第6讲集合

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高中数学同步讲义(人教A版必修一)：第一章集合与常用逻辑用语章末题型大总结(教师版)

二、题型精讲题型01元素与集合高一课时练习）集合M 满足：若a M ，则11aM a（1a 且中一定含有的元素.一定含有的元素有113,2,,32.323M ，1(2)11(2)3M ，121133412133M，，13，12.一定含有的元素有113,2,,32.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设全集∩，求a的取值范围；(1)若A B AA ．2,10x x R B ．2,10x x R C ．2,10x x R D ．2,10x x R 【答案】B【详解】根据特称命题的否定是全称命题即可得到命题：“2,10x x R ”的否定是”2,10x x R ”，故选：B.【变式1】（2023·重庆·统考模拟预测）命题：“ 1,x ，210x ”的否定是________.【答案】 1,x ，210x 【详解】命题：“ 1,x ，210x ”为全称命题，它的否定为特称命题： 1,x ，210x ，故答案为： 1,x ，210x 题型12根据全称命题与特称命题真假求参数【典例1】（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）若命题“0x R ，20220x mx m ”为假命题，则m 的取值范围是（）A ．12mB ．12m C ．1m 或2m D ．1m 或m>2【答案】A【详解】命题“0x R ，20220x mx m ”的否定为“x R ，2220x mx m ”，该命题为真命题，即 24420m m ≤，解得 1,2m .故选：A【典例2】（2023春·天津南开·高二天津市第二南开中学校考阶段练习）若命题“x R ，使得2110x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围是__________．【答案】,13, 【详解】若对x R ，使得 2110x a x ，则 2140a ，解得：13a ，因为命题“x R ，使得 2110x a x ”是假命题，所以实数a 的取值范围是：3a 或1a 故答案为： ,13, .【变式1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考开学考试）已知命题p ：“R x ，210x ax ”为假命题，则实数a 的取值范围为（）.A ．2aB ．22aC ．2a 或2aD ．22a 【答案】D【详解】命题2:,10p x R x ax 为假命题，所以2:,10p x R x ax 为真命题，则240a ，解得 2,2a 故选：D三、重点方法方法01数轴法【典例1】（2023·江苏南京·高一南京市雨花台中学校考阶段练习）已知集合2{|320}A x x x ,2{|0}B x x ax b ,{|02}A B x x ，则实数a 的取值范围为（）A ．0aB ．01a C ．12a D ．02a 【答案】C【详解】解：因为2{|320}A x x x ={|12}x x ，又因为{|02}A B x x ，所以，方程20x ax b 必两个根，一个根为0，一个根位于[1,2)之间,由韦达定理可得0b ,即有0b ，所以方程20x ax b 即为20x ax ,所以此方程的两根为10x ，2x a .所以[1,2)a .故选：C.【典例2】（2023·江苏扬州·高一校考期中）已知全集 22,60,280U A xx x B x x x R ∣∣.(1)求A B ；(2)若集合 22430C xx ax a ∣且()A B C ∩，求实数a 的取值范围.【答案】(1){|23}A B x x ∩(2)[1,2]【详解】（1）解不等式可得 =|2<<3A x x ，={|<4B x x 或2}x ，所以={|2<<3}A B x x（2）因为 =|3<0C x x a x a ，】（②若A ，在数轴上标出集合A，B则213523aaa a，解得122a．则周一开车上班的职工人数为a b c x ，周二开车上班的职工人数为b d e x ，周三开车上班的职工人数为c e f x ，这三天都开车上班的职工人数为x .则1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x ，得22233220a b c d e f x a b c d e f x ，得212b c e x ，当0b c e 时，x 取得最大值6.故选：A【典例2】（2023·高一单元测试）对于集合M ，N ，我们把属于集合M 但不属于集合N 的元素组成的集合叫做集合M 与N 的“差集”，记作M N ，即{|M N x x M ，且}x N ；把集合M 与N 中所有不属于M N 的元素组成的集合叫做集合M 与N 的“对称差集”，记作M N ，即{|M N x x M N ，且}x M N ∩.下列四个选项中，正确的有（）A ．若M N M ，则M N B ．若M N ，则M N =C ． ()M N M N M N∩D ．M N M N N M 【答案】ACD【详解】若M N M ，则M N ，A 正确；当M N 时，M N ，B 错误；{|M N x x M N ，且 }()M N x M N M N ∩∩，C 正确；M N 和 M N N M 均表示集合中阴影部分，D 正确.故选：ACD.【变式1】（2023·四川内江·高一四川省资中县第二中学校考阶段练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有22人，不参加其中任何一种课外活动的有15人，则接受调查的小学生共有多少人？（）A ．120B ．144C ．177D ．192【答案】B【详解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合,,A B C 表示，则()63,()89,()47,()24card A card B card C card A B C ，，不妨设总人数为n ，韦恩图中三块区域的人数分别为,,x y z ，即()24,()24,()24card A B x card A C y card B C z ，22x y z ，由容斥原理：15()()()()()()()n card A card B card C card A B card A C card B C card A B C 638947(24)(24)(24)24x y z ，解得：144n ，故选：B.方法03 判别法【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若“x R ，2390ax ax ”是假命题，则a 的取值范围为（）A ．04a B ．04a C ．04a D ．04a 【答案】C【详解】因为“x R ，2390ax ax ”是假命题，所以“x R ，2390ax ax ”是真命题，所以当0a 时，90 成立；当0a 时，则209360a a a，解得04a ，综上：04a ，（2）因为A B A ，所以B A ，由2(1)0x m x m 解得x m 或=1x ，若1m ，则 1B ，满足B A ；若1m ，则 1,B m ，因为B A ，所以2m ，综上1m 或2m .03数形结合的思想【典例1】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）有三支股票,,,28A B C 位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍.在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票.则只持有B 股票的股民人数是（）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】A【详解】由题意，设只持有A 股票的人数为X ，则持有A 股票还持有其它殸票的人数为1X (图中d e f 的和)，∵只持有一支股票的人中,有一半没持有B 或C 股票,∴只持有了B 和C 股票的人数和为X (图中b c 部分).假设只同时持有了B 和C 股票的人数为a ,∴128X X X a ,即329X a ，则X 的取值可能是9,8,7,6,5,4,3,2,1,与之对应的a 值为2,5,8,11,14,17,20,23,26,∵没持有A 股票的股民中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍∴ 2a b a c ，即3X a c ，∴8,5X a 时满足题意，此时1,7c b ,∴只持有B 股票的股民人数是7,故选：A.【典例2】（2023春·河北·高二校联考阶段练习）某班有学生45人，经调查发现，喜欢打篮球的学生有20人，喜欢打羽毛球的学生有32人，其中既喜欢打篮球，又喜欢打羽毛球的学生有15人，则该班学生中既不喜欢打篮球，也不喜欢打羽毛球的学生有________人．【答案】8【详解】设全集为U，集合A表示喜欢打篮球的学生，集合B表示喜欢打羽毛球的学生，如图所示，由图可得该班学生中既不喜欢打篮球，也不喜欢打羽毛球的学生有45515178人．故答案为：8。

高二数学竞赛专属课程第6讲组合构造-例题简答

第六讲组合构造例1. 城堡里有3个编号分别为1、2、3的按钮，打开城堡大门的密码是一个三位数，为了保证能打开城堡，最少需要按多少次按钮？（当且仅当连续且正确地依次按出密码的3位数字，才能打开城堡大门）【解析】：由1,2,3组成的不同的3位数共有27个.显然，除了所按的前两个数字之外，从第3个数字开始的一个数字都是一个3位数字的个位数字.可见，为了按出全部的27个3位数，至少要按29次按钮。

另一方面，当29次顺序如下时：11123222133313121223113233211时，满足要求．例2. 平面上是否存在100条直线，它们恰有1987个不同交点？【解析】：利用7326991997⨯+=考虑两组平行线分别有73、26条，最后1条独立，共形成1997个交点．从前两组平行线中各取5条，分别等距排列，让最后一条直线穿过形成的大平行四边形的对角线，可以少10个交点．例3. 求证：平面中存在100个点，使得任意两点之间的距离为无理数；且任意三点不共线，以这三点为顶点的三角形面积为有理数．【解析】：抛物线()20y x x =≥上的格点的集合()}{,|2,S x y x m m N ==∈，它是一个无穷集，并且满足条件（1）（2），只需验证（3）．任取()()()2221112223332,4,2,4,2,4A m m A m m A m m S ∈，则可计算出123A A A S ∆是偶数也可只满足后两个要求，再相似放大．例4. 平面上是否存在100个整点，任意三点不共线，且任意两点之间的距离为整数？【解析】：存在，转化为构造单位圆上100个有理点，任意两点之间的距离为有理数让所有点所对旋转角的一半的三角函数取有理数值即可例5. 已知n 为正整数，求证：平面上存在一个有限点集n A ，使得n A 中每个点恰与n A 中n 个点的距离为1．【解析】：当1n =时，任取平面上距离为1的两点组成1A ．假设n k =时，存在满足要求的点集k A ．当1n k =+时，我们给出1k A +的构造．以k A 中每一个点为圆心，1为半径作圆，标出这些圆之间的所有交点．连结这些交点与所在圆的圆心，并连结k A 中所有距离为1的两点．这样得到有限条长度为1的线段，取单位向量a 与上述线段都不平行．将k A 沿向量a 平移得到点集k A '，则取1k kkA A A +'=即可．下面说明1k A +满足要求．对k A 中的任意点P ，在k A 中恰有另外k 个点与P 距离为1．考虑k A '中的点，设P 点沿a 平移得到点P '，则1PP '=．对连结k A 中所有距离为1的两点得到的线段，a 与其都不平行，故k P A '∉．对k A '中另外一点Q '，设其对应k A 中的点Q ，则1QQ '=．若1PQ '=，则Q '为圆P 和圆Q 的交点，这样半径QQ '与a 平行，矛盾．于是k A '中恰有一点到P 的距离为1．即1k A +中恰有1k +个点到P 的距离为1．类似的，对k A '中任意一点，1k A +也恰有1k +个点到其距离为1．综上可知原命题成立．例6. 将凸2017边形的每一个顶点都染上一种颜色，且任意相邻两个顶点异色．求证：一定存在2014条对角线，它们将这个多边形剖分成三角形，且每条对角线的两个端点颜色不同．【证明】：考虑多边形的边数()21n k k +=+∈的一般情形．对k 用数学归纳法证明．当1k =时，3n =，结论显然成立．设结论对k m =成立．当1k m =+时，设给定的凸23m +边形已按要求涂好颜色，则必有一个顶点A 于它的两个相邻顶点异色．若不然，则每个顶点的两个相邻顶点都同色．由于顶点数为奇数，故所有顶点都同色，此与已知矛盾．将顶点A 的相邻两个顶点连一条对角线，则它的两端点异色，并将原多边形分成一个三角形和一个凸22m +边形．如果在凸22m +边形中有一个顶点B ，它的相邻的两个顶点异色，那么这两个异色点间所连对角线又分出一个三角形和一个凸21m +边形，于是由归纳假设知结论成立．否则这个凸22m +边形的每个顶点的两个相邻顶点恰涂有这两种颜色，从而顶点A 与另外22m +个顶点均不同色．于是从A 出发的2m 条对角线将凸23m +边形完全剖分为21m +个三角形，即满足题中要求，这就完成了归纳证明．特别取1001,2003k n ==便知原题结论成立．例7. 平面上有一个无限大的方格棋盘，棋盘上有一个n n ⨯（2n ≥）的正方形中每个小方格里摆放了一枚棋子，其余小方格都空着．按下述规则进行操作：每一枚棋子都可以沿水平或竖直方向（即平行于网格线的方向）越过相邻的棋子，放进紧挨着这枚相邻棋子的空格里，并把相邻棋子从棋盘上取走．求证：当3|n /时，一定可以经过有限次操作后使得棋盘上恰好剩下一枚棋子．【解析】：先说明按如下方式可以去掉13⨯中的棋子：再用归纳构造，2n =时,如下图方式操作4n =时，如图所示，去掉途中绿色的13⨯中的棋子变为2n =的情况； n k =时，构造3n k =+，去掉左上到右下的“L 形”……。

示范教案(集合的基本运算并集、交集)

示范教案(集合的基本运算-并集、交集)第一章：集合的基本概念1.1 集合的定义与表示方法引入集合的概念，讲解集合的定义介绍集合的表示方法，如列举法、描述法等举例说明集合的表示方法及其应用1.2 集合的基本运算介绍集合的基本运算，包括并集、交集、补集等讲解并集的定义及其运算规则讲解交集的定义及其运算规则第二章：集合的并集运算2.1 并集的定义与性质讲解并集的定义及其表示方法介绍并集的性质，如交换律、结合律等举例说明并集的性质及其应用2.2 并集的运算规则讲解并集的运算规则，如两个集合的并集等于它们的交集的补集等举例说明并集的运算规则及其应用2.3 并集的计算方法介绍并集的计算方法，如列举法、Venn图法等讲解并集计算方法的步骤及其应用第三章：集合的交集运算3.1 交集的定义与性质讲解交集的定义及其表示方法介绍交集的性质，如交换律、结合律等举例说明交集的性质及其应用3.2 交集的运算规则讲解交集的运算规则，如两个集合的交集等于它们的并集的补集等举例说明交集的运算规则及其应用3.3 交集的计算方法介绍交集的计算方法，如列举法、Venn图法等讲解交集计算方法的步骤及其应用第四章：集合的混合运算4.1 混合运算的定义与性质讲解混合运算的定义及其表示方法介绍混合运算的性质，如分配律等举例说明混合运算的性质及其应用4.2 混合运算的运算规则讲解混合运算的运算规则，如并集与交集的运算规则等举例说明混合运算的运算规则及其应用4.3 混合运算的计算方法介绍混合运算的计算方法，如列举法、Venn图法等讲解混合运算计算方法的步骤及其应用第五章：集合的应用举例5.1 集合在实际问题中的应用举例说明集合在实际问题中的应用，如统计数据处理、网络管理等讲解集合运算在实际问题中的重要性5.2 集合运算的综合应用举例说明集合运算在实际问题中的综合应用，如数据挖掘、图论等讲解集合运算的综合应用的方法及其步骤5.3 集合运算的拓展与应用介绍集合运算的拓展与应用，如模糊集合、多集等讲解集合运算的拓展与应用的方法及其步骤第六章：集合运算的练习题与解答6.1 集合运算的基础练习提供一些基础的集合运算练习题，如并集、交集的计算等引导学生通过列举法、Venn图法等方法解答练习题6.2 集合运算的进阶练习提供一些进阶的集合运算练习题，如混合运算、集合的应用等引导学生通过列举法、Venn图法等方法解答练习题6.3 集合运算练习题的解答与解析对练习题进行解答，解释解题思路和方法分析练习题的难度和考察点，帮助学生掌握集合运算的知识点第七章：集合运算的常见错误与注意事项7.1 集合运算的常见错误分析学生在集合运算中常见的错误，如概念混淆、运算规则错误等举例说明这些错误的产生原因和解题方法7.2 集合运算的注意事项提醒学生在进行集合运算时需要注意的事项，如符号使用、运算顺序等讲解注意事项的重要性及其在解题中的应用7.3 集合运算的解题技巧与策略介绍学生在解题时可以采用的集合运算技巧与策略，如化简、分解等讲解技巧与策略的运用方法和适用场景第八章：集合运算在实际问题中的应用案例分析8.1 集合运算在图论中的应用介绍集合运算在图论中的应用，如图的连通性、网络流等分析实际案例，讲解集合运算在图论问题中的作用和意义8.2 集合运算在数据挖掘中的应用介绍集合运算在数据挖掘中的应用，如数据预处理、特征选择等分析实际案例，讲解集合运算在数据挖掘问题中的作用和意义8.3 集合运算在其他领域的应用介绍集合运算在其他领域的应用，如计算机科学、经济学等分析实际案例，讲解集合运算在其他问题中的作用和意义第九章：集合运算的拓展与研究动态9.1 集合运算的拓展介绍集合运算的拓展方向，如模糊集合、多集、粗糙集等讲解拓展领域的研究动态和应用前景9.2 集合运算的研究方法与技术介绍集合运算的研究方法，如逻辑推理、数学建模等讲解研究技术在集合运算中的应用方法和实例9.3 集合运算的学术交流与资源共享介绍集合运算领域的学术交流与资源共享平台，如学术会议、期刊等鼓励学生积极参与学术交流，分享研究成果和经验第十章：总结与展望10.1 集合运算的教学总结总结本课程的教学内容和目标，强调集合运算的重要性和应用价值回顾学生在学习过程中的收获和不足，提出改进教学方法的建议10.2 集合运算的学习展望鼓励学生继续深入学习集合运算及相关领域知识，提高解决问题的能力展望集合运算在未来的发展趋势和应用前景，激发学生的学习兴趣和动力重点和难点解析1. 第一章至第五章的章节内容，主要涉及集合的基本概念、基本运算以及应用举例。

数学奥赛辅导_第六讲_集合与映射

数学奥赛辅导第六讲集合与映射知识、方法、技能这一讲主要介绍有限集的阶，有限集上的映射及其性质，这些在与计数有关的数学竞赛问题中应用极广，是参赛者必不可少的知识Ⅰ.有限集元素的数目1．有限集的阶有限集A 的元素数目叫做这个集合的阶，记作|A|[或n(A)].2．集族的阶若M 为由一些给定的集合构成的集合，则称集合M 为集族.设A 为有限集，由A 的若干个子集构成的集合称为集合A 的一个子集族，求满足一定条件的集族的阶是一类常见的问题.显然，若|A|=n ，则由A 的所有子集构成的子集族的阶为2n .Ⅱ.映射，映射法定义1 设X 和Y 是两个集合（二者可以相同）.如果对于每个X x ∈，都有惟一确定的Y y ∈与之对应，则称这个对应关系为X 到Y 的映射.记为.Y y X x Y X ∈→∈→或这时,Y x f y ∈=)(称为X x ∈的象,而x 称为y 的原象,特别当X 和Y 都是数集时，映射f 称为函数.定义2 设f 为从X 到Y 的一个映射.(1)如果对于任何x 1、.),()(,,21212为单射则称都有f x f x f x x X x ≠≠∈（2）如果对于任何Y y ∈，都有X x ∈，使得f (x )=y ，则称f 为满射;（3）如果映射f 既为单射又为满射，则称f 为双射；（4）如果f 为满射且对任何Y y ∈，恰有X 中的m 个元素x 1、x 2、…x m ，使得 .)(,,,2,1,)(倍数映射的倍数为为则称m f m i y x f i ==定理1 设X 和Y 都是有限集，f 为从X 到Y 的一个映射,（1）如果f 为单射，则|X|≤|Y|（2）如果f 为满射，则|X|≥|Y|（3）如果f 为双射，则|X|=|Y|（4）如果f 为倍数为m 的倍数映射，则|X|=m|Y|.这个定理的结果是显然的.定理2 设有限集f a a a A n },,,,{21 =是A 到A 上的映射，),()(1x f x f =),,)](([)(1*+∈∈=N r A x x f f x f r r 则f 是一一映射（即双射）的充要条件是：对任意).11,()(,)(1,,-≤≤∈≠=≤≤∈∈**i i i s i i m i i i m s N s a a f a a f n m N m A a i 而使得存在证明：必要性.若f 是双射，则i i a a f ==)(1（此时m i =1）,或者.)(11i i i a a a f ≠=在后一种情形下，不可能有.)()(1112i i i a a f a f ==否则，a i 1在A 中有两个原象a i 和a i 1，与f 是双射不合，而只可能有2222)(,,)(),2()(12i i i i i i i i i a a f a a a a f m a a f =≠===如果或者此时，则依同样的道理，不可能有或者此时而只可能有),3()(,,)()(33212====i i i i i i i m a a f a a a f a f 213,,)(3i i i i i a a a a a f ≠=.如此等等.因为A 是有限集，所以经过有限次（设经过m 次）后，有i s i i m a ai f a a f i ≠=)(,)(而 ).11,(-≤≤∈*i m s N s这表明当f 是双射时，对任一A a i ∈都存在着映射圈:i im i i i a a a a a i →→→→-121在这个映射圈中，诸元素互异，且),1(1i i i a m n m 只有一个元素=≤≤充分性.如果对任意i i s i i m i i i i a a f a a f n m N m A a ≠=≤≤∈∈*)(,)(,1,,而使存在 )1,(1-*≤≤∈i m s N s ，这说明从A 中任一元素a i 出发，都可以得到一个包含m i 个互异元素的映射圈，显然f 是双射.定理3 在命题1的条件下，若对i i m i i i a a f N m A a =∈∈*)(,,使存在，则对任意 .)(,i i tm a a f N t i =∈*有这是明显的事实，证明从略.赛题精讲例1：设集合,30001|{},,14,20001|{≤≤=∈+=≤≤=y y B Z k k x x x A 集合 ||},,13B A Z k k y ⋂∈-=求.【解】形如4k +1的数的数可分三类：)(912,512,112Z l l l l ∈+++，其中只有形如12l +5的数是形如3k -1的数..167||},1997,,17,5{,1660),(20005121=⋂=⋂≤≤∈≤+≤B A B A l Z l l 所以所以得令例2：有1987个集合，每个集合有45个元素，任意两个集合的并集有89个元素，问此1987个集合的并集有多少个元素.【解】显然，可以由题设找到这样的1987个集合，它们都含有一个公共元素a ，而且每两个集合不含a 以外的公共元素.但是，是否仅这一种可能性呢？由任意两个集合的并集有89个元素可知，1987个集合中的任意两个集合有且仅有一个公共元素，则容易证明这1987个集合中必有一个集合中的元素a 出现在A 以外的45个集合中，设为A 1，A 2，…，A 45，其余的设为A 46，A 47，…，A 1996.设B 为A 46，…，A 1996中的任一个集合，且B a ∉，由题设B 和A ，A 1，A 2，…，A 45都有一个公共元素，且此46个元素各不相同，故B 中有46个元素，与题设矛盾，所以这1987个集合中均含有a .故所求结果为1987×44+1=87429.即这1987个集合的并集有87429个元素.例3：集合n B B B A ,,,},9,2,1,0{21 =为A 的非空子集族，并且当,2||≤⋂≠j i B B j i 时求n 的最大值.【解】首先考虑至多含三个元素的A 的非空子集族，它们共有175310210110=++C C C 个，这说明.175max ≥n下证，.175max ≤n 事实上，设D 为满足题设的子集族，若,,4||,B b B D B ∈≥∈设且则B 与B-{b}不能同时含于D ，以B-{b}代B ，则D 中元素数目不变.仿此对D 中所有元素数目多于4的集合B 作相应替代后，集族D 中的每个集合都是元素数目不多于3的非空集合，故.175max ≤n .所以，.175max =n在许多问题中，计数对象的特征不明显或混乱复杂难以直接计数，这时可以通过适当的映射将问题划归为容易计数的对象，然后再解决，从而取得化难为易的效果.例4：设},,,2,1{n S =A 为至少含有两项的公差为正的等差数列，其项都在S 中且当将S 的其他元素置于A 中之后，均不能构成与A 有相同公差的等差数列.求这种A 的个数（只有两项的数列也视为等差数列）【解】当k n 2=为偶数时，满足题中要求的每个数列A 中必有连续两项，使其前一项在集{1,2,…,k}和{k +1,k +2,…,2k }中各任取一数，并以二数之差作为公差可以作出一个满足要求的数列A.容易看出，这个对应是双射.故知A 的个数为.422n k = 当n =2k +1为奇数时，情况完全类似.惟一的不同在于这时第二个集合},2,1{n k k ++ 有k +1个元素.故A 的个数为.4/)1()1(2-=+n k k例5：设a n 为下述自然数N 的个数：N 的各位数字之和为n 且每位数字都只能取1、3或4.求证对每个自然数n ，a 2n 都是完全平方数.【证明】记各位数字之和为n 且每位数字都是1或2的所有自然数的集合为S n ，并记 ,3,2,1,||2121--+=≥===n n n n n f f f n f f f S 时有且当则这意味着{f n }恰为菲波那契数列.作对应'1M M S n →∍如下：先将M 的数字中自左至右的第一个2与它后邻的数字相加，其和作为一位数字；然后再把余下数字中第一个2与它后邻的数字相加，所得的和作为下一位数字；依此类推，直到无数再相加为止.所得的新自然数M′除最后一位数可能为2之外，其余各位数字均为1、3或4.若记所有M ′的集合为T n ，则容易看出，上述对应是由S n 到T n 的双射，从而有n n n f S T ==||||，且显然有,4,3,2=+=-n a a f n n n ①对于任一数字和为2n ，各位数字均为1或2的自然数M ，必存在正整数k ，使得下列两条之一成立：（1）M 的前k 位数字之和为n ;（2）M 的前k 位数字之和为n -1，第k +1位数字为2.则立即可得 ,3,2,2122=+=-n f f f n n n ②由①和②得到 ,2122222--+==+n n n n n f f f a a),(122222----=-n n n n f a f a ③因为.0,2,4,2,12242432=-====f a f a a a 所以于是由③递推即得 ,,3,2,1,22 ==n f a n n即n a 2为完全平方数.应用映射还可以证明某些与计数相关的不等式和等式.这时可以通过分别计数来证明等或不等，也可以不计数而直接通过适当的映射来解决问题.例6：将正整数n 写成若干个1和若干个2之和，和项顺序不同认为是不同的写法，所有写法种数记为a (n ).将n 写成若干个大于1的正整数之和，和项顺序不同认为是不同的写法，所有写法的种数记为)(n β.求证对每个n ，都有).2()(+=n n βα【证法1】将每项都是1或2，各项之和为n 的所有数列的集合记为A n ，每项都是大于1的正整数，各项之和为n 的所有数列的集合记为B n ，则问题就是证明|,|||2+=n n B A 显然，只需在两集之间建立一个双射就行了.i k ik i i n m a m i i i a a a A a a a a 其余的其中设,1,2,),,,(212121≤<<≤≤====∈= 均为1且令.21n a a a m =+++1211i a a a b +++= ，,22112122121121+++++++++++=+++=+++=--m i i k iki i k i i i a a a b a a a b a a a b k k k k ),,,,,(121+=k k b b b b b①则定义.2+∈n B b 2+∈→∍n n B b a A ②则f 为双射.事实上，若a a A a a n '≠∈'且,,，则或者数列a 和a ′中的2的个数不同，或者2的个数相同但位置不全相同.无论哪种情形,由①和②知f a f b a f b 即不同与,)()('='=为单射，另一方面，对任何2+∈n B b 利用①式又可确定,n A a ∈使得,,)(为满射即f b a f =从而f 为由A n 到B n +2的双射.【证法2】使用证一中的记号.n n B A 和对于任意的令,),,,,(2121+-∈=n m m A a a a a a ,,2;,1,).,,,(11121A a a A a a a a a a m n m m ∈'=∈'=='+-时当时当显然容易看出，映射n n n A A a af A ⋃∈'→∍++12是双射，故有).()1()2(n n n ααα++=+注意到2)2(,1)1(==αα，便知,)(n f n =α这里|f n |为菲波那契数列.对于任意的令2121),,,,(+-∈=n k k B b b b b b⎩⎨⎧>-=='--2)1,,,,(2),,,(121121k k k k k b b b b b b b b b b 当当则当,,,2;,2,21容易验证时当时时+∈'>∈'='=n k n k B b b B b b b 映射n n n B B b b B ⋃∈'→∍++12为双射，故有),()1()2(n n n βββ++=+==+n f n )2(β所以a (n )【证法3】显然有),4(2)2(),3(1)1(βαβα===即命题于n =1,2时成立.设命题于,.2,)1(1k n k n k k n =+=≥+≤既然命题于时命题成立须证当时成立令与之间的双射与与故存在时都成立.,,11312+++++f k k k k n f f B A B A k⎩⎨⎧>∈=+2),()()(1k k kk b a f A a a f a f 当当则f 为由.321的双射到+++⋃⋃n n k k B B A A对于任意的令和任意,),,,(),,,,(32212121+++-⋃∈'=∈=k k l k m m B B b b b b A a a a a a⎩⎨⎧==∈='+-,1,,2,),,,(1121m k m k m a A a A a a a a 当当 ⎩⎨⎧∈'∈+∈'∈=++++.,)1,,,)2,,,(34212421k k l k k l B b B b b b B b B b b b b 当当43212:.:+++++∈→'∍⋃⋃∈'→∍k k k k k k B b b B B h A A a a A g 则映射都是双射，从而复合映射42:++∈→∍k k B b a A g f h为双射，故有)4()2(+=+k k βα，于是由数学归纳法知命题对所有自然数n 都成立.映射法还可以与其他方法结合起来使用，而且大多数竞赛题是这种类型.例如映射法可与抽屉原理、构造法、反证法等各种方法结合起来.例7：设oxyz 是空间直角坐标系，S 是空间中的一个有限点集，S x ，S y ，S z 分别是S 中所有点的坐标平面oyz ，ozx ，oxy 上的正投影所成的集合.求证.||||||||2z y x S S S S ⋅⋅≤（1992年IMO 试题5）【证明】对每点令,),(x S j i ∈∑∈=∈=ix S j i ij ij T S S j i x j i x T ),(}},,(|),,{(显然有由柯西不等式有2),(2),(),(2||||||1||ij S j i x ij S j i S j i T S T S x x x ∑∑∑∈∈∈⋅=⋅⋅≤①考虑集合},,|),{(),(2121),(ij ij ij ij ij S j i T t t t t T T T T V x ∈=⨯⨯=∑∈其中显然，|V|=2),(||ij S j i T x ∑∈定义映射f 如下z y S S i x j x j i x j i x V ⨯∈'→'∍)),(),,((),,(),,,(，不难看出f 为单射，因此有||||||z y S S V ⋅≤由①、②即得||||||||2z y x S S S S ⋅⋅≤.例8：设集合},10,,2,1{ =A A 到A 的映射f 满足下列两个条件：①对任意;)(,30x x f A x =∈②对每个.)(,,291,a a f A a k Z k k ≠∈≤≤∈+使得至少存在一个求这样的映射的总数. (1992年日本奥林匹克预选赛题)【解】注意到10=5+3+2，30=5×3×2.这提示我们将A 划分成三个不相交的子集 },{},,{},,,,{2132154321c c b b b a a a a a A ⋃⋃=.因为f 满足条件①和②，所以f 是A 到A 上的双射，并且由定理2的证明过程得知A 中存在映射圈，因此，定义映射,)(,)(;)(,)(,)(,)(,)(:32211554433221b b f b b f a a f a a f a a f a a f a a f f ======= .)(,)(;)(122113c c f c c f b b f ===因为30是5、3、2的最小公倍数，故由定理2和定理3知f 是满足题目条件①和②惟一的一类映射.因此，f 的总数目相当于从10个元素中选取5个，再从剩下的5个中选取3个，最后剩下的两个也选上，它们分别作圆排列的数目，它等于.120960)!1)(!2)(!4(2235510=⋅⋅⋅C C C例9：设集合A={1，2，3，4，5，6}，映射A A f →:,其三次复合映射f ·f ·f 是恒等映射，这样的f 有多少个？（1996年日本数学奥林匹克预选赛题）【解】因为集合A 上的三次复合映射是恒等映射，所以定理2和定理3推知符合条件的映射f 有三类：（1）f 是恒等映射；（2）A 中存在一个三元映射圈),,(互异c b a a c b a →→→，而其他三个元素是不动点；（3）A 中存在两个三元映射圈).,,,,,(互异和c b a c b a a c b a a c b a ''''→'→'→'→→→类型（1）的f 只有1个.对于类型（2），先从6个元素中选出3个元素20,,36=C c b a 的方法有种，又a 、b 、c 作圆排列有（3—1）！=2种，故这样的f 有20×2=40个.对于类型（3），首先6个元素平分成两组有10236=÷C 种分法，每组分别作圆排列又有（3—1）！（3—1）！=4种方式，所以这样的f 有10×4=40个.综上所述，所求的f 有1+40+40=81个.例10：把正三角形ABC 的各边n 等分，过各分点在△ABC 内作各边的平行线，得到的图形叫做正三角形ABC 的n 格点阵.（1）求其中所有边长为||1BC n的菱形个数；（2）求其中所有平行四边形的个数. （1988年国家集训队选拔考试题）【解】延长AB 至.||1||||,,BC n C C B B C AC B ='='''使得至作出正三角形C B A ''的n+1格点阵（图I —3—1—1）.边2+''n C B 上有个点，依次编码为0，1，2，…，n+1. 在△ABC 中边长为n1|BC|的菱形可以按边不平行于BC 、AC 与AB 分为三类.容易看出，这三类中菱形个数相同.边不平行BC 且边长为n 1|BC|的所有菱形集合记作S.由正整数1，2，…，n 组成的所有有序的数对（i ,j ）,i <j 所构成的集合记作T.很明显，,||2n C T =设菱形EFGH ∈S ，延长它的两条邻边HG 与GF ，分别交.),(,1,T j i n j i j i C B ∈≤<≤''则与于点令（i ,j ）是菱形EFGH 在S 到T 的映射ϕ下的像，这样便建立了S 到T 的映射ϕ.容易验证，映射ϕ是双射.因此，,||||2n C T S ==所以所求的边长为n1|BC|的菱长个数为32n C . 其次，将平行四边形按边不平行于BC 、AC 与AB 分为三类，这三类的平行四边形个数应相同，边不平行BC 的所有平行四边形集合记作V.非负整数0,1,2,…,n+1构成的所有有序四元数组（i ,j ,k ,l ）,10+≤<<<≤n l k j i 构成的集合记作W.很明显，42||+=n C W .设α是V 中平行的四边形，延长它的四条边分别交l k j i C B ,,,于点''，其中10+≤<<<≤n l k j i ，则ϕαββ的映射到在是令W V W l k j i .),,,(∈=下的像.这样便定义了V 到W 的一个映射ϕ.容易验证，ϕ是双射.因此，.||||42+==n C W V 从而所求平行四边形的个数为423+n C .。

集合的概念教学讲义(新教材)

第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念第1课时基础知识知识点1集合与元素的含义一般地，我们把研究对象统称为__元素__(element)，把一些元素组成的__总体__叫做集合(set)(简称为集)．通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示__集合__，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的__元素__.对象：可以是数、点、图形，也可以是人或物等，即对象的形式多样化．元素：具有共同的特征或共同的属性的对象．总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义．因此，一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．思考1：集合中的“研究对象”所指的就是数学中的数、点、代数式吗？提示：集合中的“研究对象”所指的范围非常广泛，可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等．知识点2集合中元素的三个特性提示：(1)确定性的主要作用是判断一组对象能否构成集合，只有这组对象具有确定性时才能构成集合．界定模糊的元素不能构成集合，如“小河流”“难题”等．(2)无序性的主要作用是方便定义集合相等．当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等．如{1,2,3}与{3,2,1}表示同一集合．(3)互异性的主要作用是警示我们做题后要检验．特别是题中含有参数(即字母)时，一定要检验求出的参数是否满足集合中元素的互异性．知识点3元素与集合的关系(2)符合“∈”“∉”的左边可以是集合吗？提示：(1)对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不可以是集合．知识点4常用数集及其记法思考＋提示：(1)N为非负整数集(或自然数集)，而N*或N＋表示正整数集，不同之处就是N包括0，而N*(N＋)不包括0.(2)N*和N＋的含义是一样的，初学者往往会误记为N*或N＋，为避免出错，对于N*和N＋，可形象地记为“星星(*)在天上，十字(＋)在地下”．基础自测1．下列各组对象中不能组成集合的是(C)A．清华大学2019年入校的全体学生B．我国十三届全国人大二次会议的全体参会成员C ．中国著名的数学家D ．不等式x －1>0的实数解[解析] “著名的数学家”无明确的标准，对于某人是否“著名”无法客观地判断，因此“中国著名的数学家”不能组成集合，故选C ． 2．已知a ∈R ，且a ∉Q ，则a 可以为( A ) A ．2 B ．12C ．－2D ．－13[解析]2∈R ，且2∉Q ，故选A ．3．下列元素与集合的关系判断正确的是__①④__(填序号)． ①0∈N ；②π∈Q ；③2∈Q ；④－1∈Z ；⑤2∉R . [解析] π，2为无理数，2为实数，故填①④.4．方程x 2－1＝0与方程x ＋1＝0所有解组成的集合中共有__2__个元素．[解析] 方程x 2－1＝0的解为1，－1，x ＋1＝0的解为－1，所以两个方程所有解组成的集合有2个元素，故填2.关键能力·攻重难题型探究题型一集合的基本概念例1 下列各组对象：①某个班级中年龄较小的男同学；②联合国安理会常任理事国；③2018年在韩国举行的第23届冬奥会的所有参赛运动员；④2的所有近似值．其中能够组成集合的是__②③__.[分析] 结合集合中元素的特性分析各组对象是否满足确定性和互异性，进而判断能否组成集合．[解析] ①中的“年龄较小”、④中的“近似值”，这些标准均不明确，即元素不确定，所以①④不能组成集合．②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集合．填②③.[归纳提升] 1.判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．【对点练习】❶ 下列每组对象能否构成一个集合： (1)我国的小城市；(2)某校2019年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；(4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解．[解析] (1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能构成一个集合．(2)“高个子”无明确的标准，对于某个同学是否是“高个子”无法客观地判断，不能构成集合．(3)任给一个实数x ，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x ＞20或x ＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)由x 2－9＝0，得x 1＝－3，x 2＝3.∴方程x 2－9＝0在实数范围内的解为－3,3，能构成集合．题型二元素与集合的关系例2 若所有形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数组成集合A ，请判断6－22是不是集合A 中的元素．[分析] 根据元素与集合的关系判断，可令a ＝2，b ＝－2. [解析] 因为在3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )中，令a ＝2，b ＝－2，即可得到6－22，所以6－22是集合A 中的元素．[归纳提升] 1.(1)判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征．(2)要熟练掌握R 、Q 、Z 、N 、N *表示的数集．2．解决这类比较复杂的集合问题要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决．【对点练习】❷ (1)下列关系中，正确的有( C ) ①12∈R ；②5∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q . A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个(2)若集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为__2,1,0__. [解析] (1)12是实数，5是无理数，|－3|＝3是自然数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)由题意可得：3－x 可以为1,2,3,6，且x 为自然数，因此x 的值为2,1,0.因此A 中元素有2,1,0.例3 已知－3是由x －2,2x 2＋5x,12三个元素构成的集合中的元素，求x 的值． [分析] －3是集合的元素说明x －2＝－3或2x 2＋5x ＝－3，可分类讨论求解． [解析] 由题意可知，x －2＝－3或2x 2＋5x ＝－3. 当x －2＝－3时，x ＝－1，把x ＝－1代入2x 2＋5x ，得集合的三个元素分别为－3，－3,12，不满足集合中元素的互异性；当2x 2＋5x ＝－3时，x ＝－32或x ＝－1(舍去)，当x ＝－32时，集合的三个元素分别为－72，－3,12，满足集合中元素的互异性，故x ＝－32.[归纳提升] 解决此类问题的通法是：根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性．【对点练习】❸ 已知集合A 中仅含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈A ，则实数a 的值为__0或－1 __.[解析] ∵－3∈A ，∴－3＝a －3或－3＝2a －1.若－3＝a －3，则a ＝0，此时集合A 中含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时集合A 中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，实数a 的值为0或－1.课堂检测·固双基1．下列语句能确定一个集合的是( D ) A ．充分小的负数全体 B ．爱好飞机的一些人 C ．某班本学期视力较差的同学 D ．某校某班某一天的所有课程[解析]由集合的含义，根据集合元素的确定性，易排除A、B、C，故选D．2．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(D) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形[解析]由集合中元素的互异性知a，b，c互不相等，故选D．3．用符号“∈”或“∉”填空：0__∈__N；－3__∉__N；0.5__∉__Z；2__∉__Z；13__∈__Q；π__∈__R.4．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为__0,1__.[解析]因为y∈N且y＝－x2＋1，所以y＝0或y＝1.即A中有两个元素0,1，又t∈A，所以t＝0或1.5．判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：(1)与定点A，B等距离的点；(2)高中学生中的游泳能手．[解析](1)与定点A，B等距离的点可以组成集合，因为这些点是确定的．(2)高中学生中的游泳能手不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的．素养作业·提技能A组·素养自测一、选择题1．下列各组对象能组成一个集合的是(C)①某中学高一年级所有聪明的学生；②在平面直角坐标系中，所有横坐标与纵坐标相等的点；③所有不小于3的正整数；④3的所有近似值．A．①②B．③④C．②③D．①③[解析]①④不符合集合中元素的确定性．故选C．2．若集合A只含有元素a，则下列各式正确的是(C)A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A[解析]由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应该用“＝”，故选C．3．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为(C)A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 方程x 2－5x ＋6＝0的解为x ＝2或x ＝3，x 2－x －2＝0的解为x ＝2或x ＝－1，所以集合M 中含有3个元素．4．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－x 2所组成的集合，其含有元素的个数最多为( A ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5[解析] ∵x 2＝|x |，－x 2＝－|x |，故当x ＝0时，这几个实数均为0；当x >0时，它们分别是x ，－x ，x ，x ，－x ；当x <0，它们分别是x ，－x ，－x ，－x ，x .最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．5．设x ∈N ，且1x ∈N ，则x 的值可能是( B )A ．0B ．1C ．－1D ．0或1[解析] ∵－1∉N ，∴排除C ；0∈N ，而10无意义，排除A 、D ，故选B ．6．如果集合A 中含有三个元素2,4,6，若a ∈A ，且6－a ∈A ，那么a 为( B ) A ．2 B ．2或4 C ．4D ．0[解析] ∵a ∈A ，∴当a ＝2时，6－a ＝4，∴6－a ∈A ；当a ＝4时，6－a ＝2，∴6－a ∈A ；当a ＝6时，6－a ＝0，∴6－a ∉A ，故a ＝2或4. 二、填空题7．设A 表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳__∉__A ，广州__∈__A (填“∈”或“∉”)．[解析] 深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．8．设直线y ＝2x ＋3上的点集为P ，点(2,7)与点集P 的关系为(2,7)__∈__P (填“∈”或“∉”)． [解析] 直线y ＝2x ＋3上的点的横坐标x 和纵坐标y 满足关系：y ＝2x ＋3，即只要具备此关系的点就在直线上．由于当x ＝2时，y ＝2×2＋3＝7，∴(2,7)∈P . 9．已知集合A 含有三个元素1,0，x ，若x 2∈A ，则实数x 的值为__－1__. [解析] 因为x 2∈A ，所以x 2＝1或x 2＝0或x 2＝x ，解得x ＝－1,0,1.经检验，只有x ＝－1时，满足集合元素的互异性．三、解答题10．记方程x 2－x －m ＝0的解构成的集合为M ，若2∈M ，试写出集合M 中的所有元素． [解析] 因为2∈M ，所以22－2－m ＝0，解得m ＝2.解方程x 2－x －2＝0，即(x ＋1)(x －2)＝0，得x ＝－1或x ＝2.故M 含有两个元素－1,2.11．由a ，ba ，1组成的集合与由a 2，a ＋b,0组成的集合是同一个集合，求a 2 020＋b 2 020的值．[解析] 由a ，b a ，1组成一个集合，可知a ≠0，a ≠1，由题意可得ba ＝0，即b ＝0，此时两集合中的元素分别为a,0,1和a 2，a,0，因此a 2＝1，解得a ＝－1或a ＝1(不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此a ＝－1，且b ＝0，所以a 2 020＋b 2 020＝(－1)2 020＋0＝1.B 组·素养提升一、选择题1．如果a 、b 、c 、d 为集合A 的四个元素，那么以a 、b 、c 、d 为边长构成的四边形可能是( D ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．梯形[解析] 由于集合中的元素具有“互异性”，故a 、b 、c 、d 四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等．2．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为( B ) A ．2 B ．3C ．0或3D ．0或2或3[解析] 因为2∈A ，所以m ＝2，或m 2－3m ＋2＝2，解得m ＝0或m ＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m 的所有取值进行一一检验可得m ＝3，故选B ．3．(多选题)已知集合A 中元素满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( BC ) A ．－2∈A B ．－11∉A C ．3k 2－1∈AD ．－34∉A[解析] 令3k －1＝－2，解得k ＝－13，－13∉Z ，∴－2∉A ；令3k －1＝－11，解得k ＝－103，－103∉Z ，∴－11∉A ；∵k 2∈Z ，∴3k 2－1∈A ；令3k －1＝－34，解得k ＝－11，－11∈Z ， ∴－34∈A ．故选BC ．4．(多选题)已知x ，y 都是非零实数，z ＝x |x |＋y |y |＋xy|xy |可能的取值组成的集合为A ，则下列判断错误的是( ACD ) A ．3∈A ，－1∉A B ．3∈A ，－1∈A C ．3∉A ，－1∈AD ．3∉A ，－1∉A[解析] 当x >0，y >0时，z ＝1＋1＋1＝3；当x >0，y <0时，z ＝1－1－1＝－1；当x <0，y >0时，z ＝－1＋1－1＝－1；当x <0，y <0时，z ＝－1－1＋1＝－1. 所以3∈A ，－1∈A ．故选ACD ．二、填空题5．用适当的符号填空：已知A ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6m －1，m ∈Z }，则17__∈__A ；－5__∉__A ；17__∈__B ．[解析] 令3k ＋2＝17，得k ＝5,5∈Z ，所以17∈A ；令3k ＋2＝－5，得k ＝－73，－73∉Z ，所以－5∉A ；令6m －1＝17，得m ＝3,3∈Z ，所以17∈B ．6．若1－a1＋a ∈A ，且集合A 中只含有一个元素a ，则a 的值为[解析] 由题意，得1－a1＋a＝a ，∴a 2＋2a －1＝0且a ≠－1，∴a ＝－1± 2.7．(2019·江苏泰州期末)集合A 中含有两个元素x 和y ，集合B 中含有两个元素0和x 2，若A ，B 相等，则实数x 的值为__1__，y 的值为__0__. [解析] 因为集合A ，B 相等，所以x ＝0或y ＝0.①当x ＝0时，x 2＝0，此时集合B 中的两个元素为0和0，不满足集合中元素的互异性，故舍去；②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1，由①知x＝0应舍去，经检验，x＝1符合题意，综上可知，x＝1，y＝0.三、解答题8．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1.(1)若－2是集合A中的元素，试求实数a的值；(2)－5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．[解析](1)因为－2是集合A中的元素，所以－2＝a－3或－2＝2a－1.若－2＝a－3，则a＝1，此时集合A含有两个元素－2,1，符合要求；若－2＝2a－1，则a＝－12，此时集合A中含有两个元素－72，－2，符合要求．综上所述，满足题意的实数a的值为1或－12.(2)不能．理由：若－5为集合A中的元素，则a－3＝－5或2a－1＝－5.当a－3＝－5时，解得a＝－2，此时2a－1＝2×(－2)－1＝－5，显然不满足集合中元素的互异性；当2a－1＝－5时，解得a＝－2，此时a－3＝－5显然不满足集合中元素的互异性．综上，－5不能为集合A中的元素．9．已知集合A＝{x|x＝m＋2n，m，n∈Z}．(1)试分别判断x1＝－2，x2＝12－2，x3＝(1－22)2与集合A的关系；(2)设x1，x2∈A，证明：x1·x2∈A．[解析](1)x1＝－2＝0＋(－1)×2，因为0，－1∈Z，所以x1∈A；x2＝12－2＝2＋22＝1＋12×2，因为1∈Z，但12∉Z，所以x2∉A；x3＝(1－22)2＝9－42＝9＋(－4)×2，因为9，－4∈Z，所以x3∈A．(2)因为x1，x2∈A，所以可设x1＝m1＋2n1，x2＝m2＋2n2，且m1，n1，m2，n2∈Z，所以x1·x2＝(m1＋2n1)(m2＋2n2)＝m1m2＋2(m2n1＋m1n2)＋2n1n2＝(m1m2＋2n1n2)＋2(m2n1＋m1n2)．因为m1m2＋2n1n2∈Z，m2n1＋m1n2∈Z，所以x1·x2∈A．。

第6讲容斥原理

第六讲容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。

我们用|A |表示有限集A 的元素的个数。

在两个集合的研究中，已经知道，求两个集合并集的元素个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两根集合的个数之中减去重复计算的元素个数，用式子可以表示成 |A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |。

我们称这一公式为包含与排除原理，简称为容斥原理。

包含与排除原理|告诉我们，要计算两个集合A 、B 的并集A ∪B 的元素个数，可以分一下两步进行：第一步：分别计算集合A 、B 的元素个数，然后加起来。

即先求|A |+|B |（意思是把A 、B 的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步“从上面的和中减去交集的元素的个数，即减去|A ∩B |（意思是“排除”了重复计算的元素的个数）。

例1．求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少？解：设I ={1、2、3、…、19、20}，A ={I 中2的倍数}，B ={I 中3的倍数}。

显然题目中要求计算并集A ∪B 的元素个数，即求|A ∪B |。

我们知道A ={2、4、6、……、20}，所以|A |=10， B ={3、6、9、12、15、18}，|B |=6。

A ∩B ={I 中既是2的倍数又是3的倍数}={6、12、18}，所以|A ∩B |=3，根据容斥原理有|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |=10+6–3=13. 答：所求的数共有13个。

此题可以直观地用图表示如下：例2．某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人，问两科都在90分以上的有多少人？解：设A ={数学在90分以上的学生}，B ={语文在90分以上的学生}，由题意知|A |=25，|B |=21。

A ∪B ={数学、语文至少一科在90分以上的学生}，|A ∪B |=38。

1离散第06讲重集的排列与组合

(m 1 r )! r Cm r 1 (m 1)!r!
第6讲重集的排列与组合 -18-
重集排列求解例4
方程x1+x2+…+xm = r有多少组正整数解？
解：考虑由r个1组成的序列，之间有r-1个空位。在这些空位中选择m-1个插入0，得到1个0,1序列，可看作是m–1个0把r个1分成m组，且每组至少有1个1。这对应着方程x1+x2+…+xm = r的一组正整数解。
-16-
第6讲重集的排列与组合
重集排列求解例3
方程x1+x2+…+xm = r有多少组自然数解？ m=3 r=5 x1 + x 2 + x 3 = 5
以下均是该方程的自然数解：
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 1 1 1 1
1
1 1 0
1 0 1
x1 = 2, x2 = 1, x3 = 2
n! n1! n2! ... nm!
第6讲重集的排列与组合 -12-
重集全排列举例
重新排列SUCCESS中的字母能得到多少不同的字符串？
解：∵单词中包含3个S、1个U、2个C、1个E
∴可看作重集{3· 1· 2· 1· S, U, C, E}的全排列数问题
根据定理，共能排出不同的字符串
( 4 3)! 35 种走法；先从H走到A，有 4!3! B
6 4 2
然后从A到C，一种走法； A C
( 4 4)! 70种走法。最后从C到B，有 4!4!
H
所以，根据乘法原理，经过AC段共有 35170=2450 种走法。
2 4 6
8

新高一数学第6讲-一元二次不等式的解法

主题一元二次不等式的解法教学内容1. 掌握一元二次不等式的解法；2. 学会用区间表示集合；3. 通过利用二次函数的图像来求解一元二次不等式的解集，培养数形结合的数学思想。

一、一元二次不等式的解法：探究：我们来考察它与其所对的二次函数25y x x =-及二次方程250x x -=的关系：（1）当0x <或5x >时，0y >，即在x 轴上方；（2）当0x =或5x =时，0y =，即在x 轴上；（3）当05x <<时，0y <，即在x 轴下方.其中0x =，5x =是二次函数25y x x =-与x 轴的交点，是二次方程250x x -=的两根.探究得出：结合图像知不等式250x x -≤的解集是 {}05x x ≤≤ 那么对于一般的不等式 20ax bx c ++>或()200ax bx c a ++<>又怎样去寻求解集呢？请同学们思考下列问题：如果相应的一元二次方程02=++c bx ax 分别有两实根、惟一实根，无实根的话，其对应的二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图像与x 轴的位置关系如何？可以提问程度较好的学生【答】二次函数c bx ax y ++=2的图像开口向上且分别与x 轴交于两点，一点及无交点。

现在请同学们观察表中的二次函数图，并写出相应一元二次不等式的解集。

ac b 42-=∆ 0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图像02=++c bx ax 的根 ab x 22,1∆±-=ab x x 221-== ∅02>++c bx ax 的解集 02<++c bx ax 的解集【答】02>++c bx ax 的解集依次是{}.R ;2R ;21⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠∈><a b x x x x x x x x 但或 02<++c bx ax 的解集依次是{}.;;21∅∅<<x x x x它是我们今后求解一元二次不等式的主要工具。

集合间的基本关系示范教案

集合间的基本关系示范教案第一章：集合的概念与表示方法1.1 集合的定义与表示方法介绍集合的定义：一个无序的、不重复元素的集合。

讲解集合的表示方法：列举法、描述法、图示法。

1.2 集合的元素与集合的关系讲解元素与集合的关系：属于（∈）、不属于（∉）。

举例说明元素与集合的关系。

第二章：集合的运算2.1 集合的并集讲解集合的并集概念：包含两个或多个集合中所有元素的集合。

举例说明并集的运算方法。

2.2 集合的交集讲解集合的交集概念：属于两个或多个集合的元素组成的集合。

举例说明交集的运算方法。

2.3 集合的补集讲解集合的补集概念：在全集之外，不属于某个集合的元素组成的集合。

举例说明补集的运算方法。

第三章：集合间的基本关系3.1 集合相等讲解集合相等的概念：两个集合包含的元素完全相同。

举例说明集合相等的判断方法。

3.2 集合包含关系讲解集合包含关系：一个集合包含另一个集合的所有元素。

举例说明集合包含关系的判断方法。

3.3 集合的互异性讲解集合的互异性：集合中的元素都不相同。

举例说明集合互异性的判断方法。

第四章：集合的应用4.1 集合在数学中的应用讲解集合在数学中的基本应用：解不等式、判断逻辑关系等。

举例说明集合在数学中的应用。

4.2 集合在生活中的应用讲解集合在生活中的应用：分类、归档、统计等。

举例说明集合在生活中的应用。

第五章：集合的综合练习5.1 集合的混合运算讲解集合的混合运算：并集、交集、补集的组合运算。

举例说明集合混合运算的方法。

5.2 集合的应用题讲解集合应用题的解题方法：分析题意、列出集合关系、运算求解。

举例说明集合应用题的解题过程。

5.3 集合的拓展思考讲解集合的拓展思考：集合的无限性、集合的势等。

举例说明集合拓展思考的方法。

第六章：集合的性质与公理系统6.1 集合的性质讲解集合的性质：确定性、互异性、无序性。

举例说明集合性质的应用。

6.2 集合的公理系统讲解集合的公理系统：罗素公理、集合论的公理化。

集合课件完整版整理.ppt

② A＝{长方形}， B＝{平行四边形方形}；
③ A＝{x|x2－3x＋2＝0}，
B＝{1，2}.
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练习1：观察下列各组集合，并指明两个
集合的关系
① A＝N+ ，B＝N；
AB
② A＝{长方形}， B＝{平行四边形方形}；
③ A＝{x|x2－3x＋2＝0}，
B＝{1，2}.
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练习1：观察下列各组集合，并指明两个
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第一讲集合的含义及其表示
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知识点
1. 1到5正整数; 2. 中国古典四大名著; 3. 高一10班的全体学生; 4. 我校篮球队的全体队员;
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1.集合的概念: 我们把研究对象统称为元素.把一些
元素组成的全体叫做集合，简称“集”.
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2.分辨集下合列是否能构成集合
高一2班很高的男生中国很长的河流接近于0的数
显然这个集合没有元素.我们把这样的集合叫做空集，记作.
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7.重要的数集:
➢ N：自然数集(含0) ➢ N+：正整数集(不含0) ➢ Z：整数集 ➢ Q：有理数集 ➢ R：实数集
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例题
• 例题1下列各项中，不可以组成集合的是（）
• A．所有的正数 • B．等于2的数 • C．接近于0的数 • D．不等于0的偶数
B. ②③⑥⑦⑧ D. ②③⑤⑥⑦⑧
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3.集合的表2 示方法: 集合常用大写字母表示元素常用小写字母表示
描述法、列举法
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4.集合与元素的关系:
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA.

集合的概念详细讲解

集合的概念详细讲解集合是数学中的一个基本概念，它指的是由多个元素组成的一个整体。

集合中的元素可以是任何类型，例如整数、实数、字符串、对象等等。

集合的概念在数学中有着广泛的应用，例如在集合论、函数论、代数、拓扑学等学科中都有重要的应用。

一、集合的定义集合的定义通常是指在一个特定的范围内，由一个或多个元素组成的整体。

集合中的元素可以是任何类型，例如整数、实数、字符串、对象等等。

在数学中，我们通常用大写字母来表示集合，例如A、B、C等等。

二、集合的表示集合的表示通常有两种方式：列举法和描述法。

列举法是将集合中的所有元素一一列举出来，例如{1, 2, 3}表示一个包含三个整数的集合。

描述法是用一个数学表达式来描述集合中的元素，例如{x|x^2+1=0}表示一个包含所有满足方程x^2+1=0的实数的集合。

三、集合的性质集合具有以下性质：1.确定性：一个元素要么属于某个集合，要么不属于某个集合，不存在第三种情况。

2.互异性：集合中的元素互不相同，即集合中没有重复的元素。

3.无序性：集合中的元素没有固定的顺序，即任意两个元素可以交换位置而不改变集合本身。

4.封闭性：如果一个新元素与集合中的某个元素相等，则该新元素也属于该集合。

5.空集存在性：没有任何元素的集合称为空集，空集是任何非空集合的真子集。

6.反身性：任何非空集合是其本身的子集。

7.幂等律：若一集合有n个元素，则其幂集（所有子集的集合）的元素个数为2^n个。

8.互补律：若一集合有n个元素，则其补集（不属于该集合的元素组成的子集）的元素个数为(n-1)个。

9.子集基数量定律：任何一个集合都必须包含它自身作为子集，并且至多包含两个其他不同的子集（空集和全集）。

10.子集完全互补定律：任何一个集合都必须包含它的所有子集作为元素的并集，并且至多包含两个其他不同的子集（空集和全集）。

11.互补完全性定律：任何一个集合都必须包含它的所有补集作为元素的并集，并且至多包含两个其他不同的子集（空集和全集）。

高考数学一轮复习资料第6讲三角函数篇之三角函数知识点概述

第一部分：基本知识点回顾第一节：三角函数概念1. 角的概念2. 象限角第I 象限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<Z k k k ,222ππαπα 第II 角限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ,222ππαππα 第III 象限角的集合： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ,2322ππαππα 第IV 象限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ,)1(2232παππα3. 轴线角4. 终边相同的角①与α（0°≤α<360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）: {}Z k k ∈+⨯=,360|αββ ; ②终边在x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈⨯=,180| ββ;③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ;④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ.5. 弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角角度制与弧度制的互化：π=︒1801801π=︒ 1弧度︒≈︒=3.57180π6.弧度制下的公式扇形弧长公式r =α，扇形面积公式211||22S R R α==，其中α为弧所对圆心角的弧度数。

7. 任意角的三角函数定义:利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在α终边上任取一点(,)P x y （与原点不重合），记22||r OP x y ==+，则sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=，注: ⑴三角函数值只与角α的终边的位置有关，由角α的大小唯一确定,∴三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数.（2）正弦、余弦、正切函数的定义域8. 各象限角的各种三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦第二节：同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、基础知识（一）同角三角函数的基本关系式： ①平方关系；1cos sin 22=+αα ②商式关系；αααtan cos sin = 任意角三角函数定义单位圆定义：坐标点定义：象限角的三角函数值的符号轴线角的三角函数值三角函数线同角三角函数的基本关系式诱导公式三角函数的图像与性质定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性（最值）、对称性三角函数的图像三角函数的性质函数)sin(ϕω+=x A y 的图像五点作图法三角函数的图像变换相关概念的物理意义先相位后周期：先周期后相位：三角恒等变换1.和、差角公式；2.二倍角公式；3.升、降幂公式；4.半角公式；5.辅助角公式（收缩代换）. 解三角形正弦定理余弦定理及推论解三角形的四种类型三角形的面积公式角的有关概念任意角定义分类终边相同角的概念按旋转方向分：按终边位置分：弧度制定义及规定弧度与角度的换算特殊角的度数与弧度数的对应表扇形公式③倒数关系。

第6讲直线上的点集

定理13 设 F 是非空的有界闭集，则 F 是由一闭区间中去掉有限个或可数个互不相交的开区间而成。
第6讲直线上的点集
定理13的证明：设 inf x, sup x
xF xF
，则由定理12知
, F，于是 F [ , ]，且 [ , ] F ( , ) F。
定义6 假设 E 是 E 中的一个集合，如果 E 不
包含任何邻域，则称 E 为无处稠密的。
第6讲直线上的点集
问题3：能否在直线上找到既完备有是疏朗的集合？
第6讲直线上的点集
Cantor集的构造:
将[0，1]均分为三段，删去中间的开区间
1 2 7 8 三等分，删去中间的两个区间即。 , , , 9 9 9 9
i i
i
第6讲直线上的点集
问题8：直线上什么样的闭集是完备的？所有的完备集都是这样的吗？
第6讲直线上的点集
定理12
则 inf x, sup x F ；换言之，
假设 F 是 R1 中的有界闭集，
xF xF
F 中
既有最大数，也有最小数。
定理14 假设 F R1是非空有界闭集，则 F 是完备集当且仅当 F 是从一闭区间[a,b]中去掉
第6讲直线上的点集
(i)证完。
再证（ii），对任意 x, y ，若
( x , x ) ( y , y ) ， ( x , x ) ( y , y ) ，
则或者 x , x 中至少有一个在 ( y , y ) 中；从故（ii）也成立。
而也在 G 中，无论何种情形均与（i）矛盾。
由定理6的推论1知
( , ) F 是开集，由定理11，

第六讲集合的概念(精练)(解析版)

2023年初高中衔接素养提升专题课时检测第六讲集合的概念（精练）（解析版）（测试时间60分钟）一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2022·天水一中高一课时检测）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡、探索未来；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”寓意点亮梦想、温暖世界．这两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M ，则M 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】根据集合中元素的互异性即可确定元素的个数.【详解】解：由集合中元素的互异性知，两个“墩”相同，去掉一个，“容”“融”不同都保留，所以有5个元素．故选：C2．（2021四川雅安高一期末）集合{}1,3,5,7,A = 用描述法可表示为（）A ．{},x x n n N =∈B ．{}21,x x n n N =-∈C ．{}21,x x n n N =+∈D ．{}2,x x n n N =+∈【答案】．C【解析】集合{}1,3,5,7,A = 表示所有的正奇数组成的集合，令0n =，可以排除ABD，故选：C3．（2021银川二中高一期末）若集合{},,a b c 中的三个元素可构成某个三角形的三条边长，则此三角形一定不是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】．D【解析】根据集合中元素的互异性可知，a b c ≠≠，所以此三角形一定不是等腰三角形，故D 正确；因为,,a b c 可任取，所以可以构成直角，锐角，钝角三角形，故ABC 不正确故选：D.4．（2021·河北省唐县第一中学高三阶段检测）下列集合中表示同一集合的是（）A ．{(3,2)}M =，{(2,3)}N =B ．{}(,)1M x y x y =+=，{}1N y x y =+=C ．{1,2}M =，{(1,2)}N =D ．{}2|3M y y x ==+，{|N x y ==【答案】D【分析】根据集合的定义，依次分析选项即得.【详解】对于A，两个集合都为点集，(3,2)与(2,3)是不同点，故M 、N 为不同集合，故A 错误；5．（2022·山东济南高一单元测试）若集合2320A x ax x =-+=至多含有一个元素，则a 的取值范围是（）．A ．(]9,0,8⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢B ．{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢C ．90,8⎡⎤⎢⎥D ．90,8⎛⎤ ⎥6．（2021重庆八中高一期末）已知集合{}1,2,3A =，集合{},,B z z x y x A y A ==+∈∈，则集合B 中元素的个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】．B【解析】因为集合{}1,2,3A =，所以，集合{}{},,2,3,4,5,6B z z x y x A y A ==+∈∈=，因此，集合B 中的元素个数为5.故选：B.二、多选题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．）7．（2021四川雅安高一期末）已知集合{}22133A a a a =+++,,，且1A ∈，则实数a 的可能值为（）A ．0B ．1-C ．1D ．2-【答案】．ABD【解析】已知集合{}22133A a a a =+++,,且1A ∈，则11a +=或2331a a ++=，解得0a =或1a =-或2a =-.若0a =，则{}2,1,3A =，合乎题意；若1a =-，则{}2,0,1A =，合乎题意；若2a =-，则{}2,1,1A =-，合乎题意.综上所述，0a =或1a =-或2a =-.故选：ABD.8．（2021云南昆明高一期末）已知集合{}21,A x x m m Z ==-∈，{}2,B x x n n Z ==∈，且1x 、2x A ∈，3x B ∈，则下列判断正确的是（）A ．12x x A ∈B ．23x x B ∈C ．12x x B +∈D ．123x x x A++∈【答案】．ABC【解析】因为集合{}21,A x x m m Z ==-∈，{}2,B x x n n Z ==∈，所以集合A 表示奇数集，集合B 表示偶数集，1x 、2x 是奇数，3x 是偶数，A 项：因为两个奇数的积为奇数，所以12x x A ∈，A 正确；B 项：因为一个奇数与一个偶数的积为偶数，所以23x x B ∈，B 正确；C 项：因为两个奇数的和为偶数，所以12x x B +∈，C 正确；D 项：因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以123x x x B ++Î，D 错误，故选：ABC.三、填空题9．（2021·上海·位育中学高一阶段检测）设k 为实数，关于x 的不等式组221020x kx kx x ⎧++>⎨++<⎩的解集为A ，若2A ∉，则的取值范围是_____________10．（2022·山西太原一中高一期中考试）集合{}1,0A =，{}3,4B =，{}2,Q a b a A b B =+∈∈，则的所有元素之和等于__________.11．（2021江苏无锡高一期末）已知集合{}2320,,A x ax x x R a R =-+=∈∈.（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围【答案】．（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；（3）{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】（1）若A 是空集，则方程ax 2﹣3x +2＝0无解此时0,a ≠∆＝9-8a ＜0即a 98＞所以a 的取值范围为9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）若A 中只有一个元素则方程ax 2﹣3x +2＝0有且只有一个实根当a ＝0时方程为一元一次方程，满足条件当a ≠0，此时∆＝9﹣8a ＝0，解得：a 98=∴a ＝0或a 98=当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（3）若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.12．（2021甘肃白银高一期末）若a ，b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭．求：(1)a b +;(2)20222019a b +．【答案】．(1)0;(2)2;【解析】(1)根据元素的互异性，得0a b +=或0a =，若0a =，则ba无意义，故0a b +=;(2)由(1)得=-a b ，即1ba =-，据元素的互异性可得：1b a a==-，1b =，∴()2022202220192019112a b +=-+=.。

逻辑关系与集合：第6讲充分条件与必要条件

充分条件与必要条件[学习目标]1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义． 2．会求(判定)某些简单命题的条件关系．3．通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力． [知识链接]判断下列两个命题的真假，并思考命题中条件和结论之间的关系： (1)若x >a 2＋b 2，则x >2ab ； (2)若|x |＝1，则x ＝1.答：(1)为真命题，(2)为假命题．命题(1)中，有x >a 2＋b 2，必有x >2ab ，即x >a 2＋b 2⇒ x >2ab .命题(2)中，由|x |＝1，可得x ＝1或－1，即|x |＝1Dx ＝1.结论：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． [预习导引]充分条件与必要条件pD要点一充分条件、必要条件例1 指出下列命题中，p 是q 的什么条件？ (1)p ：x 2＝2x ＋1，q ：x ＝2x ＋1； (2)p ：a 2＋b 2＝0，q ：a ＋b ＝0；(3)p ：x ＝1或x ＝2，q ：x －1＝x －1；解 (1)∵x 2＝2x ＋1x ＝2x ＋1，x ＝2x ＋1⇒x 2＝2x ＋1， ∴p 是q 的必要不充分条件． (2)∵a 2＋b 2＝0⇒a ＝b ＝0⇒a ＋b ＝0， a ＋b ＝0a 2＋b 2＝0，∴p 是q 的充分不必要条件．(3)∵当x ＝1或x ＝2成立时，可得x －1＝x －1成立，反过来，当x －1＝x －1成立时，可以推出x ＝1或x ＝2，∴p 既是q 的充分条件也是q 的必要条件．规律方法要判断p 是否是q 的充分条件，就要看p 能否推出q ，要判断p 是否是q 的必要条件，就要看q 能否推出p .跟踪演练1 下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件) (1)若x ＝1，则x 2－4x ＋3＝0； (2)若f (x )＝x ，则f (x )为增函数； (3)若x 为无理数，则x 2为无理数； (4)若x ＝y ，则x 2＝y 2；(5)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； (6)若a ＞b ，则ac ＞bc .要点二充分条件、必要条件与集合的关系例2 是否存在实数p ，使4x ＋p <0是x 2－x －2>0的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；否则，说明理由．解由x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1，令A ＝{x |x >2，或x <－1}，由4x ＋p <0，得B ＝{x |x <－p4}，当B ⊆A 时，即－p4≤－1，即p ≥4，此时x <－p4≤－1⇒x 2－x －2>0，∴当p≥4时，4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件．规律方法(1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；若p是q 的充分不必要条件，则A B.(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．跟踪演练2已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围．1．“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．既不是充分条件，也不是必要条件D．既是充分条件，也是必要条件答案 C解析∵－2<x<1 x>1或x<－1，且x>1或x<－1D－2<x<1，∴“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的既不充分条件，也不必要条件．2．“a>b”是“a>|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析由a>|b|⇒a>b，而a>b推不出a>|b|.3．若“x<m”是“(x－1)(x－2)>0”的充分不必要条件，求m的取值范围．解由(x－1)(x－2)>0可得x>2或x<1，由已知条件，知{x |x <m }{x |x >2，或x <1}． ∴m ≤1.1．充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：利用逆否命题的等价性判断，即要证p ⇒q ，只需证它的逆否命题q ⇒p 即可；同理要证p ⇐q ，只需证q ⇐p 即可．(3)利用集合间的包含关系进行判断．2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．一、基础达标1．a <0，b <0的一个必要条件为( )A ．a ＋b <0B ．a －b >0 C.ab >1D.ab<－1 答案 A 解析 a ＋b <0a <0，b <0，而a <0，b <0⇒a ＋b <0. 2．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．既是充分条件，也是必要条件D ．既不是充分条件，也不是必要条件答案 C3．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．a >0C ．a <－1D ．a <1答案 C解析 ∵一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一正根和一负根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1x 2<0.即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a >0，1a<0⇔a <0，本题要求的是充分不必要条件．由于{a |a <－1}{a |a <0}，故答案应为C.4．下列不等式：①x ＜1；②0＜x ＜1；③－1＜x ＜0；④－1＜x ＜1.其中，可以为x 2＜1的一个充分条件的所有序号为________．答案 ②③④解析由于x 2＜1即－1＜x ＜1，①显然不能使－1＜x ＜1一定成立，②③④满足题意． 5．不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x <－1，则a 的取值范围是________．答案 a >2解析根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1) {x |(a ＋x )(1＋x )<0}，故有a >2.6．设a ，b 为实数，那么“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的什么条件？解 ∵0<ab <1，∴a ，b 同号，且ab <1. ∴当a >0，b >0时，a <1b ；当a <0，b <0时，b >1a .∴“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分条件．而取a ＝－1，b ＝1，显然有a <1b ，但不能推出0<ab <1，故“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分而不必要条件．7．已知p ：2x 2－3x －2≥0，q ：x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0，若p 是q 的充分不必要条件．求实数a 的取值范围．8．已知条件p ：|x －1|>a 和条件q ：2x 2－3x ＋1>0，求使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a .解依题意a >0.由条件p ：|x －1|>a ，即p⇒q，反之不成立．∴最小正整数a＝1.。

集合论--第6讲关系的幂

基本性质
证明
(1)对n用归纳法。
若n=0, Rm ◦ R0= Rm ◦ IA=Rm=Rm+0
假设Rm ◦ Rn=Rm+n
则Rm ◦ Rn＋1 = Rm ◦ (Rn ◦ R)
= (Rm ◦ Rn) ◦ R
= Rm+n ◦ R
= Rm+n+1
(2)同理可证明。
基本性质
定理6.3
设R是A上的关系，若存在自然数s,t(s<t)
R={<a,b>,<b,a>,<b,c>, <c,d>}。
写出R的关系矩阵和关系图，并用之求R2和
R3的关系矩阵和关系图。
例子
解
R={<a,b>,<b,a>,<b,c>, <c,d>}

=

=

Fra bibliotek

=

其中计算过程中的加法+是逻辑加,即
0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1，
则Mn是Rn的关系矩阵。
求幂方法
注意
3
关系图: 给定R的关系图G,构造Rn的关系图Gn如下：
其顶点集与G相同,对任意两个顶点x,y,从x到y连一
条边当且仅当在G中有从顶点x到顶点y的步长为n
的走法。
例子

集合的概念讲解版

集合的概念一.基础知识点完美梳理，专治各种不解1.集合与元素2.集合与元素间的关系3.集合中元素的特征4.数集的种类5.列举法6.描述法7.集合的分类8.韦恩图9.区间（部分教材先出现，故在此涉及）二.决胜高考知识点提升，专治各种不服证明：1.证明：奇数间运算性质2.证明：偶数间运算性质3.证明：奇数，偶数间运算性质三.6本教材优秀习题升华与拓展：共7题四.基础题，中等题，稍难题集中训练：共20题五.难题高考达标（数学联赛，数学竞赛，强基计划，自主招生可参考部分例题）：共13题一.基础知识点完美梳理，专治各种不解：1.集合与元素：（1）一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些能够确定的，不同的元素组成的总体叫做集合，简称集。

（2）我们通常用大写的拉丁字母I，L，O，V,E.....表示集合，用小写的拉丁字母y，o，u，.....表示元素。

2.集合与元素间的关系：（1）属于：如果元素a是集合A中的元素，就说元素a属于集合A，记作a∈A。

举例1：你∈{亲，爱，的，周，游，很，高，兴，认，识，你}。

（2）不属于：如果元素a不是集合A中的元素，就说元素a不属于集合A，记作a∉A。

有些资料上也记做∈。

举例1：我∉{亲，爱，的，周，游，很，高，兴，认，识，你}。

要开心哦！！！！！！！！！！！！3.集合中元素的特征：（1）确定性：给定的集合，它的元素的性质必须是明确的，不允许有模棱俩可，含混不清的情况，也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就是确定了的，属于或不属于。

举例1：帅的小哥哥他们作为元素就不可以构成一个集合哦，因为帅没有一个评判的标准的哦！每个人都可以很帅，每个人都是这个宇宙中独一无二的存在！（2）互异性：对于给定的集合，集合中任意两个元素都是互不相同的，不存在重复出现的情况，相同的元素归入同一集合中只能算作集合的一个元素。

举例1：词语“憨憨”中的汉字作为元素构成的集合A={憨}，不可以写成{憨，憨}哦！集合{sin450，sin300，cos600，1}的写法是错误的，正确写法：{sin450，sin300，1}或{sin450，cos600，1}。

第6讲银行流动性管理和资产负债管理

31.0
23.0
¨ 减：预测新增交易性存款*

¨
活期存款
-6.5
105.5
¨
协议存款
0.4
5.5
¨
货币市场存款
1.6
3.0
总运用
173.0
155.0
¨ 潜在资金来源
¨ 加：到期证券投资
¨
货币市场金融工具
8.0
¨
国债券
7.5
¨
政府机构债券和金融机构债券 2.5
¨ 加：贷款本金偿还总来源
80.0 98.0
¨ 表11-4 银行流动性缺口估算（单位：百万元）
¨ 项目
0-30天 31-90天
¨ 潜在资金运用
¨ 加：到期定期存款
¨
小额定期存款
5.5
8.0
¨
大额定期存单
40.0
70.0
¨
欧洲货币存款
10.0
10..0
¨ 加：预测新增贷款
¨
工商贷款
60.0
112.0
¨
消费者贷款
22.0
46.0
¨
不动产和其他贷款
第6讲银行流动性管理和资产负债管理
银行流动性的测量
资产流动性的测量对资产流动性的测量涉及到银行以最小成本将资产迅速地转换成可用现金的能力。
¨ 现金资产/总资产（或总存款） ¨ 流动性资产/总资产（流动负债） ¨ 总贷款/总存款
第6讲银行流动性管理和资产负债管理
负债流动性的测量
对负债流动性的测量涉及到银行是否能够以合理的价格随时在市场上发行新的债务，获取所需资金。因此，对银行负债流动性的测量较为复杂，它需要综合考察银行的资产质量、资本充足度、所有未清偿债务的组合等。

第6讲紧性与连续映射

j =1
j
1
k
, n x′ } 时，
k
O( x′j , rx′ ) ∩ {xn ; n ≥ m} = ∅ ，从而
j
{xn ; n ≥ m} ⊂ ∪ O( x′j , rx′ ) ∩ {xn ; n ≥ m} = ∅ ，
j =1
j
k
矛盾．反之，为证 A 紧，设 {Bλ ; λ ∈ Λ} 是 A 的一族开覆盖． ∀x ∈ A ， ∃Bλ ， x ∈ Bλ ． Bλ 是开集，故存在 r > 0 ， O( x, r ) ⊂ Bλ ．记 rx = sup{r; O( x, r ) ⊂ Bλ , λ ∈ Λ} ，显然 rx > 0 ．我们证明
x∈E
（4）称 A 是完全有界的，若 ∀ε > 0 ， X 中存在由有限个元素构成的 A 的 ε 网．注意，在定义 1（3）中，作为 A 的 ε 网的集合 E ，并没有要求 E ⊂ X ．对于一个集合来说，是否要求 E ⊂ X 并不改变其完全有界性．首先让我们来看一个例子．对于 X =
2
，若 en = (0,
定理 5 （Arzela-Ascoli）连续函数族．证明充分性．由于 C (Ω ) 的完备性只须证明 K 完全有界．
（1） A 是有界集．（2） A 是完全有界集．（3） A 是相对紧集．特别地，在有限维线性赋范空间中 A 是紧集当且仅当 A 是有界闭集．证明（3） ⇒ （2） ⇒ （1）是显然的．（1） ⇒ （3）根据 Bolzano-Weierstrass 定理得到．定理 4 设 X ， Y 是度量空间，其中 X 紧， T : X → Y 是连续映射，则
i =1
2
d ( xm , xn ) ≥ r0 (m ≠ n) ． {xn } 无收敛子序列，与（ 2 ）矛盾．于是对于 ( xi , r0 ) ⊃ A ．设 O( xi , r0 ) ⊂ Bλ ，则 ∪ Bλi ⊃ ∪ O ( xi , r0 ) ⊃ A ，A 被有限覆盖． {Bλ ; λ ∈ Λ}