广东省清远市清城区2017届高三数学上学期期末考试试题A卷理
2017-2018年广东省清远市高三上学期数学期末试卷(理科)与解析

2017-2018学年广东省清远市高三(上)期末数学试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(5分)复数Z=1+i+(1+i)6(i为虚数单位)在复平面上对应的点P在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(5分)函数y=sin(+2x)是()A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为2π的偶函数3.(5分)由直线x=﹣,x=,y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为()A.B.1C.D.4.(5分)为了解工厂的1000名工人的生产情况,从中抽取100名工人进行统计,得到如下频率分布直方图,由此可估计该工厂产量在75件以上(含75件)的工人数为()A.50B.100C.150D.2505.(5分)设命题p:若集合A={x∈R|≤0},则∁R A={x∈R|x>0}(其中R为实数集);命题q:∃x∈R,sinx≥1,则()A.p∨(¬q)是假命题B.p∨q是假命题C.p∧q是真命题D.(¬p)∧(¬q)是真命题6.(5分)为了研究某班学生的身高y(单位:厘米)和脚长x(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为.已知=225,=1650,,则的值是()A.750B.75C.80D.8007.(5分)在如图程序框图中,已知:f0(x)=xe x,f i′(x)是f i(x)的导函数,则输出的是()A.2016e x B.2016e x+xe x C.2017e x D.2017e x+xe x 8.(5分)中国古代数学著作《算法统宗》有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378 里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6 天后达到目的地.”则该人最后一天走的路程为()A.4 里B.5 里C.6 里D.8 里9.(5分)已知几何体的三视图如图所示,则该几何体是()A.体积为2的三棱锥B.体积为2的四棱锥C.体积为6的三棱锥D.体积为6的四棱锥10.(5分)已知实数x,y满足,则(x﹣1)2+(y+1)2的取值范围是()A.[,10]B.[,2]C.[,10]D.[,2] 11.(5分)设P是抛物线C1:x2=4y上的动点,M是圆C2:(x﹣5)2+(y+4)2=4上的动点,d是点P到直线y=﹣2的距离,那么d+|PM|的最小值是()A.﹣2B.﹣1C.D.+1 12.(5分)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,如图所示点C在以O为圆心的圆弧上运动,若,其中x,y∈R,则x+y 的取值范围为()A.(1,2]B.[1,2]C.[1,2)D.[﹣2,2]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(5分)已知(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n,若a2=40,则n=.14.(5分)小明有4枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他把4枚硬币叠成一摞(如图),则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是.15.(5分)如图是抛物线形拱桥,当水面在如图所示的n处时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位上升1米后,水面宽米.16.(5分)小明发现,直棱柱的外接球的球心位置一定在上下底面外接圆圆心连线上,现已知三棱柱A1B1C1﹣ABC中,AB=BC=,AC=6,AA1⊥平面ABC,AA1=2,则该三棱柱的外接球表面积为.三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(12分)已知数列{a n}中,a1=1,其前n项和为S n,且满足(n ≥2,n∈N+).(Ⅰ)求证:数列{}是等差数列;(Ⅱ)证明:.18.(12分)朱老师家住H小区,他在C学校工作,从家开车到C学校上班有L1,L2两条路线(如图),路线L1上有A1,A2,A3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为;路线L2上有B1,B2两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为,.(Ⅰ)若走路线L1,求最多遇到2次红灯的概率;(Ⅱ)若走路线L2,求遇到红灯次数X的数学期望;(Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助朱老师分析上述两条路线中,选择哪条路线上班更好些,并说明理由.19.(12分)在如图所示的空间几何体中,平面ACD⊥平面ABC,△ACD与△ACB 是边长为2的等边三角形,BE=2,BE和平面ABC所成的角为60°,且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上.(Ⅰ)求证:DE∥平面ABC;(Ⅱ)求二面角E﹣BC﹣A的余弦值.20.(12分)已知双曲线x2﹣=1的左、右顶点分别为A、B,曲线C是以A、B为短轴的两端点且离心率为的椭圆,设点P在第一象限且在双曲线上,直线AP与椭圆相交于另一点T.(Ⅰ)求曲线C的方程;(Ⅱ)设点P、T的横坐标分别为x1、x2,证明:x1x2=1;(Ⅲ)设△TAB与△POB(其中O为坐标原点)的面积分别为S1与S2,且≤10,求的取值范围.21.(12分)已知函数f(x)=﹣x3+2mx﹣m.(Ⅰ)讨论函数f(x)的极大值和极小值;(Ⅱ)证明:当m>,0≤x≤1时,﹣m<f(x)<m﹣.选修4—4:极坐标与参数方程22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程(θ是参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=.(Ⅰ)求曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程;(2)设曲线C1上的点P到直线C2的距离为d,求d的最大值.选修4—5:不等式选讲23.已知f(x)=|2x+2|+|3x﹣3|,g(x)=|x+2m|+|x﹣m|.(Ⅰ)求函数y=的定义域.(Ⅱ)若∀x∈R,∃x0∈R,使得f(x)=g(x0),试求实数m的取值范围.2017-2018学年广东省清远市高三(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(5分)复数Z=1+i+(1+i)6(i为虚数单位)在复平面上对应的点P在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】解:∵Z=1+i+(1+i)6=1+i+[(1+i)2]3=1+i+(2i)3=1﹣7i,∴在复平面上对应的点P的坐标为(1,﹣7),在第四象限.故选:D.2.(5分)函数y=sin(+2x)是()A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为2π的偶函数【解答】解:函数y=sin(+2x)=cos2x,它的周期为=π,且为偶函数,故选:C.3.(5分)由直线x=﹣,x=,y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为()A.B.1C.D.【解答】解:由定积分可求得阴影部分的面积S=cosxdx==﹣(﹣)=,所以围成的封闭图形的面积是.故选:D.4.(5分)为了解工厂的1000名工人的生产情况,从中抽取100名工人进行统计,得到如下频率分布直方图,由此可估计该工厂产量在75件以上(含75件)的工人数为()A.50B.100C.150D.250【解答】解:产量在75件以上(含75件)的工人包括第4组和第5组的工人,∵f=f4+f5=0.010×10+0.005×10=0.15.∴该工厂产量在75件以上(含75件)的工人数为:1000×0.15=150.故选:C.5.(5分)设命题p:若集合A={x∈R|≤0},则∁R A={x∈R|x>0}(其中R为实数集);命题q:∃x∈R,sinx≥1,则()A.p∨(¬q)是假命题B.p∨q是假命题C.p∧q是真命题D.(¬p)∧(¬q)是真命题【解答】解:A={x∈R|≤0}={x|x<0},则∁R A={x∈R|x≥0},即命题p是假命题,当sinx=1时,满足sinx≥1,即命题q是真命题,则p∨(¬q)是假命题,故选:A.6.(5分)为了研究某班学生的身高y(单位:厘米)和脚长x(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为.已知=225,=1650,,则的值是()A.750B.75C.80D.800【解答】解:∵=225,=1650,∴=22.5,=165,由165=4×22.5+,解得:=75,故选:B.7.(5分)在如图程序框图中,已知:f0(x)=xe x,f i′(x)是f i(x)的导函数,则输出的是()A.2016e x B.2016e x+xe x C.2017e x D.2017e x+xe x 【解答】解:由程序框图知,f0(x)=xe x,f1(x)=f0′(x)=e x+xe x,∴f2(x)=f1′(x)=e x+e x+xe x=2e x+xe x;…;∴输出f2017(x)=f2016′(x)=2017e x+xe x.故选:D.8.(5分)中国古代数学著作《算法统宗》有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378 里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6 天后达到目的地.”则该人最后一天走的路程为()A.4 里B.5 里C.6 里D.8 里【解答】解:每天走的路形成等比数列{a n},q=,S6=378.∴S6=378=,解得a1=192.∴该人最后一天走的路程=a1q5==6.故选:C.9.(5分)已知几何体的三视图如图所示,则该几何体是()A.体积为2的三棱锥B.体积为2的四棱锥C.体积为6的三棱锥D.体积为6的四棱锥【解答】解:几何体的直观图如图:由题意可得几何体的底面积为:=3,体积为:V=.故选:B.10.(5分)已知实数x,y满足,则(x﹣1)2+(y+1)2的取值范围是()A.[,10]B.[,2]C.[,10]D.[,2]【解答】解:(x﹣1)2+(y+1)2的几何意义是P(1,﹣1)到可行域上的点的距离的平方,d min==,最小值为:;由可得B(2,2),最大值为可行域内的第一象限三角形的顶点到P(1,﹣1)的距离的平方:(2﹣1)2+(2+1)2=10,故选:C.11.(5分)设P是抛物线C1:x2=4y上的动点,M是圆C2:(x﹣5)2+(y+4)2=4上的动点,d是点P到直线y=﹣2的距离,那么d+|PM|的最小值是()A.﹣2B.﹣1C.D.+1【解答】解:圆(x﹣5)2+(y+4)2=4的圆心(5,﹣4),半径为2.抛物线x2=4y的准线方程为:y=﹣1,如图:d为P到y=﹣2的距离,P为抛物线x2=4y上一动点,M为(x﹣5)2+(y+4)2=4上一动点,d+PM最小值就是FC2的连线与抛物线的交点是P,与圆的交点为M,过P作PN垂直直线y=﹣1的交点为N,有抛物线的定义可知:PF=PN,即1+|PF|+|PM|的最小值就是d+PM最小值,∵F(0,1),C2(5,﹣4),∴|FC2|==5,∴d+|PM|≥1+|FC2|﹣2=5﹣1所以d+PM最小值为5﹣1,故选:B.12.(5分)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,如图所示点C在以O为圆心的圆弧上运动,若,其中x,y∈R,则x+y 的取值范围为()A.(1,2]B.[1,2]C.[1,2)D.[﹣2,2]【解答】解:由题意,以O为原点,OA为x轴的正向,建立如图所示的坐标系,设C(cosθ,sinθ),0≤θ≤120°可得A(1,0),B(﹣,),由若=x(1,0)+y(﹣,)得,x﹣y=cosθ,y=sinθ,∴y=sinθ,∴x+y=cosθ+sinθ=2sin(θ+30°),∵0≤θ≤120°,∴30°≤θ+30°≤150°,∴1≤2sin(θ+30°)≤2∴x+y的范围为[1,2],故选:B.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(5分)已知(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n,若a2=40,则n=5.【解答】解:∵(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n,若a2=40,则×4=40,求得n2﹣n﹣20=0,∴n=5,或n=﹣4(舍去),故答案为:5.14.(5分)小明有4枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他把4枚硬币叠成一摞(如图),则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是.【解答】解:小明有4枚完全相同的硬币,他把4枚硬币叠成一摞,基本事件总数n=24=16,所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对,包含的基本事件的个数m=24﹣2=14,∴所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率:p===.故答案为:.15.(5分)如图是抛物线形拱桥,当水面在如图所示的n处时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位上升1米后,水面宽2米.【解答】解:如图建立直角坐标系,设抛物线方程为x2=my,将A(2,﹣2)代入x2=my,得m=﹣2,∴x2=﹣2y,代入B(x0,﹣1)得x0=,故水面宽为2m.故答案为:2.16.(5分)小明发现,直棱柱的外接球的球心位置一定在上下底面外接圆圆心连线上,现已知三棱柱A1B1C1﹣ABC中,AB=BC=,AC=6,AA1⊥平面ABC,AA1=2,则该三棱柱的外接球表面积为.【解答】解:由题意,圆心到球心的距离为1,∵AB=BC=,AC=6,∴AC的高为,其中一个底角的正弦值为;由正弦定理:2r=;则r=外接球半径R==三棱柱的外接球表面积S=4πR2=故答案为:三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(12分)已知数列{a n}中,a1=1,其前n项和为S n,且满足(n ≥2,n∈N+).(Ⅰ)求证:数列{}是等差数列;(Ⅱ)证明:.【解答】证明:(Ⅰ)数列{a n}中,a1=1,其前n项和为S n,且满足(n ≥2,n∈N+).则:当n≥2时,,整理得:S n﹣S n=2S n﹣1S n,﹣1所以:(常数).所以:数列{}是以为首项,2为公差的等差数列.证明:(Ⅱ)由(Ⅰ)得:,所以:,当n=1时,符合通项.故:,所以:,=,=18.(12分)朱老师家住H小区,他在C学校工作,从家开车到C学校上班有L1,L2两条路线(如图),路线L1上有A1,A2,A3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为;路线L2上有B1,B2两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为,.(Ⅰ)若走路线L1,求最多遇到2次红灯的概率;(Ⅱ)若走路线L2,求遇到红灯次数X的数学期望;(Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助朱老师分析上述两条路线中,选择哪条路线上班更好些,并说明理由.【解答】解:(Ⅰ)【解法一】设“走路线L1,最多遇到2次红灯”为事件A,则P(A)=×+×+××=;∴走L1最多遇到2次红灯的概率为;【解法二】设“走路线L1,最多遇到2次红灯”为事件A,则事件为“走路线L1遇到3次红灯”,∴P(A)=1﹣P()=1﹣×=;∴走L1最多遇到2次红灯的概率为;(Ⅱ)由题意知随机变量X的可能取值为0,1,2;计算P(X=0)=(1﹣)×(1﹣)=,P(X=1)=×(1﹣)+(1﹣)×=,P(X=2)=×=,∴X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×=;(Ⅲ)设选择路线L1遇到红灯的次数为Y,随机变量Y服从二项分布,即Y~B(3,),∴E(Y)=3×=,由E(X)<E(Y),∴选择路线L2上班更好些.19.(12分)在如图所示的空间几何体中,平面ACD⊥平面ABC,△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形,BE=2,BE和平面ABC所成的角为60°,且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上.(Ⅰ)求证:DE∥平面ABC;(Ⅱ)求二面角E﹣BC﹣A的余弦值.【解答】(本小题满分12分)解:(Ⅰ)由题意知,△ABC,△ACD都是边长为2的等边三角形,取AC中点O,连接BO,DO,则BO⊥AC,DO⊥AC,…(2分)又∵平面ACD⊥平面ABC,∴DO⊥平面ABC,作EF⊥平面ABC,那么EF∥DO,根据题意,点F落在BO上,∵BE和平面ABC所成的角为60°,∴∠EBF=60°,∵BE=2,∴,…(4分)∴四边形DEFO是平行四边形,∴DE∥OF,∵DE不包含于平面ABC,OF⊂平面ABC,∴DE∥平面ABC.…(6分)(Ⅱ)解法一:作FG⊥BC,垂足为G,连接EG,∵EF⊥平面ABC,∴EF⊥BC,又EF∩FG=F,∴BC⊥平面EFG,∴EG⊥BC,∴∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角.…(9分)Rt△EFG中,,,.∴.即二面角E﹣BC﹣A的余弦值为.…(12分)解法二:建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz,B(0,,0),C(﹣1,0,0),E(0,,),∴=(﹣1,﹣,0),=(0,﹣1,),平面ABC的一个法向量为设平面BCE的一个法向量为则,∴,∴.…(9分)所以,又由图知,所求二面角的平面角是锐角,二面角E﹣BC﹣A的余弦值为.…(12分)20.(12分)已知双曲线x2﹣=1的左、右顶点分别为A、B,曲线C是以A、B为短轴的两端点且离心率为的椭圆,设点P在第一象限且在双曲线上,直线AP与椭圆相交于另一点T.(Ⅰ)求曲线C的方程;(Ⅱ)设点P、T的横坐标分别为x1、x2,证明:x1x2=1;(Ⅲ)设△TAB与△POB(其中O为坐标原点)的面积分别为S1与S2,且≤10,求的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)设椭圆的方程为+=1,a>b>0,依题意可得A(﹣1,0),B(1,0),所以b=1,因为椭圆的离心率为,所以e2===,即a2=4,∴椭圆方程为+x2=1;(Ⅱ)设点P(x1,y1)、T(x2,y2)(x i>0,y i>0,i=1,2),直线AP的斜率为k(k>0),则直线AP的方程为y=k(x+1),联立方程组,整理,得(4+k2)x2+2k2x+k2﹣4=0,解得x=﹣1或x=.所以x2=.同理可得,x1=.所以x1•x2=1.(Ⅱ)解:设点P(x1,y1)、T(x2,y2)(x i>0,y i>0,i=1,2),则=(﹣1﹣x1,﹣y1),=(﹣1﹣x2,﹣y2),因为•≤10,所以(﹣1﹣x1)(1﹣x1)+y12≤10,即x12+y12≤11,因为点P在双曲线上,则x1﹣=1,所以x12+4x12﹣4≤11,即x12≤3.因为点P是双曲线在第一象限内的一点,所以1<x1≤.因为S1=|AB|•|y2|=|y2|,S2=|OB|•|y1|=|y1|,所以S12﹣S22=y22﹣y12=(4﹣4x22)﹣(x12﹣1)=5﹣x12﹣4x22.由(Ⅱ)知,x1•x2=1,即x2=.设t=x12,则1<t≤3,则S12﹣S22=5﹣t﹣.设f(t)=5﹣t﹣=5﹣(t+)=5﹣4=1,当且仅当t=,即t=2时取等号,所以函数f(t)在(1,2)上单调递增,在(2,3]上单调递减.因为f(3)=5﹣3﹣=,f(1)=0,所以f(1)<f(3)所以S12﹣S22的取值范围为(0,1].21.(12分)已知函数f(x)=﹣x3+2mx﹣m.(Ⅰ)讨论函数f(x)的极大值和极小值;(Ⅱ)证明:当m>,0≤x≤1时,﹣m<f(x)<m﹣.【解答】(I)解:f′(x)=﹣3x2+2m,m≤0时,f′(x)≤0,∴函数f(x)在R上单调递减,无极值.m>0时,f′(x)=﹣3(x+)(x﹣),可得:﹣<x<时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增;x<﹣,或x>时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减.∴x=﹣,函数f(x)取得极小值,=﹣﹣m.x=时,函数f(x)取得极大值,f=﹣m.(II)证明:当m>,0≤x≤1时,要证明﹣m<f(x)<m﹣.即证明:f (x)﹣<0.由(I)可得:0<x<时,此时函数f(x)单调递增;x>时,函数f(x)单调递减.①当≥1时,m≥时,f(x)在[0,1]上单调递增,∴f(x)≤f(1).这时f(x)﹣<f(1)﹣|m﹣|=﹣1+2m﹣m﹣(m﹣)=﹣<0.②当<1时,<m<时,f(x)≤f,∴f(x)﹣≤f()﹣|m﹣|=﹣2m+.令=t,则t∈,m=.g(t)=﹣2m+=t3﹣+.∵g′(x)=﹣t=t(t﹣3)<0,∴g(t)在t∈上单调递减,∴g(t)<g()=﹣<0,综上所述:当m>,0≤x≤1时,﹣m<f(x)<m﹣.选修4—4:极坐标与参数方程22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程(θ是参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=.(Ⅰ)求曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程;(2)设曲线C1上的点P到直线C2的距离为d,求d的最大值.【解答】解:(Ⅰ)曲线C1的参数方程(θ是参数),转换为直角坐标方程为:,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=.转换为直角坐标方程为:x+y﹣1=0.(2)设曲线C1上的点P(),则:点P到直线x+y﹣1=0的距离d==.故:d的最大值为.选修4—5:不等式选讲23.已知f(x)=|2x+2|+|3x﹣3|,g(x)=|x+2m|+|x﹣m|.(Ⅰ)求函数y=的定义域.(Ⅱ)若∀x∈R,∃x0∈R,使得f(x)=g(x0),试求实数m的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)要使函数有意义,必须f(x)﹣8≥0,当x≤﹣1时,﹣(2x+2)﹣(3x﹣3)﹣8≥0,解得x;当﹣1<x≤1时,(2x+2)﹣(3x﹣3)﹣8≥0,解得x∈∅;当x>1时,(2x+2)+(3x﹣3)﹣8≥0,解得x.综上所述,函数的定义域是(﹣)∪(,+∞).(Ⅱ)∵f(x)=∴f(x)≥f(1)=4又∵g (x )=|x +2m |+|x ﹣m |≥|(x +2m )﹣(x ﹣m )|=3|m | ∴若∀x ∈R ,∃x 0∈R ,使得f (x )=g (x 0),都有3|m |≤4, ∴m 的取值范围为[﹣,].赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 (1)根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n n a n 是偶数时,正数a 的正的n n a 表示,负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根.n a n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥.③根式的性质:()n n a a =;当n 为奇数时,nn a a =;当n 为偶数时,(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.(2)分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是:(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.②正数的负分数指数幂的意义是: 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.(3)分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1),即当0x =时,1y =.奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内,a 越大图象越高;在第二象限内,a 越大图象越低.〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算(1)对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做底数,N 叫做真数.xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>. (2)几个重要的对数恒等式log 10a =,log 1a a =,log b a a b =.(3)常用对数与自然对数常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…). (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a a MM N N-= ③数乘:log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0),即当1x =时,0y =.奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x>>==<<<log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x<>==><<a变化对图象的影响在第一象限内,a越大图象越靠低;在第四象限内,a越大图象越靠高.。
广东省清远市2017届高三上学期期末教学质量检测理科综合试卷 含答案

广东清远市2016—2017学年度第一学期期末教学质量检测高三理科综合试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至5页,第Ⅱ卷6至16页,共300分。
考试时间150分钟。
注意事项:1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卷上.考生要认真核对答题卷上条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需要改动用橡皮擦干净,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卷上书写作答。
在试题卷上作答,答案无效。
3.考试结束。
监考人员将试卷、答题卷一并收回。
可能用到的相对原子质量:H—1 O—16 C—12 N—14 Na-23 Ca—40 Fe—56 Co—59第Ⅰ卷(选择题共126分)本卷共21小题,每小题6分,共126分.一、选择题:本题共13小题,每小题6分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下列有关细胞结构与功能的说法,正确的一项是A.细胞表面积与体积之比越大,细胞膜的物质交换速率越小B.高尔基体行使其功能时,伴随着膜成分的转化和更新C.核糖体是噬菌体、乳酸菌和酵母菌唯一共有的细胞器D.核孔是mRNA、酶等大分子物质进出细胞的通道2.下图表示生物体内进行的能量释放、转移和利用过程。
下列有关叙述错误的是A.a过程的完成不一定伴随CO2的生成B.b、c过程中的能量变化是不可逆的C.ATP的结构简式是A—P~P~P,其中A代表腺嘌呤D.人体细胞中生成的B可用于维持体温3.下列关于基因控制蛋白质合成的相关叙述中,正确的是A.在动植物的体细胞中,有些细胞器可以进行转录和翻译过程B.翻译过程中,所需的tRNA种类数与氨基酸的种类数一定相等C.基因转录出mRNA后,DNA分子将保持解旋后的单链状态D.多个核糖体与同一条mRNA结合,可以快速合成多种多肽4.下图为某种单基因常染色体隐性遗传病的系谱图。
广东省清远市2017届高三上学期期末数学试卷理科 含解析 精品

2016-2017学年广东省清远市高三(上)期末数学试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个选项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填入答题卡中.)1.已知集合A={x|(x﹣2)(x+1)≤0,x∈R},B={x|lg(x+1)<1,x∈Z},则A∩B=()A.(0,2) B.[0,2]C.{0,2}D.{0,1,2}2.复数z满足z(1﹣i)=|1+i|,则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著,约成书于公元466﹣485年间.其中记载着这么一道题:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺,30天共织布390尺,则该女子织布每天增加的尺数(不作近似计算)为()A.B.C.D.4.从{2,3,4,5,6}中随机选取一个数为a,从{1,2,3,5}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是()A.B.C.D.5.某几何体的三视图如图所示,图中小方格的长度为1,则该几何体的体积为()A.B.4 C.2 D.6.若a>b>0,c<d<0,则一定有()A.ad>bc B.ad<bc C.ac>bd D.ac<bd7.已知f(x)=﹣x+sinx,命题p:∀x∈(0,π),f(x)<0,则()A.p是真命题,¬p:∃x∈(0,π),f(x)≥0 B.p是假命题,¬p:∀x ∈(0,π),f(x)≥0C.p是假命题,¬p:∃x∈(0,π),f(x)≥0 D.p是真命题,¬p:∀x ∈(0,π),f(x)≥08.两个函数的图象经过平移后能够重合,称这两个函数为“同形”函数,则下列四个函数:f1(x)=2log2(x+2),f2(x)=log2(x+2),f3(x)=log2(x+2)2,f4(x)=log22x,为“同形”函数的是()A.f1(x)与f3(x)B.f2(x)与f4(x)C.f1(x)与f2(x)D.f3(x)与f4(x)9.已知函数f(x)=|log2(x﹣1)|﹣()x有两个零点x1,x2,且x1<x2,则()A.x1,x2∈(0,2)B.x1,x2∈(1,2)C.x1,x2∈(2,+∞)D.x1∈(1,2),x2∈(2,+∞)10.若将两个顶点在抛物线y2=4x上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n,则()A.n=0 B.n=1 C.n=2 D.n≥311.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,点M∈AB1,N∈BC1,且AM=BN≠,有以下四个结论:①AA1⊥MN;②AB∥MN;③MN∥平面A1B1C1D1;④MN与A1C1一定是异面直线.其中正确命题的序号是()A.①③B.②③C.①④D.①③④12.对于数列{a n},记S n=a1+a2+a3+…+a n,Πn=a1a2a3…a n.在正项等比数列{a n}中,a5=,a6+a7=,则满足S n>Πn的最大正整数n的值为()A.12 B.13 C.14 D.15二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的横线上)13.如图,在平行四边形ABCD中,,则=.14.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0(a>0)的公共弦的长为,则a=.15.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入a,b分别为225,135,则输出的a=.16.已知实数x,y满足条件,若不等式m(x2+y2)≤(x+y)2恒成立,则实数m的最大值是.三、解答题(本大题共5小题,共70分,答题应写出必要的文字说明,推理证明过程或演算步骤.其中第17-21题为必做题,每题12分,第22-23题为选做题,每题10分,考生只需做其中一道,若多做,只按所做的第一道题得分)17.如图,在△ABC中,BC边上的中线AD长为3,且BD=2,sinB=.(1)求sin∠BAD的值;(2)求cos∠ADC及△ABC外接圆的面积.18.智能手机功能强大,许多人喜欢用手机看电视、看电影.某同学在暑假期间开展社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取1000人调查是否喜欢用手机看电视、看电影,对喜欢用手机看电视、看电影的称为“手机族”,得到如下各年龄段“手机族”人数频率分布直方图:(1)请补全频率分布直方图;(2)从[40,50)岁年龄段的“手机族”中采用分层抽样法抽取10人参加户外低碳体验活动,并从中选取3人作为领队,记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X,求X的分布列和数学期望EX.19.如图,ABEDEFC为多面体,平面ABED⊥平面ACED,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.(1)证明:平面OCB∥平面EFD;(2)求直线OD与平面OEF所成角的余弦值.20.已知M(﹣b,0),N(b,0)(b>0),P是曲线C上的动点,直线PM的斜率与直线PN的斜率的积为﹣.(1)求曲线C的方程;(2)直线l:y=x﹣b与曲线C相交于A、B,设O为坐标系原点,=λ+μ,证明:λ2+μ2是定值.21.已知函数f(x)=.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当t<0时,对x>0且x≠1,均有f(x)﹣>成立.求实数t的最大值.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分,答题时请写清题号.[选修4-4:极坐标与参数方程](共1小题,满分10分)22.在平面直角坐标系xoy中,圆C的参数方程为(θ为参数),以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=7.(1)求直线l的直角坐标方程;(2)A,B分别是圆C和直线l上的动点,求|AB|的最小值.[选修4-5:不等式选讲]23.已知f(x)=|ax﹣1|(a∈R),不等式f(x)≤2的解集是{x|﹣≤x≤}.(1)求a的值;(2)解不等式f(x)+f(﹣1)≥5.2016-2017学年广东省清远市高三(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个选项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填入答题卡中.)1.已知集合A={x|(x﹣2)(x+1)≤0,x∈R},B={x|lg(x+1)<1,x∈Z},则A∩B=()A.(0,2) B.[0,2]C.{0,2}D.{0,1,2}【考点】交集及其运算.【分析】先分别求出集合A,B,由此利用交集定义能求出A∩B.【解答】解:∵集合A={x|(x﹣2)(x+1)≤0,x∈R}={x|﹣1≤x≤2},B={x|lg(x+1)<1,x∈Z}={0,1,2,3,4,5,6,7,8},∴A∩B={0,1,2}.故选:D.2.复数z满足z(1﹣i)=|1+i|,则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义.【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出.【解答】解:z(1﹣i)=|1+i|,∴z(1﹣i)(1+i)=(1+i),∴z=+i,则复数z的共轭复数+i在复平面内的对应点位于第四象限.故选:D.3.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著,约成书于公元466﹣485年间.其中记载着这么一道题:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺,30天共织布390尺,则该女子织布每天增加的尺数(不作近似计算)为()A.B.C.D.【考点】等差数列的前n项和.【分析】设该妇子织布每天增加d尺,由等差数列的前n项和公式能求出结果【解答】解:设该妇子织布每天增加d尺,由题意知S30=30×5+d=390,解得d=.故该女子织布每天增加尺.故选:A.4.从{2,3,4,5,6}中随机选取一个数为a,从{1,2,3,5}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是()A.B.C.D.【考点】几何概型.【分析】由题意知本题是一个古典概型,试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×4种结果,而满足条件的事件是a=2,b=3;a=2,b=5;a=3,b=5;a=4,b=5共有4种结果,即可求出概率.【解答】解:由题意知本题是一个古典概型,∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×4种结果,而满足条件的事件是a=2,b=3;a=2,b=5;a=3,b=5;a=4,b=5共有4种结果,∴由古典概型公式得到P==,故选D.5.某几何体的三视图如图所示,图中小方格的长度为1,则该几何体的体积为()A.B.4 C.2 D.【考点】由三视图求面积、体积.【分析】根据三视图知几何体是四棱锥为棱长为2的正方体一部分,画出直观图,由正方体的性质判断出线面的位置关系,由椎体的体积公式求出该几何体的体积.【解答】解:根据三视图知几何体是:四棱锥P﹣ABCD为棱长为2的正方体一部分,直观图如图所示:且D是棱的中点,由正方体的性质可得,PA⊥平面ABCD,∴该几何体的体积V==2,故选:C.6.若a>b>0,c<d<0,则一定有()A.ad>bc B.ad<bc C.ac>bd D.ac<bd【考点】不等式的基本性质.【分析】利用不等式的基本性质即可得出.【解答】解:∵c<d<0,∴﹣c>﹣d>0.又a>b>0,则一定有﹣ac>﹣bd,可得ac<bd.故选:D.7.已知f(x)=﹣x+sinx,命题p:∀x∈(0,π),f(x)<0,则()A.p是真命题,¬p:∃x∈(0,π),f(x)≥0 B.p是假命题,¬p:∀x ∈(0,π),f(x)≥0C.p是假命题,¬p:∃x∈(0,π),f(x)≥0 D.p是真命题,¬p:∀x ∈(0,π),f(x)≥0【考点】命题的否定.【分析】命题为全称命题,根据全称命题的否定是特称命题得结论.【解答】解:∵f(x)=﹣x+sinx,∴f′(x)=﹣1+cosx<0在(0,π)恒成立,∴f(x)在(0,π)上单调递减,∴f(x)<f(0)=0,∴p是真命题.因为命题命题p:∀x∈(0,π),f(x)<0为全称命题,所以根据全称命题的否定是特称命题得:¬p:∃x∈(0,π),f(x)≥0故选:A8.两个函数的图象经过平移后能够重合,称这两个函数为“同形”函数,则下列四个函数:f1(x)=2log2(x+2),f2(x)=log2(x+2),f3(x)=log2(x+2)2,f4(x)=log22x,为“同形”函数的是()A.f1(x)与f3(x)B.f2(x)与f4(x)C.f1(x)与f2(x)D.f3(x)与f4(x)【考点】函数的图象与图象变化.【分析】由对数的运算法则可得f4(x)=log2(2x)=log2x+1,由函数图象变化的规律分析可得f2(x)与f4(x)符合同形”函数的定义,即可得答案.【解答】解:根据题意,f4(x)=log2(2x)=log2x+1,;则将函数f2(x)=log2(x+2)的图象,先向右平移2个单位得f(x)=log2x的图象,再向上平移1个单位得到函数f(x)=log2x+1=log2(2x)的图象.故f2(x)与f4(x)符合同形”函数的定义;故选:B.9.已知函数f(x)=|log2(x﹣1)|﹣()x有两个零点x1,x2,且x1<x2,则()A.x1,x2∈(0,2)B.x1,x2∈(1,2)C.x1,x2∈(2,+∞)D.x1∈(1,2),x2∈(2,+∞)【考点】函数零点的判定定理.【分析】求出函数的定义域,利用零点判定定理,转化求解即可.【解答】解:函数f(x)=|log2(x﹣1)|﹣()x的定义域为:x>1,当x=2时,f(2)=|log2(2﹣1)|﹣()2=﹣<0,x>2时,函数f(x)=log2(x﹣1)﹣()x是增函数,f(3)=1﹣>0,函数的一个零点在(2,+∞),f()=1﹣>0,所以另一个零点在(1,2)之间.故选:D.10.若将两个顶点在抛物线y2=4x上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n,则()A.n=0 B.n=1 C.n=2 D.n≥3【考点】抛物线的简单性质.【分析】根据题意和抛物线以及正三角形的对称性,可推断出两个边的斜率,进而表示出这两条直线,每条直线与抛物线均有两个交点,焦点两侧的两交点连接,分别构成一个等边三角形.进而可知这样的三角形有2个.【解答】解:y2=4x(P>0)的焦点F(1,0)等边三角形的一个顶点位于抛物线y2=4x的焦点,另外两个顶点在抛物线上,则等边三角形关于x轴轴对称两个边的斜率k=±tan30°=±,其方程为:y=±(x﹣1),每条直线与抛物线均有两个交点,焦点两侧的两交点连接,分别构成一个等边三角形.故n=2,故选C.11.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,点M∈AB1,N∈BC1,且AM=BN≠,有以下四个结论:①AA1⊥MN;②AB∥MN;③MN∥平面A1B1C1D1;④MN与A1C1一定是异面直线.其中正确命题的序号是()A.①③B.②③C.①④D.①③④【考点】棱柱的结构特征.【分析】过M作MO∥AB,交BB1于O,连接ON,推导出BB1⊥OM,BB1⊥ON,从而BB1⊥平面OMN,进而BB1⊥MN,由此得到AA1⊥MN;当M、N分别是AB1,BC1的中点时,MN与AB异面;当M不是AB1的中点时,MN与A1C1可能共面;由OM∥平面A1B1C1D1,ON∥平面A1B1C1D1,知平面A1B1C1D1∥平面OMN,从而MN∥平面A1B1C1D1.【解答】解:过M作MO∥AB,交BB1于O,连接ON,∵AM=BN,∴==,∴ON∥B1C1,∴BB1⊥OM,BB1⊥ON,OM∩ON=O,∴BB1⊥平面OMN,MN⊂平面OMN,∴BB1⊥MN,AA1∥BB1,∴AA1⊥MN,故①正确;当M、N分别是AB1,BC1的中点时,取A1B1,B1C1的中点E,F,连接ME、NF,∵ME∥AA1,NF∥AA1,且ME=NF=AA1,∴四边形MNEF为平行四边形,∴MN∥EF,又EF∥A1C1,∴MN∥A1C1,此时MN与AB异面,故②错误;当M不是AB1的中点时,MN与A1C1可能共面,故④错误;OM∥平面A1B1C1D1;ON∥平面A1B1C1D1,∴平面A1B1C1D1∥平面OMN,MN⊂平面OMN,∴MN∥平面A1B1C1D1,故③正确.故选:A.12.对于数列{a n},记S n=a1+a2+a3+…+a n,Πn=a1a2a3…a n.在正项等比数列{a n}中,a5=,a6+a7=,则满足S n>Πn的最大正整数n的值为()A.12 B.13 C.14 D.15【考点】等比数列的前n项和;等比数列的通项公式.【分析】设正项等比数列{a n}首项为a1,公比为q,由题意可得关于这两个量的方程组,解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+a n及a1a2…a n的表达式,化简可得关于n的不等式,解之可得n的范围,取上限的整数部分即可得答案.【解答】解:根据题意,等比数列{a n}中,首项为a1,公比为q,又由a5=,a6+a7=,则有a1q4=,a1q5+a1q6=,解可得a1==2n﹣7,q=2,则S n=a1+a2+a3+…+a n==,Πn=a1a2a3…a n.=2﹣6•2﹣5•2﹣4•…•2n﹣7=,若S n>Πn,即>,化简可得:2n﹣1>,只需满足n>+6,解可得<n<,由于n为正整数,因此n最大值为13;故选:B.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的横线上)13.如图,在平行四边形ABCD中,,则=3.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】选一对不共线的向量做基底,在平行四边形中一般选择以最左下角定点为起点的一对边做基底,把基底的坐标求出来,代入数量积的坐标公式进行运算,得到结果.【解答】解:令,,则∴.故答案为:314.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0(a>0)的公共弦的长为,则a=1.【考点】圆与圆的位置关系及其判定;圆方程的综合应用.【分析】画出草图,不难得到半径、半弦长的关系,求解即可.【解答】解:由已知x2+y2+2ay﹣6=0的半径为,圆心(0,﹣a),公共弦所在的直线方程为,ay=1.大圆的弦心距为:|a+|由图可知,解之得a=1.故答案为:1.15.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入a,b分别为225,135,则输出的a=45.【考点】程序框图.【分析】由循环结构的特点,先判断,再执行,分别计算出当前的a,b的值,即可得到结论.【解答】解:由a=225,b=135,满足a>b,则a变为225﹣135=90,由a<b,则,b=135﹣90=45,由b<a,则,a=90﹣45=45,由a=b=45,则输出的a=45.故答案为:45.16.已知实数x,y满足条件,若不等式m(x2+y2)≤(x+y)2恒成立,则实数m的最大值是.【考点】简单线性规划.【分析】利用分式不等式的性质将不等式进行分类,结合线性规划以及恒成立问题.利用数形结合进行求解即可.【解答】解:由题意知:可行域如图,又∵m(x2+y2)≤(x+y)2在可行域内恒成立.且m≤=1+=1+=1+,故只求z=的最大值即可.设k=,则有图象知A(2,3),则OA的斜率k=,BC的斜率k=1,由图象可知即1≤k≤,∵z=k+在1≤k≤,上为增函数,∴当k=时,z取得最大值z=+=,此时1+=1+=1+=,故m≤,故m的最大值为,故答案为:三、解答题(本大题共5小题,共70分,答题应写出必要的文字说明,推理证明过程或演算步骤.其中第17-21题为必做题,每题12分,第22-23题为选做题,每题10分,考生只需做其中一道,若多做,只按所做的第一道题得分)17.如图,在△ABC中,BC边上的中线AD长为3,且BD=2,sinB=.(1)求sin∠BAD的值;(2)求cos∠ADC及△ABC外接圆的面积.【考点】三角形中的几何计算.【分析】(1)由正弦定理即可解得sin∠BAD的值;(2)先求得cosB,cos∠BAD,利用两角和的余弦函数公式可求cos∠ADC,由题意可求DC=BD=2,利用余弦定理即可求得AC的值,再根据正弦定理求出外接圆的半径,面积即可求出.【解答】解:(1)在△ABD中,BD=2,sinB=,AD=3,∴由正弦定理=,得sin∠BAD═==;(2)∵sinB=,∴cosB=,∵sin∠BAD=,∴cos∠BAD=,∴cos∠ADC=cos(∠B+∠BAD)=×﹣×=﹣,….∵D为BC中点,∴DC=BD=2,∴在△ACD中,由余弦定理得:AC2=AD2+DC2﹣2AD•DCcos∠ADC=9+4+3=16,∴AC=4.设△ABC外接圆的半径为R,∴2R==,∴R=,∴△ABC外接圆的面积S=π•()2=18.智能手机功能强大,许多人喜欢用手机看电视、看电影.某同学在暑假期间开展社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取1000人调查是否喜欢用手机看电视、看电影,对喜欢用手机看电视、看电影的称为“手机族”,得到如下各年龄段“手机族”人数频率分布直方图:(1)请补全频率分布直方图;(2)从[40,50)岁年龄段的“手机族”中采用分层抽样法抽取10人参加户外低碳体验活动,并从中选取3人作为领队,记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X,求X的分布列和数学期望EX.【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列.【分析】(1)如图所示,第二组的频率为1﹣(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3,即可得出高.(2)第四组的人数为0.03×5×1000=150,第五组的人数为0.02×5×1000=100.因为[40,45)岁年龄段的”低碳族“与[45,50)岁年龄段的”低碳族”的比值为150:100=3:2,所以采用分层抽样法抽取10人,[40,45)岁中有6人,[45,50)岁中有4人.由题意可得:X=0,1,2,3.P(X=k)=,即可得出.【解答】解:(1)如图所示,第二组的频率为1﹣(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3,所以高为=0.06.频率直方图如下:(2)第四组的人数为0.03×5×1000=150,第五组的人数为0.02×5×1000=100.因为[40,45)岁年龄段的”低碳族“与[45,50)岁年龄段的”低碳族”的比值为150:100=3:2,所以采用分层抽样法抽取10人,[40,45)岁中有6人,[45,50)岁中有4人.由题意可得:X=0,1,2,3.∴P(X=k)=,可得P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.∴EX=0++3×=.19.如图,ABEDEFC为多面体,平面ABED⊥平面ACED,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.(1)证明:平面OCB∥平面EFD;(2)求直线OD与平面OEF所成角的余弦值.【考点】直线与平面所成的角;平面与平面平行的判定.【分析】(1)证明:OB∥平面EFD,OC∥平面EFD,即可证明平面OCB∥平面EFD;(2)求出D到平面OEF的距离,即可求直线OD与平面OEF所成角的余弦值.【解答】(1)证明:∵△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形,∴OB∥DE,OC∥DF,∵OB⊄平面EFD,DE⊂平面EFD,OC⊄平面EFD,DF⊂平面EFD,∴OB∥平面EFD,OC∥平面EFD,∵OB∩OC=O,∴平面OCB∥平面EFD;(2)解:取OD中点G,连接EG,FG,则FG⊥AD,EG=FG=∵平面ABED⊥平面ACED,平面ABED∩平面ACED=AD,∴FG⊥平面ABED,∴FG⊥EG,==,∴EF=,∴S△OEF设D到平面OEF的距离为h,则,∴h=,∴直线OD与平面OEF所成角的正弦值==,∴直线OD与平面OEF所成角的余弦值==.20.已知M(﹣b,0),N(b,0)(b>0),P是曲线C上的动点,直线PM的斜率与直线PN的斜率的积为﹣.(1)求曲线C的方程;(2)直线l:y=x﹣b与曲线C相交于A、B,设O为坐标系原点,=λ+μ,证明:λ2+μ2是定值.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程.【分析】(1)设p(x,y),∵直线PM的斜率与直线PN的斜率的积为﹣得,得x2+3y2=3b2,(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),联立得4,=3b2﹣9b2+6b2=0,由=λ+μ,得x=λx1+μx2,y=λy1+μy2,代入x2+3y2=3b2得,2λμ(=3b2,得λ2+μ2=1(定值)【解答】解:(1)设p(x,y),∵直线PM的斜率与直线PN的斜率的积为﹣∴,得x2+3y2=3b2,∴曲线C的方程为:x2+3y2=3b2(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),∴x12+3y12=3b2,x22+3y22=3b2,联立得4,∴=3b2﹣9b2+6b2=0由=λ+μ,得x=λx1+μx2,y=λy1+μy2,代入x2+3y2=3b2得,2λμ(=3b2,λ2+μ2=1(定值)21.已知函数f(x)=.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当t<0时,对x>0且x≠1,均有f(x)﹣>成立.求实数t的最大值.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)利用导数的几何意义求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)分类讨论,利用函数的单调性,即可求实数t的最大值.【解答】解:(1)由题意x∈(0,+∞)且f′(x)=,∴f′(1)==,又f(1)==0,∴f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y﹣0=(x﹣1),即x﹣2y﹣1=0.(2)由题意知﹣﹣>0,设g(x)=﹣﹣,则g′(x)= [2lnx+],设h(x)=2lnx+,则h′(x)=+t(1+)=,当t≥0时,∵x>0,∴h'(x)>0,∴h(x)在(0,+∞)上单调递增,又h(1)=0,∴x∈(0,1)时,h(x)<0,又>0,∴g(x)<0不符合题意.当t<0时,设ϕ(x)=tx2+2x+t,①若△=4﹣4t2≤0即t≤1时,ϕ(x)≤0恒成立,即h'(x)≤0在(0,+∞)恒成立,∴h(x)在(0,+∞)上单调递减,又h(1)=0,∴x∈(0,1)时,h(x)>0,>0,g(x)>0,x∈(1,+∞)时,h(x)<0,<0,g(x)>0,符合题意.②若△=4﹣4t2>0即﹣1<t<0时,ϕ(x)的对称轴x=﹣>1,∴ϕ(x)在(1,﹣)上单调递增,∴x∈(1,﹣)时,ϕ(x)>ϕ(1)=2+2t>0,∴h'(x)>0,∴h(x)在(1,﹣)上单调递增,∴h(x)>h(1)=0,而<0,∴g(x)<0,不符合题意.综上所述t≤﹣1,∴t的最大值为﹣1.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分,答题时请写清题号.[选修4-4:极坐标与参数方程](共1小题,满分10分)22.在平面直角坐标系xoy中,圆C的参数方程为(θ为参数),以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=7.(1)求直线l的直角坐标方程;(2)A,B分别是圆C和直线l上的动点,求|AB|的最小值.【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.【分析】(1)利用和与差公式打开,根据ρcosθ=x,ρsinθ=y可得直线l的直角坐标方程;(2)根据圆C的参数方程,求出圆心和半径,|AB|的最小值为圆心到直线的距离d﹣r可得答案.【解答】解:(1)直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=7.那么:,根据ρcosθ=x,ρsinθ=y可得:﹣y+x=7.即直线l的直角坐标方程为x﹣y=7.(2)圆C的参数方程为(θ为参数),其圆心为(﹣1,2),半径r=4.那么:圆心到直线的距离d=.∴AB|的最小值为圆心到直线的距离d﹣r,即.[选修4-5:不等式选讲]23.已知f(x)=|ax﹣1|(a∈R),不等式f(x)≤2的解集是{x|﹣≤x≤}.(1)求a的值;(2)解不等式f(x)+f(﹣1)≥5.【考点】分段函数的应用;其他不等式的解法.【分析】(1)由题意可得|ax﹣1|≤2,即有﹣1≤ax≤3,由已知不等式的解集可得a=2;(2)原不等式即为|2x﹣1|+|x﹣3|≥5,讨论当x≥3时,当x≤时,当<x <3时,去掉绝对值,解不等式求并集即可得到所求解集.【解答】解:(1)不等式f(x)≤2的解集是{x|﹣≤x≤},即为|ax﹣1|≤2,即有﹣1≤ax≤3,则a>0,且a=2;(2)f(x)+f(﹣1)≥5,即为|2x﹣1|+|x﹣3|≥5,当x≥3时,2x﹣1+x﹣3≥5,即为3x≥9,可得x≥3;当x≤时,1﹣2x+3﹣x≥5,即为﹣3x≥1,可得x≤﹣;当<x<3时,2x﹣1+3﹣x≥5,即为x≥3,可得x∈∅.综上可得,x≥3或x≤﹣.即解集为{x|x≥3或x≤﹣}.2017年3月22日。
数学---广东省清远市清城区2017届高三上学期期末考试B卷(理)

广东省清远市清城区高三第一学期期末统考(B )卷(理)试题(本卷满分150分,时间120分钟)一、选择题(60分,每题5分) 1.已知集合、为整数集,则集合中所有元素的和为( )A. 1B. 2C. 3D. 4 2.已知复数,则的虚部为( ) A . B .3 C . D .3. 某高中共有2000名学生,其中各年级男生、女生的人数如下表所示,已知在全校学生中随机抽取1人,抽到高二年级女生的概率是0.19,现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则在高三年级中应抽取的学生人数是( ) A. 8 B. 16 C. 28 D. 324.如图所示,程序框图的输出值( )A .B .C .D .的渐近线方程是5.若双曲线则该双曲线的离心率为 ( )A.B.C. D.33i iz +-=z 3-i 3i 3-S =21152821- 高一 高二 高三女生 373 m n 男生377370p 122=+ny m x 266.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若公差2d =-,321S =,则当n S 取得最大值时,n 的值为( )A .10B .9C .6D .57.已知变量、满足约束条件 ,那么的最小值为( )A. B. 8 C. D. 108.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .12B . 24C .40D .729.已知函数()()sin 0 2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭,,其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π,且函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数,下列判断正确的是( )A .函数()f x 的最小正周期为2πB .函数()f x 的图象关于点7 012π⎛⎫⎪⎝⎭,对称C.函数()f x 的图象关于直线712x π=-对称D.函数()f x 在3 4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递增10.平行四边形ABCD 中, 4 2 4AB AD AB AD ==⋅=,,,点P 在边CD 上,则PA PB ⋅ 的取值范围是( )A .[]1 8-,B .[ 1 )-+∞, C.[]0 8,D .[]1 0-, 11.三棱锥的四个顶点均在同一球面上,其中是正三角形,平面则该球的体积为( )A.B.C.D.12.已知点在不等式组表示的平面区域上运动,则的取值范围是( )A .B .C .D . 二、填空题(20分,每题5分)13.若实数 x y ,满足10201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩,则13z x y =-+的最小值为 .14.在数列中,已知,,则其通项公式为。
广东省清远市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年广东省清远市高三(上)期末数学试卷(理科)一.选择题(12小题,共60分)1.设集合M={﹣1,0,1},N={a,a2}则使M∩N=N成立的a的值是()A.1 B.0 C.﹣1 D.1或﹣12.若复数z满足iz=1+i,则z的虚部为()A.1 B.i C.﹣1 D.﹣i3.下列函数是偶函数的是()A.B.y=x3C.D.y=x2+14.如图所示程序框图,输出的结果是()A.2 B.3 C.4 D.55.已知数列{a n}的前n项和为,则a3+a17=()A.36 B.35 C.34 D.336.一个几何体的三视图如图所示,正视图为直角三角形、侧视图为等边三角形,俯视图为直角梯形,则该几何体的体积等于()A.B.2C.3D.47.已知双曲线C:x2+2my2=1的两条渐近线互相垂直,则抛物线E:y=mx2的焦点坐标是()A.(0,1)B.(0,﹣1)C.(0,)D.(0,﹣)8.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币数字一面向上”为事件A,“骰子向上的点数是偶数”为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概率是()A.B.C.D.9.已知实数变量x,y满足,且目标函数z=3x+y的最大值为8,则实数m的值为()A.B.C.2 D.110.下列正确的个数是()A.“在三角形ABC中,若sinA>sinB,则A>B”的逆是真;B.p:x≠2或y≠3,q:x+y≠5则p是q的必要不充分条件;C.“∀x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定是“∀x∈R,x3﹣x2+1>0”;D.“若a>b,则2a>2b﹣1”的否为“若a≤b,则2a≤2b﹣1”.A.1 B.2 C.3 D.411.已知数列{a n}满足:,,若{C n}是单调递减数列,则实数λ的取值范围是()A.λB.λC.λD.λ12.定义:设A,B是非空的数集,a∈A,b∈B,若a是b的函数且b也是a的函数,则称a与b是“和谐关系”.如等式b=a2,a∈[0,+∞)中a与b是“和谐关系”,则下列等中a 与b是“和谐关系”的是()A.B.C.(a﹣2)2+b2=1,a∈[1,2]D.|a|+|b|=1,a∈[﹣1,1]二.填空题13.已知向量在正方形网格中的位置如图所示,则=______14.已知(1﹣x)(1+ax)3的展开式中x2的系数为6,则a=______.15.某人10万元买了1辆车,每年使用的保险费.养路费和油费共1万元,年维修费第一年0.2万元,以后每年递增0.1万元,则这种汽车使用______年时,它的年平均费用最少.16.已知正实数a,b满足=3,则(a+1)(b+2)的最小值是______.三.解答题17.已知函数f(x)=sin2x﹣cos2x﹣(x∈R),设△ABC的内角A,B,C对应边分别为a,b,c,且c=,f(C)=0.(1)求C的值.(2)若向量=(1,sinA)与向量=(2,sinB)共线,求△ABC的面积.18.已知:如图,等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=2,沿其中位线DE将平面ADE 折起,使平面ADE⊥平面BCDE,得到四棱锥A﹣BCDE,设CD、BE、AE、AD的中点分别为M、N、P、Q.(1)求证:M、N、P、Q四点共面;(2)求证:平面ABC⊥平面ACD;(3)求异面直线BE与MQ所成的角.19.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,(1)根据上面的数据判断,y=ax+b与y=+d哪一个适宜作为产品销量y关于单价x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(计算结果保留两位小数)参考公式其中==.20.如图,点A,B分别在射线l1:y=2x(x≥0),l2:y=﹣2x(x≥0)上运动,且S=4.△AOB (1)求x1•x2;(2)求线段AB的中点M的轨迹方程;(3)判定中点M到两射线的距离积是否是为定值,若是则找出该值并证明;若不是定值说明理由.21.设f(x)=x﹣﹣alnx(a∈R).(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(, +ln2)处的切线方程;(2)若x=1是函数f(x)的极大值点,求a的取值范围;(3)当a<1时,在[,e]上是否存在一点x0,使f(x0)>e﹣1成立?说明理由.22.如图,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA 交△ABC的外接圆于点F,连接FB,FC.(1)求证:FB=FC;(2)若AB是△ABC外接圆的直径,∠EAC=120°,BC=6cm,求AD的长.23.在直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为(α为参数,α≠,k∈z),M是C1上的动点,P点满足=,点P的轨迹为C2.(1)求曲线C1、C2的普通方程.(2)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐际方程是ρsin(θ﹣)+=0,直线l与曲线C2相交于A、B,求△ABO的面积.24.设f(x)=|x|+|1+|.(1)解不等式f(x)≤1;(2)已知正数a,b,c,当x>0时,f(x)≥++恒成立,求证:a+b+c≥3.2015-2016学年广东省清远市高三(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一.选择题(12小题,共60分)1.设集合M={﹣1,0,1},N={a,a2}则使M∩N=N成立的a的值是()A.1 B.0 C.﹣1 D.1或﹣1【考点】交集及其运算.【分析】由M={﹣1,0,1},N={a,a2},M∩N=N,知,由此能求出a的值.【解答】解:∵M={﹣1,0,1},N={a,a2},M∩N=N,∴,解得a=﹣1.故选C.2.若复数z满足iz=1+i,则z的虚部为()A.1 B.i C.﹣1 D.﹣i【考点】复数的基本概念.【分析】首先由iz=1+i,求出z,根据复数的定义求出虚部.【解答】解:因为iz=1+i,所以z=﹣i+1;所以z的虚部为﹣1;故选C.3.下列函数是偶函数的是()A.B.y=x3C.D.y=x2+1【考点】函数奇偶性的判断.【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可.【解答】解:A.的定义域为{x|x≠0},则f(﹣x)=﹣﹣x=﹣(+x)=﹣f(x),则函数为奇函数,B.f(﹣x)=﹣x3=﹣f(x),则函数为奇函数.、C.函数的定义域为[0,+∞),函数为非奇非偶函数.D.f(﹣x)=(﹣x)2+1=x2+1=f(x),则函数为偶函数,故选:D.4.如图所示程序框图,输出的结果是()A.2 B.3 C.4 D.5【考点】程序框图.【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解:第一次执行循环体后:S=1,i=2,a=3,不满足退出循环的条件;第一次执行循环体后:S=3,i=3,a=12,满足退出循环的条件;故输出的i的值为3,故选:B5.已知数列{a n}的前n项和为,则a3+a17=()A.36 B.35 C.34 D.33【考点】数列递推式.【分析】前n项和为,当n≥2时,a n=S n﹣S n,代入即可得出.﹣1【解答】解:∵前n项和为,=n2﹣2n﹣[(n﹣1)2﹣2(n﹣1)]=2n﹣3.∴当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1则a3+a17=(2×3﹣3)+(2×17﹣3)=34.故选:C.6.一个几何体的三视图如图所示,正视图为直角三角形、侧视图为等边三角形,俯视图为直角梯形,则该几何体的体积等于()A.B.2C.3D.4【考点】由三视图求面积、体积.【分析】几何体为四棱锥,棱锥的高为侧视图三角形的高,底面为直角梯形.【解答】解:由三视图可知,几何体为四棱锥,棱锥的高为侧视图中等边三角形的高,棱锥的底面为直角梯形,梯形面积为(1+2)×2=3.∴V==.故选A.7.已知双曲线C:x2+2my2=1的两条渐近线互相垂直,则抛物线E:y=mx2的焦点坐标是()A.(0,1)B.(0,﹣1)C.(0,)D.(0,﹣)【考点】双曲线的简单性质.【分析】求出双曲线的渐近线方程,由两直线垂直的条件,可得m=﹣,再由抛物线方程,注意化为标准方程,可得焦点坐标.【解答】解:双曲线C:x2+2my2=1(m<0),可得渐近线方程为y=±x,由渐近线垂直可得=1,解得m=﹣,即有抛物线E:y=mx2的方程为x2=﹣2y,可得焦点为(0,﹣).故选:D.8.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币数字一面向上”为事件A,“骰子向上的点数是偶数”为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概率是()A.B.C.D.【考点】互斥事件的概率加法公式.【分析】由已知可得P(A)=,P(B)=,则事件A,B中至少有一件发生的概率P=P(A∩B)+P(A∩)+P(∩B),解得答案.【解答】解:投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币数字一面向上”为事件A,“骰子向上的点数是偶数”为事件B,则P(A)=,P(B)=,则事件A,B中至少有一件发生的概率P=P(A∩B)+P(A∩)+P(∩B)=,故选:C9.已知实数变量x,y满足,且目标函数z=3x+y的最大值为8,则实数m 的值为()A.B.C.2 D.1【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值.【解答】解:作出不等式对应的平面区域如图,由选项知m>0,由z=3x+y,得y=﹣3x+z,平移直线y=﹣3x+z,由图象可知当直线y=﹣3x+z,经过点A时,直线y=﹣3x+z的截距最大,此时z最大为8,即3x+y=8由,解得,即A(2,2),同时A也在2mx﹣y﹣2=0上,∴4m﹣2﹣2=0,得m=1,故选:D.10.下列正确的个数是()A.“在三角形ABC中,若sinA>sinB,则A>B”的逆是真;B.p:x≠2或y≠3,q:x+y≠5则p是q的必要不充分条件;C.“∀x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定是“∀x∈R,x3﹣x2+1>0”;D.“若a>b,则2a>2b﹣1”的否为“若a≤b,则2a≤2b﹣1”.A.1 B.2 C.3 D.4【考点】的真假判断与应用.【分析】A项根据正弦定理以及四种之间的关系即可判断;B项根据必要不充分条件的概念即可判断该是否正确;C项根据全称和存在性的否定的判断;D项写出一个的否的关键是正确找出原的条件和结论.【解答】解:对于A项“在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B”的逆为“在△ABC中,若A >B,则sinA>sinB”,若A>B,则a>b,根据正弦定理可知sinA>sinB,∴逆是真,∴A正确;对于B项,由x≠2,或y≠3,得不到x+y≠5,比如x=1,y=4,x+y=5,∴p不是q的充分条件;若x+y≠5,则一定有x≠2且y≠3,即能得到x≠2,或y≠3,∴p是q的必要条件;∴p是q的必要不充分条件,所以B正确;对于C项,“∀x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x∈R,x3﹣x2+1>0”;所以C不对.对于D项,“若a>b,则2a>2b﹣1”的否为“若a≤b,则2a≤2b﹣1”.所以D正确.故选:C.11.已知数列{a n}满足:,,若{C n}是单调递减数列,则实数λ的取值范围是()A.λB.λC.λD.λ【考点】数列的函数特性.【分析】数列{a n}满足:,两边取倒数可得:=+1,变形为: +1=2,利用等比数列的通项公式可得,代入=2n.由于{C n}是单调递减数列,可得c n<c n,化+1简整理,利用函数的单调性即可得出.【解答】解:∵数列{a n}满足:,∴=+1,变形为: +1=2,∴数列是等比数列,首项为2,公比为2.∴+1=2n,∴=2n,∵{C n}是单调递减数列,∴c n<c n,+1∴2n+1<2n,化为:λ>=,令f(x)=x++3,(x∈[1,+∞)).f′(x)=1﹣=,可知当x≥时,单调递增;而f(1)=6,f(2)=6,∴f(x)的最小值为6,因此的最大值为,∴.故选:B.12.定义:设A,B是非空的数集,a∈A,b∈B,若a是b的函数且b也是a的函数,则称a与b是“和谐关系”.如等式b=a2,a∈[0,+∞)中a与b是“和谐关系”,则下列等中a 与b是“和谐关系”的是()A.B.C.(a﹣2)2+b2=1,a∈[1,2]D.|a|+|b|=1,a∈[﹣1,1]【考点】元素与集合关系的判断.【分析】只要判断所给出的函数单调即可.【解答】解:A.∵,则a>sina,∴b′==>0,因此函数b在上单调递增,正确;B.∵a∈,b′=3a2+5a+2=(3a+2)(a+1),∴a∈(﹣2,﹣1)时单调递增;a ∈(﹣1,﹣)时单调递减,因此不符合题意;C.∵(a﹣2)2+b2=1,a∈[1,2],∴b=±,b不是a的函数,舍去;D.∵|a|+|b|=1,a∈[﹣1,1],∴b=±(1﹣|a|),b不是a的函数,舍去.故选:A.二.填空题13.已知向量在正方形网格中的位置如图所示,则=(2,﹣2)【考点】向量的加法及其几何意义.【分析】根据图形,求出向量、的坐标表示,再求出的坐标表示.【解答】解:根据题意,向量=(4﹣1,3﹣2)=(3,1),=(3﹣4,0﹣3)=(﹣1,﹣3),∴=(3﹣1,1﹣3)=(2,﹣2).故答案为(2,﹣2).14.已知(1﹣x)(1+ax)3的展开式中x2的系数为6,则a=2或﹣1.【考点】二项式系数的性质.【分析】根据题意,列出方程•a2﹣•a=6,求出a的值即可.【解答】解:(1﹣x)(1+ax)3的展开式中x2的系数为•a2﹣•a=6,即a2﹣a﹣6=0,解得a=2或a=﹣1.故答案为:2或﹣1.15.某人10万元买了1辆车,每年使用的保险费.养路费和油费共1万元,年维修费第一年0.2万元,以后每年递增0.1万元,则这种汽车使用10年时,它的年平均费用最少.【考点】基本不等式在最值问题中的应用;函数模型的选择与应用.【分析】通过记第n年维修费用为a n,计算可知a n=0.1n+0.1(万元),进而可知前n年维修费用A n=(万元),化简可知年平均费用S=++,进而利用基本不等式计算即得结论.【解答】解:依题意,记第n年维修费用为a n,则a n=0.2+0.1(n﹣1)=0.1n+0.1(万元),则前n年维修费用A n===(万元),故年平均费用S==++,∵+≥2=,当且仅当=即n=10时取等号,∴这种汽车使用10年时,它的年平均费用最少,故答案为:10.16.已知正实数a,b满足=3,则(a+1)(b+2)的最小值是.【考点】基本不等式.【分析】正实数a,b满足=3,可得,b+2a=3ab.展开(a+1)(b+2)=ab+b+2a+2=4ab+2,即可得出.【解答】解:∵正实数a,b满足=3,∴,化为,当且仅当b=2a=时取等号.b+2a=3ab.∴(a+1)(b+2)=ab+b+2a+2=4ab+2.故答案为:.三.解答题17.已知函数f(x)=sin2x﹣cos2x﹣(x∈R),设△ABC的内角A,B,C对应边分别为a,b,c,且c=,f(C)=0.(1)求C的值.(2)若向量=(1,sinA)与向量=(2,sinB)共线,求△ABC的面积.【考点】三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算;正弦函数的图象.【分析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式为:f(x)=sin(2x﹣)﹣1,由f(C)=0得sin(2C﹣)=1,结合范围﹣<2C﹣<,即可解得C的值.(2)利用向量共线可得2sinA=sinB,由正弦定理可得b=2a,由余弦定理得a2+b2﹣ab=3,联立解得a,b的值,利用三角形面积公式即可求值得解.【解答】解:(1)∵f(x)=sin2x﹣cos2x﹣,…f(x)=sin(2x﹣)﹣1,…由f(C)=0得sin(2C﹣)=1,…又∵﹣<2C﹣<,…∴2C﹣=,…即C=…(2)∵向量=(1,sinA)与向量=(2,sinB)共线,∴2sinA=sinB,…∴b=2a,①…由余弦定理,得a2+b2﹣ab=3,②…∴由①②得:a=1,b=2…∴△ABC的面积为absinC=.…18.已知:如图,等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=2,沿其中位线DE将平面ADE 折起,使平面ADE⊥平面BCDE,得到四棱锥A﹣BCDE,设CD、BE、AE、AD的中点分别为M、N、P、Q.(1)求证:M、N、P、Q四点共面;(2)求证:平面ABC⊥平面ACD;(3)求异面直线BE与MQ所成的角.【考点】平面与平面垂直的判定;空间图形的公理;异面直线及其所成的角.【分析】(1)要证四点共线,只需找到一个平面,是这四个点在这个平面内,用确定平面的方法,两条平行线确定一个平面,即可证出;(2)要证明两个平面垂直,只需证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线即可,也就是只需证线面垂直即可,而要证线面垂直,只需证明这条直线垂直平面内的两条相交直线,这样,一步步寻找成立的条件.(3)求异面直线所成角,先平移两条异面直线中的一条,使它们成为相交直线,则相交直线所成角就是异面直线所成角或其补角,再放入三角形中计算即可.【解答】(1)证明:由条件有PQ为△ADE的中位线,MN为梯形BCDE的中位线,∴PQ∥DE,MN∥DE,∴PQ∥MN∴M、N、P、Q四点共面.…(2)证明:由等腰直角三角形ABC有AD⊥DE,CD⊥DE,DE∥BC又AD∩CD=D,∴DE⊥面ACD,又DE∥BC∴BC⊥平面ACD,∵BC⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面ACD…(3)解:由条件知AD=1,DC=1,BC=2,延长ED到R,使DR=ED,连结RC …则ER=BC,ER∥BC,故BCRE为平行四边形…∴RC∥EB,又AC∥QM∴∠ACR为异面直线BE与QM所成的角θ(或θ的补角)…∵DA=DC=DR,且三线两两互相垂直,∴由勾股定理得AC=AR=RC=,…∵△ACR为正三角形,∴∠ACR=60°,∴异面直线BE与QM所成的角大小为60°.…19.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,(1)根据上面的数据判断,y=ax+b与y=+d哪一个适宜作为产品销量y关于单价x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(计算结果保留两位小数)参考公式其中==.【考点】线性回归方程.【分析】(1)观察表格数据可知y与x成反比关系,故选y=;(2)令t=,将回归方程转化为线性回归方程解出.【解答】解:(1)y=更适宜作为产品销量y关于单价x的回归方程.(2)令t=,则y=tc+d,原数据变为:∴=(4+2+1+0.5+0.25)=1.55,=(16+12+5+2+1)=7.2.=64+24+5+1+0.25=94.25,=16+4+1+0.25+0.0625=21.3125.∴c=≈4.13.d=﹣c≈0.8.∴y=0.8+4.13 t.∴y与x的回归方程是y=0.8+20.如图,点A,B分别在射线l1:y=2x(x≥0),l2:y=﹣2x(x≥0)上运动,且S=4.△AOB (1)求x1•x2;(2)求线段AB的中点M的轨迹方程;(3)判定中点M到两射线的距离积是否是为定值,若是则找出该值并证明;若不是定值说明理由.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程.【分析】(1)设M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),∠AOB=2θ,由y=2x,得tanθ=k=2,=4,能求出x1•x2的值.从而求出sin2θ,由|OA|=,|OB|=,利用S△AOB(2)由M(x,y)是A(x1,y1),B(x2,y2)的中点,得,由此能求出线段AB的中点M的轨迹方程.(3)设中点M到射线OA,OB的距离分别为d1,d2,由此能推导出中点M到两射线的距离积为定值.【解答】解:(1)设M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),∠AOB=2θ,由y=2x,得tanθ=k=2,∴sin2θ==,∵|OA|=,|OB|=,=|OA|•|OB|•sin2θ==4,∴S△AOB解得x1•x2=2.(2)∵M(x,y)是A(x1,y1),B(x2,y2)的中点,∴x1+x2=2x,y1+y2=2y,且y1=2x1,y2=﹣2x2,联立,得,并代入x1•x2=2,得4x2﹣y2=8,x>0.∴线段AB的中点M的轨迹方程为4x2﹣y2=8,x>0.(3)设中点M到射线OA,OB的距离分别为d1,d2,则,∴d1•d2==.∴中点M到两射线的距离积为定值.…21.设f(x)=x﹣﹣alnx(a∈R).(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(, +ln2)处的切线方程;(2)若x=1是函数f(x)的极大值点,求a的取值范围;(3)当a<1时,在[,e]上是否存在一点x0,使f(x0)>e﹣1成立?说明理由.【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)求出函数的导数,计算f′(),代入切线方程即可;(2)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值,得到a的具体范围即可;(3)问题转化为只需证明时,f(x)max>e﹣1即可,根据函数的单调性证明即可.【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=x﹣lnx,,所以曲线y=f(x)在点处的切线的斜率为.所求切线方程为,即x+y﹣ln2﹣1=0.(2),令f′(x)=0得,x1=1,x2=a﹣1,综上所述,当a>2时,x=1是函数f(x)的极大值点.即所求取值范围是(2,+∞).(3)假设当a<1时,在存在一点x0,使f(x0)>e﹣1成立,则只需证明时,f(x)max>e﹣1即可.由(2)知,当a<1时,函数f(x)在上递减,在[1,e]上递增,∴.所以只需证明f(e)>e﹣1或即可.∵=由a<1知,∴f(e)﹣(e﹣1)>0即f(e)>e﹣1成立所以假设正确,即当a<1时,在上至少存在一点x0,使f(x0)>e﹣1成立.22.如图,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA 交△ABC的外接圆于点F,连接FB,FC.(1)求证:FB=FC;(2)若AB是△ABC外接圆的直径,∠EAC=120°,BC=6cm,求AD的长.【考点】与圆有关的比例线段.【分析】(1)由已知得∠EAD=∠DAC,∠DAC=∠FBC,从而∠FBC=∠FCB,由此能证明FB=FC.(2)由已知得∠ACB=90°从而∠ABC=30°,∠DAC=∠EAC=60°,由此能求出AD.【解答】证明:(1)因为AD平分∠EAC,所以∠EAD=∠DAC.…因为四边形AFBC内接于圆,所以∠DAC=∠FBC.…因为∠EAD=∠FAB=∠FCB,…所以∠FBC=∠FCB,…,所以FB=FC.…解:(2)因为AB是圆的直径,所以∠ACB=90°,…又∠EAC=120°,所以∠ABC=30°,…∠DAC=∠EAC=60°,…因为BC=6,所以AC=BCtan∠ABC=2,…所以AD==4(cm).…23.在直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为(α为参数,α≠,k∈z),M是C1上的动点,P点满足=,点P的轨迹为C2.(1)求曲线C1、C2的普通方程.(2)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐际方程是ρsin(θ﹣)+=0,直线l与曲线C2相交于A、B,求△ABO的面积.【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.【分析】(1)曲线C1的参数方程为(α为参数,α≠,k∈z),消去参数α可得普通方程.设P(x,y),M(x0,y0),利用P点满足=,可得x0=2x,y0=2y,代入曲线C1的方程即为点P的轨迹方程.(2)直线l的极坐际方程是ρsin(θ﹣)+=0,展开化为:(ρsinθ﹣ρcosθ)+=0,利用即可化为直角坐标方程.设A(x1,y1),B(x2,y2).与抛物线方程联=d|AB|即可得出.立解得A,B,利用S△AOB【解答】解:(1)曲线C1的参数方程为(α为参数,α≠,k∈z),消去参数α可得普通方程:y2=2x.设P(x,y),M(x0,y0),∵P点满足=,∴x0=2x,y0=2y,代入曲线C1的方程可得:4y2=4x,化为y2=x,即为点P的轨迹方程.(2)直线l的极坐际方程是ρsin(θ﹣)+=0,展开化为:(ρsinθ﹣ρcosθ)+=0,化为直角坐标方程:y﹣x+2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).联立,化为y2﹣y﹣2=0,解得,,∴|AB|==3.原点到直线l的距离d==.=d|AB|=3.∴S△AOB24.设f(x)=|x|+|1+|.(1)解不等式f(x)≤1;(2)已知正数a,b,c,当x>0时,f(x)≥++恒成立,求证:a+b+c≥3.【考点】绝对值不等式的解法;函数恒成立问题.【分析】(1)通过讨论x的范围,求出不等式的解集即可;(2)根据基本不等式的性质证明即可.【解答】解:(1)显然,x≠0,∴当x≤﹣1时,得,…即﹣x2+1≥0,即x=﹣1;…当﹣1<x<0时,得,即(x+1)2≤0,x无解;…当x>0时,得,即x2+1≤0,x无解;…综上,不等式f(x)≤1的解集是{x|x=﹣1}…(2)∵x>0,∴f(x)=|x|+|1+|=x++1≥2+1=3, (6)当且仅当x=1时等号成立…∵当x>0时,f(x)≥++恒成立,∴…∴,∴a+b+c≥3…2016年9月27日。
广东省清远市清城三中2017届高三上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析

2016-2017学年广东省清远市清城三中高三(上)期中数学试卷(理科)一、选择题(60分,每题5分)1.设函数f(x)=1﹣,g(x)=ln(ax2﹣3x+1),若对任意的x1∈[0,+∞),都存在x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a的最大值为()A.2 B.C.4 D.2.若存在两个正实数x,y,使得等式3x+a(2y﹣4ex)(lny﹣lnx)=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,0)B.C.D.3.下列说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“x2=1,则x≠1”B.若命题p:∃x∈R,x2﹣x+1<0,则命题¬p:∀x∈R,x2﹣x+1>0C.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题D.“x2﹣5x﹣6=0”必要不充分条件是“x=﹣1”4.已知指数函数y=f(x)的图象过点(,),则log2f(2)的值为()A.B.﹣C.﹣2 D.25.已知:sin(+θ)+3cos(π﹣θ)=sin(﹣θ),则sinθcosθ+cos2θ=()A.B.C.D.6.不等式|x﹣5|+|x+1|<8的解集为()A.(﹣∞,2)B.(﹣2,6)C.(6,+∞)D.(﹣1,5)7.函数y=的图象可能是()A.B.C.D.8.下列四个命题,其中正确命题的个数()①若a>|b|,则a2>b2②若a>b,c>d,则a﹣c>b﹣d③若a>b,c>d,则ac>bd④若a>b>o,则>.A.3个B.2个C.1个D.0个9.已知定义在R上的函数f(x)=2|x﹣m|﹣1(m为实数)为偶函数,记a=f(2﹣3),b=f(3m),c=f(log0.53),则()A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a10.4sin80°﹣等于()A.B.﹣C.2 D.2﹣311.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5<0},B={x|2<x<4},则A∩B=()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)12.已知向量=(1,2),=(0,1),=(﹣2,k),若(+2)∥,则k=()A.﹣8 B.﹣C.D.8二、填空题(20分,每题5分)13.计算:()+(log316)•(log2)=.14.已知函数f(1﹣)的定义域为[1,+∞),则函数y=的定义域为.15.已知函数f(x)(x∈R)满足f(﹣x)=4﹣f(x),若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则(x i+y i)=.16.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)﹣g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2﹣3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围.三、解答题17.已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣1,其中n∈N*.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设a n b n=,求数列{b n}的前n项和为T n.18.为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度,现在某市进行调查,随机调50“”对“生育二胎放开”政策的支持度有差异:(2)若对年龄在[5,15),[35,45)的被调查人中各随机选取两人进行调查,记选中的4k 3.841 6.635 10.828K2=.19.在如图所示的几何体中,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA∥BE,AB=PA=4,BE=2.(Ⅰ)求证:CE∥平面PAD;(Ⅱ)求PD与平面PCE所成角的正弦值;(Ⅲ)在棱AB上是否存在一点F,使得平面DEF⊥平面PCE?如果存在,求的值;如果不存在,说明理由.20.已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为,椭圆C上的点到右焦点的最大距离为3.(1)求椭圆C的标准方程;(2)斜率存在的直线l与椭圆C交于A,B两点,并且满足|2+|=|2﹣|,求直线在y轴上截距的取值范围.21.设函数f(x)=(1﹣ax)ln(x+1)﹣bx,其中a和b是实数,曲线y=f(x)恒与x轴相切于坐标原点.(1)求常数b的值;(2)当a=1时,讨论函数f(x)的单调性;(3)当0≤x≤1时关于x的不等式f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]22.在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x﹣)2+(y+1)2=9,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的极坐标方程;(2)直线OP:θ=(p∈R)与圆C交于点M,N,求线段MN的长.[选修4-5:不等式选讲]23.已知f(x)=|x+2|﹣|2x﹣1|,M为不等式f(x)>0的解集.(1)求M;(2)求证:当x,y∈M时,|x+y+xy|<15.2016-2017学年广东省清远市清城三中高三(上)期中数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(60分,每题5分)1.设函数f(x)=1﹣,g(x)=ln(ax2﹣3x+1),若对任意的x1∈[0,+∞),都存在x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a的最大值为()A.2 B.C.4 D.【考点】函数的值.【分析】设g(x)=ln(ax2﹣3x+1)的值域为A,则(﹣∞,0]⊆A,从而h(x)=ax2﹣3x+1至少要取遍(0,1]中的每一个数,又h(0)=1,由此能求出实数a的最大值.【解答】解:设g(x)=ln(ax2﹣3x+1)的值域为A,∵f(x)=1﹣在[0,+∞)上的值域为(﹣∞,0],∴(﹣∞,0]⊆A,∴h(x)=ax2﹣3x+1至少要取遍(0,1]中的每一个数,又h(0)=1,∴实数a需要满足a≤0或,解得a≤.∴实数a的最大值为.故选:B.2.若存在两个正实数x,y,使得等式3x+a(2y﹣4ex)(lny﹣lnx)=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,0)B.C.D.【考点】函数恒成立问题.【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化,利用换元法转化为方程有解,构造函数求函数的导数,利用函数极值和单调性的关系进行求解即可.【解答】解:由3x+a(2y﹣4ex)(lny﹣lnx)=0得3x+2a(y﹣2ex)ln=0,即3+2a(﹣2e)ln=0,即设t=,则t>0,则条件等价为3+2a(t﹣2e)lnt=0,即(t﹣2e)lnt=﹣有解,设g(t)=(t﹣2e)lnt,g′(t)=lnt+1﹣为增函数,∵g′(e)=lne+1﹣=1+1﹣2=0,∴当t>e时,g′(t)>0,当0<t<e时,g′(t)<0,即当t=e时,函数g(t)取得极小值为:g(e)=(e﹣2e)lne=﹣e,即g(t)≥g(e)=﹣e,若(t﹣2e)lnt=﹣有解,则﹣≥﹣e,即≤e,则a<0或a≥,故选:D.3.下列说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“x2=1,则x≠1”B.若命题p:∃x∈R,x2﹣x+1<0,则命题¬p:∀x∈R,x2﹣x+1>0C.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题D.“x2﹣5x﹣6=0”必要不充分条件是“x=﹣1”【考点】命题的真假判断与应用;四种命题间的逆否关系;命题的否定;必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】A条件没有否定;B结论否定错误;C原命题和逆否命题等价;D判断错误【解答】A.不正确:否命题既要否定条件也要否定结论,这里的条件没有否定B.不正确:x2﹣x+1<0的否定是x2﹣x+1≤0C.正确:因为原命题和逆否命题有等价性,所以由原命题真可以推得逆否命题也真D.不正确:“x2﹣5x﹣6=0”充分不必要条件是“x=﹣1”答案选C4.已知指数函数y=f(x)的图象过点(,),则log2f(2)的值为()A.B.﹣C.﹣2 D.2【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域.【分析】设指数函数y=f(x)=a x(a>0,且a≠1,为常数),把点(,)代入可得=,解得a,即可得出.【解答】解:设指数函数y=f(x)=a x(a>0,且a≠1,为常数),把点(,)代入可得=,解得a=.∴,则log2f(2)==﹣2.故选:C.5.已知:sin(+θ)+3cos(π﹣θ)=sin(﹣θ),则sinθcosθ+cos2θ=()A.B.C.D.【考点】运用诱导公式化简求值;三角函数的化简求值.【分析】由条件利用诱导公式求得tanθ=2,再利用同角三角函数的基本关系求得sinθcosθ+cos2θ的值.【解答】解:∵sin(+θ)+3cos(π﹣θ)=cosθ﹣3cosθ=﹣2cosθ=sin(﹣θ)=﹣sinθ,∴tanθ=2,则sinθcosθ+cos2θ===,故选:D.6.不等式|x﹣5|+|x+1|<8的解集为()A.(﹣∞,2)B.(﹣2,6)C.(6,+∞)D.(﹣1,5)【考点】绝对值不等式的解法.【分析】由条件利用绝对值的意义,求得绝对值不等式|x﹣5|+|x+1|<8的解集.【解答】解:由于|x﹣5|+|x+1|表示数轴上的x对应点到5、﹣1对应点的距离之和,而数轴上的﹣2和6对应点到5、﹣1对应点的距离之和正好等于8,故不等式|x﹣5|+|x+1|<8的解集为(﹣2,6),故选:B.7.函数y=的图象可能是()A.B.C.D.【考点】函数的图象.【分析】当x>0时,,当x<0时,,作出函数图象为B.【解答】解:函数y=的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称.当x>0时,,当x<0时,,此时函数图象与当x>0时函数的图象关于原点对称.故选B8.下列四个命题,其中正确命题的个数()①若a>|b|,则a2>b2②若a>b,c>d,则a﹣c>b﹣d③若a>b,c>d,则ac>bd④若a>b>o,则>.A.3个B.2个C.1个D.0个【考点】命题的真假判断与应用.【分析】直接由不等式的可乘积性判断①;举例说明②③④错误.【解答】解:①若a>|b|,则a2>b2,①正确;②若a>b,c>d,则a﹣c>b﹣d错误,如3>2,﹣1>﹣3,而3﹣(﹣1)=4<5=2﹣(﹣3);③若a>b,c>d,则ac>bd错误,如3>1,﹣2>﹣3,而3×(﹣2)<1×(﹣3);④若a>b>o,则,当c>0时,<,④错误.∴正确命题的个数只有1个.故选:C.9.已知定义在R上的函数f(x)=2|x﹣m|﹣1(m为实数)为偶函数,记a=f(2﹣3),b=f(3m),c=f(log0.53),则()A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a【考点】对数函数图象与性质的综合应用.【分析】由题意可得m=0,可得f(x)=2|x|﹣1在(0,+∞)单调递增,在(﹣∞,0)单调递减,比较三个变量的绝对值大小可得.【解答】解:∵定义在R上的函数f(x)=2|x﹣m|﹣1(m为实数)为偶函数,∴f(﹣1)=f(1),即2|﹣1﹣m|﹣1=2|1﹣m|﹣1,解得m=0,∴f(x)=2|x|﹣1在(0,+∞)单调递增,在(﹣∞,0)单调递减,∵2﹣3=∈(0,1),3m=1,|log0.53|=log23>1,∴f(2﹣3)<f(3m)<f(log0.53),即a<b<c故选:A10.4sin80°﹣等于()A.B.﹣C.2 D.2﹣3【考点】三角函数的化简求值.【分析】将所求的关系式通分后化弦,逆用两角差的余弦与两角差的正弦,即可求得答案.【解答】解:4sin80°﹣======﹣,故选:B.11.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5<0},B={x|2<x<4},则A∩B=()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)【考点】交集及其运算.【分析】求出A中不等式的解集确定出A,找出A与B的交集即可.【解答】解:由A中不等式变形得:(x﹣5)(x+1)<0,解得:﹣1<x<5,即A=(﹣1,5),∵B=(2,4),∴A∩B=(2,4),故选:D.12.已知向量=(1,2),=(0,1),=(﹣2,k),若(+2)∥,则k=()A.﹣8 B.﹣C.D.8【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.【分析】求出向量+2,利用斜率的坐标运算求解即可.【解答】解:向量=(1,2),=(0,1),=(﹣2,k),+2=(1,4),∵(+2)∥,∴﹣8=k.故选:A.二、填空题(20分,每题5分)13.计算:()+(log316)•(log2)=﹣5.【考点】方根与根式及根式的化简运算.【分析】直接利用有理指数幂的运算性质和对数的运算性质化简求值.【解答】解:==3﹣8log32•log23==3﹣8=﹣5.故答案为:﹣5.14.已知函数f(1﹣)的定义域为[1,+∞),则函数y=的定义域为∅.【考点】函数的定义域及其求法.【分析】求出f(x)的定义域,解不等式(1﹣x)2>2,取交集即可.【解答】解:∵函数f(1﹣)的定义域为[1,+∞],∴f(x)的定义域是[0,1)①,由(1﹣x)2>2,解得:x>1+或x<1﹣②,由①②得函数y=的定义域是∅,故答案为:∅.15.已知函数f(x)(x∈R)满足f(﹣x)=4﹣f(x),若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则(x i+y i)=2m.【考点】抽象函数及其应用.【分析】根据两函数的对称中心均为(0,2)可知出x1+x2+x3+…+x m=0,y1+y2+y3+…+y m=×4=2m,从而得出结论.【解答】解:∵f(﹣x)=4﹣f(x),f(﹣x)+f(x)=4,∴f(x)的图象关于点(0,2)对称,∵y==2+也y关于点(0,2)对称,∴x1+x2+x3+…+x m=0,y1+y2+y3+…+y m=×4=2m,故答案为2m.16.设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ,b ]上的两个函数,若函数y=f (x )﹣g (x )在x ∈[a ,b ]上有两个不同的零点,则称f (x )和g (x )在[a ,b ]上是“关联函数”,区间[a ,b ]称为“关联区间”.若f (x )=x 2﹣3x +4与g (x )=2x +m 在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围.【考点】函数的零点;函数的值.【分析】由题意可得h (x )=f (x )﹣g (x )=x 2﹣5x +4﹣m 在[0,3]上有两个不同的零点,故有,由此求得m 的取值范围.【解答】解:∵f (x )=x 2﹣3x +4与g (x )=2x +m 在[0,3]上是“关联函数”, 故函数y=h (x )=f (x )﹣g (x )=x 2﹣5x +4﹣m 在[0,3]上有两个不同的零点,故有,即 ,解得﹣<m ≤﹣2,故答案为.三、解答题17.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =3a n ﹣1,其中n ∈N *. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设a n b n =,求数列{b n }的前n 项和为T n .【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】( I )分n=1与n ≥2讨论,从而判断出{a n }是等比数列,从而求通项公式;( II )化简可得=3(﹣),利用裂项求和法求解.【解答】解:( I )∵,①当n=1时,a 1=a 1﹣,∴a 1=1,当n ≥2时,∵S n ﹣1=a n ﹣1﹣,② ①﹣②得:a n =a n ﹣a n ﹣1, 即:a n =3a n ﹣1(n ≥2), 又∵a 1=1,a 2=3,∴对n ∈N *都成立,故{a n}是等比数列,∴.(II)∵,∴=3(﹣),∴,∴,即T n=.18.为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度,现在某市进行调查,随机调50“”对“生育二胎放开”政策的支持度有差异:(2)若对年龄在[5,15),[35,45)的被调查人中各随机选取两人进行调查,记选中的4“”ξξk 3.841 6.635 10.828K2=.【考点】独立性检验的应用.【分析】(Ⅰ)根据统计数据,可得2×2列联表,根据列联表中的数据,计算K2的值,即可得到结论;(Ⅱ)ξ的可能取值有0,1,2,3,求出相应的概率,可得ξ的分布列及数学期望.<6.635…所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.…(Ⅱ)ξ所有可能取值有0,1,2,3,…,,,,…ξ所以ξ的期望值是.…19.在如图所示的几何体中,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA∥BE,AB=PA=4,BE=2.(Ⅰ)求证:CE∥平面PAD;(Ⅱ)求PD与平面PCE所成角的正弦值;(Ⅲ)在棱AB上是否存在一点F,使得平面DEF⊥平面PCE?如果存在,求的值;如果不存在,说明理由.【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角.【分析】(Ⅰ)设PA中点为G,连结EG,DG,可证四边形BEGA为平行四边形,又正方形ABCD,可证四边形CDGE为平行四边形,得CE∥DG,由DG⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,即证明CE∥平面PAD.(Ⅱ)如图建立空间坐标系,设平面PCE 的一个法向量为=(x ,y ,z ),由,令x=1,则可得=(1,1,2),设PD 与平面PCE 所成角为a ,由向量的夹角公式即可得解.(Ⅲ)设平面DEF 的一个法向量为=(x ,y ,z ),由,可得,由•=0,可解a ,然后求得的值.【解答】(本小题共14分) 解:(Ⅰ)设PA 中点为G ,连结EG ,DG . 因为PA ∥BE ,且PA=4,BE=2, 所以BE ∥AG 且BE=AG ,所以四边形BEGA 为平行四边形. 所以EG ∥AB ,且EG=AB .因为正方形ABCD ,所以CD ∥AB ,CD=AB , 所以EG ∥CD ,且EG=CD .所以四边形CDGE 为平行四边形. 所以CE ∥DG .因为DG ⊂平面PAD ,CE ⊄平面PAD , 所以CE ∥平面PAD . …(Ⅱ)如图建立空间坐标系,则B (4,0,0),C (4,4,0), E (4,0,2),P (0,0,4),D (0,4,0), 所以=(4,4,﹣4),=(4,0,﹣2),=(0,4,﹣4).设平面PCE 的一个法向量为=(x ,y ,z ),所以,可得.令x=1,则,所以=(1,1,2).设PD 与平面PCE 所成角为a ,则sin α=|cos <,>|=|=||=..所以PD 与平面PCE 所成角的正弦值是. …(Ⅲ)依题意,可设F (a ,0,0),则,=(4,﹣4,2).设平面DEF 的一个法向量为=(x ,y ,z ),则.令x=2,则,所以=(2,,a﹣4).因为平面DEF⊥平面PCE,所以•=0,即2++2a﹣8=0,所以a=<4,点.所以.…20.已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为,椭圆C上的点到右焦点的最大距离为3.(1)求椭圆C的标准方程;(2)斜率存在的直线l与椭圆C交于A,B两点,并且满足|2+|=|2﹣|,求直线在y轴上截距的取值范围.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)设椭圆C的方程为: +=1(a>b>0),半焦距为c.依题意e==,a+c=3,b2=a2﹣c2,解出即可得出.(2)设直线l的方程为y=kx+m,与椭圆方程联立化为:(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0,△>0,设A(x1,y1),B(x2,y2).由|2+|=|2﹣|,可得=0.x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,把根与系数的关系代入化简与△>0联立解出即可得出.【解答】解:(1)设椭圆C的方程为: +=1(a>b>0),半焦距为c.依题意e==,由椭圆C上的点到右焦点的最大距离3,得a+c=3,解得c=1,a=2,∴b2=a2﹣c2=3,∴椭圆C的标准方程是+=1.(2)设直线l的方程为y=kx+m,联立,化为:(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0,△=64k2m2﹣4(3+4k2)(4m2﹣12)>0,化简得3+4k2>m2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=﹣,x1•x2=,∵|2+|=|2﹣|,∴=0.∴x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,化为km(x1+x2)+(1+k2)x1•x2+m2=0,∴km(﹣)+(1+k2)×+m2=0,化简得7m2=12+12k2.将k2=﹣1代入3+4k2>m2.可得m2,又由7m2=12+12k2≥12.从而∴m2,解得m≥,或m≤﹣,.所以实数m的取值范围是∪.21.设函数f(x)=(1﹣ax)ln(x+1)﹣bx,其中a和b是实数,曲线y=f(x)恒与x轴相切于坐标原点.(1)求常数b的值;(2)当a=1时,讨论函数f(x)的单调性;(3)当0≤x≤1时关于x的不等式f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)对f(x)求导,根据条件知f'(0)=0,所以1﹣b=0;(2)当a=1时,f(x)=(1﹣x)ln(x+1)﹣x,f(x)的定义域为(﹣1,+∞);令f'(x)=0,则导函数零点x+1=1,故x=0;当x∈(﹣1,0),f'(x)>0,f(x)在(﹣1,0)上单调递增;当x∈(0,+∞)上,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减;(3)因为f(x)=(1﹣ax)ln(x+1)﹣x,0≤x≤1,对a进行分类讨论根据函数的单调性求得参数a使得不等式f(x)≥0;【解答】解:(1)对f(x)求导得:f'(x)=﹣aln(x+1)+根据条件知f'(0)=0,所以1﹣b=0,故b=1.(2)当a=1时,f(x)=(1﹣x)ln(x+1)﹣x,f(x)的定义域为(﹣1,+∞)f'(x)=﹣ln(x+1)+﹣1=﹣ln(x+1)+﹣2令f'(x)=0,则导函数零点x+1=1,故x=0;当x∈(﹣1,0),f'(x)>0,f(x)在(﹣1,0)上单调递增;当x∈(0,+∞)上,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减;(3)由(1)知,f(x)=(1﹣ax)ln(x+1)﹣x,0≤x≤1f'(x)=﹣aln(x+1)+﹣1f''(x)=﹣①当a时,因为0≤x≤1,有f''(x)≥0,于是f'(x)在[0,1]上单调递增,从而f'(x)≥f'(0)=0,因此f(x)在[0,1]上单调递增,即f(x)≥f(0)而且仅有f(0)=0;②当a≥0时,因为0≤x≤1,有f''(x)<0,于是f'(x)在[0,1]上单调递减,从而f'(x)≤f'(0)=0,因此f(x)在[0,1]上单调递减,即f(x)≤f(0)=0而且仅有f(0)=0;③当﹣<a<0时,令m=min{1,﹣},当0≤x≤m时,f''(x)<0,于是f'(x)在[0,m]上单调递减,从而f'(x)≤f'(0)=0因此f(x)在[0,m]上单调递减,即f(x)≤f(0)而且仅有f(0)=0;综上:所求实数a 的取值范围是(﹣∞,﹣].[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]22.在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x ﹣)2+(y +1)2=9,以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C 的极坐标方程;(2)直线OP :θ=(p ∈R )与圆C 交于点M ,N ,求线段MN 的长.【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】(1)利用直角坐标方程化为极坐标方程的方法,求圆C 的极坐标方程; (2)利用|MN |=|ρ1﹣ρ2|,求线段MN 的长.【解答】解:(1)(x ﹣)2+(y +1)2=9可化为x 2+y 2﹣2x +2y ﹣5=0,故其极坐标方程为ρ2﹣2ρcos θ+2ρsin θ﹣5=0.…(2)将θ=代入ρ2﹣2ρcos θ+2ρsin θ﹣5=0,得ρ2﹣2ρ﹣5=0,∴ρ1+ρ2=2,ρ1ρ2=﹣5,∴|MN |=|ρ1﹣ρ2|==2.…[选修4-5:不等式选讲]23.已知f (x )=|x +2|﹣|2x ﹣1|,M 为不等式f (x )>0的解集. (1)求M ;(2)求证:当x ,y ∈M 时,|x +y +xy |<15. 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】(1)通过讨论x 的范围,解关于x 的不等式,求出M 的范围即可; (2)根据绝对值的性质证明即可.【解答】解:(1)f (x )=,当x <﹣2时,由x ﹣3>0得,x >3,舍去;当﹣2≤x ≤时,由3x +1>0得,x >﹣,即﹣<x ≤;当x >时,由﹣x +3>0得,x <3,即<x <3,综上,M=(﹣,3);(2)证明:∵x ,y ∈M ,∴|x |<3,|y |<3,∴|x +y +xy |≤|x +y |+|xy |≤|x |+|y |+|xy |=|x |+|y |+|x ||y |<3+3+3×3=15.2016年11月21日。
2017年广东省清远市清城区华侨中学高三理科一模数学试卷

2017年广东省清远市清城区华侨中学高三理科一模数学试卷一、选择题(共12小题;共60分)1. 设集合,为整数集,则集合中元素的个数是A. B. C. D.2. 在复平面内,复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知,,若,则A. B. C. D.4. 高三学生在新的学期里,刚刚搬入新教室,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,当教室在第层楼时,上下楼造成的不满意度为,但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随教室所在楼层升高,环境不满意度降低,设教室在第层楼时,环境不满意度为,则同学们认为最适宜的教室应在A. 楼B. 楼C. 楼D. 楼5. 函数的值域为A. B. C. D.6. 如图所示的程序框图,若,,输入,则输出的A. B. C. D.7. 在中,,,所对的边分别是,,,,且,则的值为A. B. C. D.8. 已知函数与,若与的交点在直线的两侧,则实数的取值范围是A. B. C. D.9. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为A. B. C. D.10. 用半径为的圆铁皮剪一个内接矩形,再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径,则圆柱的体积最大时,该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为A. B. C. D.11. 设双曲线(,)的右焦点,过点作与轴垂直的直线交两渐近线于,两点,且与双曲线在第一象限的交点为,设为坐标原点,若(),,则该双曲线的离心率为A. B. C. D.12. 对于函数,设,,,且,令集合,则集合为A. 空集B. 实数集C. 单元素集D. 二元素集二、填空题(共4小题;共20分)13. 抛物线的焦点坐标是,准线方程是.14. 某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的表面积是,体积是.15. 在中,内角,,所对的边分别是,,,若,,,则,.16. 已知等差数列的公差为,等比数列的公比为,设,的前项和分别为,,若,,则,.三、解答题(共7小题;共91分)17. 在中,角,,的对边分别是,,,且.(1)求角的大小;(2)求的取值范围.18. 数列满足,,.(1)证明:数列是等差数列;(2)设,求数列的前项和.19. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为分)作为样本(样本容量为)进行统计.按照,,,,的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在,的数据).(1)求样本容量和频率分布直方图中,的值;(2)在选取的样本中,从竞赛成绩是分以上(含分)的同学中随机抽取名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,求所抽取的名同学来自不同组的概率.20. 设椭圆的方程为,为坐标原点,直线与椭圆交于点,,为线段的中点.(1)若,分别为的左顶点和上顶点,且的斜率为,求的标准方程;(2)若,且,求面积的最大值.21. 已知函数.(1)当时,求函数在上的最小值;(2)若,不等式恒成立,求的取值范围;(3)若,不等式恒成立,求的取值范围.22. 在平面直角坐标中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为(为参数),直线与曲线相交于,两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)若,求的值.23. 设函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若时有,求的取值范围.答案第一部分1. C2. B3. D4. B5. B【解析】因为,所以的值域为.6. C7. B8. B 【解析】函数与直线的交点为和,因为与的交点在直线的两侧,所以有或,解得.9. D 【解析】10. C11. D 【解析】双曲线的渐近线为:,设焦点,则,,,因为,所以,所以,,解得:,,又由,得:,解得,所以,.12. B 【解析】因为,所以,,,,所以是以为周期,所以,所以集合.第二部分13. ;14. ;【解析】几何体为两个相同长方体组合,长方体的长宽高分别为,,,所以体积为,由于两个长方体重叠部分为一个边长为的正方形,所以表面积为.15. ;16. ;第三部分17. (1)由正弦定理可得,,从而可得,,即,又为三角形的内角,所以,于是,又亦为三角形内角,因此,.(2)因为由可知,,所以,从而,因此,故的取值范围为.18. (1)因为,所以所以,数列是首项为,公差为的等差数列.(2)因为,所以因为,所以两式相减所以19. (1)由题意可知,样本容量,,.(2)由题意可知,分数在有人,分别记为,,,,,分数在有人,分别记为,.从竟赛成绩是分以上(含分)的同学中随机抽取名同学有如下情形:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共个基本事件;其中符合“抽取的名同学来自不同组”的基本事件有,,,,,,,,,,共个,所以抽取的名同学来自不同组的概率.20. (1)设,,,则两式相减,得,即,又,,代入化简,解得,故的标准方程为.(2)设直线,,,所以整理得:,,,由中点坐标公式可知:,即,因为,所以设直线与轴的交点为,则,令,设,则当时,即,时,的面积取得最大值.21. (1)时,,所以,,所以函数在上是增函数.又函数的值域为,故,使得,又因为,所以,所以当时,,即函数在区间上递增,所以.(2),由(1)知函数在上是增函数,且,使得,进而函数在区间上递减,在上递增,,由,得:,所以,所以,因为,不等式恒成立,所以,所以,设,则为增函数,且有唯一零点,设为,则,则,即,令,则单调递增,且,则,即,因为在为增函数,则当时,有最大值,,所以,所以的取值范围是.(3)由得,,所以,所以对任意成立,令函数,所以,当时,,当时,,所以当时,函数取得最小值,所以.所以的取值范围是.22. (1)曲线的极坐标方程为可得.可得:曲线的普通方程为:;直线的参数方程为(为参数),普通方程为.(2)直线与曲线联立可得,因为,所以,解得或(舍去).23. (1)当时,,故,故,故不等式的解集为;(2)当时,恒成立,故只需使当时,,即,即,即,即,当时,解得,不成立;当时,解得,,故只需使,解得:;当时,解得,,故只需使,解得:;综上所述,的取值范围为或.。
广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:程序框图 Word版含答案

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编程序框图1、(潮州市2017届高三上学期期末)执行如图所示的程序,则输出的i的值为()A.2 B.3 C.4 D.52、(东莞市2017届高三上学期期末)下方茎叶图为高三某班50名学生的数学考试成绩,算法框图中输入的i a为茎叶图中的学生成绩,则输出的m,n分别是( )A.m =38,n=12mB.=26,n =12C. m=12,n=12D. m=24,n=103、(佛山市2017届高三教学质量检测(一))如图2所示的程序框图,输出的值为( )A .1615B .1215C .813D .4134、(广州市2017届高三12月模拟)阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 115、(惠州市2017届高三第三次调研)执行如下图所示的程序框图,则输出的结果为( ) (A)7(B)9(C)10(D)116、(珠海市2017届高三上学期期末)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是25 13,则A. a=11B. a=12C. a=13D. a=147、(揭阳市2017届高三上学期期末)阅读如图1所示的程序框图,运行相应程序,输出的结果是(A)1234 (B)2017 (C)2258 (D)7228、(茂名市2017届高三第一次综合测试)执行如图1所示的程序框图,若输出的结果是31 32,则输入的a为()A.3 B.4 C.5 D.69、(清远市清城区2017届高三上学期期末)执行如图所示的程序框图,则输出S的值是()A.10B. 12C. 100D. 10210、(汕头市2017届高三上学期期末)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的2=x ,2=n ,依次输入的a 为2,2,5,则输出的=s ( )A .7B .12 C. 17 D .3411、(韶关市2017届高三1月调研)执行如图所示的程序框图,则输出S =(A) 511 (B) 139 (C) 1611(D)17912、(肇庆市2017届高三第二次模拟)执行如图所示的程序框图,如果输入的[]2,2t ∈-, 则输出的S 属于(A )[-6,-2] (B )[-5,-1] (C )[-4,5] (D )[-3,6]参考答案1、C2、B3、C4、B5、B6、B7、A 8、C 9、A 10、C11、【解析】框图中的S ,实际是计算2221111...2141101S =++++---,而21111()1211n n n =---+ 所以11111111161(1...)1(1)233591121111S =+-+-++-=+-=,选C 12、D。
广东省清远市第三中学2017届高三数学上学期第四次周考试题理

广东省清远市清城区三中高三第一学期第四次周考数学(理)试题(本卷满分150分,时间120分钟)一、选择题(60分,每题5分)1.已知集合,,则A. B. C. D.2.复数的共轭复数对应的点在复平面内位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知、都是实数,那么“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件4.某程序的框图如图所示,执行该程序,若输入的N =3,则输出i=A.6B.7C.8D.95.若,则的大小关系A.B. C. D.6.已知,则的值是A.B.-C.-2 D.27.函数是偶函数,是奇函数,则A.1 B.C. D.8.若某圆柱体的上部挖掉一个半球,下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和俯视图如图2所示,则此几何体的表面积是A. B.C. D.9.已知,且函数恰有3个不同的零点,则实数的取值范围是A.(-1,+)B.(-2,0)C.(-2,+)D.(0,1]10.已知椭圆与双曲线有相同的焦点,则椭圆的离心率的取值范围为A. B.C.D.11. 已知函数的最小正周期是,将函数图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点,则函数A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增12.设函数是()的导函数,,且,则的解集是A.B.C.D.二、填空题(20分,每题5分)13.已知14log 7,145,b a == 用,a b 表示35log 70= .14.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,090ABC ∠=1688AB C AA ===,B ,, 则三棱柱ABC —A 1B 1C 1外接球的表面积是 ;15.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若3a =,8b =,C=3π,则边c = .16三、解答题(70分)17.(本小题10分) 已知函数2lg(34)y x x =+-+的定义域为M (1)求M(2)当x M ∈时,求2()42x x f x +=+的最小值.18. (本小题12分)ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且 2cos (cos cos )C a B b A c +=. (1)求C(2)若c =ABC S ∆=,求ABC ∆的周长.19. (本小题12分)在如图所示的空间几何体中,平面ACD ⊥平面ABC ,ACD ∆与ACB V都是边长为2的等边三角形,2BE =,BE 与平面ABC 所成的角为60o,且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上.(1)求证://DE 平面ABC ; (2)求二面角E BC A --的余弦值.20. (本小题12分)如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,角α的顶点在原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边交单位圆于点A ,[,]42ππα∈,将角α的终边绕原点逆时针方向旋转3π交单位圆于点B ,过B 作BC y ⊥轴于C .(1)若点A ,求点B 的横坐标; (2)求AOC ∆面积S 的最大值.21. (本小题12分)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>C 方程为222()()()a x a y b b -+-=.(1)求椭圆及圆C 的方程;(2)过原点O 作直线l 与圆C 交于A ,B 两点,若2CA CB ⋅=-uu r uu r,求直线l 的方程.22. (本小题12分)已知函数1()f x x =,23(),()x f x e f x lnx ==.(1)设函数13()()(),h x mf x f x =-若()h x 在区间1(,2]2上单调,求实数m 的取值范围;(2)求证:231()()2()f x f x f x '>+.数学(理)答案 一、BABCD ADCDA BB 二、 13.1ba b++ 14.164π 15.7. 16三、 17.解(1)2101340xx x x +⎧≥⎪-⎨⎪-+>⎩11x ⇒-≤<[1,1)M ∴=-..................................................6分(2)22()(2)4244x x f x a a a =+⋅+-令12[,2)2x t =∈221()4(2)4,[,2)2g t t t t t ∴=+=+-∈min min 1259()()4244f xg t g∴===-=.....................................................................................12分18. 解:(1)由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒=.....................................................................6分(2)11sin 622ABC S ab C ab ab ∆=⇒=⇒=................................................................8分又2222cos a b ab C c +-=Q 2213a b ∴+=,2()255a b a b ∴+=⇒+=.............................................................................10分 ABC∴∆的周长为5........................................................................................................12分19. 解:(1)由题意知ABC ∆、ACD ∆为边长2的等边∆ 取AC 的中点O ,连接BO ,BO , 则BO AC ⊥,DO AC ⊥. 又平面ACD ⊥平面ABC ,DO ∴⊥平面ABC ,作EF ⊥平面ABC , 那么//EF DO ,根据题意,点F 落在BO 上,BE Q 和平面ABC 所成的角为60o ,60EBF ∴∠=o , 2BE =Q,EF DO ∴==,∴四边形DEFO 是平行四边形,//DE OF ∴.DE ⊄Q 平面ABC ,OF ⊂平面ABC , //DE ∴平面ABC ............................................6分(2)建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -,则B ,(1,0,0)C -,E -,(1,BC ∴=-uu u r(0,BE ∴=-uu u r平面ABC 的一个法向量为1(0,0,1)n =...................................................................................8分设平面BCE 的法向量2(,,)n x y z =u u v 则220,0n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r u u v uuu r u u v0x y ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩ 取1z =,2(n ∴=-u u v....................................................................................................10分121212cos(,)||||n n n n n n ⋅∴==⋅u v u u vu v u u v u v u u v E BC A --的余弦值为. ..........................................................................................................12分20. 解:(1)定义得A (cos ,sin ),(cos(),sin())33B ππαααα++,依题意可知sin (,)42ππαα=∈,所以3πα=,所以B的横坐标为21cos()cos.332ππα+==-.............................................5分(2)因为||1OA =,||sin(),,32OC AOC ππαα=+∠=-所以1||||sin 2S OA OC AOC =⋅⋅∠1sin()sin()232ππαα=+⋅- 11(sin )cos 22ααα= 211(sin cos )22ααα=111cos 2(sin 2)242αα+=11(sin 22)42αα=++1sin(2)43πα=+分又因为[,)42ππα∈,所以542(,)363πππα+∈,当5236ππα+=,即4πα=时,sin(2)3πα+取得最大值为12,所以以S 的最大值为分21. 解:(1)设椭圆的焦距为2c ,左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -可得c a =,即22234a b a -=,所以2,a b b ==...............................................................3分以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为122b c ⋅=,即122c ⨯=,,2,1c a b ∴===所以椭圆的方程2214x y +=,圆的方程为22(2)(1)4x y -+-=.............................................5分(2)①当直线l 的斜率不存时,直线方程为0x =,与圆C 相切,不符合题意..................6分②当直线l 的斜率存在时,设直线方程y kx =,由22(2)(1)4y kx x y =⎧⎨-+-=⎩可得22(1)(24)10k x k x +-++=, 由条件可得22(24)4(1)0k k ∆=+-+>,即34k >-................................................................8分设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则122241k x x k ++=+,12211x x k =+222121212122224(),11k k k y y k x x y y k x x k k ++=+===++而圆心C 的坐标为(2,1)则11(2,1),CA x y =--uu r 22(2,1)CB x y =--uu r,所以1212(2)(2)(1)(1)2CA CB x x y y ⋅=--+--=-uu r uu r,即121212122()()52x x x x y y y y -++-++=- 所以222222124242521111k k k kk k k k ++-⨯+-+=-++++解得k =或43k =...............................10分. :0l y ∴=或430x y -=...........................................................................................................12分22. 解:(1)由题意得()ln h x mx x =-,所以1()h x m x '=-,因为122x <≤,所以1122x≤<....................................................................................................................2分若函数()h x 在区间1(,2]2上单调递增,则()0h x '≥在1(,2]2上恒成立,即1m x ≥在1(,2]2上恒成立,所以2m ≥..........................................................................................................4分若函数()h x 在区间1(,2]2上单调递减,则()0h x '≤在1(,2]2上恒成立, 即1m x≤在1(,2]2上恒成立,所以12m ≤.............................................................................5分 综上,实数m的取值范围为1(,][2,)2-∞+∞U ...................................................................6分(2)设231()()()2()ln 2x g x f x f x f x e x '=--=--则1(),x g x e x '=-设1()x x e x ϕ=-,则21()0x x e x ϕ'=+>,所以1()x x e xϕ'=-在(0,)+∞上单调递增, 由1()02ϕ<,(1)0ϕ>得,存在唯一的01(,1)2x ∈使得0001()0x x e x ϕ=-=,所以在0(0,)x 上有0()()0x x ϕϕ<=,在0(,)x +∞上有0()()0x x ϕϕ>= 所以()g x 在0(0,)x 上单调递减,在0(,)x +∞递增...................................................................10分11 0min 000000111()()121220x x g x g x e nx n x x e x ==--=--=+-> 所以()0g x >,故231(0,),()()2()x f x f x f x '∀∈+∞>+..........................................................12分。
清远市清城区2017届高三上学期期末数学试卷(理科)(a卷) 含解析

2016—2017学年广东省清远市清城区高三(上)期末数学试卷(理科)(A卷)一、选择题(60分,每题5分)1.若集合A={2,3},B={x|x2﹣5x+6=0},则A∩B=( )A.{x=2,x=3} B.{(2,3)} C.{2,3} D.2,32.已知复数z=(i为虚数单位).则z的共轭复数在复平面内所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知倾斜角为α的直线l与直线x﹣2y+2=0平行,则tan2α的值为()A.B. C. D.4.设a,b∈R,那么“>1"是“a>b>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.执行如图所示的程序框图,则输出S的值是( )A.10 B.12 C.100 D.1026.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.40 B.30 C.36 D.427.如图所示,点A(1,0),B是曲线y=3x2+1上一点,向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形中任一点是等可能的),则所投点落在图中阴影内的概率为()A.B. C. D.8.已知矩形ABCD,E、F分别是BC、AD的中点,且BC=2AB=2,现沿EF将平面ABEF折起,使平面ABEF⊥平面EFDC,则三棱锥A﹣FEC的外接球的体积为()A.B. C. D.9.已知函数f(x)=aln(x+1)﹣x2,在区间(0,1)内任取两个实数p,q,且p≠q,若不等式>1恒成立,则实数a的取值范围为()A.[11,+∞) B.[13,+∞)C.[15,+∞) D.[17,+∞) 10.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的最小正周期是π,若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数,则函数f(x)的图象()A.关于点对称B.关于x=对称C.关于点(,0)对称D.关于x=对称11.已知双曲线c:=1(a>b>0),以右焦点F为圆心,|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N(异于原点O),若|MN|=2a,则双曲线C的离心率是()A.B.C.2 D.12.已知函数f(x)=x2+bx+c,(b,c∈R),集合A={x丨f(x)=0},B={x|f(f(x))=0},若存在x0∈B,x0∉A则实数b的取值范围是()A.0≤b≤4 B.b≤0或b≥4 C.0≤b<4 D.b<0或b≥4二、填空题(20分,每题5分)13.已知向量,满足||=2,||=且(+)⊥,则与的夹角β为.14.已知函数f(x)=有两个零点,则实数a的取值范围是.15.已知a n=,删除数列{a n}中所有能被2整除的数,剩下的数从小到大排成数列{b n},则b51= .16.已知函数f(x)及g(x)(x∈D),若对于任意的x∈D,存在x0,使得f(x)≥f(x0),g(x)≥g(x0)恒成立且f(x0)=g(x0),则称f(x),g(x)为“兄弟函数",已知函数f(x)=x2+px+q(p,q∈R),g (x)=是定义在区间[,2]上的“兄弟函数”,那么函数f (x)在区间[,2]上的最大值为.。
广东省清远市高三上学期期末数学试卷(理科)

广东省清远市高三上学期期末数学试卷(理科)姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题;共24分)1. (2分)已知集合M={3,log2a},N={a,b},若M∩N={0},则M∪N=()A . {0,1,2}B . {0,1,3}C . {0,2,3}D . {1,2,3}2. (2分)已知是复数,i是虚数单位,在复平面中对应的点为P,若P对应的复数是模等于2的负实数,那么=()A .B .C .D .3. (2分)以下四个命题中:①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;②两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;③在某项测量中,测量结果服从正态分布.若在(0,1)内取值的概率为0.4,则在(0,2)内取值的概率为0.8 ;④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说,k越小,判断“X与Y有关系”的把握程度越大.其中真命题的个数为()A . 1B . 2C . 3D . 44. (2分)下面程序的运行结果是()i=1S=0WHILE i<=4S=S*2+1i=i+1WENDPRINT SENDA . 3B . 7C . 15D . 175. (2分)已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域,则实数k的值为()A . 1B . -1C . 0D . -26. (2分)过双曲线C:(a>0,b>0)的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为()A .B .C .D .7. (2分)(2017·武汉模拟) 将二项式(x+ )6展开式中各项重新排列,则其中无理项互不相邻的概率是()A .B .C .D .8. (2分) (2016高一下·岳阳期中) 若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,则ω=()A . 5B . 4C . 3D . 29. (2分)不等式≤0的解集为()A . {x| ≤x≤2}B . {x|x>2或x≤ }C . {x| ≤x<2}D . {x|x<2}10. (2分)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为()A .B .C .D .11. (2分)(2016·大连模拟) 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,分别过A、B两点作准线的垂线,垂足分别为A′、B′两点,以线段A′B′为直径的圆C过点(﹣2,3),则圆C的方程为()A . (x+1)2+(y﹣2)2=2B . (x+1)2+(y﹣1)2=5C . (x+1)2+(y+1)2=17D . (x+1)2+(y+2)2=2612. (2分) (2016高一上·厦门期中) 已知f(x)= 满足对任意x1≠x2都有<0成立,那么a的取值范围是()A . (0,1)B .C .D .二、填空题 (共4题;共4分)13. (1分)设α,β为两个不重合的平面,m,n为两条不重合的直线,给出下列四个命题:①若m⊥n,m⊥α,n⊄α,则n∥α;②若m⊥n,m∥α,n∥β,则α⊥β;③若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,n⊥m则n⊥β;④若n⊂α,m⊂β,α与β相交且不垂直,则n与m一定不垂直.其中,所有真命题的序号是________ .14. (1分) (2016高一下·无锡期末) 已知△ABC的面积为S,在边AB上任取一点P,则△PAC的面积大于的概率为________.15. (1分) (2016高一上·如东期中) 函数有一零点所在的区间为(n0 , n0+1)(),则n0=________.16. (1分) (2016高一下·衡水期末) 在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,AB=3,BC=2,AC= ,则sin∠ABD 等于________.三、解答题 (共8题;共65分)17. (10分) (2017高一下·芮城期末) 已知是单调递增的等差数列,首项,前项和为,数列是等比数列,首项,且 .(1)求数列和的通项公式;(2)设,求数列的前项和;18. (5分)(2017·上高模拟) 某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动,有甲,乙两个抽奖方案供员工选择.方案甲:员工最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率均为,第一次抽奖,若未中奖,则抽奖结束,若中奖,则通过抛一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二次抽奖,规定:若抛出硬币,反面朝上,员工则获得500元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,员工则须进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,若中奖,则获得1000元;若未中奖,则所获得奖金为0元.方案乙:员工连续三次抽奖,每次中奖率均为,每次中奖均可获得奖金400元.(Ⅰ)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列;(Ⅱ)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖,哪个方案更划算?19. (10分) (2016高二下·卢龙期末) 如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点D是BC的中点.(1)求证:A1B∥平面ADC1;(2)若AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2,求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值.20. (5分)(2017·武邑模拟) 已知A为椭圆 =1(a>b>0)上的一个动点,弦AB,AC分别过左右焦点F1 , F2 ,且当线段AF1的中点在y轴上时,cos∠F1AF2= .(Ⅰ)求该椭圆的离心率;(Ⅱ)设,试判断λ1+λ2是否为定值?若是定值,求出该定值,并给出证明;若不是定值,请说明理由.21. (10分) (2015高二下·河南期中) 设f(x)=x3+ax2+bx+1的导函数f′(x)满足f′(x)=2a,f′(2)=﹣b,(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)设g(x)=f′(x)ex,求函数g(x)的单调区间.22. (5分)(2017·扬州模拟) 如图,已知△ABC内接于⊙O,连结AO并延长交⊙O于点D,∠ACB=∠ADC.求证:AD•BC=2AC•CD.23. (10分)在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为(α为参数),点P的坐标为.(1)试判断曲线C的形状为何种圆锥曲线;(2)已知直线l过点P且与曲线C交于A,B两点,若直线l的倾斜角为45°,求|PA|•|PB|的值.24. (10分) (2017高二下·中原期末) 已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题;共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题;共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题;共65分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、24-1、24-2、。
【数学】广东省清远市清城三中2017届高考一模试卷(理)(解析版)

广东省清远市清城三中2017届高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={﹣1,0,1},B ={x |x =sin ,k ∈Z },则∁A B =( ) A .∅B .0C .{0}D .{﹣1,1}2.的展开式中含x 2的项的系数是( )A .﹣20B .20C .﹣15D .153.已知=2﹣i (i 为虚数单位,a ,b ∈R ),在|a ﹣b i|=( ) A .﹣iB .1C .2D .4.某四棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是( )A .B .C .4D .5.(x +)d x =( ) A .e 2B .C .D .6.设数列{a n }满足a 1=a ,a n +1=(n ∈N ),若数列{a n }是常数列,则a =( )A .﹣2B .﹣1C .0D .(﹣1)n7.设向量=(cos x ,﹣sin x ),=(﹣cos (﹣x ),cos x ),且=t ,t ≠0,则sin2x的值等于( ) A .1B .﹣1C .±1D .08.已知双曲线x 2﹣y 2=1,点F 1,F 2为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若∠F 1PF 2=60°,则三角形F 1PF 2的面积为( ) A .2B .2C .D .29.设袋中有两个红球一个黑球,除颜色不同,其他均相同,现有放回的抽取,每次抽取一个,记下颜色后放回袋中,连续摸三次,X 表示三次中红球被摸中的次数,每个小球被抽取的几率相同,每次抽取相对立,则方差D (X )=( ) A .2B .1C .D .10.下列四个结论:①若x >0,则x >sin x 恒成立;②命题“若x ﹣sin x =0,则x =0”的逆否命题为“若x ≠0,则x ﹣sin x ≠0”; ③“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件; ④命题“∀x ∈R ,x ﹣ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ,x 0﹣ln x 0<0”. 其中正确结论的个数是( ) A .1个B .2个C .3个D .4个11. 公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出n 的值为( ) (参考数据:≈1.732,sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305)A .12B .24C .36D .4812.若直线ax﹣y=0(a≠0)与函数图象交于不同的两点A,B,且点C(6,0),若点D(m,n)满足,则m+n=()A.1 B.2 C.3 D.a二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)13.如图所示,某货场有两堆集装箱,一堆2个,一堆3个,现需要全部装运,每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱,则在装运的过程中不同取法的种数是(用数字作答).14.已知直线l:y=kx(k>0),圆C1:(x﹣1)2+y2=1与C2:(x﹣3)2+y2=1,若直线l 被圆C1,C2所截得两弦的长度之比是3,则实数k=.15.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)在区间(0,1)内有两个零点,是3a+b的取值范围是.16.曲线C是平面内到直线l1:x=﹣1和直线l2:y=1的距离之积等于常数k2(k>0)的点的轨迹,下列四个结论:①曲线C过点(﹣1,1);②曲线C关于点(﹣1,1)成中心对称;③若点P在曲线C上,点A、B分别在直线l1、l2上,则|PA|+|PB|不小于2k;④设P0为曲线C上任意一点,则点P0关于直线l1:x=﹣1,点(﹣1,1)及直线f(x)对称的点分别为P1、P2、P3,则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2;其中,所有正确结论的序号是.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2a+b)cos C+c cos B=0.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)求sin A cos B的取值范围.18.(12分)张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如表:(Ⅰ)求身高y 关于年龄x 的线性回归方程;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的线性回归方程,分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况,如17岁之前都符合这一变化,请预测张三同学15岁时的身高. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:=, =﹣.19.(12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=x 3+ax (a ∈R ),且曲线f (x )在x =处的切线与直线y =﹣x ﹣1平行. (Ⅰ)求a 的值及函数f (x )的解析式; (Ⅱ)若函数y =f (x )﹣m 在区间[﹣3,]上有三个零点,求实数m 的取值范围.20.(12分)设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n,且满足2=a n+1(n∈N*).(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若b n=(a n+1)•2,求数列{b n}的前n项和T n.21.(12分)已知函数f(x)=ae x﹣x(a∈R),其中e为自然对数的底数,e=2.71828…(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性,并说明理由(Ⅱ)若x∈[1,2],不等式f(x)≥e﹣x恒成立,求a的取值范围.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系中,曲线C1:(a为参数)经过伸缩变换后的曲线为C2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求C2的极坐标方程;(Ⅱ)设曲线C3的极坐标方程为ρsin(﹣θ)=1,且曲线C3与曲线C2相交于P,Q两点,求|PQ|的值.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x+b2|﹣|﹣x+1|,g(x)=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|,其中a,b,c均为正实数,且ab+bc+ac=1.(Ⅰ)当b=1时,求不等式f(x)≥1的解集;(Ⅱ)当x∈R时,求证f(x)≤g(x).参考答案一、选择题1.C【解析】集合A={﹣1,0,1},B={x|x=sin,k∈Z}={x|x≠0},则∁A B={﹣1,1}.故选:C.2.D【解析】(x﹣)6展开式的通项为T r+1=(﹣1)r C6r x6﹣2r,令6﹣2r=2,解得r=2故展开式中含x2的项的系数是C62=15,故选:D3.B【解析】∵==2﹣i,∴,解得.∴|a﹣b i|=|﹣i|=1.故选:B.4.A【解析】由三视图可知:该几何体为三棱锥P﹣ABC,其中PA⊥底面ABC,AB⊥AC,AB=AC=2,PA=2.∴V==.故选:A.5.B【解析】(x+)dx=(x2+ln x)|=(e2+1)﹣(+0)=,故选:B6.A【解析】数列{a n}满足a1=a,a n+1=(n∈N),∴a2=.∵数列{a n}是常数列,则a=,解得a=﹣2.∴a n=a=﹣2.故选:A.7.C【解析】∵=t,t≠0,∴﹣sin x•[(﹣cos(﹣x)]﹣cos x•cos x=0,∴sin2x﹣cos2x=0,∴cos2x=0,则sin2x==±1.故选:C.8.C【解析】由双曲线x2﹣y2=1的a=b=1,c=,F2(,0),F1 (﹣,0),由余弦定理可得,F1F22=8=PF12+PF22﹣2PF1•PF2cos60°=(PF1﹣PF2)2+PF1•PF2=4+PF1•PF2,∴PF1•PF2=4.则=PF1•PF2sin60°=×4×=.故选C.9.C【解析】每一次红球被摸到的概率P==.由题意可得:X=0,1,2,3.X~B.则D(X)==.故选:C.10.C【解析】①由y=x﹣sin x的导数为y′=1﹣cos x≥0,函数y为递增函数,若x>0,则x>sin x 恒成立,故①正确;②命题“若x﹣sin x=0,则x=0”的逆否命题为“若x≠0,则x﹣sin x≠0”,由逆否命题的形式,故②正确;③“命题p∧q为真”则p,q都是真,则“命题p∨q为真”,反之不成立,则“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件,故③正确;④命题“∀x∈R,x﹣ln x>0”的否定是“∃x0∈R,x0﹣ln x0≤0”,故④不正确.综上可得,正确的个数为3.故选:C.11.B【解析】模拟执行程序,可得:n=6,S=3sin60°=,不满足条件S≥3.10,n=12,S=6×sin30°=3,不满足条件S≥3.10,n=24,S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056,满足条件S≥3.10,退出循环,输出n的值为24.故选:B.12.B【解析】∵f(﹣x)==﹣=﹣f(x),∴f(x)为奇函数,∵直线ax﹣y=0(a≠0)通过坐标原点,∴A,B关于原点对称,即x A+x B=0,y A+y B=0,∵点C(6,0),点D(m,n),∴=(x A﹣m,y A﹣n),=(x B﹣m,y B﹣n),=(m﹣6,n),∵,∴x A﹣m+x B﹣m=m﹣6,y A﹣n+y B﹣n=n,∴m=2,n=0,∴m+n=2,故选:B二、填空题13.10【解析】根据题意,假设左边的积木从上至下依次为1、2、3,右边的积木从上至下依次为4、5,分2种情况讨论:若先取1,有12345、12453、12435、14235、14253、14523,共6种取法;若先取4,有45123、41523、41253、41235,共4种取法;则一共有6+4=10中不同的取法;故答案为:10.14.【解析】由题意,圆C1:(x﹣1)2+y2=1的圆心(1,0)到直线l:y=kx(k>0)的距离=,弦长为2=,圆C2:(x﹣3)2+y2=1的圆心(3,0)到直线l:y=kx(k>0)的距离=,弦长为2=,∵直线l被圆C1,C2所截得两弦的长度之比是3,∴=3×,∴k=.故答案为.15.(﹣5,0)【解析】由题意,要使函数f(x)=x2+ax+b在区间(0,1)上有两个零点,只要,其对应的平面区域如下图所示:则当a=0,b=0时,3a+b取最大值0,当a=﹣2,b=1时,3a+b取最小值﹣5,所以3a+b的取值范围为(﹣5,0);故答案为:(﹣5,0)16.②③④【解析】由题意设动点坐标为(x,y),则利用题意及点到直线间的距离公式的得:|x+1||y ﹣1|=k2,对于①,将(﹣1,1)代入验证,此方程不过此点,所以①错;对于②,把方程中的x被﹣2﹣x代换,y被2﹣y代换,方程不变,故此曲线关于(﹣1,1)对称.所以②正确;对于③,由题意知点P在曲线C上,点A,B分别在直线l1,l2上,则|PA|≥|x+1|,|PB|≥|y﹣1|∴|PA|+|PB|≥2=2k,所以③正确;对于④,由题意知点P在曲线C上,根据对称性,则四边形P0P1P2P3的面积=2|x+1|×2|y﹣1|=4|x+1||y﹣1|=4k2.所以④正确.故答案为:②③④.三、解答题17.解:(Ⅰ)由题意知,(2a+b)cos C+c cos B=0,∴由正弦定理得,(2sin A+sin B)cos C+sin C cos B=0,则2sin A cos C+sin B cos C+sin C cos B=0,即sin(B+C)=﹣2sin A cos C,∵△ABC中,sin(B+C)=sin(π﹣A)=sin A>0,∴1=﹣2cos C,得cos C=,又0<C<π,∴C=;(Ⅱ)由(I)得C=,则A+B=π﹣C=,即B=﹣A,所以,∴sin A cos B=sin A cos(﹣A)=sin A(cos cos A+sin sin A)=sin A(cos A+sin A)=sin2A+=()=∵,∴,则,即,∴sin A cos B的取值范围是.18.解:(Ⅰ)由题意得=(7+8+9+10+11+12+13)=10,=(121+128+135+141+148+154+160)=141,(=9+4+1+0+1+4+9=28,(x i﹣)(y i﹣)=(﹣3)×(﹣20)+(﹣2)×(﹣13)+(﹣1)×(﹣6)+0×0+1×7+2×13+3×19=182,所以==,=﹣=141﹣×10=76,所求回归方程为=x+76.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,=>0,故张三同学7岁至13岁的身高每年都在增高,平均每年增高6.5cm.将x=15代入(Ⅰ)中的回归方程,得=×15+76=173.5,故预测张三同学15岁的身高为173.5cm.19.解:(Ⅰ)当x>0时,f′(x)=x2+a,因为曲线f(x)在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行,所以f′()=+a=﹣,解得a=﹣1,所以f(x)=x3﹣x,设x<0则f(x)=﹣f(﹣x)=x3﹣x,又f(0)=0,所以f(x)=x3﹣x.(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(﹣3)=﹣6,f(﹣1)=,f(1)=﹣,f()=0,所以函数y=f(x)﹣m在区间[﹣3,]上有三个零点,等价于函数f(x)在[﹣3,]上的图象与y=m有三个公共点.结合函数f(x)在区间[﹣3,]上大致图象可知,实数m的取值范围是(﹣,0).20.解:(Ⅰ)当n=1时,a1=S1,有2=a1+1,解得a1=1;当n≥2时,由2=a n+1得4S n=a n2+2a n+1,4S n﹣1=a n﹣12+2a n﹣1+1,两式相减得4a n=a n2﹣a n﹣12+2(a n﹣a n﹣1),所以(a n+a n﹣1)(a n﹣a n﹣1﹣2)=0,因为数列{a n}的各项为正,所以a n﹣a n﹣1﹣2=0,所以数列{a n}是以1为首项,2为公差的等差数列,所以数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知b n=(a n+1)•2=2n•22n﹣1=n•4n.所以前n项和T n=1•4+2•42+3•43+…+n•4n,4T n=1•42+2•43+3•44+…+n•4n+1,两式相减得﹣3T n=4+42+43+…+4n﹣n•4n+1=﹣n•4n+1,化简可得T n=+•4n+1.21.解:(Ⅰ)由f(x)=a e x﹣x,得f′(x)=a e x﹣1,当a≤0时,f′(x)<0,f(x)=a e x﹣x为R上的减函数;当a>0时,令a e x﹣1=0,得x=ln a,若x∈(﹣∞,﹣ln a),则f′(x)<0,此时f(x)为的单调减函数;若x∈(﹣ln a,+∞),则f′(x)>0,此时f(x)为的单调增函数.综上所述,当a≤0时,f(x)=a e x﹣x为R上的减函数;当a>0时,若x∈(﹣∞,﹣ln a),f(x)为的单调减函数;若x∈(﹣ln a,+∞),f(x)为的单调增函数.(Ⅱ)由题意,x∈[1,2],不等式f(x)≥e﹣x恒成立,等价于a e x﹣x≥e﹣x恒成立,即x∈[1,2],恒成立.令g(x)=,则问题等价于a不小于函数g(x)在[1,2]上的最大值.由g(x)==,函数y=在[1,2]上单调递减,令h(x)=,x∈[1,2],h′(x)=.∴h(x)=在x∈[1,2]上也是减函数,∴g(x)在x∈[1,2]上也是减函数,∴g(x)在[1,2]上的最大值为g(1)=.故x∈[1,2],不等式f(x)≥e﹣x恒成立的实数a的取值范围是[,+∞).22.解:(Ⅰ)C2的参数方程为(α为参数),普通方程为(x′﹣1)2+y′2=1,∴C2的极坐标方程为ρ=2cosθ;(Ⅱ)C2是以(1,0)为圆心,2为半径的圆,曲线C3的极坐标方程为ρsin(﹣θ)=1,直角坐标方程为x﹣y﹣2=0,∴圆心到直线的距离d==,∴|PQ|=2=.23.解:(Ⅰ)由题意,当b=1时,f(x)=|x+b2|﹣|﹣x+1|=,当x≤﹣1时,f(x)=﹣2<1,不等式f(x)≥1无解,不等式f(x)≥1的解集为∅;当﹣1<x<1时,f(x)=2x,由不等式f(x)≥1,解得x≥,所以≤x<1;当x≥1时,f(x)=2≥1恒成立,所以不等式f(x)≥1的解集为[,+∞).(Ⅱ)(Ⅱ)当x∈R时,f(x)=|x+b2|﹣|﹣x+1|≤|x+b2 +(﹣x+1)|=|b2+1|=b2+1;g(x)=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|=≥|x+a2+c2﹣(x﹣2b2)|=|a2+c2+2b2|=a2+c2+2b2.而a2+c2+2b2﹣(b2+1)=a2+c2+b2﹣1=(a2+c2+b2+a2+c2+b2)﹣1≥ab+bc+ac﹣1=0,当且仅当a=b=c=时,等号成立,即a2+c2+2b2≥b2+1,即f(x)≤g(x).。
广东省清远市清城区2017届高三上学期期末考试A卷物理试题Word版含答案

广东省清远市清城区高三第一学期期末统考(A)卷物理试题(本卷总分值100分,时刻90分钟)一、选择题(共48分,每题4分;漏选得2分,多项选择、错选不得分,其中1-8为单项选择,9-12题为多项选择)1、在科学进展史上,很多物理学家作出了重大奉献.以下陈述中符合历史事实的是()A.牛顿发觉了万有引力定律,并第一次在实验室里利用放大的思想方式测出了万有引力常量B.通过逻辑推理亚里士多德以为两个从同一高度自由落下的物体,重物体与轻物体下落一样快C. 哥白尼提出了日心说并发觉了行星沿椭圆轨道运行的规律D.伽利略通过理想斜面实验,说明物体的运动不需要力来维持2、如下图,一个带负电q的带电小球处于垂直纸面向里的匀强磁场中,磁感应强度为B,假设带电小球的质量为m,为了使它对水平绝缘面正好无压力,应该( )A.使B的数值增大 B.使磁场以速度v =向上移动C.使磁场以速度v =向右移动 D.使磁场以速度v =向左移动3.如图甲所示,一个小球用轻质细线悬挂在支架ABO的O点,支架固定小车上,当小车在倾角为θ的斜面上做不同的运动时(小车不翻转),悬线可能会显现图乙所示的各类情形(图中Oa竖直,Ob垂直斜面,Oc 与Ob夹角为θ),以下说法正确的选项是()A.小车以必然的初速度沿斜面上滑时,若是斜面粗糙,那么悬线方向如图1所示B.小车以必然的初速度沿斜面上滑时,若是斜面滑腻,那么悬线方向如图2所示C.小车从静止开始沿斜面下滑时,若是斜面粗糙,那么悬线方向如图3所示D.小车从静止开始沿斜面下滑时,若是斜面滑腻,那么悬线方向如图4所示4.由中国航天科技集团公司五院自主研制的电推动系中2021年1月2日取得重要功效;电推动系统在实验中已冲破6000小时,开关机3000次,具有确保该卫星在轨靠得住运行15年的能力,如下图为应用该系统的三颗卫星a、b、c绕地球做匀速圆周运动的示用意,其中b、c都在半径为r的轨道上,a是地球同步卫星,现在a、b恰好相距最近,已知地球质量为M,半径为R,地球自转的角速度为ω,万有引力常量为G,那么()A.卫星b的周期小于24小时B.卫星b和c的机械能相等C.到卫星a和b下一次相距最近,还需通过时刻t=D.卫星a的动能较大5.静电计是用来测量电容器两极板间电势差的仪器,两极板之间的电势差越大那么静电计的指针偏角越大.平行板电容器、滑动变阻器、电源、电键和静电计按如下图的电路连接.当电键闭合时静电计的指针有偏转,以下能使偏角增大的是()A.断开电键增大两极板间的距离 B.闭合电键增大两极板间的距离C.闭合电键减小两极板间的距离 D.闭合电键使变阻器滑动的滑片向左移动6、一质点沿直线运动时的速度一时刻图象如下图,以O时刻的位置为参考点,以下说法正确的选项是()A、第1s末质点的位移和速度都改变方向B、第2s末质点的位移改变方向C.在0一4s内质点的位移为零D.第2s末和第4s末质点的位置相同7、以下四组共点力别离作用在同一物体上,有可能使物体做匀速直线运动的是()、4N、5N、12N、8N、10N、5N、8N、5N8、如下图,匀强电场的电场强度E=100 V/m,A、B两点相距L AB=10 cm,A、B连线与电场线夹角为60°,那么U BA为( )A.-10 V B.10 V C.-5 V D.-3 V 9.如下图,A、B两物体质量之比m A∶m B=3∶2,原先静止在平板小车C上,A、B间有一被紧缩的弹簧,地面滑腻.当弹簧突然释放后,那么以下说法中正确的选项是A.若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同,A、B组成系统的动量守恒B.若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同,A、B、C组成系统的动量守恒C.若A、B所受摩擦力大小相等,A、B组成系统的动量守恒D.若A、B所受摩擦力大小相等,A、B、C组成系统的动量守恒10、如以下图所示.甲为沿x 轴传播的一列简谐横波在t=0 时刻的波动图象,乙图为参与波动质点P 的振动图象,那么以下判定正确的选项是( )A.该波的传播速度为4 m/sB. 该波的传播方向沿x 轴正方向C. 通过0.5 s 时刻,质点P 沿波的传播方向向前传播2 mD. 平稳位置x=1.5 m 处的质点在t=0s 到t=2.25s 时刻内的路程为825m11.在滑腻的水平面上有质量相等的A、B两球,其动量别离为10kg·m/s与2kg·m/s,方向均向东,且定为正方向,A球在B球后,当A球追上B球发生正碰,那么相碰以后,A、B两球的动量可能别离为A.6kg·m/s,6kg·m/sB.-4kg·m/s,16kg·m/sC.6kg·m/s,12kg·m/sD.3 kg·m/s,9kg·m/s12. 如下图,三根细线于O点处打结,A、B两头固定在同一水平面上相距为L的两点上,使AOB成直角三角形,∠BAO=30°.已知OC线长是L,下端C点系着一个小球(忽略小球半径),下面说法正确的选项是()A.让小球在纸面内小角度摆动,周期T=2πA BCB.让小球在垂直纸面方向小角度摆动,周期T=2πC.让小球在纸面内小角度摆动,周期T=2πD.让小球在垂直纸面内小角度摆动,周期T=π二、实验题(此题共2小题,每空2分,共12分。
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广东省清远市清城区高三第一学期期末统考(A )卷数学(理)试题(本卷满分150分,时间120分钟)一、选择题(60分,每题5分) 1.若集合==+-==B A x x x B A 则},065{},3,2{2( )A .}3,2{==x xB .)}3,2{(C .{2,3}D .2,32.已知复数ii z ++=1)3(2(i 为虚数单位). 则其共轭复数z 在复平面内所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限 3.已知倾斜角为α的直线l 与直线x -2y+2=0平行,则tan 2α的值为( )A .45 B .34 C .23 D .434.设a ,b R ∈,那么“1ab>”是“0a b >>”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 5.执行如图所示的程序框图,则输出S 的值是( )A.10B. 12C. 100D. 1026.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A. 40B. 30C. 36D.427.如图所示,点)0,1(A ,B 是曲线132+=x y 上一点,向矩形OABC 内随机投一点,则该点落在图中阴影内的概率为( ) A .21 B .31C .41D .528.已知矩形ABCD ,F E 、分别是BC 、AD 的中点,且22BC AB ==,现沿EF 将平面ABEF 折起,使平面ABEF ⊥平面EFDC ,则三棱锥A FEC -的外接球的体积为( ) ABCD. 9.已知函数,)1ln()(2x x a x f -+=在区间(0、1)内任取两个实数P 、q ,且q P ≠,若不等式恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A. []∞+,11 B. []∞+,13 C. []∞+,15 D. []∞+,1710.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π,若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数,则函数()f x 的图象( )A .关于点)0,6(π对称B .关于6π=x 对称C .关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D .关于12x π=对称 11.已知双曲线c :,以右焦点F 为圆心,|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N (异于原点O ),若|MN|=,则双曲线C 的离心率 是( )A ..2 D 11)1()1(>-+-+qP q f P f12.已知函数2f x x bx c =++(),(b ,c ∈R ),集合()()()00{}{|}A x f x B x f f x ====丨,,若存在00x B x A ∈∉,则实数b 的取值范围是( )A .04b ≤≤ B . 0b ≤或4b ≥ C .04b ≤< D .0b <或4b ≥二、填空题(20分,每题5分)13.已知向量 b a , 3且、,)(b b a ⊥+则a 与b 的夹角β为 。
14.已知函数()() 1ln 1 1a x f x x x ≥=-<⎪⎩,,有两个零点,则实数a 的取值范围是 .15.已知()12n n n a +=,删除数列{}n a 中所有能被2整除的数,剩下的数从小到大排成数列{}n b ,则51b = .16.已知函数)(x f 及)(x g )(D x ∈,若对于任意的D x ∈,存在o x 使得)()(),()(o o x g x g x f x f ≥≥恒成立且)()(o o x g x f =,则称)(),(x g x f 为“兄弟函数”已知函数),()(2R q P q Px x x f ∈++=, x x x x g 1)(2+-=是定义在区间]221,⎢⎣⎡上的“兄弟函数”,那么函数)(x f 在区间]221,⎢⎣⎡上的最大值为三、解答题(70分)17.(本小题满分12分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,底面ABC ∆是边长为2的等边三角形,过1AC 作平面1ACD 平行于1BC ,交AB 于D 点. (1)求证:CD AB ⊥;(2)若四边形11BCC B 是正方形,且1A D =,求二面角11D AC B --的余弦值.18.(本小题满分12分)已知函数()()()ln ,f x x h x ax a R ==∈.(1)求函数()()22y af x h x x x =--++的单调区间:(2)是否存在实数m ,使得对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭,都有函数()m y f x x =+的图像在()xe g x x =的图像的下方?若存在,请求出整数m 的最大值;若不存在,请说理由:(参考数据:ln 2 1.3956===)19.(本小题满分12分)某商家对他所经销的一种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近50天的统计结果如下表:若以上表中频率作为概率,且每天的销售量相互独立. (1)求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率;(2)已知每顿该商品的销售利润为2千元,X 表示该种商品某两天销售利润的和(单位:千元),求X 的分布列和数学期望.20.(本小题满分12分)以椭圆()222:11x M y a a +=>的四个顶点为顶点的四边形的四条边与O :221x y +=共有6个交点,且这6个点恰好把圆周六等分.(Ⅰ)求椭圆M 的方程;(Ⅱ)若直线l 与O 相切,且与椭圆M 相交于P ,Q 两点,求PQ 的最大值.xyOCTS D2F ⋅21.(12分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩(其中α为参数),曲线()222:11C x y -+=,以坐标原点O 为极点,x 轴的在半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程;(Ⅱ)若射线6πθ=()0ρ>与曲线12 C C ,分别交于A ,B 两点,求AB .22.(10分)选修4—5:不等式选讲已知函数()a a x x f +-=2.(Ⅰ)若不等式()6≤x f 的解集为{}32|≤≤-x x ,求实数a 的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若存在实数n 使()()n f m n f --≤成立,求实数m 的取值范围.数学(理)答案一、1-12:CADBA CABCA CD 二、13.614.[1 )+∞, 15、 5151 16. 2 三、17、(1)证明见解析;(2解析:(1)证:连结1AC ,设1AC 与1AC 相交于点E , 连接DE ,则E 为1AC 中点,∵1//BC 平面1,ACD DE =平面1ACD 平面1ABC , ∴1//DE BC ,∴D 为AB 的中点, 又∵ABC ∆是等边三角形,∴CD AB ⊥;(2)因为222115AD A A A D +==,所以1A A AD ⊥,又111,//B B BC B B A A ⊥,所以1A A BC ⊥,又AD BC B = ,所以1A A ⊥平面ABC ,设BC 的中点为11,O B C 的中点为1O ,以O 为原点,OB 所在的直线为x 轴,1OO 所在的直线为y 轴,OA 所在的直线为z 轴,建立空间直角坐标系O xyz -.则()(()1111,0,0,0,,,1,2,02C A D B ⎛- ⎝,即(()113,1,,2,2,02CD CA CB ⎛===⎝,设平面1DAC 的法向量为()1111,,n x y z =, 由11100n CD n CA ⎧=⎪⎨=⎪⎩,得1111130220x z x y ⎧=⎪⎨⎪++=⎩,令11x =,得(11,1,n = , 设平面11ACB 的法向量为()2222,,n x y z =, 由212100n CA n CB ⎧=⎪⎨=⎪⎩,得2222220220x y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩,令21x =,得21,n ⎛=- ⎝ ,∴121212cos ,n n n n n n ===18.解:(1)函数()f x 的定义域是()0,+∞,()()()()2221222x a x a x x a a y x a x x x---+-'=---==. 当0a ≤时,()0f x '>对任意()0,x ∈+∞恒成立, 所以,函数()f x 在区间()0,+∞单调递增; 当0a >时,由()0f x '>得2a x >,由()0f x '<得02ax <<, 所以,函数在区间2,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增,在区间0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. (2)假设存在实数m 满足题意,则不等式ln x m e x x x +<对1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立,即ln x m e x x <-对12x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭,恒成立, 令()ln xr x e x x =-,则()ln 1xr x e x '=--,令()ln 1xx e x ϕ=--,则()1x x e xϕ'=-, ∵()x ϕ'在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,()12120,1102e e ϕϕ⎛⎫''=-<=-> ⎪⎝⎭,且()x ϕ'的图象在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上连续, ∴存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭,使得()00x ϕ'=,即0010x e x -=,则00ln x x =-,∴当01,2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()x ϕ单调递减; 当()0,x x ∈+∞时,()x ϕ单调递增,则()x ϕ取到最小值()000001ln 11110xx e x x x ϕ=--=+-≥-=>, ∴()0r x '>,即()r x 在区间1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭内单调递增, 11221111ln ln 2 1.995252222m r e e ⎛⎫≤=-=+= ⎪⎝⎭,∴存在实数m 满足题意,且最大整数m 的值为1 19.解:(1)250.550a ==,150.350b ==, 依题意,随机选取一天,销售量为1.5吨的概率0.5p =, 设5天中该种商品有Y 天的销售量为1.5吨,而~(5,0.5)Y B ,所以22355(2)0.5(10.5)0.312516P Y C ==⨯⨯-==. (2)X 的可能取值为4,5,6,7,8,2(4)0.20.04P X ===,(5)20.20.50.2P X ==⨯⨯=,2(6)0.520.20.30.37P X ==+⨯⨯=,(7)20.30.50.3P X ==⨯⨯=, 2(8)0.30.09P X ===,所以X 的分布列为:X 的数学期望()40.0450.260.3770.38.09 6.2E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(千元).20.本小题主要考查圆的方程、椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、函数与方程思想,分类与整合思想等,满分12分.解法一:(Ⅰ)如图,依题意()()0 1 0 60A B a OAB ∠=︒,,,,.因为tan BO OAB AO∠=,所以1a=,得a =故椭圆的方程为2213x y +=.(Ⅱ)当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为1x =±,代入2213x y +=,得y =,此时PQ =,当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y kx m =+, 因为直线l 与O 1=,即221m k =+.由2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y ,整理得()()222136310k x kmx m +++-=, ()()()22222223612131121324k m k m k m k ∆=-+-=+-=,由0∆>,得0k ≠.设()11 P x y ,,()22 Q x y ,,则122613kmx x k +=-+,()21223113m x x k -=+,所以12x x -==2x =-==()22212213k kk ++≤=+.当且仅当2212k k +=,即1k =±时,PQ 取得最大值综上所述,PQ 的最大值为解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为1x =±.代入2213x y +=,得y =,此时PQ =.当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y kx m =+, 因为直线l 与O1=,即221m k =+.由2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y ,整理得()()222136310k x kmx m +++-=, ()()()22222223612131121324k m k m k m k ∆=-+-=+-=,由0∆>,得0k ≠.设()11 P x y ,,()22 Q x y ,,则122613kmx x k +=-+,()21223113m x x k -=+,所以12x x -==2x =-==令213t k=+,因为0k≠,所以1t>.于是PQ===.由1t>,得101t<<,所以当114t=,即2134k+=,解得1k=±,故1k=±时,PQ取得最大值综上所述,PQ的最大值为21.选修4-4:坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想等,满分12分.解:(Ⅰ)由2xyαα⎧=⎪⎨=⎪⎩得2xyαα⎧=⎪⎨-=⎪⎩,所以曲线1C的普通方程为()2227x y+-=.把cosxρθ=,sinyρθ=,代入()2211x y-+=,得()()22cos1sin1ρθρθ-+=,化简得,曲线2C的极坐标方程为2cosρθ=.(Ⅱ)依题意可设1266A Bππρρ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,.因为曲线1C的极坐标方程为24sin30ρρθ--=,将()06πθρ=>代入曲线1C的极坐标方程得2230ρρ--=,解得13ρ=.同理将()06πθρ=>代入曲线2C的极坐标方程得2ρ=.所以123ABρρ=-=22.解:(Ⅰ)由62≤+-aax得aax-≤-62,∴aaxa-≤-≤-626,即33≤≤-xa,∴23-=-a,∴1=a.(Ⅱ)由(Ⅰ)知()112+-=x x f ,令()()()n f n f n -+=ϕ,则,()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+≤<--≤-=+++-=21,422121,421,4221212n n n n n n n n ϕ∴()n ϕ的最小值为4,故实数m 的取值范围是[)+∞,4.。