新初中数学锐角三角函数的技巧及练习题

新初中数学锐角三角函数的技巧及练习题

一、选择题

1．如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于12

CD 为半径作弧，两弧交于点M ，N ；②作直线MN ，且MN 恰好经过点A ，与CD 交于点E ，连接BE ，则下列说法错误的是（ ）

A ．60ABC ∠=︒

B ．2ABE ADE S S ∆=V

C ．若AB=4，则7BE =

D ．21sin 14

CBE ∠= 【答案】C

【解析】

【分析】 由作法得AE 垂直平分CD ，则∠AED=90°，CE=DE ，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而得到∠ABC=60°；利用AB=2DE 得到S △ABE =2S △ADE ；作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，则可计算出CH=12

CE=1，337 ；利用正弦的定义得sin ∠CBE=

21EH BE =． 【详解】

解：由作法得AE 垂直平分CD ，

∴∠AED=90°，CE=DE ，

∵四边形ABCD 为菱形，

∴AD=2DE ，

∴∠DAE=30°，∠D=60°，

∴∠ABC=60°，所以A 选项的说法正确；

∵AB=2DE ，

∴S △ABE =2S △ADE ，所以B 选项的说法正确；

作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，

在Rt △ECH 中，∵∠ECH=60°，

CH=12CE=1，EH=3CH=3， 在Rt △BEH 中，BE=22(3)527+=，所以C 选项的说法错误；

sin ∠CBE=

32114

27EH BE ==，所以D 选项的说法正确． 故选C ．

【点睛】

本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．

2．如图，在ABC ∆中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且12

MN BC =，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，设BM x =，BMD ∆的面积减去CNE ∆的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】

【分析】

设a ＝12BC ，∠B ＝∠C ＝α，求出CN 、DM 、EN 的长度，利用y ＝S △BMD −S △CNE ，即可求解． 【详解】 解：设a ＝12

BC ，∠B ＝∠C ＝α，则MN ＝a ， ∴CN ＝BC−MN−BM ＝2a−a−x ＝a−x ，DM ＝BM·

tanB ＝x·tanα，EN ＝CN•tanC ＝（a−x ）·tanα， ∴y ＝S △BMD −S △CNE ＝12

（BM·DM−CN·EN ）＝()()221tan tan 22

2x a x a tan x a ααα⋅⎡⎤⋅-⋅=⎣⎦--， ∵

2a tan α⋅为常数， ∴上述函数图象为一次函数图象的一部分，

故选：A ．

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．

3．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ，双翼的边缘AC ＝BD ＝54cm ，且与闸机侧立面夹角∠PCA ＝∠BDQ ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为( )

A ．(543+10) cm

B ．(542+10) cm

C ．64 cm

D ．54cm

【答案】C

【解析】 【分析】 过A 作AE ⊥CP 于E ，过B 作BF ⊥DQ 于F ，则可得AE 和BF 的长，依据端点A 与B 之间的距离为10cm ，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．

【详解】

如图所示，

过A 作AE ⊥CP 于E ，过B 作BF ⊥DQ 于F ，则

Rt △ACE 中，AE=

12AC=12

×54=27（cm ）， 同理可得，BF=27cm ，

又∵点A 与B 之间的距离为10cm ， ∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm ），

故选C ．

【点睛】

本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．

4．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，CD 是AB 边上的中线，作CD 的中垂线与CD 交于点E ，与BC 交于点F ．若CF ＝x ，tanA ＝y ，则x 与y 之间满足（ ）

A ．2244x y

+= B ．2244x y -= C ．2288x y -= D ．2288x y

+= 【答案】A

【解析】

【分析】

由直角三角形斜边上的中线性质得出CD ＝

12AB ＝AD ＝4，由等腰三角形的性质得出∠A ＝∠ACD ，得出tan ∠ACD ＝GE CE

＝tan A ＝y ，证明△CEG ∽△FEC ，得出GE CE CE FE ，得出y ＝2FE ，求出y 2＝24FE ，得出24y

＝FE 2，再由勾股定理得出FE 2＝CF 2﹣CE 2＝x 2﹣4，即可得出答案．

【详解】

解：如图所示：

∵在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，CD 是AB 边上的中线，

∴CD ＝

12

AB ＝AD ＝4， ∴∠A ＝∠ACD ，

∵EF 垂直平分CD ， ∴CE ＝12

CD ＝2，∠CEF ＝∠CEG ＝90°， ∴tan ∠ACD ＝

GE CE ＝tanA ＝y ， ∵∠ACD+∠FCE ＝∠CFE+∠FCE ＝90°，

∴∠ACD ＝∠FCE ，

∴△CEG ∽△FEC ， ∴GE CE ＝CE FE

， ∴y ＝2FE

， ∴y 2＝

24FE ， ∴24y

＝FE 2， ∵FE 2＝CF 2﹣CE 2＝x 2﹣4， ∴24y

＝x 2﹣4， ∴24y

+4＝x 2， 故选：A ．