高三数学理科二轮复习同步练习 1-2-6点、直线、平面之间的位置关系

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高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.2.4 平面与平面平行的性质练习(含解析)新人教

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平面与平面平行的性质班级: 姓名:_____________1。

在空间中,下列命题错误的是( ）A.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交B.一个平面与两个平行平面相交，交线平行C.平行于同一平面的两个平面平行D.平行于同一直线的两个平面平行【解析】选D。

与两相交平面交线平行的直线，可平行两平面，即平行于同一直线的两个平面可相交，因此D错误.C为定理，正确;A，B显然成立。

2。

如图所示，在三棱台A1B1C1—ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内的一个动点,且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是( )A。

平面 B.直线C.线段，但只含1个端点D。

圆【解析】选C。

因为平面BDM∥平面A1C，平面BDM∩平面A1B1C1=DM，平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1，所以DM∥A1C1，过D作DE1∥A1C1交B1C1于点E1，则点M的轨迹是线段DE1(不包括D点)。

3。

α，β，γ为三个不重合的平面,a，b,c为三条不同的直线,则有下列说法，不正确的是( )①⇒a∥b；②⇒a∥b；③⇒α∥β; ④⇒α∥β；⑤⇒α∥a；⑥⇒a∥α；A。

高考数学(理)二轮专题复习课时巩固过关练(十三)点、直线、平面之间的位置关系

课时巩固过关练(十三)点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m＝α∩β，则l⊥αB．若l∥m，m＝α∩β，则l∥αC．若α∥β，l与α所成的角和m与β所成的角相等，则l∥mD．若l∥m，α∥β，l⊥α，则m⊥β解析：对于A，l可能在平面α内也可能在平面α外，错误；对于B，l可能在平面α内，错误；对于C，l，m可能平行、相交、异面，错误；对于D，因为l∥m，l⊥α，所以m⊥α，又α∥β，所以m⊥β，正确．答案：D2．(2016·北京海淀期中)设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：l，m，n均为直线，m，n在平面α内，l⊥α⇒l⊥m且l⊥n.反之，由l⊥m且l⊥n不一定能推出l⊥α，当m∥n时，l也可能平行于α.故“l⊥α”是“l ⊥m且l⊥n”的充分不必要条件．故选A.答案：A3．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()A．①③B．②③C．①④D．②④解析：对于图形①：平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP，对于图形④：AB∥PN，AB⊄平面MNP，即可得到AB∥平面MNP，图形②、③都不可以，故选C.答案：C4．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为()A.12 B ．1C.32 D ．2 解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋(2)2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66.由面积相等得DB 1·B 1F ＝DF ·B 1E ，即66×x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22x ，得x ＝12. 答案：A5．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上C ．直线AC 上D ．△ABC 内部解析：由BC 1⊥AC ，BA ⊥AC ，得AC ⊥平面ABC 1，因此平面ABC ⊥平面ABC 1，因此C 1在底面ABC 上的射影H 在直线AB 上．答案：A二、填空题6．三棱锥S －ABC 中，∠SBA ＝∠SCA ＝90°，△ABC 是斜边AB ＝a 的等腰直角三角形，给出以下结论：①异面直线SB 与AC 所成的角为90°；②直线SB ⊥平面ABC ；③平面SBC⊥平面SAC ；④点C 到平面SAB 的距离是12a .其中正确结论的序号是__________．解析：由题意知AC ⊥平面SBC ，又SB ⊂平面SBC ，故AC ⊥SB ，又SB ⊥AB ，∴SB ⊥平面ABC ，平面SBC ⊥平面SAC ，①②③正确；取AB 的中点E ，连接CE (如图)，可证得CE ⊥平面SAB ，故CE 的长度即为C 到平面SAB 的距离，为①平行于同一平面的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线平行；那么它和这个平面内的任何直线都平行；一条直线和一个平面垂直，那么它和这个平面内的任何直线都垂直．上的射影，给出下列结论：⊥BC；④AE⊥平面__________．所在的平面，AB是⊙O的直径，∴，∴CB⊥AF.又的中点．求证：B三点共线，∵P，，OP⊄平面D1BQ，∴(2)∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥P A.∵QB⊂平面D1BQ，P A ⊄平面D1BQ，∴P A∥平面D1BQ.又PO∥平面D1BQ，P A∩PO＝P，P A⊂平面P AO，PO⊂平面P AO，∴平面D1BQ∥平面P AO.10．(2015·四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需要说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并说明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG ∥平面ACH .证明如下：因为ABCD －EFGH 为正方体，所以BC∥FG ，BC ＝FG .又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH .于是BCHE 为平行四边形，所以BE ∥CH .又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ，所以BE ∥平面ACH .同理BG ∥平面ACH .又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH .(3)连接FH ，BD ，因为ABCD －EFGH 为正方体，所以DH ⊥平面EFGH ，因为EG ⊂平面EFGH ，所以DH ⊥EG ，又EG ⊥FH ，DH ∩FH ＝H ，所以EG ⊥平面EFHD .又DF ⊂平面BFHD ，所以DF ⊥EG .同理DF ⊥BG .又EG ∩BG ＝G ，所以DF ⊥平面BEG .11．(2016·浙江瑞安联考)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AD ⊥平面A 1BC ，其垂足D 落在直线A 1B 上．(1)求证：BC ⊥A 1B ；(2)若AD ＝3，AB ＝BC ＝2，P 为AC 的中点，求二面角P －A 1B －C 的平面角的余弦值．解：(1)∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴A 1A ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥BC .∵AD ⊥平面A 1BC ，且BC ⊂平面A 1BC ，∴AD ⊥BC .又AA 1⊂平面A 1AB ，AD ⊂平面A 1AB ，A 1A ∩AD ＝A ，∴BC ⊥平面A 1AB .又A 1B ⊂平面A 1AB ，∴BC ⊥A 1B .(2)由(1)知BC ⊥平面A 1AB ，AB ⊂平面A 1AB ，从而BC ⊥AB ，如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B －xyz .∵AD ⊥平面A 1BC ，其垂足D 落在直线A 1B 上，∴AD ⊥A 1B .在Rt △ABD 中，AD ＝3，AB ＝2，sin ∠ABD ＝AD AB ＝32，∠ABD ＝60°.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥AB .在Rt △ABA 1中，AA 1＝AB ·tan60°＝23，则B (0,0,0)，A (0,2,0)，C (2,0,0)，P (1,1,0)，A 1(0,2，23)，＝(1,1,0)，＝(0,2，23)，＝(2,0,0)．。

高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系测试题答案综述

第二章直线与平面的位置关系测试题一、选择题 1．设，为两个不同的平面，l ，m 为两条不同的直线，且l ⊂，m ⊂β，有如下的两个命题：①若∥，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则⊥．那么( )．A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题2．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( )． A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1角为60° 3．关于直线m ，n 与平面，，有下列四个命题：①m ∥，n ∥且∥，则m ∥n ； ②m ⊥，n ⊥且⊥，则m ⊥n ； ③m ⊥，n ∥且∥，则m ⊥n ；④m ∥，n ⊥且⊥，则m ∥n ．其中真命题的序号是( )． A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③4．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线l 1，l 2与同一平面所成的角相等，则l 1，l 2互相平行④若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线其中假．命题的个数是( )． A ．1B ．2C ．3D ．45．下列命题中正确的个数是( )．(第2题)①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点A．0个B．1个C．2个D．3个6．两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面( )．A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个D．只有两个7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )．A．90°B．60°C．45°D．30°8．下列说法中不正确的．．．．是( )．A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是( )．A．4 B．3 C．2 D．110．异面直线a ，b 所成的角60°，直线a ⊥c ，则直线b 与c 所成的角的范围为( )．A ．[30°，90°] B．[60°，90°] C ．[30°，60°]D ．[30°，120°] 二、填空题11．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，则这个三棱锥的体积为．12．P 是△ABC 所在平面外一点，过P 作PO ⊥平面，垂足是O ，连PA ，PB ，PC ．(1)若PA ＝PB ＝PC ，则O 为△ABC 的心； (2)PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，PC ⊥PB ，则O 是△ABC 的心；(3)若点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等，则O 是△ABC 的心； (4)若PA ＝PB ＝PC ，∠C ＝90º，则O 是AB 边的点； (5)若PA ＝PB ＝PC ，AB ＝AC ，则点O 在△ABC 的线上． 13．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为．14．直线l 与平面所成角为30°，l ∩＝A ，直线m ∈，则m 与l 所成角的取值范围是．15．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为．16．直二面角－l －的棱上有一点A ，在平面，内各有一条射线AB ，AC 与l 成45°，AB ⊂，AC ⊂，则∠BAC ＝．J(第13题)三、解答题17．在四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形． (1)求证：BC ⊥AD ；(2)若点D 到平面ABC 的距离等于3，求二面角A －BC －D 的正弦值；(3)设二面角A －BC －D 的大小为，猜想为何值时，四面体A －BCD 的体积最大．(不要求证明)18．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点，连结ED ，EC ，EB 和DB ．(1)求证：平面EDB ⊥平面EBC ； (2)求二面角E －DB －C 的正切值.(第18题)(第17题)19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，1．SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝１，AD＝(1)求四棱锥S—ABCD的体积；(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．(提示：延长BA，CD相交于点E，则直线SE是所求二面角的棱.)(第19题)20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．(提示：在AA1上取一点P，过P作棱柱的截面，使AA1垂直于这个截面.)(第20题)第二章点、直线、平面之间的位置关系参考答案一、选择题1．D 解析：命题②有反例，如图中平面∩平面＝直线n，l ⊂，m⊂，且l∥n，m⊥n，则m⊥l，显然平面不垂直平面，(第1题)故②是假命题；命题①显然也是假命题，2．D解析：异面直线AD与CB1角为45°．3．D解析：在①、④的条件下，m，n的位置关系不确定．4．D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D．5．B解析：学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在平面ABCD外，但AA1与平面ABCD相交，①不正确；A1B1∥平面ABCD，显然A1B1不平行于BD，②不正确；A1B1∥AB，A1B1∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD内，③不正确；l与平面α平行，则l与无公共点，l与平面内的所有直线都没有公共点，④正确，应选B． (第5题)6．B解析：设平面过l1，且l2∥，则l1上一定点P与l2确定一平面，与的交线l3∥l2，且l3 过点P. 又过点P与l2平行的直线只有一条，即l3有唯一性，所以经过l1和l3的平面是唯一的，即过l1且平行于l2的平面是唯一的.7．C解析：当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°．8．D解析：A．一组对边平行就决定了共面；B．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C．这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．9．B 解析：因为①②④正确，故选B ．10．A 解析：异面直线a ，b 所成的角为60°，直线c ⊥a ，过空间任一点 P ，作直线 a ’∥a ， b ’∥b ， c ’∥c . 若a ’，b ’，c ’ 共面则 b ’ 与 c ’ 成 30° 角，否则 b ’ 与 c ’ 所成的角的范围为(30°，90°]，所以直线b 与c 所成角的范围为[30°，90°] ．二、填空题 11．313212S S S ．解析：设三条侧棱长为 a ，b ，c ．则 21ab ＝S 1，21bc ＝S 2，21ca ＝S 3 三式相乘： ∴ 81a 2 b 2 c 2＝S 1S 2S 3， ∴ abc ＝23212S S S ． ∵ 三侧棱两两垂直， ∴ V ＝31abc ·21＝313212S S S ．12．外，垂，内，中，BC 边的垂直平分．解析：(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心；(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的垂心； (3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的内心； (4)由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点；(5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O 在∠BAC 的平分线上． 13．60°．解析：将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为60°．14．[30°，90°]．解析：直线l 与平面所成的30°的角为m 与l所成角的最小值，当m 在内适当旋转就可以得到l ⊥m ，即m 与l 所成角的的最大值为90°．15．36．解析：作等积变换：4331⨯×(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)＝4331⨯·h ，而h ＝36． 16．60°或120°．解析：不妨固定AB ，则AC 有两种可能．三、解答题17．证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ． ∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ，∴BC ⊥AD ． (第17题) 解：(2)由(1)知∠AOD 为二面角A －BC －D 的平面角，设∠AOD ＝，则过点D 作DE ⊥AD ，垂足为E ．∵BC ⊥平面ADO ，且BC ⊂平面ABC ，∴平面ADO ⊥平面ABC ．又平面ADO ∩平面ABC ＝AO ， ∴DE ⊥平面ABC ．∴线段DE 的长为点D 到平面ABC 的距离，即DE ＝3．又DO ＝23BD ＝23，在Rt △DEO 中，sin＝DODE ＝23，故二面角A －BC －D 的正弦值为23．(3)当＝90°时，四面体ABCD 的体积最大．18．证明：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ⊂平面11DCC D ， ∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ．(2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵面ABCD⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD ．过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB 于F ，连结EF ，∴EF ⊥BD ．∠EFO为二面角E －DB －C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝51， (第18题)又OE ＝1，所以，tan ∠EFO ＝5．19*．解：(1)直角梯形ABCD 的面积是M 底面＝AB AD BC ⋅)(＋21＝43＝1221＋1⨯，∴四棱锥S —ABCD 的体积是V ＝31·SA ·M 底面＝31×1×43＝41． (2)如图，延长BA ，CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ∵AD ∥BC ，BC ＝2AD ， ∴EA ＝AB ＝SA ，∴SE ⊥SB∵SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线．又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影，∴CS ⊥SE ，∠BSC 是所求二面角的平面角． ∵SB ＝22＋AB SA ＝2，BC ＝1，BC ⊥SB ， ∴tan ∠BSC ＝22＝SB BC ， (第19题)即所求二面角的正切值为22． 20*．解：如图，设斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积为10，A 1A 和面BB 1C 1C 的距离为6，在AA 1上取一点P 作截面PQR ，使AA 1⊥截面PQR ，AA 1∥CC 1，∴截面PQR ⊥侧面BB 1C 1C ，过P 作PO ⊥QR 于O ，则PO ⊥侧面BB 1C 1C ，且PO ＝6．∴V 斜＝S △PQR ·AA 1＝21·QR ·PO ·AA 1＝21·PO ·QR ·BB 1 ＝21×10×6 ＝30．(第20题)。

2021年高考数学二轮复习点、直线、平面之间的位置关系专题训练(含解析)

2021年高考数学二轮复习点、直线、平面之间的位置关系专题训练（含解析）一、选择题1．在下列命题中，不是公理的是( )A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析立体几何中的公理有四个，B，C，D都是，第四个为空间平行线的传递性，而A是面面平行的性质定理，由公理推证出来的，故选A.答案A2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析对于A，直线l1与l3可能异面；对于C，当直线l1、l2、l3构成三棱柱三条侧棱所在直线时不共面；对于D，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面，所以选B.答案 B3．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，且a⊄α，a⊄β，则下列结论中不成立的是( ) A．若b⊂β，a∥b，则a∥βB．若a⊥β，α⊥β，则a∥αC．若a⊥b，b⊥α，则a∥αD．若α⊥β，a⊥β，b∥a，则b∥α解析对于选项A，若有b⊂β，a∥b，且已知a⊄β，所以根据线面平行的判定定理，可得a∥β.故选项A正确；对于选项B，若a⊥β，α⊥β，则根据空间线、面的位置关系，可知a⊂α或a∥α，而由已知a⊄α，所以a∥α.故选项B正确；对于选项C，若a⊥b，b⊥α，所以a⊂α或a∥α.而由已知a⊄α，所以a∥α.故选项C正确；对于选项D，由a⊥β，b∥a，可得b⊥β.又α⊥β，所以b⊂α或b∥α.故不能得到b∥α.所以选项D错误．答案 D4．(xx·四川绵阳二模)已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是( )A．l⊂α，m⊂β，且l⊥mB．l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥nC．m⊂α，n⊂β，m∥n，且l⊥mD．l⊂α，l∥m，且m⊥β解析对A，l⊂α，m⊂β，且l⊥m，如图(1)，α，β不垂直；对B，l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥n，如图(2)，α，β不垂直；对C，m⊂α，n⊂β，m∥n，且l⊥m，直线l没有确定，则α，β的关系不能确定；对D，l ⊂α，l∥m，且m⊥β，则必有l⊥β，根据面面垂直的判定定理知α⊥β.答案 D5．(xx·山东济南二模)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.其中正确命题的序号是( )A．①④B．②③C．②④D．①③解析当α⊥β，m∥α时，有m⊥β，m∥β，m⊂β等多种可能情况，所以①不正确；当m ⊥α，n⊥β，且m⊥n时，由面面垂直的判定定理知α⊥β，所以②正确；因为m⊥β，m∥α，所以α⊥β，③正确；若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β或α，β相交，④不正确．故选B.答案 B 6.如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A －BCD ，则在三棱锥A －BCD 中，下列命题正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC解析由题意知，在四边形ABCD 中，CD ⊥BD .在三棱锥A －BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，两平面的交线为BD ，所以CD ⊥平面ABD ，因此有AB ⊥CD .又因为AB ⊥AD ，AD ∩DC ＝D ，所以AB ⊥平面ADC ，于是得到平面ADC ⊥平面ABC . 答案 D 二、填空题7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为________．解析如图所示，取AB 的中点E ，连接B 1E ，则AM ∥B 1E ，取EB 的中点F ，连接FN ，则B 1E ∥FN ，因此AM ∥FN ，则直线FN 与CN 所夹的锐角或直角为异面直线AM 与CN 所成的角．设AB ＝1，连接CF ，在△CFN 中，CN ＝52，FN ＝54，CF ＝174. 由余弦定理得cos ∠CNF ＝CN 2＋FN 2－CF 22CN ·FN ＝25.答案258．(xx·吉林二模)下列命题中正确的是________．(填上你认为正确的所有命题的序号) ①空间中三个平面α，β，γ，若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；②若a ，b ，c 为三条两两异面的直线，则存在无数条直线与a ，b ，c 都相交； ③球O 与棱长为a 的正四面体各面都相切，则该球的表面积为π6a 2；④三棱锥P －ABC 中，PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，则PC ⊥AB .解析 ①中也可以α与γ相交；②作平面与a ，b ，c 都相交；③中可得球的半径为r ＝612a ；④中由PA ⊥BC ，PB ⊥AC 得点P 在底面△ABC 的射影为△ABC 的垂心，故PC ⊥AB .答案 ②③④ 9.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上．点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．解析点P 到直线CC 1的距离等于点P 在面ABCD 上的射影到点C 的距离，点P 在面ABCD 内的射影落在线段DE 上，设为P ′，问题等价求为P ′C 的最小值，当P ′C ⊥DE 时，P ′C 的长度最小，此时P ′C ＝2×122＋1＝255 答案255三、解答题10．如图所示，在多面体ABC －A 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1是正方形，AC ＝AB ＝1，A 1C ＝A 1B ，B 1C 1∥BC ，B 1C 1＝12BC .(1)求证：平面A 1AC ⊥平面ABC ； (2)求证：AB 1∥平面A 1C 1C .证明 (1)∵四边形ABB 1A 1为正方形，∴A 1A ＝AB ＝AC ＝1，A 1A ⊥AB .∴A 1B ＝ 2.∵A 1C ＝A 1B ，∴A 1C ＝ 2. ∴∠A 1AC ＝90°，∴A 1A ⊥AC . ∵AB ∩AC ＝A ，∴A 1A ⊥平面ABC . 又∵A 1A ⊂平面A 1AC ， ∴平面A 1AC ⊥平面ABC ，(2)取BC 的中点E ，连接AE ，C 1E ，B 1E . ∵B 1C 1∥BC .B 1C 1＝12BC ，∴B 1C 1∥EC ，B 1C 1＝EC .∴四边形CEB 1C 1为平行四边形．∴B 1E ∥C 1C . ∵C 1C ⊂平面A 1C 1C ，B 1E ⊄平面A 1C 1C ，∴B 1E ∥平面A 1C 1C . ∵B 1C 1∥BC ，B 1C 1＝12BC ，∴B 1C 1∥BE ，B 1C 1＝BE .∴四边形BB 1C 1E 为平行四边形． ∴B 1B ∥C 1E ，且B 1B ＝C 1E . 又∵四边形ABB 1A 1是正方形， ∴A 1A ∥C 1E ，且A 1A ＝C 1E .∴四边形AEC 1A 1为平行四边形，∴AE ∥A 1C 1. ∵A 1C 1⊂平面A 1C 1C ，AE ⊄平面A 1C 1C ， ∴AE ∥平面A 1C 1C .∵AE ∩B 1E ＝E ，∴平面B 1AE ∥平面A 1C 1C . ∵AB 1⊂平面B 1AE ，∴AB 1∥平面A 1C 1C .11．如图所示，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .解 (1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 同理EG ∥平面ABC .又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.B级——能力提高组1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．以下四个结论：①直线AM与直线CC1相交；②直线AM与直线BN平行；③直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．解析由图可知AM与CC1是异面直线；AM与BN也是异面直线；AM与DD1是异面直线；BN与MB1也是异面直线，故①②错误，③④正确．答案③④2．(xx·浙江温州二模)如图，在矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是________．①|BM |是定值； ②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ④一定存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE . 解析取DC 中点N ，连接MN ，NB ， ∵MN ∥A 1D ，NB ∥DE ， ∴面MNB ∥面A 1DE . ∵MB ⊂面MNB ，∴MB ∥面A 1DE ，④正确．∠A 1DE ＝∠MNB ，MN ＝12A 1D ＝定值，NB ＝DE ＝定值，根据余弦定理得到：MB 2＝MN 2＋NB 2－2MN ·NB ·cos∠MNB ，∴MB 是定值．①正确．B 是定点，∴M 在以B 为圆心，MB 为半径的圆上，②正确．∴①②④正确．答案 ①②④3．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点．现在沿AE 将三角形ADE 向上折起，在折起的图形中解答下列问题：(1)在线段AB 上是否存在一点K ，使BC ∥平面DFK ？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．(2)若平面ADE ⊥平面ABCE ，求证：平面BDE ⊥平面ADE . 解 (1)线段AB 上存在一点K ，且当AK ＝14AB 时，BC ∥平面DFK ，证明如下：设H为AB的中点，连接EH，则BC∥EH，又因为AK＝14AB，F为AE的中点，所以KF∥EH，所以KF∥BC，因为KF⊂平面DFK，BC⊄平面DFK，所以BC∥平面DFK.(2)因为F为AE的中点，DA＝DE＝1，所以DF⊥AE.因为平面ADE⊥平面ABCE，所以DF⊥平面ABCE，因为BE⊂平面ABCE，所以DF⊥BE.又因为在折起前的图形中E为CD的中点，AB＝2，BC＝1，所以在折起后的图形中：AE＝BE＝2，从而AE2＋BE2＝4＝AB2，所以AE⊥BE，因为AE∩DF＝F，所以BE⊥平面ADE，因为BE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ADE.39703 9B17 鬗s27563 6BAB 殫|37386 920A 鈊4 25331 62F3 拳: 38279 9587 閇31751 7C07 簇27201 6A41 橁26755 6883 梃F。

高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系阶段测试同步训练试题

高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系阶段测试同步训练试题2019.091,化简11410104848++的值等于__________2,计算：(log )log log 2222545415-++=3,已知x y x y 224250+--+=，则log ()x x y 的值是_____________4,方程33131=++-x x的解是_____________5,函数1218x y -=的定义域是______；值域是______6,判断函数2lg(y x x =的奇偶性 7,若log a x ＝log b y ＝－21log c 2，a ，b ，c 均为不等于1的正数，且x ＞0，y＞0，c ＝ab ，则xy ＝________．8,若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512＝________．9,3a ＝2，则log 38－2log 36＝__________．10,下列四个结论：（）⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行其中正确的个数为A.0B.1C.2D.311,下面列举的图形一定是平面图形的是（）A.有一个角是直角的四边形B.有两个角是直角的四边形C.有三个角是直角的四边形D.有四个角是直角的四边形12,垂直于同一条直线的两条直线一定（）A.平行B. 相交C. 异面D.以上都有可能13,如图所示，正三棱锥V ABC -（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,,D E F 分别是 ,,VC VA AC 的中点，P 为VB 上任意一点，则直线DE 与PF 所成的角的大小是（）A. 030B. 090C. 060 D. 随P 点的变化而变化14,互不重合的三个平面最多可以把空间分成（）个部分A. 4B. 5C. 7D. 815,把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（）A. 90B. 60C. 45D. 3016,已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）Ａ. 16π Ｂ. 20π Ｃ. 24π Ｄ. 32π17,已知在四面体ABCD 中，,E F 分别是,AC BD 的中点，若2,4,AB CD EF AB ==⊥，则EF 与CD 所成的角的度数为（）Ａ. 90 Ｂ. 45 Ｃ. 60 Ｄ. 3018,三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（）Ａ. 1条Ｂ. 2条Ｃ. 3条Ｄ. 1条或2条19,在长方体1111ABCD A B C D -，底面是边长为2的正方形，高为4，则点1A 到截面11AB D 的距离为( ) A. 83 B. 38 C. 43 D. 3420,直三棱柱111ABC A B C -中，各侧棱和底面的边长均为a ，点D 是1CC 上任意一点，连接11,,,A B BD A D AD ，则三棱锥1A A BD -的体积为（） A. 361a B. 3123a C. 363a D. 3121a试题答案1, 1616====2,2- 原式12222log 52log 5log 52log 52-=-+=--=-3, 0 22(2)(1)0,21x y x y -+-===且，22log ()log (1)0x x y ==4, 1- 33333,113x x xx x x ---⋅+===-+5, {}1|,|0,2x x y y ⎧⎫≠>≠⎨⎬⎩⎭且y 11210,2x x -≠≠；12180,1x y y -=>≠且6, 奇函数22()lg(lg(()f x x x x x f x -=-=-=- 7, 218, a ba －＋129, a －210, A ⑴两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能 ⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内11, D 对于前三个，可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；在翻折的过程中，某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形 12, D 垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系13, B 连接,VF BF ，则AC 垂直于平面VBF ，即AC PF ⊥，而//DE AC ，DE PF ∴⊥14, D 八卦图可以想象为两个平面垂直相交，第三个平面与它们的交线再垂直相交15, C 当三棱锥D ABC -体积最大时，平面DAC ABC ⊥，取AC 的中点O ，则△DBO 是等要直角三角形，即045DBO ∠=16, C 正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2，正四棱柱的底面的对角线为，而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R =2424R S R ππ===球17, D 取BC 的中点G ，则1,2,,EG FG EF FG ==⊥则EF 与CD 所成的角030EFG ∠=18, C 此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线19, C 利用三棱锥111A AB D -的体积变换：111111A AB D A A B D V V --=，则1124633h ⨯⨯=⨯⨯20, B 11211332A A BD D A BA a V V Sh --===⨯=。

高中数学同步练习空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系

第二章 2.1 2.1.3 2.1.4A级基础巩固一、选择题1．正方体的六个面中相互平行的平面有( B )A．2对B．3对C．4对D．5对[解析] 正方体的六个面中有3对相互平行的平面．2．三棱台ABC－A′B′C′的一条侧棱AA′所在直线与平面BCC′B′之间的关系是( A )A．相交B．平行C．直线在平面内D．平行或直线在平面内[解析] 由棱台的定义知,棱台的所有侧棱所在的直线都交于同一点,而任一侧面所在的平面由两条侧棱所在直线所确定,故这条侧棱与不含这条侧棱的任意一个侧面所在的平面都相交．3．若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则a与b的位置关系是( D )A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能[解析] 如图所示,长方体ABCD－A1B1C1D1中,A1B1∥平面AC,A1D1∥平面AC,有A1B1∩A1D1＝A1；又D1C1∥平面AC,有A1B1∥D1C1；取BB1和CC1的中点M、N,则MN∥B1C1,则MN∥平面AC,有A1B1与MN异面,故选D.4．如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的( D )A．唯一一条直线不相交B．仅两条相交直线不相交C．仅与一组平行直线不相交D．任意一条直线都不相交[解析] 根据直线和平面平行定义,易知排除A、B.对于C,仅有一组平行线不相交,不正确,应排除C.与平面α内任意一条直线都不相交,才能保证直线a与平面α平行,∴D正确．5．平面α∥平面β,直线a∥α,则( D )A．a∥βB．a在面β上C．a与β相交D．a∥β或a⊂β[解析] 如图(1)满足a∥α,α∥β,此时a∥β；如图(2)满足a∥α,α∥β,此时a⊂β,故选D.6．设P是异面直线a,b外一点,则过P与a,b都平行的直线有________条( C )A．1 B．2C．0 D．0或1[解析] 反证法．若存在直线c∥a,且c∥b,则a∥b与a,b异面矛盾．故选C.二、填空题7．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中判断下列位置关系：(1)AD1所在的直线与平面BCC1的位置关系是_平行_；(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是_相交_.8．两个不重合的平面可以把空间分成_三或四_部分．[解析] 两平面平行时,把空间分成三部分．两平面相交时,把空间分成四部分．三、解答题9．如图所示,直线A′B与长方体ABCD－A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系？平面A′ABB′与长方体ABCD－A′B′C′D′的其余五个面的位置关系如何？[解析] ∵直线A′B与平面ABB′A′有无数个公共点,∴直线A′B在平面ABB′A′内．∵直线A′B与平面ABCD,平面BCC′B′都有且只有一个公共点B,∴直线A′B与平面ABCD,平面BCC′B′相交．∵直线A′B与平面ADD′A′,平面A′B′C′D′都有且只有一个公共点A′,∴直线A′B与平面ADD′A′,平面A′B′C′D′相交．∵直线A′B与平面DCC′D′没有公共点,∴直线A′B与平面DCC′D′平行．平面A′B∥平面CD′,平面A′ABB′与平面AD′、平面BC′、平面AC平面A′C′都相交．10．如图所示,已知平面α∩β＝l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．[解析] 平面ABC与平面β的交线与l相交．证明：∵AB与l不平行,且AB⊂α,l⊂α,∴AB与l一定相交．设AB∩l＝P,则P∈AB,P∈l.又∵AB⊂平面ABC,l⊂β,∴P∈平面ABC,P∈β.∴点P是平面ABC与平面β的一个公共点,而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点,且P,C是不同的两点,∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线．即平面ABC∩平面β＝PC,而PC∩l＝P,∴平面ABC与平面β的交线与l相交．B级素养提升一、选择题1．直线a在平面γ外,则( D )A．a∥γB．a与γ至少有一个公共点C．a∩γ＝A D．a与γ至多有一个公共点[解析] 直线α在平面γ外,包括两种情况,一种是平行,另一种相交,故选D.2．若平面α∥平面β,则( A )A．平面α内任一条直线与平面β平行B．平面α内任一条直线与平面β内任一条直线平行C．平面α内存在一条直线与平面β不平行D．平面α内一条直线与平面β内一条直线有可能相交3．若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成( C )A．5部分B．6部分C．7部分D．8部分[解析] 垂直于交线的截面如图,把空间分成7部分,故选C.4．已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β＝c,那么直线c一定( C )A．与a,b都相交B．只能与a,b中的一条相交C．至少与a,b中的一条相交D．与a,b都平行[解析] 若c与a,b都不相交,则c与a,b都平行,从而a∥b,与a,b异面矛盾,故c至少与a,b中的一条相交．二、填空题5．下列结论正确的有_①⑤__.①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α；③若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面；⑥若平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,则直线a∥b.[解析] ①显然是正确的；②中,直线l还可能与α相交,所以②是错误的；③中,直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面,所以③是错误的；④中,异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定,它们可以相交,可以平行,还可以在该平面内,所以④是错误的；⑤中,直线l与平面α没有公共点,所以直线l与平面α内的直线没有公共点,即它们平行或异面,所以⑤是正确的；⑥中,分别在两个平行平面内的直线可以平行,也可以异面,所以⑥是错误的．6．将一个长方体的四个侧面和两个底面延展成平面后,可将空间分成_27_部分．7．已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内．则下列说法正确的是_①__(填序号)．①若直线a和直线b相交,则平面α和平面β相交；②若平面α和平面β相交,则直线a和直线b相交．[解析] 若直线a,b相交,设交点为P,则P∈a,P∈b.又a⊂α,b⊂β,所以P∈α,P∈β,故α,β相交．反之,若α,β相交,则a,b可能相交,也可能异面或平行．三、解答题8．已知三个平面α、β、γ,如果α∥β,γ∩α＝a,γ∩β＝b,且直线c⊂β,c∥b.(1)判断c与α的位置关系,并说明理由；(2)判断c与a的位置关系,并说明理由．[解析] (1)c∥α,因为α∥β,所以α与β没有公共点．又c⊂β,所以c与α无公共点,所以c ∥α.(2)c∥a,因为α∥β,所以α与β没有公共点．又γ∩α＝a,γ∩β＝b,则a⊂α,b⊂β,且a、b ⊂γ,所以a、b没有公共点．由于a,b都在平面γ内,因此a∥b.又c∥b,所以c∥a.9．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是AA1的中点,画出过D1、C、E的平面与平面ABB1A1的交线,并说明理由．[解析] 如图,取AB的中点F,连接EF、A1B、CF.∵E是AA1的中点,∴EF∥A1B.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1＝BC,∴四边形A1BCD1是平行四边形．∴A1B∥CD1,∴EF∥CD1.∴E、F、C、D1四点共面．∵E∈平面ABB1A1,E∈平面D1CE,F∈平面ABB1A1,F∈平面D1CE,∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.∴过D1、C、E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.。

高考数学二轮复习考点知识讲解与提升练习27 空间点、直线、平面之间的位置关系

sin
∠C1BO
=
C1O BC1
=
1 2
∠C1BO = 30°
C
直线 BC1 与平面 ABCD 所成的角为 ∠C1BC = 45° ，故选项 D 正确．综上，答案选． ABD
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(1)证明点或线共面：
①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②
而 EF ⊥ 平面 BDD1，又因为 EF ⊂ 平面 BDD1，所以平面 B1EF ⊥ 平面 BDD1，所以 A 选项正确；
对于 B 选项：因为平面 A1BD ∩ 平面 BDD1= BD ,由上述过程易知平面 B1EF ⊥ 平面 A1BD 不成立；
对于 C 选项：由题意知直线 AA1 与直线 B1E 必相交，故平面 B1EF// 平面 A1AC 有公共点，从而 C 选
高考数学二轮复习考点知识讲解与提升练习考点知识 27 空间点、直线、平面之间的位置关系
（1. 2022 年甲卷理 7 文 9）在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中，已知 B1D 与平面 ABCD 和平面 AA1B1B 所成
的角均为30° ，则
．．与平面所成的角为 A AB = 2AD B AB
cosθ=
。 cosθ1·cosθ2
③向量法求异面直线所成的角
1．公理 2 的三个推论推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
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推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
A1C
⊥
l
，即

新高考二轮数学理科金版学案专题复习同步练习5.2点、直线、平面之间的位置关系(含答案解析)

第一部分知识复习专题专题五立体几何第二讲点、直线、平面之间的地点关系题号123456答案一、选择题1．l1，l2是两条异面直线，直线m1，m2与l1，l2都订交，则m1，m2的地点关系是()A．异面或平行B．订交C．异面D．订交或异面分析：若m1，m2过直线l1或l2上的同一个点，则m1，m2订交；若m1，m2与直线l1，l2有四个不一样交点，则答案：Dm1，m2异面．2．(2013安·徽卷)在以下命题中，不是公义的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在此平面内D．假如两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线答案：A3.(2014辽·宁卷)已知m，n表示两条不一样直线，A．若m∥α，n∥α，则m∥n α表示平面，以下说法正确的选项是()B．若m⊥α，nα，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α分析：若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n订交或m，n异面，故A错；若m⊥α，nα，由直线和平面垂直的定义知，m⊥n，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或nα，故C错；若m∥α，m⊥n，则n与α地点关系不确立，故D错．答案：B4.(2013新·课标Ⅱ卷)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β直.线l知足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则()A．α∥β，且l∥αB．α⊥β，且l⊥βC．α与β订交，且交线垂直于lD．α与β订交，且交线平行于l分析：联合给出的已知条件，画出切合条件的图形，而后判断得出．依据所给的已知条件作图，以下图．由图可知α与β订交，且交线平行于l.应选D.答案：D5．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ACD，PA＝2AB，则以下结论正确的选项是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°分析：解法一由三垂线定理，因AD与AB不相互垂直，清除A；作AG⊥PB于G，因平面PAB⊥平面ABCDEF，而AG在平面ABCDEF上的射影在AB上，而AB与BC不相互垂直，故清除B；由BC∥EF，而EF是平面PAE的斜线，故清除 C.应选 D.解法二设底面正六边形边长为a，则AD＝2a，PA＝2AB＝2a，由PA⊥平面ABC可知PA⊥AD，又PA＝AD，因此直线PD与平面ABC所成的角为∠PDA＝45°.应选D.答案：D 6．以下图是某个正方体的侧面睁开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2()A．相互平行B．异面且相互垂直πC．异面且夹角为3D．订交且夹角为π3答案：D二、填空题7．设α和β为不重合的两个平面，给出以下命题：①若α内的两条订交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β订交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必需条件是l与α内的两条直线垂直．上边命题中，真命题的序号是__________．分析：考察立体几何中的直线、平面的垂直与平行判断的有关定理．答案：①②8.如图，边长为a的正三角形ABC中线AF与中位线DE订交于G，已知△A′ED是△AED 绕DE旋转过程中的一个图形，现给出以下命题，此中正确的命题有________(填序号)．①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上②三棱锥A′－FED的体积有最大值③恒有平面A′GF⊥平面BCED④异面直线A′E与BD不行能相互垂直分析：由题意知AF⊥DE，∴A′G⊥DE，FG⊥DE，∴DE⊥平面A′FG，DE平面ABC，∴平面A′FG⊥平面ABC，交线为AF，∴①③均正确．当A′G⊥平面ABC时，A′到平面ABC的距离最大．故三棱锥A′－FED的体积有最大值．故②正确．22当A′F＝2EF时，EF⊥A′E，即BD⊥A′E，故④不正确．答案：①②③三、解答题9．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的地点，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上能否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明原因．答案：(1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC.又∵DE平面A1CB，∴DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC.∴DE⊥A1D，DE⊥CD.∴DE⊥平面A1DC.而A1F平面A1DC，∴DE⊥A1F.又∵A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE.∴A1F⊥BE.(3)分析：线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ，原因以下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又∵DE∥BC，∴DE∥PQ.∴平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP.∴A1C⊥平面DEP.进而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.10．(2014·建卷福)在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，以下图．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．剖析：第(1)问依据面面垂直、线面垂直的性质，证明线线垂直；第(2)问利用第(1)问的结论，成立空间直角坐标系，写出点与向量的坐标，再用向量法求线面角的正弦值．(1)证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.又CD平面BCD，∴AB⊥CD.(2)分析：过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图.由(1)知AB⊥平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.→→→以B为坐标原点，分别以BE，BD，BA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向成立空间直角坐标系．11→依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M0，，，则BC＝22→11→(1，1，0)，BM＝0，，，AD＝(0，1，－1)．22设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)，→x0＋y0＝0，n·BC＝0，则即11→n·BM＝0，2y0＋2z0＝0，取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1，1)．→→|n·AD|6设直线AD与平面MBC所成角为θ，则sinθ＝|cos(n，AD)|＝→＝3，|n||AD·|6即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为3.。

2020年高考数学二轮复习：09 点、直线、平面之间的位置关系

不与平面㜹㤮平行
D. 直线㐠
【答案】 C
【考点】直线与平面平行的判定
9.如图，已知正方体㐠㜹㤮㐠㜹㤮的棱长为 1， th 分别是棱
，㐠㜹上的动点，若 h
，
则线段 h 的中点的轨迹是（）
A. 一条线段
B. 一段圆弧
C. 一个球面区域
D. 两条平行线段
，㐠
，
由（1）知㐠㤮㐠，㐠㤮的面积为 × ×
，
设点到平面㐠㤮的距离为，则 △㐠㤮
，即
.
【考点】直线与平面垂直的判定，点、线、面间的距离计算
° ,平面㤮
4/9
（1）证明：㐠㤮平面㐠；
（2）若
㤮，求点到平面㐠㤮的距离.
【答案】（1）解：由题意知 ∠㐠㜹㤮 ∠ 㤮㜹 ° ，㐠㜹㤮 ,且㐠㜹㜹㤮㤮㤮，
所以四边形㐠㜹㤮是正方形，连接㜹，所以㐠㤮㜹，
又因为㐠㜹
，㐠㜹
，所以四边形㐠㜹是平行四边形，
的中点，那么异面直线㜹与㐠㜹所成角的正切值为________.
3/9
【答案】【考点】异面直线及其所成的角 15.已知半径为 2 的球的球面上有、㐠、㜹、㤮不同的四点，㐠㜹是边长为 3 的等边三角形，且㤮平面㐠㜹⺂为球心，㤮与在平面㐠㜹的同一侧），则三棱锥㤮㐠㜹的体积为________.
2020 年高考数学二轮复习：09 点、直线、平面之间的位置关系
一、单选题（共 12 题；共 24 分）
1.已知直线平面，直线
，则（）
A.
B.
C. t 异面
D. t 相交而不垂直

高中数学必修二 8 4 2 空间点、直线、平面之间的位置关系练习(含答案)

8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为( )A ．相交B ．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直【答案】D【解析】利用展开图可知，线段AB 与CD 是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D2．若直线//a α，直线b α⊂，则直线a 与b 的位置关系是（）A ．相交B ．异面C ．异面或平行D ．平行【答案】C【解析】由题意直线a ∥α，直线b ⊂α，可得直线a ，b 一定没有公共点，故两直线的位置关系可以是异面或平行故选C.3．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( ) A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．不能确定【答案】C【解析】如下图所示：由图可知，两个平面平行或相交，故选C ．4．已知平面α和直线l ，则α内至少有一条直线与l （）A ．异面B ．相交C ．平行D ．垂直【解析】若直线l ∥α，α内至少有一条直线与l 垂直，当l 与α相交时，α内至少有一条直线与l 垂直．当l ⊂α，α内至少有一条直线与l 垂直．故选D ．5．（多选题）已知A B C ，，表示不同的点，l 表示直线，αβ，表示不同的平面，则下列推理正确的是（） A ．∈A l ，A α∈，B l ∈，B l αα∈⇒⊂B ．A α∈，A β∈，B α∈，B AB βαβ∈⇒= C ．l α，A l A α∈⇒∉D ．A α∈，∈A l ,l l A αα⊄⇒⋂=【答案】ABD【解析】【分析】对于选项A:由公理1知,l α⊂,故选项A 正确;对于选项B ：因为αβ，表示不同的平面，由公理3知,平面αβ，相交,且AB αβ=,故选项B 正确;对于选项C:l α⊄分两种情况:l 与α相交或//l a .当l 与α相交时，若交点为A ，则A α∈，故选项C 错误；对于选项D ：由公理1逆推可得结论成立,故选项D 成立;故选:ABD6．（多选题）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为棱111,C D C C 的中点，则以下四个结论正确的是（）A ．直线AM 与1CC 是相交直线B ．直线AM 与BN 是平行直线C ．直线BN 与1MB 是异面直线D ．直线AM 与1DD 是异面直线【解析】直线AM 与1CC 是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，故A 、B 错误直线BN 与1MB 是异面直线，直线AM 与1DD 是异面直线，故C 、D 正确.故选CD.二、填空题7．以下四个命题中, 正确命题的个数是_________.①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点A ,B ,C ,D 共面,点A , B ,C ,E 共面,则点A ,B ,C ,D ,E 共面;③若直线a ,b 共面,直线a ,c 共面,则直线b ,c 共面;④依次首尾相接的四条线段必共面.【答案】1【解析】正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②从条件看出两平面有三个公共点A 、B 、C ，但是若A 、B 、C 共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性，若直线a 、b 共面，直线a 、c 共面，则直线b 、c 可能异面；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上，空间四边形的四个定点就不共面．故答案为：1.8．如图，试用适当的符号表示下列点､直线和平面之间的关系:（1）点C 与平面β:__________；（2）点A 与平面α:__________；（3）直线AB 与平面α:__________；（4）直线CD 与平面α:__________；（5）平面α与平面β:__________；【答案】C β∉ A α AB B α⋂= CD α⊂ BD αβ⋂=【解析】（1）点C 不在平面β内，所以C β∉；（2）点A 不在平面α内，所以A α；（3）直线AB 与平面α相交于点B ，所以AB B α⋂=；（4）直线CD 在平面α内，所以CD α⊂；（5）平面α与平面β相交，且交线为BD ，所以BD αβ⋂=.9．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有__________对.【答案】3【解析】画出展开图复原的几何体，所以C 与G 重合，F ，B 重合，所以：四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有：AB 与GH ，AB 与CD ，GH 与EF ，共有3对．故答案为3．10．(1)平面1AB 平面11AC =_______;(2)平面11AC CA ⋂平面AC =________.【答案】11A B AC【解析】由图可知，（1）平面1AB 平面11AC =11A B ，（2）平面11AC CA ⋂平面AC = AC故答案为：（1）11A B ；（2）AC三、解答题11．按下列叙述画出图形(不必写出画法):m αβ=，a α⊂，b β⊂，a m N ⋂=，M m ∈，//b m .【答案】图形见解析【解析】12．如图，若P 是ABC 所在平面外一点，PA PB ≠，PN AB ⊥，N 为垂足.M 为AB 的中点，求证：PN 与MC 为异面直线.【答案】见解析【解析】证明：∵PA PB ≠,PN AB ⊥,N 为垂足,M 是AB 的中点,∴点N 与点M 不重合∵N ∈平面ABC ,P ∉平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,N CM ∉∴由异面直线的判定定理可知,直线PN 与MC 为异面直线。

【名师一号】高三数学二轮复习1-2-6点、直线、平面之间的位置关系同步练习理人教版

足题意的点有无穷多个，选 D.
答案： D
2．(2011 ·潍坊市 ) 已知 m、 n 是两条不同的直线， α、 β 、γ 是三个不同的平面，则下列命题
正确的是 (
)
A．若 α ⊥γ ， α ⊥ β ，则 γ∥ β
B．若 m∥ n， m? α， n? β ，则 α ∥ β
C．若 m∥ n， m∥ α，则 n∥ α
垂直性质知，垂直于同一直线的两平面平行，故
D 正确．
答案： D
3．(2011 ·日照市 ) 若 l 、m、n 为直线， α 、β 、γ 为平面，则下列命题中为真命题的是 (
)
A．若 m∥α ， m∥ β ，则 α ∥β
B．若 m⊥α ， n⊥ α ，则 m∥n
C．若 α ⊥γ ， β ⊥ γ ，则 α⊥ β
A．只有 1 个
B．恰有 3 个
C．恰有 4 个
D．有无穷多个
解析：
本小题主要考查考生的空间想象能力以及利用特殊几何模型解决问题的能力．
在长方体 ABCD－ A1B1C1D1 中建立如图所示的空间直角坐标系，易知直线
AD与 D1C1 是异面且垂直
的两条直线，过直线 AD与 D1C1 平行的平面是平面 ABCD，因此考虑在平面 ABCD内到直线 AD与 D1C1
.
5
C.
答案： C 二、填空题：本大题共
4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上．
7．(2011 ·福建 ) 如图，正方体 ABCD－ A1B1C1D1 中， AB＝ 2，点 E 为 AD的中点，点 F在 CD上，若 EF∥平面 AB1C，则线段 EF的长度等于 ________．
解析： ∵ EF∥面 AB1C，∴ EF∥AC. 又 E 是 AD的中点，∴ F 是 DC的中点．

苏教版高中数学必修二同步练测：第1章1.2点、线、面之间的位置关系1.2.3直线与平面的位置关系1.2.4平面与平

1.2点、线、面之间的位置关系1.2.3直线与平面的位置关系1.2.4平面与平面的位置关系（苏教版必修2）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共50分）1．给出下列命题:①若直线a∥直线b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内;②直线a∥平面α，平面α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的直线有且只有一条;③a∥α，b、c⊂α，a∥b，b⊥c，则有a⊥c;④过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行.其中正确的是 .2.a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：①α∥c，β∥c⇒α∥β；②α∥γ，β∥γ⇒α∥β；③α∥c，a∥c⇒a∥α；④a∥γ，α∥γ⇒a∥α.其中正确的命题是 . 所在的直线，则a与b的位置关系是．4．如图，的正方体，M，N分别下底面的棱的中点，P是上底面的棱AD上一点，AP=a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ= .5.已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题:①若α∩β=a，β∩γ=b且a∥b，则α∥γ;②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b ∥α，b∥β，则α∥β;③若α⊥β，α∩β=a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α;④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.其中正确的是 .6.已知平面α∥β，△ABC，△A1B1C1分别在平面α，β内，线段AA1，BB1，CC1共点于O，O在α，β之间，4OAOA1= .7.设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面AC 外一点且有PA=PC，PB=PD，则PO与平面ABCD的位置关系是 .8.设X，Y，Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”正确的是____________（填序号）.①X，Y，Z是直线；②X，Y是直线，Z是平面；③Z 是直线，X，Y是平面；④X，Y，Z是平面.9.若三个平面两两垂直，则它们的交线 .10.下面三个结论:①三条共点的直线两两互相垂直，分别由每两条直线所确定的平面也两两互相垂直;②分别与两条互相垂直的直线垂直的平面互相垂直;③分别经过两条互相垂直的直线的两个平面互相垂直.其中正确结论的序号是 .二、解答题（共50分）11.(12分)如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点. 求证:SA∥平面MDB. 12．（12分）如图，在长方体中，试作出过AC且与线平行的截，并说明理由.13.（13分）如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧长为32，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE=22，BF=2.(1)求证：CF⊥；(2)求二面角E−CF−C1的大小. 14.（13分）如图，在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.（1）画出l的位置；（2）设l∩A1B1=P，求PB1的长．第14题图1.2点、线、面之间的位置关系1.2.3直线与平面的位置关系1.2.4平面与平面的位置关系（苏教版必修2）答题纸得分：一、填空题1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. .二、解答题11.12.13.14.1.2点、线、面之间的位置关系1.2.3直线与平面的位置关系1.2.4平面与平面的位置关系（苏教版必修2）参考答案一、填空题1．①③2．②解析：②正确，①错在α与β可能相交，③④错在a 可能在α内. 3．可能相交，也可能是异面直线解析：如图所示，a 与b 相交；a 与b ′异面．第3题答图4．a 解析：如图所示，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD ， ∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC .又∵AP =a3，∴PD AD =DQ CD =PQ AC =23，∴PQ =23AC =a .5.②③解析：可通过公理、定理判定命题正确，通过特例、反例说明命题错误.①如图，在正方体-ABCD ，平面D ∩面=D ，平面∩平面，且D ∥，但面与平面不行，①误.②因为、b 相交，可设其确定的平面为γ，根据a ∥α，b ∥α，可得γ∥α，同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确.③根据平面与平面垂直的判定定理：当直线a ∥b ，l 垂直于平面α内的两条不相交直线时，得不出l ⊥α，④错误.6.解析：因为平面α∥β，平面∩平面α=B ，平面∩平面，所AB ∥.同理AC ∥，BC ∥，可得两三角形相似. 因为AB =2，AC =1，BC =5，所以BC 2=AB 2+AC 2，所以S △ABC =12×2×1=1.所以(OA OA 1)2==94，所以=32.7.垂直解析：因为PA =PC ，O 为AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理PO ⊥BD ，所以PO ⊥平面ABCD .8.②③解析：因为垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、异面都可以，所以①错误.根据线面垂直的性质②③正确.垂直于同一个平面的两个平面可能相交、平行和垂直，所以④错误，故正确的有②③. 9.互相垂直解析：如图，设α∩γ=AB ，β∩γ=AC ，在γ内取点P ，过P 作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥AC 于点N . ∵α⊥γ，∴PM ⊥α. 又∵∩β=a ，∴PM ⊥a . 同理可得PN ⊥a ，∴a ⊥γ，∴a ⊥AB ，a ⊥AC . 同理可证AB 与AC 垂直.10.①②解析：分别经过两条互相垂直的直线的平面有无数个，但不一定互相垂直，所以③错误. 二.解答题11.证明：如图，连接AC 交BD 于N ，连接MN. 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以点N 是AC 的中点. 又因为点M 是SC 的中点，所以MN ∥SA .因为MN ⊂平面MDB ，SA ⊄平面MDB ，所以SA ∥平面MDB .12.解：如图，连接DB 交AC 于点O ，取的中点M ，连接MA ，MC ，MO ，则截面MAC 即为所求作的截面. 因为MO 为△的中位线，所以∥MO .因为⊄平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，所以∥平面MAC ，则截面MAC 为过AC 且与直线平行的截面. 13.(1)证明：由已知可得，，==6，=6，于是有，所以⊥EF ，⊥CE .又EF ∩CE =E ，所以平面CEF . 又CF ⊂平面CEF ，故CF ⊥.(2)解：在△CEF 中，由(1)可得EF =CF =6，CE =23，于是有EF 2+CF 2=CE 2，所以CF ⊥EF . 又由(1)知CF ⊥，且EF ∩=E ，所以CF ⊥平面. 又⊂平面，故CF ⊥.由(1)知△是等腰直角三角形，所以∠EFC1=45°，即所求二面角E−CF−C1的大小为45°.14.解：（1）如图，QN即为所求作的直线l.第14题答图（2）设QN∩A1B1=P，∵△MA1Q≌△MAD，∴A1Q=AD=a=A1D1，∴A1是QD1的中点．又A1P∥D1N，∴A1P=12D1N=14C1D1=14a．∴PB1=A1B1－A1P=a－14a=34a．。

2022高考数学(理)二轮复习高效演练 2.5.2点、直线、平面之间的位置关系 Word版含答案

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高效演练1.(考向一)(2021·东营模拟)下列命题中错误的是( )A.假如平面α⊥平面β，那么平面α内肯定存在直线平行于平面βB.假如平面α不垂直于平面β，那么平面α内肯定不存在直线垂直于平面βC.假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD.假如平面α⊥平面β，那么平面α内全部直线都垂直于平面β【解析】选D.由题意可知：A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；B、假如平面α内存在直线垂直于平面β，依据面面垂直的判定定理可知两平面垂直.故此命题成立；C、结合面面垂直的性质可以分别在α，β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行，再由线面平行的性质可知所作的直线与l 平行，又由于两条平行线中的一条垂直于平面，那么另一条也垂直于平面，故命题成立；D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直于地面的.故此命题不成立.2.(考向二)已知直线l，平面α，β，γ，则下列能推出α∥β的条件是( )A.l⊥α，l∥βB.l∥α，l∥βC.α⊥γ，γ⊥βD.α∥γ，γ∥β【解析】选D.能推出α∥β的条件是α∥γ，γ∥β.3.(考向二)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，CC1的中点，点P是CC1上的动点(包括端点)，过点E，D，P作正方体的截面，若截面为四边形，则点P 的轨迹是( )A.线段C1FB.线段CFC.线段CF和一点C1D.线段C1F和一点C【解析】选C.如图，DE∥平面BB1C1C，所以平面DEP与平面BB1C1C的交线PM ∥ED，连接EM，易证MP=ED，则M到达B1时，仍可构成四边形，即P到F，而P在C1F之间，不满足要求.留意点P到点C1仍可构成四边形.4.(考向三)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.若∠BPC=90°，PB=√2，PC=2，则四棱锥P-ABCD的体积最大值为.【解析】如图所示，作PO⊥AD，垂足为点O，作OG⊥BC，垂足为点G，连接GP.由于平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD.在△BPC中，由于∠BPC=90°，PB=√2，PC=2，所以BC=√BP2+PC2=√6.所以PG=BP·PCBC=2√33.设AB=x，则OG=x，PO=√PG2−OG2=√43−x2，所以V P-ABCD =13PO·S ABCD=13√43−x2×√6x，所以V2=23(43−x2)x2≤23(43−x2+x22)2=(23)3，当且仅当x=√63时取等号.所以V P-ABCD≤2√69.答案：2√695.(考向二、三)(2021·威海一模)如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点.(1)求证：AC⊥PB.(2)求证：PB∥平面AEC.(3)若PA=4，求点E到平面ABCD的距离.【解析】(1)由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AC，又AB⊥AC，PA∩AB=A，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB.(2)连BD交AC于点O，连接EO，则EO是△PDB的中位线，所以EO∥PB.又由于PB⊄平面AEC，EO⊂平面AEC，所以PB∥平面AEC.(3)取AD中点F，连接EF.由于点E是PD的中点，所以EF12PA.又由于PA⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD.所以线段EF的长度就是点E到平面ABCD的距离.又由于PA=4，所以EF=2.所以点E到平面ABCD的距离为2.关闭Word文档返回原板块。