2016年高考数学专题六：圆锥曲线【教师原创】全国通用

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圆锥曲线专题(理科)(2016高考真题分专题复习)

2016圆锥曲线专题（理）1.已知方程13m y -m x 2222=-+nn 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（）A.（-1，3）B.（-1，3）C.（0，3）D.（0，3）2.已知F 1，F 2是双曲线E ：1by -a x 2222=的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直， sin ∠MF 2F 1=31，则E 的离心率为（） A.2 B. 23 C. 3 D.23.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点．已知|AB|=24，|DE|=52，则C 的焦点到准线的距离为（）A.2B.4C.6D.8 4.已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：）（01by a x 2222>>=+b a 的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（）A.31 B. 21 C. 32 D. 435．已知双曲线﹣=1（b ＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（）A ．﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=16.已知椭圆C 1：）（11m x 222>=+m y 与双曲线C 2：）（01nx 222>=-n y 的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（）A.m ＞n 且e 1e 2＞1B.m ＞n 且e 1e 2＜1C.m ＜n 且e 1e 2＞1D.m ＜n 且e 1e 2＜17.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2=2px （p ＞0）上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM 的斜率的最大值为（）A. 33B. 32C. 22 D.1 8．设抛物线（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设C （p ，0），AF 与BC 相交于点E ．若|CF|=2|AF|，且△ACE 的面积为3，则p 的值为．9.若抛物线x y 42=上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是 ______ ．10.在平面直角坐标系中，已知A （1，0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则•的取值范围是 ______ ． 11．双曲线），（001by -a x 2222>>=b a 的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a= ．12.已知双曲线E ：），（001by -a x 2222>>=b a ，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E 的离心率是 ______ ．13.在平面直角坐标系中，当P （x ，y ）不是原点时，定义P 的“伴随点”为),(2222'yx x y x y P +-+；当P 是原点时，定义P 的“伴随点“为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C 的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A ；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y 轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是 ______ （写出所有真命题的序列）．14.设圆x 2+y 2+2x-15=0的圆心为A ，直线l 过点B （1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．15.已知椭圆E ：1322=+y t x 的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k ＞0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k 的取值范围．16.已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．17.双曲线)0(1222>=-b b y x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．（1）直线l 的倾斜角为2π，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设3=b ，若l 的斜率存在，且0)(11=∙+AB B F A F ，求l 的斜率．18.有一块正方形EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走．于是，菜地分为两个区域S 1和S 2，其中S 1中的蔬菜运到河边较近，S 2中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内S 1和S 2的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C 的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S 1面积是S 2面积的两倍，由此得到S 1面积的经验值为38．设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边，另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于S 1面积的经验值．19．设椭圆+=1（a ＞）的右焦点为F ，右顶点为A ．已知+=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴于点H ，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l 的斜率的取值范围．20.如图，设椭圆C ：)1(1ax 222>=+a y （Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a ，k 表示）（Ⅱ）若任意以点A （0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．21．已知椭圆C ：1by a x 2222=+（a ＞0，b ＞0）的离心率为，A （a ，0），B （0，b ），O （0，0），△OAB 的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：|AN|•|BM|为定值．22.已知椭圆E ：1by a x 2222=+（a ＞b ＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l ：y=-x+3与椭圆E 有且只有一个公共点T ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线'l 平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．23.平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：1by a x 2222=+（a ＞b ＞0）的离心率是23，抛物线E ：x 2=2y 的焦点F 是C 的一个顶点．（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．（i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求21S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．。

2016年新课标全国卷试题汇编：圆锥曲线-老师专用

2016年新课标全国卷试题汇编：圆锥曲线-老师专用2016 年新课标全国卷试题汇编：圆锥曲线1.（ 2016 全国高考新课标Ⅰ卷· 文数 5T ）直线 l 经过椭圆的一个极点和一个焦点，若椭圆中心到 l的距离为其短轴长的1，则该椭圆的离心率为y4（A ）1（B ）1（C ）2（D ）3D B3234答案： BFOx试题剖析：如图，由题意得在椭圆中，1 1OF c,OB b,OD2bb42在 Rt OFB 中， | OF | |OB| | BF | | OD | ，且 a 2 b 2 c 2 ，代入解得a 2 4c 2，所以椭圆得离心率得：e1，应选B.22.（2016 全国高考新课标Ⅰ卷·理数 5T ）已知方程x 2y2m 2 n 3m 2 1 表示双曲线，且-n该双曲线两焦点间的距离为4，则 n 的取值范围是（）(A)(–1， 3) (B)(– 1， 3) (C)(0， 3) (D)(0， 3)答案： A解：由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以 m 2 n 3m 2 n 4 ，解得： m 21 ，x 2y 2 11 n 0 n1因为方程 1 n 3 n3 n，解得n3，所以n的取值范围表示双曲线，所以是1,3，应选 A ．3. （ 2016 全国高考新课标Ⅰ卷· 理数 10T ）以抛物线 C 的极点为圆心的圆交C 于 A,B 两点，交 C 的准线于 D,E 两点．已知 | AB|= 4 2 ，| DE|= 2 5 ，则 C 的焦点到准线的距离为（）(A)2(B)4(C)6(D)8答案： B试题剖析：如图，设抛物线方程为y 2，交 x 轴于C , F点，则AC 22，2px AB, DE即 A点纵坐标为2 2，则 A点横坐标为4，即OC4，由勾股定理知p pDF 2OF 2DO 2r 2，AC2OC 2AO 2r 2，即 ( 5) 2( p)2(22) 2(4)2，解得 p 4 ，即C的焦点到2p准线的距离为4，应选 B.考点：抛物线的性质.4．（ 2016全国高考新课标Ⅱ卷· 文数5T）设F为抛物线 C : y24x 的焦点，曲线 y k(k 0) x与C交于点 P，PF x 轴，则 kA．1B． 1C．3D． 2 22答案： Dx 2 y 25.（ 2016 全国高考新课标 Ⅱ 卷· 理数 11T ）已知F1，F2是双曲线 E ： a2b 21的左，右MF 2F 113,则 E 的离心率为焦点，点 M 在 E 上，MF1与 x轴垂直， sin（A ） 2（B ） 33（D ） 2（ C ）2答案： AF 1F 2F 1F 2 sin M 2 2，由正弦定理得 e3 2 ．应选 A ．离心率 eMF 1 MF 2 MF 1sin F 1 sin F 21 MF 2136.（ 2016 全国高考新课标 Ⅲ 卷· 文数 12T ）已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C ：x 2 y 21(a b 0) 的左焦点， A ，B 分别为 C 的左，右极点 .P 为 C 上一点，且 PF ⊥x 轴 .a 2b 2过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E. 若直线 BM 经过 OE 的中点，则C 的离心率为（）（A ）1（B ）1（C ）2（D ）33234答案： A由题意得， A(a,0) ， B( a,0) ，依据对称性，不如P(b 2c, ) ，设 l : x my a ，a∴ M ( c ,a c) ， E(0, a ，∴直线 BM ：a c ( x) ，又∵直线 BM 经过 OE 中 m )yc) amm(a点，∴(ac)a a e c 1，应选 A.(a c)m2ma37.（ 2016 全国高考新课标 Ⅲ卷· 理数 11T ）已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C ：x 2 y 2 1(a b0) 的左焦点， A ，B 分别为 C 的左，右极点 . P 为 C 上一点，且 PF xa2b2轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E . 若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C的离心率为（A）1（B）1（C）2（D）3 3234答案： A考点：椭圆方程与几何性质．8（. 2016 全国高考新课标Ⅰ卷·文数20T ）（ 12 分）在直角坐标系xOy 中，直线l1 : y t(t0)交 y 轴于点M ，交抛物线 C : y2 2 px( p0)于点P，M对于P 的对称点为N，连接ON 并延伸交 C 于点H|OH |（Ⅰ）求；（Ⅱ ）除 H 之外，直线MH 与C能否有其余公共点？说明原因.解：（Ⅰ）由已知得 M (0,t )，P(t 2t 2 ,t ) .又 N 为 M 对于点 P 的对称点，故 N (,t ) ，2 p pON 的方程为 y px ，代入y2 2 px 整理得 px22t2 x 0 ，解得x10 ， x22t 2，t p所以H ( 2t 2,2t ) .所以 N 为 OH 的中点，即| OH |2 .p|ON |（Ⅱ）直线MH 与 C 除 H 之外没有其余公共点.原因以下：直线 MH 的方程为 y tp x ，即x2t( y t ).代入y22px得y24ty 4t20，解2t p得 y 1 y 2 2t ，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 之外直线 MH 与 C 没有其余公共点 .9．（ 2016 全国高考新课标Ⅰ卷· 理数 20T ） (本小题满分 12 分 )设圆 x 2y 2 2x 15 0 的圆心为 A ，直线 l 过点 B(1， 0)且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C ，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点E ．（Ⅰ）证明EA EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；（Ⅱ ）设点 E 的轨迹为曲线C 1，直线 l 交 C 1 于 M ，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P ， Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围．解：（Ⅰ）因为 | AD | | AC |， EB// AC ，故EBD ACD ADC ，所以 |EB| |ED| ，故 |EA| |EB | |EA| |ED||AD|.又圆 A 的标准方程为 ( x 1) 2 y 216，进而 |AD| 4，所以 |EA||EB| 4.由题设得 A( 1,0) ， B(1,0) ， | AB | 2 ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 2y20 ） .41 （ y3（Ⅱ）当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y k( x 1)(k0) ，M (x 1, y 1 ) ，N ( x 2 , y 2 ) .y k ( x1)8k2由22得 (4k 23)x 28k 2x 4k 212 0则 x 1x 2xy4k 2，134 3x 1x 24k 2 12 .所以 |MN | 1 k 2 | x 1x 2 | 12( k 21) .4k 2 34k 23过点 B(1,0) 且与 l 垂直的直线 m ： y1(x 1) ， A 到 m 的距离为2，所以kk 2 1|PQ| 2 42(2)24 4k23.故四边形MPNQ的面积k21k 21S 1|MN ||PQ | 12 113. 24k 2可适当 l 与x轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,8 3) .当 l 与x轴垂直时，其方程为x 1 ，| MN | 3，| PQ | 8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,8 3) .10．（ 2016 全国高考新课标Ⅱ卷· 文数 21T ）（本小题满分12 分）已知A是椭圆22x y的左极点，斜率为 k(k0) 的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA NA．E :143（Ⅰ）当 | AM | | AN |时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当 2| AM | | AN | 时，证明： 3 k 2 ．x2y2A( 2,0) ．因为|AM | |AN |且AM AN ，所以△AMN 解：（Ⅰ）椭圆1的左极点为43为等腰直角三角形，所以MN x 轴．设 MN 交轴与点D，所以△ADM为等腰直角三角形，所以得M ( a 2, a )．因为点M 在椭圆E上，所以 3(a2)24a 2127a2 12a12或 a 0（舍去）．所以△AMN，整理得0 ，解得a7的面积 S 1 a2a a 2144249．（Ⅱ）设直线 AM方程 y k ( x 2)．联立椭圆直线方程，消去 y 整理得(3 4k 2 ) x216k 2 x16k2120 ．设点M (x0, y0)，则于是16k 2，所以x016k 268k 2所以2 x0224k234k2，34k316 k2216k 212 121k 2|AM |1k24，因为k0，3 4 k 234 k234k212 1 12所以 |AN|k 2 12k 1 k 12 1 k 2 12k 1 k 2．因为 2|AM | |AN |，所以 23 4 3k 2 4 3 4k 23k 24，k 2即 4k 36k 23k 8 0 ．设 f (x)4x 3 6x 2 3x 8 ，则 f (x) 12x 2 12x 3 3(2x 1)2 0 ，所以函数 f (x) 在区间 (0,) 内单一递加，因为 f ( 3) 153 26 0 ， f (2) 6，所以函数f ( x) 的零点k ( 3,2) ，即 k 的取值范围是 ( 3,2) ．11. （ 2016 全国高考新课标 Ⅱ 卷· T ）（本小题满分 12分）理数 20已知椭圆E: x 2 y 2的焦点在xAE 的左极点，斜率为 k( k0) 的直线交 E 于 A ，t1轴上，是3M 两点，点 N 在 E 上， MA ⊥NA.I）当 t4， AM AMN的面积；（ AN 时，求 △（II ）当 2 AMAN 时，求 k 的取值范围 .解：（ 1）当 t 4 时，椭圆 E 的方程为x 2y 2 1，A 点坐标为 2 ，0 ，43x 2 y 2 1则直线 AM的方程为 y k x 2．联立43并整理得，y k x23 4k 2 x 2 16k 2 x 16k 212解得 x2 或x8k 2 6 ，则3 4k 22AM1 k 28k 6 21 k 23 123 4k 24k 22 1212因为 AMAN ，所以AN11 21 k2k1 434 13 kkk因为 AM AN ， k0 ，212212所以 1k 3 4k 21 k4 ，整理得k 1 4k 2k 40 ，3kk2k4 0 无实根，所以 k 1 ．4k所以 △AMN 的面积为 1AM11 1 1222144 ．22 3 4 49（2）直线 AM 的方程为 yk xt ，22xy1联立t3并整理得， 3 tk 2 x 2 2ttk 2 xt 2 k 23tyk x t解得 xt 或 xt tk 23 t ，3tk 2所以 AM1 k 2t tk 2 3 tt1 k 26 t3 tk 23 tk 2所以 AN1 k 26 t3k tk因为2AM AN2126 t26 t 6k 23k 所以 k3tk 21 k3kt ，整理得， t 3 ．k 2k因为椭圆 E 的焦点在 x 轴，所以 t3 ，即6k23k 3 ，整理得 k 2 1 k 2k 3 2k 32解得32k2．12.（ 2016 全国高考新课标 Ⅲ卷· 文数 20T ）（本小题满分 12 分）已知抛物线 C ：y 2=2x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线l 1，l 2 分别交 C 于 A ，B 两点，交 C 的准线于 P ，Q 两点 .（Ⅰ）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明AR∥ FQ；（Ⅱ）若△ PQF的面积是△ ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程 .解：（Ⅰ）由题设 F ( 1,0) .设l1: y a, l2 : y b ，则 ab0 ，且2A( a2, a), B(b2, b), P(1,a), Q (1, b), R( 1 , ab) .222222记过 A, B 两点的直线为l ，则 l 的方程为2x(a b) y ab 0 . .....3分（Ⅰ）因为 F 在线段 AB 上，故 1 ab0 .记 AR 的斜率为k1， FQ 的斜率为k2，则a b a b1ab k1a2a2ab a b k2.1a所以 AR∥ FQ.......5分（Ⅱ）设 l 与x轴的交点为 D (x1,0) ，则S ABF 1b a FD1b a x11a b,SPQF. 2222由题设可得1b a x11a b0 （舍去）， x1 1.，所以 x1222设知足条件的AB 的中点为 E ( x, y).当 AB 与 x 轴不垂直时，由k AB k DE可得2y( x1).a b x1而 a b y ，所以 y2x 1( x1) .2当 AB 与 x 轴垂直时， E 与 D 重合.所以，所求轨迹方程为y 2x 1. ....12分13.（ 2016 全国高考新课标Ⅲ卷·理数20T）（本小题满分12 分）已知抛物线 C ：y22x 的焦点为F，平行于 x 轴的两条直线 l1 ,l 2分别交C于A，B两点，交 C 的准线于P， Q 两点．（I ）若F在线段AB 上， R 是PQ的中点，证明ARPFQ；（ II ）若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）看法析；（Ⅱ） y2x 1．2016年新课标全国卷试题汇编：圆锥曲线-老师专用考点： 1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线地点关系；3、轨迹求法．。

圆锥曲线知识点及2016年高考题总结(含答案)37

中
2
a
2
b
2
c
．若不确定焦点位置时，方程可设为
2
mx
2
ny
1 ( m＞0， n ＞0，
m n ）．
参数方程
x a cos
焦点在 x 轴：
（其中为参数）．
y b sin
面积公式
S ab ．
离心率 e c
a
c2 a2
b2 1 a2
0,1 ．
焦半径公式
焦点在 x 轴上： PF1 a ex0 ， PF2 a ex0 [ F1 , F2 分别为左右焦点 , P x0 , y0
已知椭圆
C1：
x2 m2
+y2=1( m>1) 与双曲线
C2：
x2 n2
–y2=1(n>0)的焦
点重合， e1 ，e2 分别为 C1， C2 的离心率，则
A ． m>n 且 e1e2>1 B． m>n 且 e1e2<1 C． m<n 且 e1e2>1 D． m<n 且 e1e2<1
二、填空题
x2 y2 1、（ 2016 年北京高考）双曲线 a 2 b 2 1 （ a 0 ， b 0 ）的渐近线为正方形 OABC 的边 OA， OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 a
y b tan
1
．
cos
离心率
c
c2
b2
e a
a2
1 a2 1,
．
渐近线
x2 y2
b
双曲线 2 2 1 的渐近线为 y ab
x a
y a x． b
焦半径公式

山东省2016届高三数学专题复习圆锥曲线

2016高考数学专题复习：圆锥曲线 2015.3.31“设而不求”的方法若直线l 与圆锥曲线C 有两个交点B A ,时,一般地,首先设出交点()()2211,,,y x B y x A ,它们是过渡性参数,不须求出,有时运用韦达定理解决问题,有时利用点在曲线上代入曲线方程整体运算求解.一、弦长面积：弦长公式：=AB =1.直线2+=x y 交椭圆181222=+y x 于B A ,两点，求AB 和OAB ∆的面积2.焦点在x 轴上的抛物线ax y =2被直线12:+=x y l 截得的弦长为15，求抛物线方程.3.已知抛物线ax y =2，直线l 过抛物线焦点F 且与抛物线交于B A ,两点，n BF m AF ==,，求nm 11+4.B A ,为x y 22=上的两点，且OB OA ⊥，求OAB S ∆最小值5.已知抛物线x y -=2与直线)1(+=x k y 相交于B A ,两点（Ⅰ）求证：OB OA ⊥（Ⅱ）当OAB ∆的面积为10时，求k 的值6.设P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的射影，M 为PD 上一点，且45MD PD =（Ⅰ）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程（Ⅱ）求过点()0,3且斜率为1的直线被C 所截线段的长度7.设21,F F 分别是椭圆的14222=+y x 上，下焦点，点P 在椭圆上且在第一象限，121=⋅PF PF ，过点P 作倾斜角互补的两条直线PB PA ,分别交椭圆于B A ,两点（Ⅰ）求证：直线AB 的斜率为定值（Ⅱ）求PAB ∆的面积的最大值8.已知曲线C 上任意一点M 到点()1,0F 的距离比它到直线2:-=y l 的距离小1 （Ⅰ）求曲线C 的方程（Ⅱ）过点)2,2(P 的直线m 与曲线C 交于B A ,两点，设PB AP λ=当OAB ∆的面积为24时，求λ的值9.()()2211,,,y x B y x A 是椭圆()012222>>=+b a bx a y 上两点，满足0),(),(2211=⋅a y b x a y b x ，离心率,23=e短轴长为O ，2为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆的方程（Ⅱ）若直线AB 过椭圆的焦点()c F ,0，求直线AB 的斜率k 的值(Ⅲ)OAB ∆的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.10.过抛物线ax y C 4:2=的焦点且互相垂直的两条直线与C 分别交于B A ,和D C ,，求CD AB +最小值11.21,l l 过点()0,2-P 的两互相垂直的直线，21,l l 与双曲线122=-x y 各有两个交点，分别为11,B A 和22,B A（Ⅰ）求1l 的斜率1k 的取值范围（Ⅱ）若22115B A B A =，求21,l l 的方程.12.已知椭圆12222=+bx a y ，22=e ，短轴长为2，()()()212211,,x x y x B y x A ≠是椭圆上两点，0,,,,2211=⋅⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=n m a y b x n a y b x m 且（Ⅰ）求椭圆方程（Ⅱ）求OAB S ∆是否为定值13.已知椭圆22221x y a b +=()0>>b a 的离心率23=e ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4（Ⅰ）求椭圆的方程（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ，已知点A 的坐标为()0,a -（i ）若524=AB ，求直线l 的倾斜角（ii ）若点()00Q y ，在线段AB 的垂直平分线上，且4=⋅QB QA . 求0y 的值.()1568,5316()2x y x y 12,422=-=()a a x a x k a x k a a x k44141,016232122222=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-()44()561±=k ()()7.41320,11625622=+y x ()2,2,1P 2,22422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b b S ()8223,02±==λ，k()91,2±()()14,1410222+=+=k a CD k ka AB ()11⎪⎭⎫ ⎝⎛∈33121，k 22=k ()1222 ().43,4023932,1413222ππα=⇒=--=+t t y x 0y =±,0y =±。

(全国通用)2016版高考数学大二轮总复习增分策略专题六解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题课件

专题六
解析几何
第 3讲圆锥曲线的综合问题
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高考真题体验
1 2
2 x 1.(2014· 福建)设 P， Q 分别为圆 x2＋(y－6)2＝2 和椭圆10＋y2
＝1 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是( A.5 2 C.7＋ 2 B. 46＋ 2 D.6 2
3 4 (2)若|PQ|＝λ|PF1|，且4≤λ＜3，试确定椭圆离心率 e 的取值范围.
解如图，由PF1⊥PQ，|PQ|＝λ|PF1|，
得|QF1|＝ |PF1|2＋|PQ|2＝ 1＋λ2|PF1|.
由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，进而|PF1|＋|PQ|＋|QF1|＝4a，
)
解析如图所示，设以(0,6)为圆心，
以r为半径的圆的方程为x2＋(y－6)2＝r2(r>0)，
1 2
x2 与椭圆方程10＋y2＝1 联立得方程组，
消掉x2得9y2＋12y＋r2－46＝0. 令Δ＝122－4×9(r2－46)＝0，
解得 r2＝50，即 r＝5 2.
由题意易知 P，Q 两点间的最大距离为 r＋ 2＝6 2，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，
4kk－1 2kk－2 则 x1＋x2＝ 2 ，x1x2＝ 2 ， 1＋2k 1＋2k
1 2
从而直线AP，AQ的斜率之和
y1＋1 y2＋1 kx1＋2－k kx2＋2－k kAP＋kAQ＝ x ＋ x ＝＋ x x
1 2 1 2
1 x1＋x2 1 ＝2k＋(2－k)x ＋x ＝2k＋(2－k) x x 1 2 1 2
例3 如图，抛物线C：y2＝2px的焦点为F，抛物线上一定点Q(1,2). (1)求抛物线C的方程及准线l的方程；解把Q(1,2)代入y2＝2px，得2p＝4，所以抛物线方程为y2＝4x，准线l的方程为x＝－1.

2016届高考数学·圆锥曲线方程(Word版含解析)

阶段性综合检测（四）解析几何初步圆锥曲线方程时间120分钟满分150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·晋中一模)已知直线的倾斜角的余弦值是12，则此直线的斜率是()A.3B．－ 3C.32D．±3解析：设倾斜角为α，则cosα＝12，sinα＝1－cos2α＝32，∴斜率k＝tanα＝sinαcosα＝ 3.答案：A2．(2015·于都一模)已知过A(－1，a)，B(a,8)两点的直线与直线2x－y＋1＝0平行，则a的值是()A．5 B．2C．－10 D．17解析：依题意得k AB＝8－aa＋1＝2，解得a＝2.答案：B3．(2015·丰台一模)过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4解析：方法一：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a.∵|CA |2＝|CB |2，∴(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2， ∴a ＝1，b ＝1，∴r ＝2，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 方法二：∵k AB ＝1＋1－1－1＝－1且AB 的中点为(0,0)， ∴AB 的垂直平分线方程为y ＝x . 由⎩⎨⎧y ＝x x ＋y －2＝0可得圆心坐标为(1,1)， ∴半径r ＝(1－1)2＋(1＋1)2＝2，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 答案：C4．(2015·白山联考)当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：把直线方程化为(－x －y ＋1)＋a (x ＋1)＝0，令⎩⎨⎧ －x －y ＋1＝0，x ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2， ∴直线过定点C (－1,2)，∴圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，化为一般式为x 2＋y 2＋2x －4y ＝0. 答案：C5．(2015·北京房山区一模)过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝9交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －2y ＋3＝0D ．x －y ＋1＝0解析：若∠ACB 最小，则CM ⊥l ，可知C (2,0)， ∴k CM ＝2－01－2＝－2，∴直线l 的斜率为k ＝12，∴直线l 的方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0答案：C6．(2015·诸城一中月考)已知a＞b＞0，e1，e2分别为圆锥曲线x2a2＋y2b2＝1和x2a2－y2b2＝1的离心率，则lg e1＋lg e2的值() A．大于0且小于1 B．大于1 C．小于0 D．等于0解析：可知e1＝1－(ba)2，e2＝1＋(ba)2，∴lg e1＋lg e2＝lg(e1e2)＝lg(1－b2a2)·(1＋b2a2)，∵(1－b2a2)(1＋b2a2)＜[(1－b2a2)＋(1＋b2a2)2]＝1，∴lg e1＋lg e2＜lg1＝0. 答案：C7．(2015·山东实验中学诊断)抛物线y2＝8x的焦点到双曲线x212－y24＝1的渐近线的距离为()A．1 B. 3C.33 D.36解析：抛物线的焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±33x，即3x±3y＝0，故焦点F到双曲线渐近线的距离为d＝233＋9＝1.答案：A8．(2015·许昌模拟)已知抛物线x2＝43y的准线过双曲线x2m2－y2＝－1的焦点，则双曲线的离心率为()A.324 B.3104C. 3D.3 3解析：易知抛物线的准线方程为y ＝－3，双曲线x 2m 2－y 2＝－1的焦点坐标为(0，±m 2＋1)，∴m 2＋1＝3＝c 2，∴c ＝3，∴双曲线的离心率为e ＝31＝ 3.答案：C9．(2015·贺兰一中期末)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1 B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1D.x 2132－y 2122＝1解析：对于椭圆C 1，a ＝13，c ＝5，曲线C 2为双曲线，c ＝5，a ＝4，b ＝3，故其标准方程为x 242－y 232＝1.答案：A10．(2015·兰州模拟)已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．96解析：∵双曲线C ：x 29－y 216＝1中，a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∵|PF 2|＝|F 1F 2|，∴|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝6＋10＝16.作PF 1边上的高AF 2，则|AF 1|＝8，∴|AF 2|＝6，答案：C11．(2015·孝感一中期末)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172 B ．3 C. 5D.92解析：利用抛物线的定义，连接点(0,2)和抛物线的焦点F (12，0)交抛物线于点P ，则点P 使所求距离最小，其最小值为(0－12)2＋(2－0)2＝172.答案：A12．(2015·莱芜期末)点P 到点A (12，0)，B (a,2)及到直线x ＝－12的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是( )A.12 B.32 C.12或32D ．－12或12解析：∵点P 到点A (12，0)与到定直线x ＝－12的距离相等，∴点P 在以A 为焦点，以直线x ＝－12为准线的抛物线上，同时在线段AB 的垂直平分线上，结合图形可知适合条件的点B 的坐标为(－12，2)和(12，2)，故a ＝－12或12. 答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

2016-2018年高考理科圆锥曲线真题(全国卷)

2016~2018高考圆锥曲线（全国卷）1.（2016全国一）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则m 的取值范围是（A ）（1-，3）（B ）（1-，3）（C ）（0，3）（D ）（0，3）2.（D ,E （A ）23.（合，l A 交于P ,4.（1MF 与213（A （B ）32（C （D ）25.（2016全国二）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．6.（2016全国三）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于7.（l 1，l 28.（2017A 、B 两点，直线A ．16 9.（2017A ，圆A 与双曲线10.（2017⎭中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．11.（2017全国二）若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为()A.2312.（2017全国二）已知F是抛物线C：28y x=的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M为FN的中点，则FN=_____________.13.（2017全国二）设O为坐标原点，动点M在椭圆22:1xC y+=上，过M作x轴的垂满足2NP NM=.的轨迹方程；（21PQ=，证明：过点C的左焦点14.（21 3y=A15.（A16.（为直径的圆．（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，2-），求直线l与圆M的方程．17.（2018全国一）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM FN⋅=A ．5B ．6C ．7D ．819.（2018全国一）已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |=A ．32 B ．3 C ． D ．420.（21.（2018全国二）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. C. D.22.（2018全国二）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A.B.C.D.23.（2018．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．24.（2018全国三）设12,F F 是双曲线C:22221x y a b-=（a >O ，b >0）的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若1PF ，则C 的离心率为（）225.（2018全国三）已知点M（-1,1）和抛物线C:24y x=，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点，若∠AMB=90。

2016年高考数学真题解析之圆锥真题(理科)

2016高考圆锥曲线真题汇总（理科）1．平面直角坐标系xOy 中，椭圆C抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M.（ⅰ）求证：点M 在定直线上;（ⅱ）直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为1S ，△P D M 的面积为2S ，的最大值及取得最大值时点P 的坐标.2．已知椭圆E三个顶点，直线l: 3y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T.（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT,与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P.证明：存在常数λ的值. 3．右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点.（1）若l 的倾斜角为，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2，若l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r ，求l 的斜率.4a ＞1）.（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（Ⅱ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）.（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q.①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,)p p --；②求p 的取值范围.6．的右焦点为F,右顶点为A.其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF ⊥HF ，且∠MOA≤∠MAO,求直线l 的斜率的取值范围.7．已知椭圆C （0a b >>），(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，△OAB 的面积为1.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N..8．已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.9．已知椭圆的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.（Ⅰ）当t=4AMN 的面积；k 的取值范围.10．设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E.E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.参考答案1．（Ⅰ）1422=+y x ;（Ⅱ）（Ⅰ）见解析；（此时点P 的坐标为【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（Ⅱ）（Ⅰ）由点P 的坐标和斜率设出直线l 的方程和抛物线联立，进而判断点M 在定直线上；（Ⅱ）分别列出1S ，2S 面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P 的坐标.试题解析：，可得：b a 2=. 因为抛物线E 的焦点为所以椭圆C 的方程为1422=+y x .（Ⅱ），由y x 22=可得y'x =，所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，联立方程得014)14(4322=-+-+m x m x m ，由0∆>，得，所以直线OD 方程为，得点M 的纵坐标为即点M 在定直线. （Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l 方程为令0=x 得令122+=m t ，则，即2=t 时，，满足0∆>，所以点P 的坐标为，此时点P 的坐标为【考点】椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法（如二次函数的性质、基本不等式、导数等）求“目标函数”的最值.本题的易错点是对复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力等.2．T 坐标为（2,1）；【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷精编版）【解析】试题分析：本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.第（Ⅰ）问，利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，消去y 得关于x 的方程有两个相等的实数根，解出b 的值，从而得到椭圆E 的方程；第（Ⅱ）问，利用椭圆的几何性质，数形结合，根据根与系数的关系，进行求解.试题解析：E得22312(182)0x x b -+-=.① 方程①的判别式为2=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ，此时方程①的解为=2x ，所以椭圆E点T 坐标为（2,1）. （Ⅱ）由已知可设直线l '的方程为所以P设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ，.可得2234(412)0x mx m ++-=.② 方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得【考点】椭圆的标准方程及其几何性质【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得1212,x x x x +，再把用12,x x 表示出来，并代入1212,x x x x +的值，这种方法是解析几何中的“设而不求”法，可减少计算量，简化解题过程．3．（1（2 【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷精编版）【解析】试题分析：（1）设(),ΑΑΑx y ，根据题设条件得到()24413b b +=，从而解得2b 的值．（2）设()11,Αx y ，()22,Αx y ，直线:l ()2y k x =-与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据l 与双曲线交于两点，可得230k -≠，且()23610k ∆=+>．再设ΑΒ的中点为(),ΜΜΜx y ，由()110F ΑF ΒΑΒ+⋅=u u u r u u u r u u u r 即10F ΜΑΒ⋅=u u u u r u u u r ，从而得到11F Μk k ⋅=-，进而构建关于k 的方程求解即可．试题解析：（1）设(),ΑΑΑx y ．由题意，()2,0F c ，，()22241Αy b c b =-=，因为1F ΑΒ△是等边三角形，所以即()24413b b +=，解得22b =．（2）由已知，()12,0F -，()22,0F ．设()11,Αx y ，()22,Βx y ，直线:l ()2y k x =-．显然0k ≠．，得()222234430k x k x k --++=．因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k ∆=+>．设ΑΒ的中点为(),ΜΜΜx y ．由11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r 即10F ΜΑΒ⋅=u u u u r u u u r ，知1F ΜΑΒ⊥，故11F Μk k ⋅=-．，故l 的斜率为【考点】双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、平面向量的数量积【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，利用,,,a b c e 的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程得到方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.4．【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷精编版）【解析】试题分析：（Ⅰ）先联立1y kx =+和，可得1x ，2x ，再利用弦长公式可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）先假设圆与椭圆的公共点有4个，再利用对称性及已知条件可得任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时，a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．试题解析：（Ⅰ）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ，()2222120a k x a kx ++=，故10x =，（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．所以()()22222222121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦．由于12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，① 因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是221(2)1a a +->，因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为【考点】弦长，圆与椭圆的位置关系，椭圆的离心率．【思路点睛】（Ⅰ）先联立1y kx =+和可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）利用对称性及已知条件任意以点()0,1Α为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求得 5．（1）x y 82=（2【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷精编版）【解析】试题分析：（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证，②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：2244(44)0p p p ∆=-->，解出p 的取值范围.试题解析：解：（1）抛物线2:y 2(0)C px p =>的焦点为在直线:20l x y --=上，得，即 4.p = 所以抛物线C 的方程为28.y x =（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点00(,)M x y 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为.y x b =-+①由22y px y x b⎧=⎨=-+⎩消去x 得2220(*)y py pb +-=因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠ 从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（*因为00(,)M x y 在直线l 上，所以02.x p =- 因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p -- ②因为(2,).M p p --在直线y x b =-+上所以(2)p p b -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以因此p 的取值范围为【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．6．【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版）【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确a 的值，得再利用222a cb -=，可解得a 的值；（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，即M 再OA 的中垂线上，1M x =，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B ；利用两直线方程组求H ，最后根据HF BF ⊥，列等量关系即可求出直线斜率的取值范围.试题解析：（Ⅰ）解：设(,0)F c ，由2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为（Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k .解得2=x ，或由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有FH u u u r (1,)H y =-，由HF BF ⊥，得0BF HF ⋅=u u u r u u u r ，所以因此直线MH 的方程为设),(M M y x M ，由方程组消去y ，解得在MAO △中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即所以，直线l 的斜率的取值范围为【考点】椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．7．（Ⅱ）见解析. 【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版）【解析】试题分析：，△OAB 的面积为1中222c b a +=列方程组进行求解；（Ⅱ）求其乘积为定值.试题解析：解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为令0=x ，得直线PB 的方程为令0=y ，得4=.当00=x 时，10-=y ，.【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算. 8．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）21y x =-．【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）【解析】试题分析：（Ⅰ）设出与x 轴平行的两条直线的方程，得出,,,,A B P Q R 的坐标，然后通过证明直线AR 与直线FQ 的斜率相等即可证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点为1(,0)D x ，利用面积关系可求得1x 的值，设出AB 的中点(,)E x y ，根据AB 与x 轴是否垂直分两种情况讨论求解.设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则所以FQ AR ∥. （Ⅱ）设l与x轴的交点为)0,(1x D ，则2Q F ，11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E .当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y .【考点】抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，轨迹方程的求法．【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．9．【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版）【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN △的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用,t k 表示||AN ，t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入得27120y y -=.解得0y =或因此AMN △的面积（Ⅱ）由题意3t >，0k >，将直线AM的方程代入得由题设，直线AN 的方程为，即()()32321k t k k -=-..3t >等价于由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020k k -<⎧⎨->⎩，解得因此k 的取值范围是【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．10．（0≠y ）；【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。

2016年高考真题解答题专项训练：圆锥曲线(理科)

2016年高考真题解答题专项训练：圆锥曲线（理科）1．（2016.山东）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的离心率是2，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M. （ⅰ）求证：点M 在定直线上;2．（2016.四川）已知椭圆E ：错误！未找到引用源。

222210x y a b a b+=>>（）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l: 3y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T.（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT,与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P.证明：存在常数λ，使得2PT PA PB λ=⋅，并求λ的值.3．（2016.浙江）如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（Ⅱ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.4（2016.江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A （2，4）.（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x=6上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=，求实数t的取值范围.5．（2016.天津）设椭圆2221(3x y a a +=> 的右焦点为F,右顶点为 A.已知113,||||||eOF OA FA += 其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF ⊥HF ，且∠MOA≤∠MAO,求直线l 的斜率的取值范围.6．（2016.北京）已知椭圆C ：22221+=x y a b （0a b >>，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，△OAB 的面积为1.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N.求证：BM AN ⋅为定值.7．（2016.全国三卷）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.8．（2016.全国二卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA. （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.9．（2016.全国一卷）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E. （Ⅰ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.参考答案1．（Ⅰ）1422=+y x ;（Ⅱ）（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（Ⅱ）（Ⅰ）由点P 的坐标和斜率设出直线l 的方程和抛物线联立，进而判断点M 在定直线上；（Ⅱ）分别列出1S ，2S 面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P 的坐标. 试题解析：（Ⅰ）由题意知2322=-a b a ，可得：b a 2=. 因为抛物线E 的焦点为)21,0(F ，所以21,1==b a ，所以椭圆C 的方程为1422=+y x .（Ⅱ）（Ⅰ）设)0)(2,(2>m m m P ，由y x 22=可得y'x =，所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为)(22m x m m y -=-，即22m mx y -=. 设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，联立方程222241m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得014)14(4322=-+-+m x m x m ，由0∆>，得520+<<m 且1442321+=+m m x x ，因此142223210+=+=m m x x x , 将其代入22m mx y -=得)14(2220+-=m m y ，因为mx y 4100-=，所以直线OD 方程为x m y 41-=.联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=m x x m y 41，得点M 的纵坐标为M14y =-，即点M 在定直线41-=y 上. （Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l 方程为22m mx y -=，令0=x 得22m y -=，所以)2,0(2m G -，又21(,),(0,),22m P m F D ))14(2,142(2223+-+m m m m ，所以)1(41||2121+==m m m GF S ， )14(8)12(||||2122202++=-⋅=m m m x m PM S ，所以222221)12()1)(14(2+++=m m m S S ，令122+=m t ，则211)1)(12(2221++-=+-=tt t t t S S ，当211=t，即2=t 时，21S S 取得最大值49，此时22=m ，满足0∆>，所以点P 的坐标为)41,22(，因此12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(.【考点】椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法（如二次函数的性质、基本不等式、导数等）求“目标函数”的最值.本题的易错点是对复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力等.2．（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=.【解析】试题分析：本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.第（Ⅰ）问，利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，消去y 得关于x 的方程有两个相等的实数根，解出b 的值，从而得到椭圆E 的方程；第（Ⅱ）问，利用椭圆的几何性质，数形结合，根据根与系数的关系，进行求解.试题解析：（Ⅰ）由已知，a =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=.由方程组22221,23,x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得22312(182)0x x b -+-=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ，此时方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=. 点T 坐标为（2,1）.（Ⅱ）由已知可设直线l '的方程为1(0)2y x m m =+≠，由方程组123y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，，可得22321.3m x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以P 点坐标为（222,133m m -+），2289P T m =.设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ，.由方程组2216312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，可得2234(412)0x mx m ++-=.② 方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得22m -<<. 由②得212124412=,33m m x x x x -+-=.所以123m PA x ==--，同理223m PB x =--，所以12522(2)(2)433m mPA PB x x ⋅=---- 21212522(2)(2)()433m mx x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+2109m =. 故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅. 【考点】椭圆的标准方程及其几何性质【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得1212,x x x x +，再把MA MB ⋅用12,x x 表示出来，并代入1212,x x x x +的值，这种方法是解析几何中的“设而不求”法，可减少计算量，简化解题过程．3．（Ⅰ）22221a k a k +（Ⅱ）0e <≤【解析】试题分析：（Ⅰ）先联立1y kx =+和2221x y a+=，可得1x ，2x ，再利用弦长公式可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）先假设圆与椭圆的公共点有4个，再利用对称性及已知条件可得任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时，a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．试题解析：（Ⅰ）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ，由22211y k x x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222120a k xa kx ++=，故10x =，222221a kx a k =-+．因此2122221a k AP x a k=-=+ （Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．由（Ⅰ）知，1AP =，2AQ =，12=，所以()()22222222121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦．由于12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，因此22221211(1)(1)1(2)a a k k ++=+-， ① 因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是221(2)1a a +->，所以a >因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a <≤由c e a a==得，所求离心率的取值范围为02e <≤．【考点】弦长，圆与椭圆的位置关系，椭圆的离心率．【思路点睛】（Ⅰ）先联立1y kx =+和2221x y a+=，可得交点的横坐标，再利用弦长公式可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）利用对称性及已知条件任意以点()0,1Α为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求得a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围． 4．（1）22(6)(1)1x y -+-=（2）:25215l y x y x =+=-或（3）22t -≤+【解析】试题分析：（1）根据直线与x 轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.试题解析：解：圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M （6，7），半径为5，. （1）由圆心N 在直线x=6上，可设()06,N y .因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =. 因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=. （2）因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为y=2x+m ，即2x-y+m=0，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA ===而222,2BC MC d =+（）所以()252555m +=+，解得m=5或m=-15.故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. （3）设()()1122,,,.P x y Q x y因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ += ，所以212124x x ty y =+-⎧⎨=+⎩ ……①因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-= …….② 将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上，从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦没有公共点，所以5555,-≤+解得22t -≤≤+.因此，实数t的取值范围是22⎡-+⎣.【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P 为主元，揭示P 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题.5．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞ . 【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确a 的值，由113||||||eOF OA FA +=，得113()c c a a a c +=-，再利用222a c b -=，可解得a 的值；（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，即M 再OA 的中垂线上，1M x =，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B ；利用两直线方程组求H ，最后根据HF BF ⊥，列等量关系即可求出直线斜率的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）解：设(,0)F c ，由113||||||e OF OA FA +=，即113()cc a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=. （Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k .解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k k y B . 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有FH (1,)H y =-，2229412(,)4343k kBF k k -=++ .由HF BF ⊥，得0BF HF ⋅= ，所以222124904343Hky k k k -+=++，解得kk y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M . 在MAO △中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(MM M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞ . 【考点】椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．6．（Ⅰ）1422=+y x ；（Ⅱ）见解析. 【解析】试题分析：=c a ，△OAB 的面积为1，即121=ab ，椭圆中222c b a +=列方程组进行求解；（Ⅱ）根据已知条件分别求出BM AN ,的值，求其乘积为定值.试题解析：（Ⅰ）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a .所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M ，从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算. 7．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）21y x =-．【解析】试题分析：（Ⅰ）设出与x 轴平行的两条直线的方程，得出,,,,A B P Q R 的坐标，然后通过证明直线AR 与直线FQ 的斜率相等即可证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点为1(,0)D x ，利用面积关系可求得1x 的值，设出AB 的中点(,)E x y ，根据AB 与x 轴是否垂直分两种情况讨论求解.试题解析：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=. 所以FQ AR ∥. （Ⅱ）设l与x轴的交点为)0,(1x D ，则11112222AB F P Q F a b S b a FD b a x S ∆-=-=--=||||||||||,△. 由题设可得111222a b b a x ---=||||||，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E .当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x y b a .而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y .【考点】抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，轨迹方程的求法．【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．8．（Ⅰ）14449；（Ⅱ）).【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN △的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用,t k 表示||AN ，再由2AM AN =及t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN △的面积AMN S △11212144227749=⨯⨯⨯=. （Ⅱ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM 的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk xx t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk-=+，故1AM x ==由题设，直线AN 的方程为(1y x k =-+，故同理可得AN ==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当k =因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--，即3202k k -<-.由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020k k -<⎧⎨->⎩2k <.因此k 的取值范围是).【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．9．（Ⅰ）13422=+y x （0≠y ）；（Ⅱ）)38,12[ 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。

专题六圆锥曲线的综合问题

基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二圆锥曲线中的定点、定值问题
探究提高思维启迪解析得 (3 ＋ 4k2)x2 ＋ 4k(3 － 2k)x ＋ 3 2 两个焦点为(－1,0)、(1,0)． 42－k －12＝0. (1)求椭圆 C 的方程；设 E(xE，yE)，F(xF，yF)． (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点，因为点 A1，3在椭圆上， 2 3 2 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率 42－k －12 所以 xE＝， 3＋4k2 互为相反数，证明直线 EF 的斜率 3 yE＝kxE＋2－k.又直线 AF 的斜率与 AE 为定值，并求出这个定值．的斜率互为相反数，在上式中以－k 代 3 2 42＋k －12 替 k，可得 xF＝， 3＋4k2
难点正本疑点清源
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1 2 3 4
答案
8
4x－y－7＝0
解析
7 2
3 －4
5
x2 2 －y ＝1 4
题型分类
思想方法练出高分
基础知识
题型分类·深度剖析
题型一
例1
圆锥曲线中的范围、最值问题
2
已知抛物线 C：y ＝4x，过
思维启迪
解析
探究提高
点 A(－1,0)的直线交抛物线 C 于 → → P、Q 两点，设AP＝λAQ. (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F； 1 1 (2)若 λ∈3，2，求 PQ 的最大值．
题型二圆锥曲线中的定点、定值问题
思维启迪解析

高考文科数学真题大全圆锥曲线老师版

学科教师辅导教案22x 2 y 2 1（a 0,b 0）的焦距为2 5，且双曲线的一条渐近线 ab与直线 2x y 0 垂直，则双曲线的方程为（ A ）2y 2 1 （ B ） x 2 y 143y 2 1（ D ） 3x 2 3y 2 155203、（ 2016 年全国 I 卷）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其1短轴长的4，则该椭圆的离心率为（ B ）11232、（ 2016 年天津） 2A ） x 4 3x 2 C ） 3x 20k>0）与C 交于点 P ， PF（ D ） 2b 0）的左焦点，226 、（ 2016 年北京）已知双曲线 x 2 y 2 1 （ a > 0， b > 0）的一条渐近线为ab为（ 5 ,0 ），则 a= ___ ； b= __________ .a 1,b 2227 、（ 2016 年江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x y 1 的焦距是 73_______ 2 10 _______ .22E ： x – y =1（ a>0， b>0）．矩形A BCD 的四个顶点在E 上， AB ，a 2b 22| AB|=3| BC| ，则E 的离心率是 ___229. （ 2015北京文）已知 2,0 是双曲线 x 2 y 2 1（ b 0）的一个焦点，则b 3bA ． 9B． 4C． 3D． 211. （ 2015年安徽文）下列双曲线中，渐近线方程为 y 2x 的是（ A ）A ) x 2 y 1( B ) x y 2 144F 1是等边三角形，所以2c 3 y ，即 4 1 b 2 3b 4，解得 b 22．故双曲线的渐近线方程为 y 2x ．2x+y=0，一个焦点8、（ 2016 年山东）已知双曲线 CD 的中点为 E 的两个焦点，且m 0 ）的左焦点为 F 1 4,0 ，则 m 2C) x 2 y 122D) x2 y 2 112、（ 2016 年上海） 2双曲线 x 2y21（b0）的左、右焦点分F1、 F2，直线 l 过 F2 且与双曲线交于 A 、 B 两点 . 1）若l 的倾斜角为 2 ， △ F 1 AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；解析：（ 1）设x , yF 2 c,0 ， c 1 b 2 ， y 2b 2c 21 b 4，22xуE：a2 + b2 =1（a ﹥b﹥0）的一个焦点与短轴的两个端点13、（2016 年四川）是正三角y 2 1 32 1(a b 0)过点 P( 3, 3) ，故 32 42 1，解得 b 4 1.b 2 4b b2所以椭圆E 的方程是 x y 2 1.413ee 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；又 a 2 c 2 b 2 3，所以 c 2 1 ，因此 a 24，所以椭圆的方程为15、（ 2016年全国 I 卷）在直角坐标系xOy 中，直线 l : y=t （t ≠ 0）交 y 轴于点M ，交抛物线 C ：y 22 px （ p0）于点P ， M 关于点P 的对称点为 N ，连结ON 并延长交 C 于点 H.I ）求 OH ；（ II ）除H 以外，直线MH 与 C 是否有33e，其中 O 为原点，|OA| |FA|14 、（ 2016 年天津）设椭圆 2x 2 a2y1 （ a 3 ）的右焦点为F ，右顶点为3A ，已知解析：11)解：设 F (c,0) ，由 1|OF | 13c ，即 1 1 |OA| |FA|c a 3c，可得 a 2 a(ac)22c 3c ，2x 解：（ I ）由已知， a=2b. 又椭圆 x2 a1|OF|22x y 1. 43直线 ON 的方程为y p x ，代入y 2 2px ，得： px 2 2t 2x 0解得： x 1 0 ，2t 2x 2 p2t 2H (2t ,2t)．∴ N 是 OH的中点，即 pOH ON2．MH 与曲线 C 除 H 外没有其它公共点．理由如下：直线 MH 的方程为yt p x ，即 x2t2(y t)，代入 y 2px ，得y 2 4ty 4t 2 0，解得y 1 y 2 2t ，即直线MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 外没有其它公共点．16. （ 2015 北京文）已知椭圆 C: x 2 3y 2 3，过点 D且不过点的直线与椭圆交两点，直线与直线 x 3交于点C 的离心率；（Ⅱ）若垂直于 x 轴，求直线的斜率；其它公共点？说明理由.ONt2（Ⅰ）由已知可得M,t) （0,t），P（t ,t）又∵ N 与M 关于点P 对称，故N2p6离心率 e c 6 a3为（a,0） , 点 B 的坐标为（ 0， b ） , 点M在线段 AB 上，满足 BM 2 MA , 直线 O M 的斜率为 5（ 1）求 E 的离心率 e; （2）设点 C 的坐标为（ 0， -b ） ,N 为线段 AC 的中点，证明： MNAB 。

2016年高考试题分类汇编(圆锥曲线客观题)

2016年高考试题分类汇编（圆锥曲线）考点1 椭圆1.（2016·全国卷Ⅲ·文理科）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221x y a b+=，（0a b >>）的左焦点，,A B 分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A.13B.12C.23D.342.（2016·四川卷·文科）已知椭圆E ：22221x y a b +=(0)a b >>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1)2P 在椭圆E 上.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；3.（2016·山东卷·文科）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的长轴长为4，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；4.（2016·北京卷·文科）已知椭圆C ：22221x y a b+=过点(20)A ，，(0,1)B 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；5.（2016·全国Ⅰ卷·文科）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为A.13B.12C. 23D.34考点2 抛物线1.（2016·四川卷·文科）抛物线24y x =的焦点坐标是A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)2.（2016·全国Ⅱ卷·文科）设F 为抛物线C ：24y x =的焦点，曲线ky x=（0k >）与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k = A.12 B.1 C.32D.2 3.（2016·四川卷理科）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为23 D.14.（2016·全国卷Ⅰ·理科）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于,A B 两点，交C 的准线于,DE 两点.已AB =DE =C 的焦点到准线的距离为A.2B.4C.6D.85.（2016·浙江卷·理科）若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是______．考点3 双曲线1.（2016·天津卷·文科）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为A.1422=-y xB.1422=-y x C.15320322=-y x D.12035322=-y x 2.（2016·北京卷·文科）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为，则a =____；b =_____.3.（2016·山东卷·文科）已知双曲线E ：22221(0,0)y a x b ba -=>>，若矩形ABCD的四个顶点在E 上，,AB CD 的中点为E 的两个焦点，且23AB CD =，则E 的离心率是_______.4.（2016·浙江卷·文科）设双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为12F F ，．若点P 在双曲线上，且12F PF ∆为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是_______．5.（2016·天津卷·理科）已知双曲线22214x y b-=（0b >），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于,,,A B C D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为A.223144x y -=B.224143x y -=C.22144x y -=D.221412x y -=7.（2016·全国卷Ⅰ·理科）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围A.(1,3)-B.(1-C.(0,3)D.(08.（2016·全国卷Ⅱ·理科）已知12F F ，是双曲线E :22221x y a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠= ,则E 的离心率为32C.9.（2016·浙江卷·理科）已知椭圆1C ：2221(1)x y m m +=>与双曲线2C ：2221(0)x y n n-=>的焦点重合，12,e e 分别为1C ，2C 的离心率，则 A ．m n >且121e e > B ．m n >且121e e < C.m n <且121e e > D ．m n <且121e e <10.（2016·北京卷·理科）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a =_____.11.（2016·山东卷·理科）已知双曲线E ：22221(0,0)y a x b ba -=>>，若矩形ABCD的四个顶点在E 上，,AB CD 的中点为E 的两个焦点，且23AB CD =，则E 的离心率是____.。

2016年高考数学圆锥曲线

圆锥曲线专题训练1、已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，如果OA →·OB →＝－12，，那么抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．y 2＝8xD ．y 2＝4x [答案] C[解析] 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p2，代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .2、设直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，与圆相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.假设这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是〔〕〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕答案D解析：显然当直线的斜率存在时，设斜率为.设，则，相减得.由于，所以，即.圆心为，由得，所以，即点M 必在直线代入得.因为点M 在圆上，所以.又〔由于斜率不存在，故，所以不取等号〕，所以.选D.【考点定位】直线与圆锥曲线，不等式.【名师点睛】首先应结合图形进行分析.结合图形易知，只要圆的半径小于5，那么必有两条直线〔即与x 轴垂直的两条切线〕满足题设，因此只需直线的斜率存在时，再有两条直线满足题设即可.接下来要解决的问题是当直线的斜率存在时，圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题，常常采用“点差法”.在此题中利用点差法可得，中点必在直线上，由此可确定中点的纵坐标的范围，利用这个范围即可得到r的取值范围.3设双曲线〔a>0,b>0〕的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.假设D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是〔〕A、 B、 C、D【答案】A4.【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为〔〕A． B． C． D．【答案】D【解析】设双曲线方程为，如下图，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．5、平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，假设的垂心为的焦点，则的离心率为【解析】设所在的直线方程为 ,则所在的直线方程为,解方程组得：，所以点的坐标为 ,抛物线的焦点的坐标为: .因为是的垂心，所以 ,所以， . 所以， .6.【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。

高考数学圆锥曲线.docx

2016年高考数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1、（2016年四川高考）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（A ）33 （B ）23（C ）22 （D ）1 【答案】C2、（2016年天津高考）已知双曲线2224=1x y b-（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（）（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y - 【答案】D3、（2016年全国I 高考）已知方程x 2m 2+n –y 23m 2–n =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)【答案】A4、（2016年全国I 高考）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=42，|DE|=25，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 【答案】B5、（2016年全国II 高考）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（）（A ）43- （B ）34- （C ）3 （D ）2 【答案】A6、（2016年全国II 高考）圆已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（）（A ）2 （B ）32（C ）3 （D ）2【答案】A7、（2016年全国III 高考）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点.P为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A8、（2016年浙江高考）已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A二、填空题1、（2016年北京高考）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a =_______________. 【答案】22、（2016年山东高考）已知双曲线E ：22221x y a b-= （a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______. 【答案】2【解析】由题意c 2=BC ，所以3c =AB ，于是点),23（c c 在双曲线E 上，代入方程，得1492222=b c －a c ，在由2c b a =+22得E 的离心率为2==ace ，应填2.3、（2016年上海高考）已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________【答案】2554、（2016年浙江高考）若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______．【答案】9三、解答题1、（2016年北京高考）已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）的离心率为32 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值. 【解析】⑴由已知，31,122c ab a ==，又222a b c =+，解得2,1, 3.a b c ===∴椭圆的方程为2214x y +=. ⑵方法一：设椭圆上一点()00,P x y ，则220014x y +=. 直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0022M y y x -=-.∴00212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得001N x x y -=-. ∴0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅故AN BM ⋅为定值.方法二：设椭圆上一点()2cos ,sin P θθ，直线PA:()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =，得sin 1cos M y θθ=-. ∴sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θθ=-. ∴2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM ⋅为定值.2、（2016年山东高考）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的离心率是32，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【解析】(Ⅰ) 由离心率是23，有224=b a ，又抛物线y x 2=2的焦点坐标为)21,0(F ，所以21=b ，于是1=a ，所以椭圆C 的方程为1=4+22y x ．(Ⅱ) （i ）设P 点坐标为)0>(),2m m ,P 2m （，由y x 2=2得x y =′，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ，因此切线l 的方程为2=2m mx －y ，设),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x D ，将2=2m mx －y 代入1=4+22y x ，得0=1+4)4+12322－m x m －x m （．于是23214+14=+mm x x ，232104+12=2+=m m x x x ，又)4+1(2=2=22200m －m m －mx y ，于是直线OD 的方程为x m－y 41=．联立方程x m －y 41=与m x =，得M 的坐标为)41M(m,－．所以点M 在定直线41=y －上．（ii ）在切线l 的方程为2=2m mx －y 中，令0=x ，得2m =y 2－，即点G 的坐标为)2m G (0,－2，又)2m P(m,2，)21F(0,，所以4)1+(=×21=S 21m m GF m ；再由)1)+2(4m －m ,1+4m 2m D(2223，得 )1+4(8)1+2(=1+4+2×41+2×21=S 2222322m m m m m m m 于是有 222221)1+2()1+)(1+4(2=S S m m m ．令1+2=2m t ，得222111+2=)1+)(21(2=S S t －t tt t －当21=1t 时，即2=t 时，21S S 取得最大值49．此时21=2m ，22=m ，所以P 点的坐标为)41,22P(．所以21S S 的最大值为49，取得最大值时点P 的坐标为)41,22P(．3、（2016年上海高考）有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

2016年_2011年圆锥曲线高考题[全国卷]

2015（新课标全国卷2）（11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（A ）√5 （B ）2 （C ）√3 （D ）√2（15）已知双曲线过点），（3,4，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程为。

20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>> 的离心率为22,点()2,2在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.C(2,2)Y X OMB A20．（本小题满分12分）理科已知椭圆C ：2229(0)x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。

（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由。

2015（新课标全国卷1）（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y ²=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|= （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（5）（理）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF ∙2MF ＜0，则y 0的取值范围是（A ）（-33，33）（B ）（-36，36）（B ）（C ）（223-，223）（D ）（233-，233）（16）已知F 是双曲线C ：x 2-82y =1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A （0,66）.当△APF 周长最小是，该三角形的面积为（14）一个圆经过椭圆141622=+y x 错误！未找到引用源。

2016届高考数学(理)二轮热点专题精练专题6解析几何第1讲圆锥曲线的概念、方程与性质

第1讲圆锥曲线的概念、方程与性质圆锥曲线的定义与标准方程1.(2015广东卷)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m等于( B )(A)2 (B)3 (C)4 (D)9解析:由4=(m>0)⇒m=3,故选B.2.若圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,且A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为( A )(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:解方程组得或因为圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,且A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,所以A(0,-3),B(0,3),所以a=3,2c=18,所以b2=()2-32=72,所以双曲线方程为-=1.故选A.3.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C 的准线上一点,则△ABP的面积为( C )(A)18 (B)24 (C)36 (D)48解析: 设抛物线方程y2=2px(p>0),F为抛物线焦点,则直线l垂直于x轴,AF==6,所以△ABP的边AB上的高h=6,所以S△ABP=×12×6=36.故选C.4.已知P为椭圆+=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为.解析:由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.答案:75.(2015佛山模拟)设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线与椭圆+=1的一个公共点,则△PF1F2的面积等于.解析:由题知,双曲线和椭圆焦点相同,假设点P是两曲线在第一象限的交点,则有|PF1|-|PF2|=2,|PF1|+|PF2|=14,解得|PF1|=8,|PF2|=6,又|F1F2|=10,故△PF1F2是直角三角形,则其面积为24.答案:24圆锥曲线的几何性质6.(2014广东卷)若实数k满足0<k<5,则曲线-=1与曲线-=1的( A )(A)焦距相等 (B)离心率相等(C)虚半轴长相等 (D)实半轴长相等解析:因为0<k<5,所以5-k>0,16-k>0,这两个方程表示的是双曲线.焦距都是2.故选A.7.(2013北京卷)若双曲线-=1的离心率为,则其渐近线方程为( B )(A)y=±2x (B)y=±x(C)y=±x (D)y=±x解析:考查双曲线的离心率e=,渐近线方程y=±x及a,b,c之间的关系a2+b2=c2.由=,令a=m,c=m(m>0),则b==m,渐近线方程为y=±x.故选B.8.(2014新课标全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( A )(A)(B)3 (C)m (D)3m解析:-=1,因为m>0,所以双曲线的焦点在x轴上,a2=3m,b2=3,所以一条渐近线为y=x,即y=x,c2=a2+b2=3m+3,则焦点F(,0)到直线y-x=0的距离为d===.故选A.9. (2015黑龙江模拟)已知椭圆+=1(a>b>0),以O为圆心,短半轴长为半径作圆O,过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线,切点为A,B,若四边形PAOB为正方形,则椭圆的离心率为( B )(A)(B)(C)(D)解析:由题意知|OA|=|AP|=b,|OP|=a,OA⊥AP,所以2b2=a2,=,故e==,故选B.10.(2015福建卷)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是( A )(A)(B)(C)(D)解析:设椭圆的左焦点为F1,半焦距为c,连接AF1,BF1,则四边形AF1BF为平行四边形,所以|AF1|+|BF1|=|AF|+|BF|=4.根据椭圆定义,有|AF1|+|AF|+|BF1|+|BF|=4a,所以8=4a,解得a=2.因为点M到直线l:3x-4y=0的距离不小于,即≥,b≥1,所以b2≥1,所以a2-c2≥1,4-c2≥1,解得0<c≤,所以0<≤,所以椭圆的离心率的取值范围为(0,].故选A.11.(2015甘肃兰州第二次监测)已知椭圆C的中心为O,两焦点为F1,F2,M是椭圆C上的一点,且满足||=2||=2||,则椭圆C的离心率e等于( D )(A)(B)(C)(D)解析:过M向椭圆的长轴作垂线,垂足为N,则N为OF2的中点,设||=t,则||2-||2=||2-||2,即4t2-c2=t2-c2,所以c=t,而a=t,所以e=.12.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= .解析: 如图,在等边三角形ABF中,DF=p,BD=p,所以B点坐标为(p,-).又点B在双曲线上,故-=1.解得p=6.答案:6一、选择题1.(2014安徽卷)抛物线y=x2的准线方程是( A )(A)y=-1 (B)y=-2(C)x=-1 (D)x=-2解析:抛物线的方程化为x2=4y,其准线方程为y=-1.故选A.2.(2015江西景德镇模拟)已知△ABC的顶点B,C在椭圆+=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( B )(A)10 (B)20 (C)8 (D)16解析:设椭圆的另一焦点为F,由椭圆的定义知|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a,所以△ABC的周长为4a=4×5=20.3.(2015江西省重点中学协作体模拟)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为( A )(A)+=1 (B)+=1(C)+=1 (D)+=1解析:据题意知2a=12,得a=6,离心率e==,所以c=3,于是b2=9,故椭圆G的方程为+=1.4.(2015济宁模拟)若椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1的渐近线方程为( A )(A)y=±2x (B)y=±x(C)y=±4x (D)y=±x解析:设椭圆的焦距为2c,由题意知=,所以c=a,b==a,双曲线-=1的渐近线为y=±x=±2x.5.(2015山西大学附中模拟)若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率是( D )(A) (B)(C)或(D)或解析:因为m是2,8的等比中项,所以m2=2×8=16,所以m=±4,若m=4时,则椭圆x2+=1的方程为x2+=1,所以其离心率e=,若m=-4,则双曲线方程为x2-=1,离心率e==.故选D.6.(2014天津卷)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( A )(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:由题意可知,双曲线的其中一条渐近线y=x与直线y=2x+10平行,所以=2且左焦点为(-5,0),所以a2+b2=c2=25,解得a2=5,b2=20,故双曲线方程为-=1.故选A.7.(2015赣州市模拟)F1是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点,点P是双曲线右支上一点,若线段PF1与y轴的交点M恰为PF1的中点,且|OM|=a(O为坐标原点),则双曲线C的离心率为( B ) (A)(B)(C)2 (D)3解析:因为M是线段PF1的中点,|OM|=a,所以OM∥PF2,PF2⊥x轴且|PF2|=2a,又由|PF1|-|PF2|=2a知,|PF1|=4a,在直角三角形F1PF2中,sin∠PF1F2==,所以∠PF1F2=30°,故双曲线C的离心率e====.故选B.8.(2015江西上饶模拟)已知抛物线y2=8x,P为其上一点,点N(5,0),点M满足||=1,·=0,则||的最小值为( C )(A)(B)4 (C)(D)2解析:设点P(,y0)由题意知M点的轨迹是以N(5,0)为圆心,1为半径的圆,PM为该圆的一条切线,所以||===≥.故选C.9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是( D )(A)(,) (B)(,1)(C)(,1) (D)(,)∪(,1)解析:根据题意,结合椭圆的图形得a-c<2c且a≠2c(a=2c时只有当P点与短轴两个端点重合时,△F1F2P才为等腰三角形).所以<e<1,且e≠.10.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F,直线x=与其渐近线交于A,B两点,且△ABF为钝角三角形,则双曲线离心率的取值范围是( D )(A)(,+∞) (B)(1,)(C)(,+∞) (D)(1,)解析:由题意设直线x=与x轴的交点为D,因为三角形ABF为钝角三角形,且∠BFD=∠AFD,所以∠AFD>,又|DF|=c-=,双曲线的渐近线方程为y=±x,所以可得A,B两点坐标分别为(,),(,-),所以tan∠AFD===>1,即b<a,则e==<=,故e∈(1,).故选D.11.(2015开封模拟)从双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于P点,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|与b-a的关系为( C )(A)|MO|-|MT|>b-a(B)|MO|-|MT|<b-a(C)|MO|-|MT|=b-a(D)|MO|-|MT|与b-a无关解析:设F1是双曲线的右焦点,连接PF1,由双曲线的定义知|PF|-|PF1|=2a, ①因为OM是△FF1P的中位线,所以|PF1|=2|OM|, ②又因为M是FP的中点,所以|PF|=2|MF|, ③②③代入①得2|MF|-2|OM|=2a,|MF|-|OM|=a. ④因为|MF|=|MT|+|TF|,|FT|2=|OF|2-|OT|2=c2-a2,所以|FT|=b.所以|MF|=|MT|+b. ⑤把⑤代入④得|MT|+b-|OM|=a,所以|OM|-|MT|=b-a.选C.二、填空题12.(2015宁夏石嘴山高三联考)已知双曲线-=1(a,b>0)的一条渐近线方程为2x+3y=0,则双曲线的离心率是.解析:双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,2x+3y=0可化为y=-x,所以=,e======.答案:13.(2015江西九江二模)已知直线2x-(m+)y-2=0(m>0)与直线l:x=-1,抛物线C:y2=4x及x轴分别相交于A,B,F三点,若=2,则m= .解析:如图所示,点F及直线l分别是抛物线C的焦点和准线,过点B作BD⊥l于D,则|BD|=|BF|,因为=2,所以∠ABD=60°,所以=tan 60°,解得m=.答案:14.已知点P(m,4)是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,若△PF1F2的内切圆的半径为,则此椭圆的离心率为.解析:一方面△PF1F2的面积为(2a+2c)r;另一方面△PF1F2的面积为|y P|·2c,所以(2a+2c)·r=|y P|·2c,所以(a+c)·r=|y P|·c,所以=,所以(+1)=,又y P=4,所以=-1=-1=,所以椭圆的离心率为e==.答案:15.(2015大连市模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)左、右顶点为A1,A2,左、右焦点为F1,F2,P为双曲线C上异于顶点的一动点,直线PA1斜率为k1,直线PA2斜率为k2,且k1k2=1,又△PF1F2内切圆与x轴切于点(1,0),则双曲线的方程为.解析:A1(-a,0),A2(a,0),F1(-c,0),F2( c,0),直线PA1的方程为y-0=k1(x+a),直线PA2的方程为y-0=k2(x-a),于是有y2=k1k2(x2-a2),又k1k2=1,所以x2-y2=a2,因此a=b,又由△PF1F2内切圆与x轴切于点(1,0),知||PF1|-|PF2||=|1+c-(c-1)|=2a,解得a=1.故双曲线的方程为x2-y2=1.答案:x2-y2=1。