数学竞赛平面几何讲座5讲第三讲点共线、线共点

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证明点、线共面,线共点,点共线

（4）主要题型：1、证明点、线共面，线共点，点共线。

2、异面直线的‎判定和所成‎的角。

主要方法：①、向量法：利用公式b a b a b a ⋅⋅=,cos ，注意向量所‎成的角的取‎值范围是[0,π],异面直线所‎成的角的范‎围是（0,π/2],所以应用向‎量的方法解‎决异面直线‎所成角的问‎题时，若应取绝对‎0,cos <b a 值。

②、平移法：用线线平行‎性质将两异‎面直线移至‎同一三角形‎中，用余弦定理‎求解。

③、补形法。

3、线线、线面、面面平行与‎垂直的证明‎。

2、空间向量（约8节）（1）、考纲要求：①理解空间向‎量的概念，掌握空间向‎量的加法、减法和数乘‎．②了解空间向‎量的基本定‎理．理解空间向‎量坐标的概‎念，掌握空间向‎量的坐标运‎算．③掌握空间向‎量的数量积‎的定义及其‎性质．掌握用直角‎坐标计算空‎间向量数量‎积的公式．掌握空间两‎点间距离公‎式．④理解直线的‎方向向量、平面的法向‎量、向量的平面‎内的射影等‎概念．（2）、课时安排：9．5空间向量‎及其运算约5课时9．6空间向量‎的直角坐标‎及其运算约3课时（3）、教材分析与‎教学建议: 几何发展的‎根本出路是‎代数化，引入向量研‎究几何是几‎何代数化的‎需要。

本节内容大‎致可分为“空间向量及‎其运算”与“空间向量的‎应用”。

有了平面向‎量以及第一‎大节中空间‎平行概念的‎基础，向量及其运‎算由平面向‎空间推广对‎学生已不再‎有很大困难‎ ，但仍要一步‎步地去进行‎。

例如，要一步步地‎验证空间向‎量的运算法‎则及运算律‎。

这样做，既可以温故‎知新，又可以进一‎步培养空间‎想象能力。

“空间向量”的第二小节‎ ，首先引入空‎间直角坐标‎系，使向量运算‎完全坐标化‎ 。

在去掉基底‎后，空间向量与‎三维实数组‎一一对应，这样就使运‎算更加方便‎。

实际教学中‎，教师普遍采‎用传统处理‎，其主要原因‎是教师熟悉‎传统处理，这使得通过‎试验选择一‎种方案的想‎法落空。

高中数学竞赛讲义(平几)

高中数学竞赛讲义（十六）──平面几何一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）梅涅劳斯定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三点共线，则梅涅劳斯定理的逆定理条件同上，若则三点共线。

塞瓦定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三线平行或共点，则塞瓦定理的逆定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若则三线共点或互相平行。

角元形式的塞瓦定理分别是ΔABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则平行或共点的充要条件是广义托勒密定理设ABCD为任意凸四边形，则AB?CD+BC?AD≥AC?BD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号。

斯特瓦特定理设P为ΔABC的边BC上任意一点，P不同于B，C，则有AP2=AB2?+AC2?-BP?PC.西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。

西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。

九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。

蒙日定理三条根轴交于一点或互相平行。

（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）欧拉定理ΔABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且二、方法与例题1．同一法。

即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。

例1 在ΔABC中，∠ABC=700，∠ACB=300，P，Q为ΔABC内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠PBQ=∠PCB=200，求证：A，P，Q三点共线。

[证明] 设直线CP交AQ于P1，直线BP交AQ于P2，因为∠ACP=∠PCQ=100，所以，①在ΔABP，ΔBPQ，ΔABC中由正弦定理有，②，③④由②，③，④得。

又因为P1，P2同在线段AQ上，所以P1，P2重合，又BP 与CP仅有一个交点，所以P1，P2即为P，所以A，P，Q共线。

平面几何中三点共线的常见解法

2叙嗲活幼嫘歿讲；I中等数学平面几何中三点共线的常见解法T S J瑜(天津师范大学数学科学学院2019级硕士研究生，300387 )中图分类号:〇123.1 文献标识码:A文章编号：1005 - 6416(2021)04 - 0002 - 06(本讲适合高中）证明三点共线是数学竞赛中的一种常见题型.本文结合近几年国内外数学竞赛中的典型例题介绍几种常见的解题方法.1利用梅涅劳斯定理的逆定理例 1 已知的三条中线A4'、与其九点圆分别交于点£>、£、厂直线fiC、C4、仙上的点L、M、iV分别为A/lfiC 的三条高线的垂足，九点圆上以Z)、瓦、F为切点的三条切线与直线M/V、L/V、L M分别交于点'(?、/?.证明:P、<?、/?三点共线.[1](第17届地中海地区数学竞赛）证明如图1，设A/I S C的重心为C.图1由梅涅劳斯定理的逆定理，知只要证收稿日期:2020-11 -18NP MR LQ^p m'~r l'q n='A P D N c^^PMD.别得+h.NP^apdn ND1^P M~S^d m~DM2'^./i U X i U MR MF2LQ LE2类似地，RL = Fl T#= Ei y r为证式①成立，只要证ND MF LEd m'~f l'e n='②在A和A中，由正弦定理分ND ADsin Z BAG~ sin Z A N D'MD ADsin 乙 CAG sin Z A M D '两式相除得ND sin Z CAG sin AMDDM sin Z BAG sin Z ANDsin Z B'A'D B'D③sin C'A'D~C'D '类似地，MF sin Z BCGFL sin Z ACGA'FB'F，④LE sin 乙 ABG C'E⑤EN sin Z CBG A'E '对A4S C和点G应用角元塞瓦定理知sin /_ BAG sin X ACG sin X CBG_ .⑥sin CAG sin /_ BCG sin 乙ABG2021年第4期3③〜⑥四式相乘得ND MF LE BfD ArF C E----•—• — —-----•------•DM FL EN~ C'D B'F A'E'又由六点共圆，则A G D B'c^^GEA'B'D DGZ E =£G '米加她 A，F FG C，E EG类似地，C,Z)—D G W F— F G .三式相乘并代人式⑦，即得式②成立.【注】对于证明中的式⑦，由于圆内接凸六边形水/满足氺£)、57、(：7三线共点，由角元塞瓦定理的推论也可得A'F B'D C'E~FB''15C''~EA'=j即式⑦右边=1.2利用平角的定义或角相等(1)如图，…，/)…为平面上 » +3个点，若Z A B D t +Z D'BD2+.._+Z D…B C= M)。

数学竞赛平面几何讲座5讲(第3讲点共线、线共点)

，或证明第3条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明。

证如图。

延长ha到m，证如图，过p向三边作垂线，垂足分别为r，s，t。

易知p，r，a，s；p，t，b，r；=∠prs+∠prt=∠srt。

由条件知∠srt=∠rst，所以rt=st。

由角平分线定理知。

例7 o1与 o2外切于p点，qr为两圆的公切线，其中q，r分别为 o1， o2上的切点，过q 且垂直于qo2的直线与过r且垂直于ro1的直线交于点i，in垂直于o1o2，垂足为n，in与qr交于点m。

证明：pm，ro1，qo2三条直线交于一点。

证如图，设ro1与qo2交于点o，连mo，po。

因为∠o1qm=∠o1nm=90°，所以q，o1，n，m四点共圆，有∠qmi=∠qo1o2。

而∠iqo2=90°=∠rqo1，所以∠iqm=∠o2qo1，故△qim∽△qo2o1，得同理可证。

因此①因为qo1∥ro2，所以有②由①，②得mo∥qo1。

又由于o1p=o1q，po2=ro2，所以，即op∥ro2。

从而mo∥qo1∥ro2∥op，故m，o，p三点共线，所以pm，ro1，qo2三条直线相交于同一点。

3. 塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用。

证如图，由三角形面积的性质，有, , .以上三式相乘，得 .定理2 (定理1的逆定理):由定理1有 . 而，所以.定理3 (梅涅劳斯(menelaus)定理):证如图，由三角形面积的性质，有, , .将以上三式相乘，得 .定理4 (定理3的逆定理):则p，q，r三点共线。

定理4与定理2的证明方法类似。

塞瓦定理和梅涅劳斯定理在证明三线共点和三点共线以及与之有关的题目中有着广泛的应用。

①因为ah是∠bad的角平分线，由角平分线定理知。

代入①式得②代入②式得.梅涅劳斯定理，得， .， .，由题意知rt△oad∽rt△pah，于是有.则有.求证：r，t，s三点共线。

先证两个引理。

引理1:，， .将上面三式相乘即得，引理2：该引理与定理2的证明方法类似，留给读者。

高三数学解题方法谈：例谈共点、共线、共面问题

例谈共点、共线、共面问题平面的基本性质是研究立体几何的基础，其中共线、共点、共面问题是立体几何中一类不可忽视的问题，为了使同学们很好的掌握这部分内容，本文就些问题加以例析，以供参考．一、共线问题证明点共线，常常采用以下两种方法：①转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；②证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点都在这条直线上．例1 如图1，正方体1111ABCD A BC D -中，1AC 与截面1DBC 交O 点，ACBD ，交M 点，求证：1C O M ，，三点共线．证明：连结11AC ，1C ∈平面11A ACC ，且1C ∈平面1DBC ，1C ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点．又M AC M ∈∴∈，平面11A ACC ．M BD M ∈∴∈，平面1DBC ．M ∴也是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点． 1C M ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的交线． O 为1AC 与截面1DBC 的交点，O ∴∈平面11A ACC O ∈，平面1DBC ，即O 也是两平面的公共点．1O C M ∈∴，即1C M O ，，三点共线．二、共点问题证明线共点，就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点．解决此类问题的一般方法是：先证其中两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上．例 2 如图2，已知空间四边形ABCDE F ，，分别是AB AD ，的中点，G H ，分别是BC CD ，上的点，且2BG DH GC HC==，求证：EG FH AC ，，相交于同一点P ．证明：E F ，分别是AB AD ，的中点，EF BD ∴∥，且12EF BD =．又2BG DH GC HC==， GH BD ∴∥，且13GH BD =． EF GH ∴∥，且EFGH >．∴四边形EFHG 是梯形，其两腰必相交，设两腰EG FH ，相交于一点P ，EG ⊂∵平面ABC FH ⊂，平面ACD ，P ∴∈平面ABC P ∈，平面ACD ，又平面ABC 平面ACD AC P AC =∴∈，．故EG FH AC ，，相交于同一点P ．三、共面问题证明空间的点、线共面问题，通常采用以下两种方法：①根据已知条件先确定一个平面，再证明其他点或直线也在这个平面内；②分别过某些点或直线作两个平面，证明这两个平面重合．例3 如图3，设P Q R S M N ，，，，，分别为正方体1111ABCD A BC D -的棱111111A B B C C C C D A D A A，，，，，的中点，求证：P Q R S M N ，，，，，共面．证明：如图3，连结1A BMQ NR ，，．P N ，分别为1AB A A ，的中点，1A B PN ∴∥．111A D BC A M BQ ∴，∥∥．M Q ，分别为11A D BC ，的中点，1AM BQ ∴=．∴四边形1A BQM 为平行四边形．1A B MQ ∴∥．PN MQ ∴∥．因此，直线PN MQ ，可确定一个平面α．同理，由PQ NR ∥可知，直线PQ NR ，确定一个平面β．过两条相交直线PN PQ ，有且只有一个平面，α∴与β重合，即R α∈．同理可证S α∈．因此，P Q R S M N ，，，，，共面．。

赣县中学高中数学竞赛平面几何第5五讲梅捏劳斯定理

第五讲梅涅劳斯(Menelauss)定理及其应用一、知识要点：梅涅劳斯定理：如果一条直线和ABC ∆的三边BC 、CA 、AB （或其延长线）交于P 、Q 、R 三点，那么1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP （注：直线PQR 叫做ABC ∆的莱莫恩（Lemoine ）线） RP A B C Q AB CPQ R 证法一：证法二：2、梅涅劳斯定理逆定理：设P 、Q 、R 分别是ABC ∆的三边BC 、CA 、AC上或它们延长线上三点，若有1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ，则P 、Q 、R 三点在同一直线上 RP A B C Q AB CPQ R 证明：二、要点分析：梅涅劳斯定理及其逆定理在几何证明中有着广泛的应用，而且往往使证明过程异常简捷，思路流畅，难度趋易。

在应用梅涅劳斯定理时要抓住“哪条直线截哪个三角形”，其逆定理常应用于证明三点共线问题。

三、例题讲解例1、设AD 为ABC ∆的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于E,交AB 于F,求证：FBAF ED AE 2= AB C D EF例2、已知D 、F 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，且AD:DB=CF:FA=2:3,连DF 交BC 边的延长线于E ，那么EF:FD=________AB C E FD例3、设ABC ∆的A ∠的外角平分线与BC 的延长线交于P,B ∠的平分线与AC 交于Q,C ∠的平分线和AB 交于R,求证：P 、Q 、R 三点共线 AB C R QP例4、在ABC ∆中，M 是BC 的中点，BC 的中垂线分别交AC 于P,交BA的延长线于Q,且PM=PQ,求证：)sin(3sin C B A -= AB C M PQ例5、设AM 是ABC ∆的边BC 上的中线，任作一直线分别交AB 、AC 、AM 于P 、Q 、N,求证：NANM QA QC PA PB 2=+ AC B M QNP第五讲梅涅劳斯定理(Menelauss)及其应用练习1、在ABC ∆的两边AB 、AC 上分别取点Q 、R,满足AQ:QB=2:1,AR:RC=1:2,连接QR 交CB 延长线于P,则_____=PBPC AB C P Q R2、如图：在平行四边形ABCD ，DC=12,CE=4,CB=10,则CF=_______ A B C DO E F3、如图，在ABC ∆中，D 在BC 边上且使23=DC BD ,E 在AD 上，使65=ED AE ,BE 交AC 于F,则______=EF BE AB C D EF4、设D 、E 分别在ABC ∆的边AC 和AB 上，BD 与CE 交于F,AE=EB,32=DC AD ,40=∆ABCS ,求AEFD S AC B E DF5、如图，过ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于P 、Q 、R,求证：P 、Q 、R 三点共线P。

初中数学竞赛：点共线、线共点

初中数学竞赛点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。

1. 点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。

n (n ≥4)点共线可转化为三点共线。

例1 如图，设线段AB 的中点为C ，以AC 和CB 为对角线作平行四边形AECD ，BFCG 。

又作平行四边形CFHD ，CGKE 。

求证：H ，C ，K 三点共线。

证连AK ，DG ，HB 。

由题意，AD EC KG ，知四边形AKGD 是平行四边形，于是AK DG 。

同样可证AK HB 。

四边形AHBK 是平行四边形，其对角线AB ，KH 互相平分。

而C 是AB 中点，线段KH 过C 点，故K ，C ，H 三点共线。

例2 如图所示，菱形ABCD 中，∠A =120O 为△ABC 外接圆，M 为其上一点，连接MC 交AB 于E ，AM 交CB 延长线于F 。

求证：D ，E ，F 三点共线。

证如图，连AC ，DF ，DE 。

因为M在O 上，则∠AMC =60°=∠ABC =∠ACB有△AMC ∽△ACF ，得CDCFCA CF MA MC ==。

又因为∠AMC =BAC ，所以△AMC ∽△EAC ，得AEADAE AC MA MC ==。

所以AEADCD CF =，又∠BAD =∠BCD =120°，知△CFD ∽ △ADE 。

所以∠ADE =∠DFB 。

因为AD ∥BC ，所以∠ADF =∠DFB =∠ADE ，于是F ，E ，D 三点共线。

AB CD E FH K G例3 四边形ABCD 内接于圆，其边AB 与DC 的延长线交于点P ，AD 与BC 的延长线交于点Q 。

由Q 作该圆的两条切线QE 和QF ，切点分别为E ，F 。

求证：P ，E ，F 三点共线。

证如图。

连接PQ ，并在PQ 上取一点M ，使得B ，C ，M ，P 四点共圆，连CM ，PF 。

高中数学竞赛-平面几何讲义(很详细)

HBC
（5）H 关于三边的对称点在△ABC 的外接圆上，关于三边中
点的对称点在△ABC 的外接圆上
（6）三角形任一顶点到垂心的距离
A
等于外心到对边的距离的 2 倍。（7）设△ABC 的垂心为 H，外接圆
F
B'
半径为 R，
OH E
则 HA HB HC 2R B | cos A | | cos B | | cosC |
A
M
N
B
EF
C
D
证明：设∠BAE=∠CAF= ，∠EAF=
则
S AMDN

1 2
AM

AD sin

1 2
AD
AN sin(

)
= 1 AD[AF cos( )sin AF cos sin( )
2
= 1 AD AF sin(2 ) AF AD BC
从而 AB A' F = AC A' E ，又∠AFE=∠AEF
故
S△ABA’=
1 2
sin
AFE

AB

A'
F
=
1 2
s
in
A
EF

A
C

A'
E
=S△ACA’
由此式可知直线 AA’必平分 BC 边，即 AA’必过△
ABC 的重心
同理 BB’，CC‘必过△ABC 的重心，故结论成立。
例 3．设△ABC 的三条高线为 AD，BE，CF，自 A， B，C 分别作 AK EF 于 K，BL DF 于 L， CN ED 于 N，证明：直线 AK，BL，CN 相交于一点。

平面几何中的共线与共面问题

平面几何中的共线与共面问题在平面几何中，共线与共面问题是研究几何图形中点、线、面之间位置关系的重要内容。

共线是指多个点在同一条直线上，共面是指多个点在同一个平面上。

本文将介绍共线与共面的定义、判定方法以及应用。

一、共线的定义与判定共线是指多个点在同一条直线上。

在平面几何中，判定多个点是否共线的方法有多种，下面将介绍常用的判定方法。

1.1 三点共线三点共线是指三个点在同一条直线上。

判定三个点共线的方法有很多，其中最常用的方法是通过计算斜率。

首先，选取其中两点A、B，计算斜率 k1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)；然后，选取另外两点B、C，计算斜率 k2 = (y3 - y2) / (x3 - x2)；最后，若 k1 = k2，则三个点A、B、C共线。

1.2 多点共线判定多个点是否共线时，除了计算斜率的方法外，还可以通过构造向量的方法进行判定。

对于n个点 A1(x1, y1)、A2(x2, y2)、...、An(xn, yn)，构造两个向量V1 = A2 - A1，V2 = A3 - A1；然后，计算两个向量的叉积 V = V1 × V2；最后，若 V = 0，则n个点共线。

二、共面的定义与判定共面是指多个点在同一个平面上。

在平面几何中，判定多个点是否共面的方法和共线类似，下面将介绍常用的判定方法。

2.1 四点共面四点共面是指四个点在同一个平面上。

判定四个点共面可利用行列式的方法进行判断。

选取四个点A、B、C、D，将它们的坐标表示为矩阵的形式：A = (x1, y1, z1),B = (x2, y2, z2),C = (x3, y3, z3),D = (x4, y4, z4)；然后，构造3阶行列式det(A, B, C, D) = |1 x1 y1 z1 ||1 x2 y2 z2 ||1 x3 y3 z3 ||1 x4 y4 z4 |；若 det(A, B, C, D) = 0，则四个点A、B、C、D共面。

平面内三点共线定理

平面内三点共线定理指出，如果在平面上有三个点A、B 和C，则这三个点共线的充分必要条件是，它们所形成的线段AB 和BC 的斜率相等。

换句话说，在直角坐标系中，如果点A 的坐标为(x1, y1)，点B 的坐标为(x2, y2)，点C 的坐标为(x3, y3)，则这三点共线的条件是：
斜率AB = 斜率BC
即
(y2 - y1) / (x2 - x1) = (y3 - y2) / (x3 - x2)
这个条件可以用来检验三个点是否共线。

如果上述等式成立，则这三点共线；若不成立，则三点不共线。

需要注意的是，当两个点的坐标相同时，计算斜率时会出现分母为零的情况。

此时，可以单独处理这种情况，例如，将这两个点视为共线，或者根据具体问题进行其他判断。

数学竞赛专题讲座平面几何

提示：设 AM CN r 0 AC CD
利用面积得图中的一些线段比. 对△DEC 运用梅涅劳斯定理可得关于 r 的方程,解方程即可.
二、平面几何的常用方法：
三．书籍推荐
（1）《奥赛经典--奥林匹克数学中的几何问题》沈文选，张垚，冷岗松编著湖南师范大学出版社
这本书中高中竞赛平面几何需要的定理介绍的非常全面，且里面的例题比较经典，能帮助我们很好的对知识点进行理解,适合高中几何初学者了解平面几何知识，后面例题有困难的话可以留到对几何知识基本掌握了再练习。
平面几何的几个重要的定理
3、塞瓦定理：
设 P、Q、R 分别是 ABC的BC、CA、AB 边上的点 , 则
AP、BQ、CR 三线共点的充要条件是:
BP PC
CQ QA
AR RB
1.
A
R M
Q
B
PC
平面几何的几个重要的定理
西姆松定理及其逆定理: 若从△ABC 外接圆上一点作 BC、AB、AC 的垂线，
垂足分别为 D、E、F ，则 D、E、F 三点共线. 反过来也成立.
这条直线叫西姆松线.
（二）三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.
关于三角形的五心,主要掌握三个方面的问题: 一.这五心是怎么来的二.与五心有关的性质
三.与三角形的五心有关的几何竞赛题.
重心:三角形三条中线的交点.△ABC 的重心一般用字母 G 表示，它有如下的性质：
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线．几何不等式．几何极值问题．几何中的变换：对称、平移、旋转．圆的幂和根轴．面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法．
（一）、平面几何的几个重要的定理 1、梅涅劳斯定理及其逆定理

高中数学竞赛专题讲座---平面几何选讲

平面几何选讲反演变换基础知识一. 定义1. 设O 是平面π上的一个定点，k 是一个非零常数．如果平面π的一个变换，使得对于平面π上任意异于O 的点A 与其对应点'A 之间，恒有（1）',,A O A 三点共线；（2）'OA OA k ⋅=，则这个变换称为平面π的一个反演变换，记做(,)I O k ．其中，定点O 称为反演中心，常数k 称为反演幂，点'A 称为点A 的反点．2. 在反演变换(,)I O k 下，如果平面π的图形F 变为图形'F ，则称图形'F 是图形F 关于反演变换(,)I O k 的反形．反演变换的不动点称为自反点，而反演变换的不变图形则称为自反图形．3. 设两条曲线u v 、相交于点A ，l 、m 分别是曲线u v 、在点A 处的切线（如果存在），则l 与m 的交角称为曲线u v 、在点A 处的交角；如果两切线重合，则曲线u v 、在点A 处的交角为0．特别地，如果两圆交于点，那么过点作两圆的切线，则切线的交角称为两圆的交角．当两圆的交角为90时，称为两圆正交；如果直线与圆相交，那么过交点作圆的切线，则切线与直线的交角就是直线与圆的交角．当这个交角为90时，称为直线与圆正交．二. 定理定理1. 在反演变换下，不共线的两对互反点是共圆的四点．定理2. 在反演变换(,)I O k 下，设A B 、两点（均不同于反演中心O ）的反点分别为''A B 、，则有''B A =''kA B AB OA OB=⋅．定理3. 在反演变换下，过反演中心的直线不变．定理 4. 在反演变换下，不过反演中心的直线的反形是过反演中心的圆；过反演中心的圆的反形是不过反演中心的直线．定理5. 在反演变换下，不过反演中心的圆的反形仍是不过反演中心的圆．定理6. 在反演变换下，两条曲线在交点处的交角大小保持不变，但方向相反．定理7. 如果两圆或一圆一直线相切于反演中心，则其反形是两条平行直线；如果两圆或一圆一直线相切于非反演中心，则其反形（两圆或一圆一直线）相切．定理8.典型例题一. 证明点共线例1. ABC 的内切圆与边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，设L 、M 、N 分别是EF 、FD 、DE 的中点．求证：ABC 的外心、B内心与LMN 的外心三点共线．证明：如图，设ABC 的内心为I ，内切圆半径为r ．以内心I 为反演中心，内切圆为反演圆作反演变换2(,)I I r ，则A 、B 、C 的反点分别为L 、M 、N ，因而ABC 的反形是LMN的外接圆．故ABC 的外心、内心和LMN 的外心三点共线．二. 证明线共点例2. 四边形ABCD 内接于O ，对角线AC 与BD 相交于P ，设外心分别为1O 、2O 、3O 、4O ．求证：OP 、13O O 、24O O 证明：作反演变换(,)I P PC PA ⋅，则A 、C 互为反点，B 、D 互为反点，O 不变，直线1PO 不变，ABP 的外接圆的反形是直线CD ．由于直线1PO 与ABP 的外接圆正交，因而1PO 与CD正交，即有1PO CD ⊥．又3OO CD ⊥，所以13//PO O O ；同理31//PO O O ，所以四边形13PO OO 为平行四边形，从而13O O 过PO 的中点；同理24O O 也过PO 的中点．故OP 、13O O 、24O O 三线共点．三. 证明点共圆例3. 设半圆的直径为AB ，圆心为O ，一直线与半圆交于C 、D 两点，且与直线AB 交于M ．再设AOC 与DOB 的外接圆的第二个交点为N ．求证：ON MN ⊥．证明：以O 为反演中心作反演变换2(,)I O r ，其中，r 为半圆的半径，则半圆上的每一点都不变，()AOC 与()DOB 的反形分别为直线AC 、BD ．且设M 、N 的反点分别为'M 、'N ，则'N 为直线AC 与BD 的交点，'M 在直径AB 上，直线MN 的反形为''OM N 的外接圆，直线CD 的反形为CDO的外接圆．而'ON NM ON ⊥⇔是''OM N 外接圆的直径'''M N OM ⇔⊥．于是问题转化为证明'''M N OM ⊥．因为'AD BN ⊥，'BC AN ⊥，O 是AB 的中点，所以过O 、C 、D 三点的圆是'N AB的九点圆，而'M 在九点圆上，又在边AB 上（不同于O 点），故''M N AB ⊥，因此ON MN ⊥．四. 证明一些几何（不）等式O4例 4. 设六个圆都在一定圆内，每一个圆都与定圆外切，并且与相邻的两个小圆外切，若六个小圆与大圆的切点依次为1A 、2A 、3A 、4A 、5A 、6A ．证明：123456234561A A A A A A A A A A A A ⋅⋅=⋅⋅证明：如图以6A 为反演中心作反演变换6(,1)I A ，则O 与6O 的反形为两条平行线，其余5个圆的反形皆是与两条平行线中一条相切的圆；且反形中第一个圆与第五个圆均与两平行线相切，而其余三圆均与相邻的两圆相切．设1A 、2A 、3A 、4A 、5A 的反点分别为'1A 、'2A 、'3A 、'4A 、'5A，则其反形中的五个圆与两平行线中的一条（即O 的反形）依次切于'1A 、'2A 、'3A 、'4A 、'5A ；再设这五个圆的半径依次为1r 、2r 、3r 、4r、5r ，则由勾股定理可得''12A A==同理''23A A =，''34A A =''45A A =15r r =，于是''''''''12342345A A A A A A A A ⋅=⋅．但''12126162A A A A A A A A =⋅，''34346364A A A A A A A A =⋅，''23236263A A A A A A A A =⋅，''45456465A A A A A A A A =⋅．所以1234234561626364626364A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅342345636462636465A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅=⋅⋅⋅⋅故123456234561A A A A A A A A A A A A ⋅⋅=⋅⋅．练习：1. （2002土耳其数学奥林匹克）两圆外切于点A ，且内切于另一Γ于点B 、C ，另D 是小圆内公切线割Γ的弦的中点，证明：当B 、C 、D 不共线时，A 是BCD 的内切圆圆心．2. （第30届IMO 预选题）双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形．证明双心四边形的两个圆心与对角线的交点共线．3. （1997全国高中数学联赛）已知两个半径不等的圆1O 与圆2O 相交于M 、N 两点，圆1O 与圆2O 分别于圆O 内切于S 、T ．求证：OM MN ⊥的充分必要条件是S 、N 、T 三点共线．'5A 4A 3A '2A '1A。

平面几何基本定理（共线、共点问题）

平⾯⼏何基本定理（共线、共点问题）⼏何重要定理⼀【基础知识】梅涅劳斯定理设直线DEF 交ABC 三边,,BC CA AB 所在直线于,,D E F ，若,,D E F 三点共线，则1AE CD BF EC DB FA= 证明⼀过C 作DF 平⾏线交AB 于P则AE AF EC FP =，CD PFDB FB=，两式相乘得AE CD AF EC DB BF = ，即1AE CD BF EC DB FA= 证明⼆由正弦定理，sin sin CD CEDCE CDE∠=∠ sin sin BF BDF BD BFD ∠=∠，sin sin AE AFEAF AEF∠=∠三式相乘即得1AE CD BF EC DB FA = 证明三由于CD CDF DB BDF = ，BF BDFFA ADF= ， AE AEF AED AEF AED ADFEC CEF CED CEF CED CDF+====+ ，三式相乘即得1AE CD BF EC DB FA= 梅涅劳斯定理的逆定理设,,D E F 分别是ABC 的边,,BC CA AB 或其延长线上的点，且有奇数个点在边的延长线上，1AE CD BF EC DB FA= ，则,,D E F 三点共线塞⽡定理设,,D E F 分别是ABC 的边,,BC CA AB 或其延长线上的点，若,,AD BE CF 三线平⾏或共点，则1AE CD BF EC DB FA= 这⾥只给出三线共点时的证明证明⼀过A 作BC 平⾏线交,BE CF 于,M N于是有AE AM EC BC =，CD ANDP AP= PD AP DB AM =，BF BC= 四式相乘即得1AE CD BF EC DB FA=证明⼆对截线CPF 以及ABD 应⽤梅涅劳斯定理有1AP DC BF PD CB FA= ，对截线BPE 以及ACD 应⽤梅涅劳斯定理有1AP DB CE PD BC EA= ，两式相除即得1AE CD BF EC DB FA= 证明三由合⽐定理AE ABE APE ABE APE ABPEC BCE PCE BCE PCE BCP-====- ，同理有CD ACP DB ABP = ，BF BCP FA ACP = ，三式相乘即得1AE CD BFEC DB FA= 注点P 常称为赛⽡点塞⽡定理的逆定理设,,D E F 分别是ABC 的边,,BC CA AB 或其延长线上的点，且有偶数个点在边的延长线上，1AE CD BFEC DB FA= ，则,,AD BE CF 三线平⾏或共点⾓元形式的塞⽡定理设,,D E F 分别是ABC 的边,,BC CA AB 或其延长线上的点，且有偶数个点在边的延长线上，则三直线,,AD BE CF 平⾏或共点的充要条件是sin sin sin 1sin sin sin BAD ACF CBEDAC FCB EBA∠∠∠=∠∠∠证明由于sin sin BD ABD AB BADDC ACD AC DAC∠==∠，同理sin sin AF AC ACF FB BC FCB ∠=∠，sin sin CE BC CBEEA AB EBA∠=∠，三式相乘，再运⽤塞⽡定理及其逆定理，知结论成⽴【典型例题】例1在四边形ABCD 中，,,ABD BCD ABC 的⾯积⽐是3：4：1，点,M N 分别在,A C B D 上，满⾜::AM AC CN CD ，并且,,B M N 共线，求证：M 与N 分别是AC 和BD 的中点（1983年全国⾼中数学联赛）证明设(01)AC AM CN==<<，AC 交BD 于E ∵ABD ：BCD ：ABC =3：4：1∴17BE BD =，37AE AC = 37371771AM AE r EM AM AE r AC AC AM MC AC AM r r AC----====---- 对CDE 以及截线BMN 应⽤梅涅劳斯定理：1CN DB EMND BE MC= 即77311177r r r r -=-- ，化简整理，得2610r r --=，解得12r = 故M 与N 分别是AC 和BD 的中点例2在ABC 中，AM 是中线，G 在AM 上且2AG GM =，过G 的直线分别交线段,AB AC 于,E F ，交直线BC 于D ，求证：1B E C FE AF A+=证明对,ABM ACM 以及截线DEGF 应⽤两次梅涅劳斯定理：1AE BD MG EB DM GA = 1AF CD MG FC DM GA= ∵2AG GM = ∴2BD BE DM EA =……① 2CD CFDM FA=……②⽽2BD CD DM BM DM CM DM +=-++= ∴①+②即得1BE CFEA FA+=例3在平⾏四边形ABCD中，,E F分别是,AF ED交于G，AB CD上的点，,AD BC于,L M，求证：BF CE交于H，直线GH分别交,, Array DL BM证明设直线GH 分别交,CD AB 于,I J 对ECD 以及截线GHI 应⽤梅涅劳斯定理：1EG DI CH GD IC HE= ……①对FAB 以及截线HGJ 应⽤梅涅劳斯定理：1AG FH BJGF HB JA= ……②由于//AB CD ，于是,EG AG CH FH GD GF HE HB ==，结合①②有DI BJIC JA = 即CD CI AB AJCI AJ++=，于是CI AJ = ⼜BM BJ AB AJ CD CI DI DLCM CI CI AJ AJ AL++===== 结合AD BC =，所以DL BM =说明多次应⽤梅涅劳斯定理时要有对称的思想例 4 过ABC的三个顶点,,A B C作它的外接圆的切线，分别和直线P Q R三点共线P Q R，求证：,,,,BC CA AB交于,,证明由梅涅劳斯定理及其逆定理，知 ,,P Q R 三点共线1BP CQ AR PC QA RB= ⽽∵AP 是圆的切线∴BPA APC ∽从⽽22BP BPA AB PC APC AC == 同理22CQ BC QA AB=，22AR AC RB BC = 所以1BP CQ ARPC QA RB= ，故,,P Q R 三点共线说明证明点共线问题常⽤梅涅劳斯定理的逆定理例5 圆内接六边形ABCDEF中，三组对边AB与DE，BC与EF，CD 与FA分别交于,,P Q R三点共线（帕斯卡定理）P Q R，求证：,,N证明设直线,,BC AF DE 交得KMN ，对KMN 以及截线,,PAB QEF RDC 应⽤梅涅劳斯定理：1NB KP MA BK PM AN= ……① 1NQ KE MF QK EM FN= ……② 1NC KD MR CK DM RN= ……③另⼀⽅⾯，KC KB KD KE = ……④ME MD MF MA = ……⑤NB NC NA NF = ……⑥①×②×③结合④⑤⑥得：1KP MR NQPM RN QK= 由梅涅劳斯定理的逆定理知,,P Q R 三点共线说明把题⽬中的圆换成任意⼆次曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线），结论仍然成⽴例6 设,,D E F 分别是ABC 的边,,BC CA AB 或其延长线上的点，且有奇数个点在延长线上，则,,D E F 共线当且仅当sin sin sin 1sin sin sin ABE CAD BCFEBC DAB FCA∠∠∠=∠∠∠（第⼀⾓元形式的梅涅劳斯定理）证明由梅涅劳斯定理及其逆定理：,,D E F 共线1AE CD BF EC DB FA= ⽽sin sin AE ABE AB ABEEC BCE BC EBC ∠==∠ sin sin CD CDA AC CADDB DAB AB DAB ∠==∠ sin sin BF BCF BC BCFFA ACF AC FCA ∠==∠∴sin sin sin 11sin sin sin AE CD BF ABE CAD BCF EC DB FA EBC DAB FCA∠∠∠=?=∠∠∠例7凸四边形ABCD对⾓线交于点J，点,,,AB BC CD DASW X T分别在,,,上，点P在AC上，点,Q R在BD上，且点,,,S P R X四点W Q P T四点共线，点,,,共线，若,=BQ RD WQ PT==，求证：SP RX证明设,,,BQ a QJ b JR c RD d ====，则a d = 对PQJ 以及截线BWC 应⽤梅涅劳斯定理：1PW QB JCWQ BJ CP= ……①对PQJ 以及截线ATD 应⽤梅涅劳斯定理：1PT QD JA TQ DJ AP= ……②由于,WQ PT WP TQ ==，①×②得：1JA JC a b c d AP CP a b c d++=++ ……③对PRJ 以及截线ASB 应⽤梅涅劳斯定理：1PS RB JA SR BJ AP = ……④对PRJ 以及截线CXD 应⽤梅涅劳斯定理：1PX RD JCXR DJ CP= ……⑤④×⑤得：JA JC d a b c SR XR AP CP c d a b SP XP++=++ ……⑥由于a d =，⽐较③，⑥式，得：1SR XRSP XP=设,,SP x PR y RX z ===，代⼊，知x z =，即SP RX =说明有时在⼀条直线上的线段过多时，可分别设其长度为,,a b c 等，⽤代数⽅法解决例8 在ABC 中，,D E 是边,AC AB 上的点，,BD CE 交于P ，延长AP 交BC于M ，求证：M 是BC 中点当且仅当//DE BC证明对ABC 以及点P 应⽤塞⽡定理：1AD CM BEDC MB EA= 于是//AD AEBM CM DE BC DC EB=?=? 说明当,D E 分别在,AC AB 延长线上时，也有此结论，请读者⾃⾏证明例9 凸四边形ABCD 中AC 交BD 于Q ，BA 延长线交CD 延长线于P ，BC 延长线交AD 延长线于F ，PQ 延长线交BC 于E ，求证：BF BEFC EC=证明对PBC 以及点Q 应⽤塞⽡定理得：1BE CD PA EC DP AB= 对PBC 以及截线ADF 应⽤梅涅劳斯定理得：1BF CD PA FC DP AB= ⽐较两式即得BF BEFC EC=B例10在四边形ABCD中，对⾓线AC平分BAD∠，在CD上取⼀点E，BE 与AC相交于F，延长DF交BC于G，求证：GAC EAC∠=∠（1999年全国⾼中数学联赛）B证明连接BD 交AC 于H 对BCD 以及点F 应⽤塞⽡定理：1CG BH DEGB HD EC= 由⾓平分线定理得BH ABHD AD= 于是1CG AB DEGB AD EC= ……①过C 作AB 的平⾏线交AG 延长线于I 过C 作AD 的平⾏线交AE 延长线于J 则,CG CI DE ADGB AB EC CJ== 代⼊①中得CI CJ =⼜180180ACI BAC DAC ACJ ∠=?-∠=?-∠=∠因此ACI ACJ ? ，从⽽GAC EAC ∠=∠。

初中数学竞赛专题选讲三点共线

初中数学竞赛专题选讲三点共线一、内容提要1. 要证明A ，B ，C 三点在同一直线上， A 。

B 。

C 。

常用方法有：①连结AB ，BC 证明∠ABC 是平角②连结AB ，AC 证明AB ，AC 重合③连结AB ，BC ，AC 证明 AB ＋BC ＝AC④连结并延长AB 证明延长线经过点C2. 证明三点共线常用的定理有：① 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行② 经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直③ 三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半④ 梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半⑤ 两圆相切，切点在连心线上⑥ 轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上二、例题例1.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点P 是形内的任一点，PM ⊥AB ，PN ⊥CD求证：M ，N ，P 三点在同一直线上证明：过点P 作EF ∥AB ， ∵AB ∥CD ，∴EF ∥CD ∠1＋∠2＝180 ，∠3＋∠4＝180∵PM ⊥AB ，PN ⊥CD∴∠1＝90 ，∠3＝90 ∴∠1＋∠3＝180∴ M ，N ，P 三点在同一直线上例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上已知：平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD 和BC 的中点，O 是AC 和BD 的交点求证：M ，O ，N 三点在同一直线上证明一：连结MO ，NO ∵MO ，NO 分别是△DAB 和△CAB 的中位线∴MO ∥AB ，NO ∥AB根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行4321A B C D F E N M P O A B C D M N∴ M ，O ，N 三点在同一直线上证明二：连结MO 并延长交BC 于N， ∵MO 是△DAB 的中位线 ∴MO ∥AB 在△CAB 中∵AO ＝OC ，ON ，∥AB∴BN ，＝N ，C ，即N ，是BC 的中点 ∵N 也是BC 的中点，∴点N ，和点N 重合∴ M ，O ，N 三点在同一直线上例3.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90 ，M ，N 分别是AB和CD 的中点，BC ，AD 的延长线相交于P求证：M ，N ，P 三点在同一直线上证明：∵∠A ＋∠B ＝90 ，∠APB ＝Rt ∠连结PM ，PN根据直角三角形斜边中线性质 PM ＝MA ＝MB ，PN ＝DN ＝DC ∴∠MPB ＝∠B ，∠NPC ＝∠B∴PM 和PN 重合 ∴M ，N ，P 三点在同一直线上例4.在平面直角坐标系中，点A 关于横轴的对称点为B ，关于纵轴的对称点是C ，求证B 和C 是关于原点O 的对称点 Y 解：连结OA ，OB ，OC ∵A ，B 关于X 轴对称， C A ∴OA ＝OB ，∠AOX ＝∠BOX 同理OC ＝OA ，∠AOY ＝∠COY ∴∠COY ＋∠BOX ＝90 O X ∴B ，O ，C 三点在同一直线上 ∵OB ＝OC∴ B 和C 是关于原点O 的对称点 B 例5.已知：⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，过点B 的直线EF 分别交⊙O 1和⊙O 2于E ，F 。

平面几何的共线与共点

平面几何的共线与共点平面几何是研究平面图形的形状、大小和相互关系的数学学科。

在平面几何中，共线和共点是两个基本概念，它们与图形的位置关系密切相关。

本文将探讨平面几何中的共线与共点的定义、性质及应用。

一、共线的概念和性质共线是指多个点在同一条直线上。

在平面几何中，三个或更多点共线的情况比较常见。

我们假设有三个点A、B和C，它们是共线的。

那么，我们可以得到以下性质：1. 共线三点可以用线段表示。

设线段AB和BC都在同一条直线上，那么我们可以称这条直线为直线AC。

线段AB和BC的组合就构成了直线AC。

2. 公共部分也在同一条直线上。

对于一个直线AC和另外一条线段AD，如果线段AD和线段AB有公共部分，那么这个公共部分也在直线AC上。

3. 共线性是可传递的。

如果点A、B和C共线，点B、C和D共线，那么可以推断出点A、B、C和D都共线。

4. 不共线的三点可以确定一条直线。

如果三个点A、B和C不共线，那么可以通过这三个点画出一条直线。

这条直线同时经过点A、B和C。

二、共点的概念和性质共点是指多条直线或曲线在同一个位置相交的点。

在平面几何中，共点的概念也有一些重要性质：1. 共点的直线可能是平行的。

如果两条直线有一个公共点，并且不重合，那么这两条直线是共点的。

当然，这两条直线也可能是平行的。

2. 共点的直线可能相交。

有时，两条直线的公共点也可能是它们的交点。

这意味着两条直线不仅共线，而且相交。

3. 共点的曲线可能有多个交点。

对于曲线而言，共点并不仅仅表示两个点的重合，还可以表示曲线的交点。

当两条曲线有一个公共点时，它们就是共点的。

三、共线与共点的应用共线和共点在平面几何中具有广泛的应用。

以下是几个常见的应用场景：1. 几何证明：共线与共点经常被用于几何证明中，帮助我们推导出其他结论。

通过观察共线和共点的性质，我们可以得出一些隐藏的几何关系。

2. 图形构造：在作图过程中，共线和共点的概念帮助我们确定直线和曲线的位置。

高考数学复习点拨：点共线与线共点

点共线与线共点山东代夫珍我们时常遇到点共线和线共点的问题，面对这类题目若能抓住“两面相交必有唯一交线”这一关键,问题就会变得清晰透彻．下面例析两例，以供同学们参考．一、点共线问题证明点共线，常常采用以下两种方法：①转化为证明这些点是某两个平面的公共点,然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；②证明多点共线问题时,通常是过其中两点作一直线,然后证明其他的点都在这条直线上．例1 如图1,正方体1111ABCD A BC D -中,1AC 与截面1DBC 关于O 点，AC BD ，交于M 点,求证：1C O M ，，三点共线．证明：1C ∈平面11A ACC ，且1C ∈平面1DBC ，1C ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点．又M AC ∈，M ∴∈平面11A ACC ．M BD ∈,M ∴∈平面1DBC ．M ∴也是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点． 1C M ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的交线． O 为1AC 与截面1DBC 的交点,O ∴∈平面11A ACC ，O ∈平面1DBC ，即O 也是两平面的公共点．1O C M ∴∈,即1C M O ，，三点共线．二、线共点问题证明线共点，就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点．解决此类问题的一般方法是：先证其中两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上．例2 如图2，已知空间四边形ABCD E F ，，分别是AB AD ，的中点,G H ，分别是BC CD ，上相交于同的点，且2BG DH GC HC ==，求证：EG FH AC，，一点P ．证明：E F ，分别是AB AD ，的中点,EF BD ∴∥,且12EF BD =．又2BGDHGC HC ==，GH BD ∴∥，且13GH BD =,EF GH ∴∥，且EF GH >．∴四边形EFHG 是梯形，其两腰必相交，设两腰EG FH ，相交于一点P ,EG ⊂平面ABC ，FH ⊂平面ACD ，P ∴∈平面ABC ，P ∈平面ACD ,又平面ABC 平面ACD AC =，P AC ∴∈．故EG FH AC ，，相交于同一点P ．。

点共线,线共点,线共面问题

点共线,线共点,线共面问题立体几何初步一、立体几何中的共点、共线、共面问题（1）共线问题例1. 若ΔABC 所在的平面和ΔA 1B 1C 1所在平面相交，并且直线AA 1、BB 1、CC 1相交于一点O ，求证：(1)AB 和A 1B 1、BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别在同一平面内； (2)如果AB 和A 1B 1、BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).例2. 点P 、Q 、R 分别在三棱锥A-BCD 的三条侧棱上，且PQ ∩BC ＝X,QR ∩CD ＝Z,PR ∩BD ＝Y.求证：X 、Y 、Z 三点共线.例3. 已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线。

（2）共面问题例4. 直线m 、n 分别和平行直线a 、b 、c 都相交，交点为A 、B 、C 、D 、E 、F ，如图，求证：直线a 、b 、c 、m 、n 共面.例5. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.已知：如图，直线l 1，l 2，l 3，l 4两两相交，且不共点. 求证：直线l 1，l 2，l 3，l 4在同一平面内例6. 已知：A 1、B 1、C 1和A 2、B 2、C 2分别是两条异面直线l 1和l 2上的任意三点，M 、N 、R 、T 分别是A 1A 2、B 1A 2、B 1B 2、C 1C 2的中点.求证：M 、N 、R 、T 四点共面.例7. 在空间四边形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别是四边上的点，且满足MBAM ＝NBCN ＝QDAQ ＝PDCP ＝k.(1)求证：M 、N 、P 、Q 共面.(2)当对角线AC ＝a,BD ＝b ，且MNPQ 是正方形时，求AC 、BD 所成的角及k 的值(用a,b 表示)（3）共点问题例8. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.二、三视图1、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）A ．163πB ．83πC．D．2、将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如右图所示，则该几何体的俯视图为A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(1)(4)D ．(2)(4)三、平面直观图1、具有如图所示直观图的平面图形ABCD 是( ) A ．等腰梯形B ．直角梯形C ．任意四边形D ．平行四边形2、如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )A ．8 cmB ．6 cmC ．2(1＋3) cm D ．2(1＋2) cm3、如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( )4、一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于( )A ．12＋22B ．1＋22C ．1＋2D ．2＋ 2左视A B CD。

立体几何共线、共点、共面问题（学生版）

立体几何共线、共点、共面问题（学生版）领航立体几何中的共点、共线、共面及异面直线夹角问题一、共线问题1、若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内；(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).2、点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC ＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD ＝Y.求证：X、Y、Z三点共线.3、如图1，正方体1111ABCD A BC D中，1AC与截面1DBC交O点，AC BD，交M点，求证：1C O M，，三点共线．二、共面问题1、如图3，设P Q R S M N ，，，，，分别为正方体1111A B C D A B C D的棱111111A B B C C CC DA D A A ，，，，，的中点，求证：P Q R S M N ，，，，，共面．2、直线m 、n 分别和平行直线a 、b 、c 都相交，交点为A 、B 、C 、D 、E 、F ，如图，求证：直线a 、b 、c 、m 、n 共面.3、已知：A 1、B 1、C 1和A 2、B 2、C 2分别是两条异面直线l 1和l 2上的任意三点，M 、N 、R 、T 分别是A 1A 2、B 1A 2、B 1B 2、C 1C 2的中点.求证：M 、N 、R 、T 四点共面.4、在空间四边形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别是四边上的点，且满足MB AM ＝NBCN＝QD AQ ＝PDCP＝k. (1)求证：M 、N 、P 、Q 共面.(2)当对角线AC ＝a,BD ＝b ，且MNPQ 是正方形时，求AC 、BD 所成的角及k 的值(用a,b 表示)三、共点问题1、如图2，已知空间四边形ABCD E F ，，分别是AB AD ，的中点，G H ，分别是BC CD ，上的点，且2BG DHGC HC==，求证：EG FH AC ，，相交于同一点P ．2、如图，已知平面α，β，且α∩β＝l ．设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AB α，CD β，求证：AB ，CD ，l共点（相交于一点）．A 1四、异面直线夹角问题1、S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．2、正?ABC 的边长为a ，S 为?ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．3、如右图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求NM 与AN 所成的角．4、如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所成的角。

关于点共线、线共点问题的多种证法

关于点共线、线共点问题的多种证法学生姓名：贾娟指导教师：杨慧摘要：在初等几何中，我们常常会遇到点共线、线共点这方面的问题。

而射影几何的基本不变性是点线的结合性，因此点共线、线共点问题是射影几何的主要研究对象之一。

对于点共线、线共点问题的解决方法也有很多，本文则主要探讨的是利用射影几何方法与初等几何方法解决这类问题，通过比较发现具体问题用哪种方法更合适，以及解题时需要注意的问题。

关键词：射影变换德萨格定理完全四点形赛瓦定理一维基本形的透视对应作为师范类院校的学生，将来若想成为一名合格的中学数学教师，就必须在学习解析几何的基础上再进一步学习高等几何。

而高等几何对中学数学教师几何基础的培养、解题观点的提高、思维方法的多样性等都起着重要的指导作用。

对于高等几何到来说，尤其是其中的射影几何，既包含了解析几何中主要研究图形性质的内容，也融合了欧氏几何中主要研究空间几何结构的内容。

因此，学习高等几何知识，不仅使我们开阔了几何学的视野，也让我们更好地理解、把握了初等几何的本质。

比如初等几何中点共线、线共点的问题，在中学数学教学中既是一个重点也是一个难点。

如果只是用初等几何方法去解决，有时会很复杂，相反若要用射影几何中的知识如完全四点形的调和性质、德萨格定理及其逆定理、一维基本形的透视对应性质等知识点来解决，会更简便。

这样也为我们提供了多种解决初等几何问题的研究方法。

用高等几何的观点指导初等几何的教学内容，进而不断地改进初等几何的教学方式，这样也有助于提高中学几何的教学质量。

1.主要定义及定理一维基本形的透视对应：定义1如果一个点列与一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的，则这个对应叫做点列与线束之间的透视对应。

同理，如果两个点列与同一线束成透视对应，则这两个点列叫做透视点列；如果两个线束与同一点列成透视对应，则这两个线束叫透视线束。

由此可知，两个成透视对应的点列，其对应点之连线共点。