2012届衡南县“五科联考”数学试卷(含答案)

2012届衡南县“五科联考”数学试卷（含答案）
时间：90分钟，满分：120分
请同学们注意：答题前请将自己的毕业学校、班级、姓名、学籍号、准考证号写在答题卷相应的位置，答案要写在答卷上相应的地方，在试卷上答题无效，考试结束，务必将试卷和答卷一并交回．
一、选择题（每小题5分，共30分）
1、若
20a b =，10b c =，则a b b c
+=+（ ） A ．
1121 B ．
210
11
C ．
2111
D ．
110
21
【分析】根据
20a b =，10b c =得到20a b =，10b c =，代入a b b c
++即可求得答案． 【解答】解：由题设，得
1
201210
1111110
a a
b b
c b c b +++===
+++ 故选择：B ．
【点评】本题考查了比例的性质，解题的关键是对原式进行正确的变形．
2、如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120
°，AB =
4BC =-
CD =AD 边的长为（ ）
A
．B
．C
．4+D
．2+【分析】作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，构建Rt △AEB 和Rt △DFC ，根据勾股定理计算BE 、CF 、DF ，计算EF 的
值，并根据EF 求AD ．
【解答】解：如图，过点A 、D 分别作AE 、DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E 、F
由已知，得
BE AE ==CF =DF =
∴ 4EF BE BC CF =++=，DG DF FG DF AE =-=-=过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G 在Rt △ADG 中，根据勾股定理，得
2AD ==
==
+故选择： D ．
【点评】本题考查了勾股定理的正确运用，本题中构建Rt △ABE 和Rt △CDF 是解题的关键．
3.设x 、y 定义为()()11x y x y *=++，2
x x x *=*，则多项式()2321x x **-*+在2x =时的值为（ ）
A ．19
B ．27
C ．32
D ．38
【分析】先根据新定义，计算2
x *的值，再把2x *的值代入所求多项式中，再根据()()11x y x y *=++，进行计算即可．
【解答】解：∵ 2
x x x *=*，2x =
∴ ()()2
21219x
*=++=
∴ ()
()()()()2
321392121131919132x x **-*+=*-+++=++-+=
故选择：C ．
【点评】本题考查的是整式的混合运算——化简求值，解题的关键是注意新定义的运算的计算．
4、正六边形被三组平行线划分成小的正三角形，则图中全体正三角形的个数是（ ） A ．24
B ．36
C ．38
D ．76
【分析】分类计算：设正六边形的边长为2，分别计算出边长为1的正三角形的个数个，边长为3的正三角形的个数，边长为2的正三角形的个数，然后相加即可．
【解答】解；设正六边形的边长为2
那么边长为1的正三角形的有24个，边长为2的正三角形有12个，边长为3的正三角形的有2个，共计38个
故选择：C ．
【点评】此题主要考查学生对对等边三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，是一道竞赛题．
5、已知55
3a =，44
4b =，33
5c =，则有（ ） A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．c a b <<
D ．a c b <<
【分析】先找出三个数的规律，它们化为相等的指数幂，即()
11
55
533
a ==，()
11
44
44
4
b ==，
()11
33355c ==，然后比较出354534<<，最后得出答案即可．
【解答】解：()
11
55
533
a ==，()11
44
44
4b ==，()11
33355c ==
53243=，44256=，35125=
∴ 354
534<< ∴ c a b << 故选择：C ．
【点评】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是把四个数化为相同的指数幂，再比较大小．
6、如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝7，AD ＝2，BC ＝3，如果AB 上的点P 使△PAD ∽△PBC ，那么这样的点有（ ）个
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
【分析】根据相似三角形的性质得出AP 的长，即可得到满足题意的点P 的个数． 【解答】解：∵ △PAD ∽△PBC
∴
2
3
AP AD BP BC == 又 7AP BP AB +== ∴ 72
2.85
AP ⨯=
= ∴ 满足题意的点P 的个数为1个 故选择：C ．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题的关键．
7、如果关于x 的不等式()2121a x a +>+的解集为1x <，那么a 的取值范围是（ ）
A ．12
a <-
B ．12
a >-
C ．0a >
D ．0a <
【分析】不等式()2121a x a +>+的解集为1x <，即不等式的两边同时除以21a +导致不等号的方向改变，则21a +一定小于0，据此即可求得a 的范围．
【解答】解：根据题意，得
210a +<
解得，1
2
a <-
故选择：A ．
【点评】本题考查了不等式的解法，关键是确定21a +的符号．
二、填空题（每小题5分，共25分）
8、把__________．
【分析】原式可以写成(a --，其中a -=，然后利用二次根式的乘法法则即可求解．
【解答】解：原式(a =--====
故答案是：
【点评】本题考查了二次根式的化简以及乘法法则，正确理解a 是负数是关键．
9、温家宝总理有句名言：“多么小的问题乘以13亿，都会变得很大；多么大的经济总量，除以13亿都会变得很小”据国家统计局的公布，2006年我国淡水资源总量为28000亿立方米，居世界第四位，但人均只有__________立方米，是全球人均水资源最贫乏的十三个国家之一．（结果保留两位有效数字）
【分析】人均就是求平均数．
【解答】解：3
2800013 2.210÷≈⨯（立方米）
故答案是：3
2.210⨯．
【点评】本题属于基础题，考查了对有理数的除法运算法则和近似数的掌握程度．
10、已知1a =，则3
2
27212a a a +--的值等于__________．
【分析】将1a =转化为()2
15a +=，再进一步转化224a a +=；将32
27212a a a +--转化为
3222423412a a a a a +++--，对前三项提取公因式2a ，运用完全平方公式变为()2
2213412a a a a ++--，
此时将()2
15a +=代入上式，变为2
3612a a +-，再对前两项提取公因数3，变为()
23212a a +-，此时将
224a a +=代入上式．最终问题得以解决．
【解答】解：由已知，得
()
2
15a +=
∴ 2
24a a +=
()()323222
222
22721224234122134122534123612321234120
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ∴+--=+++--=++--=⋅+--=+-=+-=⨯-=
故答案为：0．
【点评】注意解题中的整体代入思想，以及完全平方公式、提取公因式（公因数）的灵活运用．
11、如图，圆锥的底面圆的半径为10cm ，母线长为40cm ，C 为母线PA 的中点，一只蚂蚁欲从点A 处沿圆锥的侧面（不是沿母线从A 到C ）爬到点C 处，则它爬行的最短距离是__________．
【分析】要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【解答】解：由题意，得
底面圆的直径20AB = ∴ 底面圆的周长等于20π
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n °，根据“底面圆的周长等于展开后扇形的弧长”，得
40
20180
n ππ⋅=
解得，90n =
∴ 展开图中扇形圆心角∠PSC ＝90°
根据勾股定理，得
PC ==
∴ 小虫爬行的最短距离为
故答案是：．
【点评】圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
12、如图，在平面直角坐标第xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是__________．
【分析】延长BC 交x 轴于点F ；连接OB 、AF ；连接CE 、DF ，且相交于点N ．把将多边形OABCDE 分割两个矩形，过两个矩形的对角线的交点的直线把多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分．而M 点正是矩形ABFO 的中心，求得矩形CDEF 的中心N 的坐标，设y kx b =+，利用待定系数法求k 、b 即可．
【解答】解：如图，延长BC 交x 轴于点F ；连接OB 、AF ；连接CE 、DF ，且相交于点N
由已知得点M （2，3）是OB ，AF 的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分
又∵ 点N （5，2）是矩形CDEF 的中心
∴ 过点N （5，2）的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分 ∴ 直线MN 即为所求的直线l 设直线l 的函数表达式为y kx b =+，则
2352k b k b +=⎧⎨
+=⎩，解得，13
11
3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴ 所求直线l 的函数表达式为111
33
y x =-
+ 故答案为：111
33
y x =-
+． 【点评】本题考查了一次函数关系式为：y kx b =+ （0k ≠），要有两组对应量确定解析式，即得到k 、b 的二元一次方程组．同时考查了不规则图形面积的平分方法；过矩形对角线交点的直线必平分它的面积．
三、解答题（要有必要的解答过程，否则不给分；共4小题，合计60分）
13、（本题12分）已知：关于x 的一元二次方程()2
2
22341480x m x m m --+-+=．
（1）若0m >，求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若m 是满足条件1240m <<的整数，且方程有两个整数根，求m 的值．
【分析】（1）利用根的判别式来证明，()()
2
2
2234414884m m m m ∆=----+=+⎡⎤⎣⎦，
通过证明84m +是正数来得到0∆>；
（2）利用求根公式求出x 的值，用含m 的代数式表示为()23x m =-若m 为1240m <<的整数，且方程有两个整数根，那么21m +必须是25～81之间的完全平方数，从而求出m 的值．
【解答】证明：（1）()()
2
2
2234414884m m m m ∆=----+=+⎡⎤⎣⎦
∵ 0m > ∴ 840m +> 即 0∆>
∴ 方程有两个不相等的实数根 （2）解：由求根公式，得
()
()223
232
m x m -==-±∵ 方程有两个整数根
∴ m 为整数 又∵ 1240m << ∴ 252181m <+<
∴ 59<
6=，解得，35
2
m =
（舍去）
7=，解得，24m =
8=，解得，63
2
m =
（舍去）
综上，24m =
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用和利用求根公式解方程，要熟悉求根公式与根的判别式之间的关系．解题关键是把△转化成完全平方式与一个正数的和的形式，才能判断出它的正负性．
在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件： ① 二次项系数不为零；
② 在有两个不相等的实数根的情况下，必须满足2
40b ac ∆=->．
14、（本题13分）某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图所示）．由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米，如果池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米300元，池底建造单价为每平方米80元．（池墙的厚度忽略不计）
（1）当三级污水处理池的总造价为47 200元时，求池长x ；
（2）如果规定总造价越低就越合算，那么根据题目提供的信息，以472 00元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算？请说明理由．
【分析】（1）本题的等量关系：
池底的造价+外围墙的造价+中间隔墙的造价＝47200元 由此可列方程求解；
（2）可在池长准许的范围内找出一个比已知造价便宜的方案即可． 【解答】解：（1）矩形ABCD 的边200
AB CD x
== 由题意，得
20020020020040023002008047200x x x x
x ⎛⎫⎛⎫
+++++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
隔墙
隔墙
即 400700
8002008047200x x
⨯++⨯= 化简，得
2393500x x -+=
解得，114x =，225x =
经检验都是原方程的解，但2516x =>（不合题意，舍去） 答：当三级污水处理池的总造价为47200元时，池长14米； （2）当以47200为总造价来修建三级污水处理池时，不是最合算； 当池长为16米时，池宽为12.516<米米
∴ 池长为16米符合题意 这时总造价为400700
8001620080463004720016
⨯⨯+
+⨯=<
∴ 当以47200为总造价来修污水处理池时，不是最合算．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
15、如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为x ，乙转盘中指针所指区域内的数字为y （当指针指在边界线上时，重转一次，直到指针指向一个区域为止）
（1）请你用画树状图或列表格的方法，求出点（x ，y ）落在第二象限内的概率； （2）直接写出点（x ，y ）落在函数1
y x
=-
图象上的概率．
【分析】通过树状图或列表，列举出所有情况，再计算概率即可．
【解答】解：（1）根据题意，画树状图：
由上图可知，点（x ，y ）的坐标共有12种等可能的结果： （1，－1），（1，13-
），（1，12），（1，2），（－2，－1），（－2，13
-） （－2，
12），（－2，2），（3，－1），（3，13-），（3，1
2
），（3，2）； 其中点（x ，y ）落在第二象限的共有2种：（－2，
1
2
），（－2，2） 所以，()()21126
P
x y ==，落在第二象限 或根据题意，画表格：
由表格知共有12种结果，其中点（x ，y ）落在第二象限的共有2种：（－2，
1
2
），（－2，2） ∴ ()()21126
P
x y ==，落在第二象限 （2）由表格知共有12种结果，其中点（x ，y ）落在第二象限的共有2种：（1，－1），（－2，
1
2
），（3，13
-）
∴ ()131
124
P x y y x
⎛⎫=-=
= ⎪⎝
⎭，落在上
【点评】此题为一次函数与概率的综合，考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：
① 概率＝所求情况数与总情况数之比；
② 反比例函数上的点的横纵坐标的积为反比例函数的比例系数； ③ 第二象限点的符号为（－，+）．
16、（本题20分）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC ＝∠AGF ＝90°，它们的斜边长为2，若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合），设BE ＝m ，CD ＝n ．
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明； （2）求m 与n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围；
（3）以△ABC 的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC 上找一点D ，使BD ＝CE ，求出D 点的坐标，并通过计算验证2
2
2
BD CE DE +=；
（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系222
BD CE DE +=是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）根据已知及相似三角形的判定方法进行分析即可；
（2）可根据（1）中的相似三角形BAE 和CDA 得出关于AB 、BE 、CD 、AC 的比例关系，AB 、AC 可通过等腰直角三角形求出，因此根据比例关系即可得出m 、n 的函数关系式；
（3）根据（2）的函数关系式，即可求出BE 、CD 的长，从而也就能求出OD 、OE 、DE 、BD 、CE 的长，那么可通过计算得出本题的结论；
（4）根据旋转角，我们知道HB ⊥BD ，那么2
2
2
BD BH DH +=，而BH ＝CE ，于是关键是证明HD ＝DE ，连接AH 、DH ，那么可通过证三角形AHD 和ADE 全等来求解．
【解答】解：（1）可得△ABE ∽△DAE ，△ABE ∽△DCA ∵ ∠BAE ＝∠BAD +45°，∠CDA ＝∠BAD +45° ∴ ∠BAE ＝∠CDA 又∵ ∠ABC ＝∠ACB ＝45° ∴ △ABE ∽△DCA （2）∵ △ABE ∽△DCA
∴
BE BA
CA CD
=
由题意可知，CA BA =
∴
= ∴ 2m n
=
自变量n 的取值范围为12n << （3）由BD ＝CE 可得，BE ＝CD 即m ＝n ∵ 2m n
=
∴ m n ==∵ 1
12
OB OC BC ==
=
∴ 1OE OD ==
∴ D
（10）
∴
)
112BD OB OD CE =-=-
==
∴
(
22222DE BC BD =-=-=
∵
(
2
222
22212BD CE BD +===-
(
)
2
2
212DE ==-∴ 222
BD CE DE +=
（4）等量关系222
BD CE DE +=成立．理由如下：
证明：如图，将△ACE 绕点A 顺时针旋转90°至△ABH 的位置
则CE ＝HB ，AE ＝AH ，∠ABH ＝∠C ＝45°，旋转角∠EAH ＝90°，连接HD
∵ 45HAD EAH FAG ∠=∠-∠=︒
∴ HAD EAD ∠=∠
在△EAD 和△HAD 中
AE AH HAD EAD AD AD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ △EAD ≌△HAD ∴ DE ＝DH
∵ ∠HBD ＝∠ABH +∠ABD ＝90°
∴ 222
BD BH DH +=
∴ 222
BD CE DE +=
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．根据相似三角形或全等三角形得出线段成比例或相等是解题的关键．。