广东省清远市清城区2017届高三数学上学期期末考试试题A卷理

广东省清远市清城区高三第一学期期末统考（A ）卷数学（理）试题(本卷满分150分，时间120分钟)一、选择题（60分，每题5分） 1．若集合==+-==B A x x x B A 则},065{},3,2{2（ ）A ．}3,2{==x xB ．)}3,2{(C ．{2，3}D ．2，32.已知复数ii z ++=1)3(2(i 为虚数单位). 则其共轭复数z 在复平面内所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限 3．已知倾斜角为α的直线l 与直线x －2y+2=0平行，则tan 2α的值为（ ）A ．45 B ．34 C ．23 D ．434．设a ，b R ∈，那么“1ab>”是“0a b >>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）A.10B. 12C. 100D. 1026.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 40B. 30C. 36D.427．如图所示，点)0,1(A ，B 是曲线132+=x y 上一点，向矩形OABC 内随机投一点，则该点落在图中阴影内的概率为（ ） A ．21 B ．31C ．41D ．528．已知矩形ABCD ，F E 、分别是BC 、AD 的中点，且22BC AB ==，现沿EF 将平面ABEF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC ，则三棱锥A FEC -的外接球的体积为（ ） ABCD． 9.已知函数,)1ln()(2x x a x f -+=在区间（0、1）内任取两个实数P 、q ，且q P ≠，若不等式恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. []∞+,11 B. []∞+,13 C. []∞+,15 D. []∞+,1710．函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ）A ．关于点)0,6(π对称B ．关于6π=x 对称C ．关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D ．关于12x π=对称 11．已知双曲线c ：，以右焦点F 为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N （异于原点O ），若|MN|=，则双曲线C 的离心率 是（ ）A ．．2 D 11)1()1(>-+-+qP q f P f12．已知函数2f x x bx c =++（），（b ，c ∈R ），集合()()()00{}{|}A x f x B x f f x ====丨，，若存在00x B x A ∈∉，则实数b 的取值范围是（ ）A ．04b ≤≤ B ． 0b ≤或4b ≥ C ．04b ≤< D ．0b <或4b ≥二、填空题（20分，每题5分）13.已知向量 b a , 3且、,)(b b a ⊥+则a 与b 的夹角β为 。

14.已知函数()() 1ln 1 1a x f x x x ≥=-<⎪⎩，，有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．15.已知()12n n n a +=，删除数列{}n a 中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{}n b ，则51b = ．16.已知函数)(x f 及)(x g )(D x ∈，若对于任意的D x ∈，存在o x 使得)()(),()(o o x g x g x f x f ≥≥恒成立且)()(o o x g x f =，则称)(),(x g x f 为“兄弟函数”已知函数),()(2R q P q Px x x f ∈++=, x x x x g 1)(2+-=是定义在区间]221，⎢⎣⎡上的“兄弟函数”，那么函数)(x f 在区间]221，⎢⎣⎡上的最大值为三、解答题（70分）17.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是边长为2的等边三角形，过1AC 作平面1ACD 平行于1BC ，交AB 于D 点． （1）求证：CD AB ⊥；（2）若四边形11BCC B 是正方形，且1A D =，求二面角11D AC B --的余弦值．18.（本小题满分12分）已知函数()()()ln ,f x x h x ax a R ==∈．（1）求函数()()22y af x h x x x =--++的单调区间：（2）是否存在实数m ，使得对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，都有函数()m y f x x =+的图像在()xe g x x =的图像的下方？若存在，请求出整数m 的最大值；若不存在，请说理由：（参考数据：ln 2 1.3956===）19．（本小题满分12分）某商家对他所经销的一种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下表：若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立． （1）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1．5吨的概率；（2）已知每顿该商品的销售利润为2千元，X 表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X 的分布列和数学期望．20.（本小题满分12分）以椭圆()222:11x M y a a +=>的四个顶点为顶点的四边形的四条边与O ：221x y +=共有6个交点，且这6个点恰好把圆周六等分.（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若直线l 与O 相切，且与椭圆M 相交于P ，Q 两点，求PQ 的最大值.xyOCTS D2F ⋅21.（12分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中α为参数），曲线()222:11C x y -+=，以坐标原点O 为极点，x 轴的在半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线6πθ=()0ρ>与曲线12 C C ，分别交于A ，B 两点，求AB .22．（10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()a a x x f +-=2．（Ⅰ）若不等式()6≤x f 的解集为{}32|≤≤-x x ，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n 使()()n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．数学（理）答案一、1-12：CADBA CABCA CD 二、13.614.[1 )+∞， 15、 5151 16. 2 三、17、（1）证明见解析；（2解析：（1）证：连结1AC ，设1AC 与1AC 相交于点E ， 连接DE ，则E 为1AC 中点，∵1//BC 平面1,ACD DE =平面1ACD 平面1ABC ， ∴1//DE BC ，∴D 为AB 的中点， 又∵ABC ∆是等边三角形，∴CD AB ⊥；（2）因为222115AD A A A D +==，所以1A A AD ⊥，又111,//B B BC B B A A ⊥，所以1A A BC ⊥，又AD BC B = ，所以1A A ⊥平面ABC ，设BC 的中点为11,O B C 的中点为1O ，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，1OO 所在的直线为y 轴，OA 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -．则()(()1111,0,0,0,,,1,2,02C A D B ⎛- ⎝，即(()113,1,,2,2,02CD CA CB ⎛===⎝，设平面1DAC 的法向量为()1111,,n x y z =， 由11100n CD n CA ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得1111130220x z x y ⎧=⎪⎨⎪++=⎩，令11x =，得(11,1,n = ， 设平面11ACB 的法向量为()2222,,n x y z =， 由212100n CA n CB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得2222220220x y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，令21x =，得21,n ⎛=- ⎝ ，∴121212cos ,n n n n n n ===18.解：（1）函数()f x 的定义域是()0,+∞，()()()()2221222x a x a x x a a y x a x x x---+-'=---==． 当0a ≤时，()0f x '>对任意()0,x ∈+∞恒成立， 所以，函数()f x 在区间()0,+∞单调递增； 当0a >时，由()0f x '>得2a x >，由()0f x '<得02ax <<， 所以，函数在区间2,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在区间0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减． （2）假设存在实数m 满足题意，则不等式ln x m e x x x +<对1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立，即ln x m e x x <-对12x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，恒成立， 令()ln xr x e x x =-，则()ln 1xr x e x '=--，令()ln 1xx e x ϕ=--，则()1x x e xϕ'=-， ∵()x ϕ'在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()12120,1102e e ϕϕ⎛⎫''=-<=-> ⎪⎝⎭，且()x ϕ'的图象在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上连续， ∴存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00x ϕ'=，即0010x e x -=，则00ln x x =-，∴当01,2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()x ϕ单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()x ϕ单调递增，则()x ϕ取到最小值()000001ln 11110xx e x x x ϕ=--=+-≥-=>， ∴()0r x '>，即()r x 在区间1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭内单调递增， 11221111ln ln 2 1.995252222m r e e ⎛⎫≤=-=+= ⎪⎝⎭，∴存在实数m 满足题意，且最大整数m 的值为1 19.解：（1）250.550a ==，150.350b ==， 依题意，随机选取一天，销售量为1．5吨的概率0.5p =， 设5天中该种商品有Y 天的销售量为1．5吨，而~(5,0.5)Y B ，所以22355(2)0.5(10.5)0.312516P Y C ==⨯⨯-==． （2）X 的可能取值为4，5，6，7，8，2(4)0.20.04P X ===，(5)20.20.50.2P X ==⨯⨯=，2(6)0.520.20.30.37P X ==+⨯⨯=，(7)20.30.50.3P X ==⨯⨯=， 2(8)0.30.09P X ===，所以X 的分布列为：X 的数学期望()40.0450.260.3770.38.09 6.2E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（千元）．20.本小题主要考查圆的方程、椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，分类与整合思想等，满分12分.解法一：（Ⅰ）如图，依题意()()0 1 0 60A B a OAB ∠=︒，，，，.因为tan BO OAB AO∠=，所以1a=，得a =故椭圆的方程为2213x y +=.（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =±，代入2213x y +=，得y =，此时PQ =，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+， 因为直线l 与O 1=，即221m k =+.由2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，整理得()()222136310k x kmx m +++-=， ()()()22222223612131121324k m k m k m k ∆=-+-=+-=，由0∆>，得0k ≠.设()11 P x y ，，()22 Q x y ，，则122613kmx x k +=-+，()21223113m x x k -=+，所以12x x -==2x =-==()22212213k kk ++≤=+.当且仅当2212k k +=，即1k =±时，PQ 取得最大值综上所述，PQ 的最大值为解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =±.代入2213x y +=，得y =，此时PQ =.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+， 因为直线l 与O1=，即221m k =+.由2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，整理得()()222136310k x kmx m +++-=， ()()()22222223612131121324k m k m k m k ∆=-+-=+-=，由0∆>，得0k ≠.设()11 P x y ，，()22 Q x y ，，则122613kmx x k +=-+，()21223113m x x k -=+，所以12x x -==2x =-==令213t k=+，因为0k≠，所以1t>.于是PQ===.由1t>，得101t<<，所以当114t=，即2134k+=，解得1k=±，故1k=±时，PQ取得最大值综上所述，PQ的最大值为21.选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等，满分12分.解：（Ⅰ）由2xyαα⎧=⎪⎨=⎪⎩得2xyαα⎧=⎪⎨-=⎪⎩，所以曲线1C的普通方程为()2227x y+-=.把cosxρθ=，sinyρθ=，代入()2211x y-+=，得()()22cos1sin1ρθρθ-+=，化简得，曲线2C的极坐标方程为2cosρθ=.（Ⅱ）依题意可设1266A Bππρρ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，.因为曲线1C的极坐标方程为24sin30ρρθ--=，将()06πθρ=>代入曲线1C的极坐标方程得2230ρρ--=，解得13ρ=.同理将()06πθρ=>代入曲线2C的极坐标方程得2ρ=.所以123ABρρ=-=22．解：（Ⅰ）由62≤+-aax得aax-≤-62，∴aaxa-≤-≤-626，即33≤≤-xa，∴23-=-a，∴1=a．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()112+-=x x f ，令()()()n f n f n -+=ϕ，则，()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+≤<--≤-=+++-=21,422121,421,4221212n n n n n n n n ϕ∴()n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是[)+∞,4．。