《数值分析》2006--2007学年第一学期试题A (闭卷考试)

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数值分析2007第二学期期末考试试题与答案(A)

期末考试试卷（A 卷）2007学年第二学期考试科目：数值分析考试时间：120 分钟学号姓名年级专业一、判断题（每小题2分，共10分）1. 用计算机求1000100011n n=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。

（）2. 为了减少误差,进行计算。

（）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。

（）4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。

（）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。

（）二、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则1A =_____，2x =______，Ax ∞=_____.3. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有次的代数精度。

5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k XMX N k +=+= 产生的向量序列{}()k X收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。

中北大学2006_2007学年第一学期末数值分析考试试题B参考答案

2006/2007学年第一学期末考试试题参考答案(B 卷)数值分析使用班级： 06研一、填空题(每空4分，共40分)1. 由求解数学模型所采用的数值近似计算所产生的误差称为截断误差；2. 设0.001369x =有4位有效数字，则u =的的计算结果中有 3位有效数字；解：0.037000u ==，6541()100.675100.5102u ε---=⨯=⨯<⨯，所以，u 有三位有效数字。

3. 设(0)1,(1)1,(2)5,f f f ==-=则[0,1]f = -2 ；[0,1,2]f = 4 ；()f x 的二次Newton插值多项式为2124(1) 461x x x x x -+--+或；又若(1)1f '=，则()f x 的三次Hermite插值多项式为232123(1)(1)41x x x x x x x x -+-+-+-+或；4. 已知方程ln 2x x -=在区间[2,4]中的有一个根，写出求解这一根的Newton 法迭代公式10ln 21ln 11,0,1,1[2,4]k k k k k k k kx x x x x x x k x x +--+⎧=-=⎪⎪-=-⎨⎪∈⎪⎩ ，这一根大约为 3.1461932 ； 5. 求解初值问题00()(,),()y t f t y y t y '==的线性k 步法的一般形式为0,0,1,,kkjn j j n j j j y h f n M kαβ++====-∑∑ ，又若局部截断误差n k R +=()10(),()()kkp jn j j n j n j j j y t h f t y t O h αβ++++==-=∑∑，则称此线性k 步法是p 阶的。

二、解答下列各题(每小题12分，共36分)12分1. 给定数据表求形如y a bx=+的拟合函数。

解：令1u a bx y=+=得………………………………….5分对应的正规方程组TTX X X u =为 ()()()5 2.6 6.073252.6 1.72 3.82034a b = ............................................................ 10分解之得 ()()0.278871.79958a b = .................................................................................. 11分即10.27887 1.79958y x=+ ................................................................... 12分3 用Romberg 公式求定积分120sin d x x ⎰，要求计算出第一个Romberg 值(3)0T 。

数值分析试题_A卷与答案

3.设n阶矩阵A具有n个特征值且满足，请简单说明求解矩阵A的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式，满足下列插值条件：
1
2
3
2
4
12
3
并估计误差。（10分）
四．试用的牛顿-科特斯求积公式计算定积分。（10分）
五．用Newton法求的近似解。（10分）
六．试用Doolittle分解法求解方程组：
2）的值域是定义域的子集；（2分）
3）在其定义域内满足李普希兹条件。（2分）
3.解：参照幂法求解主特征值的流程（8分）
步1：输入矩阵A，初始向量v0，误差限，最大迭代次数N;
步2：置k:=1,μ:=0，u0=v0/||v0||∞;
步3：计算vk=Auk-1;
步4：计算
并置mk:=[vk]r, uk:=vk/mk;
（1分）
应用科特斯公式得：
（2分）
（2分）
五．解：由零点定理，在内有根。（2分）
由牛顿迭代格式（4分）
取得，
（3分）
故取（1分）
六．解：对系数矩阵做三角分解：
分）
七．解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为
（2分）
其特征多项式为，且特征值为
青岛科技大学试题
__2014__年~__2015___年第一学期
课程名称：数值分析专业年级：2014级（研究生）
考生学号：考生姓名：
试卷类型：A卷√B卷□考试方式:开卷√闭卷□
………………………………………………………………………………………………………
一.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
则（1分）
2.证：牛顿迭代格式为（3分）

2006-2007学年第一学期期末考试单元练习

2006-2007学年第一学期期末考试单元练习一、单项选择题1. 下列可以称为生物圈的是A. 一片森林B. 一个小池塘C. 地球2. 引起空气中氧气体积分数增加的主要因素是A. 直植物数量的增加B. 人口的增加C. 工业生产3. 人体与绿色开花植物体在结构层次上的主要不同是人体具有A．系统B．组织C．器官4. 洋葱的表皮是一种A．保护组织B．上皮组织C．器官5. 下列器官中，属于消化系统的是A．肺B．肝C．肾6. 植物体的各种细胞在形态、结构和功能上有很大差异，与其相关的是A．细胞的分裂B．细胞的分化C．细胞的增多7．血液属于A．结缔组织B．神经组织C．上皮组织8. 在生物的遗传中具有重要作用的细胞结构是A．细胞核B．细胞膜C．细胞质9．在各种生物细胞内，其形态、结构和数目都是一定的结构是A．线粒体B．液泡C．染色体10. 下列动物中，属于无脊椎动物的是A．蝙蝠B．蝗虫C．蛙11. 蘑菇属于A．细菌B．真菌C．病毒12. 生物体结构和功能的基本单位是A．组织B．细胞C．器官13. 下列现象中，不属于生物生命现象的是A．生物的遗传和变异B．生物的组成和分类C．生物的消化和吸收14. 鼠妇的生活环境是A．干燥的陆生环境B．潮湿的陆生环境C．土壤里15. 生物与环境的关系是A．相互影响，毫无作用B．相互影响，相互作用C．相互影响，毫无影响16. 光合作用的原料二氧化碳和水属于A．生物因素B．非生物因素C．生态因素17. 用显微镜进行观察的材料必须是A．新鲜的B．薄而透明的C．干燥的18. 用显微镜观察微小物体时，目镜上有“5×”字样。

物镜上标有“45×”字样。

观察到的物体的实际放大倍数是A．5倍B．225倍C．50倍19. 把刻有“p”的载玻片放在显微镜下观察时，视野中所看到的应当是A．q B．d C．p20．植物细胞细胞质中，与呼吸作用有关的结构是A．核糖体B．线粒体C．叶绿体21．植物细胞细胞质中，与植物制造有机物有关的结构是A．线粒体B．叶绿体Ｃ．核糖体22．在细胞中能控制细胞内外物质的进出，对保持细胞各种物质的稳定和细胞生命活动的正常进行有重要意义的结构是A．细胞壁 B. 细胞质C．细胞膜23. 能大量吞食细菌，使污水净化的单细胞生物是A．草履虫B．小瓜虫C．喇叭虫24．草履虫的主要特征是A．生活在淡水中B．全身布满纤毛，能自由运动C．身体由一个细胞构成25. 将大米或高梁米播到地里，长不出幼苗的原因是A．胚已被破坏Ｂ．胚乳被损坏Ｃ．除掉了种皮26. 在显微镜下观察根尖的结构，由尖端一次向上是Ａ．根冠、分生区、伸长区、成熟区Ｂ．根冠、分生区、成熟区、伸长区Ｃ．分生区、根冠、成熟区、伸长区27. 下列结构中，使根不断长长的是A．根冠和生长点B．分生区和伸长区Ｃ．伸长区和成熟区28. 从市场上买回的茄子，其果柄一端被几片带刺的像叶一样结构包裹着，这属于茄子花的A．叶片B．花冠C．花萼29. 在根尖中，吸水能力最强的是碱地A．成熟区B．分生区C．伸长区30．请你推断，当植物细胞处于周围溶液浓度大的环境中时，液泡将会出现的变化是A．正常B．胀大C．缩小31．水稻生长的后期，为防止灌溉后倒伏，应多施A．含氮的无机盐B．含磷的无机盐C．含钾的无机盐32. 土壤中的水进入根毛细胞的途径是A．细胞壁→细胞质→细胞膜→液泡B．细胞壁→细胞膜→细胞质→液泡C．细胞膜→细胞壁→细胞质→液泡33. 在水循环中，水蒸发量最多的是A．海洋B．陆地C．湖泊34.把一段带叶的茎下端插入装有稀释红墨水的瓶子里，放置在温暖的阳光下，待到叶脉微红时，用肉眼观察茎的横切面，染红的结构是A．木质部B．韧皮部C．导管35. 在木本植物的树干上环割一周，深度至形成层，剥去圈内树皮，过一段时间可见到环割上端出现瘤状物，这种现象说明A．木质部输送有机物受阻B．韧皮部输送有机物受阻C．韧皮部输送水和无机盐受阻36. 将来既能发育成枝和叶又能发育成花的芽是A．花芽B．枝芽C．混合芽37. 下列动物中，属于杂食性动物的是A．马B．人C．羊38．下列绿色植物中，食用部分属于块根的是A．甘薯B．胡萝卜C．马铃薯39. 如果陆生和水生植物大量减少，大气中急剧增加的成分是A．氧气B．一氧化二氮C．二氧化碳40．植物从土壤中吸收的水，大部分A．用于光合作用B．用于呼吸作用C．用于蒸腾作用二、多项选择题（说明：按①②③的顺序选择，如果①②③都正确，请写A；如果①②正确，请写B；如果①③正确，请写C；如果②③正确，请写D）41. 下列有关森林的叙述中正确的是①．森林能美化我们居住的环境，促进我们的身心健康②．森林是各种动物生活的理想居所，破坏了森林，就破坏了动物的家③．我们所使用的木材、石油及煤都直接或间接地来自于森林42. 在一个地区植树时，选择法国梧桐作为树种的原因是①．抗氯气能力强②．抗二氧化碳能力强有力莱坞③．树冠硕大，庶阳效果好43. 下列关于植物蒸腾作用的叙述中正确的是①．一般情况下，气温越高，蒸腾作用越强②．蒸腾作用促进了水和无机盐在植物体内的运输③．植物茂盛的地方，人感觉凉快．这与植物的蒸腾作用有关44.大豆种子和玉米种子的营养物质分别贮藏在内①胚②子叶③胚乳45. 下列食物中，不属于植物种子的是①．葡萄②．葵花子③．大豆46. 下列食物中，不属于果实的是①．瓜子②．葵花子③．玉米粒47. 绿色植物的蒸腾作用可以①．降低植物叶片表面及其周围环境的温度②．增加空气的湿度，有利于形成降雨③．促使水的吸收与运输48. 自然界中的物体分为两大类：和。

数值分析试题及答案

武理数值分析考试试题纸（A 卷）课程名称数值分析专业年纪一、计算题（本题满分100分，共5小题，每小题20分） 1．已知函数表(1) 求f(x)的三次Lagrange 型插值多项式及其插值余项（要求化成最简形式）. (2) 求f(x)的Newton 插值多项式（要求化成最简形式）. 2. 已知A=[212013612]，求‖A ‖1，‖A ‖∞，A 的LU 分解.3. 叙述m 阶代数精度的定义，写出求∫f (x )dx ba 的Simpson 公式，并验证Simpson 公式的代数精度为3阶.4. 设矩阵A=012α11，求当α为何值时，解线性方程组Ax=b 的Gauss-Seidel 迭代法收敛.5. 叙述最小二乘法的基本原理，并举例说明其应用.参考答案一、计算题1、解：（1）L 3(x )=l 0(x )y 0+l 1(x )y 0+l 2(x )y 2+l 3(x )y 3=(x−0)(x−2)(x−2)(−1−0)(−1−1)(−1−2)×0+(x+1)(x−1)(x−2)(0+1)(0−1)(0−2)×(−1)+(x+1)(x−0)(x−2)(1+1)(1−0)(1−2)×2+(x+1)(x−0)(x−1)(2+1)(2−0)(2−1)×15=x 3+2x 2−1R 3(x )=f (x )−L 3(x )=f (4)(ε)4!ω4(x )(2) 均差表如下：N (x )=f (x 0)+f ,x 0,x 1-(x −x 0)+f ,x 0,x 1,x 2-(x −x 0)(x −x 1)+f ,x 0,x 1,x 2,x 3-(x −x 0)(x −x 1)(x −x 2)=0+(−1)(x +1)+2×(x +1)(x −0)+1×(x +1)(x −0)(x −1) =x 3+x 2−12、解： ‖A ‖1=max 1≤j≤3∑|a ij |3i=1=2+0+6=8‖A ‖∞=max 1≤i≤3∑|a ij |3j=1=6+1+2=9A =LU =[1l 211l 31l 321][u 11u 12u 13u 22u 23u 33]=[212013612] 由u 11=2 u 12=1 u 13=2l 21=0 u 22=1 u 23=3 l 31=3 l 32=−2 u 33=2所以 A =LU =[1013−21][212132] 3. 解：定义：如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次的多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。

数值分析历年考题

数值分析A 试题2007.1第一部分：填空题10⨯51.设3112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则A ∞=___________ 2()cond A =___________ 2.将4111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭分解成T A LL =，则对角元为正的下三角阵L =___________,请用线性最小二乘拟合方法确定拟合函数()bxf x ae =中的参数：a = ___________ b =___________4.方程13cos 2044x x π--=在[0,1]上有个根，若初值取00.95x =，迭代方法113cos 244k k x x π+=-的收敛阶是 5.解方程2210x x -+=的Newton 迭代方法为___________，其收敛阶为___________6.设()s x = 3232323,[0,1]31,[1,2]ax x x x x x bx x +-+∈--+∈为三次样条函数，则a = ___________b =___________7.要想求积公式：1121()(()f x dx A f f x -≈+⎰的代数精度尽可能高，参数1A = ___________ 2x =___________此时其代数精度为：___________8.用线性多步法2121(0.50.5)n n n n n y y h f f f ++++-=-+来求解初值问题00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，该方法的局部截断误差为___________，设,0,f y μμ=〈其绝对稳定性空间是___________9.用线性多步法2121()n n n n n y ay by h f f ++++-+=-来求解初值问题00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，希望该方法的阶尽可能高，那么a = ___________ b =___________，此时该方法是几阶的：___________10.已知[1,1]-上的四次legendre 多项式为4241()(35303)8L x x x =-+,求积分1241()()ax bx c L x dx -++=⎰___________其中,,a b c 为常数。

《数值分析》练习题及答案解析

《数值分析》练习题及答案解析第一章绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。

1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。

4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。

第二章非线性方程求根主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算；牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。

（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。

"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。

（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。

（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。

（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。

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（）2. 为了减少误差,进行计算。

（）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。

（）4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。

（）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。

5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k XMX N k +=+=K 产生的向量序列{}()k X收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。

数值分析试题(卷)和答案解析

试题__2009___年~__2010___年第一学期课程名称：数值分析专业年级： 2009级（研究生）考生学号：考生：试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为。

2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为。

3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝，1x = 。

4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为。

二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。

三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。

（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。

（10分）五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。

（10分）六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦（10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。

合工大2006数值分析试卷

Numerical AnalysisAnswers toTest A (July 3, 2006)1. Fill in the following blanks (20%)a. Suppose ()3200620072008.f x x x =++ Then the third divided difference[]0,1,2,3f =2006, the fourth divided difference []0,1,2,3,4f = 0 .[ []()01,,,()!n n x x x fn f ξ=, wher 0101(min{,,,max{,,,},})n n x x x x x x ξ∈ ]b. Suppose T (2,1,3,4)x =-. Then 2||||x =||||x ∞= 4 .[ 12211,max n i i i ni x x ∞≤≤=⎛⎫== ⎪⎝⎭∑xx]c. Suppose210121012A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. Then 1||||A = 4 , ||||A ∞= 4 .[ 111m ax nij j ni Aa ≤≤==∑, 11m a x nij i ni Aa ∞≤≤==∑ ]d. Suppose2112A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.Then the spectral radius (谱半径)()A ρ= 3 , 2||||A = 3[ ()max i iA ρλ= and i λ is an eigenvalue of A for each i.2A=, where T ()m ax iiA A ρλ= and i λ is an eigenvalue of T A A for each i. ]e. The Trapezoidal rule (梯形求积公式) applied to20()f x dx⎰gives the value4, and Simpson ’s rule gives the value 2. Then (1)f = 1/2 .In fact.20[(0)(2)]4(0)(2)4,220111[(0)4(1)(2)]2(1)[6(0)(2)][64].6442T f f f f S f f f f f f -=+=⇒+=-=++=⇒=--=-=f. The function ()x f x e = is approximated on the interval [1,1]- by thesecond Maclaurin (麦克劳林) polynomial 22()12P x x x =++. Then the linear polynomial 1()P x that best uniformly approximates （最佳一致逼近）2()P xon [1,1]- is x + 5/4 .(Solution. Since 22()12xP x x =++, the linear polynomial 1()P x that bestuniformly approximates 2()P x on [1,1]- is1222221()()()151(21).222!4P x P x a T x x x x x =-⎛⎫=++--=+ ⎪⨯⎝⎭01()1,(),T x T x x ==2210()2()()212 1.T x x T x T x x x x =⋅-=⋅-=-)2. a) Show that the sequence 111322n n n x x x --=+is generated by Newton ’s methodfor finding the root of equation 230x -=. b) The sequence {n x} converges towhenever 032,3x ⎡⎤∈⎣⎦. c) Use 0 1.5x =to compute 3x with 6 significant digits (有效数字). (15%)Proof . a) Let 2()3f x x =-. Then by Newton ’s iteration formula, we have111()()n n n n f x x x f x ---=-'211132n n n x x x ----=-111322n n x x --=+.b) Let 13()22g x x x =+. Then ()[32,3]g x C ∈.Since 213()22g x x'=-is monotonically increasingand 0g '=, we derive that g (x ) is monotonically decreasing on the interval[3/2, ] andmonotonically increasing on the interval[3]. Therefore[32,3]m in ()x g x g ∈==[3/2,3]max ()max{(32),(3)}max{74,2}2x g x g g ∈===,whichimplies ()2][3/2,3]g x ∈⊆. The fact that 213()22g x x '=-is monotonically increasing means that forany [32,3]x ∈,11()63g x '≤≤, i.e., |()|1g x '< for [32,3]x ∈.Applying the Fixed-Point Theorem to g(x ) on the interval 32,3⎡⎤⎣⎦leads to the conclusion that the sequence 11113()22n n n n x g x x x ---==+converges to13()22x g x x x==+, i.e., x =whenever 032,3x ⎡⎤∈⎣⎦.c) Substituting 0 1.5x =into 111322n n n x x x --=+gives10013137122224x x x =+=⨯+=,similarly 21113176972224756x x x =+=⨯+=,322131978418817 1.73205222569710864x x x =+=⨯+=≈.3. Use the following data to construct an interpolating polynomial 3()P x of degreethree so that 3()()i i P x f x = for 0,1,2i = and 300()()P x f x ''= (15%)Solution . With the given data, we can establish the following table for divided differencesUsing Newton ’s interpolatory divided difference formula gives2230000001000120122223()()[,]()[,,]()[,,,]()()10(0)1(0)1(0)(1)10(1)1.P x f x f x x x x f x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x =+-+-+--=+⨯-+⨯-+⨯--=+++-=+4. A natural cubic spline S on [0,2] is defined by30231()12,if 01,()()2(1)(1)(1),if1 2.S x x x x S x S x b x c x d x x ⎧=+-≤<⎪=⎨=+-+-+-≤≤⎪⎩Find ,b c and d . (10%)Solution. Since S (x ) is a natural cubic spline on [0,2], we have01(10)(10)S S -=+, 01(10)(10)S S ''-=+, 01(10)(10)S S ''''-=+,(0)(0)0,S S ''''== 1(2)(2)0,S S ''''==which leads to the following equations1,26,260.b c c d =-⎧⎪=-⎨⎪+=⎩Solving the above equations for b , c and d gives 1,3,1b c d =-=-=.5. The forward-difference formula can be expressed as23000001()[()()]()()().26h hf x f x h f x f x f x O h h''''''=+---+Use Richardson ’s extrapolation (Richardson 外推) to derive an 3()O h formula for 0().f x ' (10%) Solution 1. Let 1001()[()()]N h f x h f x h=+-, 101(),2k f x ''=-201()6k f x '''=-.Then230112()()()f x N h k h k h O h '=+++. (1)Replacing h by h /2 in (1) yields230112()()224h h h f x N k k O h ⎛⎫⎛⎫'=+⋅+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)Subtracting (1) from 2 times (2) [i.e. (2)2(1)]⨯- gives2301122322()2()()22()().2h h f x N N h k O h hN h k O h ⎛⎫'=--+ ⎪⎝⎭=-+ (3)Replacing h by h /2 in (3) yields23022()().28h h f x N k O h ⎛⎫'=-⋅+ ⎪⎝⎭(4)Subtracting (3) from 4 times (4) [i.e. (4)4(3)]⨯- results in30223()4()().2h f x N N h O h ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭So30221()4()()32h f x N N h O h ⎡⎤⎛⎫'=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦= 3111812()()3423h h N N N h O h ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 300001[21()32()12()()]()342h h f x f x f x f x h O h h=-++-++++.Solution 2. Let 1001()[()()]N h f x h f x h=+-, 101(),2k f x ''=-201()6k f x '''=-.Then230112()()()f x N h k h k h O h '=+++.Employing the Richardson ’s extrapolation formula 11112(/2)()()21i i i i i N h N h N h -----=-,for 2,3i =, gives1122(/2)()()21N h N h N h -=-0001[4()()3()]2h f x f x h f x h=+-+-,202()()()f x N h O h '=+0001[4()()3()]2h f x f x h f x h =+-+-2()O h +,2234(/2)()()41N h N h N h -=-00001[21()32()12()()]342h h f x f x f x f x h h=-++-+++,and303()()()f x N h O h '=+300001[21()32()12()()]()342h h f x f x f x f x h O h h=-++-++++.6. Find the constants 01,c c and 1x so that the quadrature formula （求积公式）10110()(0)()f x dx c f c f x ≈+⎰has the highest possible degree of precision (代数精度). (10%)Solution. Making 10110()(0)()f x dx c f c f x =+⎰hold for each 2()1,,f x x x =gives01112111,1/2,1/3.c c c x c x ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩ Solving the equations for 01,c c and 1x yields 0114,34c c == and 12x =.Since133301114290x dx c c x =≠=⋅+⎰,we see that the quadrature formula10132()(0)()443f x dx f f ≈+⎰has the degree of precision 2.7. Use Euler ’s method to approximate the solution for the initial-value problem21(),23,(2)1,dy t y t y dt=+-≤≤= with0.5h = (10%)Solution. Euler ’s scheme is given by210[1()],(2) 1.i i i i y y h t y y y +⎧=++-⎪⎨==⎪⎩Using 0100.5,2, 2.5h t t t h ===+= gives221000[1()]10.5[1(21)]2,y y h t y =++-=++-= 222111[1()]20.5[1(2.52)] 2.625.y y h t y =++-=++-=8. Establish the convergent (收敛的) Jacobi iterative scheme (迭代格式) andGauss-Seidel iterative scheme for the following linear system123123123321015,1045,21078.x x x x x x x x x ++=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩ and explain why these schemes are convergent? (10%)Solution 1. The given linear system can be rearranged as1231231231045,21078,321015.x x x x x x x x x --+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩ The new equivalent linear system has a strictly diagonally dominant coefficientmatrix, therefore both the Jacobi iterative scheme(1)()()123(1)()()213(1)()()3120.40.10.5,0.20.70.8,0.30.2 1.5k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=-+-⎪=-++⎨⎪=--+⎩and the Gauss-Seidel iterative scheme(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3120.40.10.5,0.20.70.8,0.30.2 1.5k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=-+-⎪=-++⎨⎪=--+⎩are convergent.Solution 2. Let104121073210A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 123x X x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 5815b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. Then the original linear system is equivalent to the matrix equation A X b =.Since the matrix A is strictly diagonally dominant, both the Jacobi iterative scheme and the Gauss-Seidel iterative scheme are convergent.The Jacobi iterative scheme is given by(1)1()1()k k XD L U XD b+--=++and the Gauss-Seidel iterative scheme is given by(1)1()1()()k k XD L UXD L b+--=-+-,where10000100010D -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 000200320L ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦, 04100700U -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 12/51/10()1/507/103/101/50D L U --⎡⎤⎢⎥+=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦, 11/24/53/2D b --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 10.100()0.020.100.0260.020.1D L --⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 10.40.1()00.080.6800.1040.166D L U --⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 10.5()0.91.47D L b --⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.。

(完整)数值分析学期期末考试试题与答案(A),推荐文档

期末考试试卷( A 卷)2007 学年第二学期考试科目：数值分析考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业100011. 用计算机求11000时，应按照 n 从小到大的顺序相加。

n1n2. 为了减少误差 ,应将表达式 2001 1999 改写为 2进行计算。

( )2001 19993. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。

( )4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。

( )5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。

( ) 二、填空每空 2 分，共 36 分)1. 已知数 a 的有效数为 0.01 ，则它的绝对误差限为 _______ ，相对误差限为 _1 0 1 02. 设 A0 2 1 ,x 5 ,则 A 1____________________________ _， x 2 ______ ，Ax1 3 0 13. 已知 f (x) 2x 54x 35x,则 f[ 1,1,0] , f[ 3, 2, 1,1,2,3] .14. 为使求积公式 f (x)dx A 1f ( 3) A 2f (0) A 3f ( 3)的代数精度尽量高，应使13 3A 1 ， A 2 ， A 3，此时公式具有次的代数精度。

5. n 阶方阵 A 的谱半径 ( A)与它的任意一种范数 A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组 AX B 时，使迭代公式 X (k 1)MX (k)N (k 0,1,2,K )产生的向量序列X (k)收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B时，系数矩阵A可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即A LU. 若采用高斯消元法解AX B，其中A 4 2，则21L ___________ ，U ____________ ；若使用克劳特消元法解AX B ，则u11 _______ ；若使用平方根方法解AX B，则l11与u11的大小关系为（选填：＞，＜，=，不一定）。

《数值分析》2006--2007学年第一学期试题A (闭卷考试)

《数值分析》2006--2007学年第一学期试题A (闭卷考试)(1) 设219.15456x =为真值219.15123T x =的近似，则x 有位有效数字。

(2) 设数据12,x x 的绝对误差分别为0.0005和0.0002，那么12x x -的绝对误差约为。

(3) 设842()4321f x x x x =+++则差商018[2,2,,2]_________f =。

(4) 设求积公式11=≈≥∑⎰()(),()nk k k f x dx A f x n 是Gauss 型求积公式，则30nkkk A x==∑ 。

(5) 设1032A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,则()A ρ= 。

(6) 数值微分公式(2)(2)'()i i i f x h f x h f x h+--≈的截断误差为。

(7) )(,),(),(10x l x l x l n 是以n x x x ,,,10 为节点的拉格朗日插值基函数，则(1)()nn kk k xl x =-=∑ 。

(8) 利用两点Gauss 求积公式11()(0.5774)(0.5774)f x dx f f -≈-+⎰，则2()f x dx ≈⎰。

（9）解初值问题 ⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y 的改进的欧拉法是阶方法。

（1） 5 （2）0.0007 （3）4 （4）1/4 （5） 2 （6）2()O h （7）(1)nx -（8）2()(0.4226)(1.5774)f x d x f f ≈+⎰（9） 2 2007--2008学年第一学期试题A (闭卷考试)(1)设12A ⎡-=-⎥⎦，则A 的奇异值为。

(2) 设0.00013753x =为真值0.00013759T x =的近似值，则x 有位有效数字。

(3) 设数据123,,x x x 的绝对误差为0.002，那么123x x x -+的绝对误差约为 ____ _。

数值分析考试题

数值分析考试题一、选择题1. 以下哪个方法不是数值分析中常用的数值积分方法？A. 梯形法则B. 辛普森法则C. 牛顿法D. 龙格-库塔法2. 在求解线性方程组的直接方法中，高斯消元法属于以下哪种类型？A. 列主元消去法B. 行主元消去法C. 完全主元消去法D. 选主元消去法3. 非线性方程求根的二分法属于以下哪种类型的数值方法？A. 迭代法B. 直接法C. 优化算法D. 插值法4. 在数值分析中，用于度量舍入误差的常用指标是：A. 截断误差B. 舍入误差C. 估计误差D. 计算误差5. 插值多项式的最高次数与插值节点的数量关系是：A. 次数多于节点数量B. 次数少于节点数量C. 次数等于节点数量D. 与节点数量无关二、填空题1. 在数值分析中，__________是用来描述一个算法在实际运算中所需步数的度量。

2. 线性方程组的雅可比方法是一种__________消去法。

3. 牛顿法在求解非线性方程时，每次迭代都需要计算__________。

4. 龙格现象是指在数值积分中，由于__________而引起的误差。

5. 在多项式插值中，拉格朗日插值法是通过__________来构建插值多项式的。

三、简答题1. 请简述数值分析中的截断误差和舍入误差的区别。

2. 描述高斯-赛德尔迭代法的基本思想，并与雅可比迭代法进行比较。

3. 解释在数值积分中为什么需要使用自适应方法。

4. 讨论在求解非线性方程时，二分法与牛顿法的适用条件和优缺点。

5. 分析多项式插值与样条插值的主要区别及其各自的应用场景。

四、计算题1. 给定函数f(x) = sin(x)，在区间[0, π]上使用梯形法则计算积分的近似值，取4个等分点。

2. 设线性方程组如下：\[\begin{cases}2x + y + z = 6 \\x + 2y + 4z = 14 \\3x + y + 2z = 10\end{cases}\]使用高斯消元法求解该方程组的解。

数值分析试题及答案

数值分析试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 线性代数中，矩阵A的逆矩阵记作（）。

A. A^TB. A^-1C. A^+D. A*答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值多项式的基函数是（）。

A. 多项式B. 指数函数C. 正弦函数D. 余弦函数答案：A3. 在数值积分中，梯形规则的误差是（）阶的。

A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1/h)答案：A4. 求解线性方程组时，高斯消元法的基本操作不包括（）。

A. 行交换B. 行乘以非零常数C. 行加行D. 行除以非零常数答案：D5. 非线性方程f(x)=0的根的迭代法中，收敛的必要条件是（）。

A. f'(x)≠0B. f'(x)=0C. |f'(x)|<1D. |f'(x)|>1答案：C6. 利用牛顿法求解非线性方程的根时，需要计算（）。

A. 函数值B. 函数值和导数值C. 函数值和二阶导数值D. 函数值、一阶导数值和二阶导数值答案：B7. 矩阵的特征值和特征向量是（）问题中的重要概念。

A. 线性方程组B. 特征值问题C. 线性规划D. 非线性方程组答案：B8. 在数值分析中，条件数是衡量矩阵（）的量。

A. 稳定性B. 可逆性C. 正交性D. 稀疏性答案：A9. 利用龙格现象说明，高阶插值多项式在区间端点附近可能产生（）。

A. 振荡B. 收敛C. 稳定D. 单调答案：A10. 雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法都是求解线性方程组的（）方法。

A. 直接B. 迭代C. 精确D. 近似答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 线性代数中，矩阵A的行列式记作________。

答案：det(A) 或 |A|12. 插值法中，牛顿插值多项式的基函数是________。

答案：差商13. 在数值积分中，辛普森规则的误差是________阶的。

答案：O(h^4)14. 求解线性方程组时，迭代法的基本思想是从一个初始近似解出发，通过不断________来逼近精确解。

数值分析试卷

数值分析试卷一、选择题（共10题，每题4分，共40分）1.下列哪个方法不是用于求解非线性方程的方法？– A. Bisection Method– B. Newton’s Method– C. Secant Method– D. Simpson’s Rule2.哪一种数值积分方法可以通过多项式插值来计算积分值？– A. 梯形法则– B. 辛普森法则– C. 复合辛普森法则– D. Gauss-Legendre法则3.在数值微分中，中心差分公式的截断误差是多少？– A. O(h)– B. O(h^2)– C. O(h^3)– D. O(h^4)4.下列哪个算法用于在数值求解线性方程组时进行列主元素消去？– A. Jacobi Iteration– B. Gauss-Seidel Iteration– C. LU分解– D. Cholesky分解5.设有一个3次样条插值多项式，在给定的边界条件下，需要确定几个插值节点？– A. 2– B. 3– C. 4– D. 56.数值稳定性通常指什么？– A. 解的精确程度– B. 算法的收敛速度– C. 算法的数值精度– D. 算法对输入数据误差的敏感程度7.误差函数f(x)和估计函数g(x)的差称为什么？– A. 绝对误差– B. 相对误差– C. 真实误差– D. 截断误差8.什么是数值稳定性分析？– A. 研究数值方法的误差来源和误差传播– B. 研究数值方法在计算机上的稳定性– C. 研究数值方法的收敛性– D. 研究数值方法的数值精度9.下面哪个方法不是一种数值求解微分方程的方法？– A. 欧拉法– B. 一阶Runge-Kutta法– C. 二阶Runge-Kutta法– D. 极大值极小值法10.下列哪个方法不是用于计算特征值和特征向量的方法？– A. 幂迭代法– B. QR分解法– C. Cholesky分解法– D. Jacobi旋转法二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1.梯形法则的截断误差公式为O(ℎ2)。

数值分析试题(A)参考答案2012.6

湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目：数值分析（A 卷）参考答案专业年级： 11级各专业考试形式：闭卷（可用计算器）考试时间：120分钟……………………………………………………………………………………………………………………… 注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。

一、简答题(20分)1、避免误差危害的主要原则有哪些？答：（1）两个同号相近的数相减（或异号相近的数相减），会丧失有效数字，扩大相对误差，应该尽量避免。

（2分）（2）很小的数做分母（或乘法中的大因子）会严重扩大误差，应该尽量避免。

（3分）（3）几个数相加减时，为了减少误差，应该按照绝对值由大到小的顺序进行。

（4分）（4）采用稳定的算法。

（5分）2．求解线性方程组的高斯消元法为什么要选主元？哪些特殊的线性方程组不用选主元？答：（1）若出现小主元，将会严重扩大误差，使计算失真，所以高斯消元法选主元。

（3分）（2）当系数矩阵是对称正定矩阵时，高斯消元法不用选主元。

（4分）（3）当系数矩阵是严格对角占优或不可约对角占优时，高斯消元法不用选主元。

（5分）3．求解非线性方程的Newton 迭代法的收敛性如何？答：（1） Newton 迭代法是局部收敛的，即当初值充分靠近根时，迭代是收敛的。

（2分）（2）用Newton 迭代法求方程0)(=x f 的单根时，其收敛至少是平方收敛，若求重根，则只有线性收敛。

（5分）4．Newton-Cotes 积分公式的稳定性怎么样？答：（1）Newton-Cotes 积分公式当7≤n 时，Cotes 系数都为小于1的正数，因此是稳定的。

（3分）（2）当8>n 时，出现了绝对值大于1的Cotes 系数，因此是不稳定。

（5分）二、(10分) 证明函数)(x f 关于点k x x x ,...,,10的k 阶差商],...,,[10k x x x f 可以写成对应函数值k y y y ,...,,10的线性组合，即∑==k j jjk x w y x x x f 010)('],...,,[ 其中节点))...()(()(10k x x x x x x x w ---=。

06年研数值分析A卷

武汉大学2006~2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

一、（12分）设方程组b Ax =为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛37111221x x （1）用Doolittle 分解法求解方程组；（2）求矩阵A 的条件数∞)(A Cond二、（12分）设A 为n 阶对称正定矩阵，A 的n 个特征值为n λλλ≤≤≤ 21，为求解方程组b Ax =，建立迭代格式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+ω，求出常数ω的取值范围，使迭代格式收敛。

三、（12分）已知数据试用二次多项式c bx ax x p ++=2)(拟合这些数据。

四、（14分）已知 )(x f y = 的数据如下：（1）求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ；（2）为求⎰31)(dx x f 的值，采用算法：R dx x H dx x f +=⎰⎰31331)()( 试导出截断误差R五、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分dx e b ax b a I x 210)(),(⎰-+= 取得最小值。

六、（12）确定常数i A ，使求积公式)2()1()0()(32120f A f A f A dx x f ++≈⎰的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss 型公式。

七、（12分）设)(x ϕ导数连续，迭代格式)(1k k x x ϕ=+一阶局部收敛到点*x 。

对于常数λ，构造新的迭代格式：)(1111k k k x x x ϕλλλ+++=+ 问如何选取λ，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。

八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y t y y t f dt dy 的单步法：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==+=+)21,21(),(12121hk y h t f k y t f k hk y y n n n n n n （1）验证它是二阶方法；（2）确定此单步法的绝对稳定区域。