古典概型13.对于正整数n ，若(),,n pq p q p q N *=≥∈，当p q -最小时，则称pq 为n 的“最佳分解”， 规定()q f n p =．关于()f n 有下列四个判断：①()41f =；②()11313f =；③()3248f =；④()2013f =12013.其中正确的序号是 .（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，已知点P 为方程()cos sin 2ρθθ-=所表示的曲线上一动点，4,3Q π⎛⎫⎪⎝⎭，则PQ的最小值为 .15.（几何证明选讲选做题）如图（3），已知AB 是圆O 的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切圆O 于D ，4CD =，3AB BC =，则圆O 的半径长是 .【答案】3.【解析】试题分析：3AB BC = ，4AC AB BC BC ∴=+=，由切割线定理得22244CD BC AC BC =⋅==⇒2BC =，因此36AB BC ==，故圆O 的半径为3.考点：切割线定理三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）设数列{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，3212a a -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 是首项为，公差为2的等差数列，求数列{}n n a b +的前n 项和n S.∴()()()()2121223112131312n n n n n n n S a a a b b b n -+-=+++++++=+=-+- .考点：1.等差数列与等比数列的通项公式；2.分组求和法17.（本小题满分12分）根据空气质量指数AQI （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:某市2013年10月日—10月30日，对空气质量指数AQI 进行监测，获得数据后得到如图（4）的条形图（1）估计该城市本月（按30天计）空气质量类别为中度污染的概率； （2）在空气质量类别颜色为紫色和褐红色的数据中任取2个，求至少有一个数据反映的空气质量类别颜色为褐红色的概率.A 包含的基本事件有：(),a e 、(),a f 、(),b e 、(),b f 、(),c e 、(),c f 、(),d e 、(),d f 、(),e f ，9种可能，故所求的概率()93155P A ==.考点：1.频率分布条形图；2.古典概型18.（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边为a 、b 、c .（1）若cos 2cos 3A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求A 的值；（2）若1cos 3A =，且ABC ∆的面积2S =，求C sin 的值.由余弦定理得：22222222cos 928a b c bc A c c c c =+-=+-=，a ∴=，19.（本小题满分14分）如图（5），已知A 、B 、C 为不在同一直线上的三点，且111////AA BB CC ，111AA BB CC ==. （1）求证：平面ABC //平面111A B C ；（2）若1AA ⊥平面ABC ，且14AC AA ==，3BC =，5AB =，求证：1A C ⊥平面11AB C ；（3）在（2）的条件下，设点P 为1CC 上的动点，求当1PA PB +取得最小值时PC 的长.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）167.【解析】试题分析：（1）通过证明平行四边形分别证明11//AC AC和11//BC B C ，利用直线与平面平行的判定定理得到//AC 平面111A B C 和//BC 平面111A B C ，最后利用平面与平面平行的判定定理证明平面//ABC 平面111A B C ；（2）先证明BC ⊥平面11ACC A ，于是得到1AC BC ⊥，由11//B C BC 再由四边形11ACC A 为正方形得到11ACAC ⊥，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明1A C ⊥平面11AB C ；（3）将三棱柱ABC - 111A B C 的侧面沿着1AA 展开，利用A 、P 、1B 三点共线求出1PA PB +的最小值，并利用相似三角形求出PC 的长度.试题解析：（1）证明：11//AA CC 且11AA CC =，∴四边形11ACC A 是平行四边形，11//AC AC ∴，AC ⊄ 面111A B C ，11A C ⊂面111A B C //AC ∴平面111A B C ，同理可得//BC 平面111A B C ，又AC CB C = ，∴平面//ABC 平面111A B C ；（2）1AA ⊥ 平面ABC ，1AA ⊂平面11ACC A ，∴平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，4AC =，3BC =，5AB =，222C BC AB ∴+=，BC AC ∴⊥，BC ∴⊥平面11ACC A ，1BC AC ∴⊥，11//BC B C ∴，111B C AC∴⊥， 又1AA AC ⊥，1AC AA =得11ACC A 为正方形，11ACAC ∴⊥， 又1111AC B C C = ，1AC∴⊥平面11AB C ； （3）将三棱柱111ABC A B C -的侧面11ACC A 绕侧棱1CC 旋转到与侧面11BCC B 在同一平面内如下图示，连20.（本小题满分14分）如图（6），已知(),0F c 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点；圆()222:F x c y a -+=与x 轴交于,D E 两点，其中E 是椭圆C 的左焦点.（1）求椭圆C 的离心率；（2）设圆F 与y 轴的正半轴的交点为B ，点A 是点D 关于y 轴的对称点，试判断直线AB 与圆F 的位置关系；（3）设直线BF 与圆F 交于另一点G ，若BGD ∆的面积为，求椭圆C 的标准方程.图（6）yxBO E F DGyxBO A E F D考点：1.椭圆的离心率；2.直线与圆的位置关系；3.椭圆的方程21.（本小题满分14分）设函数()1n n f x ax bx c +=++(0)x >，其中0a b +=，n 为正整数，a 、b 、c 均为常数，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为10x y +-=.（1）求a 、b 、c 的值；（2）求函数()f x 的最大值；（3）证明：对任意的()0,x ∈+∞都有()1nf x e <.（e 为自然对数的底）。
中山市高三级2017-2018学年度第一学期期末统一考试(文科)答案
中山市高三级2017—2018学年度第一学期期末统一考试数学（文科）参考答案及评分标准13. 725-14. 15. 6 16. 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭17.解：（Ⅰ）设公差为d ，则11154545252a d a d a d ⨯+=+++=，∴1 1 3a d =-=，． ∴{}n a 的通项公式为34n a n =-． …………3分（Ⅱ）()312n n n S n -=-+，228273327n S n n n ++=++，43n a n +=；则原不等式等价于()911nk n n-<++对所有的正整数n 都成立． ∴当n 为奇数时，91k n n ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭； 当n 为偶数时，91k n n <++恒成立…6分又∵917n n++≥，当且仅当3n =时取等号， 所以当n 为奇数时，91n n++的最小值为7， 当n 为偶数时，4n =时，91n n ++的最小值为294， ∴不等式对所有的正整数n 都成立时，实数k 的取值范是2974k -<<………10分18．解:（Ⅰ）在三角形中，∵1cos 3B =，∴sin 3B =． ………………2分 在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠，又2AB =，4ADB π∠=，sin 3B =．∴83AD =． ………………5分（Ⅱ）∵2BD DC =，∴2ABD ADC S S ∆∆=，3ABC ADC S S ∆∆=，又ADC S ∆=ABC S ∆= ………………7分∵1sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅，∴6BC =， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠．∴AC = ………………9分 ∵1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠， 且2ABD ADC S S ∆∆=，∴sin 2sin BAD AC CAD AB∠=⋅=∠ ………………12分19． 解: (1)由弧长计算及扇环面的周长为30米，得()30102(10)x x θ=++-，所以10210xxθ+=+，100<<x …3分 (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<．……5分装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+， ……………………7分 所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++， …9分令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当x ＝１时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． …………………12分 (注：对y 也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)20. 解: (1)根据题意，学员（1），（2），（4），（6），（9）恰有两项不合格，从中任意抽出2人，所有情况如下：率为=10635. ………………6分 (2)在线段CD 上取两点B '，D '，使8.1='='D D B B m ，记汽车尾部左端点为M ，则当M 位于线段B A '上时，学员甲可按教练要求完成任务，而学员甲可以使点M 等可能地出现在线段D C '上，根据几何概型，所求概率212.16.08.13.024.28.14.2==-⨯+-=''=D C B A P .…………12分 21. 解：（1）证明：因为QD ⊥平面ABCD ，PA QD P ，所以PA ⊥平面ABCD ． 又因为BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又因为AB BC ⊥，且AB PA A = ， 所以BC ⊥平面PAB ，又因为BC ⊂平面QBC ，所以平面PAB ⊥平QBC ……5分 （2）面QDB 将几何体分成四棱锥B PADQ -和三棱锥Q BDC -两部分，过B 作BO AD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD ， 所以PA BO ⊥，又因为AD OB ⊥，PA AD A = ， 所以BO ⊥平面PADQ ，即BO 为四棱锥B APQD -的高， 并且BO ，3PADQ S =梯形， 所13B PADQPADQ V S BO -=⋅=梯形 因为QD ⊥平面ABCD ，且已知2QD =，BCD ∆为顶角等于120︒的等腰三角形，2BD =，BDC S ∆=， O所以139Q BDC BDC V S QD -∆=⋅⋅=， 所以组合体QPABCD99=．…………………………12分 22．解：（1）因为(1)102af =-=，所以2a =，此时2()ln ,0f x x x x x =-+>， 2121()21(0)x x f x x x x x-++'=-+=> 由()0f x '<，得2210x x -->，又0x >，所以1x >．所以()f x 的单调减区间为(1,)+∞．………………4分（2）方法一：令21()()1)ln (1)12g x f x ax x ax a x =-=-+-+-(， 所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=．当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>． 所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数， 又因为213(1)ln11(1)12022g a a a =-⨯+-+=-+>， 所以关于x 的不等式()1f x ax ≤-不能恒成立．当0a >时，21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x-+-+-+'==-， 令()0g x '=，得1x a=． 所以当1(0,)x a∈时，()0g x '>；当1(,)x a∈+∞时，()0g x '<，因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a∈+∞是减函数．故函数()g x 的最大值为2111111()ln()(1)1ln 22g a a a a a a a a=-⨯+-⨯+=-． 令1()ln 2h a a a=-， 因为1(1)02h =>，1(2)ln 204h =-<，又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数． 所以当2a ≥时，()0h a <．所以整数a 的最小值为2． ………………12分方法二：（2）由()1f x ax -≤恒成立，得21ln 12x ax x ax -+-≤在(0,)+∞上恒成立， 问题等价于2ln 112x x a x x +++≥在(0,)+∞上恒成立． 令2ln 1()12x x g x x x ++=+，只要max ()a g x ≥． 因为221(1)(ln )2()1()2x x x g x x x +--'=+，令()0g x '=，得1ln 02x x --=．设1()ln 2h x x x =--，因为11()02h x x '=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，不妨设1ln 02x x --=的根为0x ． 当0(0,)x x ∈时，()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '<， 所以()g x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．所以000max020000011ln 112()()11(1)22x x x g x g x x x x x x +++====++．因为11()ln 2024h =->，1(1)02h =-< 所以0112x <<，此时0112x <<，即max ()(1,2)g x ∈．所以2a ≥，即整数a 的最小值为2． ………………12分。
广东省中山市2017-2018学年高三上学期第六次阶段测试文数试题Word版含答案
广东省中山市2017-2018学年高三上学期第六次阶段测试文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，集合{}0,1,2A =，{}2,3,4B =，如图阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}2B ．{}0,1C ．{}3,4D ．{}0,1,2,3,4 2.在复平面内，复数21i -对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知tan 2α=，那么sin 2α的值是（ ）A ．45- B ．45 C ．35- D ．35 4.设30.2a =，0.32log b =，20.3log c =，则（ ）A ．b a c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．a b c <<5.数列{}n a 的首项12a =，且()11n n n a na ++=，则30a 的值为（ ）A ．50B ．60C ．70D ．806.已知函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数，函数()()g x fx =，若()()l g 1g x g >，则x 的取值范围是（ ）A ．()0,10B ．()10,+∞C ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()10,10,10⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 7.函数()22x f x x =-的零点个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8.函数ln x xx xe e y e e ---=+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．9.如图，抛物线W ：24y x =与圆C ：()22125x y -+=交于A ，B 两点，点P 为劣弧AB 上不同于A ，B 的一个动点，与x 轴平行的直线PQ 交抛物线W 于点Q ，则PQC ∆的周长的取值范围是（ ）A ．()10,14B ．()12,14C ．()10,12D ．()9,1110.数列{}n a 是首项为41-，公差为2的等差数列，所给程序框图中输出的S 是数列{}n a 前n 项和的最小值，则①处可填写（ ）A ．0S >B ．0S <C ．0a >D ．0a =11.已知不等式组4,2,2x y x y x +≥⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域为D ，点()0,0O ，()1,0A ．若点M 是D 上的动点，则OA OM OM的最小值是（ ） A．2 B．5 C．10 D．1012.对任意实数a ，b 定义运算“ ”：,1,,1,ba b a b a a b -≥⎧=⎨-<⎩ 设()()()214f x x x k =-++ ，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是（ ）A ．()2,1-B ．[]0,1C ．[)2,0-D ．[)2,1-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若非零向量a ，b 满足2a b a b a +=-= ，则向量b 与a b + 的夹角为_________．14.在等差数列{}n a 中，若公差为d ，且1a d =，那么有m n m n a a a ++=，类比上述性质，写出在等比数列{}n a 中类似的性质：________________15.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=+，则()f x 在点()()1,1M f 处的切线方程为___________________．16.已知点π6A ⎛ ⎝⎭，π,14B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若这三个点中有且仅有两个点在函数()sin f x x ω=的图象上，则正数．．ω的最小值为_____________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分）已知等差数列{}n a 的通项公式为42n a n =-，各项都是正数的等比数列{}n b 满足11b a =，2332b b a +=+．（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．18.（12分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()()a b c a b c ac ++-+=．（1）求B ；（2）若1sin sin 4A C =，求C ．19.（12分）已知a ，b ，()0,c ∈+∞，且1a b c ++=，求证：（1）1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ；（2≤20.（12分）已知()226x f x x =+． （1）若()f x k >的解集为{}32x x x <->-或，求k 的值；（2）若对任意0x >，()f x t ≤恒成立，求实数t 的范围．21.（12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）上的左、右顶点分别为A ，B ，1F 为左焦点，且12AF =，又椭圆C 过点(0,．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 和Q 分别在椭圆C 和圆2216x y +=上（点A ，B 除外），设直线PB ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，若1234k k =，证明：A ，P ，Q 三点共线．22.（12分）已知()3221f x x ax a x =+--，0a >．（Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的不等式()0f x ≤在[)1,+∞上有解，求实数a 的取值范围；广东省中山市2017-2018学年高三上学期第六次阶段测试文数试题答案一、选择题1.B2.A3.B4.B5.B6.D7.B8.C9.C 10.C 11.C 12.D二、填空题 13.π614.在等比数列{}n a 中，若公比为q ，且1a q =，则m n m n a a a +⨯= 15.1y x =-- 16.4三、解答题17.解：（Ⅰ）设数列{}n b 的公比为q ，（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n T ，{}n b 的前n 项和为n H ， 所以21242222n n a a n T n n n ++-===．……………………………7分 ()()1112122211n n n n b q H q +--===---．……………………………………9分所以21222n n n n S T H n +=+=+-．……………………………10分18.解：（1）因为()()a b c a b c ac ++-+=，所以222a cb ac +-=-. 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-， 因为B 为ABC ∆的内角，所以120B =︒．（2）由（1）得60A C +=︒，所以()cos cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C A C A C A C -=+=-+()11cos 2sin sin 2242A C A C =++=+⨯=． 故30A C -=︒或30A C -=-︒，因此15C =︒或45C =︒．19.证明（1）a ，b ，()0,c ∈+∞，a b ∴+≥b c +≥，c a +≥，()()()111111b c a c a b a b c abc +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8abc≥=． （2）a ，b ，()0,c ∈+∞，a b ∴+≥b c +≥，c a +≥，()2a b c ++≥两边同加a b c ++得()23a b c a b c ++≥+++=． 又1a b c ++=，23∴≤，≤．20.解：（1）()2260f x k kx x k >⇔-+<， 由已知其解集为{}32x x x <->-或，得13x =-，22x =-是方程2260kx x k -+=的两根，所以223k --=，即25k =- （2）0x > ，()222666x f x x x x==≤++ 21.解：（Ⅰ）由已知可得2a c -=，b =22212b a c =-=，解得4a =．故所求椭圆C 的方程为2211612x y +=．………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()4,0A -，()4,0B ．设()11,P x y ，()22,Q x y ， 所以2111121114416PA y y y k k x x x ==+-- ． 因为()11,P x y 在椭圆C 上， 所以221111612x y +=，即22113124y x =-． 所以2112131234164PA x k k x -==-- ． 又因为1234k k =， 所以21PA k k =- ． （1）由已知点()22,Q x y 在圆2216x y +=上，AB 为圆的直径，所以QA QB ⊥．所以21QA k k =- ． （2）由（1）（2）可得PA QA k k =．因为直线PA ，QA 有共同点A ，所以A ，P ，Q 三点共线．……………………12分22.解：（Ⅰ）当2a =时，()32241f x x x x =+--，所以()()()2344322f x x x x x '=+-=-+，………………………2分 令()0f x '=，得123x =，22x =-， 则()f x '及()f x 的情况如下：…………………………………4分所以函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞-，2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 函数()f x 的单调递减区间为2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭……………………6分 （Ⅱ）要使()0f x ≤在[)1,+∞上有解，只要()f x 在[)1,+∞上的最小值小于等于0． 因为()()()22323f x x ax a x a x a '=+-=-+，令()0f x '=，得到103a x =>，20x a =-<．…………………………7分 当13a ≤时，即3a ≤时，()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，()1f 为[)1,+∞上最小值 所以有()10f ≤，即2110a a +--≤，解得1a ≥或0a ≤，所以有13a ≤≤；…………………………9分 当13a >时，即3a >时，()f x 在区间1,3a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,3a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， 所以3a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭为[)1,+∞上最小值， 所以有03a f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即3331032793a a a a f ⎛⎫=+--≤ ⎪⎝⎭，解得a ≥3a >．………………11分 综上，得1a ≥……………………………12分。
2017-2018学年高三一模考试文科数学测试卷及答案
2017-2018 学年度咼三年级第一次模拟考试文科数学试卷一、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的A. 2 _2iB. 2 2iC. _2 _ 2 iD. -2 2i2. 已知命题p : -i n 三N , 3n .2018，则一p 为( )A. —n. N , 3n £；20 18B . —n^N , 3n .2018C.n N, 3n ^2 018 D. -I n 三 N , 3“ ：：： 2 01 8f1~]3. 设集合 M ={x|x —x,0} , N = x| 1 ，则是()IxJA. M ? NB. N ? MC. M =ND. M U N =R4.某校高中三个年级人数饼图如图所示，按年级用分层抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本容量为（边过点 P (1, -2)，则 sin 2 v = ()3 3 4A.B .-C .—D5556.等腰直角三角形 ABC 中，A =90、，该三角形分别绕 AB , BC 所在直线旋转，则2个几 何体的体积之比为（1.2(1 —i)5.以角v 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系 xOy ,若角二终2A. 向右平移生个单位长度2B. 向右平移二个单位长度4C. 向左平移二个单位长度2D. 向左平移二个单位长度4B .求 135 - ... - (2 n - 1)C.求12 - 22・32亠 亠nA .1 :、、.、C7. 已知a =45c A. a ::: c ::.aC.b :::c ::8.为了得到yIx_可yD . 2 :1该程序所能实现的功能是 （）sin 2x •丄的图象（） I 3丿设计的程序框图,210.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（D.求12 ■■■■■ (n -1)A. 5 4、、2B. 9C. 6 5、, 2D. 2 3 4 5311. 已知P为抛物线亍二x上异于原点0的点，PQ _ x轴，垂足为Q ,过PQ的中点作x轴一P Q的平行线交抛物线于点M，直线QM交y轴于点N，则 ----------- =()N O2 3A. B. 1C. — D. 23 212. 已知函数f (x) =x -2xcosx，则下列关于f(x)的表述正确的是( )A. f (x)的图象关于y轴对称 B . f (x)的最小值为-1C. f (x)有4个零点 D . f (x)有无数个极值点二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知 a =(_1,1) , b =(1, _2)，贝U (a 2b) a =.x - y _ 0I14. 设x , y满足约束条件x・2y_3_0，则z = 2x 3 y的最小值是.x - 2 y -1 乞02 2x y15. 已知双曲线C : 1 (m .0)，则C的离心率的取值范围是.1 亠m 1 —mc a b16. 在八ABC中，角A , B , C的对边分别为a, b, c,若S ABC，贝V 的最大4 b a值是.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)、(23)题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共60分.17.已知数列｛ a n ｝是以1为首项的等差数列，数列｛X ｝是以q （q =1）为公比的等比数列（1）求｛a n ｝和｛b n ｝的通项公式;天进货当天销售•如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失 3元.根据以往的销售情况，按 ［0,100），［1 00,200），［200,300），［3 00,400）， ［400,500］进行分组,得到如图所示的频率分布直方图（1） 根据频率分布直方图计算该种鲜鱼日需求量的平均数 X （同一组中的数据用该组区间中 点值代表）；（2） 该经销商某天购进了 300公斤这种鲜鱼，假设当天的需求量为 X 公斤（0乞X 空500），利 润为Y 元.求Y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润 Y 不小于700元的概率•19.如图，在三棱柱 ABC -A 1B 1C 1中，平面 A ’B ’C _平面 AA 1C 1C ，乙BAC =90-（2） 若.'^1 B 1C 是边长为2的等边三角形，求点 B 1到平面ABC 的距离.(2)若 S 、= a 1b n 6"丄亠 亠％丄b 2-， 求S n .18.某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤 20元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当2 220.已知椭圆-:X2 - y2=1 （a b - 0）的左焦点为F，上顶点为A，长轴长为2 6，B为a b（1）若椭圆:的方程；（2）若C为椭圆:上一点，满足AC//BM , AMC=6 0；，求m的值.x 121. 已知函数 f （x）% ，g （x） = e* " .. .. In x —a .x（1）求f （x）的最大值；（2）若曲线y=g（x）与x轴相切，求a的值.（二）选考题：共10分•请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分•22. 选修4-4 :坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆6 : （x-1）2 - / =1，圆C 2 : （X-3）2 ・y2=9.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求6， C2的极坐标方程；「X =t CO S 0（（2）设曲线C3 : （t为参数且t式0），C3与圆6，C2分别交于A，B，求S少cy =t sin a的最大值.23. 选修4-5 :不等式选讲设函数f（x）=|x+1| — x的最大值为m.（1）求m的值；2 2（2）若正实数a，b满足a • b = m，求—一-——的最小值.b 十1 a +1②一①可得，S= 2n +1 + (2n + 2n —1 + ・・・ +=2n +2— 2n — 4.(18) 解:(I) x = 50 x 0.001 O X 100 + 150X 0.002 0x 100 + 250 x 0.003 0 x 100+ 350 x 0.002 5x 100+ 450 x 0.001 5 x 100 = 265 .…4 分(H)当日需求量不低于 300公斤时，利润 Y = (20 — 15) x 300 = 1 500元；当日需求量不足 300公斤时，利润 Y = (20 — 15) x — (300 — x ) x 3 = 8x — 900元；故 Y =°x- 900, 0< X V 300,…8 分故 丫= 1 500, 300W x < 500. 分由 Y 》700 得，200W x < 500, 所以 F ( Y > 700) = P (200 w x w 500)=0.003 0x 100 + 0.002 5x 100 + 0.001 5x 100=0.7 .(19) 解:参考答案•选择题:A 卷: DACCD BDBCA CDB 卷: AACCD DBBCA CD •填空题： (13)— 4 (14)— 5(15) (1 ,2)(16) 2 2三•解答题: (17) 解:(I)设｛a n ｝的公差为 d , ｛6｝的首项为 b,贝 U a n = 1 + (n — 1) d , b n = bg n —1 •卩 + d= b,依题意可得孑2d = b 1(q — 1),2K1 + d ) bq = bq ,d =1,解得b 1= 2,q = 2,所以 a n = n , b n = 2.S= 1X 2n+ 2X 2n —1+ - +1n x 2 ,所以 n +12S = 1 x 2.. 2+ 2x 2 +•••+ n x 2 ,2 12) — n x 2…12分…12分(I)过点B作AC的垂线，垂足为0,由平面 ABC 丄平面 AACC,平面 ABC n 平面 AACC = AC 得BO ±平面AACQ,又AC 平面AACC 得B0丄AC. 由/BAC= 90°, AB// AB ，得 AB 丄 AC 又 BOd A 1B 1 = B i ,得 AC 丄平面 A i B i C. 又CA 平面ABC,得ACLCA .又 AML BM , AC// BM 所以 k BM = k AC =所以AB //平面ABC所以B 到平面ABC 的距离等于 A 到平面ABC 的距离，设其为 d , 由 Vq -AB = V B-AA 1 C 得，1 1 1 1 X-X ACX ABX d = ；x ：x ACX A C x B O,3 23 2所以 d = B 0= <;3.即点B 到平面ABC 的距离为，3. (20) 解：(I)依题意得 A (0 , b ) , F ( — c , 0)，当 ABL l 时，B ( — 3, b ),,r b b 2 2由 AF 丄 BF 得 k AF • k BF = • =— 1，又 b + c = 6.c — 3 + c解得 c = 2, b = ,2.2 2所以，椭圆r 的方程为x 6+2 =1.(n)由(I)得A (0 ,寸2)，所以 k AM =—…7分m厂所以直线AC 的方程为y =(^+羽,2 2m xv — 12my = —x + 订2与—+ — = 1 联立得(2 + 3m )x + 12mx= 0,所以 x c = ?十 §m ，—12m 乔（叶0），在直角△ AM （中，由/ AMC 60° 得，|AC = ,3|AM ，整理得：（，3m+ 2） 2= 0, 解得m=—晋.…10分…12分当X V 1时，f (x ) > 0, f ( x )单调递增;当X > 1时，f (X )V 0 , f ( x )单调递减,1 故x = 1时，f (X )取得最大值f (1) = e . e ,,, x —1 1 1(n)因为 g (x ) = e + -2— x — 1,X X 设切点为(t , 0)，则 g (t ) = 0,且 g (t ) = 0,t — 1 1 1 t —1 1即 e + 严一 -—1 = 0, e — t ■一 In t — t + a = 0,1 t 一!所以 a = - + In t +1 — e .人 X —1 1 1令 h ( x ) = e + 2— — 1, x x1 X 1 x — !由(I )得f ( X )<e ，所以g w e ，即e >x ，等号当且仅当x = 1时成立,21 1 (X — 1) (X + 1)所以h (x ) >x + T — - — 1 = - >0,等号当且仅当 x = 1时成立, X X X故 a = 1.(22)解:依题意得 I AB = 6cos a — 2cos C 2(3 , 0)到直线 AB 的距离 d = 3|sin a | ,1(21)解:1 — x(X )二丁所以当且仅当 x = 1 时，h ( x ) = 0, 所以t = 1.…11分 …12分 C 1：cos 0 , y = p sin 0 2 . 2 一 -2 2 2.2 p cos 0 + p sin 0 — 2 p cos 可得,+ 1= 1，所以2cosG: 2 2 2.2 p cos 0 + p sin 0 — 6 p cos + 9= 9，所以p = 6cos a = 4COS a ,所以S\ABC>= x d x | AB = 3|sin 2 a | ,故当a=±丁时，&AB(2取得最大值3. …10分4(23)解：丁一1, X W一1,(I) f (x) = |x + 1| —| x| = 2X + 1, —1 v X V 1,、1, X> 1,由f(x)的单调性可知，当x> 1时，f(x)取得最大值1.所以m= 1. …4分（n ）由（i ）可知， a + b = 1, bh +吕=3（bh +h b +1）+（a +1）] 2 . 2 . 1 22 a （a +1） b （b +1） =-[a + b ++] 3 b +1=1（a + b ）2 1 a = b = g 时取等号.b 21 —-的最小值为 a +1 3 > 1（a2 + b 2 + 2a （a + 1）b （b +1） b + 1 a +1 ） a + 1 当且仅当 …10分。
2017-2018学年广东省高三(上)第二次联考数学试卷(文科)Word版(解析版)
2017-2018学年广东省高三（上）第二次联考试卷（文科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，2，3，5}，集合A∩B={2，5}，A∪B={1，2，3，4，5，6}，则集合B=（）A．{2，5} B．[2，4，5} C．{2，5，6} D．{2，4，5，6}2．（5分）已知sin（﹣α）=，则sin2α的值为（）A．B．C．D．﹣3．（5分）设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥β，则α⊥β．那么（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题4．（5分）已知A（﹣1，1）、B（x﹣1，2x），若向量与（O为坐标原点）的夹角为锐角，则实数x的取值范围是（）A．（﹣1，）∪（，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）5．（5分）各项都是正数的等比数列{a n}，若a2，a3，2a1成等差数列，则的值为（）A．2 B．2或﹣1 C．D．或﹣16．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当0≤x1＜x2时，＞0恒成立，设a=f（﹣2），b=f（1），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c7．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π．若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称．则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+） B．f（x）=2sin（x+） C．f（x）=2sin（2x+）D．f（x）=2sin （2x+）8．（5分）给出如下四个判断：①若“p或q”为假命题，则p、q中至多有一个为假命题；②命题“若a＞b，则log2a＞log2b”的否命题为“若a≤b，则log2a≤log2b”；③对命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”；④在△ABC中，“sinA＞”是“∠A＞”的充分不必要条件．其中不正确的判断的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．09．（5分）已知点P为△ABC所在平面上的一点，且，其中t为实数，若点P落在△ABC的内部，则t的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3π+2﹣1 B．3π+2 C．2π+2﹣1 D．2π+211．（5分）定义运算法则如下：a⊕b=+b﹣2，a⊗b=lga2﹣lg；若M=27⊕，N=⊗25，则M+N=（）A．2 B．3 C．4 D．512．（5分）已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=，若a3=a1成立，则a在（0，1]内的可能值有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知=（2，1），=（﹣1，﹣3），若（+λ）⊥，则λ= ．14．（5分）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，则点P的坐标是．15．（5分）若实数x，y满足，且x2+y2的最大值等于25，则正实数a= ．16．（5分）2015年10月4日凌晨3点，代号为“彩虹”的台风中心位于A港口的东南方向B处，且台风中心B与A港口的距离为400千米．预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心500千米的范围都会受到台风影响，则A港口从受到台风影响到影响结束，将持续小时．三、解答题：第17到21题为必做题，从第22、23、24三个小题中选做一题，满分60分．17．（12分）在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的三边，设向量=（cosA，sinA），=（cosA，﹣sinA），且与的夹角为．（1）求角A的值；（2）若a=，设内角B为x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的最大值．18．（12分）已知：数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=n，n∈N*（1）求数列{a n}的通项；（2）设b n=log3，求数列{}的前n项和S n．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，P为线段AD1上的动点，（1）当P为AD1中点时，求证：PD⊥平面ABC1D1（2）求证：无论P在何处，三棱锥D﹣PBC1的体积恒为定值；并求出这个定值．20．（12分）已知函数f（x）=a﹣（x∈R）为奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）若对任意的t∈[﹣1，]，不等式f（t2+2）+f（t2﹣tk）＞0恒成立，求实数k的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）记g（x）=f′（x）﹣+m，试讨论是否存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）成立．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知AB是圆O的直径，直线CD与圆O相切于点C，AC平分∠DAB，AD与圆O相交于点E（1）求证：AD⊥CD（2）若AE=3，CD=2，求OC的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4sinθ（1）直线l的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|﹣1，g=﹣x+a．（1）求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=g（x）有三个不同的解，求a的取值范围．2017-2018学年广东省高三（上）第二次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015秋•广东月考）设集合A={1，2，3，5}，集合A∩B={2，5}，A∪B={1，2，3，4，5，6}，则集合B=（）A．{2，5} B．[2，4，5} C．{2，5，6} D．{2，4，5，6}【分析】根据交集和并集的定义即可求出，【解答】解：∵设集合A={1，2，3，5}，集合A∩B={2，5}，A∪B={1，2，3，4，5，6}，∴B={2，4，5，6}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的交集并集，属于基础题．2．（5分）（2015秋•贺州月考）已知sin（﹣α）=，则sin2α的值为（）A．B．C．D．﹣【分析】直接利用两角和一次的正弦函数化简，利用平方求解即可．【解答】解：sin（﹣α）=，可得（cosx﹣sinx）=，即cosx﹣sinx=，两边平方可得1﹣sin2x=，sin2α=．故选：B．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，考查计算能力．3．（5分）（2015秋•广东月考）设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥β，则α⊥β．那么（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题【分析】本题考查的知识点是空间中线面关系，线线关系和面面关系，我们根据空间空间中线面关系的判定及性质定理逐个分析题目中的两个结论，即可求出答案．【解答】解：若α∥β，则l与m可能平行也可能异面，故①为假命题；若l⊥β，l⊂α时，根据平面与平面垂直的判定定理可得α⊥β，故②为真命题；故选：B．【点评】要证明一个结论是正确的，我们要经过严谨的论证，要找到能充分说明问题的相关公理、定理、性质进行说明；但要证明一个结论是错误的，我们只要举出反例即可．4．（5分）（2015秋•贺州月考）已知A（﹣1，1）、B（x﹣1，2x），若向量与（O为坐标原点）的夹角为锐角，则实数x的取值范围是（）A．（﹣1，）∪（，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【分析】由条件利用两个向量的夹角公式，两个向量共线的性质，可得1﹣x+2x＞0，且≠，由此求得x的范围．【解答】解：若向量与（O为坐标原点）的夹角为锐角，则＞0 且向量与不共线，∴1﹣x+2x＞0，且≠，求得x＞﹣1，且 x≠，故选：A．【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式，两个向量共线的性质，属于基础题．5．（5分）（2016春•莆田校级期末）各项都是正数的等比数列{a n}，若a2，a3，2a1成等差数列，则的值为（）A．2 B．2或﹣1 C．D．或﹣1【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由题意得q＞0，根据条件和等差中项的性质列出方程求出q的值，利用等比数列的通项公式化简即可得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，因为a2，a3，2a1成等差数列，所以2×a3=a2+2a1，则，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），所以===，故选：C．【点评】本题考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质，考查整体思想，方程思想，属于中档题．6．（5分）（2015秋•广东月考）已知函数f（x）是偶函数，当0≤x1＜x2时，＞0恒成立，设a=f（﹣2），b=f（1），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c【分析】根据条件先判断函数在[0，+∞）上是增函数，结合函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：当0≤x1＜x2时，＞0恒成立，∴此时函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，∵函数f（x）是偶函数，∴a=f（﹣2）=f（2），b=f（1），c=f（3），则f（1）＜f（2）＜f（3），即f（1）＜f（﹣2）＜f（3），则b＜a＜c，故选：D【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化是解决本题的关键．7．（5分）（2016•岳阳校级模拟）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π．若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称．则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+） B．f（x）=2sin（x+） C．f（x）=2sin（2x+）D．f（x）=2sin （2x+）【分析】根据函数的图象求出函数的周期，利用函数的对称性求出ω和φ的值即可得到结论．【解答】解：∵函数的图象上相邻两个最高点的距离为π，∴函数周期T=π，即T==π，即ω=2，即f（x）=2sin（2x+φ），若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，得f（x）=2sin[2（x+）+φ）]=2sin（2x++φ），若图象关于y轴对称．则+φ=+kπ，即φ=+kπ，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴当k=0时，φ=，即f（x）=2sin（2x+），故选：C．【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数的性质求出ω和φ的值是解决本题的关键．8．（5分）（2015秋•广东月考）给出如下四个判断：①若“p或q”为假命题，则p、q中至多有一个为假命题；②命题“若a＞b，则log2a＞log2b”的否命题为“若a≤b，则log2a≤log2b”；③对命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”；④在△ABC中，“sinA＞”是“∠A＞”的充分不必要条件．其中不正确的判断的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】根据“p或q”的真假性判断①是错误的；根据原命题与它的否命题的关系得出②是正确的；根据全称命题的否定是特称命题可判断③是错误的；根据sinA＞时∠A＞成立，充分性成立；∠A＞时sinA＞不一定成立，必要性不成立；得出④正确．【解答】解：对于①，若“p或q”为假命题，则p、q中两个都是假命题，故①错误；对于②，根据原命题与它的否命题的关系知，“若a＞b，则log2a＞log2b”的否命题为“若a≤b，则log2a≤log2b”，故②正确；对于③，命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1”，故③错误；对于④，△ABC中，当sinA＞时，＞∠A＞，即∠A＞成立，是充分条件；当∠A＞时，不能得出sinA＞，即不是必要条件；综上，“sinA＞”是“∠A＞”的充分不必要条件，故④正确．所以，不正确的判断是①③，共2个．故选：B．【点评】本题利用命题真假的判断考查了简易逻辑的应用问题，是综合性题目．9．（5分）（2011•浙江模拟）已知点P为△ABC所在平面上的一点，且，其中t为实数，若点P落在△ABC的内部，则t的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】用向量的加法法则将条件中的向量，都用以A为起点的向量表示得到，画出图形，结合点P落在△ABC的内部从而得到选项．【解答】解：在AB上取一点D，使得，在AC上取一点E，使得：．则由向量的加法的平行四边形法则得：，由图可知，若点P落在△ABC的内部，则．故选D．【点评】本题考查向量的线性运算性质及几何意义，向量的基本运算，定比分点中定比的范围等等10．（5分）（2015秋•广东月考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3π+2﹣1 B．3π+2 C．2π+2﹣1 D．2π+2【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个半球和一个三棱锥形成的组合体，分别计算各个面的面积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个半球和一个三棱锥形成的组合体，其直观图如下图所示：半球的曲面面积为：2π，半球的平面面积为：π﹣×2×1=π﹣1，棱锥侧面VAC和VBC的面积均为：=，棱锥侧面VAB的面积为：=，故组合体的表面积为：3π+2﹣1，故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键．11．（5分）（2015秋•广东月考）定义运算法则如下：a⊕b=+b﹣2，a⊗b=lga2﹣lg；若M=27⊕，N=⊗25，则M+N=（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用两个新的运算法则及其指数与对数的运算法则即可得出．【解答】解：M=27⊕=+（）﹣2=3+2=5，N=⊗25=lg（）2﹣lg=﹣lg2﹣lg5=﹣1，∴M+N=5﹣1=4，故选：C【点评】本题考查了新的运算法则、及其指数与对数的运算法则，属于基础题．12．（5分）（2015秋•广东月考）已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=，若a3=a1成立，则a在（0，1]内的可能值有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据题意对a进行分类讨论，分别根据递推公式和条件列出方程，求出a在（0，1]内的所有值．【解答】解：由题意知，a1=a∈（0，1]，a2=2a∈（0，2]，①当a∈（0，]时，则a2=2a∈（0，1]，所以a3=2a2=4a，由a3=a1得，4a=a，得a=0（舍去）；②当a∈（，1]时，a2=2a∈（1，2]，所以a3==，由a3=a1得，=a，得a=1或a=（舍去），综上得，a=1，即a在（0，1]内的可能值有1个，故选：D．【点评】本题考查数列的递推式的应用，以及分类讨论思想、方程思想的运用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）（2015秋•贺州月考）已知=（2，1），=（﹣1，﹣3），若（+λ）⊥，则λ= ．【分析】求出向量+λ，然后利用垂直条件，求解即可．【解答】解：=（2，1），=（﹣1，﹣3），+λ=（2﹣λ，1﹣3λ）．（+λ）⊥，可得λ﹣2+9λ﹣3=0，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查斜率的数量积的应用，考查计算能力．14．（5分）（2014•江西）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，则点P的坐标是（e，e）．【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为f′（x）=lnx+x=1+lnx，直线2x﹣y+1=0的斜率k=2，∵曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，∴f′（x）=1+lnx=2，即lnx=1，解得x=e，此时y=elne=e，故点P的坐标是（e，e），故答案为：（e，e）．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的性质，要求熟练掌握导数的几何意义．15．（5分）（2015秋•广东月考）若实数x，y满足，且x2+y2的最大值等于25，则正实数a= 1 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用x2+y2的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，x2+y2的几何意义表示为点（x，y）到原点（0，0）的距离的平方，∵图象可知，可行域中的点B（，3）离（0，0）最远，故x2+y2的最大值为（）2+32=25，即（）2=16，即=4或﹣4，解得a=1或a=﹣（负值舍去），故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用x2+y2的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．16．（5分）（2015秋•广东月考）2015年10月4日凌晨3点，代号为“彩虹”的台风中心位于A港口的东南方向B处，且台风中心B与A港口的距离为400千米．预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心500千米的范围都会受到台风影响，则A港口从受到台风影响到影响结束，将持续15 小时．【分析】过A作AC垂直BC，垂足为点C，则BC=AC=400千米，在BC线上取点D使得AD=500千米进而根据勾股定理求得DC，进而乘以2，再除以速度即是 A港口受到台风影响的时间．【解答】解：由题意AB=400千米，过A作AC垂直BC，垂足为点C，则BC=AC=400千米台风中心500千米的范围都会受到台风影响所以在BC线上取点D使得AD=500千米因为AC=400千米，AD=500千米∠DCA是直角根据勾股定理 DC=300千米因为500千米的范围内都会受到台风影响所以影响距离是300×2=600千米T==15（小时）故答案为15．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了考生运用所学知识解决实际问题的能力．三、解答题：第17到21题为必做题，从第22、23、24三个小题中选做一题，满分60分．17．（12分）（2015秋•贺州月考）在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的三边，设向量=（cosA，sinA），=（cosA，﹣sinA），且与的夹角为．（1）求角A的值；（2）若a=，设内角B为x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的最大值．【分析】（1）由题知：||=||=1，cos==cos2A﹣sin2A，由此能求出A．（2）由正弦定理，得b=2sinx，c=2sin（120°﹣x），（x＜120°），从而y=，利用导数性质能求出y=f（x）的最大值．【解答】解：（1）∵向量=（cosA，sinA），=（cosA，﹣sinA），∴由题知：||=||=1，∵与的夹角为，∴cos==cos2A﹣sin2A，即cos2A=﹣，又∵0＜A＜，0＜2A＜π，∴2A=，故A=．（2）由正弦定理，得==2，b=2sinx，c=2sin（120°﹣x），（x＜120°），∴y=y′=2cosx﹣2cos（120°﹣x），令y′=2cosx﹣2cos（120°﹣x）=0，得x=60°，∴x=60°时，y=f（x）取最大值y max==3．【点评】本题考查角的大小的求法，考查三角形周长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．18．（12分）（2015秋•广东月考）已知：数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=n，n∈N*（1）求数列{a n}的通项；（2）设b n=log3，求数列{}的前n项和S n．【分析】（1）利用递推关系即可得出．（2）b n=log3=n，=n•3n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）当n≥2时，数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=n，n∈N*，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1=n﹣1，两式作差得：3n﹣1a n=1，∴a n=．当n=1时，a1=1也满足上式．∴a n=（n∈N*）．（2）b n=log3=n，=n•3n﹣1．数列{}的前n项和S n=1+2×3+3×32+…+n•3n﹣1，3S n=3+2×32+…+（n﹣1）•3n﹣1+n•3n，∴﹣2S n=1+3+32+…+3n﹣1﹣n•3n=﹣n•3n，∴S n=﹣+．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2015秋•沈阳校级月考）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，P为线段AD1上的动点，（1）当P为AD1中点时，求证：PD⊥平面ABC1D1（2）求证：无论P在何处，三棱锥D﹣PBC1的体积恒为定值；并求出这个定值．【分析】（1）由正方形ADD1A1可得PD⊥AD1，由AB⊥平面ADD1A1可得AB⊥PD，故而PD⊥平面ABC1D1；（2）三棱锥P﹣BDC1的底面积为定值，由AD1∥BC1可知AD1∥平面BDC1，故P到平面BDC1的距离为定值，当P与A重合时，求出三棱锥C1﹣ABD的体积即可．【解答】证明：（1）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，PD⊂平面AA1D1D，∴AB⊥PD．∵AD=AA1，∴四边形AA1D1D为正方形，P为对角线AD1的中点，∴PD⊥AD1，又∵AB∩AD1=A，AB⊂平面ABC1D1，AD1⊂平面ABC1D1，∴PD⊥平面ABC1D1．（2）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AD1∥BC1，BC1⊂平面BDC1，AD1⊄平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1，∵P为线段AD1上的点，∴点P到平面BDC1的距离为定值．而三角形BDC1的面积为定值，∴三棱锥P﹣BDC1的体积为定值，即三棱锥D﹣PBC1的体积为定值．V=V=V=V==．【点评】本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20．（12分）（2015秋•广东月考）已知函数f（x）=a﹣（x∈R）为奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）若对任意的t∈[﹣1，]，不等式f（t2+2）+f（t2﹣tk）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）利用函数定义取到R的奇函数的性质：f（0）=0求解实数a的值．（2）利用定义法证明其单调性．（3）利用（2）函数的单调性，将不等式f（t2+2）+f（t2﹣tk）＞0恒成立等价变换后求解实数k的取值范围．【解答】解：（1）由题意：∵函数f（x）=a﹣是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，即，解得：a=1．当a=1时，f（x）=1﹣=f（﹣x）═==﹣=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．故得a=1满足题意．所以：a=1．（2）由（1）可知f（x）=；设x1＜x2，那么：f（x1）﹣f（x2）=﹣=∵x1＜x2，∴所以：f（x1）﹣f（x2）＜0；故，函数f（x）为R上的增函数．（3）由（2）知：函数f（x）为R上的增函数，且f（x）是奇函数．从而不等式：f（t2+2）+f（t2﹣tk）＞0等价于f（t2+2）＞f（﹣t2+tk），即得：t2+2＞﹣t2+tk．∴2t2﹣tk+2＞0对任意于t∈[﹣1，]，恒成立．记g（t）=2t2﹣tk+2，开口向上，对称轴x=，则g（t）在∈[﹣1，]上的最小值大于0．即恒成立．①当＜﹣1时，即k＜﹣4时，g（t）=2t2﹣tk+2在[﹣1，]上是单调增函数，g（t）min=g（﹣1）=4+k＞0，解得：k＞﹣4，故得k无解，②当﹣1≤时，即﹣4≤k≤2时，g（t）min=g（）=2﹣＞0，解得：4＞k＞﹣4，故得﹣4＜k≤2．③当＞时，即k＞2时，g（t）=2t2﹣tk+2在[﹣1，]上是单调减函数，g（t）min=g（）=＞0，解得：k＜5，故得2＜k＜5，综上所述：实数k的取值范围是{k|﹣4＜k＜5}．【点评】本题考查了函数的性质之奇函数的运用，单调性的证明以及恒等式的问题的转化为二次函数最值的讨论．属于难题．21．（12分）（2015秋•贺州月考）设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）记g（x）=f′（x）﹣+m，试讨论是否存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）成立．【分析】（1）求出函数的导数，求得单调区间和极值，可得最小值；（2）假设存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）成立．则方程g（x）=f（1）在区间（0，）∪（，+∞）上有解，求出m=﹣x3+x，设φ（x）=﹣x3+x，求出导数，求得x=1是φ（x）的最大值点，求出最大值，画出图象，讨论m的范围，即可得到所求的结论．【解答】解：（1）由题设，当m=e时，f（x）=lnx+，其定义域为（0，+∞），可得f′（x）=﹣=即有当0＜x＜e时，f′（x）＜0，此时f（x）在（0，e）上单调递减；当x＞e时，f′（x）＞0，此时f（x）在（e，+∞）上单调递增；则当x=e时，f（x）取得最小值f（e）=lne+1=2；（2）假设存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）成立．则方程g（x）=f（1）在区间（0，）∪（，+∞）上有解，由g（x）=f′（x）﹣x+m=﹣﹣x+m（x＞0），f（1）=m，方程g（x）=f（1）可化为m=﹣x3+x，设φ（x）=﹣x3+x，则φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1），当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，此时φ（x）在（0，1）上单调递增；当x＞1时，φ′（x）＜0，此时φ（x）在（1，+∞）上单调递减；所以x=1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是φ（x）的最大值点，φ（x）的最大值为φ（1）=﹣+1=又φ（0）=φ（）=0，结合y=φ（x）的图象，可知①当m＞或m=0时，方程g（x）=f（1）在区间（0，）∪（，+∞）上无解；②当0＜m＜时，方程g（x）=f（1）在区间（0，）∪（，+∞）上有两解；③当m＜0或m=时，方程g（x）=f（1）在区间（0，）∪（，+∞）上有一个解．综上所述，当m＞或m=0时，不存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）；当m≤且m≠0时，存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）．【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法和数形结合的思想，考查运算能力，属于中档题．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）（2015秋•广东月考）如图，已知AB是圆O的直径，直线CD与圆O相切于点C，AC平分∠DAB，AD与圆O相交于点E（1）求证：AD⊥CD（2）若AE=3，CD=2，求OC的长．【分析】（1）连接BC．由直线CD与⊙O相切于点C，可得∠DCA=∠B．再利用角平分线的性质可得：△ACD ∽△ABC，可得∠ADC=∠ACB，即可证明．（2）利用切割线定理得：DA．由（1）知：AD⊥CD，可得AC，又由（1）知：△ACD∽△ABC，，JKDC．【解答】（1）证明：连接BC．∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠DCA=∠B．∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB．故△ACD∽△ABC，∴∠ADC=∠ACB．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠ADC=90°，即AD⊥CD．（2）解：由切割线定理得：DA×DE=DC2，即DA×（DA﹣3）=4，解得：DA=4．由（1）知：AD⊥CD，∴AC2=AD2+CD2=20，又由（1）知：△ACD∽△ABC，∴，∴AB==5．∴OC==．【点评】本题考查了圆的切线的性质、切割线定理、相似三角形的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015秋•广东月考）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4sinθ（1）直线l的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【分析】（1）直线l的参数方程化为普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化为极坐标方程；（2）求出曲线C的化为普通方程，与直线方程联立，求得直角坐标方程，再求直线l与曲线C交点的极坐标．【解答】解：（1）将直线l的参数方程（t为参数），消去参数t，化为普通方程：x﹣y+2=0；…（2分）将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上述方程得：ρcosθ﹣ρsinθ+2=0．…（4分）（2）将曲线C的化为普通方程得：x2+y2﹣4y=0．…（6分）由直线与圆方程联立解得：或…（8分）所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为：（2，），（2，）．…（10分）【点评】本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查学生的计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．（2015秋•广东月考）设函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|﹣1，g=﹣x+a．（1）求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=g（x）有三个不同的解，求a的取值范围．【分析】（1）化简函数的解析式，分类讨论求得x的取值范围．（2）分类讨论求得方程f（x）=g（x）的解集，结合x的范围，求得对应的a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|﹣1=，当x≥2时，f（x）=﹣4，不合题意；当﹣1≤x＜2时，f（x）=﹣2x≥0，解得﹣1≤x≤0；当x＜﹣1时，f（x）=2＞0，符合题意．综上，f（x）≥0的解集为（﹣∞，0]．（2）当x≥2时，方程f（x）=g（x），即﹣4=﹣x+a，解得：x=a+4；当﹣1≤x＜2 时，方程f（x）=g（x），即﹣2x=﹣x+a，解得：x=﹣a；当x＜﹣1时，方程f（x）=g（x），即2=﹣x+a，解得：x=a﹣2．使方程方程f（x）=g（x）有三个不同的解，则，解得：﹣2＜a＜1．所以a的取值范围是（﹣2，1）．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求方程的解，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
广东省中山一中2017-2018学年高三上学期第一次统测数学理试卷 Word版含解析
2017-2018学年广东省中山一中高三（上）第一次统测数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={1，2}，B={x|ax﹣3=0}，若B⊆A，则实数a的值是（）A．0，，3 B．0，3 C．，3 D．32．已知A={x|2x＜1}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．[﹣2，0）B．[﹣2，0] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）3．以下选项中的两个函数不是同一个函数的是（）A．f（x）=+g（x）=B．f（x）=g（x）=（）3C．f（x）=•g（x）=D．f（x）=g（x）=x04．已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）的值为（）A．B．﹣ C．2 D．﹣25．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f （﹣1）=（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣36．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．127．方程log3x+x﹣3=0的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）8．设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a9．函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．10．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题11．已知关于x的方程ax2+x+3a+1=0，在（0，3]上有根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，﹣] B．[﹣，﹣] C．[﹣3，﹣2]D．（﹣3，﹣2]12．设集合S={A0，A1，A2}，在S上定义运算⊕：A i⊕A j=A k，其中k为i+j被3除的余数，i，j∈{1，2，3}，则使关系式（A i⊕A j）⊕A i=A0成立的有序数对（i，j）总共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数f（x）定义域为[0，8]，则函数g（x）=的定义域为．14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f（x+1）=f（x﹣1），当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）=．15．设函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集是．16．已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设f（x）=lg（ax2﹣2x+a），（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．18．（12分）命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，x+2ax0+2﹣a=0，若p∧q为假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？20．（12分）已知函数（x∈[1，+∞）且m＜1）．（Ⅰ）用定义证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数；（Ⅱ）设函数，若[2，5]是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g （x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知PA与圆O相切于点A，OB⊥OP，AB交PO与点C．（Ⅰ）求证：PA=PC；（Ⅱ）若圆O的半径为3，OP=5，求BC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为，求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）求x的取值范围．2016-2017学年广东省中山一中高三（上）第一次统测数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（2015春•定州市期末）已知集合A={1，2}，B={x|ax﹣3=0}，若B⊆A，则实数a的值是（）A．0，，3 B．0，3 C．，3 D．3【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】本题考察集合间的包含关系，分成B=∅，B={1}，或B={2}讨论，求解即可．【解答】解：集合A={1，2}，若B⊆A，则B=∅，B={1}，或B={2}；①当B=∅时，a=0，②当B={1}时，a﹣3=0，解得a=3，③当B={2}时，2a﹣3=0，解得a=，综上，a的值是0，3，，故选：A．【点评】本题容易忽略B=∅的情况．2．（2016秋•广东校级月考）已知A={x|2x＜1}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．[﹣2，0）B．[﹣2，0] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出集合A，B，根据集合的基本运算，即可得到结论．【解答】解：A={x|2x＜1}={x|x＜0}=（﹣∞，0），B={x|y=}=[﹣2，+∞）∴A∩B=[﹣2，0），故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．（2016秋•广东校级月考）以下选项中的两个函数不是同一个函数的是（）A．f（x）=+g（x）=B．f（x）=g（x）=（）3 C．f（x）=•g（x）=D．f（x）=g（x）=x0【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】判断两个函数是否为同一函数，应判定它们的定义域、值域以及对应关系是否相同，三方面都相同时是同一函数．【解答】解：A中f（x）的定义域是{x|x=1}，g（x）的定义域是{x|x=1}，且对应关系相同，∴是同一函数；B中f（x），h（x）的定义域是R，且对应关系相同，∴是同一函数；C中f（x）的定义域是{x|x≥1}，g（x）的定义域是{x|x≥1，或x≤﹣3}，∴不是同一函数；D中f（x）与g（x）的定义域都是{x|x≠0}，值域都是{1}，对应关系相同，∴是同一函数；故选：C．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题．4．（2015春•温州校级期中）已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）的值为（）A．B．﹣ C．2 D．﹣2【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，计算log4f（2）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，图象过点（3，），∴3α=，∴α=，∴f（x）=（x≥0）；∴log4f（2）=log4=log42=×=；故选：A．【点评】本题考查了用待定系数法求出函数的解析式以及利用函数解析式求值的问题，是基础题．5．（2014•兴安盟二模）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数），则f（﹣1）=（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】据函数为奇函数知f（0）=0，代入函数的解析式求出b，求出f（1）的值，利用函数为奇函数，求出f（﹣1）．【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=20+2×0+b=0，解得b=﹣1，所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，故选D．【点评】解决奇函数的问题，常利用函数若在x=0处有意义，其函数值为0找关系．6．（2015•新课标II）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．7．（2012•东莞二模）方程log3x+x﹣3=0的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】对数函数的图象与性质．【专题】数形结合．【分析】方程的解所在的区间，则对应的函数的零点在这个范围，把原函数写出两个初等函数，即两个初等函数的交点在这个区间，结合两个函数的草图得到函数的交点的位置在（1，3），再进行进一步检验．【解答】解：∵方程log3x+x=3即log3x=﹣x+3根据两个基本函数的图象可知两个函数的交点一定在（1，3），因m（x）=log3x+x﹣3在（1，2）上不满足m（1）m（2）＜0，方程log3x+x﹣3=0 的解所在的区间是（2，3），故选C．【点评】本题考查函数零点的检验，考查函数与对应的方程之间的关系，是一个比较典型的函数的零点的问题，注意解题过程中数形结合思想的应用．8．（2015•山东）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】不等式比较大小．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接判断a，b的大小，然后求出结果．【解答】解：由题意可知1＞a=0.60.6＞b=0.61.5，c=1.50.6＞1，可知：c＞a＞b．故选：C．【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，考查计算能力．9．（2016•株洲一模）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】数形结合．【分析】先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个，再通过对数函数，当x=1时，函数值为0，可进一步确定选项．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，所以排除A，B当x=1时，f（x）=0排除C故选D【点评】本题主要考查将函数的性质与图象，将两者有机地结合起来，并灵活地运用图象及其分布是数形结合解题的关键．10．（2014•南昌模拟）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故答案选择D．【点评】此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点．11．（2016秋•广东校级月考）已知关于x的方程ax2+x+3a+1=0，在（0，3]上有根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，﹣] B．[﹣，﹣] C．[﹣3，﹣2]D．（﹣3，﹣2]【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】讨论方程类型和方程在（0，3]上的根的个数，利用二次函数的性质列出不等式解出．【解答】解：当a=0时，方程x+1=0的零点为﹣1，不符合题意，∴a≠0．（1）若方程在（0，3]有一个根，①若3为方程的根，则12a+4=0，解得a=﹣，②若3不是方程的根，则或．解得a=﹣或无解．（2）若方程在（0，3]上有两个根，则，解得：﹣＜x≤﹣，综上，a的范围是[﹣，﹣]．故选B．【点评】本题考查了方程根的个数判断，一元二次方程与二次函数的关系，不等式的解法，属于中档题．12．（2013•广东模拟）设集合S={A0，A1，A2}，在S上定义运算⊕：A i⊕A j=A k，其中k 为i+j被3除的余数，i，j∈{1，2，3}，则使关系式（A i⊕A j）⊕A i=A0成立的有序数对（i，j）总共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【考点】元素与集合关系的判断．【专题】新定义．【分析】由题目给出的新定义可知满足关系式（A i⊕A j）⊕A i=A0成立的有序数对（i，j）应保证（i+j）除以3的余数加i后除以3等于0，分别取i=1，j=1，2，3；i=2，j=1，2，3；i=3，j=1，2，3验证后即可得到答案．【解答】解：有定义可知满足（A i⊕A j）⊕A i=A0成立的有序数对（i，j）应保证（i+j）除以3的余数加i后除以3等于0，i=1，j=1，（1+1）除以3的余数是2，（2+1）除以3的余数是0；i=1，j=2，（1+2）除以3的余数是0，（0+1）除以3的余数是1；i=1，j=3，（1+3）除以3的余数是1，（1+1）除以3的余数是2；i=2，j=1，（2+1）除以3的余数是0，（0+2）除以3的余数是2；i=2，j=2，（2+2）除以3的余数是1，（1+2）除以3的余数是0；i=2，j=3，（2+3）除以3的余数是2，（2+2）除以3的余数是1；i=3，j=1，（3+1）除以3的余数是1，（1+3）除以3的余数是1；i=3，j=2，（3+2）除以3的余数是2，（2+3）除以3的余数是2；i=3，j=3，（3+3）除以3的余数是3，（3+3）除以3的余数是0．所以满足条件的数对有（1，1），（2，2），（3，3）共3对．故选C．【点评】本题考查了元素与集合关系的判断，是新定义题，解答的关键是对题意的理解，是基础题型．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（2016秋•广东校级月考）已知函数f（x）定义域为[0，8]，则函数g（x）=的定义域为[0，3）∪（3，4] ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】题目给出了函数y=f（x）的定义域，只要让2x在函数f（x）的定义域内，且x≠3，求解x的范围即可．【解答】解：f（x）定义域为[0，8]，∴0≤2x≤8，即0≤x≤4，∴f（2x）的定义域为[0，4]，∴g（x）=，∴3﹣x≠0，解得x≠3，故函数g（x）=的定义域为[0，3）∪（3，4]，故答案为：[0，3）∪（3，4]【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，给出了函数f（x）的定义域为[a，b]，求函数f[g（x）]的定义域，只要用g（x）∈[a，b]，求解x的范围即可，此题是基础题．14．（2016秋•广东校级月考）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f （x+1）=f（x﹣1），当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）=﹣2．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】推导出f（x+2）=f（x），f（1）=0，由此利用当0＜x＜1时，f（x）=4x，能求出f （﹣）+f（1）的值．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f（x），f（1）=f（﹣1）=﹣f（1），∴f（1）=0，∵当0＜x＜1时，f（x）=4x，∴f（﹣）+f（1）=﹣f（）+0=﹣f（）=﹣=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．15．（2015春•潍坊期末）设函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集是[0，+∞）．【考点】指、对数不等式的解法；对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】根据题意，分情况讨论：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，分别求解即可．【解答】解：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2，解得x≥0，因为x≤1，故0≤x≤1；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，解得x≥，故x＞1．综上所述，不等式f（x）≤2的解集为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查分段函数、解不等式问题、对数函数的单调性与特殊点，属基本题，难度不大．16．（2015•四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有①④（写出所有真命题的序号）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】创新题型；开放型；函数的性质及应用．【分析】运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．【解答】解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确；对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，则n＞0不恒成立，则②错误；对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），即为g（x1）﹣f（x1）=g（x2）﹣f（x2），考查函数h（x）=x2+ax﹣2x，h′（x）=2x+a﹣2x ln2，当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x，h′（x）=2x+a+2x ln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．故答案为：①④．【点评】本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．三、解答题：本题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013秋•浏阳市校级期中）设f（x）=lg（ax2﹣2x+a），（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）函数f（x）=lg（ax2﹣2x+a）的定义域是实数集，说明对任意实数x都有ax2﹣2x+a＞0成立，则该二次三项式对应的二次函数应开口向上，且图象与x轴无交点，由二次项系数大于0，且判别式小于0联立不等式组求解a的取值范围；（2）只有内层函数（二次函数）对应的图象开口向上，且与x轴有交点，真数才能取到大于0的所有实数，由此列式求解a的取值集合．【解答】解：（1）∵f（x）=lg（ax2﹣2x+a）的定义域为R，∴对任意x∈R都有ax2﹣2x+a＞0恒成立，则，解得：a＞1．∴使f（x）的定义域为R的实数a的取值范围是（1，+∞）；（2）∵f（x）=lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，∴ax2﹣2x+a能取到大于0的所有实数，则，解得：0＜a≤1．∴使f（x）的值域为R的实数a的取值范围是（0，1]．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了函数的值域问题，考查了数学转化思想方法，解答的关键是对题意的理解，是中档题．18．（12分）（2014春•泉州校级期末）命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，x+2ax0+2﹣a=0，若p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】本题的关键是给出命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“”为真时a的取值范围，在根据p、q中至少有一个为假，求实数a的取值范围．【解答】解：∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，∴若p是真命题．则a≤x2，∵x∈[1，2]，∴a≤1；∵命题q：“”，∴若q为真命题，则方程x2+2ax+2﹣a=0有实根，∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即，a≥1或a≤﹣2，若p真q也真时∴a≤﹣2，或a=1∴若“p且q”为假命题，即实数a的取值范围a∈（﹣2，1）∪（1，+∞）【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．19．（12分）（2009•湖南）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【考点】根据实际问题选择函数类型；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】应用题．【分析】（Ⅰ）设出相邻桥墩间距x米，需建桥墩个，根据题意余下工程的费用y为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到y的解析式；（Ⅱ）把m=640米代入到y的解析式中并求出y′令其等于0，然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时m的值代入中求出桥墩个数即可．【解答】解：（Ⅰ）相邻桥墩间距x米，需建桥墩个则（Ⅱ）当m=640米时，y=f（x）=640×（+）+1024f′（x）=640×（﹣+）=640×∵f′（26）=0且x＞26时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，0＜x＜26时，f′（x）＜0，f（x）单调递减∴f（x）最小=f（x）极小=f（26）=8704∴需新建桥墩个．【点评】考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，会利用导数研究函数的增减性以及求函数最值的能力．20．（12分）（2015秋•肇庆期末）已知函数（x∈[1，+∞）且m＜1）．（Ⅰ）用定义证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数；（Ⅱ）设函数，若[2，5]是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）设1≤x1＜x2＜+∞，=（x1﹣x2）（），由1≤x1＜x2＜+∞，m＜1，能够证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．（Ⅱ），对称轴，定义域x∈[2，5]，由此进行分类讨论，能够求出实数m的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：设1≤x1＜x2＜+∞，=（x1﹣x2）（）∵1≤x1＜x2＜+∞，m＜1，∴x1﹣x2＜0，＞0，∴f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．（Ⅱ）解：对称轴，定义域x∈[2，5]①g（x）在[2，5]上单调递增，且g（x）＞0，②g（x）在[2，5]上单调递减，且g（x）＞0，无解综上所述【点评】本题考查函数的恒成立问题的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答．21．（12分）（2009•湖北校级模拟）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？【考点】二次函数的性质．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）f（﹣1）=0⇒a﹣b+1=0，又值域为[0，+∞）即最小值为0⇒4a﹣b2=0，求出f （x）的表达式再求F（x）的表达式即可；（2）把g（x）的对称轴求出和区间端点值进行分类讨论即可．（3）f（x）为偶函数⇒对称轴为0⇒b=0，把F（m）+F（n）转化为f（m）﹣f（n）=a（m2﹣n2）再利用m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0来判断即可．【解答】解：（1）∵f（﹣1）=0，∴a﹣b+1=0①（1分）又函数f（x）的值域为[0，+∞），所以a≠0且由知即4a﹣b2=0②由①②得a=1，b=2（3分）∴f（x）=x2+2x+1=（x+1）2．∴（2）由（1）有g（x）=f（x）﹣kx=x2+2x+1﹣kx=x2+（2﹣k）x+1=，（7分）当或时，即k≥6或k≤﹣2时，g（x）是具有单调性．（9分）（3）∵f（x）是偶函数∴f（x）=ax2+1，∴，（11分）∵m＞0，n＜0，则m＞n，则n＜0．又m+n＞0，m＞﹣n＞0，∴|m|＞|﹣n|（13分）∴F（m）+F（n）=f（m）﹣f（n）=（am2+1）﹣an2﹣1=a（m2﹣n2）＞0，∴F（m）+F（n）能大于零．（16分）【点评】本题是对二次函数性质的综合考查．其中（1）考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2015春•武汉校级期末）如图，已知PA与圆O相切于点A，OB⊥OP，AB交PO与点C．（Ⅰ）求证：PA=PC；（Ⅱ）若圆O的半径为3，OP=5，求BC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】立体几何．【分析】（1）由于PA与圆O相切于点A，可得OA⊥AP，于是∠OAC+∠PAC=90°．由于OB⊥OP，可得∠OCB+∠B=90°．利用OA=OB，可得∠OAC=∠OBC．可得∠PAC=∠OCB．利用对顶角相等可得∠OCB=∠PCA，进而得到∠PAC=∠PCA，即可证明PA=PC．（2）在Rt△OAP中，利用勾股定理可得，即可得出PC=4．进而得到OC=OP﹣CP．在Rt△OBC中，利用勾股定理可得BC2=OB2+OC2即可．【解答】（1）证明：∵PA与圆O相切于点A，∴OA⊥AP，∴∠OAC+∠PAC=90°．∵OB⊥OP，∴∠OCB+∠B=90°．∵OA=OB，∴∠OAC=∠OBC．∴∠PAC=∠OCB，又∵∠OCB=∠PCA，∴∠PAC=∠PCA，∴PA=PC．（2）解：在Rt△OAP中，=4．∴PC=4．∴OC=OP﹣CP=1．在Rt△OBC中，BC2=OB2+OC2=32+12=10．∴．【点评】本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、圆的性质、对顶角相等的性质、等角对等边的性质等基础知识，属于基础题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2015春•武汉校级期末）已知曲线C1：（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为，求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）消去参数t，可得曲线C1的参数方程化为普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设出Q，求出M，然后利用点到直线的距离公式以及三角函数的最值求解即可．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），消去参数可得：，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．化为ρcosθ﹣2ρsinθ=7，它的普通方程为：x﹣2y﹣7=0．（Ⅱ）设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为，Q的直角坐标为：（﹣4，4），设P（8cost，3sint），故M（﹣2+4cost，2+），PQ中点M到曲线C2上的点的距离d==（其中tanβ=），当sint=，cost=时，PQ中点M到曲线C2上的点的距离最小值为：．【点评】本题考查椭圆的参数方程以及直线的极坐标方程的应用，点到直线的距离公式的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•商洛模拟）已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）求x的取值范围．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）利用“1”的代换，化简+，结合基本不等式求解表达式的最小值；（Ⅱ）利用第一问的结果．通过绝对值不等式的解法，即可求x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0且a+b=1∴=，当且仅当b=2a时等号成立，又a+b=1，即时，等号成立，故的最小值为9．（Ⅱ）因为对a，b∈（0，+∞），使恒成立，所以|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，当x≤﹣1时，2﹣x≤9，∴﹣7≤x≤﹣1，当时，﹣3x≤9，∴，当时，x﹣2≤9，∴，∴﹣7≤x≤11．【点评】本题考查函数的最值基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．。
广东省中山市2018届高三上学期期末考试数学(文)试题Word版含解析
中山市高三级2017-2018学年度第一学期期末统一考试文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的•1. 已知集合.. 丁匚…：-卜、：，：’「I . ■，若I-，则.的值为（）A. 2B. -1C. -1 或2D. 2 或【答案】A【解析】解：由题意可知：.二，则满足题意时，⑴二.本题选择C选项•1 +疝2. 若复数（是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（）2-111A. 2B.C.D. -222【答案】A【解析】由题意，令」「“-•「：，则解得，故选A3. 一名法官在审理一起盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁分述如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”，乙说：“我没有作案，是丙偷的”，丙说：“在甲和乙中有一个人是罪犯”，丁说：“乙说的是事实”，经调查核实，这四人中只有一人是罪犯，并且得知有两人说的是真话，两人说的是假话，由此可判断罪犯是（）A.甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】由题意可以看出乙、丁两人的观点是一致的，•••乙、丁两人的供词应该是同真或同假.若乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，显然这两个结论是相互矛盾的，•••乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话.由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯•选 B.4•阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为（）开始■ H itr/■出§/1 —X*即了Ln = n^lD.【答案】B【解析】执行循环得=呼％5 2 22 £=3 声=岳口= 4；J3 J3 不亠人丽■，结束循环，输出；一，选B.2 2点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项■ x + y < 45.若凡y满足』一2x^2三0 ，若z = x十2y,则z的最大值是(y >0A. 1B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】作可行域如图，则直线^一：：十住过点A(2,2)时取最大值6，选C.6.李冶(1192-1279 ),真实栾城(今属河北石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年 在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、 正方形的边长等•其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘 与方田四边之间的面积为 13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直 径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)()A. 10 步，50 步B. 20 步，60 步C. 30 步，70 步D. 40 步，80 步【答案】B【解析】设圆池的半径为.步，则方田的边长为步，由题意，得 解得r 】：；或r:: ' (舍)，所以圆池的直径为 20步，方田的边长为 60步，故选B .点睛：求解数学文化试题主要分三步完成：(1)理解数学文化背景，挖掘出包含的数学意义;(2)联想相关的数学模型，将数学文化背景中的数学问题转化为纯数学问题;知识求解，并回答求解的问题C. ■■ -■■■ :: %D. I ：:A、'【答案】B【解析】••••="“=""= " ■■■'■>.'3 2 6 6ln2 ln5 51n2-21n5 In32-ln25 又;一.. 25 10 10t ：'、，即..：■ L .选 B .点睛：比较大小的常用方法(1) 构造函数，判断出函数的单调性，让所要比较大小的数在同一单调区间内，然后利用单 调性进行比较. (2)作差与零比较，即 a _b >> b,a-b = 0«EI = b,.a-b < < b .‘:"lJI(3) 作商与1比较，即'.DbDf(x)8.已知函数 与的图像如图所示，则函数的递减区间为()(3)利用数学7.已知实数ln2 ln3 ,i-23兰，贝U的大小关系是(10由图可得xe （P ：l ）U （4?+x ），故函数单调减区间为（61（4,十8）,故选D.考点：利用导数研究函数的单调性知函数是偶函数，其图象关于愿点对称，故排除 A ; 当x 从大于零变到零的过程中，函数值 y r 十「」，故排除B;当时， ，排除C ;故选D. 考点：函数的图象.10.在正方体■ " ' ' "■ 'T ' 1 'i 中，是棱 的中点，F 是侧面 内的动点，且 平面【解析】试题分析:................ ，令「即9. 2嗚區斗6x ）函数的图像大致为（【答案】DB.【答案】DD.【解析】试题分析：由函数得：4X-1"■.AT ,则 与平面三二所成角的正切值 构成的集合是(【答案】D【解析】F 轨迹为线段MN 其中M, N 分别为三三.三中点，所以 与平面所成角的正A]B[ A]B]切值范围为■-,选D.也厂MM11.已知，函数i ：厂I •的零点分别为'■■■I j ，函数的零3一Jc — 1点分别为则:+ ...的最小值为(C . <-| ■ <D .2迪兀吒 $5 5 5 13 、+ r亠 T r f(0 - -) = —sin(20-(p)-2一一 os(29-q>)-2 = -一sin2l<兀一2--ccs2k7t -2 - ，选 D.2 4 22222点睛：三角函数求值的三种类型⑴ 给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数⑵给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异 ① 一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ② 变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的(3) 给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角二、填空题(每题 5分，满分20分，将答案填在答题纸上)31 413. 已知 cos(a 1 -) = J U si 心□ = ________________ .【答案】257t TL兀 T 7T 16 7【解析】■ 11■■- :■- -餐：.：—］：'=■.■.■■■■ - ' = =4 2 4 4 2, _i >14. 已知玄=(1厂2),3十氏=(0”2)，^U 币| = ______________ .A. 1B. '咅C.D. 3【答案】B【解析】试题分析：由题意知:X X KK2】 = M ，护= 1*，=2乔厂_ 1 I k ^x 4-x 3 _ 3k + 1・・•• = ， --------------------------k-F I区厂s p + 也-兀])3k -i 14I1-k4-:-+厲-：*：的最小值为 I 代，:.考点：函数零点•,1 7C K12.已知函数 K. = r.m ••：•'：：：•：'••:：“]；，其周期为，儿’：，则儿’：匚“.：=2 2 4A.—— 迅9B.2 1]13C.D.【答案】【解析】 f(x) = 3sim>x.cos®x - 4cos^)x2兀35 4「11. :- ■■■■ -. --Il . .■:ri-- ■ .■: 其中 m.=2_iM1 .；:: I ，因为 h '：.，所以■- . ■- ■-八.- ："；：.=■'.：■【答案】【解析】'■ = ■ ' ■ I I ! - ■- '■15. 某班运动队由足球队员倨人、篮球队员12人、乒乓球队员6人组成(每人只参加一项)「现从这些运动员中抽取一个容量为门的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样法•,贝帰环用剔除个体；当样本容量为n十1时,若采用系统抽柿去T则需要剔除1个个体「那么样本容量n为 __________ .【答案】6【解析】n为18+12+6=36的正约数，因为18：12：6=3：2: 1,所以n为6的倍数，因此6,12.18,2430,36因为当样本容量为时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，所以n+1为35的正约数，因此16. 数列的前项和，已知，且对任意正整数..，都有，若对任意，玄口恒成立，则实数L的取值范围是 __________________ .【答案】才,T氐|【解析】因为斗［+］=斗玄］=叫・"・» = ----- - < —，所以实数L的取值范围是才,4 gI —5点睛：不等式有解问题，不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立？，恒成立？三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设等差数列的前..项和，且£.：［, +「二.（1）求的通项公式；（2）若不等式心：九：九:，对所有的正整数..都成立，求实数.的取值范围【答案】（1）' ■；（2）:兰【解析】试题分析：（1）根据等差数列通项公式以及求和公式将条件化为关于首项与公差的方程组，解得-L「■-. （2）先化简不等式：；】:"：“'，再分奇偶讨论：当门为奇数n时，. |丨；当为偶数时，.…：.：■,最后根据基本不等式以及数列单调性确定实数.的取值范围.试题解析：（I）设公差为，则、. .、：］!、. .1 、，一：X ,f| = - L「'■•••的通项公式为=■3n（n - 1）,（n）,「，「：】_.• 匕”八-■则原不等式等价于| I 对所有的正整数I】都成立.nf a 9•••当••为奇数时，• | I ;当••为偶数时，卜J 恒成立9又•••，当且仅当：时取等号，n所以当门为奇数时，的最小值为7,n9 29当为偶数时，时，：「斗丨--的最小值为，n 4, 29•••不等式对所有的正整数都成立时，实数的取值范是：心「丁118. 如图，在汀.：二.中，—-二，，点在线段上.(2)若匕l；・的面积为一二，求'L J的值.3sinZCxADQ【答案】(1) ; (2)3【解析】试题分析：(I)首先利用同角三角函数间的基本关系求得定理即可求得的长；(n)首先三角形面积间的关系求得，然后利用三角形面积公式AB AD在字三二中，由正弦定理得，SinZADB sinBz 8又'.A. ............ 5 分4 3 3(II )・m m -：；；n•，一一一 ,] 1•/，.: .“1 上一泊二•’"一在Id中，由余弦定理得■- .-p.2-考点：1、正弦定理与余弦定理；2、三角形面积公式；3、同角三角形函数间的基本关系.19. 某单位拟建一个扇环形状的花坛(如图所示) ，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成，按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为(弧度)••ii：l■的值，然后利用正弦结合余弦定理即可求得sinZ-CAD试题解析：(I )在三角形中,sin^BADsinZ-CADAC，12分的值.1sm^BADsinZCAD（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用的比为 ，求关于的函数关系式，并求，；（2）当％"时，花坛的面积与装饰总费用的比最大【解析】试题分析：（1）根据已知条件，将周长-米为等量关系可以建立- 满足的关系式,10+2x再由此关系式进一步得到函数解析式： —.，即可解得—；（2）10+x11 T*F根据题意及（1） 可得花坛的面积为，装饰总A费用为•，而要求的17Q+ 10x10(17 亠 x)4元/米，弧线部出为何值时,取得最大值?【答案】（1） '：讣|…、.J ：） .＜：■17；| ■ l ：i.v ，因此可得函数解析式 =（1）求关于的函数关系式;□「,+ 卄亠-X - + 5x - 50 x'-5x-50最大值，即求函数的最大值，17Q+ IQx10（17+ x ）39 132 斗从而-，再利用基本不等式，即可求得"io t I 324 3324，当且仅当,|I ；；时取等号，此39 1 -- 2 -10 10时，花坛的面积与装饰总费用的比最大 可以考虑采用换元法令 ，「的最大值:12- ，因此当匚-11试题解析：（1 ）扇环的圆心角为U.,•••（2）由（1）可得花坛的面积为-10+2 工_： ..，3 分装饰总费用为 .…-― / /, 8 分•花坛的面积与装饰总费用的一2 + 弘+§0 J ? -5x^50” ■ 170+lOx 一 10(17+ X)10分io i 7J41 i ^241令则 —「.--,当且仅当_ _,-” 10 10 t10 10 V z 10 t12 时取等号，此时 ，•一 「，12分11答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.13分考点：1.扇形公式的运用；2.利用基本不等式函数求极值.20.某市小型机动车驾照“科二”考试中共有 5项考查项目，分别记作①，②，③，④，⑤.（1）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示） ，并计算从恰有2 项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过线 的前提下，将汽车驶入指定的停车位，根据经验，学员甲转向 后可使车尾边缘完全落 在线段‘工、上,且位于〔匸内各处的机会相等, 若2A —三二一工沐，心一工认.汽车宽度为 .， 求学员甲能按教练要求完成任务的概率3 I【答案】（1） ；（ 2）【解析】试题分析：（1）一共有五个人两项不合格，任取两人,63补测项数不超过 ',由古典概型可知，所求概率为 ；（2）在线段上取两点，使试题解析:学员编①②③®⑤(1) :T TT(2)TT T（3） TTT T ⑷T TT(5)T TTT⑹TTT(7)TT T T ⑻T T T T T P(9)T TT(10)TTT \ TT注匕"r 农示合格*喘C 衣示不件格，在汽车边缘不压射线•与射种可能的情况中，有种情况•八 I 「〕: ■■,据几何概型所求概率AB r 2.4-L.8 2.4 + 2 xO.3-1.80.6 1 1223（；）项的概率（2）如图，某次模拟演练中，教练要求学员甲倒车并转向(1)由题意，学员(1) , (2) , (4) , (6) , (9)恰有两项不合格,从中任意抽出•人，所有情 况如下：由表可知，全部 种可能的情况中，有种情况补测项数不超过 ',由古典概型可知，所求概率为10(2)在线段工上取两点亠.二，使二—二—•：」，记汽车尾部左端点为，则当：位于线段上时，学员甲可按教练要求完成任务，而学员甲可以使点 ：等可能地出现在线段上，据几何考点：古典概型、几何概型.21.如图所示的几何体:为一简单组合体，在底面 y 】中，：「，•,(2)求该组合体=■的体积.【答案】(1)见解析；(2)丄匸【解析】试题分析：(1)要证面面垂直只需证线面垂直，容易证 面 ，：面.，所以平面齐平面.)面小“将几何体分成四棱锥 二口和三棱锥；：：-三匚叮:两部分， 分别计算这两部分的体积即可 •(1)求证：平面齐F 平面.；概型，所求概率AB r2,4-1.8 2.4+ 2^0.3-1.80.6 1 122试题解析：(i)证明：因为工；i.平面占兰二m；；】，所以)I.平面仝兰.又因为I：：厂平面f二;，所以丨/丄心、，又因为//? • B：J,且「门字一二、所以-：j ..平面於三，又因为〕:：厂平面匚：工，所以平面齐.F 平面字二.......................... (6分)(2)面：二E■将几何体分成四棱锥三W门和三棱锥二-汎二俩部分，过作二一二》二因为I.平面上m；, m 平面乩玩,所以a三二，又因为上:*匸「-总所以.?0.|平面了二匚；，即H「为四棱锥疋一门的高，并且：〉：I . ；,、■ LI，.'，所以*•.一.-,因为〔门I.平面且已知. ，左E二二为顶角等于的等腰三角形，H；-二，,1 2&所以^ ,所以组合体—汀•的体积为：「. ........................ ( 12分)9 9考点：1、面面垂直的判定定理；2、多面体的体积•1 722. 已知函数：2(1)若，求函数的单调递减区间；(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值【答案】(1) ; (2) 2【解析】试题分析：(1)由KI) = 0可求得甘=2，求导后令山刻< °解不等式可得单调递减区间*(刃构造函数1 Ti ... . . g(x) = f(x) - (ax -1) = Inx - 2ax + (1 - a)x + 1 3则问题等价于ca(x) < 0在(0・ + <»)上恒成立.当a < 0时,求导可得Q(X)在(0. + e)上单调递增.又g⑴=-|a +2 > 0・故不滞足题意•当a > 0时’可得Q(X)的最大值为g® = ^ - Ina P因为h⑻=/ -1“单调递减T且h(l) = ； > 0 , h⑵=^ - In2 < 0 ?所以当a > 2时?h(a) < 0 ,从而可得整数自的最小值为2 ■试题解析:⑴因为 ，所以 的单调减区间为 •(2)令i! ：1 ..■< n Ip< ■ ■/■：-, 由题意可得■■■■■■ ;■在V. + 3上恒成立.f , 1 -ax + (1 - a)x + 1又 ①当 '二.；：时，则 ：！： 所以 在V.十":;上单调递增，I ,3 又因为汀一；| .；i /■■所以关于的不等式不能恒成立.I43a(x - -)(x 4-1)②当■: J > _时， ，g 仪)二 ------------------ 二 -- -------------所以当： 时，，函数 单调递增;a1 ,当―• r 时，，函数 单调递减.I】 1 1 g(3 = In- - -aa a 21令卜i ： ■. ,—cl则 在=.十3上单调递减, 因为 h ； I ， . I ,卜I-： ：, ii'i.'：:'所以当乳r 时，h ；：i ：, 所以整数的最小值为2.故当时, 函数 取得极大值，也为最大值，且最大值为1= -. 2a。
广东省中山市2017-2018学年高三12月月考数学(文)试题Word版含答案
广东省中山市2017-2018学年高三12月月考数学（文）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题(本大题共12小题，共60分)1.设集合{}|0M x x =≤，{}|1N x lnx =≤ ，则下列结论正确的是（ ） A.N ≠⊂M .?B M N =.? R C M N R ⋃=ð .R D M N M ⋂=ð002.02p x R sinx q x x sinx π∃∈=∀∈已知命题：，使：（，），＞，则下列判断正确的是（ ）.? .? ?.? .A p B q C p q D p q ∧∨为真￢为假为真为假3.已知12cos()413πα-=04πα∈（，）， 则cos 2sin 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ）A .1013B.-513C.513D.12134.函数y=log 2（1+x ）+ 8−2x 的定义域为（ ） A.（-1，3） B.（0，3] C.（0，3） D.（-1，3]5.函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（w ＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，则f （0）+f （17π12）的值为（ ） A.2- 3 B.2+ 3C.1- 32D.1+ 326.函数f (x )=sin (x +π6)的图象向左平移π3个单位，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的12，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）A.x =−π2B.x =−π4C.x =π8D.x =π47.设f （x ）=ax 2+bx+2是定义在[1+a ，1]上的偶函数，则f （x ）＞0的解集为（ ） A.（-2，2） B.∅ C.（-∞，-1）∪（1，+∞） D.（-1，1）8.已知函数f （x ）=-x 2+2ax+1-a 在区间[0，1]上的最大值为2，则a 的值为（ ） A.2 B.-1或-3C.2或-3D.-1或2 9.已知函数221f x x f lnx x f =+'-'=（）（）（），则（）（ ）A.1B.2C.3D.410.设函数f （x ）= 2x +a ，x ＞2log 12(94−x )+a 2，x ≤2，若f （x ）的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A.（-∞，-1]∪[2，+∞）B.[-1，2]C.（-∞，-2]∪[1，+∞）D.[-2，1]11.设函数f （x ）=-|x|，g （x ）=lg （ax 2-4x+1），若对任意x 1∈R，都存在x 2∈R，使f （x 1）=g （x 2），则实数a 的取值范围为（ ） A.（-∞，4] B.（0，4] C.（-4，0] D.[4，+∞）12.y kx m y f x F x f x kx =+==-如图，已知直线与曲线（）相切于两点，则（）（）有（ ）A.2个零点B.3个极值点C.2个极大值点D.3个极大值点二、填空题(本大题共4小题，共20分)13.已知条件P：x2-3x+2＞0；条件q：x＜m，若￢p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 ______ ．14.曲线f（x）=e x+5sinx在（0，1）处的切线方程为 ______ ．15.若cos(α+π5)=45，则sin(2α+9π10)= ______ ．16.已知函数f（x）=|x2-4x+3|，若关于x的方程f（x）-a=x至少有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ______ ．三、解答题(本大题共7小题，第17-21题每题12分，第22题10分，共70分)17.求下列各式的值．（1）log327+lg25+lg4+7 lo g72+（-9.8）0（2）（tan5°-1tan5°）•cos70°1+sin70°．18.已知函数f（x）=sin（ωx-π4）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（1）求f（π6）．（2）在图3给定的平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间[-π2，π2]上的图象，并根据图象写出其在（-π2，π2）上的单调递减区间．19.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2（ab∈R）（1）若函数f（x）在x=1处有极值10，求b的值；（2）若对任意a∈[-4，+∞），f（x）在x∈[0，2]上单调递增，求b的取值范围．20.已知函数f（x）=2sinωxcosωx-23sin2ωx+3（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为π2．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（α）=23，求sin（56π-4α）的值．21.设f（x）=xlnx-ax2+（2a-1）x，a∈R．（Ⅰ）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；（Ⅱ）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．22.选做题：在以下两题中选择一题进行作答。
2017届广东省中山市高三上学期期末文科数学试题及答案
中山市高三级2017-2018学年度第一学期期末统一考试数学试卷（文科）答案本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．DAACD CBBCB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．．14; 13. 5; 14. 3(,1)4三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x =，1)2b = ，函数()1f x a b =⋅+ 。
（Ⅰ）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间; （Ⅱ）当9()5f α=,且263ππα<<时,求2sin(2)3πα+的值.15．解： 依题意)(x f ⋅=)sin ,(cos x x 11(,)1sin 12222x x +=++………（2分）sin()13x π=++ ………………………………………………（4分）（Ⅰ） 函数)(x f 的值域是[]0,2；………………………………………………（5分）令πππππk x k 22322+≤+≤+-，解得52266k x k ππππ-+≤≤+………………（7分） 所以函数)(x f 的单调增区间为5[2,2]()66k k k Z ππππ-++∈.……………………（8分）（Ⅱ）由9()sin()1,35f παα=++=得4sin()35πα+=,因为2,63ππα<<所以,23ππαπ<+<得3cos()35πα+=-,………………………（10分）2sin(2+)sin 2()33ππαα=+ 432sin()cos()23355ππαα=++=-⨯⨯ 2425=-……………………………………………………………………（12分）16．（本题满分12分）某学校餐厅新推出A ，B ，C ，D 四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下. 为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：（Ⅰ）若同学甲选择的是A 款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面 谈，求这两人中至少有一人选择的是D 款套餐的概率.解：（Ⅰ）由条形图可得，选择A ，B ，C ，D 四款套餐的学生共有200人，其中选A 款套餐的学生为40人， 由分层抽样可得从A 款套餐问卷中抽取了 42004020=⨯份. …………….（2分）设事件M =“同学甲被选中进行问卷调查”， 则.10404)(==M P . ……………………………………………………….（5分）答：若甲选择的是A 款套餐，甲被选中调查的概率是0.1. …………….（6分）（II ）由图表可知，选A ，B ，C ，D 四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5.其中不满意的人数分别为1，1，0，2个 . ………………………….（7分）记对A 款套餐不满意的学生是a ；对B 款套餐不满意的学生是b ； 对D 款套餐不满意的学生是c ，d. ………………………………………………….（8分）设事件N =“从填写不满意的学生中选出2人，至少有一人选择的是D 款套餐”从填写不满意的学生中选出2人，共有(a ,b ),(a ,c ),(a ,d ),(b ,c ),(b ,d ),(c ,d )6个基本事件，而事件N 有(a ,c ),(a ,d ),(b ,c ),(b ,d ),(c ,d )5个基本事件， ………………………（10分）则65)(=N P . ………………………………………………………（12分）17．（本题满分14分）如图所示，圆柱的高为2、DF 是圆柱的两条母线，过AD 作圆柱的截面交下底面于BC , 四边形ABCD 是正方形.（Ⅰ）求证BC BE ⊥；（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD 的体积.（Ⅰ） AE 是圆柱的母线，∴AE ⊥下底面，又BC ⊂下底面，∴AE BC ⊥…………………………….3分又 截面ABCD 是正方形，所以BC ⊥AB ，又AB AE A =∴BC ⊥面ABE ，又BE ⊂面ABE ，∴BC BE ⊥ ……………………………（7分）（Ⅱ）因为母线AE 垂直于底面，所以AE 是三棱锥A BCE -的高………………（8分），由（Ⅰ）知BC ⊥面ABE ，BC ⊂面ABCD ，∴面ABCD ⊥面ABE ， 又 面ABCD ⋂面ABE AB =，EO ⊂面ABE ，EO AB ⊥∴EO ⊥面ABCD ，即EO 就是四棱锥E ABCD -的高…………………（10分）设正方形ABCD 的边长为x , 则AB BC x ==，BE =又 BC BE ⊥，∴EC为直径，即EC =在Rt BEC 中，222EC BE BC =+,即22244x x x =+-⇒=∴4416ABCD S =⨯=， ……………………………………………………………（12分）24AE BE EO AB ⋅===∴111633E ABCD ABCD V OE S -=⋅⋅==18.（本小题满分14分）数列{n a }的前n 项和为n S ，2131(*)22n n S a n n n N +=--+∈． （I ）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； （II ）求数列{}n nb 的前n 项和n T ；（Ⅲ）若12n n n c a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，22014211k k k k kc c P c c =++=+∑．求不超过P 的最大整数的值。
广东省中山一中、仲元中学等七校2017-2018学年高三上学期第一次联考数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年广东省中山一中、仲元中学等七校高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合M={x|lg（1﹣x）＜0}，集合N={x|﹣1≤x≤1}，则M∩N=（）A．（0，1）B．[0，1）C．[﹣1，1] D．[﹣1，1）2．设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B．C．D．23．从数字1，2，3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为（）A．B．C．D．4．若||=1，||=，且⊥（﹣），则向量，的夹角为（）A．45°B．60°C．120°D．135°5．实数a=0.2，b=log0.2，c=的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a6．将函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移个周期后，所得图象对应的解析式（）A．y=cos（2x+）B．y=cos（2x+）C．y=cos（2x﹣）D．y=cos（2x﹣）7．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，若a，b，c成等比数列，A=45°，则=（）A．B．C．D．8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）A．B． C．D．9．下列函数为奇函数的是（）A．f（x）=x3﹣1 B．f（x）=x+cosx C．f（x）=xsinx D．f（x）=lg（x+）10．如图所示的程序框图的运行结果为（）A．﹣1 B．C．1 D．211．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=2﹣，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．12．已知函数f（x）=，若函数y=|f（x）|图象与直线y=kx+k有3个交点，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．[，） D．[，）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．实数x，y满足，则z=x+y+1的最大值为．14．设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．15．已知曲线f（x）=x•lnx在点（1，f（1））处的切线与曲线y=x2+a相切，则a=．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ACD与△BCD都是边长为2的正三角形，且平面ACD ⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a3=20，2S3=S4+8．（1）求数列{a n}的通项公式（2）设b n=（n∈N*），T n=b1+b2+…+b n，求T n．18．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）求证：PC⊥AD；（2）求点D到平面PAM的距离．19．某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以X（单位：盒，100≤X≤200）表示这个丌学季内的市场需求量，Y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．（Ⅰ）根据直方图估计这个丌学季内市场需求量X的平均数和众数；（Ⅱ）将Y表示为X的函数；（Ⅲ）根据直方图估计利润不少于4800元的概率．20．如图，已知圆E：（x+）2+y2=16，点F（，0），P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；（2）已知A，B，C是轨迹Γ的三个动点，点A在一象限，B与A关于原点对称，且|CA|=|CB|，问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线AB的方程；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx（1）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]请考生在第22、23、24题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号．22．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，切点为A，PB交AC于点E，交⊙O于点D，PA=PE，∠ABC=45°，PD=1，DB=8．（1）求△ABP的面积；（2）求弦AC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上求一点D，使它到直线l：（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．2017-2018学年广东省中山一中、仲元中学等七校高三（上）第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合M={x|lg（1﹣x）＜0}，集合N={x|﹣1≤x≤1}，则M∩N=（）A．（0，1）B．[0，1）C．[﹣1，1] D．[﹣1，1）【考点】交集及其运算．【分析】由题设条件先求集合M和N，再由交集的运算法则计算M∩N．【解答】解：由题意知M={x|0＜x＜1}，∴M∩N={x|0＜x＜1}=（0，1），故选：A．2．设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B．C．D．2【考点】复数求模．【分析】先化简复数，再求模即可．【解答】解：∵复数z满足=i，∴1+z=i﹣zi，∴z（1+i）=i﹣1，∴z==i，∴|z|=1，故选：A．3．从数字1，2，3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】从数字1，2，3中任取两个不同的数字构成一个两位数，基本事件总数n==6，则这个两位数大于30包含的基本事件个数m=2，由此能求出这个两位数大于30的概率．【解答】解：从数字1，2，3中任取两个不同的数字构成一个两位数，基本事件总数n==6，则这个两位数大于30包含的基本事件个数m=2，∴这个两位数大于30的概率为P==．故选：B．4．若||=1，||=，且⊥（﹣），则向量，的夹角为（）A．45°B．60°C．120°D．135°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】设向量的夹角为θ，由=0，可得=1，再利用两个向量的夹角公式求出cosθ，进而求得θ的值．【解答】解：设向量的夹角为θ，由题意可得==0，可得=1，即=cosθ=1×cosθ，解得cosθ=．再由0≤θ≤π可得θ=，故选A．5．实数a=0.2，b=log0.2，c=的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质；不等关系与不等式．【分析】根据指数函数，对数函数和幂函数的性质分别判断a，b，c的大小，即可判断．【解答】解：根据指数函数和对数函数的性质，知log0.2＜0，0＜0.2＜1，，即0＜a＜1，b＜0，c＞1，∴b＜a＜c．故选：C．6．将函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移个周期后，所得图象对应的解析式（）A．y=cos（2x+）B．y=cos（2x+）C．y=cos（2x﹣）D．y=cos（2x﹣）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先求值函数的周期，根据函数图象的平移变换法则，我们可以得到将函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移个周期后，所得图象对应的解析式．【解答】解：∵y=cos（2x﹣）的周期T==π，∴将函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移个周期后，所得图象对应的解析式为：y=cos[2（x+）﹣]=cos（2x+）．故选：B．7．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，若a，b，c成等比数列，A=45°，则=（）A．B．C．D．【考点】等比数列的性质；正弦定理．【分析】由a，b，c成等比数列，根据等比数列的性质化简得到关于a，b及c的关系式，利用正弦定理化简后得到关于sinA，sinB及sinC的关系式，然后把所求的式子也利用正弦定理化为关于正弦函数的式子，把化简得到关系式及A的度数代入求出值．【解答】解：由a，b，c成等比数列，得到b2=ac，由正弦定理得：sin2B=sinA•sinC．又A=45°，∴===sinA=．故选：C．8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）A．B． C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由已知中锥体的侧视图和俯视图，画出该几何的直观图，进而可得该锥体的正视图．【解答】解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P﹣ABC所示：顶点P在以BA和BC为邻边的平行四边形ABCD上的射影为CD的中点O，故该锥体的正视图是：故选A9．下列函数为奇函数的是（）A．f（x）=x3﹣1 B．f（x）=x+cosx C．f（x）=xsinx D．f（x）=lg（x+）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：A．当f（x）=x3﹣1，f（1）=0，f（﹣1）=﹣2，则f（﹣1）≠﹣f（1）且f （﹣1）≠f（1），则f（x）是非奇非偶函数B．f（﹣x）=﹣x+cosx，则f（﹣x）≠﹣f（x），则函数f（x）不是奇函数，C．f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），则函数f（x）是偶函数，D．f（﹣x）+f（x）=lg（﹣x+）+lg（x+）=lg（﹣x+）（x+）=lg（x2+1﹣x2）=lg1=0，则f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）是奇函数，故选：D．10．如图所示的程序框图的运行结果为（）A．﹣1 B．C．1 D．2【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后得出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；a=2，i=1，i＜2016，a=1﹣=；i=2，i＜2016，a=1﹣=﹣1；i=3，i＜2016，a=1﹣=2；i=4，…所以该程序中a的值是以3为周期的数值，当i=2015=671×3+2时，i＜2016，a=﹣1；当i=2016=672×3时，i≥2016，退出循环，输出a=﹣1．故选：A．11．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=2﹣，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设右焦点为F′，由=2﹣，可得E是PF的中点，利用O为FF'的中点，可得OE为△PFF'的中位线，从而可求PF′、PF，再由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．【解答】解：设右焦点为F′，则∵=2﹣，∴+=2，∴E是PF的中点，∴PF′=2OE=a，∴PF=3a，∵OE⊥PF，∴PF′⊥PF，∴（3a）2+a2=4c2，∴e==，故选：C．12．已知函数f（x）=，若函数y=|f（x）|图象与直线y=kx+k有3个交点，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．[，） D．[，）【考点】函数的图象．【分析】函数y=|f（x）|图象与直线y=kx+k有3个交点函数的图象与函数的导数，求解即可．【解答】解：∵函数y=|f（x）|图象与直线y=kx+k有3个交点，∴f（x）=，与y=k（x+1）有3个不同交点，作y=f（x）与y=k（x+1）的图象如下，易知直线y=k（x+1）过定点A（﹣1，0），斜率为k．当直线y=k（x+1）与y=ln（x+1）相切时是一个临界状态，设切点为（x0，y0），则，解得，x0=e﹣1，k=，又函数过点B（2，ln3），k AB==，故≤k＜．故选：D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．实数x，y满足，则z=x+y+1的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+y+1，即y=﹣x﹣1+z，由图象可知当直线y=﹣x﹣1+z经过点B（3，0），和直线x+y﹣3=0平行时，直线y=﹣x﹣1+z的截距最大，此时z最大．代入目标函数z=x+y+1得z=3+1=4．即目标函数z=x+y+1的最大值为4．故答案为：4．14．设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．【考点】余弦定理．【分析】利用已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，以及余弦定理，可联立解得cosB的值，进一步求得角B．【解答】解：由已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得a2+b2﹣c2+2ab=ab即a2+b2﹣c2=﹣ab由余弦定理得：cosC==又因为0＜C＜π，所以C=．故答案为：15．已知曲线f（x）=x•lnx在点（1，f（1））处的切线与曲线y=x2+a相切，则a=﹣．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）=x•lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=x2+a相切，可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．【解答】解：f（x）=x•lnx的导数为y′=lnx+1，曲线f（x）=x•lnx在x=1处的切线斜率为k=1，则曲线f（x）=x•lnx在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．由于切线与曲线y=x2+a相切，故y=x2+a可联立y=x﹣1，得x2﹣x+a+1=0，所以有△=1﹣4a﹣4=0，解得a=﹣．故答案为：﹣．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ACD与△BCD都是边长为2的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为．【考点】球的体积和表面积．【分析】取AB，CD中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，求出EF，判断三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，求出半径，然后求解表面积．【解答】解：取AB，CD中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，由题意知AF⊥BF，AF=BF，，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=CF2+OF2，求得，所以其表面积为．故答案为：．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a3=20，2S3=S4+8．（1）求数列{a n}的通项公式（2）设b n=（n∈N*），T n=b1+b2+…+b n，求T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程组，可得首项和公差，即可得到所求通项；（2）求得b n=（﹣），再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，由2S3=S4+8得：2（3a1+d）=4a1+d+8，解得a1=4；由a3=a1+2d=20，所以d=8，故数列{a n}的通项公式为：a n=a1+（n﹣1）d=8n﹣4；（2）由（1）可得，，则．18．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）求证：PC⊥AD；（2）求点D到平面PAM的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征． 【分析】（1）取AD 中点O ，由题意可证AD ⊥平面POC ，可证PC ⊥AD ；（2）点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离，可证PO 为三棱锥P ﹣ACD 的体高．设点D 到平面PAC 的距离为h ，由V D ﹣PAC =V P ﹣ACD 可得h 的方程，解方程可得． 【解答】解：（1）取AD 中点O ，连结OP ，OC ，AC ，依题意可知△PAD ，△ACD 均为正三角形，∴OC ⊥AD ，OP ⊥AD ，又OC ∩OP=O ，OC ⊂平面POC ，OP ⊂平面POC ， ∴AD ⊥平面POC ，又PC ⊂平面POC ，∴PC ⊥AD ．（2）点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离， 由（1）可知PO ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PO ⊂平面PAD ，∴PO ⊥平面ABCD ，即PO 为三棱锥P ﹣ACD 的体高．在Rt △POC 中，，，在△PAC 中，PA=AC=2，，边PC 上的高AM=，∴△PAC 的面积，设点D 到平面PAC 的距离为h ，由V D ﹣PAC =V P ﹣ACD 得，又，∴，解得，∴点D 到平面PAM 的距离为．19．某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以X（单位：盒，100≤X≤200）表示这个丌学季内的市场需求量，Y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．（Ⅰ）根据直方图估计这个丌学季内市场需求量X的平均数和众数；（Ⅱ）将Y表示为X的函数；（Ⅲ）根据直方图估计利润不少于4800元的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量X的众数和平均数．（Ⅱ）由已知条件推导出当100≤x≤160时，y=50x﹣•30=80x﹣4800，当160＜x≤200时，y=160×50=8000，由此能将Y表示为X的函数．（Ⅲ）利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率直方图得到：需求量为110的频率=0.005×20=0.1，需求量为130的频率=0.01×20=0.2，需求量为150的频率=0.015×20=0.3，需求量为170的频率=0.0125×20=0.25，需求量为190的频率=0.0075×20=0.15，∴这个丌学季内市场需求量X的众数是150，这个丌学季内市场需求量X的平均数：=110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153．（Ⅱ）∵每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元，∴当100≤x≤160时，y=50x﹣•30=80x﹣4800，当160＜x≤200时，y=160×50=8000，∴y=．（Ⅲ）∵利润不少于4800元，∴80x﹣4800≥4800，解得x≥120，∴由（Ⅰ）知利润不少于4800元的概率p=1﹣0.1=0.9．20．如图，已知圆E ：（x +）2+y 2=16，点F （，0），P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ． （1）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（2）已知A ，B ，C 是轨迹Γ的三个动点，点A 在一象限，B 与A 关于原点对称，且|CA |=|CB |，问△ABC 的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线AB 的方程；若不存在，请说明理由．【考点】轨迹方程．【分析】（1）连结QF ，根据题意，|QP |=|QF |，则|QE |+|QF |=|QE |+|QP |=4＞2，可得动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆，即可求出动点Q 的轨迹Γ的方程；（2）设直线AB 的方程为y=kx ，与椭圆方程联立，求出A 的坐标，同理可得点C 的坐标，进而表示出△ABC 的面积，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：（1）Q 在线段PF 的垂直平分线上，所以QP=QF ；得QE +QF=QE +QP=PE=4，又，得Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆．∴动点Q 的轨迹Γ的方程．（2）由点A 在一象限，B 与A 关于原点对称，设AB ：y=kx （k ＞0），|CA |=|CB |，∴C 在AB 的垂直平分线上，∴．，，同理可得，则S △ABC =2S △OAC =|OA |×|OC |=．由于≤，所以S △ABC =2S △OAC ≥，当且仅当1+4k 2=k 2+4（k ＞0），|即k=1时取等号．△ABC 的面积取最小值． 直线AB 的方程为y=x ．21．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx（1）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）将a，b的值代入，求出函数f（x）的表达式，导数，从而求出函数的单调区间；（2）将a，b的值代入函数的表达式，问题转化为只需m=1+有唯一实数解，求出函数y=g（x）=1+的单调性，从而求出m的范围．【解答】解：（1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=b=时，f（x）=lnx﹣x2﹣x，∴f′（x）=，令f′（x）=0，解得：x=1或x=﹣2（舍去），经检验，x=1是方程的根．当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．（2）当a=0，b=﹣1时，f（x）=lnx+x，由f（x）=mx得mx=lnx+x，又因为x＞0，所以m=1+，要使方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，只需m=1+有唯一实数解，令g（x）=1+（x＞0），∴g′（x）=（x＞0），由g′（x）＞0，得：0＜x＜e，由g′（x）＜0，得x＞e，所以g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数，g（1）=1+=1，g（e2）=1+=1+，g（e）=1+=1+，所以m=1+或1≤m＜1+．[选修4-1：几何证明选讲]请考生在第22、23、24题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号．22．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，切点为A，PB交AC于点E，交⊙O于点D，PA=PE，∠ABC=45°，PD=1，DB=8．（1）求△ABP的面积；（2）求弦AC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）利用圆的切线的性质，结合切割线定理，求出PA，即可求△ABP的面积；（2）由勾股定理得AE，由相交弦定理得EC，即可求弦AC的长．【解答】解：（1）因为PA是⊙O的切线，切点为A，所以∠PAE=∠ABC=45°，…又PA=PE，所以∠PEA=45°，∠APE=90°…因为PD=1，DB=8，所以由切割线定理有PA2=PD•PB=9，所以EP=PA=3，…所以△ABP的面积为BP•PA=…（2）在Rt△APE中，由勾股定理得AE=3…又ED=EP﹣PD=2，EB=DB﹣DE=8﹣2=6，所以由相交弦定理得EC•EA=EB•ED=12 …所以EC==2，故AC=5…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上求一点D，使它到直线l：（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（I）极坐标方程两边同乘ρ，得出曲线C的直角坐标方程；（II）求出直线l的普通方程和取出C的参数方程，代入点到直线的距离公式，根据三角函数的性质求出距离最小值，得出对应的D点坐标．【解答】解：（I）∵ρ=2sinθ，∴ρ2=2ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y．（II）直线l的普通方程为x+y﹣5=0．曲线C的参数方程为（α为参数）．∴设D（cosα，1+sinα）．则D到直线l的距离d==2﹣sin（）．∴当α=时，d取得最小值1．此时D点坐标为（，）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）依题意知，a=3时，f（x）=，通过对x范围的分类讨论，解不等式f（x）＞0即可；（2）利用等价转化的思想，通过分离参数a，可知当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2或a＞x+2恒成立，从而可求得a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=，…当x＞2时，1﹣x＞0，即x＜1，解得x∈∅；当≤x≤2时，5﹣3x＞0，即x＜，解得≤x＜；当x＜时，x﹣1＞0，即x＞1，解得1＜x＜；综上所述，不等式的解集为{x|1＜x＜}．…（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立⇔2﹣x﹣|2x﹣a|＜0⇔2﹣x＜|2x﹣a|恒成立⇔2﹣x＜2x﹣a或2x﹣a＜x﹣2恒成立⇔x＞或x＜a﹣2恒成立，∴当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2①或a＞x+2②恒成立，解①，a不存在；解②得：a≥4．综上知，a≥4．…2016年10月17日。
2018届广东省中山市高三上学期期末考试文科数学试题及答案
中山市高三年级2018学年度第一学期期末统一考试数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟． 注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
参考公式：锥体体积公式1V Sh 3=体锥；第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知全集{12345,6}U =，，，，，{1,3}A =，{3,4,5}B =，则集合()U C A B =A. {3,6}B. {4,5}C. {3,4,5,6}D.{1245,6}，，，2. 给出下列函数①3cos y x x =,②2sin ,y x =③2y x x=-,④x x y e e -=-，其中是奇函数的是俯视图A. ①②B. ①④C. ②④D. ③④3. 设0.13log 2,ln 2,0.5-===a b c ，则 A ．c b a << B. <<b a c C. b a c << D. a b c <<4. ABCD5. 已知向量a 与b 的夹角为120︒，3a = ，a b += b =A ．5B ．4C ．3D ．16. 在平面直角坐标系xOy 中，设D 是由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0101y y x y x 表示的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，若向E 中随机投一点，则所投点落在D 中的概率是A ．2πB ．1πC ．12πD ．127. 已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则2()a b cd+的最小值是A ．0B ．1C ．2D ．4 8. 下列说法中，①命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是“对于任意2,0x R x x ∈-<”； ②命题“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件； ③已知数据12,,,n x x x L 的平均数5=x ，方差42=S ，则数据1221,21,,21n x x x +++L的平均数和方差分别为11和16④已知向量(3,4)a =- ，(2,1)b =，则向量a 在向量b 方向上的投影是25.⑤()3221f x x ax bx a x =+++=在处有极小值10，则a+b=0或a+b= -7正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．49. 从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余 弦值为A ．12B ．35C ．0 10．定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()5x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为A ．()3,+∞B ．()(),03,-∞+∞UC ．()(),01,-∞+∞UD ．()0,+∞第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)11. 复数()212i i-的模为12. 为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区200名年龄为17.5岁到18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如图： 根据上图可得这200名学生中体重在[)5.64,5.56 的学生人数是 13.各项均为正数的等比数列{}na 中，若568aa ⋅=，则2122210log log log a a a +++=14.给出下列四个命题：①函数()f x 有最小值2；②“2450x x --=”的一个必要不充分条件是“5x =”；③命题:,tan 1p x x ∃∈=R ；命题2:,10q x x x ∀∈-+>R ．则命题“()p q ∧⌝”是假命题； ④函数()3132f x =xx +-在点()()2,2f 处的切线方程为3y =-.其中正确命题的序号是 ．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分12分） 已知40,sin 25παα<<=（1）求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值；（2）求5tan()4πα-的值16.（本小题满分12分）为调查乘客的候车情况，公交公司在 某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如表所示：（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率． 17. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD ，a CB DC AD ===， 60=∠ABC ，平面⊥ACFE 平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，a AE =，点M 在线段EF 上．（1）求证：⊥BC 平面ACFE ； （2）当EM 为何值时，AM ∥平面BDF ?证明你的结论；18．（本小题满分14分）数列}{n a 的前n 项和记为n S ，t a =1，121()n n a S n *+=+∈N ． （1）当t 为何值时，数列}{n a 是等比数列？25)（2）在（1）的条件下，若等差数列}{n b 的前n 项和n T 有最大值，且153=T ，又,11b a +3322,b a b a ++成等比数列，求n T ．19．（本小题满分14 成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在AB 在AD 的延长线上，且对角线MN 过C 点。
广东省2017-2018学年高三10月百校联考数学(文)试题 Word版含答案
2017-2018学年第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若集合{|(1)(5)0}M x x x =--<，集合{|N x y =，则M N 等于（ ） A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[4,5) D ．(4,5)2.设复数z 为纯虚数，且29x =-，则复数2(1)z +的实部为（ ） A ． -6 B ．6± C.-8 D ．8±3.下面是2010年3月安徽省芜湖楼市商品住宅板块销售对比饼状图，由图可知，戈江区3月销售套数为（ ）A ．350B ．340C ．330D ． 306 4.已知11()()122ab<<，则下列不等式成立的是（ ） A. 22(1)(1)a b ->- B. ln ln a b >C.1a b +><5.若sin cos tan 390αα+=，则sin 2α等于（ ）A. 23-B.34-C. 23D. 346.如图所示的五边形是由一个矩形截去一个角而得，且1BC =，2DE =，3AE =，4AB =，则CD等于（ ）A ．1223AB AE + B ．1223AB AE -C. 1223AB AE -+ D ．1223AB AE --7.直线2y b =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左支、右支分别交于A B 、两点，O 为坐标原点，且AOB ∆为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A ．32 D8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ． 40B ．48 C. 56 D ．929.执行如图所示的程序框图，若输入的2x =，4n =，则输出的s 等于（ ）A ．94B ． 99 C. 45 D ．20310.飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15000m ，速度为1000/km h ，飞行员先看到山顶的俯角为18，经过108s 后又看到山顶的俯角为78，则山顶的海拔高度为（ ）A．(15cos78)km - B．(15sin78)km -C. (15cos78)km - D．(15sin78)km - 11.已知抛物线2:2(04)C y px p =<<的焦点为F ，点P 为C 上一动点，(4,0)A，()B p ,且||PA||BF 等于（ ）A ． 4B ．92C. 5 D ．11212.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>在区间(0,)π上存在3个不同的0x ，使得0()1f x =，则ω的取值范围为（ ）A ．523(,]26 B ．523(,)26 C. 319(,)26 D ．319(,]26第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数()23xf x =-的零点为___________.14.设x y ，满足约束条件802020x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =-的最小值为_________.15.已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，5AB AC ==，8BC =，AD ⊥底面ABC ，G 为ABC ∆的重心，且直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，则球O 的表面积为____________. 16.设函数()ln ,0()22,0x a x x f x ax a x +>⎧=⎨++≤⎩，且'(1)'(1)f f -=，则当0x >时，()f x 的导函数'()f x 的极小值为____________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的的前n 项和11(1)2n S n na =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列1{2}n n a - 的前n 项和n T . 18. （本小题满分12分）为调查了解某高等院校毕业生参加工作后，从事的工作与大学所学专业是否专业对口，该校随机调查了80位该校2015年毕业的大学生，得到具体数据如下表：（1）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关”？参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++）．附表：（2）求这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的频率，并估计该校近3年毕业的2000名大学生中从事的工作与大学所学专业对口的人数；（3）若从工作与所学专业不对口的15人中选出男生甲、乙，女生丙、丁，让他们两两进行一次10分钟的职业交流，该校宣传部对每次交流都一一进行视频记录，然后随机选取一次交流视频上传到学校的网站，试求选取的视频恰为异性交流视频的概率.19. （本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，3AB AP ==，2AD PB ==，E 为线段AB 上一点，且:7:2AE EB =，点F G ，分别为线段PA PD、的中点.（1）求证：PE ⊥平面ABCD ；（2）若平面EFG 将四棱锥P ABCD -分成左右两部分，求这两部分的体积之比. 20. （本小题满分12分）如图，已知椭圆2221(1)x y a a+=>的长轴长是短轴长的2倍，右焦点为F ，点,B C 分别是该椭圆的上、下顶点，点P 是直线:2l y =-上的一个动点（与y 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ，记直线BM ，BP 的斜率分别为12k k ，.（1）当直线PM 过点F 时，求PB PM的值；（2）求12||||k k +的最小值. 21. （本小题满分12分） 已知曲线21()(0,0)f x e x x a ax=+≠≠在1x =处的切线与直线2(1)20160e x y --+=平行.（1）讨论()y f x =的单调性；（2）若()ln kf s t t ≥在(0,)s ∈+∞，(1,]t e ∈上恒成立，求实数k 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，过点A 分别作O 的切线AP 与割线AC ，P 为切点，AC 与O 交于B C 、两点，圆心O 在PAC ∠的内部，//BD AP ，PC 与BD 交于点N .（1）在线段BC 上是否存在一点M ，使A P O M 、、、四点共圆？若存在，请确定点M 的位置；若不存在，请说明理由. （2）若CP CD =，证明：CB CN =.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22((1)9x y ++=，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线:6OP πθ=()p R ∈与圆C 交于点M N ，，求线段MN 的长.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()|2||21|f x x x =+--，M 为不等式()0f x >的解集. （1）求M ；（2）求证：当,x y M ∈时，||15x y xy ++<.高三数学试卷参考答案（理科）一、选择题1-5: ACDBA 6-10: CBCAD 11、12：BA 二、填空题13. 2log 3 14.-2 15. 100π 16.2 三、解答题 17.解：（1）∵11(1)2n S n na =+，∴111(1)2a a =+，∴11a =，∴1(1)2n S n n =+，∴11(1)2n S n n -=-， 两式相减得(2)n a n n =≥，而当1n =时，11a =也满足n a n =，所以n a n =.………………6分∴(1)21n n T n =-+.………………12分18.解：（1）根据列联表中的数据，得到2K 的观测值为280(3053510)80 2.051 3.8414040651539k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，故不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关”.………5分（2）这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的频率为65138016=.………………6分 由此估计该校近3年毕业的2000名大学生中从事的工作与大学所学专业对口的人数为132000162516⨯=.………………7分 （3）两两进行一次10分钟的职业交流的所有结果为（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），共有6个基本事件，……………10分其中异性交流的有4个基本事件，故所求概率为4263P ==.………………12分 19.（1）证明：在等腰APB ∆中，112cos 3PBABP AB ∠==，则由余弦定理可得22222132()2223339PE =+-⨯⨯⨯=，∴3PE =.………………2分 ∴2224PE BE PB +==，∴PE AB ⊥.………………3分∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD AB =， ∴PE ⊥平面ABCD .………………4分（2）解：设平面EFG 与棱CD 交于点N ，连接EN ，因为//GF AD ，所以//GF 平面ABCD ，从而可得//EN AD .………………6分延长FC 至点M ，使GM GF =，连接DM ，MN ，则AFE DMN -为直三棱柱.………………7分 ∵F 到AE的距离为123PE =，73AE =，∴1723AEF S ∆=⨯=∴2AFE DMN V -==，113G DMN V -==，∴27AFE DNG AFE DMN G DMN V V V ---=-=.又133P ABCD ABCD V PE S -=⨯⨯=矩形，∴::(35:3727327V V =-=右左.………………12分 20.解：（1）由椭圆2221(1)x y a a+=>的长轴长是短轴长的2倍得2a =.………………1分由题意(0,1)B ，(0,1)C -，焦点F ，当直线PM 过点F 时，则直线PM的方程为11y =-，即13y x =-，令2y =-得x =(2)P -.………………3分联立22141x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得17x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或01x y =⎧⎨=-⎩（舍），即1()77M .………………4分因为PB =，15)7PM = ，………………5分所以454590777PB PM =+= .………………6分 （2）设(,2)P m -，且0m ≠，则直线PM 的斜率为1(2)10k m m---==--， 则直线PM 的方程为11y x m =--，………………7分联立221114y x m x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2248(1)0x x m m ++=，解得22284(,)44m m M m m --++，………………8分所以22212412148844m m m k m m m m ---+===--+，21(2)30k m m --==--，………………10分则1231||||||||4k k m m +=-+≥=31||||4m m -=，即m =±时取等号.所以12||||k k +21.解：（1）由条件可得221'(1)1f e e a=-=-，∴1a =， 由21()+f x e x x =可得2222211'()e x f x e x x -=-=.由'()0f x >可得2210,0,e x x ⎧->⎨≠⎩解之得1x e >或1x e <-；由'()0f x <可得2210,0,e x x ⎧-<⎨≠⎩解之得10x e -<<或10x e <<.∴()f x 在1(,)e -∞-，1(,)e +∞上单调递增，在11(,0)(0,)e e-，上单调递减.………………5分（2）令()ln g t t t =，当(0,)s ∈+∞，(1,]t e ∈时，()0f s >，()ln 0g t t t =>，由()ln kf s t t ≤可得ln ()t tk f s ≥在(0,)s ∈+∞，(1,]t e ∈时恒成立. 即max max ln ()[][]()()t t g t k f s f s ≥=，故只需求出()f s 的最小值和()g t 的最大值. 由（1）可知，()f s 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增， 故()f s 的最小值为1()2f e e=.由()ln g t t t =可得'()ln 10g t t =+>在区间(1,]e 上恒成立， ∴()g t 在(1,]e 上的最大值为()ln g e e e e ==， ∴只需2122k e ≥=， ∴实数k 的取值范围是1[,)2+∞.………………12分22.（1）解：当点M 为BC 中点时，A P O M 、、、四点，证明如下：∵M 为BC 的中点，故OM BC ⊥，即90OMA ∠=.又∵OP AP ⊥，∴90OPA ∠= ，∴OMA ∠与OPA ∠互补，∴A P O M 、、、四点共圆.………………5分（2）证明：∵//BD AP ，∴CNB CPA ∠=∠，连接PD ，∵AP 为切线，∴PDC CPA ∠=∠，∴CNB PDC ∠=∠，∵CP CD =，∴CPD PDC ∠=∠，又∵CBN CPD ∠=∠，∴CBN CNB ∠=∠，∴CB CN =.………………10分23.解：（1）22((1)9x y ++=可化为22250x y y +-+-=，故其极坐标方程为2cos 2sin 50ρθρθ-+-=.………………5分（2）将6πθ=代入2cos 2sin 50ρθρθ-+-=，得2250ρρ--=， ∴122ρρ+=，125ρρ=-，∴12||||MN ρρ=-==.………………10分 24.解：（1）3,2,1()31,2,213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩， 当2x <-时，由30x ->得，3x >，舍去； 当122x -≤≤时，由310x +>得，13x >-，即1132x -<≤； 当12x >时，由30x -+>得，3x <，即132x <<. 综上，1(,3)3M =-.………………6分 （2）∵,x y M ∈，∴||3x <，||3y <，∴||||||||||||||||||||333315x y xy x y xy x y xy x y x y ++≤++≤++=++<++⨯= .………………10分。
中山市高三年级2017—2018学年度第一学期期末统一考试 (原题)
中山市高三年级2017—2018学年度第一学期期末统一考试语文试题2018年4月20日注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡交回。
一、现代文阅读（35分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。
中华文明最大的特点之一，就是具有对异文化的强大包容力，它对“内”与“外”的理解，与对“华夏”和“蛮夷”概念的理解一样，是动态和辩证的，所以能够把接触到的异文化转化为与中华文明彼此相容和互补的东西。
在中国历史上多次出现少数民族势力入主中原建立王朝的现象，但是在与中原文化近距离相处和共存一个时期之后，都在不同程度上接受了中原文化。
在这种历史情境下，恐怕我们讨论中国的“内”与“外”，就不能以中原王朝皇帝的血缘来判断是否“外人”掌权，否则就会否认元朝和清朝是中国的朝代，把它们看作是“外来政权”。
而且纵观各个朝代的皇室血缘，许多都有异族的成分。
中国几千年的历史，无论是皇室贵族还是平民百姓，族际通婚始终是非常普遍的现象，中华各民族之间早就是“我中有你，你中有我”，坚持血统论是违背历史事实的。
同时，我们也不能完全以政府实际收税和派遣官吏的行政管辖边界来加以界定“内”与“外”。
中华文明从中原地区向周边的边缘地区、甚至边远的异邦进行文化辐射，现在周边的许多邻国，在历史上都可以被划入“中华文化圈”的辐射范围，比如像朝鲜半岛、越南、琉球等地，过去使用的文字都是汉字，它们保留下来的历史文献都是汉字。
广东省中山市2017-2018学年高三上学期第五次阶段测试文数试题Word版含答案
广东省中山市2017-2018学年高三上学期第五次阶段测试文数试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|40A x x =-<，{}|1x 5B x =-<≤，则()R A B = ð（ ） A ．()20-， B ．()21--， C ．(]21--， D ．()22-， 2.已知复数21aibi i-=+，其中a b R ∈，，i 是虚数单位，则a bi +=（ ）A ．13i --BC ．10D 3.2014cos 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．12 B ．12- D ．4.已知点()01A ，，()32B ，，向量()43AC =--，，则向量BC = （ ）A ．()74--，B ．()74， C.()14-， D ．()14， 5.曲线():sin 2xC f x x e =++在0x =处的切线方程为（ ） A ．23y x =-+ B ．132y x =- C.23y x =+ D ．32y x =- 6.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，12a =，533a a =，则9S =（ ） A ．72- B ．54- C.54 D ．72 7.已知32a n n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，4cos 5a =-，则tan 4a π⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ）A ．7B ．17 C.17- D ．7- 8.若三次函数()3f x mx x =-在()-∞+∞，上是减函数，则m 的取值范围是（ ） A ．()0-∞，B ．()1-∞， C.(]0-∞， D ．(]1-∞，9.钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC =AC =（ ）A ．5B C.2 D ．1 10.下列函数中，可以是奇函数的为（ ）A ．()()f x x a x a R =-∈，B ．()21f x x ax a R =++∈， C.()()2log 1f x ax a R =-∈， D ．()cos f x ax x a R =+∈，11.设等国三角形ABC 边长为6，若3BC BE = ，AD DC =，则BD AE ⋅ 等于（ ）A．- B．18- D ．1812.函数()331f x x x =--，若对于区间(]32-，上的任意1x ，2x ，都 有()()12f x f x t -≤，则实数t 的最小值是（ ）A ．20B ．18 C.3 D ．0 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.函数()()sin 2sin f x x ϕ=+-，cos x ϕ的最大值为 ． 14.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和2580a a +=，则52S S = ． 15.已知()12a = ，，()11b =，，则与2a b + 方向相同的单位向量e = ． 16.给出下列命题：①“若0a ≥，则20x x a +-=有实根”的逆否命题为真命题： ②命题“[]12x ∀∈，，20x a -≤”为真命题的一个充分不必要条件是4a ≥； ③命题“x R ∃∈，使得2210x x -+<”的否定是真命题；④命题p ：函数x x y e e -=+为偶函数；命题q ：函数x x y e e -=-在R 上为增函数，则()p q ∧⌝为真命题．期中正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分10分）在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=- ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S18.（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数()22xx b f x a-+是奇函数．⑴求a b ，的值； ⑵若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．19.（本小题满分12分）已知函数()21sin 22f x x x =⑴求()f x 的最小正周期和最小值；⑵将函数()f x 的图象上每一点横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，当2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求()g x 的值域．20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a c >，已知2BA BC ⋅= ，1cos 3B =，3b =．求： ⑴ a 和c 的值；⑵()cos BC -的值．21. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()112n n S a n N ++=∈⑴求数列{}n a 的通项公式n a ； ⑵ ()()113log 1n n b S n N ++=-∈，令12231111a n n T b b b b b b +=+++ ，求a T ．22.（本小题满分12分）设()ln f x x =，()()()'g x f x f x =+ （Ⅰ）求()g x 的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论()g x 与1g x ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系；（Ⅲ）求a 的取值范围，使得()()1g a g x a-<对任意0x >成立．广东省中山市2017-2018学年高三上学期第五次阶段测试文数试题答案一、选择题1-5:CBCAC 6-10:BBABA 11、12：CA 二、填空题13.1 14.11- 15.3455⎛⎫⎪⎝⎭， 16.三、解答题17.解：⑴设等差数列{}n a 的公差是d ． 由已知()()382726a a a a d +-+==- ∴3d =-∴2712723a a a d +=+=-，得11a =-， ∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+⑵由数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列， ∴1n n n a b q -+= ∴1132n n n n b q a n q --=-=-+∴()()21147321n n S n q q q-=++++-+++++⎡⎤⎣⎦ ∴当1q =时，()231322n n n n nS n -+=+=，当1q ≠时，()31121n n n n q S q--=+-18.解析：⑴∵()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴()1001b f a -==+，∴1b =． ∴()122x x f x a -=+，()()1122212212x x x x x xf x f x a a a ------===-=+⋅++，∴212x x a +=+， 即()2121x x a -=-对一切实数x 都成立． ∴1a =，∴1a b ==．⑵不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()2222f t t f k t -<-． 又()f x 是R 上的减函数，∴2222t t k t ->-．∴221132333k t t t ⎛⎫<-=-- ⎪⎝⎭对t R ∈恒成立，∴13k <-．即实数k 的取值范围是13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，．19.解⑴())2111sin 2sin 21cos2sin 2sin22223f x x x x x x x x π⎛⎫==-+=-=--⎪⎝⎭， 因此()f x 的最小正周期为π，最小值为． ⑵由条件可知，()sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．当2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，有2363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，从而sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，那么sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭⎣⎦，故()g x 在区间2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上值域是⎣⎦． 20.解⑴由2BA BC ⋅= 得cos 2c B ⋅=，又1cos 3B =，所以6ac =、由余弦定理，得2222a c b acsosB +=+，又3b =，所以2292213a c +=+⨯=． 解22613ac a c =⎧⎨+=⎩，，得23a c =⎧⎨=⎩或32a c =⎧⎨=⎩，因a c >，所以3a =，2c =．()1723cos cos cosC sin sin 3927B C B B C -=+=⨯+=．21.解：⑴由()112n n S a n N ++=∈，得112n n S a =-∴1n =时，11112S a =-，得123a =2n ≥时，1111111112222n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫⎛⎫=-=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，113n n a a -=∴{}n a 是等比数列，且公比为13，首项123a =，∴123nn a ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭⑵由⑴及112n n S a +=得，11111123n n n S a +++⎛⎫-== ⎪⎝⎭∴()113log 11n n b S n +=-=+∴()()111111212n n b b n n n n +==-++++ ∴1111111112334122224a T n n n n =-++-++-=-=++++ 22.解（Ⅰ）由题设知()ln f x x =、()1ln g x x x =+，∴()21'x g x x-=，令()'0g x =，得1x = 当()01x ∈，时，()g'0x <，故()01，是()g x 的单调减区间．当()1x ∈+∞，时，()'0g x >，故()1+∞，是()g x 的单调递增区间，因此，1x = 是()g x 的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为()1g l =．（Ⅱ）1ln g x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭设()()112ln h x g x g x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，则()()221'x h x x -=-，当1x =时，()0h l =即()1g x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当()()011x ∈⋃+∞，，，时()'0h l =，因此在()0+∞，内单调递减，当01x <<时，()()0h x h l >=即()1g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭．当1x >时，()()0h x h l <=即()1g x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭（Ⅲ）由（Ⅰ）知()g x 的最小值为1，所以，()()1g a g x a -<，对任意0x >，成立()11g a a⇔-<，即l n1a <，从而得0a e <<．。
广东省中山市2018届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析
中山市高三级2017-2018学年度第一学期期末统一考试文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，若，则的值为（）A. 2B. -1C. -1或2D. 2或【答案】A【解析】解：由题意可知：，则满足题意时， .本题选择C选项.2. 若复数（是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（）A. 2B.C.D. -2【答案】A【解析】由题意，令，则，则解得，故选A3. 一名法官在审理一起盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁分述如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”，乙说：“我没有作案，是丙偷的”，丙说：“在甲和乙中有一个人是罪犯”，丁说：“乙说的是事实”，经调查核实，这四人中只有一人是罪犯，并且得知有两人说的是真话，两人说的是假话，由此可判断罪犯是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】由题意可以看出乙、丁两人的观点是一致的，∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假．若乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，显然这两个结论是相互矛盾的，∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话．由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯．选B．4. 阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为（）A. 0B.C.D.【答案】B【解析】执行循环得，结束循环，输出，选B. 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5. 若满足，若，则的最大值是（）A. 1B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】作可行域如图，则直线过点A(2,2)时取最大值6，选C.6. 李冶（1192-1279），真实栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等. 其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A. 10步，50步B. 20步，60步C. 30步，70步D. 40步，80步【答案】B【解析】设圆池的半径为步，则方田的边长为步，由题意，得＝，解得或（舍），所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步，故选B．点睛：求解数学文化试题主要分三步完成：（1）理解数学文化背景，挖掘出包含的数学意义；（2）联想相关的数学模型，将数学文化背景中的数学问题转化为纯数学问题；（3）利用数学知识求解，并回答求解的问题7. 已知实数，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴；又∴，∴，即．选B．点睛：比较大小的常用方法（1）构造函数，判断出函数的单调性，让所要比较大小的数在同一单调区间内，然后利用单调性进行比较．（2）作差与零比较，即．（3）作商与1比较，即．8. 已知函数与的图像如图所示，则函数的递减区间为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，令即，由图可得，故函数单调减区间为，故选D. 考点：利用导数研究函数的单调性.9. 函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：由函数得：知函数是偶函数，其图象关于愿点对称，故排除A；当x从大于零变到零的过程中，函数值y,故排除B；当x时，，排除C；故选D．考点：函数的图象．10. 在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】轨迹为线段MN,其中M，N分别为中点，所以与平面所成角的正切值范围为 ,选D.11. 已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为（）A. 1B.C.D. 3【答案】B【解析】试题分析：由题意知：，，，，∴，，∴，又，∴，∴，∴的最小值为.考点：函数零点.12. 已知函数，其周期为，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】其中，所以，因为，所以，选D.点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 已知，则__________．【答案】【解析】14. 已知，，则__________．【答案】【解析】.................. 【答案】6【解析】n 为18+12+6=36的正约数，因为18：12：6=3：2：1，所以n 为6的倍数，因此因为当样本容量为时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，所以n+1为35的正约数，因此16. 数列的前项和，已知，且对任意正整数，都有，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】【解析】因为，所以实数的取值范围是点睛：不等式有解问题，不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立⇔，恒成立⇔.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设等差数列的前项和，且.（1）求的通项公式；（2）若不等式对所有的正整数都成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据等差数列通项公式以及求和公式将条件化为关于首项与公差的方程组，解得．(2)先化简不等式：，再分奇偶讨论：当为奇数时，；当为偶数时，，最后根据基本不等式以及数列单调性确定实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设公差为，则，∴．∴的通项公式为．（Ⅱ），，；则原不等式等价于对所有的正整数都成立．∴当为奇数时，；当为偶数时，恒成立又∵，当且仅当时取等号，所以当为奇数时，的最小值为7，当为偶数时，时，的最小值为，∴不等式对所有的正整数都成立时，实数的取值范是18. 如图，在中，，，点在线段上.（1）若，求的长；（2）若，的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用同角三角函数间的基本关系求得的值，然后利用正弦定理即可求得的长；（Ⅱ）首先三角形面积间的关系求得，然后利用三角形面积公式结合余弦定理即可求得的值．试题解析：（I）在三角形中，∵，∴．………………2分在中，由正弦定理得，又，，．∴．………………5分（II）∵，∴，，又，∴，………………7分∵，∴，∵，，，∴，………………9分在中，由余弦定理得．∴，∴．………………12分考点：1、正弦定理与余弦定理；2、三角形面积公式；3、同角三角形函数间的基本关系．19. 某单位拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成，按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）.（1）求关于的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？【答案】（1），；（2）当x＝１时，花坛的面积与装饰总费用的比最大【解析】试题分析：（1）根据已知条件，将周长米为等量关系可以建立满足的关系式，再由此关系式进一步得到函数解析式：，即可解得；（2）根据题意及（1）可得花坛的面积为，装饰总费用为，因此可得函数解析式，而要求的最大值，即求函数的最大值，可以考虑采用换元法令，从而，再利用基本不等式，即可求得的最大值：，当且仅当，时取等号，此时，，因此当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.试题解析：（1）扇环的圆心角为，则，∴， 3分（2）由（1）可得花坛的面积为，6分装饰总费用为， 8分∴花坛的面积与装饰总费用的， 10分令，则，当且仅当，时取等号，此时，， 12分答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． 13分考点：1.扇形公式的运用；2.利用基本不等式函数求极值.20. 某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考查项目，分别记作①，②，③，④，⑤.（1）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3（）项的概率.（2）如图，某次模拟演练中，教练要求学员甲倒车并转向，在汽车边缘不压射线与射线的前提下，将汽车驶入指定的停车位，根据经验，学员甲转向后可使车尾边缘完全落在线段上，且位于内各处的机会相等，若，. 汽车宽度为，求学员甲能按教练要求完成任务的概率.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）一共有五个人两项不合格，任取两人，种可能的情况中,有种情况补测项数不超过,由古典概型可知,所求概率为；（2）在线段上取两点,使,据几何概型,所求概率.试题解析：（1）由题意,学员（1）,（2）,（4）,（6）,（9）恰有两项不合格,从中任意抽出人,所有情况如下：由表可知,全部种可能的情况中,有种情况补测项数不超过,由古典概型可知,所求概率为.（2）在线段上取两点,使,记汽车尾部左端点为，则当位于线段上时，学员甲可按教练要求完成任务，而学员甲可以使点等可能地出现在线段上,据几何概型,所求概率.考点：古典概型、几何概型．21. 如图所示的几何体为一简单组合体，在底面中，，，，平面，，，.（1）求证：平面平面；（2）求该组合体的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）要证面面垂直只需证线面垂直，容易证面，面，所以平面平面.（2）面将几何体分成四棱锥和三棱锥两部分，分别计算这两部分的体积即可.试题解析：（1）证明：因为平面，，所以平面．又因为平面，所以，又因为，且，所以平面，又因为平面，所以平面平面．………………（6分）（2）面将几何体分成四棱锥和三棱锥两部分，过作，因为平面，平面，所以，又因为，，所以平面，即为四棱锥的高，并且，，所以，因为平面，且已知，为顶角等于的等腰三角形，，，所以，所以组合体的体积为．……………………………（12分）考点：1、面面垂直的判定定理；2、多面体的体积.22. 已知函数.（1）若，求函数的单调递减区间；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值【答案】（1）；（2）2【解析】试题分析：试题解析：（1）因为，所以，故，所以，由，解得，所以的单调减区间为．（2）令，，由题意可得在上恒成立．又．①当时，则．所以在上单调递增，又因为，所以关于的不等式不能恒成立．②当时，，令，得．所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．故当时，函数取得极大值，也为最大值，且最大值为．令，则在上单调递减，因为，．所以当时，，所以整数的最小值为2。
2017-2018学年广东省中山一中等七校联考高三(上)第一次月考数学试卷(理科)
2017-2018学年广东省中山一中等七校联考高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，B={x||x|≤2}，则A∩（∁R B）=（）A．[2，5]B．（2，5]C．[﹣1，2]D．[﹣1，2）2．（5分）如果复数是纯虚数，那么实数m等于（）A．﹣1 B．0 C．0或1 D．0或﹣13．（5分）设x，y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是（）A．3 B．4 C．6 D．84．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%5．（5分）下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（）A．y=2x B．y=2|x|C．y=2x﹣2﹣x D．y=2x+2﹣x6．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题7．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，则函数y=cos（2x+φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x=对称D．关于直线x=对称8．（5分）函数f（x）=xcosx的导函数f′（x）在区间[﹣π，π]上的图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）二项式（﹣2x2）9展开式中，除常数项外，各项系数的和为（）A．﹣671 B．671 C．672 D．67310．（5分）某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）A．13πB．16πC．25πD．27π11．（5分）已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．212．（5分）已知函数y=x2的图象在点（x0，x02）处的切线为l，若l也与函数y=lnx，x∈（0，1）的图象相切，则x0必满足（）A．0＜x0＜B．＜x0＜1 C．＜x0＜D．＜x0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（5分）设向量、满足：||=1，||=2，•（）=0，则与的夹角是．14．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为．（参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）15．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|=3，则|BF|=．16．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5，CD=5，BD=2AD，则AD的长为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是递增数列，其前n项和为S n，a1＞1，且10S n=（2a n+1）（a n+2），n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）是否存在m，n，k∈N*，使得2（a m+a n）=a k成立？若存在，写出一组符合条件的m，n，k的值；若不存在，请说明理由．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AEF所成的二面角的正弦值．19．（12分）某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务；无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元，额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36．（1）若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；（2）该基地是否应该外聘工人，请说明理由．20．（12分）已知动点M到定点F（1，0）的距离比M到定直线x=﹣2的距离小1．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N．设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△FPQ面积的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx，h（x）=ax（a∈R）．（I）函数f（x）与h（x）的图象无公共点，试求实数a的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数m，使得对任意的x∈（，+∞），都有函数y=f（x）+的图象在g（x）=的图象的下方？若存在，请求出最大整数m的值；若不存在，请说理由．（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986，=1.6487，=1.3956）．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知曲线C 的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设l1：θ=，l2：θ=，若l 1、l2与曲线C 相交于异于原点的两点A、B，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|2x﹣1|．（1）当a=2时，求f（x）+3≥0的解集；（2）当x∈[1，3]时，f（x）≤3恒成立，求a的取值范围．2017-2018学年广东省中山一中等七校联考高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，B={x||x|≤2}，则A∩（∁R B）=（）A．[2，5]B．（2，5]C．[﹣1，2]D．[﹣1，2）【解答】解：∵A={x|x2﹣4x﹣5≤0}={x|﹣1≤x≤5}=[﹣1，5]，B={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}=[﹣2，2]，∴∁R B=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），∴A∩（∁R B）=（2，5]．故选：B．2．（5分）如果复数是纯虚数，那么实数m等于（）A．﹣1 B．0 C．0或1 D．0或﹣1【解答】解：∵=是纯虚数，∴，解得m=0或﹣1．故选：D．3．（5分）设x，y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是（）A．3 B．4 C．6 D．8【解答】解：不等式表示的区域是如下图示的三角形，3个顶点是（3，0），（6，0），（2，2），目标函数z=x+y在（6，0）取最大值6．故选C．4．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%【解答】解：由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，所以P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%）=13.59%．故选：B．5．（5分）下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（）A．y=2x B．y=2|x|C．y=2x﹣2﹣x D．y=2x+2﹣x【解答】解：A虽增却非奇非偶，B、D是偶函数，C由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数（或y'=2x ln2+2﹣x ln2＞0），故选C．6．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故答案选择D．7．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，则函数y=cos（2x+φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x=对称D．关于直线x=对称【解答】解：∵函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，∴sin（+φ）=1，∴cos（+φ）=0，∴函数y=cos（2x+φ）的图象关于点（，0）对称，故选：A．8．（5分）函数f（x）=xcosx的导函数f′（x）在区间[﹣π，π]上的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=xcosx，∴f‘（x）=xcosx=cosx﹣xsinx，∵f‘（0）=1，可排除C、D；又∵f‘（x）在x=0处取最大值；故排除B故选A9．（5分）二项式（﹣2x2）9展开式中，除常数项外，各项系数的和为（）A．﹣671 B．671 C．672 D．673【解答】解：二项式（﹣2x2）9展开式的通项公式为T r+1=••（﹣2x2）r=•（﹣2）r•x3r﹣9，令3r﹣9=0，解得r=3；∴展开式中常数项为﹣C93×23=﹣672，令二项式中的x=1，得到系数之和为：（1﹣2）9=﹣1；除常数项外，各项系数的和为：﹣1﹣（﹣672）=671．故选：B．10．（5分）某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）A．13πB．16πC．25πD．27π【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故选C．11．（5分）已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．12．（5分）已知函数y=x2的图象在点（x0，x02）处的切线为l，若l也与函数y=lnx，x∈（0，1）的图象相切，则x0必满足（）A．0＜x0＜B．＜x0＜1 C．＜x0＜D．＜x0【解答】解：函数y=x2的导数为y′=2x，在点（x0，x02）处的切线的斜率为k=2x0，切线方程为y﹣x02=2x0（x﹣x0），设切线与y=lnx相切的切点为（m，lnm），0＜m＜1，即有y=lnx的导数为y′=，可得2x0=，切线方程为y﹣lnm=（x﹣m），令x=0，可得y=lnm﹣1=﹣x02，由0＜m＜1，可得x0＞，且x02＞1，解得x0＞1，由m=，可得x02﹣ln（2x0）﹣1=0，令f（x）=x2﹣ln（2x）﹣1，x＞1，f′（x）=2x﹣＞0，f（x）在x＞1递增，且f（）=2﹣ln2﹣1＜0，f（）=3﹣ln2﹣1＞0，则有x02﹣ln（2x0）﹣1=0的根x0∈（，）．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（5分）设向量、满足：||=1，||=2，•（）=0，则与的夹角是60°．【解答】解：由||=1，||=2，•（）=0，∴﹣•=0，即12﹣1×2×cosθ=0，解得cosθ=；又θ∈[0°，180°]，∴与的夹角θ是60°．故答案为：60°．14．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为24．（参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）【解答】解：模拟执行程序，可得n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故答案为：24．15．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|=3，则|BF|=．【解答】解：设∠AFx=θ，θ∈（0，π）及|BF|=m，则点A到准线l：x=﹣1的距离为3．得3=2+3cosθ⇔cosθ=，又m=2+mcos（π﹣θ）⇔=．故答案为：．16．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5，CD=5，BD=2AD，则AD的长为5．【解答】解：如图所示：延长BC，过A做AE⊥BC，垂足为E，∵CD⊥BC，∴CD∥AE，∵CD=5，BD=2AD，∴，解得AE=，在RT△ACE，CE===，由得BC=2CE=5，在RT△BCD中，BD===10，则AD=5，故答案为：5．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是递增数列，其前n项和为S n，a1＞1，且10S n=（2a n+1）（a n+2），n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）是否存在m，n，k∈N*，使得2（a m+a n）=a k成立？若存在，写出一组符合条件的m，n，k的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：10a1=（2a1+1）（a1+2），得﹣5a1+2=0，a1＞1，解得a1=2，因为10S n=（2a n+1）（a n+2），∴n≥2时，10S n+1=（2a n+1+1）（a n+1+2）．故10a n+1=10（S n+1﹣S n）=（2a n+1+1）（a n+1+2）﹣（2a n+1）（a n+2），整理，得（a n+1+a n）[2（a n+1﹣a n）﹣5]=0．因为{a n}是递增数列，且a1=2，故a n+1+a n≠0，a n+1﹣a n=．则数列{a n}是以2为首项，为公差的等差数列．所以a n=2+=．（Ⅱ）满足条件的正整数m，n，k不存在，证明如下：假设存在m，n，k∈N*，使得2（a m+a n）=a k成立，则5m﹣1+5n﹣1=（5k﹣1）．整理，得2m+2n﹣k=，①显然，左边为整数，所以①式不成立．故满足条件的正整数m，n，k不存在．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AEF所成的二面角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，又∵AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，∴AB∥面PCD…（2分）又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF…（4分）解：（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB，∵PA=PD，∴PG⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD…（5分）∴PG⊥GB，在菱形ABCD中，∵AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，∴AD⊥GB，如图，以G为原点，GA、GB、GP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系G﹣xyz…（6分）由PA=PD=AD=2得，G（0，0，0），A（1，0，0），，，D（﹣1，0，0），…（7分）又∵AB∥EF，点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点，∴，，，设平面AFE的法向量为，则有，∴，不妨令x=3，则平面AFE的一个法向量为，…（9分）∵BG⊥平面PAD，∴是平面PAF的一个法向量，…（10分），…（11分）∴平面PAF与平面AFE所成的二面角的正弦值为：．…（12分）19．（12分）某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务；无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元，额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36．（1）若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；（2）该基地是否应该外聘工人，请说明理由．【解答】解：（1）设下周一有雨的概率为p，由题意，p2=0.36，p=0.6，基地收益x的可能取值为20，15，10，7.5，则P（X=20）=0.36，P（X=15）=0.24，P（X=10）=0.24，P（X=7.5）=0.16，所以基地收益X的分布列为：基地的预期收益EX=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4，∴基地的预期收益为14.4万元．（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益E（Y）=20×0.6+10×0.4﹣a=16﹣a（万元），E（Y）﹣E（X）=1.6﹣a，综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以．20．（12分）已知动点M到定点F（1，0）的距离比M到定直线x=﹣2的距离小1．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N．设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△FPQ面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：动点M到定点F（1，0）的距离等于M到定直线x=﹣1的距离，根据抛物线的定义可知，点M的轨迹C是抛物线．…（2分）∵p=2，∴点M的轨迹C的方程：y2=4x．…（3分）证明：（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点P的坐标为（，）．由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1），（k≠0），由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．△=（2k2+4）2﹣4k4=16k2+16＞0．…（5分）∵直线l1与曲线C于A，B两点，∴，．∴点P的坐标为（1+，）．…（6分）由题知，直线l2的斜率为﹣，同理可得点Q的坐标为（1+2k2，﹣2k）．…（7分）当k≠±1时，有1+≠1+2k2，此时直线PQ的斜率k PQ==．…（8分）∴直线PQ的方程为y+2k=（x﹣1﹣2k2），整理得yk2+（x﹣3）k﹣y=0．于是，直线PQ恒过定点E（3，0），当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）．综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）．…（10分）解：（Ⅲ）由题意得|EF|=2，∴△FPQ的面积S+≥4．当且仅当k=±1时，“=”成立，∴△FPQ面积的最小值为4．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=lnx，h（x）=ax（a∈R）．（I）函数f（x）与h（x）的图象无公共点，试求实数a的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数m，使得对任意的x∈（，+∞），都有函数y=f（x）+的图象在g（x）=的图象的下方？若存在，请求出最大整数m的值；若不存在，请说理由．（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986，=1.6487，=1.3956）．【解答】解：（I）设y=kx与f（x）的图象相切，切点为（x0，y0），则，解得x0=e，k=．∵函数f（x）与h（x）的图象无公共点，∴a＞．（II）假设存在实数m满足题意，则不等式lnx+≤在（，+∞）上恒成立．即m＜e x﹣xlnx在（，+∞）上恒成立．令h（x）=e x﹣xlnx，则h'（x）=e x﹣lnx﹣1，h′′（x）=e x﹣，∵h′'（x）在（，+∞）上单调递增，且h′′（）=﹣2＜0，h'′（1）=e﹣1＞0，∴存在x0∈（，1），使得h′'（x0）=0，即e﹣=0，∴x0=﹣lnx0，∴当x∈（，x0）时，h′（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，h′（x）单调递增，∴h′（x）的最小值h′（x0）=e﹣lnx0﹣1=x0+﹣1≥2﹣1=1＞0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在区间（，+∞）内单调递增．∴m≤h（）=e﹣ln=e+ln2=1.99525，∴存在实数m满足题意，且最大整数m的值为1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知曲线C 的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设l1：θ=，l2：θ=，若l 1、l2与曲线C 相交于异于原点的两点A、B，求△AOB的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（α为参数），利用sin2α+cos2α=1，，=y﹣1，可得：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．∴曲线C的普通方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．将代入并化简得：ρ=4cosθ+2sinθ即曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ．（Ⅱ）解法一：在极坐标系中，C：ρ=4cosθ+2sinθ∴由得到；同理．又∵∴．即△AOB的面积为．…（10分）解法二：在平面直角坐标系中，C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5l 1：θ=，l2：θ=，可得，∴由得∴同理∴，又∵∴即△AOB的面积为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|2x﹣1|．（1）当a=2时，求f（x）+3≥0的解集；（2）当x∈[1，3]时，f（x）≤3恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，由f（x）≥﹣3，可得|x﹣2|﹣|2x﹣1|≥﹣3，①或②或③，解①得；解②得；解③得x=2，综上所述，不等式的解集为{x|﹣4≤x≤2}；（2）若当x∈[1，3]时，f（x）≤3成立，即|x﹣a|≤3+|2x﹣1|=2x+2，故﹣2x﹣2≤x﹣a≤2x+2，即：﹣3x﹣2≤﹣a≤x+2，∴﹣x﹣2≤a≤3x+2对x∈[1，3]时成立，∴a∈[﹣3，5]．第21页（共21页）。
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广东省中山市2017-2018学年高三上学期周考文数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合{}1,0,1A =-，{}0B x R x =∈＞，则A B ⋂=（ ）A ．{}1,0-B ．{}1-C ．{}0,1D ．{}1 【答案】D 【解析】试题分析：{}1A B ⋂=,故选D. 考点：集合的运算.2．复数z 满足()11z +=+，则z 等于（ ）A ．1B ．1C ．12D 12i 【答案】C考点:复数的代数运算.3．若m ，n 满足210m n +-=，则直线30mx y n ++=过定点（ ）A ．11,26⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,26⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,62⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,62⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】试题分析：210,21m n m n +-=∴+= ，30,()30mx y n mx n y ++=∴++= ,当12x =时,1122m n +=， 113,26y y ∴=-∴=-,故直线过定点11(,)26-.故选B.考点：直线的方程.4．若向量()cos ,sin a θθ=，)1b =- ，则2a b -的最大值为（ ）A ．4 B．．2 D【答案】A考点：向量的模；向量的坐标运算.5．设()()1232,2,log 1, 2.x e x f x x x -⎧⎪=⎨-⎪⎩＜≥则()()2f f 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：2113(2)log (21)1,((2))(1)22f f f f e -=-=∴===,故选C. 考点：分段函数.6．设a 、b 、c 分别是ABC ∆中A ∠、B ∠、C ∠所对边的边长，则直线sin 0x A ay c ++=与sin sin 0bx y B C -+=的位置关系是（ ）A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直 【答案】A 【解析】试题分析：sin (sin )2(sin sin sin sin )0b A a B R A B A B +-=-= ,所以两直线垂直, 故选A. 考点：两直线的位置关系.7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若a β∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥ C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，m n ∥，n β∥，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】试题分析：m α⊥ ，,,m n n α∴⊥ ∥,n βαβ∴⊥∥,故选D.考点：点线面的位置关系.8．直线：:l y x b =+与曲线:c y =b 的取值范围是（ ）A．b．1b ≤．1b ≤．1b ＜【答案】C考点：直线与圆的位置关系.9．过椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ） A．12 D ．13【答案】B 【解析】试题分析：在12Rt PF F ∆中,0121212122,60,,,2F F c F PF PF PF PF PF a =∠=∴==+=，2,333c c a a ∴+=∴=.选B. 考点：椭圆的简单几何性. 10．定义12nnp p p +++ 为n 个正数1p ，2p ，…，n p 的“均倒数”．若已知正数数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111b b b b b b ++= （ ）A ．111 B ．112 C ．1011 D ．1112【答案】C考点：n a 与n S 的关系；裂项相消数列求和.【易错点睛】本题主要考查了,n n a S 的关系；裂项相消数列求和等知识.用裂项相消法求和应注意的问题:利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数相乘后与原项相等．本题难度中等.11．过椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A ．．12 D ．13【答案】B 【解析】试题分析：设001212121212,2(),90,60,,F F c PF PF a a c PF F F PF PF =+=>∠=∠=∴=2,2,c PF a e a =+=∴=∴=故选B. 考点：椭圆的简单几何性质.【易错点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质.椭圆离心率的求解方法:离心率是圆锥曲线的重要几何性质，此类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，关键是借助图形建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，转化为e 的关系式．12．设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x ＜时，()()()()0f x g x f x g x ''+＞，且()30g -=，则不等式()()0f x g x ＜的解集是（ ）A ．()()3,03,-⋃+∞B ．()()3,00,3-⋃C ．()(),33,-∞-⋃+∞D ．()(),30,3-∞-⋃ 【答案】D考点：函数的单调性；函数的奇偶性.【易错点睛】本题主要考查了函数的单调性；函数的奇偶性.由已知函数的奇偶性构造新函数的奇偶性是解题的关键.利用函数的单调性与导数的关系,可判断新函数的单调性,利用()30g -=可得0x ＜时不等式的解集;再利用函数的奇偶性可解0x >时不等式的解集,由此可解得本题.函数的单调性,奇偶性是函数的重要性质,也是考试的重点.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．已知角()0απα-＜＜的终边与单位圆交点的横坐标是13，则cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ．【答案】3【解析】试题分析：由题意得1cos ,0,sin cos()sin 3323παπαααα=-<<∴=-∴+=-=. 考点：三角函数的定义；同角三角函数的基本关系式；诱导公式.14．设命题:431p x -≤；命题()()2:2110q x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】102a ≤≤ 【解析】试题分析：21:431,1;:(21)(1)0,12p x x q x a x a a a x a -≤∴≤≤-+++≤∴≤≤+.因为p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，q ∴是p 的必要不充分条件,11,02211a a a ⎧≤⎪∴∴≤≤⎨⎪+≥⎩. 考点：不等式的解法；充分条件,必要条件.15．点P 是曲线2ln y x x =-，则点P 到直线40x y --=的距离的最小值是 ．【答案】考点：导数的几何意义；点到直线的距离公式.【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义；点到直线的距离公式.在切点处的导数值就是切线的斜率就是切线方程最重要的条件.首先要注意所用的点是不是切点.其次要注意切点即在曲线上也在切线上.理解导数的意义是考纲的要求,也是导数知识的重要内容.本题考点明显,知识点集中.难度中等,属于常见题型,基础题.16．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器------商鞅铜方升，其三视图如上如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12．6（立方寸），则图中的x 为 ．【答案】1.6 【解析】试题分析：该几何体如图所示.左侧是底面直径为1,高为x 的圆柱,右侧为邻边长为3,1,5.4x -.由题意可得21()31(5.4)12.6, 1.62x x x π⨯⨯+⨯⨯-=∴=.考点：几何体的体积.【易错点睛】以三视图为载体考查几何体的体积,解题的关键是根据三视图想象还原几何体的形状构成,并从三视图发现几何中各元素间的位置关系及数量关系,然后在直观图中求解.在求几何体的体积时,若给定的几何体是规则柱体,锥体或台体,可直接利用公式求解.若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出,常用转换法,分割法,补形法等求解.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分） 如图，OPQ 是半径为2，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的一动点，记COP θ∠=，四边形OPCQ 的面积为S ．（1）找出S 与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S 最大，并求出这个最大值．【答案】（1）2sin 2sin 0,33S ππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）6πθ=时，S 最大，且最大值为2．【解析】试题分析： （1）四边形的面积可以看成是POC ∆和QOC ∆的面积之和．因为COP θ∠=，则3QOC πθ∠=-，根据三角形的面积公式即可得出2sin 2sin 0,33S ππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）对（1）得到的式子进行化简，利用辅助角公式得：2sin 3S πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得6πθ=时，S 最大，且最大值为2．考点：三角形面积公式；两角和与差的正弦公式；三角函数的性质. 18．（本小题满分12分）对于数列{}n a 、{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且()11n n n S n S a n +-+=++，111a b ==，132n n b b +=+，n N ∈︒．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）令()()21n n n a n c n b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）2n a n =，1231n n b -=⋅-；（2）11525443n n n T -+=-⋅． 【解析】试题分析：(1)由()11n n n S n S a n +-+=++可得121n n a a n +=++,由递推公式累加法可得{}n a 的通项公式，由132n n b b +=+可得{}1n b +为等比数列,可得其通项公式,进而可得{}n b 的通项公式；(2)由题意可得()21121233n n n n n n c n --+-==⋅,则n T 符合错位相减法求和公式,可得n T 的值.（2）()21121233n n n n n n c n --+-==⋅，所以01221234133333n n n n Tn --+=+++++ ，① 则3300132234133333n n n n n T --⋅+=+++++ ②122111111111115253261613333322313n n n n n n n n n T ------+++⎛⎫=+++++-=+-=- ⎪⋅⎝⎭- 所以11525443n n n T -+=-⋅． 考点：递推公式；等比数列的通项公式；数列求和.【易错点睛】本题主要考查了递推公式；等比数列的通项公式；数列求和.用错位相减法求和应注意的问题:(1)要善于题目类型,特别是等比数列的公比为负数情形.(2)在写出n S 与n qS 表达时应特别注意将两式错位对齐,以便下一步准确写出n S n qS -.若等比数列的公比为参数时,要分两种情况来注解.本题难度中等.19．（本小题满分12分）已知圆()()221:4220C x y -+-=与y 轴交于0，A 两点，圆2C 过0，A 两点，且直线20C 与圆1C 相切；（1）求圆2C 的方程；（2）若圆2C 上一动点M ，直线0M 与圆1C 的另一交点为N ，在平面内是否存在定点P 使得PM PN =始终成立，若存在求出定点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）22240x y x y ++-=；（2）存在，且为()3,4P ．（2）存在，设MN 直线方程为y kx =，分别与1C 、圆2C 联立22240y kx x y x y =⎧⎨++-=⎩与22840y kx x y x y =⎧⎨+--=⎩求额的2224242,11k k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 2224848,11k k k N k k ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭，中点2224343,11k k k H k k ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭，中垂线方程为：2224314311k k k y x k k k ++⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭，化简为：()134y x k=--+恒过定点()3,4即为所求点P ． 考点：直线与圆的位置关系；圆的一般方程. 20．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直底面，90ACB ∠=︒，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点．（Ⅰ）证明：平面1BDC ⊥平面BDC ．（Ⅱ）平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积比． 【答案】（I ）证明见解析；（II ）1:1．【解析】试题分析：（I ）易证得1DC ⊥平面BDC ,再由面面垂直的判定定理即可证得平面1BDC ⊥平面BDC ；(II)设棱锥1B DACC -的体积为1,1V AC =,易求得112V =，三棱术111ABC A B C -的体积为1V =,于是得1():1:1V V V -=,从而可得答案.（II ）设棱锥B ﹣DACC 1的体积为V 1，AC=1，由题意得V 1=××1×1=，又三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V=1，∴（V ﹣V 1）：V 1=1：1，∴平面BDC 1分此棱柱两部分体积的比为1：1．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；几何体的体积.【易错点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱,棱锥,棱台的体积.着重考查直线与平面垂直的判定定理的应用与棱柱,棱锥的体积,考查分析,表达与运算能力,属于中档题.证明垂直问题时一定严格按照定理成立的条件规范书写过程,另注意问题的转化:线线垂直--线面垂直--线线垂直.本题难度中等.21．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=＞＞，一个顶点为()2,0A ，直线()1y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M 、N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）当AMN ∆时，求k 的值．【答案】（1）22142x y +=；（2）2k =±． 【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件2a =，c a =b =；（2）三角形面积可根据点到直线距离公式求高d =，根据弦长公式求底，列直线方程与椭圆方程，结合韦达定理得MN ，从而AMN ∆的面积为12S MN d =k 的值．又因为点()2,0A 到直线()1y k x =-的距离d =，所以AMN ∆的面积为12S MN d ===2k =± 考点：直线与椭圆的位置关系.22．（本小题满分10分） 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ＜＜），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求AB 的最小值．【答案】（1）24y x =；（2）4．（2）将直线l 的参数方程代入24y x =，得22sin 4cos 40t t αα--=， 设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则1224cos sin t t αα+=，1224sin t t α=-，1224sin AB t t α∴=-== 当2πα=时，AB 的最小值为4． 考点：参数方程化成普通方程.。