高考数学二轮简易通全套课时检测函数概念与基本处等函数I 新人教版

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高考数学二轮简易通全套课时检测推理与证明新人教版

广州大学附中2013年创新设计高考数学二轮简易通全套课时检测：推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．我们常用以下方法求形如)()(x g x f y =的函数的导数：先两边同取自然对数得：)(ln )(ln x f x g y =，再两边同时求导得到：)(')(1)()(ln )('1'x f x f x g x f x g y y ⋅⋅+=⋅，于是得到：)](')(1)()(ln )('[)(')(x f x f x g x f x g x f y x g ⋅⋅+=，运用此方法求得函数x x y 1=的一个单调递增区间是( )A ．（e ，4）B ．（3，6） C.（0，e ） D ．（2，3）【答案】C2．反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60度B ．假设三内角都大于60度C ．假设三内角至多有一个大于60度D ．假设三内角至多有两个大于60度【答案】B3．给出下面四个类比结论：①实数,,b a 若0=ab 则0=a 或0=b ；类比向量,,若0=⋅，则=或=②实数,,b a 有;2)(222b ab a b a ++=+类比向量,,有2222)(+⋅+=+③向量2a =；类比复数z ，有22z z = ④实数b a ,有022=+b a ，则0==b a ；类比复数z ，2z 有02221=+z z ，则021==z z其中类比结论正确的命题个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B4．将正偶数集合{} ,6,4,2从小到大按第n 组有n 2个偶数进行分组：{}{}{} ,24,22,20,18,16,14,12,10,8,6,4,2则2120位于第( )组A ．33B ．32C ．31D ．30【答案】A5．下列不等式不成立的是( )A ． a 2+b 2+c 2≥ab+bc+caB ．b a b aa b+≥+ (a>0,b>0)C ． 321a ---<--a a a (a ≥3) D ． 78+<105+【答案】D6．对于三次函数f （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d （a ≠0），定义：设f ″（x ）是函数y ＝f ′（x ）的导数，若方程f ″（x ）＝0有实数解x 0，则称点（x 0，f （x 0））为函数y ＝f （x ）的“拐点”．有同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，若函数g （x ）＝13x 3－12x 2＋3x －512＋1x －12，则12342010()()()()()20112011201120112011g g g g g +++++ 的值是( ) A ．2010B ．2011C ．2012D ．2013 【答案】A7．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各三角形的什么位置( )A ．各正三角形内的点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点【答案】C8．用反证法证明命题：“若整数系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理根，那么 c b a ,,中至少有一个是偶数”时，应假设( )A ．c b a ,,中至多一个是偶数B ． c b a ,,中至少一个是奇数C ． c b a ,,中全是奇数D ． c b a ,,中恰有一个偶数【答案】C9．用反证法证明命题：“一个三角形中，至少有一个内角不小于60°”时，应假设( )A ．三角形中至多有一个内角不小于60°B ．三角形中三个内角都小于60°C ．三角形中至少有一个内角不大于60°D ．三角形中一个内角都大于60°【答案】B 10．观察下列各式：则234749,7343,72401===，…，则20127的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ． 49 【答案】A11．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论无法判定正误【答案】B12．用反证法证明命题：“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A ． a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 不都能被5整除D ．a 不能被5整除【答案】B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知数列{}n a 的通项公式为23n a n =-,将数列中各项进行分组如下。

高三二轮专题函数的概念与性质及初等函数的基本概念(习题卷)无答案

第一章函数的概念与性质第一课A 组考点一函数的概念及其表示1-b.(2018浙江名校协作体期初,9)函数322+-+=x x x y 的值域为 ( ) A.[)+∞+,21 B.()+∞,2 C.[)+∞,3 D.()+∞,1考点二分段函数及其应用2-a.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,16)已知函数()()⎩⎨⎧≥<+-=1,21,32x x a x a x f x 的值域为R ,则实数a 的取值范围是 .3-a.( 2017浙江宁波期末,3)函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=1,112sin 21,22x x x x f x π则()[]=2f f ( ) A.2- B.1- C.2213-- D.04-b.(2017浙江宁波二模(5月),14)定义{}⎩⎨⎧<≥=b a b b a a b a ,,,max ，已知函数(){}b ax x x f +-=2,12max ,其中0<a ,R b ∈.若()b f =0,则实数b 的范围为;若()x f 的最小值为1,则=+b a .5-b.(2016浙江镇海中学测试(六),9)已知函数()⎩⎨⎧>≤-=0,log 0,122x x x x x f 则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛21f f ;若()[][]0,1-∈t f f ,则t 的取值范围是 .6-c.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,10)已知函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈--⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+=21,0,43141,21,142x x x x x f x x 函数()()0326sin >+-=a a x a x g π.若存在[]1,0,21∈x x ,使得()()21x g x f =成立,则实数a 的取值范围是( ) A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,32 D.(]2,0B 组一、选择题1-b.(2017浙江湖州期末调研,1)已知()x f 是R 上的奇函数,当0≥x 时,()()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<≤+=1,3110,1log 21x x x x x f 则函数()21+=x f y 的所有零点之和是( ) A.21- B.12- C.25- D.52-2-c.(2017浙江温州模拟(2月),10)已知定义在实数集R 上的函数()x f 满足()()()x f x f x f 2211-+=+,则()()20170f f +的最大值为( )A.221-B.221+ C.21D.23二、填空题3-b.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,16)若函数()()()b ax x x x x f +++--=2232的图象关于直线2-=x 对称,则()x f 的值域为 .4-b.(2016浙江宁波一模,12)对于定义在R 上的函数()x f ,若存在实数a ,使得()()1=-⋅+x a f x a f 对任意实数恒成立,则称()x f 为关于a 的“倒函数”.已知定义在R 上的函数()x f 是关于0和1的“倒函数”,且当[]1,0∈x 时,()x f 的取值范围为[]2,1,则当[]2,1∈x 时,()x f 的取值范围为 ,当[]2016,2016-∈x 时,()x f 的取值范围为 .5-c.(2018浙江重点中学12月联考,17)已知R a ∈,函数()⎪⎩⎪⎨⎧<>+=-0,0,1x e x x a x f x 若存在三个互不相等的实数321,,x x x ,使得()()()e x x f x x f x x f -===222211成立,则a 的取值范围是 .6-c.(2017浙江名校(镇海中学)交流卷二,16)已知定义域和值域都为R 的函数()x f 满足()()[]()342-+=+y x f y f x f f ,则当0>x 时,函数()x f 的取值范围是 .C 组方法1 求函数定义域的解题策略1-a.求下列函数的定义域: (11232-+-=x xy ); (2)()()034534ln -++=x x x y .2-a.若函数()x f 2的定义域是[]1,1-,求函数()x f 2log 的定义域.方法2 求函数解析式的解题策略3-a.已知函数()x f 满足:当0≠x 时,都有3311xx x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-,求()x f 的解析式.4-b.已知定义在R 上的函数()x f 满足:对于任意的实数y x ,,都有()()()()()()4fxyxffx,求函数()x f的解析式.fyyx-y12221---=--5-c.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,16)()x f 是定义在R 上的函数,若()5041=f ,对任意的R x ∈,满足()()()124+≤-+x x f x f )及()()()5612+≥-+x x f x f ,则()()=12017f f .6-c.(2017浙江金华十校调研,20)已知函数()[]()[]⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=3,1,1551,0,2x x f x x x x f (1)求⎪⎭⎫⎝⎛25f 及[]3,2∈x ]时函数()x f 的解析式; (2)若()xk x f ≤对任意(]3,0∈x 恒成立,求实数k 的最小值.方法3 分段函数的解题策略7-a.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,11)设函数()⎩⎨⎧>≤++=0,20,2x x c bx x x f 若()()04f f =-,()22-=-f ,则=+c b ;方程()x x f =的所有实根的和为 .第二课A 组考点一函数的单调性1-a.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,12)已知函数()()⎩⎨⎧≥<--=2,log 2,22x x x a x a x f 若()x f 是()+∞∞-,上的增函数,则实数a 的取值范围是 ;若()x f 的值域为()+∞∞-,,则实数a 的取值范围是 .2-a.(2016浙江镇海中学测试卷二,9)设函数()⎩⎨⎧≥<-=2,2,232x x x x x f 则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛23f f ,若()()121-≥+a f a f ,则实数a 的取值范围是 .3-b.(2017浙江绍兴教学质量调测(3月),9)记{}⎩⎨⎧<≥=y x x y x y y x ,,,min 设(){}32,min x x x f =,则( ) A.存在0>t ,()()()()t f t f t f t f -+>-+B.存在0>t ,()()()()t f t f t f t f -->--C.存在0>t ,()()()()t f t f t f t f -++>-++1111D.存在0>t ,()()()()t f t f t f t f --+>--+1111考点二函数的奇偶性与周期性4-a.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,6)已知()()x x x f x h ++=2是奇函数,且()21=f ,若()()1+=x f x g ,则()=-1g ( )A.3B.4C.-3D.-45-a.(2017浙江镇海中学阶段测试(一),4)设()x f 为定义在R 上的奇函数,当0≥x 时,()()()R a a x x x f ∈+-+=32log 2,则()=-2f ( )A.-1B.-5C.1D.56-a.(2017浙江名校协作体期初,4)下列四个函数,以π为周期,在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上单调递减且为偶函数的是( ) A.x y sin = B.x y cos = C.x y tan = D.x y sin ln -=7-a.(2017浙江名校(镇海中学)交流卷二,8)已知函数()()()()()⎩⎨⎧<+≥+=0,sin 0,cos x x x x x f βα是偶函数,则βα,的可能取值是( ) A.2,πβπα== B.3πβα== C.6,3πβπα== D.43,4πβπα==8-a.(2016浙江宁波二模,4)已知函数()⎩⎨⎧<-≥+=0,10,1x x x x x f 则下列命题正确的是( ) A.函数()x f y sin =是奇函数,也是周期函数B.函数()x f y sin =是偶函数,不是周期函数C.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛=x f y 1sin 是偶函数,但不是周期函数 D.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛=x f y 1sin 是偶函数,也是周期函数9-a.(2018浙江高考模拟卷,12)定义在R 上的函数()x f 满足()()x f x f =+6.当[)3,3-∈x 时()()⎩⎨⎧<≤--<≤-+-=31,13,22x x x x x f ，则()=4f ;()()()()()=+++++20172016...321f f f f f .B 组一、选择题1-b.(2017浙江宁波二模(5月),9)已知函数()x x x f 2cos sin =,则下列关于函数()x f 的结论中,错误的是( )A.最大值为1B.图象关于直线2π-=x 对称C.既是奇函数又是周期函数D.图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,43π中心对称2-b.(2016浙江镇海中学测试,8)已知定义在R 上的函数()x f 满足()()2x x f x f =-+,且对任意的[)+∞∈,0,21x x (其中21x x ≠)均有()()()21212121x x x x x f x f +>--. 若()()02862242>-+---m m m f m f ,则m 的可能取值是( )A.-1B.0C.1D.23-b.(2016浙江名校(诸暨中学)交流卷一,7)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名字命名的函数()⎩⎨⎧∈∈=QC x Q x x f R ,0,1被称为狄利克雷函数,其中R 为实数集,Q 为有理数集,则关于函数()x f 有如下四个命题: ①()[]0=x f f ;②函数()x f 是偶函数;③任取一个不为零的有理数T ,()()x f T x f =+对任意的R x ∈恒成立;④存在三个点()()11,x f x A ,()()22,x f x B ,()()33,x f x C 使得ABC ∆为等边三角形.其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.44-c.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,10)已知定义在R 上的函数()x f 满足()()2-=-+x f x f ,函数()1s i n 3--=x x x g ,若函数()x f y =与()x g y =的图象相交于点()()()()*222111,,...,,,,N n y x P y x P y x P n n n ∈,,则()()()=++++++n n y x y x y x ...2211( )A.22+-nB.n 2-C.1+-nD.n -5-c.(2017浙江金华十校联考(4月),9)若定义在()1,0上的函数()x f 满足()0>x f 且对任意的()1,0∈x ,有()x f x x f 2122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,则( ) A.对任意的正数M ,存在()1,0∈x ,使()M x f ≥B.存在正数M ,对任意的()1,0∈x ,使()M x f ≤C.对任意的()1,0,21∈x x 21x x <,有()()21x f x f <D.对任意的()1,0,21∈x x 且21x x <,有()()21x f x f >)二、填空题6-b.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,16)已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数,对任意的R x ∈都有()()x f x f -=+11,且当[]1,0∈x 时,()12-=x x f ,则当[]6,2-∈x 时,方程()21-=x f 所有根之和为 .C 组方法1 函数单调性的解题策略1-a.已知()ax y a -=2log 在[]1,0上是关于x 的减函数,则a 的取值范围是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.[2,+∞)2-b.(2017浙江台州质量评估,17)已知函数()()R b a b ax x x x f ∈--+=,1,当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 时,设()x f 的最大值为()b a M ,,则()b a M ,的最小值为 .3-b.(2016浙江模拟训练卷(二),20)已知函数()x x x f 42-=.(1)若()x f y =在区间[]1,+a a 上为单调增函数,求实数a 的取值范围;(2)若存在实数t ,当[]m x ,0∈时,有()x t x f 2≤-恒成立,求正实数m 的取值范围.方法2 关于函数奇偶性的解题策略5-b.函数f(x)的定义域为{}R x x x D ∈≠=,0,且满足对于任意D x x ∈21,,有 ()()()2121x f x f x x f +=⋅.(1)求()1f 的值;(2)判断()x f 的奇偶性并证明;(3)如果()14=f ,()()36213≤-++x f x f ,且()x f 在()+∞,0上是增函数,求x 的取值范围.方法3 求函数值域(或最值)的解题策略5-a.求函数x x y sin 2cos 3+=的最大值和最小值.6-a.(2016浙江名校协作体测试,18)已知R a ∈,函数()22a x a x x x f +--=.(1)若2>a ,解关于x 的方程()a a x f 22-=;(2)若[]4,2-∈a ,求函数()x f 在[]3,3-上的最小值.方法4 关于函数周期性的解题策略7-a.已知定义在R 上的函数()x f y =为偶函数,且()1+=x f y 为奇函数,()20=f ,则()()=+54f f .8-a.(2016浙江镇海中学测试(七),9)已知()x f 是以2为周期的周期函数,且当[]1,1-∈x 时,()⎩⎨⎧≤<≤≤-+=10,log 01,x x x a x x f b 其中R b a ∈,.若02321=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛f f , 则=a ,=⎪⎭⎫ ⎝⎛22017f .第二章基本初等函数第一课A 组考点二次函数与幂函数1-a.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,8)若函数()b ax x x f ++=2有两个零点21,x x ,且5321<<<x x ,那么()()5,3f f ( )A.只有一个小于1B.都小于1C.都大于1D.至少有一个小于12-a.(2018浙江重点中学12月联考,3)已知函数142+-=x x y 的定义域为[]t ,1,在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5,则实数t 的取值范围是( )A.(1,3]B.[2,3]C.(1,2]D.(2,3)3-b.(2017浙江杭州二模(4月),9)设函数()()R b a b ax x x f ∈++=,2的两个零点为21,x x ,若221≤+x x ,则( ) A.1≥a B.1≤b C.22≥+b a D.22≤+b a4-b.(2017浙江名校(衢州二中)交流卷五,9)()c bx ax x f ++=2,当210≤≤x 时,()[]4,2∈x f ,则a 的最大值为( )A.8B.16C.32D.645-b.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,8)已知()()⎩⎨⎧≥-<+--=0,10,122x x f x x x x f 则()x x f y -=的零点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个6-b.(2016浙江绍兴一模,8)对于函数()x f ,若存在N x ∈0,满足()410≤x f ,则称0x 为函数()x f 的一个“近零点”.已知函数()()02>++=a c bx ax x f 有四个不同的“近零点”,则a 的最大值为 ( )A.2B.1C.21D.417-b.(2016浙江宁波“十校”联考,18)若存在区间[]()n m n m A <=,,使得(){}A A x x f y y =∈=,,则称函数()x f 为“可等域函数”,区间A 为函数f(x)的一个“可等域区间”.已知函数()()R b a b ax x x f ∈+-=,22.(1)若()()x f x g a b ===,1,0是“可等域函数”,求函数()x g 的“可等域区间”;(2)若区间[]1,1+a 为()x f 的“可等域区间”,求b a ,的值.B 组一、选择题1-a.(2018浙江浙东北联盟期中,7)设函数()()R c b a c bx ax x f ∈++=,,2,若函数()x e x f y =(e 为自然对数的底数)在1-=x 处取得极值,则下列图象不可能为()x f y =的图象的是( )2-c.(2017浙江稽阳联谊学校联考,10)设二次函数()b ax x x f ++=2,若对任意的实数a ,都存在实数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ,使得不等式()x x f ≥成立,则实数b 的取值范围是( ) A.[)+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,231, B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,4131, C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-,4941, D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,4931,3-c.(2017浙江“超级全能生”联考(3月),10)已知函数()122+-=tx x x f 在(]1,∞-上递减,且对任意的[]1,0,21+∈t x x ,总有()()221≤-x f x f ,则实数t 的取值范围为( ) A.[]2,2- B.[]2,1 C.[]3,2 D.[]2,1二、填空题4-c.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,17)设关于x 的方程022=--ax x 和012=---a x x 的实根分别为21,x x 和43,x x ,若4231x x x x <<<,则a 的取值范围是 .5-c.(2018浙江高考模拟卷,17)已知关于x 的方程()R c b c bx x ∈=++,022在[]1,1-上有实根,且340≤+≤c b ,则b 的取值范围为 .6-c.(2017浙江绍兴教学质量调测(3月),17)已知R b a ∈,且10≤+≤b a ,函数()b ax x x f ++=2在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21上至少存在一个零点,则b a 2-的取值范围为 .7-c.(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三,16)记()z y x M ,,为z y x ,,三个数中的最小数,若二次函数()()02≥≥≥++=c b a c bx ax x f 有零点,则⎪⎭⎫ ⎝⎛+++c b a b a c a c b M ,,的最大值为 .三、解答题8-a.(2017浙江温州中学高三3月模拟,19)已知二次函数()()R c b a c bx ax x f ∈++=,,2,对任意实数x ,不等式()()21212+≤≤x x f x 恒成立. (1)求()1-f 的取值范围;(2)对任意[]1,3,21--∈x x ,恒有()()121≤-x f x f ,求实数a 的取值范围.9-b.(2016浙江宁波一模,18)已知函数()12-=x x f .(1)对于任意实数[]2,1∈x ,()()()1442-≤+x f m f x f m 恒成立,求实数m 的取值范围; (2)若对任意实数[]2,11∈x ,存在实数[]2,12∈x ,使得()()2212ax x f x f -=成立,求实数a 的取值范围.C 组方法1 三个“二次”问题的处理方法1-c.(2017浙江杭州质检,17)设函数()bx ax x f 222+=,若存在实数()t x ,00∈,使得对任意不为零的实数b a ,均有()b a x f +=0成立,则t 的取值范围是 .2-c.(2017浙江测试卷,17)已知函数()()R b a b ax x x f ∈++=,2在区间()1,0上有两个零点,则b a +3的取值范围是 .方法2 关于二次函数值域和最值的解题策略3-c.(2017浙江镇海中学模拟练习(二),17)已知函数()a bx ax x f -++=122.若对任意实数[]1,1-∈x ,均有()0≥x f ,则b a -的最大值为( )A.-1B.0C.1D.24-c.(2017浙江镇海中学模拟卷(五),17)已知()11+=x x f ,且()()[]()*11,2N n n x f f x f n n ∈≥=-,若关于X 的函数()()*210320N n n x nf x y n ∈+-+=在区间(]2,-∞-上的最小值为-3,则n 的值为 .方法3 幂函数的解题策略5-a.比较大小:(1)()5352328.1,9.3,8.3--; (2)5.14.15,3.6-b.已知幂函数()()Z m x x f m m ∈=++-322为偶函数且在区间(0,+∞)上是单调增函数. (1)求函数()x f 的解析式;(2)设函数()()182-+-=q x x f x g ,若()0>x g 对任意[]1,1-∈x 恒成立,求实数q 的取值范围.第二课A 组考点指数与指数函数1-a.(2018浙江浙东北联盟期中,8)已知R y x ∈,,且x y y x --+≤+7575,则( )A.y x sin sin ≤B.22y x ≤C.y x 55≤D.y x 7171log log ≤2-a.(2017浙江镇海中学一轮阶段检测,4)不论a 为何值,函数()221a a y x --=恒过定点,则这个定点的坐标是( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,1 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,13-a.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,11)已知0>a 且1≠a ,x a =2log ,则=x a ;=+-x x a a 22 .4-a.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,11)已知24=a,a x =lg ,则a = ,x = .5-a.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷一,4)已知函数()x f 是奇函数,当0>x 时,()()1,0≠>=a a a x f x 且,且34log 21-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,则a 的值为( ) A.3B.3C.9D.236-b.(2016浙江五校第一次联考,8)已知函数()x f 是定义域为R 的偶函数,当0≥x 时,()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=2,12120,4sin 45x x x x f x π若关于x 的方程()()()20,f x af x b a b R ⎡⎤++=∈⎣⎦有且仅有6个不同的实数根,则实数a 的取值范围是 ( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,25 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛--49,25 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,4949,25 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,49B 组一、选择题1-a.(2018浙江镇海中学模拟,2)若无论m 为何值,函数()331m m y x --=恒过定点,则这个定点的坐标是( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,1 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--31,1 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,12-b.(2017浙江镇海中学模拟训练(三),9)已知函数()b x a x f x-+=的零点()()Z n n n x ∈+∈1,0,其中常数b a ,满足20172016=a ,20162017=b ,则n 的值是( )A.-2B.-1C.0D.13-b.(2016浙江嘉兴一模,7)设函数()⎩⎨⎧≥<+=1,31,12x x x x f x 则满足()[]()m f m f f 3=的实数m 的取值范围是( ) A.(]⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∞-210, B.[]1,0 C.[)⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+∞21,0 D.[)+∞,14-b.(2016浙江金丽衢十二校第一次联考,7)若函数()x f 是R 上的单调函数,且对任意实数x ,都有()31122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++x x f f ,则()=3log 2f ( )A.1B.54C.21D.0二、填空题5-a.(2017浙江镇海中学阶段测试(一),11)设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<-⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,10,1212x x x x x f x则()[]=0f f = ;若()1<a f ,则实数a 的取值范围是 .6-a.(2016浙江镇海中学测试(三),10)已知定义在R 上的奇函数()x f 满足:当0>x 时,()⎩⎨⎧>+-≤<=1,110,2x x x x f x 则()[]=-2f f ;若方程()a x f =有两解,则a 的取值范围是 .7-c.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,17)已知函数()⎩⎨⎧≥<<=1,10,x e x e x f x 现有四个命题: ①若0,0>>b a ,则()()()b f a f b a f ≤+;②若0>>b a ,则()()()b f a f b a f ≥-; ③若0,0>>b a ,则()()[]b a f ab f ≥;④若0>>b a ,则()[]b a f b a f 1≤⎪⎭⎫ ⎝⎛. 其中真命题为 .(写出所有真命题的序号)C 组方法1 指数式的运算、估值和大小比较的解题策略 1-b.已知函数()x x f 10=,且实数c b a ,,满足()()()b a f b f a f +=+,()()()()c b a f c f b f a f ++=++,则c 的最大值为 .2-b.化简:11111331333---+++++-x x x x x x x x .方法2 指数函数的图象和性质的综合应用的解题策略3-a.已知实数b a ,满足等式ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛3121,下列五个关系式: ①a b <<0;②0<<b a ;③b a <<0;④0<<a b ;⑤b a =. 其中不可能．．．成立的关系式有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个4-b.(2016浙江镇海中学测试卷一,15)已知函数()⎩⎨⎧>≤+=a x ax x x f x,2,1若存在两个不相等的实数21,x x 使得()()21x f x f =,则实数a 的取值范围为 .第三课A 组考点对数与对数函数1-a.(2018浙江嵊州高级中学期中,2)已知()[]0log log log 235=x ,那么x =( ) A.5B.3C.8D.12-a.(2017浙江镇海中学模拟卷三,5)设x 是实数,则“0ln >+x x ”是“()0ln ln >+x x ”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3-a.(2016浙江新高考研究卷二(慈溪中学),2)为了得到函数x y 21log =的图象,只需将函数12log 2+=x y 的图象( )A.向右平移1个单位,再向下平移1个单位B.向左平移1个单位,再向下平移1个单位C.向右平移1个单位,再向上平移1个单位D.向左平移1个单位,再向上平移1个单位4-a.(2018浙江9+1高中联盟期中,11)16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系,即N b N a a b log =⇔=.现在已知32=a,43=b,则ab = .5-a.(2017浙江名校协作体期初,12)已知4316aba -=,21log a a b+=,则a = ,b = .6-a.(2017浙江柯桥区质量检测(5月),14)若正数b a ,满足()b a b a +=+=+842log log 1log 3,则a = ,b = .7-b.(2017浙江名校协作体,11)已知2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>yxy x ,则xy 的最大值是 .8-b.(2016浙江宁波一模,9)已知0,3log ,2log >==a n m a a 且1≠a ,则nm a +2= ;若用n m ,表示6log 4,则6log 4= .B 组一、选择题1-a.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,3)设0,0>>b a ,则“()b a b a +≥+222log log log ”是“4≥ab ”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2-b.(2017浙江名校(绍兴一中)交流卷一,6)已知函数()a x x x f +-=22的定义域与函数()()1ln 2+-=ax x x g 的值域均为R ,则实数a 的取值范围是( )A.[1,2]B.(-∞,-2)C.[-2,1]D.[2,+∞)3-b.(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三,7)已知实数0,>y x ,且()161=+y x ,则y x 24log log +的最大值是( ) A.2B.23C.3D.4二、填空题4-a.(2018浙江嵊州高级中学期中,2)已知函数()⎩⎨⎧≤+>=0,20,log 23x x x x x x f 则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛31f f ;若()20-=x f ,则0x = .5-a.(2018浙江萧山九中12月月考,11)若函数()x x x f lg lg 1++=,则()x f 的定义域为 ;不等式()1>x f 的解集是 .6-a.(2017浙江杭州质检,11)=+5lg 2lg ;=-313log 822 .7-a.(2017浙江台州质量评估,11)已知函数()⎩⎨⎧≥<=1,log 1,22x x x x f x 则()=0f ,()[]=0f f .8-a.(2017浙江镇海中学模拟卷一,12)已知函数()⎩⎨⎧≥<=1,log 1,22x x x x f x 则()x f 的值域是 ;若方程()0=-a x f 恰有一个实根,则实数a 的取值范围是 .9-b.(2016浙江金丽衢十二校第一次联考,18(改编))已知函数()()t a x f x a +=2log ,其中0>a 且1≠a ,若存在实数()n m n m <,,使得[]n m x ,∈时,函数()x f 的值域也为[]n m ,,则t 的取值范围是 .C 组方法1 关于对数概念及运算的解题策略1-a.(2016浙江模拟训练卷(一),13)已知()x f 是定义在R 上的奇函数,且()()02=++x f x f ,当[]1,0∈x 时,()12-=x x f ,则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛125log 81f .2-a.(2017浙江台州4月调研卷(一模),14)已知324,2==b a x,则=b 2log ,满足1log ≤b a 的实数x 的取值范围是 .方法2 对数函数的图象和性质的应用的解题策略3-c.(2017浙江镇海中学模拟卷(六),17)函数()⎩⎨⎧>+-≤<=4,341240,log 22x x x x x x f 若d c b a ,,,互不相同,且()()()()d f c f b f a f ===,则abcd 的取值范围是 .。

2024年高考数学总复习第二章函数的概念与基本初等函数真题分类10函数与方程

证明：对每个n∈N*，当x>0时，f′n(x)＝1＋2x＋…＋xnn－1>0，故fn(x)在(0，＋∞)内单调递增．
由于f1(1)＝0，当n≥2时，fn(1)＝212＋312＋…＋n12>0，故fn(1)≥0.
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真题分类10 函数与方程
又fn23＝－1＋23＋k∑＝n 223k2k ≤－13＋14k∑＝n 223k ＝－13＋14·23211－－2323n－1 ＝－13·23n－1<0，所以存在唯一的xn∈23，1，满足fn(xn)＝0.
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真题分类10 函数与方程
高考·数学
答案：C
（1－a）x，x<0，由题意，b＝f(x)－ax＝13x3－12（a＋1）x2，x≥0.
（1－a）x，x<0，设 y＝b，g(x)＝13x3－12（a＋1）x2，x≥0.
即以上两个函数的图象恰有 3 个交点，根据选项进行讨论．
高考·数学
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真题分类10 函数与方程
高考·数学
Ⅰ.函数零点存在定理法判断函数零点所在区间 Ⅱ.数形结合法Fra bibliotek断函数零点所在区间
01 判断函数在某个区间上是否存在零点的方法
(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上．
(2)利用函数零点存在定理进行判断． (3)画出函数图象，通过观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断．
真题分类10 函数与方程
高考·数学
第二章函数的概念与基本初等函数
§ 2.6 函数与方程
真题分类10 函数与方程
C1.函数零点所在区间的判断 C2.函数零点个数的判断 C3.函数零点求和的问题 C4.零点与参数的综合问题

高考数学二轮简易通全套课时检测选考内容新人教版

广州大学附中2013年创新设计高考数学二轮简易通全套课时检测：选考内容本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若关于x 的不等式2124x x a a +--<-有实数解，则实数a 的取值范围为( )A ．(,1)(3,)-∞+∞UB ．(1,3)C ．(,3)(1,)-∞--+∞UD ．(3,1)--【答案】A2．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是( )A ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1π C ．⎪⎭⎫⎝⎛4,2π D ．⎪⎭⎫⎝⎛4,2π【答案】B3．设0a >，不等式||ax b c +<的解集是{|21}x x -<<，则::a b c 等于( )A ．1:2:3B ． 2:1:3C ．3:1:2D ．3:2:1【答案】B4．不等式243x x -+-<的解集是( ) A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡29,23 B ．⎪⎭⎫⎝⎛29,23C ．（1，5）D ．（3，9）【答案】B5．不等式3|1|1<+<x 的解集为( )A ．（0，2）B ．（－2，0）∪（2，4）C ．（－4，0）D ．（－4，－2）∪（0，2）【答案】D6．若不等式｜2x 一a ｜＞x －2对任意x ∈(0,3)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ． (－∞, 2] U [7, +∞)B ． (－∞, 2) U (7, +∞)C ． (－∞, 4) U [7, +∞）D ．（－∞, 2) U (4,+ ∞)【答案】C7．若点P(3,m)在以点F 为焦点的抛物线244x t y t ⎧=,⎨=⎩ (t 为参数)上,则|PF|等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C8．设函数()214f x x x =+--．则不等式()2f x >的解集是( )A ．5{7}3x x -<<B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<35,7x x x 或C ．{7,4}x x x <-≥或D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-≤35,21x x x 或【答案】B 9．已知x,y ∈R 且122=+y x ，a,b ∈R 为常数，22222222y a x b y b x a t +++=则( ) A ．t 有最大值也有最小值B ．t 有最大值无最小值C ．t 有最小值无最大值D ．t 既无最大值也无最小值【答案】A 10．已知R x ∈，则“4|2||1|>-++x x ”是“2-<x ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B11．已知，则使得都成立的取值范围是( )A ．（，）B ．（，）C ．（，）D .（，）【答案】B12．如图5，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，PA ＝8，OA ＝6，则tan ∠APO 的值为( )A ．34B ．53C ．54D ．43 【答案】D第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：=3cos =4sin x y θθ+⎧⎨+⎩(θ为参数)和曲线C 2：ρ=1上，则|AB 的最小值为____________．【答案】314．已知,,x y z R ∈，且2221,3x y z x y z ++=++=，则xyz 的最大值为 . 【答案】52715．若关于x 的不等式2|1||2|1()x x a a x R ---≥++∈的解集为空集，则实数a 的取值范围是 . 【答案】()()+∞⋃-∞-,01,16．若,,x y z 为正实数，则222xy yz x y z +++的最大值是 .三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．如图所示，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 点作直线AP 垂直于直线OM ，垂足为P.(1）证明：OM ·OP=OA 2；(2）N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直于直线ON ，且交圆O 于B 点.过B 点的切线交直线ON 于K.证明：∠OKM=90°.【答案】 (1)因为MA 是圆O 的切线,所以OA ⊥AM.又因为AP ⊥OM,在Rt △OAM 中,由射影定理知,OA 2=OM ·OP.(2）因为BK 是圆O 的切线，BN ⊥OK ，同（1），有OB 2=ON ·OK ，又OB=OA ，所以OP ·OM=ON ·OK ，即OP ON =OKOM . 又∠NOP=∠MOK ，所以△ONP ∽△OMK ，故∠OKM=∠OPN=90°.18．已知函数f （x ）＝|2x ＋1|+|2x －3|＋a 。

高考数学二轮复习专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第二讲函数的图象与性质教案理-

第二讲函数的图象与性质年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅱ卷函数图象的识别·T3 1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.函数奇偶性、周期性的应用·T11Ⅲ卷函数图象的识别·T72017Ⅰ卷函数单调性、奇偶性与不等式解法·T5Ⅲ卷分段函数与不等式解法·T152016Ⅰ卷函数的图象判断·T7Ⅱ卷函数图象的对称性·T12函数及其表示授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．底数大于零且不大于1．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少．[全练——快速解答]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)以下函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A．y＝x B．y＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．结合选项知，只有函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．应选D.答案：D2．(2018·某某名校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x >2，e x，－2≤x ≤2，f (－x )，x <－2，那么f (－2 017)＝( )A ．1B ．eC ．1eD ．e 2解析：由题意f (－2 017)＝f (2 017)，当x ＞2时，4是函数f (x )的周期，所以f (2 017)＝f (1＋4×504)＝f (1)＝e.答案：B3．函数f (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为________．解析：由函数解析式可知，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－ln x >0x >01－ln x ≠1，解得1<xf (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为(1，e)．答案：(1，e)4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，那么满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值X 围是__________．解析：当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准那么，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略常见类型解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套〞的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值X 围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值X 围的大前提求参数 “分段处理〞，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解函数图象及应用授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法、二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换等．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：令函数f (x )＝sin 2x 1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 2 1－cos 1>0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A 、D ，选C.答案：C(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )解析：法一：易知函数g (x )＝x ＋sin xx2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.法二：当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除选项B.当0<x <π2时，y ＝1＋x ＋sin xx2>0，故排除选项A 、C.选D.答案：D由函数解析式识别函数图象的策略[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：法一：ƒ′(x )＝－4x 3＋2x ，那么ƒ′(x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，ƒ(x )单调递增；ƒ′(x )＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞，ƒ(x )单调递减．应选D.法二：当x ＝1时，y ＝2，所以排除A ，B 选项．当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316＞2，所以排除C 选项．应选D. 答案：D 2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )解析：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cosx ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A ，C ，又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，e x >e 0＝1，21＋ex －1<0，cos x >0，∴f (x )<0，可排除选项D ，应选B.答案：B3．(2018·某某调研)函数f (x )的图象如下图，那么f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：由函数图象可知，函数f (xf (x )＝x －1x，那么当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，应选A.答案：A函数的性质及应用授课提示：对应学生用书第6页[悟通——方法结论]1．判断函数单调性的一般规律对于选择、填空题，假设能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．2．函数的奇偶性(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．3．记住几个周期性结论(1)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(2)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝1f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．答案：D(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．假设f(1)＝－1，那么满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值X围是( )A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.答案：D(3)(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，ƒ(a )＝4，那么ƒ(－a )＝________.解析：∵ƒ(x )＋ƒ(－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴ƒ(a )＋ƒ(－a )＝2，∴ƒ(－a )＝－2. 答案：－21．掌握判断函数单调性的常用方法数形结合法、结论法(“增＋增〞得增、“减＋减〞得减及复合函数的“同增异减〞)、定义法和导数法．2．熟知函数奇偶性的3个特点(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称． (3)对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．3．周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在区间上的问题，转化到区间上求解．4．注意数形结合思想的应用．[练通——即学即用]1．(2018·某某模拟)以下函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e x＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x解析：选项A 、B 显然是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1x在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．答案：D2．(2018·某某八中摸底)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，那么以下结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 解析：因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称．又因为函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 答案：B授课提示：对应学生用书第116页一、选择题1．以下四个函数： ①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x >0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0).其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①y ＝3－x 的定义域和值域均为R ，②y ＝2x －1(x >0)的定义域为(0，＋∞)，值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0)的定义域和值域均为R ，所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，应选B.答案：B2．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足对任意的x ∈R ，都有f (x )＝f (1－x )，且当x ∈[0，12]时，f (x )＝(x ＋1)，那么f (3)＋f (－32)的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：由于函数f (x )是奇函数，所以f (x )＝f (1－x )⇒f (x )＝－f (x ＋1)⇒f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，所以f (3)＝f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (－32)＝f (12)＝32f (3)＋f (－32)＝－1.答案：C3．函数f (x )＝1＋ln ()x 2＋2的图象大致是( )解析：因为f (0)＝1＋ln 2>0，即函数f (x )的图象过点(0，ln 2)，所以排除A 、B 、C ，选D.答案：D4．(2017·高考某某卷)奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．假设a ＝g (－log 2 5.1)，b ＝g (2)，c ＝g (3)，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：奇函数f (x )在R 上是增函数，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，当x 1>x 2>0时，f (x 1)>f (x 2)>0，∴x 1f (x 1)>x 2f (x 2)，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )＝xf (x )是偶函数，∴a ＝g (－log 2 5.1)＝g (log 2 5.1)．易知2<log 2 5.1<3,1<2<2，由g (x )在(0，＋∞)上单调递增，得g (2)<g (log 2 5.1)<g (3)，∴b <a <c ，应选C.答案：C5．(2018·某某模拟)函数f (x )＝e xx 的图象大致为( )解析：由f (x )＝e x x ，可得f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x2，那么当x ∈(－∞，0)和x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．又当x <0时，f (x )<0，应选B.答案：B6．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，那么( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，那么f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：D7．(2018·某某模拟)函数f (x )＝ex －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x ，假设f (x 1)＝g (x 2)＝0，那么( )A ．0<g (x 1)<f (x 2)B ．f (x 2)<g (x 1)<0C ．f (x 2)<0<g (x 1)D ．g (x 1)<0<f (x 2) 解析：易知f (x )＝e x －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x在各自的定义域内是增函数，而f (0)＝e －1＋0－4＝1e －4<0，f (1)＝e 0＋4×1－4＝1>0，g (1)＝ln 1－11＝－1<0，g (2)＝ln 2－12＝ln 2e f (x 1)＝g (x 2)＝0，所以0<x 1<1,1<x 2<2，所以f (x 2)>f (1)>0，g (x 1)<g (1)<0，故g (x 1)<0<f (x 2)．答案：D8．函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，那么M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0 解析：f (x )＝[(x －1)2－1]sin(x －1)＋x －1＋2，令t ＝x －1，g (t)＝(t 2－1)sin t ＋t ，那么y ＝f (x )＝g (t)＋2，t ∈[－2,2]．显然M ＝g (t)max ＋2，m ＝g (t)min ＋2.又g (t)为奇函数，那么g (t)max ＋g (t)min ＝0，所以M ＋m ＝4，应选A.答案：A9．g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，g (x )，x >0，假设f (2－x 2)>f (x )，那么x 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－2,1)D ．(1,2)解析：因为g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，所以当x >0时，－x <0，g (－x )＝－ln(1＋x )，即当x >0时，g (x )＝ln(1＋x )，那么函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0，作出函数f (x )的图象，如图：由图象可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0在(－∞，＋∞)上单调递增．因为f (2－x 2)>f (x )，所以2－x 2>x ，解得－2<x <1，应选C.答案：C10．(2018·高考全国卷Ⅱ)ƒ(x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )．假设ƒ(1)＝2，那么ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50解析：∵ƒ(x )是奇函数，∴ƒ(－x )＝－ƒ(x )，∴ƒ(1－x )＝－ƒ(x －1)．由ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴－ƒ(x －1)＝ƒ(x ＋1)，∴ƒ(x ＋2)＝－ƒ(x )，∴ƒ(x ＋4)＝－ƒ(x ＋2)＝－[－ƒ(x )]＝ƒ(x )，∴函数ƒ(x )是周期为4的周期函数．由ƒ(x )为奇函数得ƒ(0)＝0.又∵ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴ƒ(x )的图象关于直线x ＝1对称，∴ƒ(2)＝ƒ(0)＝0，∴ƒ(－2)＝0.又ƒ(1)＝2，∴ƒ(－1)＝－2，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(－1)＋ƒ(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＋…＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝0×12＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＝2＋0＝2.应选C.答案：C11．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，且函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，假设f (2)＝2，那么不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0,2)D ．(－2,0)∪(2，＋∞) 解析：由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，可得[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2<0.令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，又是奇函数，且F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2，应选C.答案：C12．(2018·某某三市联考)函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≤4，4e 5－x ，x >4对任意的x ∈[1，m ](m >1)，都有f (x －2)≤g (x )，那么m 的取值X 围是( )A ．(1,2＋ln 2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72＋ln 2 C ．(ln 2,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72＋ln 2 解析：作出函数y 1＝e |x －2|和y ＝g (x )的图象，如下图，由图可知当x＝1时，y 1＝g (1)，又当x ＝4时，y 1＝e 2<g (4)＝4e ，当x >4时，由ex －2≤4e 5－x ，得e 2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72＋ln 2，又m >1，∴1<m ≤72＋ln 2.答案：D二、填空题13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12. 答案：－1214．假设函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，那么a ＝________.解析：法一：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )对x ∈R 恒成立，所以－x ·(－x －1)(－x ＋a )＝－x (x －1)(x ＋a )对x ∈R 恒成立，所以x (a －1)＝0对x ∈R 恒成立，所以a ＝1.法二：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，所以－1×(－1－1)×(－1＋a )＝－1×(1－1)×(1＋a )，解得a ＝1.答案：115．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值X 围是________．解析：当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 16．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，那么对函数y ＝f (x )有以下判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x 增大，图象是往上的，在区间[4,6]上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．答案：①②④。

(统考版)高考数学二轮专题复习课时作业16 函数的图象与性质文(含解析)-人教版高三全册数学试题

课时作业16 函数的图象与性质[A·基础达标]1．已知集合M 是函数y ＝11－2x的定义域，集合N 是函数y ＝x 2－4的值域，则M ∩N ＝( )A ．{x |x ≤12}B ．{x |－4≤x <12}C ．{(x ，y )|x <12且y ≥－4}D ．∅2．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝xC ．y ＝|x |D ．y ＝－x 2＋13．[2020·某某市第一次模拟考试]已知定义在[m －5,1－2m ]上的奇函数f (x )，满足x >0时，f (x )＝2x －1，则f (m )的值为( )A ．－15B ．－7C ．3D ．154．[2020·某某市质量检测]函数y ＝x 2e x 的大致图象为( )5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－26．已知函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝0，且当x ≥0时，f (x )＝2＋m2x－1，则f (－1)＝( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－127．将函数f (x )的图象向右平移一个单位长度后，所得图象与曲线y ＝ln x 关于直线y ＝x 对称，则f (x )＝( )A ．ln(x ＋1)B ．ln(x －1)C ．e x ＋1D ．e x －18．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (1)＝－1，若f (2x －1)≥－1，则x 的取值X 围为( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[0,1]D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)9．如图，把圆周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，顶点A (0,1)，一动点M 从点A 开始逆时针绕圆运动一周，记AM ＝x ，直线AM 与x 轴交于点N (t,0)，则函数t ＝f (x )的图象大致为( )10．[2020·某某西工大附中3月质检]已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则( )A ．sgn f (x )>0B ．f (4 0412)＝1C ．sgn f (2k )＝0(k ∈Z )D ．sgn f (k )＝|sgn k |(k ∈Z ) 11．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )在(－∞，a )上是增函数，且函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)≥f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．f (x 1)≤f (x 2)12．定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件： ①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋1)＝f (x －1)； ②函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称；③对于任意的x 1，x 2∈[0,1]，都有[f (x 1)－f (x 2)]·(x 1－x 2)>0.则f ⎝⎛⎭⎫32，f (2)，f (3)的大小关系是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫32>f (2)>f (3)B ．f (3)>f (2)>f ⎝⎛⎭⎫32C ．f ⎝⎛⎭⎫32>f (3)>f (2)D ．f (3)>f ⎝⎛⎭⎫32>f (2)13．若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x，则f (2)＝________.14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≥0)，2x ＋2(x <0)，若f (t ＋1)>f (2t －4)，则t 的取值X 围是________．15．[2020·某某某某一中模拟]黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：定义在区间[0,1]上的函数R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1p ，x ＝q p (p ，q 都是正整数，q p 是既约真分数)，0，x ＝0，1或无理数.若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有f (2－x )＋f (x )＝0，当x ∈[0,1]时，f (x )＝R (x )，则f ⎝⎛⎭⎫185＋f (lg 30)＝________.16．[2020·某某市第一次适应性考试]已知函数f (x )＝x e x ＋x ＋2e x ＋1＋sin x ，则f (－5)＋f (－4)＋f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)的值是________．[B·素养提升]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤e ，ln x ，x >e ，则函数y ＝f (e －x )的大致图象是( )2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －a |＋1，x >1，a x ＋a ，x ≤1(a >0且a ≠1)，若f (x )有最小值，则实数a 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎭⎫23，1 B ．(1，＋∞)C.⎝⎛⎦⎤0，23∪(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫23，1∪(1，＋∞) 3．[2020·某某某某新都诊断测试]已知定义在R 上的函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且满足对∀x ∈R ，都有f (x )－f (－x )＝0，则符合上述条件的函数是( )A ．f (x )＝x 2＋|x |＋1B ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |C ．f (x )＝ln|x ＋1|D ．f (x )＝cos x4．已知定义在R 上的偶函数y ＝f (x ＋2)，其图象连续不间断，当x >2时，函数y ＝f (x )是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1－1x ＋4的所有x 之积为( )A ．3B ．－3C ．－39D ．395．已知函数f (x )＝xx 2＋1，关于函数f (x )的性质，有以下四个推断：①f (x )的定义域是(－∞，＋∞)；②f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12；③f (x )是奇函数；④f (x )是区间(0,2)上的增函数．其中推断正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．46．若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋ax，x ∈[－4，－1]的值域为________．7．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且在区间[0,2]上是增函数．给出以下结论：①函数f (x )的一个周期为4；②直线x ＝－4是函数f (x )图象的一条对称轴；③函数f (x )在[－6，－5)上单调递增，在[－5，－4)上单调递减； ④函数f (x )在[0,100]内有25个零点．其中正确的是________．(把你认为正确结论的序号都填上) 8．如果定义在R 上的函数f (x )满足：对任意的x 1≠x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)≥x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称f (x )为“H 函数”，给出下列函数：①y ＝－x 3＋x ＋1；②y ＝3x －2(sin x －cos x )；③y ＝1－e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，0，x <1；⑤y ＝x x 2＋1. 其中是“H 函数”的是________．(写出所有满足条件的函数的序号)在(0，＋∞)上单调递减，可知D 正确．故选D.答案：D3．解析：由题意知，(m －5)＋(1－2m )＝0，解得m ＝－4.又当x >0时，f (x )＝2x －1，则f (m )＝f (－4)＝－f (4)＝－(24－1)＝－15.故选A.答案：A4．解析：y ＝x 2e x ≥0，排除选项C ；函数y ＝x 2e x 既不是奇函数也不是偶函数，排除选项D ；当x →＋∞时，y →＋∞，排除选项B.综上，选A.答案：A5．解析：由题中图象可得a (－1)＋b ＝3. ln(－1＋a )＝0，∴a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln (x ＋2)，x ≥－1.故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.答案：C6．解析：∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (x )为奇函数．又当x ≥0时，f (x )＝2＋m 2x －1，则f (0)＝2＋m1－1＝0，∴m ＝－1.∴当x ≥0时，f (x )＝12x －1.∴f (－1)＝－f (1)＝－⎝⎛⎭⎫12－1＝12.故选C. 答案：C7．解析：因为y ＝ln x 关于直线y ＝x 的对称图形是函数y ＝e x 的图象，且把y ＝e x 的图象向左平移一个单位长度后，得到函数y ＝e x ＋1的图象，所以f (x )＝e x ＋1.故选C.答案：C8．解析：由题意，得f (x )在(－∞，0]上单调递增，且f (1)＝－1，所以f (2x －1)≥f (1)，则|2x －1|≤1，解得0≤x ≤1.故选C.答案：C9．解析：当x 由0→12时，t 从－∞→0，且单调递增，当x 由12→1时，t 从0→＋∞，且单调递增，所以排除A 、B 、C ，故选D.答案：D10．解析：根据题意得函数f (x )是周期为2的函数，作出函数f (x )的大致图象，如图所示，数形结合易知f (x )∈[0,1]，则sgn f (x )＝0或sgn f (x )＝1，可知A 错误； f ⎝⎛⎭⎫4 0412＝f ⎝⎛⎭⎫2 02012＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，可知B 错误； f (2k )＝0(k ∈Z )，则sgn f (2k )＝0(k ∈Z )，可知C 正确；当k ＝2时，sgn(f (2))＝sgn(0)＝0，|sgn 2|＝1，可知D 错误．答案：C11．解析：由函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，可得其图象关于y 轴对称，因此函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，又f (x )在(－∞，a )上是增函数，所以函数y ＝f (x )在(a ，＋∞)上是减函数．由于x 1<a ，x 2>a 且|x 1－a |<|x 2－a |，所以x 1到对称轴的距离比x 2到对称轴的距离小，故f (x 1)>f (x 2)．答案：A12．解析：对任意的x ∈R ，都有f (x ＋1)＝f (x －1)，则f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为2的周期函数；因为函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称；因为对任意的x 1，x 2∈[0,1]，都有[f (x 1)－f (x 2)](x 1－x 2)>0，所以该函数在[0,1]上单调递增．因为f (3)＝f (1)，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫12，f (2)＝f (0)，1>12>0，所以f (3)>f ⎝⎛⎭⎫32>f (2)，故选D. 答案：D13．解析：方法一令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t ，于是f (t )＝1e 1－t ，即f (x )＝1e 1－x ，故f (2)＝e.方法二由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e＝e ，即f (2)＝e.答案：e14．解析：如图，画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≥0)，2x ＋2(x <0)的大致图象，可知函数f (x )是增函数，若f (t ＋1)>f (2t －4)，则只需要t ＋1>2t －4，解得t <5.答案：(－∞，5)15．解析：由于函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＋f (2－x )＝0，所以f (x )＝－f (2－x )＝f (x －2)，所以2是函数f (x )的周期，则f ⎝⎛⎭⎫185＝f ⎝⎛⎭⎫185－4＝f ⎝⎛⎭⎫－25＝－f ⎝⎛⎭⎫25＝－R ⎝⎛⎭⎫25＝－15， f (lg 30)＝f (lg 3＋lg 10)＝f (lg 3＋1)＝f (lg3－1)＝－f (1－lg 3)＝－R (1－lg 3)＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫185＋f (lg 30)＝－15.答案：－1516．解析：f (x )＝x e x ＋x ＋2e x ＋1＋sin x ＝x (e x ＋1)＋2e x ＋1＋sin x ＝2e x＋1＋x ＋sin x ，所以f (－x )＝2e －x ＋1－x ＋sin(－x )＝2e x e x ＋1－x －sin x ，所以f (x )＋f (－x )＝2e x ＋1＋2e xe x ＋1＝2，所以f (0)＋f (0)＝2⇒f (0)＝1，所以 f (－5)＋f (－4)＋f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝5×2＋1＝11. 答案：11[B·素养提升]＋b ，其定义域为[－2,2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2x，易知g (x )在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，即⎣⎡⎦⎤－2，－12. 答案：⎣⎡⎦⎤－2，－12 7．解析：令x ＝－2，得f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，得f (－2)＝0，由于函数f (x )为偶函数，故f (2)＝f (－2)＝0，所以f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的一个周期为4，故①正确．由于函数f (x )为偶函数，故f (－4＋x )＝f (4－x )＝f (4－8－x )＝f (－4－x )，所以直线x ＝－4是函数f (x )图象的一条对称轴，故②正确．根据前面的分析，结合函数f (x )在区间[0,2]上是增函数，画出函数图象的大致趋势如图所示．由图可知，函数f (x )在[－6，－4)上单调递减，故③错误．根据图象可知，f (2)＝f (6)＝f (10)＝…＝f (98)＝0，零点的周期为4，所以f (x )在[0,100]内共有25个零点，故④正确．综上所述，正确的序号有①②④.答案：①②④8．解析：因为x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)≥x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，所以f (x 1)(x 1－x 2)－f (x 2)(x 1－x 2)≥0，即[f (x 1)－f (x 2)](x 1－x 2)≥0，分析可得，若函数f (x )为“H 函数”，则函数f (x )为增函数或常函数．对于①，y ＝－x 3＋x ＋1，则y ′＝－3x 2＋1，所以y ＝－x 3＋x ＋1既不是R 上的增函数也不是常函数，故其不是“H 函数”；对于②，y ＝3x －2(sin x －cos x )，则y ′＝3－2(cos x ＋sin x )＝3－22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4>0，所以y ＝3x －2(sin x －cos x )是R 上的增函数，故其是“H 函数”；对于③，y ＝1－e x是R 上的减函数，故其不是“H 函数”；对于④，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，0，x <1，当x <1时，是常函数，当x ≥1时，是增函数，故其是“H 函数”；对于⑤，y ＝x x 2＋1，当x ≠0时，y ＝1x ＋1x ，不是R 上的增函数也不是常函数，故其不是“H 函数”．所以满足条件的函数的序号是②④.答案：②④。

高考数学二轮简易通全套课时检测三角函数新人教版

广州大学附中2013年创新设计高考数学二轮简易通全套课时检测：三角函数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．半径为1cm ，中心角为0150的角所对的弧长为( )A ．cm 32B ．cm 32πC ．cm 65D ．cm 65π【答案】D2．要得到函数cos y x =2的图像,只需把函数sin y x =的图像( )A ．沿x 轴向左平移π2个单位，再把横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变 B ．沿x 轴向右平移π2个单位，再把横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变C ．横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变再沿x 轴向右平移π4个单位D ．横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变,再沿x 轴向左平移π4个单位【答案】DA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B4．如图，矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，将矩形ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在边BC 的点F 处．若AE=5，BF=3，则CD 的长是( )A ． 7B ． 8C ． 9D ．10【答案】C5．已知sin （200+α）=13，则cos （1100+α）=( )A ．-13 B ．13C ．3D ．-3【答案】A6．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么，这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2C ．2sin 1D ．2sin 1 【答案】C 7( ) A ．3cos 5π B ．3cos5π- C ．3cos5π± D ．2cos5π 【答案】B 8．cos (－320π)的值是( ) A ．21 B ．－21 C ．23 D ．－23 【答案】B9．扇形面积是1平方米，周长为4米，则扇形中心角的弧度数是( )A ． 2B ． 1C ．πD ．2π 【答案】A 10．已知3sin(),45x π-=则 sin 2x 的值为( ) A ． 1925 B ． 1425 C ． 1625D ．725【答案】D11．若 -1<sin α<0，则角α的终边在( )A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限【答案】D12．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b=( ) A ．231+ B ．31+C ．232+ D ．32+【答案】A第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知两灯塔A 、B 与观测点C 的距离都等于a km,灯塔A 在观测点C 的北偏东20︒，灯塔B 在观测点C 的南偏东40︒，则灯塔A 与B 的距离为 km.14．若cos 2sin()4απα=-，则sin cos αα+的值为____________。

高中数学--《函数概念与基本初等函数》测试题(含答案)

高中数学--《函数概念与基本初等函数》测试题（含答案）1.已知集合A到B的映射，那么集合A中元素2在B中所对应的元素是（）A．2 B．5 C．6 D．8【答案解析】B2.函数的定义域是()A．[－1，＋∞)B．[－1,0) C．(－1，＋∞) D．(－1,0)【答案解析】C3.设函数是上的减函数，则有（）A．B．C．D．【答案解析】D4.下列哪组中的两个函数是同一函数（）A. 与B.与C. 与D.与【答案解析】B5.（）A. B. C. D.【答案解析】C6.函数y＝的定义域是()A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C.(2，3)∪(3，＋∞) D．(2，4)∪(4，＋∞)C7.下列函数中为偶函数的是（）A.y=|x＋1|B.C.y=＋xD. y=＋【答案解析】D8.已知f(x)= ,则f[f(―1)]=( )A.0B.1C. πD. π＋1【答案解析】C9.下列各组函数中表示同一函数的是（）A．f(x)=，g(x)=( )2 B．f(x)= ,g(x)=x+1C．f(x)=|x|,g(x)= D．f(x)=,g(x)= 【答案解析】B10.当时A. B. C. D.【答案解析】C11.函数f(x)＝的定义域为（）A. B . C. D.【答案解析】D12.已知则＝（）A. B. C. D.C13.下列各组函数表示同一函数的是（）A． B．C． D．【答案解析】C14.设，则（）A．1 B． C． D．【答案解析】B15.函数恒过定点（）A．B．C．D．【答案解析】B16.函数，则的值是（）A、1B、C、2D、【答案解析】A17.下列各组函数是同一函数的是()A．与y＝1 B．与C.与 D．与y＝x＋2 【答案解析】C18.已知函数，则等于A．1 B．-1 C. D．2【答案解析】C19.下列函数中，是奇函数且在区间内单调递减的函数是（）A． B． C． D．【答案解析】C不是奇函数。

是奇函数且单调递增。

2021-2022年(新课程)高中数学二轮复习精选过关检测1函数与导数、不等式新人教版

2021-2022年（新课程）高中数学二轮复习精选过关检测1函数与导数、不等式新人教版一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,4}，N ＝{1,3,5}，则N ∩(∁U M )＝( )．A ．{1,3}B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{4,5}2．若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋bc＜0；(3)a－c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 3．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (a )＝1，则a 等于( )．A ．0B ．1C ．2D ．34．(xx·汕头测评)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( )．A ．1 B.12 C ．－12 D ．－15．函数f (x )＝2x－x －2的一个零点所在的区间是( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)6．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )．7．(xx·泉州质检)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ，则“f (2)≥0”是“函数f (x )在(1，＋∞)单调递增”的( )．A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要8．下列结论错误的是( )．A ．命题“若p ，则q ”与命题“若綈q ，则綈p ”互为逆否命题B ．命题p ：∀x ∈[0,1]，e x ≥1；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0，则p ∨q 为真 C ．“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真命题 D ．若p ∨q 为假命题，则p 、q 均为假命题9．(xx·太原模拟)a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋3b ＝1，则3a ＋1b的最小值为( )．A ．12B ．16C ．24D ．3210．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于( )．A ．1B ．2C ．0 D. 2二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 11．函数y ＝log 2x (3－x )的定义域是________．12．(xx·江苏)函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．13．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则极大值与极小值之差为________．14．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，给出下列命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数；④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为________(把所有正确命题的序号都填上)．三、解答题(本大题共5小题，共54分)15．(10分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3(a ≠0)，若不等式f (x )＞0的解集为(－1,3)．(1)求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在x ∈[m,1]上的最小值为1，求实数m 的值． 16．(10分)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1.(1)设a ＝2，求f (x )的单调区间；(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围. 17．(10分)已知函数f (x )＝13ax 3＋bx 2＋x ＋3，其中a ≠0.(1)当a ，b 满足什么条件时，f (x )取得极值？(2)已知a ＞0，且f (x )在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围． 18．(12分)(xx·郑州质检)设函数f (x )＝ln x －p (x －1)，p ∈R .(1)当p ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)(x ≥1)，求证：当p ≤－12时，有g (x )≤0.19．(12分)(xx·临沂一模)设函数f (x )＝x e x，g (x )＝ax 2＋x .(1)若f (x )与g (x )具有完全相同的单调区间，求a 的值； (2)若当x ≥0时恒有f (x )≥g (x )，求a 的取值范围．参考答案1．C [∁U M ＝{2,3,5}，N ＝{1,3,5}，则N ∩(∁U M )＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．] 2．C [∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，∴(1)错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )， ∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd＜0，∴(2)正确．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ， ∴(3)正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，∴(4)正确，故选C.] 3．B [由f (a )＝1，得log 2(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝2，∴a ＝1.]4．A [由y ′＝2ax ，又点(1，a )在曲线y ＝ax 2上，依题意得k ＝y ′|x ＝1＝2a ＝2.解得a ＝1.]5．B [观察函数y ＝2x和函数y ＝x ＋2的图象可知，函数f (x )＝2x－x －2有一个大于零的零点，又f (1)＝1－2＜0，f (2)＝2－2＞0，根据函数零点的存在性定理知函数的一个零点在区间(1,2)上．]6．D [当x ∈(－∞，0)时，f (x )是增函数，∴f ′(x )＞0，排除A 、C 项，又当x ∈(0，＋∞)时，函数f (x )有两个极值点，排除B 项，故选D.]7．C [函数f (x )在(1，＋∞)单调递增，则a ＞0，x ＝－b2a ≤1，所以b ≥－2a .这与f (2)≥0等价．而f (2)≥0，不能确定函数f (x )在(1，＋∞)单调递增．]8．C [根据四种命题的构成规律，选项A 中的结论是正确的；选项B 中的命题p 是真命题，命题q 是假命题，故p ∨q 为真命题，选项B 中的结论正确；当m ＝0时，a ＜b ⇒am 2＝bm 2，故选项C 中的结论不正确；选项D 中的结论正确，故选C.] 9．A [3a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (a ＋3b )＝3＋9b a ＋ab＋3≥6＋2a b ·9b a ＝12(当且仅当9b a ＝ab时，取“＝”号)．]10．B [∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a 2≥1，得a ≥2.又∵g ′(x )＝2x －ax ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.]11．解析由x (3－x )＞0，得0＜x ＜3，故其定义域为(0,3)．答案 (0,3)12．解析对函数y ＝x 2，y ′＝2x ，∴函数y ＝x 2(x ＞0)在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，令y ＝0，得，a k ＋1＝12a k .又∵a 1＝16，∴a 3＝12a 2＝14a 1＝4，a 5＝14a 3＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.答案 2113．解析 ∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3×22＋6a ×2＋3b ＝0，3×12＋6a ×1＋3b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.∴y ′＝3x 2－6x .令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2， ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案 414．解析取x ＝－3，则f (3)＝f (－3)＋f (3)，又y ＝f (x )是R 上的偶函数，∴f (－3)＝f (3)＝0，即f (x ＋6)＝f (x )，∴f (x )是周期函数且T ＝6，故①②正确；由题意可知f (x )在[0,3]上是增函数，∴在[－3,0]上是减函数，故在[－9，－6]上为减函数，③错误；f (－3)＝f (3)＝f (9)＝f (－9)＝0，④正确．答案 ①②④15．解 (1)由条件得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－b －2a，－1×3＝3a，解得：a ＝－1，b ＝4.(2)f (x )＝－x 2＋2x ＋3，对称轴方程为x ＝1， ∴f (x )在x ∈[m,1]上单调递增． ∴x ＝m 时，f (x )min ＝－m 2＋2m ＋3＝1，解得m ＝1± 3.∵m ＜1，∴m ＝1－ 3. 16．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 3－6x 2＋3x ＋1.f ′(x )＝3x 2－12x ＋3＝3(x 2－4x ＋1)＝3(x －2＋3)(x －2－3)．当x ＜2－3，或x ＞2＋3时，得f ′(x )＞0；当2－3＜x ＜2＋3时，得f ′(x )＜0.因此f (x )递增区间是(－∞，2－3)与(2＋3，＋∞)；f (x )的递减区间是(2－3，2＋3)．(2)f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3，Δ＝36a 2－36，由Δ＞0得，a ＞1或a ＜－1，又x 1x 2＝1，可知f ′(2)＜0，且f ′(3)＞0，解得54＜a ＜53，因此a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫54，53.17．解 (1)由题意知，f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋1，当(2b )2－4a ≤0时，f (x )无极值，当(2b )2－4a ＞0，即b 2＞a 时，f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋1＝0有两个不同的解，即x 1＝－b －b 2－aa，x 2＝－b ＋b 2－a a，因此f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．①当a ＞0时，f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：12 ②当a ＜0时，f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：12(2)由题意知f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋1≥0在区间(0,1]上恒成立，则b ≥－ax2－12x，x ∈(0,1]．设g (x )＝－ax2－12x，x ∈(0,1]． ①当1a∈(0,1]，即a ≥1时，g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋12x ≤－2a4＝－a .等号成立的条件为x ＝1a∈(0,1]，[g (x )]最大值＝g ⎝⎛⎭⎪⎫1a ＝－a ，因此b ≥－a . ②当1a ＞1，即0＜a ＜1时，g ′(x )＝－a2＋12x 2＝1－ax 22x 2＞0，[g (x )]最大值＝g (1)＝－a2－12＝－a ＋12，所以b ≥－a ＋12. 综上所述，当a ≥1时，b ≥－a ；当0＜a ＜1时，b ≥－a ＋12.18．(1)解当p ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1，其定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1x－1，由f ′(x )＝1x－1＞0，得0＜x ＜1，所以f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)证明由函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1) ＝x ln x ＋p (x 2－1)，得g ′(x )＝ln x ＋1＋2px .由(1)知，当p ＝1时，f (x )≤f (1)＝0，即不等式ln x ≤x －1成立，所以当p ≤－12时，g ′(x )＝ln x ＋1＋2px ≤(x －1)＋1＋2px ＝(1＋2p )x ≤0，即g (x )在[1，＋∞)上单调递减，从而g (x )≤g (1)＝0满足题意． 19．解 (1)f ′(x )＝e x＋x e x＝(1＋x )e x，当x ＜－1时，f ′(x )＜0，f (x )在(－∞，－1)内单调递减；当x ＞－1时，f ′(x )＞0，f (x )在(－1，＋∞)内单调递增．又g ′(x )＝2ax ＋1，由g ′(－1)＝－2a ＋1＝0得，a ＝12.此时g (x )＝12x 2＋x ＝12(x ＋1)2－12，显然g (x )在(－∞，－1)内单调递减，在(－1，＋∞)内单调递增，故a ＝12.(2)由f (x )≥g (x )，得f (x )－g (x )＝x (e x－ax －1)≥0，令F (x )＝e x －ax －1，则F ′(x )＝e x－a . ∵x ≥0，∴F ′(x )＝e x－a ≥1－a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )＞0，F (x )为增函数，而F (0)＝0，从而当x ≥0，F (x )≥0，即f (x )≥g (x )；若a ＞1，则当x ∈(0，ln a )时，F ′(x )＜0，F (x )为减函数，而F (0)＝0，从而当x ∈(0，ln a )时F (x )＜0，即f (x )＜g (x )，则f (x )≥g (x )不成立．综上，a 的取值范围为(－∞，1]．36947 9053 道125869 650D 攍25423 634F 捏21404 539C 厜f 29719 7417 琗 33460 82B4 芴`28464 6F30漰 U34268 85DC 藜。

高考数学二轮简易通全套课时检测立体几何新人教版

广州大学附中2013年创新设计高考数学二轮简易通全套课时检测：立体几何本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．—个几何体的正视图与侧视图相同，均为下图所示，则其俯视图可能是( )【答案】B2．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，a 、b 的夹角的余弦值为89，则λ的值为( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255【答案】C3．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于( )A ．BCD 【答案】D4．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点M 为AC 与的BD 的交点，AB a = ，AD b = ，1A A c =，则下列向量中与1B M相等的是( )A ． 1122a b c -++B ． 1122a b c ++C ． 1122a b c -+D ． 1122a b c --+【答案】A5．已知一几何体的三视图如图，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何形体可能是 ①矩形；②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；③每个面都是直角三角形的四面体．A ．①②B ．①②③C ．①③D ．②③ 【答案】B6．已知点A 的坐标是(1-t , 1-t , t), 点B 的坐标是(2 , t, t), 则A 与B 两点间距离的最小值为（）A ．55B ．555 C ．553 D ．511 【答案】C7．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A ．1π+32B ．41π+36C ．1π+66D ．21π+32【答案】C8．下列命题中，正确的是A ．一个平面把空间分成两部分；B ．两个平面把空间分成三部分；C ．三个平面把空间分成四部分；D ．四个平面把空间分成五部分。

高考数学二轮简易通全套课时检测算法初步与框图新人教版

广州大学附中2013年创新设计高考数学二轮简易通全套课时检测：算法初步与框图本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点)1,2,3(-M 关于面yoz 对称的点的坐标是( )A ．)1,2,3(--B ．)1,2,3(--C ．)1,2,3(-D ．)1,2,3(--- 【答案】A2．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A ．283π-B ．83π-C ．82π-D ．23π 【答案】A3．圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )A ．S πB ．S π2C ．S π4D ．S π332 【答案】C4．下面图形中是正方体展开图的是( )【答案】A5．下列命题中错误的是( )A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】D6．给出下列命题：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形所围成的几何体是棱锥； ③用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台.以上命题中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A7．已知空间四边形OABC 中，，，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则=( ) A ．213221+- B ．212132++- C ．212121-+ D ．213232-+【答案】B8．一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为( )123侧视图正视图A ．1B ．2C ．3D ．1或2【答案】D9．O 为空间任意一点，若818143++=，则A ，B ，C ，P 四点( ) A ．一定不共面 B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断【答案】B10．已知空间四边形OABC 中，，，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则=( ) A ．213221+-B ．212132++-C ．212121-+D ．213232-+ 【答案】B11．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B12．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM ∥DE ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成600角 ④DM 与BN 是异面直线以上命题中，正确命题的序号是( )A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④ 【答案】C第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．以正方体的顶点为顶点所构成的四棱锥和四面体的个数之差的绝对值是。

2022年高考数学总复习第二章第6课时函数与方程课时闯关（含解析）新人教版

2022年高考数学总复习第二章第5课时一次函数和二次函数
随堂检测（含解析）新人教版
一、选择题
1．若函数f＝a＋b有一个零点是2，那么函数g＝b2－a的零点是
A．0,2 B．0，错误!
C．0，－错误!D．2，－错误!
解析：选C∵2a＋b＝0，∴g＝－2a2－a＝
－a2＋1，所以零点为0和－错误!
2．2022·高考课标全国卷在下列区间中，函数f＝e＋4－3的零点所在的区间为
解析：选C∵f＝e＋4－3，∴f′＝e＋4>0
∴f在其定义域上是严格单调递增函数．
∵f错误!＝e－错误!－40，
∴f错误!·f错误!1
2f＝0在区间[0,2]上有两解，则
错误!
∴－错误!≤m≤－1由12知：m≤－1
11．探究选做是否存在这样的实数a，使函数f＝2＋3a－2＋a－1在区间[－1,3]上与轴恒有一个交点，且只有一个交点若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．解：若实数a满足条件，则只需f－1·f3≤0即可．
f－1·f3＝1－3a＋2＋a－1·9＋9a－6＋a－1
＝41－a5a＋1≤≤－错误!或a≥1
检验：1当f－1＝0时，a＝＝2＋
令f＝0，即2＋＝0，得＝0或＝－1
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1
2当f3＝0时，a＝－错误!此时f＝2－错误!－错误!
令f＝0，即2－错误!－错误!＝0，解之，得＝－错误!或＝3
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－错误!
综上所述，a1。

高三数学二轮复习 1.2.2 函数与方程及函数的应用课时巩固过关练理新人教版(2021年整理)

2017届高三数学二轮复习1.2.2 函数与方程及函数的应用课时巩固过关练理新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017届高三数学二轮复习1.2.2 函数与方程及函数的应用课时巩固过关练理新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时巩固过关练四函数与方程及函数的应用（35分钟55分)一、选择题（每小题5分,共20分)1.(2016·荆州一模)函数f（x)=lnx—的零点所在的区间是（）A.（1,2）B。

（2，3)C。

(3，4) D。

（e,+∞)【解析】选B。

因为f(x）=lnx—，则函数f（x)在（0,+∞)上单调递增，因为f（2）=ln2-1〈0,f（3）=ln3-〉0，所以f(2）f(3）<0，所以在区间(2，3）内函数f(x）存在零点。

2。

(2016·张掖一模)已知函数f（x)=e x+x，g（x）=lnx+x,h(x)=x-的零点依次为a，b,c,则( )A。

c<b<a B.a<b<cC.c<a〈bD.b〈a<c【解题导引】分别由f（x）=0，g（x）=0，h（x)=0，利用图象得到零点a，b，c的取值范围,然后判断大小即可.【解析】选B。

由f(x)=0得e x=-x,由g（x）=0得lnx=-x.由h(x)=0得x=1，即c=1.在坐标系中，分别作出函数y=e x，y=—x，y=lnx的图象，由图象可知a<0,0〈b<1,所以a〈b〈c.【加固训练】设函数f(x）=3x+2x-4，函数g（x）=log2x+2x2—5，若实数m，n分别是函数f（x)，函数g(x）的零点,则( )A。

核按钮(新课标)高考数学一轮复习(课时精讲+课时检测+单元检测)第二章函数的概念、基本初等函数Ⅰ及

第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用1.函数(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．(3)了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义．(5)会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．2．指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景． (2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象． (4)体会指数函数是一类重要的函数模型． 3．对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象．(3)体会对数函数是一类重要的函数模型．(4)了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．4．幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x的图象，了解它们的变化情况．5．函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．6．函数模型及其应用 (1)了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．§2.1 函数及其表示1．函数的概念一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有________f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个________，记作y ＝f (x )，x ∈A ，其中，x 叫做________，x 的取值范围A 叫做函数的________；与x 的值相对应的y 值叫做________，其集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的________．2．函数的表示方法 (1)解析法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法．(2)图象法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法．(3)列表法：就是________表示两个变量之间的对应关系的方法．3．构成函数的三要素(1)函数的三要素是：________，________，________.(2)两个函数相等：如果两个函数的________相同，并且________完全一致，则称这两个函数相等．4．分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．5．映射的概念一般地，设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于A 中的________元素x ，在集合B 中都有________元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．6．映射与函数的关系(1)联系：映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的_______________．(2)区别：函数是从非空数集．．A 到非空数集．．B 的映射；对于映射而言，A 和B 不一定是数集．．． 7．复合函数一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))，其中y ＝f (u )叫做复合函数y ＝f (g (x ))的外层函数，u ＝g (x )叫做y ＝f (g (x ))的内层函数．自查自纠： 1．唯一确定的数函数自变量定义域函数值值域2．(1)数学表达式 (2)图象 (3)列出表格 3．(1)定义域对应关系值域 (2)定义域对应关系5．任意一个唯一确定的 6．(1)映射(2014·山东)函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 解：(log 2x )2－1＞0，即log 2x ＞1或log 2x ＜－1，解得x ＞2或0＜x ＜12，故所求的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．故选C .(2014·江西)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥0，2－x ，x ＜0，(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 解：f (－1)＝2，f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1，∴a ＝14.故选A .下列各图表示两个变量x ，y 的对应关系，则下列判断正确的是( )A ．都表示映射，都表示y 是x 的函数B ．仅③表示y 是x 的函数C ．仅④表示y 是x 的函数D ．都不能表示y 是x 的函数解：根据映射的定义，①②③中，x 与y 的对应关系都不是映射，当然不是函数关系，④是映射，是函数关系．故选C.(2014·南京模拟)函数y ＝11－x＋log 2(2x －1)的定义域为________．解：依题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，2x －1>0，解得12<x <1.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (2014·新课标Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解：由题设知f (x )≤2可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，e x －1≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x 13≤2，解得x ≤8.故填(－∞，8]．类型一函数和映射的定义下列对应是集合P 上的函数的是________．①P ＝Z ，Q ＝N *，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应；②P ＝{－1，1，－2，2}，Q ＝{1，4}，对应关系f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；③P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应关系f ：对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应．解：由于①中集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，而③中集合P 不是数集，所以①和③都不是集合P 上的函数．由题意知，②正确．故填②.点拨：函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应关系是否给出；②根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域内的每一个值是否都有唯一确定的函数值y 与之对应；③集合P ，Q 是否为非空数集．(2013·南昌模拟)给出下列四个对应：①A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y ＝1x ＋1；②A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12a ∈N *，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b |b ＝1n ，n ∈N *，对应关系f ：a →b ，b ＝1a；③A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y 2＝x ；④A ＝{x |x 是平面α内的矩形}，B ＝{y |y 是平面α内的圆}，对应关系f ：每一个矩形都对应它的外接圆．其中是从A 到B 的映射的为________．解：对于①，当x ＝－1时，y 值不存在，所以①不是从A 到B 的映射；对于②，A ，B 两个集合分别用列举法表述为A＝{2，4，6，…}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，13，14，…，由对应关系f ：a →b ，b ＝1a知，②是从A 到B 的映射；③不是从A 到B 的映射，如A 中元素1对应B中两个元素±1；④是从A 到B 的映射．故填②④.类型二判断两个函数是否相等已知函数f (x )＝|x －1|，则下列函数中与f (x )相等的函数是( )A ．g (x )＝|x 2－1||x ＋1|B ．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－1||x ＋1|，x ≠－1，2，x ＝－1C ．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞0，1－x ，x ≤0 D ．g (x )＝x －1解：∵g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－1||x ＋1|＝|x －1|，x ≠－1，2，x ＝－1，与f (x )的定义域和对应关系完全一致，故选B .点拨：两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关．在对函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变(即是否是等价变形)；对于含绝对值的函数式可以展开为分段函数后再判断．(2013·杭州质检)下列各组函数中，是同一函数的是( )A ．f (x )＝x 2，g (x )＝3x 3B ．f (x )＝|x |x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x ＜0C ．f (x )＝2n ＋1x 2n ＋1，g (x )＝(2n －1x )2n －1，n ∈N *D ．f (x )＝x ·x ＋1，g (x )＝x （x ＋1）解：对于A ，f (x )＝x 2＝|x |，g (x )＝3x 3＝x ，它们的值域和对应关系都不同，所以不是同一函数；对于B ，函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g (x )的定义域为R ，所以不是同一函数；对于C ，当n ∈N *时，2n ±1为奇数，则f (x )＝2n ＋1x 2n ＋1＝x ，g (x )＝(2n －1x )2n －1＝x ，它们的定义域、对应关系都相同，所以是同一函数；对于D ，f (x )的定义域为[0，＋∞)，而g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，它们的定义域不同，所以不是同一函数．故选C.类型三求函数的定义域(1)求函数f (x )＝12－|x |＋x 2－1＋(x－4)0的定义域．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[－1，1)，求y ＝ f (x 2－3)的定义域．解：(1)要使函数有意义须满足⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |≠0，x 2－1≥0，x －4≠0.解得x ≥1且x ≠2，x ≠4或x ≤－1且x ≠－2.∴函数的定义域为{x |x ≥1且x ≠2，x ≠4或x ≤－1且x ≠－2}，用区间表示为(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1，2)∪(2，4)∪(4，＋∞)．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3≥－1，x 2－3＜1，解得⎩⎨⎧x ≤－2或x ≥2，－2＜x ＜2.∴函数的定义域为(－2，－2]∪[2，2)．点拨：求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x 的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x 轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y ＝f (x )用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的x 的集合，一般通过列不等式(组)求其解集．若已知函数y ＝f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数y ＝f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 解出．(1)已知函数f (2x －1)的定义域为[1，4]，求函数f (x )的定义域．(2)已知函数f (2x －1)的定义域为[1，4]，求函数f (2x)的定义域．解：(1)∵函数f (2x －1)的定义域为[1，4]， ∴1≤x ≤4，1≤2x －1≤7，故函数f (x )的定义域是[1，7]．(2)由(1)知，函数f (x )的定义域为[1，7]，令1≤2x≤7，得0≤x ≤log 27，故所求函数的定义域为[0，log 27]．类型四求函数的值域求下列函数的值域：(1)y ＝1－x 21＋x2； (2)y ＝2x ＋1－x ； (3)y ＝2x ＋1－x 2； (4)y ＝x 2－2x ＋5x －1；(5)若x ，y 满足3x 2＋2y 2＝6x ，求函数z ＝x 2＋y 2的值域；(6)f (x )＝||2x ＋1－||x －4. 解：(1)解法一：(反解)由y ＝1－x 21＋x 2，解得x 2＝1－y 1＋y， ∵x 2≥0，∴1－y 1＋y≥0，解得－1＜y ≤1，∴函数值域为(－1，1]．解法二：(分离常数法)∵y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x2，又∵1＋x 2≥1，∴0＜21＋x2≤2，∴－1＜－1＋2x 2＋1≤1， ∴函数的值域为(－1，1]． (2)(代数换元法)令t ＝1－x (t ≥0)，∴x ＝1－t 2，∴y ＝2(1－t 2)＋t ＝－2t 2＋t ＋2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋178. ∵t ≥0，∴y ≤178，故函数的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，178. (3)(三角换元法)令x ＝cos t (0≤t ≤π)，∴y ＝2cos t ＋sin t ＝5sin(t ＋φ) ⎝⎛⎭⎪⎫其中cos φ＝15，sin φ＝25.∵0≤t ≤π，∴φ≤t ＋φ≤π＋φ， ∴sin (π＋φ)≤sin(t ＋φ)≤1. 故函数的值域为[－2，5]． (4)解法一：(不等式法)∵y ＝x 2－2x ＋5x －1＝（x －1）2＋4x －1＝(x －1)＋4x －1，又∵x ＞1时，x －1＞0，x ＜1时，x －1＜0，∴当x >1时，y ＝(x －1)＋4x －1≥24＝4，且当x ＝3，等号成立；当x <1时，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－（x －1）＋4－（x －1）≤－4，且当x ＝－1，等号成立．∴函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．解法二：(判别式法)∵y ＝x 2－2x ＋5x －1，∴x 2－(y ＋2)x ＋(y ＋5)＝0，又∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，∴方程x 2－(y ＋2)x ＋(y ＋5)＝0有不等于1的实根．∴Δ＝(y ＋2)2－4(y ＋5)＝y 2－16≥0，解得y ≤－4或y ≥4.当y ＝－4时，x ＝－1；y ＝4时，x ＝3. 故所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． (5)(单调性法)∵3x 2＋2y 2＝6x ，∴2y 2＝6x －3x 2≥0，解得0≤x ≤2.z ＝x 2＋y 2＝x 2＋3x －32x 2＝－12x 2＋3x ＝－12(x －3)2＋92.∵对称轴为x ＝3＞2，即z 在x ∈[0，2]上单调递增．∴当x ＝0时，z 有最小值0，当x ＝2时，z 有最大值4，故所求函数的值域为[0，4]． (6)(图象法)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ＜－12，3x －3，－12≤x ≤4，x ＋5，x ＞4，作出其图象，可知函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞.点拨：求函数值域的常用方法：①单调性法，如(5)；②配方法，如(2)；③分离常数法，如(1)；④数形结合法；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)，如(2)，(3)；⑥判别式法，如(4)；⑦不等式法，如(4)，(5)；⑧导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；⑨图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如(6)；对于二元函数的值域问题，如(5)，其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域，有些题目也可用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．求下列函数的值域：(1)y ＝x ＋x －1；(2)y ＝1＋4x ＋x 21＋x 2； (3)f (x )＝x 2＋5x 2＋4.解：(1)函数的定义域为[1，＋∞)，在[1，＋∞)上y ＝x 和y ＝x －1都是增函数， ∴y ＝x ＋x －1也是增函数，∴当x ＝1时取得最小值1，∴函数的值域是[1，＋∞)．(2)解法一：变形得：y ＋yx 2＝1＋4x ＋x 2，∴(1－y )x 2＋4x ＋1－y ＝0，y ＝1时，x ＝0； y ≠1时，∵x ∈R ，∴Δ＝16－4(1－y )2≥0⇒－1≤y ≤3且y ≠1. ∴函数值域为[－1，3]．解法二：y ＝1＋4x1＋x 2，而－1－x 2≤2x ≤1＋x 2，1＋x 2＞0.∴－1－x 21＋x 2≤2x 1＋x 2≤1＋x 21＋x 2，∴－1≤2x 1＋x2≤1. ∴1＋2×(－1)≤1＋2×2x1＋x2≤1＋2×1，即－1≤y ≤3，∴函数的值域为[－1，3]．(3)f (x )＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4.令f (x )＝t ＋1t ，而t ＋1t在[2，＋∞)上是增函数．∴t ＋1t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞. ∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞. (说明：此题易错写成f (x )＝x 2＋4＋1x 2＋4≥2.∴f (x )的值域为[2，＋∞)．请想一想，错在哪里？)类型五求函数的解析式求下列函数的解析式：(1)已知f (x )是一次函数，并且f [f (x )]＝4x ＋3，求f (x )；(2)已知f (2x ＋1)＝4x 2＋8x ＋3，求f (x )；(3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2－3，求f (x )；(4)已知f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ＋2，求f (x )．解：(1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3. 故所求的函数为f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3.(2)设2x ＋1＝t ，则x ＝12(t －1)，∴f (2x ＋1)＝f (t )＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（t －1）2＋8⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（t －1）＋3＝t 2＋2t ，所以f (x )＝x 2＋2x .(3)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2－3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－5，而x ＋1x ≥2或x ＋1x≤－2，∴f (x )＝x 2－5(x ≥2或x ≤－2)．(4)令t ＝1x ，则x ＝1t，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －2f (t )＝3t＋2，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝3x ＋2，与原式联立得⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ＋2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f （x ）＝3x ＋2，解得f (x )＝－x －2x－2，故所求函数的解析式为f (x )＝－x －2x－2(x ≠0)．点拨：由y ＝f (g (x ))的解析式求函数y ＝f (x )的解析式，应根据条件，采取不同的方法：①若函数g (x )的类型已知，则用待定系数法；②已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围；③函数方程法(即解方程组法)，如(4)，将f (x )作为一个“未知数”，建立方程(组)，消去另外的“未知数”，便得到f (x )的解析式，含f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的类型常用此法．(2013·武汉模拟)(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )．解：(1)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，代入f (x ＋1)＝x ＋2x ，得f (t )＝t 2－1(t ≥1)，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由题意得3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，5a ＋b ＝17， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7. ∴f (x )＝2x ＋7. (3)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，①把x 换成1x ，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x ，② ①×2－②，得3f (x )＝6x －3x，所以f (x )＝2x －1x(x ≠0)．类型六分段函数已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ＋1），x ≤2，3－x ，x >2，则f (log 32)的值为________．解：∵log 32<2，log 36<2，log 318>2，∴f (log 32)＝f (log 32＋1)＝f (log 36)＝f (log 36＋1)＝f (log 318)＝3－log 318＝118.故填118.点拨：求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围．(2014·天津十二区联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12（－x ），x ＜0，若af (－a )＞0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，0)∪(0，1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0，1)解：根据分段函数解析式知af (－a )＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a log 12a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a log 2（－a ）＞0，解得0＜a ＜1或－1＜a ＜0.故选A .1．对应、映射和函数三者之间的关系对应、映射和函数三个概念的内涵是依次丰富的．对应中的唯一性形成映射，映射中的非空数集形成函数．也就是说，函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．2．判断两个函数是否相等判断两个函数是否相等，即是否为同一函数，只须判断它们的定义域与对应关系是否完全相同即可，与表示函数自变量的字母和函数的字母无关；当两个函数的定义域与对应关系完全相同时，它们的值域也一定相同．3．函数的表示法函数的三种表示方法在一定条件下可以相互转化，且各有优点，一般情况下，研究函数要求出函数的解析式，在通过解析式解决问题时，又需借助图象的直观性．4．函数的定义域给出函数定义域的方式有两种，一种是只给定了函数的解析式(对应关系)而没有注明定义域，此时，函数定义域是指使该解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域)；一种是由实际问题确定的或预先限定了自变量的取值范围(称为实际定义域)．需要注意的是：(1)若函数是由一些基本初等函数通过四则运算而成的，则它的定义域是各基本初等函数定义域的交集；(2)对于含有参数的函数求定义域，或已知其定义域求参数的取值范围，一般需要对参数的情况进行分类讨论；(3)若函数是由一些基本初等函数复合而成，则求函数定义域时应注意内层函数的值域为外层函数的定义域的子域(集)．5．求函数解析式的主要方法待定系数法、换元法、方程(组)法等．如果已知函数解析式的类型，可用待定系数法；若已知复合函数f (g (x ))的表达式时，可用换元法；若已知抽象函数的表达式时，常用解方程(组)法．6．函数的值域求函数的值域，不但要注意对应关系的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用．常用方法有：图象法、单调性法、配方法、换元法、分离常数法、不等式法、判别式法、导数法、数形结合法等．求函数值域的基本原则有：(1)当函数y ＝f (x )用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合．(2)当函数y ＝f (x )用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所对应的实数y 的集合．(3)当函数y ＝f (x )用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定．(4)当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定．1．设集合P ＝{x |0≤x ≤4}，M ＝{y |0≤y ≤2}，则下列表示从P 到M 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝23xB ．f ：x →y ＝x 2－x2x －2C ．f ：x →y ＝13(x －3)2D ．f ：x →y ＝x ＋5－1解：对于A ，当x ＝4时，y ＝83∉M ；对于B ，当x ＝1时，x 2－x2x －2无意义；对于C ，当x ＝0时，y ＝3∉M ； D 符合映射定义，故选D . 2．给出下面四个命题：①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0的图象是抛物线．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解：命题①，函数是一种特殊的映射，是正确的；命题②，定义域是空集，错误；命题③，y ＝2x (x ∈N )的图象是一些孤立的点，故③不对；命题④的图象关于原点对称，不是抛物线．只有①正确，故选A .3．若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域是( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．[0，1)∪(1，4]D ．(0，1)解：∵f (x )的定义域为[0，2]，∴令⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解此不等式组得0≤x <1.故选B.4．(2014·南充模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≤0，log 2x ，x >0，则“f (x )≤0”是“x ≥0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解：若f (x )≤0，则当x ≤0时，f (x )＝x 2－x ＝x (x －1)≤0，解得x ＝0；当x >0时，f (x )＝log 2x ≤0，解得0<x ≤1，∴0≤x ≤1，∴“f (x )≤0”是“x ≥0”的充分不必要条件．故选A.5．函数y ＝x ＋2－x 的最大值为 ( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 解：函数的定义域为[0，2]，y 2＝(x ＋2－x )2＝2＋2x （2－x ）≤2＋x ＋(2－x )＝4，当且仅当x ＝1时取等号，∴y ≤2.故选D.6．(2014·上海)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2] 解：当a ＜0时，f (a )＝0＜f (0)，f (0)不是f (x )的最小值．当a ≥0时，f (0)＝a 2，而x ＋1x＋a ≥2＋a (x ＝1时取等号)．∴由题意得a 2≤2＋a .解不等式a 2－a －2≤0，得－1≤a ≤2， ∴0≤a ≤2.故选D .7．(2013·安徽)函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为____________．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒x ∈(0，1]．故填(0，1]．8．(2014·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．解：作出y ＝f (x )的图象如图，由f (f (a ))≤2可得f (a )≥－2，可得a ≤ 2.故填(－∞，2]． 9．函数f (x )满足f (x －3)＝xx 2＋1.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的值域．解：(1)令x －3＝t ⇒x ＝t ＋3.∴f (t )＝t ＋3（t ＋3）2＋1＝t ＋3t 2＋6t ＋10. ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝x ＋3x 2＋6x ＋10.(2)令y ＝x ＋3x 2＋6x ＋10⇒yx 2＋6yx ＋10y ＝x ＋3，∴yx 2＋(6y －1)x ＋10y －3＝0. 当y ＝0时，x ＝－3；当y ≠0时，Δ＝(6y －1)2－4y (10y －3)≥0，∴－12≤y ≤12且y ≠0.综上知f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. 10．已知f (x )＝bx ＋12x ＋a(a ，b 为常数，ab ≠2)，且f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝k 为定值，求k 的值．解：∵f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝bx ＋12x ＋a ·bx ＋12x＋a＝（bx ＋1）（b ＋x ）（2x ＋a ）（2＋ax ）＝bx 2＋（b 2＋1）x ＋b 2ax 2＋（a 2＋4）x ＋2a. 又由条件知当x ≠0时，恒有：f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝bx 2＋（b 2＋1）x ＋b 2ax 2＋（a 2＋4）x ＋2a＝k (常数)．则f (1)·f (1)＝f (2)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝k . 即b 2＋2b ＋1a 2＋4a ＋4＝2b 2＋5b ＋22a 2＋10a ＋8，亦即2ab 2＋2a ＝a 2b ＋4b ， ∴(ab －2)(a －2b )＝0.∵ab ≠2，∴a －2b ＝0，即a ＝2b ，∴k ＝f 2(1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1a ＋22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋12（b ＋1）2＝14.11．已知函数f (x )＝（1－a 2）x 2＋3（1－a ）x ＋6. (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为[0，＋∞)，求实数a 的取值范围．解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(i )当a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合要求；(ii )当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域不为R .②若1－a 2≠0，g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数，∵f (x )的定义域为R ，∴g (x )≥0，∀x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＞0，Δ＝9（1－a ）2－24（1－a 2）≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a ＜1，（a －1）（11a ＋5）≤0⇒－511≤a ＜1.综合①②得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－511，1. (2)∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)，∴函数g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6取一切非负实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＞0，Δ＝9（1－a ）2－24（1－a 2）≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a ＜1，（a －1）（11a ＋5）≥0⇒－1＜a ≤－511.当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6的值域为[0，＋∞)，符合题目要求．故所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－511. 定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（1－x ），x ≤0，f （x －1）－f （x －2），x ＞0，则f (2 015)的值为________．解：∵x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)， ∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)．两式相加得f (x ＋1)＝－f (x －2)，∴f (x ＋3)＝－f (x )，f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，因此，f(2 015)＝f(6×335＋5)＝f(5)．又f(－1)＝log22＝1，f(0)＝log21＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝0，f(4)＝f(3)－f(2)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，∴f(2015)＝1，故填1.§2.2函数的单调性与最大(小)值1．函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：①如果对于定义域I内某个区间D上的________自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是________．②如果对于定义域I内某个区间D上的________自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是________．(2)单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ________，区间D叫做y＝f(x)的________．2．函数的最值(1)最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有________；②存在x0∈I，使得________．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：①对于任意的x∈I，都有________；②存在x0∈I，使得________．那么我们称m是函数y＝f(x)的最小值．自查自纠：1．(1)①任意两个增函数②任意两个减函数(2)单调性单调区间2．(1)①f(x)≤M②f(x0)＝M(2)①f(x)≥m②f(x0)＝m(2014·北京)下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )A．y＝e－x B．y＝x3C．y＝ln x D．y＝|x|解：由所给选项知只有y＝x3的定义域是R且为增函数．故选B.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )A．2 B．－2C．2或－2 D．0解：当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2，所以a＝±2.故选C.下列区间中，函数f(x)＝||ln（2－x）在其上为增函数的是( )A．(－∞，1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32D．[1，2)解：f(x)的定义域为(－∞，2)，f(1)＝0，当x∈[1，2)时，f(x)＝－ln(2－x)，由复合函数的单调性特征知f(x)为增函数．故选D.(2014·天津)函数f(x)＝log12(x2－4)的单调递增区间为________．解：函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x )由y＝log12t与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝log12t在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．故填(－∞，－2)．设a为常数，函数f(x)＝x2－4x＋3.若f()x＋a在[)0，＋∞上是增函数，则a的取值范围是________．解：∵f(x)＝x2－4x＋3＝()x－22－1，∴f()x＋a＝()x＋a－22－1，且当x∈[)2－a，＋∞时，函数f(x＋a)单调递增，因此2－a≤0，即a≥2.故填[2，＋∞)．类型一判断函数的单调性，求函数的单调区间(1)(2013·重庆模拟)求下列函数的单调区间：①y＝－x2＋2|x|＋3；②y＝1－x2－3x＋2；③y＝x3－3x.解：①依题意，可得当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.由二次函数的图象知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数．故y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为(－∞，－1]和[0，1]；单调减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．②由x 2－3x ＋2≥0，得x ≥2或x ≤1，设u ＝x 2－3x ＋2，则y ＝1－u ，当x ∈(－∞，1]时，u 为减函数，当x ∈[2，＋∞)时，u 为增函数，而u ≥0时，y ＝1－u 为减函数．∴y ＝1－x 2－3x ＋2的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[2，＋∞)．③y ′＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令y ′＞0，得x ＞1或x ＜－1，由y ′＜0，得－1＜x ＜1，∴y ＝x 3－3x 的单调增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调减区间为(－1，1)．(2)证明f (x )＝x 2＋1x在(1，＋∞)上为单调增函数．证法一：(定义法)设x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋1x 1－x 22－1x 2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－x 1－x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2－1x 1x 2.因为1＜x 1＜x 2，x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞2，x 1x 2＞1，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )＝x 2＋1x在(1，＋∞)上是增函数．证法二：(导数法)因为f (x )＝x 2＋1x(x ＞1)，所以f ′(x )＝2x －1x 2＝2x 3－1x2.又x ＞1，所以2x 3－1＞0且x 2＞0，所以f ′(x )＞0，所以f (x )＝x 2＋1x在(1，＋∞)上是增函数．点拨：求函数的单调区间和判断函数的单调性方法一致．通常有以下几种方法：(1)复合函数法：f (g (x ))的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解；(3)图象法：可由函数图象的直观性写出它的单调区间；(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．特别注意：单调区间必为定义域的子集．(1)下列函数中，在区间(0，1)上单调递减的是________．(填写序号即可)①f (x )＝sin x; ②f (x )＝x ＋1x；③f (x )＝log 12(x ＋3); ④f (x )＝|x ＋1|.解：结合函数性质及图象分析可知：①，④不满足题意．对于②，f ′(x )＝1－1x2，当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，则f (x )在(0，1)上递减；对于③，令u ＝x ＋3，在(0，1)上递增，而y ＝log 12u 为减函数，由复合函数单调性知，f (x )＝log 12(x ＋3)在(0，1)上单调递减．综上可知，②③在(0，1)上为减函数．故填②③.(2)求证：函数f (x )＝x 3＋x 在(－∞，＋∞)上是增函数．证法一：(定义法)任取x 1<x 2，则x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)＝(x 31＋x 1)－(x 32＋x 2)＝(x 31－x 32)＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22＋1)＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12x 22＋34x 22＋1＜0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )＝x 3＋x 在(－∞，＋∞)上是增函数．证法二：(导数法)因为f ′(x )＝3x 2＋1>0在(－∞，＋∞)上恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．类型二函数单调性的应用若函数y ＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是单调增函数，求实数a 的取值范围．解：设u ＝x 2－ax ＋3a >0，且函数u 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a2，＋∞上是单调增函数．又y ＝log 2u 是单调增函数，根据复合函数的单调性，要使函数y ＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是单调增函数，只需⎩⎪⎨⎪⎧[2，＋∞）⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2，＋∞，u ＝x 2－ax ＋3a >0（x ∈[2，＋∞））恒成立.即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，u min ＝u （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4，4－2a ＋3a >0，解得－4<a ≤4. 所以实数a 的取值范围是(－4，4]．点拨：利用函数单调性讨论参数的取值范围一般要弄清三个环节：(1)考虑函数的定义域，保证研究过程有意义，如本题中，不能忽视u ＝x 2－ax ＋3a >0； (2)弄清常见函数的单调区间与题目给出的单调区间的关系，如本题中，⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2，＋∞ 是单调增区间，[2，＋∞)是它的子集；(3)注意恒成立不等式的等价转化问题．是否存在实数a ，使函数f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2，4]上是单调增函数？证明你的结论.解：设u ＝ax 2－x >0.假设符合条件的a 存在．当a >1时，由复合函数的单调性知，只需u ＝ax 2－x 在[]2，4上是单调增函数，所以a 满足⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2，u ＝ax 2－x ＞0在[2，4]上恒成立.即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2，u min ＝u （2）＝4a －2＞0. 解得a >12，于是a >1. 当0<a <1时，由复合函数的单调性知，只需u ＝ax 2－x 在[]2，4上是单调减函数，所以a 满足⎩⎪⎨⎪⎧12a ≥4，u ＝ax 2－x ＞0在[2，4]上恒成立.即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≥4，u min ＝u （4）＝16a －4＞0，解得a ∈∅.综上，当a ∈(1，＋∞)时，函数f ()x ＝log a (ax2－x )在区间[]2，4上是单调增函数．类型三抽象函数的单调性已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值．解：(1)证法一：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，令x ＝y ＝0，得f (0)＝0，再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )．在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．因此f (x )在R 上是减函数．证法二：在R 上任取x 1，x 2且x 1>x 2，则x 1－x 2＞0. 则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数． (2)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3，3]上也是减函数， ∴f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2. 点拨：对于抽象函数单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f （x 1）f （x 2）与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形，如x 1＝x 2＋x 1－x 2或x 1＝x 2·x 1x 2等．深挖已知条件，是求解此类题的关键．在客观题的求解中，解这类题目也可考虑用特殊化方法，如本题可依题目条件取f (x )＝－23x . (2013·南昌模拟)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x ＞0，y ＞0都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x ＞1时，有f (x )＞0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明；(3)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋5)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＜2. 解：(1)f (1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＝f (x )－f (x )＝0，x ＞0.(2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明：设0＜x 1＜x 2，则由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，得f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1，∵x 2x 1＞1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＞0. ∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)∵f (6)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫366＝f (36)－f (6)，又f (6)＝1， ∴f (36)＝2，原不等式化为：f (x 2＋5x )＜f (36)，又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5＞0，1x ＞0，x 2＋5x ＜36，解得0＜x ＜4.1．证明函数的单调性与求函数的单调区间，均可运用函数单调性的定义，具体方法为差式比较法或商式比较法．注意单调性定义还有如下的两种等价形式：设x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1≠x 2，那么(1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在(a ，b )内是增函数；f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在(a ，b )内是减函数．上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率恒大于(或小于)零．(2)(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在(a ，b )内是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在(a ，b )内是减函数．2．函数单调性的判断(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性；(4)复合函数的单调性：如果y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性相同，那么y ＝f (g (x ))是增函数；如果y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性相反，那么y ＝f (g (x ))是减函数．在应用这一结论时，必须注意：函数u ＝g (x )的值域必须是y ＝f (u )的单调区间的子集．(5)在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．3．函数最值的重要结论(1)设f (x )在某个集合D 上有最小值，m 为常数，则f (x )≥m 在D 上恒成立的充要条件是f (x )min ≥m ；(2)设f (x )在某个集合D 上有最大值，m 为常数，则f (x )≤m 在D 上恒成立的充要条件是f (x )max ≤m .4．自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系可正逆互推，即若f (x )是增(减)函数，则f (x 1)＜f (x 2)⇔x 1＜x 2(x 1＞x 2)．在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可以利用函数单调性的“可逆性”，脱去“函数符号f ”，化为一般不等式求解，但运算必须在定义域内或给定的范围内进行．1．函数y ＝x －1的单调递增区间是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，1] D ．(－∞，0] 解：y ＝x －1的图象由y ＝x 的图象向右平移1个单位得到，故y ＝x －1的单调递增区间是[1，＋∞)．故选A .2．(2014·陕西)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 12 B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x D ．f (x )＝3x解：选项C ，D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．又f (x )＝3x是增函数，所以D 正确．故选D .3．(2013·西安调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2＞0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为正值B ．恒等于零C ．恒为负值D ．无法确定正负解：∵f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，∴f (x )在R 上单调递减．又x 1＋x 2＞0，则x 1＞－x 2， ∴f (x 1)＜f (－x 2)＝－f (x 2)，从而有f (x 1)＋f (x 2)＜0.故选C.4．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x <g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ）.则f (x )的值域是( )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞) 解：令x <g (x )，即x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2.令x ≥g (x )，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2.故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.当x <－1或x >2时，f (x )>f (－1)＝2；当－1≤x ≤2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f (x )≤f (－1)，即－94≤f (x )≤0.故函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)．故选D.5．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定解：由y ＝f (x )的图象及已知可得0<a <1，所以1<a ＋1<2，由于函数f (x )为偶函数，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (2)．故选A .6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)解：f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，∴T ＝8，又f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0.∵f (x )在[0，2]上是增函数，且f (x )≥0， ∴f (x )在[－2，0]上也是增函数，且f (x )≤0，又x ∈[2，4]时，f (x )＝－f (x －4)≥0，且f (x )为减函数．同理f (x )在[4，6]上为减函数且f (x )≤0，从而可得y ＝f (x )的大致图象如图所示．∵f (－25)＝f (－1)＜0，f (11)＝f (3)＞0，f (80)＝f (0)＝0.∴f (－25)＜f (80)＜f (11)，故选D .7．若函数f (x )＝||2x ＋a 的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝____________．解法一：函数的对称轴为x ＝－a2，由对称性可知－a2＝3，∴a ＝－6.解法二：由f (3)＝0⇒a ＝－6.故填－6.8. (2012·山东)若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________．解：若0<a <1，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝4，f （2）＝m ，即⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝4，a 2＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，m ＝116.∴g (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－4×116x ＝34x 在[0，＋∞)上是增函数，满足题意．若a >1，则⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝4，f （－1）＝m ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，1a＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝12. ∴g (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－4×12x ＝－x 在[0，＋∞)上是减函数，不合题意．综上知，a ＝14.故填14.9．已知a >b >0，m >0.(1)判断函数f (x )＝b ＋xa ＋x在区间(0，＋∞)内的单调性；(2)证明不等式b a <b ＋ma ＋m.解：(1)∵f (x )＝b ＋x a ＋x ＝a ＋x ＋（b －a ）a ＋x＝1－a －ba ＋x，又y ＝－a －ba ＋x在(－a ，＋∞)内为增函数，∴f (x )在(0，＋∞)内为增函数．(2)证明：∵由(1)知f (x )在(－a ，＋∞)内为增函数，∴当x 1＝0，x 2＝m 时，x 1＜x 2，有f (x 1)<f (x 2)，即b a <b ＋ma ＋m.10．用函数单调性的定义证明：f (x )＝a x ＋a －x在(0，＋∞)上是增函数(这里a ＞0且a ≠1)．证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(ax 1＋a －x 1)－(ax 2＋a －x 2)＝(ax 1－ax 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax 1－1ax 2＝1ax 1＋x 2(ax 1－ax 2)(ax 1＋x 2－1)，∵0＜x 1＜x 2，∴x 1＋x 2＞0，ax 1＋x 2＞0. (1)当a ＞1时，ax 1＋x 2＞1，ax 1＜ax 2， ∴ax 1＋x 2－1＞0，ax 1－ax 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0.(2)当0＜a ＜1时，ax 1＋x 2＜1，ax 1＞ax 2，。

2024_2025学年新教材高中数学课时检测16函数的概念一含解析新人教A版必修第一册

函数的概念(一)[A 级基础巩固]1．已知函数y ＝f (x )，则函数图象与直线x ＝a 的交点( )A ．有1个B ．有2个C ．有多数个D ．至多有一个解析：选D 依据函数的概念可知对于定义域中的随意一个自变量x 都有唯一的函数值与之对应，故选D.2．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －120＋x ＋2的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2<x <12 B ．{x |x ≥－2} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥－2，且x ≠12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >12 解析：选C 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －12≠0，x ＋2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠12，x ≥－2，即x ≥－2，且x ≠12.故选C. 3．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，假如B ＝{1，2}，那么A ∩B 肯定是( )A ．∅B ．∅或{1}C ．{1}D ．无法确定解析：选B 由题意可知，当x 2＝1时，x ＝1或x ＝－1；当x 2＝2时，x ＝2或x ＝－ 2.所以集合A 可分为含有一个、二个、三个或四个元素的集合，则A ∩B ＝∅或{1}．故选B.4．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( )A ．1B ．0C ．－1D ．2 解析：选A ∵f (x )＝ax 2－1，∴f (－1)＝a －1，f (f (－1))＝f (a －1)＝a ·(a －1)2－1＝－1.∴a (a －1)2＝0.又∵a 为正数，∴a ＝1. 5．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f （2）f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．1B ．－1C.35 D ．－35解析：选B f （2）f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22－122＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝35－3454＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－1.6．若函数y ＝ax ＋1ax 2－4ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围为________．解析：∵y ＝ax ＋1ax 2－4ax ＋3的定义域为R ，∴不等式ax 2－4ax ＋3>0的解集为R.①当a ＝0时，3>0恒成立，满意题意；②当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝16a 2－12a <0，解得0<a <34.∴实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪0≤a <34.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪0≤a <347．设f (x )＝11－x ，则f (f (x ))＝________．解析：f (f (x ))＝11－11－x ＝11－x －11－x＝x －1x .答案：x －1x (x ≠0，且x ≠1)8．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为________．解析：∵x ＝1，2，3，4，5，且f (x )＝2x －3.∴f (x )的值域为{－1，1，3，5，7}．答案：{－1，1，3，5，7}9．求下列函数的定义域：(1)f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4；(2)f (x )＝（x ＋3）0|x |－x .解：(1)要使函数式有意义，必需满意⎩⎪⎨⎪⎧3x －1≥0，1－2x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥13，x ≤12.所以13≤x ≤12，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤12. (2)要使函数式有意义，必需满意⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≠0，|x |－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－3，|x |>x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－3，x <0. 所以函数的定义域为{x |x <0且x ≠－3}．10．已知f (x )＝1－x 1＋x(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2－1(x ∈R)． (1)求f (2)，g (3)的值；(2)求f (g (3))的值及f (g (x ))．解：(1)因为f (x )＝1－x 1＋x，所以f (2)＝1－21＋2＝－13. 因为g (x )＝x 2－1，所以g (3)＝32－1＝8.(2)依题意，知f (g (3))＝f (8)＝1－81＋8＝－79， f (g (x ))＝1－g （x ）1＋g （x ）＝1－（x 2－1）1＋（x 2－1）＝2－x 2x 2(x ≠0)． [B 级综合运用]11．(多选)下列函数中，满意f (2x )＝2f (x )的是( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x 解析：选ABD 在A 中，f (2x )＝|2x |＝2|x |，2f (x )＝2|x |，满意f (2x )＝2f (x )；在B 中，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )，满意f (2x )＝2f (x )；在C 中，f (2x )＝2x ＋1，2f (x )＝2(x ＋1)＝2x ＋2，不满意f (2x )＝2f (x )；在D 中，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )，满意f (2x )＝2f (x )．12．若函数y ＝f (3x ＋1)的定义域为{x |－2≤x ≤4}，则y ＝f (x )的定义域是( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |－5≤x ≤13}C ．{x |－5≤x ≤1}D ．{x |－1≤x ≤13}解析：选 B 函数y ＝f (3x ＋1)的定义域为{x |－2≤x ≤4}，则－2≤x ≤4，则－6≤3x ≤12，所以－5≤3x ＋1≤13，所以函数y ＝f (x )的定义域是{x |－5≤x ≤13}．故选B.13．已知函数f (x )的定义域为A ＝{1，2，3，4}，值域为B ＝{7，8，9}，且对随意的x <y ，恒有f (x )≤f (y )，则满意条件的不同函数共有________个．解析：由题得，当1、2对应7时，3对应8，4对应9；当1对应7时，2、3对应8，4对应9，当1对应7时，2对应8，3、4对应9，所以一共有3个．答案：314．探究是否存在函数f (x )，g (x )满意条件：(1)定义域相同，值域相同，但对应关系不同；(2)值域相同，对应关系相同，但定义域不同．解：(1)存在，例如f (x )＝x ，g (x )＝2x ＋1，定义域和值域都是R ，但对应关系不同．(2)存在，例如f (x )＝x 2，x ∈[0，＋∞)，g (x )＝x 2，x ∈(－∞，0]，值域都是[0，＋∞)，但定义域不同．[C 级拓展探究]15．已知函数f (x )＝x 21＋x 2. (1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值； (2)由(1)中求得的结果，你发觉f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 有什么关系？并证明你的结论；解：(1)∵f (x )＝x 21＋x 2， ∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1， f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1. (2)由(1)可发觉f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1.证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1.。

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