第三章系统误差

则有：
P(T T T ) 1
所以（T-，T+）是T的1-α的臵信区间，给定显著性水平α，便 可求得相应的臵信区间。
例：对某量测得两组数据，判断两组间有无系统误差
xi 14.7, 14.8, 15.2, 15.6 yi 14.6, 15.0, 15.1
将两组数据混合排列成下表
若 K 2 3N 2 应怀疑存在系统误差
6、秩和检验法——用于检验两组数据间的系统误差
秩和检验是一种非参数检验法。它主要研究两个样本是否来 自同一总体，也就是检验两个总体是否相同的问题。严格地讲， 秩和检验只能解决两个总体分布的中心位臵是否相同的问题。 秩和检验最早是由wilcoxon做出的，后来Mann和Whitney算 出了小的n1和n2的T分布，并且找到了一般情况下的T的矩，证明 了对于大的T的n1和n2，T近似服从正态分布。
vi v i '
i 1 i 1 K
K
j k 1 n j k 1
v
n
j K
v ' ( l
j i 1
i
x )
j k 1
( l
n
j
x )
当测量次数足够多时有
v ' v
i 1 i j k 1
K
n
j
'0
设独立测得两组数据为：
x1, x2 , xn1
y1, y2 , yn 2
令变量
t (x y) n1n2 (n1 n2 2)
2 2 (n1 n2 )( n1S1 n2 S 2 )
由数理统计知，变量t是服从自由度为( n1 n2 2 )的t分布变量 其中
u
v v
i 1 i
n 1
i 1
v1v 2 v 2 v3 v n 1v n
若
u n 1 2
则认为该测量列中含有周期性系统误差。这种校核法又叫 阿 卑——赫梅特准则（Abbe-Helmert准则） ，它能有效地发现周 期性系统误差。
4、计算数据比较法
x ,x x ,x
所以得：
vi
i 1 K i 1
K
j K 1
v
n
j
(li x )
j K 1
(l
n
j
x )
若上式的两部分值Δ显著不为O，则有理由认为测量列存在 线性系统误差。这种校核法又称“马列科夫准则”，它能有效 地发现线性系统误差。但要注意的是，有时按残余误差校核法 求得差值Δ=0，仍有可能存在系统误差。
第三章 系统误差
系统误差的特征与分类


系统误差的发现方法
系统误差的减小和消除方法
第一节 系统误差的特征与分类
系统误差的特征是在同一条件下，多次测量同一测量值时， 误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定 的规律变化。 1、系统误差按一定规律出现，且总可归结为一个或几个因 素的函数。如时间，温度等的函数。 2、系统误差具有重现性。只要测量条件相同，系统误差是可 以重现的。 3、可修正性。系统误差的重现性，决定了其具有可修正的特 点。
ij i2 2 j
根据正态分布概率函数的计算，有
P{ xi x j k ij } p
k=3时，p=0.997
xi x j
ij
3
该方法常用来验证理论计 算公式、鉴定测量方法和 新设计的测量仪器。
例：瑞利（Rayleigh）用不同方法制取氮，测得氮气密度平均 值及其标准偏差为 由化学法制氮： 由大气中提取氮：
w 极限 2 N - 1
若 w 2 N - 1 应怀疑存在系统误差
准则③：用误差数值的总和来检验

i
i 极限
2 N
若 i 2 N 应怀疑存在系统误差
准则④：用正误差平方和与负误差平方和之差来检验 令统计量 K ci 2 i
i 1 N
则其极限误差为 K 2 3N 2 限差
例如，量块中心长度随温度的变化：
L ( L0 L0 T )mm
② 周期变化的系统误差 期变化的系统误差。
在整个测量过程中，随某因素作周
例如，仪表指针的回转中心与刻度盘中心有一个偏心量 e ，则指针 在任一转角 处引起的读数误差为 L e sin 。此误差变化规律符合 正弦曲线规律，当指针在0 和180 时误差为零，而在90 和270 时 误差绝对值达最大。
例： 测量一电阻10次，数据如表，试判断有无系统误差。 电阻测量数据表
残差/Ω
解： ①残差观察法 从表中数据看出，残差的值由小到大，符号由负变正，初 步判断有线性变化系统误差存在。 ②马利科夫准则
Δ vi vi 0.44Ω
i 1 i 6
5
10
由于差值显著不为零，故测量中存在线性变化的系统误差。
2）当 n1 , n2 10 ，秩和 T 近似服从正态分布，现考虑两种 极端情况：
①假如x值集中在秩数小的一端，y集中在秩数大的一端，此时 秩和为最小，按等差数列前n1项求和得：
Tmin
②假如x值集中在秩数大的一端，y集中在秩数小的一端，此时秩 和为最大，按等差数列第n2+1至第n1+n2项求和得：
它们的算术平均值为:
x x 'x
vi vi ' (li x)
因
li x vi
li x vi
' ' '
故有
(1)
vi vi ' (li x)
若系统误差显著大于随机误差，vi 可予忽略，则得
vi li x
(2) 由上式看出，显著含有系统误差的测量列，其任一测量值的 残余误差约为系统误差与测量列系统误差平均值之差。 根据式(1)，若将测量列中前K个残余误差相加，后n-K个残余误 差相加(当n为偶数，取K=n/2；n为奇数，取K=(n+1)/2)，两者 相减得：
例：对恒温箱温度测量10次，测得数据如下表所示
② 用于发现周期性系统误差：
若一等精度测量列，接测量先后顺序将残余误差排列 为 v , v , v ，如果存在着按此顺序呈周期性变化的系统误 1 2 n 差，则相邻的残余误差的差值(vi vi 1 )符号也将出现周期 性的正负号变化，因此由差值( vi vi 1)可以判断是否存在 周期性系统误差。但是这种方法只有当周期性系统误差是整 个测量误差的主要成分时，才有实用效果。 若差值( vi vi 1 )符号变化主要取决于随机误差，以 致不能判断出周期性系统误差。在此情况下，可用统计准 则进行判断，令
第二节 系统误差的发现方法
由于形成系统误差的原因复杂，目前尚没有能够适用 于发现各种系统误差的普遍方法。但是……
实验对比法 残差观察法 残余误差校核法 发现系统误差的方法 计算数据比较法 误差的直接计算法 秩和检验法 t检验法
1、实验对比法
在确信没有明显的变化系统误差的前提下，通过改变产生 系统误差的条件（通常是改用更高准确度的仪器和基准），在 不同的条件下进行检定性测量，通过比较来发现系统误差。
2、残余误差观察法
对某量进行多次测量，得到几个测量值为l1，l2，....ln 计算它们的算术平均值及残差为
1 l li n
vi li l
准则①：将测量结果按测量先后顺序排列，若残差符号大致是 正负相同，且无显著变化规律，则无根据怀疑存在系统误差。
准则②：将测量结果按 先后顺序排列，若残差 数值有规律的递增或递 减，且在测量开始与结 束时符号相反，则存在 线性系统误差 准则③：若残差符号有规律地逐渐由负变正，由正变负，且循 环交替重复变化，则存在周期性系统误差。 准则④：若残差如图d 所示的变化规律，则 应怀疑同时存在线性 系统误差和周期性系 统误差。
1 2.29971, 1 0.00041 2 2.31022, 1 0.00019 1 2 0.0105 23 3 2 12 2 0.00045
5、误差的直接计算法
如果存在着非正态分布的系统误差，那么测量结果的分布将 偏离正态分布。我们只要检验测量结果分布的正态性，就可以判 别系统误差存在与否。
n1 (n1 1) 2
显然：
n1 (n1 2n2 1) Tmax 2 Tmin T Tmax
在平均值aT和Tmax之间以及aT和Tmin之间设立一个临界值，即T和T+。
在给定的显著水平α的情况下，定出T-和T+，使满足
P(T T ) / 2 P(T T ) / 2
当 i为正时 当 i为负时 当 i为零时
令统计量 C ci 则其极限误差为
C 极限 2 N
N为除去零值的误差后剩余的误差个数
C 2 N C 2 N
应怀疑可能存在系统误差
不能认为一定不存在系统误差
准则②：用误差正负号的分配来检验
令统计量 w ci ci 1 则其极限误差为
（一）不变系统误差 不变的（固定）系统误差是指在整个测量过程中，误差的 大小和符号始终是不变的。 （二）变化系统误差 变化系统误差指在整个测量过程中，误差的大小和方向随 测试的某一个或某几个因素按确定的函数规律而变化，其种类 较多，又可分为以下几种： ① 线性变化的系统误差 在整个测量过程中，随某因素而线性 递增或递减的系统误差。
3、残余误差校核法(有两种方法)
①用于发现线性系统误差：设有测量列 l1 , l 2 l n ， 它们的系统误差为 l1 , l 2 l n ，它们不含系统误差 之值为 l1 ' , l 2 'l n ' ，有下式成立：
l1 l '1 l1 l 2 l ' 2 l 2 l n l n ' l n
本方法的原理是组成与误差相关的统计量，并根据统计量是 否超过给定的极限误差来判断是否存在系统误差。
误差 i vi xi x
1 x N

N
i 1
xi
ˆ 标准偏差 i
vi2 /( N 1)
准则①：用误差的正负号来判断
用ci表示误差的正负号
1 ci 1 0
已知：n1=3，n2=4 计算秩和：T=1+4+5=10
查表得：T-=7，T+=17 因为 （T-=7）< (T=10) < (T+=17)
故无根据怀疑两组间存在系统误差。
7、t 检验法
当两组测量数据服从正态分布，或偏离正态不大但样本数不 是太少（最好不少于20）时，可用t检验法判断两组间是否存在 系统误差。
秩和检验的基本思路是：
若独立测得两组的数据为：
xi yi
i 1,2, n1 i 1,2, n2
将它们混和以后，从1开始，按从小到大的顺序重新排列， 观察测量次数较少那一组n1数据的序号，它的测得值在混合后的 次序编号（即秩），再将所有测得值的次序相加，得到的序号即 为秩和 T。
1） 两组的测量次数 n1, n2 10 ，可根据测量次数较少的组的次 数 n1 和测量次数较多的组的次数 n2 ，由秩和检验表查得 T和 T+ （显著度0.05），若 T T T 则无根据怀疑两组间存在系统误差。
11 21 m1
12 22
,... x1n ,... x2 n ,... xmn
x , x ,
1 2
x1 x2


x ,x
m2
x
2 i
m
, x m
其中任一个平均值都服从正态分布
x i N (a, )
而任意两组结果之差也是一个统计量，且服从正态分布
2 ( xi x j ) N (0 , ij )
Δ x1 -x2
例：用千分尺重复测量名义值 20mm的轴n次，测得的 算术平均值为 x 20.010mm ，另用准确度更高的标准量块在测 微仪上测量该轴n次，测得的算术平均值无为为 x0 20.005mm 则用千分尺测量存在的不变系统误差为
Δ 20.010 5 0.005mm
③ 复杂规律变化的系统误差 在整个 测量过程中，随某因素变化，误差按确 定的更为复杂的规律变化，称其为复杂 规律变化的系统误差。
例如，微安表的指针偏转角与偏转力距间 不严格保持线性关系，而表盘仍采用均匀刻 度所产生的误差就属于复杂规律变化的系统 误差。这些复杂规律一般可用代数多项式、 三角多项式或其它正交函数多项式来描述。