中考数学总复习课件(专题4：几何证明与计算).
初中数学总复习几何课件
A
A A’
B
C B B’ C C’
（一）重视对性质的再认识
问题：如何构造一个和△ABC面积
相等的三角形？
A
A
B
C
A’
B
C
B’
（一）重视对性质的再认识
问题：如何构造一个和△ABC面积
相等的三角形？
A
A
·O
A’
B
C C’
B
C
B’
（一）重视对性质的再认识
问题：如何构造一个和△ABC面积
相等的三角形？
（一）关于如何用数学符号语言描 述图形特征的问题. （二）关于如何在复杂图形中识别 基本图形的问题.
二、从学生学习过程中发现的问题
（一）关于如何用数学符号语言描 述图形特征的问题. （二）关于如何在复杂图形中识别 基本图形的问题. （三）关于如何恰当的添加辅助线 的问题.
（一）关于如何用数学符号语言 描述图形特征的问题
图1
图2
（三）落实图形中几何
量的证明和计算
图3
L
··F·AP··Q M
BE D C BE
图4
A
12
F
DC
（三）落实图形中几何 量的证明和计算
Q
A
F G
B
E
D
C
（三）落实图形中几何 量的证明和计算 A
F HG
BE
D
C
（四）重视变换的应用
例3 已知：如图，在△ABC中， ∠ABC=90o ，点E在AB上，且 ADEC==BACB，. 点D在BC延长线上，且A 求：AC与DE的夹角度数.
F
BE
DC
G
（三）落实图形中几何 量的证明和计算 A 12 3F
2019年云南中考数学二轮复习-4.题型六 几何图形的证明与计算课件
( 2 )证明：如解图②，延长AE交BC的延长线于H . ∵四边形ABCD是平 行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠H，∠ADE＝∠HCE.
∵E是CD的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△HCE，∴CH＝AD，
可得到四边形ABCD是矩形，再结合∠AEB＝∠AFB，借助四点共圆得到
AF是直径，即可利用勾股定理求出AF的长来解决问题．
( 3 )解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC, ∠ADC＋∠BCD
＝180°.∵E是CD的中点，∴DE＝CE， ∵BE＝AE，∴△ADE≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是矩形．
( 2 )请判断四边形PMBN的形状，并的形状：根据已知条件，可用“两组对 边分别平行的四边形是平行四边形”先证其是平行四边形，再结合折叠性
质得出MP＝MB，从而得到四边形PMBN是菱形．
( 2 )解：四边形PMBN是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
设CF＝x，则AF＝AD＋CF＝5＋x，BF＝BC－CF＝5－x， 在Rt△ABF中，由勾股定理得AF2＝AB2＋BF2， 即(5＋x)2＝42＋(5－x)2，解得x＝
4 29 ，则AF＝ . 5 5
由( 2 )知∠AFB＝2∠H， 过点E作EG⊥AB于G，
则EG垂直平分AB，从而EG平分∠AEB，且EG∥BH， 则∠AEG＝∠BEG＝∠H，
【思维教练】由平行四边形面积公式和三角形面积公式可知，过点E作 AB的垂线即可建立△ABE与平行四边形ABCD面积之间的关系．
如解图①，过点E作EG⊥AB于G，
1 则S△ABE＝ AB· EG＝30， 2
《初中几何证明题》课件
提高练习题
总结词：能力提升
详细描述：提高练习题是在基础练习题的基础上，进一步加深对几何证明题的理解和应用。这些题目 通常涉及多个知识点，需要学生综合运用所学知识进行解答，有助于提高学生的思维能力和解题技巧 。
竞赛练习题
总结词
挑战与突破
VS
详细描述
竞赛练习题是针对初中数学竞赛的几何证 明题，难度较大，对学生的思维能力和解 题技巧提出了更高的要求。这些题目通常 需要学生突破常规思维，寻找独特的解题 方法，有助于培养学生的创新思维和解决 问题的能力。
反证法
总结词
通过假设结论不成立，然后推导出矛盾，从而证明结论成立 。
详细描述
反证法是一种常用的证明方法。首先假设结论不成立，然后 在此基础上进行推理和计算，如果推导出矛盾，则说明假设 不成立，从而证明结论成立。
综合法与分析法
总结词
综合法是从已知条件出发，逐步推导到结论；分析法是从结论出发，逐步推导到已知条 件。
05
几何证明题总结与反思
总结几何证明题的解题思路
明确已知条件和求证目标
在解题前，应仔细阅读题目，明确已 知的条件和需要证明的目标，以便确 定解题方向。
分析图形结构
根据题目的描述，分析图形的结构， 包括角度、线段、平行、垂直等关系 ，为解题提供依据。
选择合适的证明方法
根据图形的结构和已知条件，选择合 适的证明方法，如利用全等三角形、 相似三角形、勾股定理等。
逐步推导
根据选择的证明方法，逐步推导所需 证明的结论，每一步推导都要有明确 的逻辑依据。
反思几何证明题的常见错误与注意事项
常见错误
在解题过程中，容易出现一些常 见的错误，如混淆已知条件和求 证目标、忽略图形的结构、选择 错误的证明方法等。
人教版八年级数学上册：第三部分 专题探究 专题四 几何证明专题 ppt课件
〔2〕解：△ABE是等边三角形. 理由如下. ∵BC是线段AE的垂直平分线， ∴BA=BE,即△ABE是等腰三角形. 又∵∠CAB=60°， ∴△ABE是等边三角形.
5. 如图3-4-10,知：在△ABC中，∠B，∠C的平分线相交 于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，求 证：BE+CF=EF. 证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD=∠DBC. ∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC. ∴∠EDB=∠EBD. ∴DE=BE. 同理，CF=DF. ∴EF=DE+DF=BE+CF， 即BE+CF=EF.
第三部分 专题探求
专题四 几何证明专题
考点突破
考点一: 证明三角形全等 【例1】如图3-4-1所示，在△ABC中，AD⊥BC， CE⊥AB，垂足分别为点D，E，AD，CE相交于点H， 假设AE=CE，求证：△AEH≌△CEB. 证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEH=∠CEB=90°， ∠EAH=90°-∠B，∠ECB=90°-∠B. ∴∠EAH=∠ECB. 在△AEH和△CEB中， ∴△AEH≌△CEB〔ASA〕.
根底训练
6. 如图3-4-11，AB=CD，BC=DA，点E，F在AC上， 且AE=CF. 试阐明：△BCF≌△DAE. 证明：在△ABC和△CDA中， ∴△ABC≌△CDA〔SSS〕. ∴∠ACB=∠CAD. 在△BCF和△DAE中，
∴△BCF≌△DAE〔SAS〕.
7. 如图3-4-12，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分 ∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点 F. 求证：DE=BF. 证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠1=∠2. ∵DE⊥AC，∠ABC=90°,∴DE=BD. 可证△BCD≌△ECD, ∴∠3=∠4. ∵BF∥DE，∴∠4=∠5. ∴∠3=∠5. ∴BD=BF. ∴DE=BF.
中考数学几何总复习1(PPT)5-4
【彩绸】名彩色的丝绸。 【彩带】名彩色的丝绸带子。 【彩旦】名戏曲中扮演女性的丑角。年龄比较老的也叫丑婆子。 【彩蛋】名
⑷互为余角: 两个角的和是一个直角,这两个角互 为余角。
在森林中砍伐树木，采集木材：～林木。 【采访】动搜集寻访；调查访问：～新闻｜加强图书～工作｜记者来～劳动模范。 【采风】∥动搜集民歌。 【采购】 ①动选择购买（多指为机关或企业）：～员｜～建筑材料。②名担任采购工作的人：他在食堂当～。 【采光】动通过设计门窗的大小和建筑物的结构，使建
筑物内部得到适宜的自然；高三辅导https:/// ；光照。 【采集】动收集；搜罗：～标本｜～民间歌谣。 【采景】动为摄影或写生寻找、选择 景物。 【采掘】动挖取；开采（矿物）：～金矿｜加快～进度。 【采矿】∥动把地壳中的矿物开采出来。有露天采矿和地下采矿两类。 【采莲船】名见页 〖跑旱船〗。 【采录】动①采集并记录：～民歌。②采访并录制：电视台～了新年晚会节目。 【采买】动选择购买（物品）。 【采纳】动接受（意见、建
∠A 、∠B 互为余角 <====> A B 90
⑸互为补角: 两个角的和是一个平角,这两个角互 为补角。
∠A 、∠B 互为补角 <====> A B 180
⑹同角(或等角)的余角相等；同角பைடு நூலகம்或等角)的补角 相等。
⑺对顶角: 对顶角相等。
议、要求）：～群众意见。 【采暖】动通过设计建筑物的防寒取暖装置，使建筑物内部得到适宜的取暖温度。 【采取】动①选择施行（某种方针、政策、措
施、手段、形式、态度等）：～守势｜～紧急措施。②取：～指纹。 【采认】动承认：～学历。 【采收】动采摘收获；采集收取。 【采撷】〈书〉动①采 摘：～野果。②采集。 【采写】动采访并写出：好人好事，要及时～，及时报道。 【采血】∥动为检验等目的，从人和动物的血管采取血液。 【采信】动相 信（某种事实）并用来作为处置的依据：被告的陈述证据不足，法庭不予～。 【采样】动采集样品；取样：食品～检查。 【采用】动认为合适而使用：～新 工艺｜～举手表决方式｜那篇稿子已被编辑部～。 【采油】∥动开采地下的石油。 【采择】动选取；选择：提出几种方案，以供～。 【采摘】动摘取（花儿、 叶子、果子）：～葡萄｜～棉花。 【采制】动①采集加工：～春茶。②采访并录制：～电视新闻。 【采种】∥动采集植物的种子。 彩（②綵）①颜色： 五～｜～云。②彩色的丝绸：剪～｜张灯结～。③称赞夸奖的欢呼声：喝～｜博得满堂～。④花样；精彩的成分：丰富多～。⑤名或某种游戏中给得胜者的 东西：得～｜中～｜～票。⑥戏曲里表示特殊情景时所用的技术；魔术里用的手法：火～｜带～｜～活。⑦指负伤流的血：挂～｜～号。⑧（）名姓。 【彩
广东省2022年中考数学总复习指导课件：第2部分 专题4 第2讲 三角形或四边形的计算与证明
30
第一部分 专题四 中档解答题——提分练
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3．(2020 海珠区一模)如图，已知△ABC 中， AB＝BC＝10，tan∠ABC＝34．
【思路点拨】(1)根据SAS可证明△AHB≌△AGC； (2)①证明△AEH≌△AFG(SAS)，可得∠AFG＝∠AEH＝45°，从而 根据两角的和可得结论；②分两种情况：(i)AQ＝QG时，(ii)当AG＝QG 时，分别根据等腰三角形的性质可得结论． (1)证明：由旋转得AH＝AG，∠HAG＝90°． ∵∠BAC＝90°，∴∠BAH＝∠CAG． ∵AB＝AC，∴△ABH≌△ACG(SAS)．
第一部分 专题四 中档解答题——提分练
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26
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1．(2020孝感)如图，在□ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在
CD的延长线上，满足BE＝DF．连接EF，分别与BC，AD交于点G， H．求证：EG＝FH．
27
第一部分 专题四 中档解答题——提分练
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证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA． ∴∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F．
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第一部分 专题四 中档解答题——提分练
解：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠FCO＝∠EAO． ∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)， ∴OE＝OF＝32，∴EF＝2OE＝3． (2)四边形 AECF 是菱形，理由如下： ∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF． ∵AE∥CF，∴四边形 AECF 是平行四边形． ∵EF⊥AC，∴四边形 AECF 是菱形．
专题04 几何计算与几何证明(解析版)
专题04几何计算与几何证明【提要】平面几何是培养训练人的逻辑思维能力的很好的工具，也是初中数学学习内容的重要组成部分，因此它是初中数学学业考试的重要内容之一．在平面几何中，除了一些证明题外，还有一些计算问题，它也是要经过一定的逻辑推理后，再进行计算．因此熟练掌握几何中的一些重要定义、定理，是解决问题的前提．另外还需注意的是，要把解决常见问题的基本方法加以归类整理，比如证明角相等有哪些常见的方法？证明线段相等有哪些常见的方法？这样在遇到复杂问题时，我们才能运用化归的思想，分析和解决问题．【范例】【例1】如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE.(1)求证：△ABC≌△EAD；(2)若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．【解析】(1)【证明】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠AEB＝∠DAE.∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B.∴∠CBA＝∠DAE.∴△ABC≌△EAD.(2)【解析】∵∠DAE＝∠BAE，∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB＝∠B.∴△ABE为等边三角形．∴∠BAE ＝60°.∵∠EAC ＝25°，∴∠BAC ＝85°.∵△ABC ≌△EAD ，∴∠AED ＝∠BAC ＝85°.【例2】两个全等的含30°，60°角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E 、A 、C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME 、MC ，试判断△EMC 的形状，并说明理由．【解析】△EMC 的形状是等腰直角三角形．证明：连接AM .∵∠DAE ＝∠ABC ＝30°，∠BAC ＝∠ADE ＝60°.∴∠DAB ＝90°.又∵DM ＝MB ，∴MA ＝DB ＝DM .12∵AD ＝AB ，∴∠MAD ＝∠MAB ＝∠MDA ＝45°，∠DMA ＝90°.∴∠MDE ＝∠MAC ＝105°.∴△EDM ≌△CAM .∴EM ＝MC ，∠DME ＝∠AMC .又∠DME ＋∠EMA ＝90°，∴∠EMA ＋∠AMC ＝90°.∴CM ⊥EM .∴△EMC 是等腰直角三角形．【例3】如图，已知：在△ABC 中，D 是边BC 上的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：CF ＝AB ；12(2)若△FCD 的面积＝5，BC ＝10，求DE 的长．(1)【证明】取AC 的中点G ，连接DG .∵D 是BC 的中点，∴DG ∥AB ，DG ＝AB12∵DE ⊥BC ，∴DE 是BC 的垂直平分线，BE ＝CE ，∠EBC ＝∠ECB ，∵∠GDC ＝∠EBC ，∴∠GDC ＝∠ECB .由AD ＝AC ，得∠ACD ＝∠ADC 在△GDC 和△FCD 中，∠GDC ＝∠FCD ，∠GCD ＝∠FDC ，DC ＝CD ，得△GDC ≌△FCD ，∴DG ＝CF ，∴CF ＝AB .12(2)【解析】作AH ⊥DC ，垂足为H ，则DH ＝CH .∵△GDC ≌△FCD ，∴CG ＝DF ＝AC ＝AD ，1212∴F 是AD 的中点，∵S △FCD ＝5，BC ＝10，∴S △FCA ＝5，DC ＝5，DH ＝，S △ADC ＝1052∵S △ADC ＝DC ·AH ，12∴AH ＝4，∵ED ∥AH ，∴＝ED AH BD BH ED ＝＝＝，∴DE ＝.AH ·BDBH 4×51528383【例4】如图(1)，已知⊙O 的弦AB 垂直于直径CD ，垂足为F ，点E 在AB 上，且EA ＝EC .(1)求证：AC 2＝AE ·AB ；(2)延长EC 到点P ，连接PB ，如果PB ＝PE ，试判断PB 与⊙O的位置关系，并说明理由．(1)【证明】连接BC .∵直径CD ⊥AB ，∴AF ＝BF .∴AC ＝BC .∴∠A ＝∠ABC .又∵EA ＝EC ，∴∠A ＝∠ACE .∴∠ABC ＝∠ACE .∵∠A ＝∠A ，∴△ACE ∽△ABC .∴＝，即AC 2＝AE ·AB .AEAC ACAB(2)【解析】连接OB.∵PB＝PE，∴∠PBE＝∠PEB，即∠PBC＋∠EBC＝∠A＋∠ECA.∴∠PBC＝∠EBC＝∠A＝∠ECA.又∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.而∠OCB＋∠EBC＝90°.∴∠OBC＋∠PBC＝90°，即∠OBP＝90°.∴OB⊥PB，∴PB与⊙O的位置关系是相切．【例5】如图(1)，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG 为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H.(1)求证：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE.(2)试问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？请说明理由．(1)【证明】∵四边形ABCD、四边形GCEF都是正方形，∴BC＝DC，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE，∴△BCG≌△DCE.∴∠CBG＝∠CDE.∵∠BGC ＝∠DGH ，∴∠DHG ＝∠BCG ＝90°，即BH ⊥DE .(2)【解析】连接EG .(如图(2))要使BH 垂直平分DE ，必须有GE ＝GD .设CG ＝x .那么GE ＝x ，DG ＝1－x .2∴x ＝1－x .2解得x ＝－1，即当CG ＝－1时，BH 垂直平分DE .22【训练】1．（2020•宝山区一模）如图，直线，点坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，:l y =1A (1,0)1A x l 1B 以原点为圆心，为半径画弧交轴于点；再过点作的垂线交直线于点，以原点为圆O 1OB x 2A 2A x l 2B O 心，长为半径画弧交轴于点，，按此做法进行下去．2OB x 3A ⋯求：（1）点的坐标和的度数；1B 11A OB ∠（2）弦的弦心距的长度．43A B【分析】（1）求出的值，即可解决问题．11tan A OB ∠11A B （2）连接，作于．求出即可．43A B 43OH A B ⊥H OH【解答】解：（1）直线的解析式，y =11111tan A B A OB OA ∴∠==，，1160A OB ∴∠=︒11OA =，，11A B ∴=212OA OB ==．1B ∴（2）连接，作于．43A B 43OH A B ⊥H 由题意，，，，11OA =22OA =34OA =48OA =，，43OA OB = 43OH A B ⊥，4431302A OH A OB ∴∠=∠=︒．4cos308OH OA ∴=︒==2．（2020•奉贤区一模）如图，已知是的直径，是上一点，，垂足为点，是AB O C O CD AB ⊥D E 的中点，与弦交于点． BCOE BC F （1）如果是的中点，求的值；CAE :AD DB （2）如果的直径，，求的长．O 6AB =:1:2FO EF =CD【分析】（1）连接，根据垂径定理的推论得到，，根据含的直角三角形的OC OE BC ⊥ AC ECEB ==30︒性质计算；（2）根据勾股定理求出，得到的长，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，BF BC BFO BDC ∆∆∽代入计算得到答案．【解答】解：（1）连接，OC 是的中点，E BC，，∴ ECEB =OE BC ⊥是的中点，C AE ，∴AC EC =，∴AC EC EB ==，60AOC COE EOB ∴∠=∠=∠=︒，30OCD ∴∠=︒在中，，Rt COD ∆30OCD ∠=︒，12OD OC ∴=；:1:3AD DB ∴=（2），，6AB = :1:2FO EF =，1OF ∴=在中，，Rt BOF ∆BF ===，BC ∴=，，CD AB ⊥ OE BC ⊥，又，90BDC BFO ∴∠=∠=︒B B ∠=∠，BFO BDC ∴∆∆∽，∴BO OFBC CD =1CD=解得，．CD =3．（2020•黄浦区一模）如图，是边长为2的等边三角形，点与点分别位于直线的两侧，且ABC ∆D B AC ，连接、，交直线于点．AD AC =BD CD BD AC E （1）当时，求线段的长．90CAD ∠=︒AE （2）过点作，垂足为点，直线交于点，A AH CD ⊥H AH BD F①当时，设，（其中表示的面积，表示的面积），求120CAD ∠<︒AE x =BCEAEFS y S ∆∆=BCE S ∆BCE ∆AEF S ∆AEF ∆关于的函数关系式，并写出的取值范围；y x x ②当时，请直接写出线段的长．7BCEAEFS S∆∆=AE 【分析】（1）过点作，垂足为点．，则．根据构建方程求出即E EG BC ⊥G AE x =2EC x =-BG EG =x 可解决问题．（2）①证明，可得，由此构建关系式即可解决问题．AEF BEC ∆∆∽22BCE AEF S BE S AE ∆∆=②分两种情形：当时，当时，分别求解即可解决问题．120CAD ∠<︒120180CAD ︒<∠<︒【解答】解：（1）是等边三角形，ABC ∆ ，．2AB BC AC ∴=-=60BAC ABC ACB ∠=∠=∠=︒，AD AC = ，AD AB ∴=，ABD ADB ∴∠=∠，，，180ABD ADB BAC CAD ∠+∠+∠+∠=︒ 90CAD ∠=︒15ABD ∠=︒．45EBC ∴∠=︒过点作，垂足为点．E EG BC ⊥G设，则．AE x =2EC x =-在中，，Rt CGE ∆60ACB ∠=︒，，∴sin )EG EC ACB x =∠=- 1cos 12CG EC ACB x =∠=- ，1212BG CG x ∴=-=+在中，，Rt BGE ∆45EBC ∠=︒，∴11)2x x +=-解得．4x =-所以线段的长是．AE 4-（2）①设，则，．ABD α∠=BDA α∠=1202DAC BAD BAC α∠=∠-∠=︒-，，AD AC = AH CD ⊥，∴1602CAF DAC α∠=∠=︒-又，60AEF α∠=︒+ ，60AFE ∴∠=︒，AFE ACB ∴∠=∠又，AEF BEC ∠=∠ ，AEF BEC ∴∆∆∽，∴22BCE AEF S BE S AE ∆∆=由（1）得在中，，，Rt CGE ∆112BG x =+)EG x =-，222224BE BG EG x x ∴=+=-+．∴2224(02)x x y x x -+=<<②当时，120CAD ∠<︒，则有，7y =22247x x x -+=整理得，2320x x +-=解得或（舍弃），23x =1-．23AE =当时，同法可得120180CAD ︒<∠<︒2224x x y x ++=当时，，7y =22247x x x ++=整理得，2320x x --=解得（舍弃）或1，23x =-．1AE ∴=4．（2020•闵行区一模）如图，梯形中，，，，，ABCD //AD BC 90ADC ∠=︒2AD =4BC =tan 3B =．以为直径作，交边于、两点．AB O DC E F（1）求证：；DE CF =（2）求：直径的长．AB【分析】（1）直接利用垂径定理结合平行线分线段成比例定理得出，进而得出答案；DH HC =（2）过点作，垂足为点，再利用已知结合勾股定理得出答案．A AG BC ⊥G 【解答】（1）证明：过点作，垂足为．O OH DC ⊥H ，，，//AD BC 90ADC ∠=︒OH DC ⊥．90BCN OHC ADC ∴∠=∠=∠=︒．////AD OH BC ∴又．OA OB = ．DH HC ∴=，过圆心，OH DC ⊥ OH ，EH HF ∴=．DH EH HC HF ∴-=-即：．DE CF =（2）解：过点作，垂足为点，，A AG BC ⊥G 90AGB ∠=︒，90AGB BCN ∠=∠=︒ ．//AG DC ∴，//AD BC ．AD CG ∴=，，2AD = 4BC =．2BG BC CG ∴=-=在中，，Rt AGB ∆tan 3B = ．tan 236AG BG B ∴==⨯= 在中，Rt AGB ∆222AB AG BG =+AB ∴=5．（2020•奉贤区一模）如图，在平行四边形中，点在边上，点在边的延长线上，连接ABCD E AD F CB 、，．CE EF 2CE DE CF = （1）求证：；D CEF ∠=∠（2）连接，交于点，如果平分，求证：．AC EF G AC ECF ∠AC AE CB CG =【分析】（1）根据且可证明，即可得结论；2CE DE CF = DEC ECF ∠=∠CDE CEF ∆∆∽（2）根据平分，，可得，进而得，再证明，对AC ECF ∠//AD BC EAC ECA ∠=∠E EC =CGE CAB ∆∆∽应边成比例即可．【解答】（1）证明：，即2CE DE CF = CE CFDE CE=四边形为平行四边形， ABCD ，，//AD BC ∴DEC ECF ∴∠=∠，CDE CEF ∴∆∆∽．D CEF ∴∠=∠（2）如图所示：平分，，AC ECF ∠ECA BCA ∴∠=∠，，D CEF ∠=∠ D B ∠=∠，CEF B ∴∠=∠，CGE CAB ∴∆∆∽，∴CG CEAC CB=，，//AD BC DAC BCA ∴∠=∠，ECA DAC ∠=∠ ，AE CE ∴=，即．∴CG AEAC CB=AC AE CB CG = 6．（2020•崇明区一模）如图，是的直径，弦于点，连接，过点作于AC O BD AO ⊥E BC O OF BC ⊥点，，．F 8BD =2AE =（1）求的半径；O （2）求的长度．OF【分析】（1）连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理计算，得到答案；OB BE （2）根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，根据勾股定理计算，得到答案．BC BF 【解答】解：（1）连接，OB 设的半径为，则，O x 2OE x =-，OA BD ⊥ ，142BE ED BD ∴===在中，，即，Rt OEB ∆222OB OE BE =+222(2)4x x =-+解得，，即的半径为5；5x =O（2）在中，，Rt CEB ∆BC ===，OF BC ⊥12BF BC ∴==．OF ∴==7．（2020•嘉定区一模）如图，在中，、是两条弦，的半径长为，弧的长度为O AB CD O rcm AB 1l cm ，弧的长度为（温馨提醒：弧的度数相等，弧的长度相等，弧相等，有联系也有区别）．当CD 2l cm 12l l =时，求证：．AB CD =【分析】根据弧长公式求得，然后利用证得，即可证得结论．AOB COD ∠=∠ASA AOB COD ∆≅∆【解答】解：设，，AOB m ∠=︒COD n ∠=︒由题意，得，，1180mr l π=2180nr l π=，，BG FH DG CH =∴180180mr nr ππ=，即，m n ∴=AOB COD ∠=∠、、、都是的半径，OA OB OC OD O ，OA OB OC OD ∴===，，，OA OC = AOB COD ∠=∠OB OD =()AOB COD SAS ∴∆≅∆．AB CD ∴=8．（2020•徐汇区一模）如图，在中，，，点是边上的动点（点不与点ABC ∆5AB AC ==6BC =D AB D 重合），点在边的延长线上，，，与边交于点．AB G AB CDE A ∠=∠GBE ABC ∠=∠DE BC F （1）求的值；cos A （2）当时，求的长；2A ACD ∠=∠AD （3）点在边上运动的过程中，的值是否会发生变化？如果不变化，请求的值；如D AB :AD BE :AD BE果变化，请说明理由．【分析】（1）作于，于．解直角三角形求出，即可解决问题．AH BC ⊥H BM AC ⊥M BM AM （2）设交于．首先证明，设，在中，理由勾股定理求出，再AH CD K AK CK =AK CK x ==Rt CHK ∆x 证明，理由相似三角形的性质构建方程组即可解决问题．ADK CDA ∆∆∽（3）结论：值不变．证明，可得．:5:6AD BE =ACD BCE ∆∆∽56AD AC BE BC ==【解答】解：（1）作于，于．AH BC ⊥H BM AC ⊥M ，，AB AC = AH BC ⊥，3BH CH ∴==，4AH ∴===，1122ABC S BC AH AC BM ∆== ，245BC AH BM AC ∴==，75AM ∴===．7cos 25AM A AB ∴==（2）设交于．AH CD K ，，2BAC ACD ∠=∠ BAH CAH ∠=∠，CAK ACK ∴∠=∠，设，CK AK ∴=CK AK x ==在中，则有，Rt CKH ∆222(4)3x x =-+解得，258x =，258AK CK ∴==，，ADK ADC ∠=∠ DAK ACD ∠=∠，ADK CDA ∴∆∆∽，设，，∴255858AD AK DK CD AC AD ====AD m =DK n =则有，解得，．25258825()8mn m n n ⎧=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩12539m =625312n =．12539AD ∴=（3）结论：值不变．:5:6AD BE =理由：，，，GBE ABC ∠=∠ 2180BAC ABC ∠+∠=︒180GBE EBC ABC ∠+∠+∠=︒，EBC BAC ∴∠=∠，EDC BAC ∠=∠ ，EBC EDC ∴∠=∠，，，四点共圆，D ∴B E C ，EDB ECB ∴∠=∠，，EDB EDC ACD DAC ∠+∠=∠+∠ EDC DAC ∠=∠，EDB ACD ∴∠=∠，ECB ACD ∴∠=∠，ACD BCE ∴∆∆∽．∴56AD AC BE BC ==9．（2019•杨浦区三模）已知，在和中，，，，为ACB ∆DCE ∆90ACB DCE ∠=∠=︒AC BC =DC EC =M 的中点，连接．DE BE （1）如图1，当点、、在同一直线上，连接，求证：；A D E CM 22AE BECM =-（2）如图2，当点在边上时，连接，求证：．D AB BM 222()(22AD BD BM =+【分析】（1）先证明，根据全等三角形的性质得出，，得出ACD BCE ∆≅∆AD BE =，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，即可得出结论；AE AD AE BE DE -=-=12CM DE =（2）同（1）得：，得出，，得出ACD BCE ∆≅∆AD BE =45DAC EBC ∠=∠=︒，由勾股定理得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出90ABE ABC EBC ∠=∠+∠=︒222DE BE BD =+，即可得出结论．2DE BM =【解答】（1）证明：，，90ACB DCE ∠=∠=︒ AC BC =，，90ACD BCE DCB ∴∠=∠=︒-∠45BAC ABC ∠=∠=︒在和中，，ACD ∆BCE ∆AC BCACD BCEDC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，AD BE ∴=，AE AD AE BE DE ∴-=-=为的中点，，M DE 90DCE ∠=︒；11()2222AE BECM DE AE AD ∴==-=-（2）证明：同（1）得：，ACD BCE ∆≅∆，，AD BE ∴=45DAC EBC ∠=∠=︒，90ABE ABC EBC ∴∠=∠+∠=︒，222DE BE BD ∴=+为的中点，M DE，222224BM BE BD AD BD ∴=+=+．222()(22AD BD BM ∴=+10．（2019•静安区二模）已知：如图，内接于，，点为弦的中点，的延长ABC ∆O AB AC =E AB AO 线交于点，连接．过点作交于点．BC D ED B BF DE ⊥AC F （1）求证：；BAD CBF ∠=∠（2）如果．求证：．OD DB =AF BF =【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，由垂径定理得出，，证出是ABC C ∠=∠AD BC ⊥BD CD =DE 的中位线．得出，证出，由角的互余关系即可得出结论；ABC ∆//DE AC 90BFC ∠=︒（2）连接．证出是等腰直角三角形，得出．再由等腰三角形的性质得出OB ODB ∆45BOD ∠=︒．即可得出结论．OBA OAB ∠=∠【解答】（1）证明：如图1所示：，，AB AC = ABC C ∴∠=∠直线经过圆心， AD O ，，AD BC ∴⊥BD CD =点为弦的中点，E AB 是的中位线．DE ∴ABC ∆，//DE AC ∴，BF DE ⊥ ，90BPD ∴∠=︒，90BFC ∴∠=︒．90CBF ACB ∴∠+∠=︒，AB AC = ，ABC ACB ∴∠=∠，90CBF ABC ∴∠+∠=︒，90BAD ABC ∴∠+∠=︒；BAD CBF ∴∠=∠（2）证明：连接．如图2所示：OB ，，AD BC ⊥ OD DB =是等腰直角三角形，ODB ∴∆．45BOD ∴∠=︒，OB OA = ．OBA OAB ∴∠=∠，BOD OBA OAB ∠=∠+∠ ，122.52BAO BOD ∴∠=∠=︒，且，AB AC = AD BC ⊥．245BAC BAO ∴∠=∠=︒，即，290∠=︒ BF AC ⊥在中，，∴ABF ∆904545ABF ∠=︒-︒=︒，ABF BAC ∴∠=∠．AF BF ∴=11．（2019•嘉定区二模）如图已知：中，是边上的高、是边的中点，，ABC ∆AD BC E AC 11BC =，为边长为4的正方形，其中点、、分别在、、上．12AD =DFGH F G H AD AB BC（1）求的长度；BD （2）求的值．cos EDC ∠【分析】（1）由四边形为边长为4的正方形得，将相关线段的长度代入计算可得；DFGH GF AF BD AD=（2）先求出、的长，再由是边的中点知，据此得，再根据余弦函CD AC E AC ED EC =EDC ACD ∠=∠数的定义可得答案．【解答】解：（1）四边形为顶点在边长的正方形，且边长为4， DFGH ABD ∆，，//GF BD ∴4GF DF ==，∴GF AF BD AD=，12AD = ，8AF ∴=则，4812BD =解得：；6BD =（2），，11BC = 6BD =，5CD ∴=在直角中，，ADC ∆222AC AD DC =+，13AC ∴=是边的中点，E AC ，ED EC ∴=，EDC ACD ∴∠=∠．∴5cos cos 13EDC ACD ∠=∠=12．（2019•松江区二模）如图，已知中，，，垂足为点，延长、交ABCD AB AC =CO AD ⊥O CO BA 于点，连接．E DE（1）求证：四边形是菱形；ACDE （2）连接，交于点，如果，求证：．OB AC F OF OC =22AB BF BO =【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，再证明即可解决问题．AEDC AE AC =（2）证明，可得解决问题．BAF BOE ∆∆∽BA BF BO BE=【解答】（1）证明：，CO BC ⊥ ，90BCE ∴∠=︒，AB AC = ，B ACB ∴∠=∠，，90AEC B ∠+∠=︒ 90ACE ACB ∠+∠=︒，ACE AEC ∴∠=∠，AE AC ∴=，AE AB ∴=四边形是平行四边形，ABCD ，，//BE CD ∴AB CD AE ==四边形是平行四边形，∴AEDC ，AE AC = 四边形是菱形．∴AEDC （2）解：连接交于．OB AC F 四边形是菱形，AEDC ，AEC ACE ∴∠=∠，OF OC = ，OFC OCF AFB ∴∠=∠=∠，AFB AEO ∴∠=∠，ABF OBE ∠=∠，∴BA BF BO BE=，BA BE BF BO ∴= ，2BE BA = ．22AB BF BO ∴=13．（2019•奉贤区二模）已知：如图，正方形，点在边上，，垂足为点，点在ABCD E AD AF BE ⊥F G 线段上，．BF BG AF =（1）求证：；CG BE ⊥（2）如果点是的中点，连接，求证：．E AD CF CF CB =【分析】（1）证明，通过角的代换即可得到，即；AFB BGC ∆≅∆90BGC ∠=︒CG BE ⊥（2）先证明，得到，根据中点线段关系结合比例式推导出，又AEB FAB ∆∆∽AE AF AB BF=FG BG =，所以．CG BE ⊥CF CB =【解答】证明：（1）四边形是正方形，ABCD ，．AB BC ∴=90ABC ∠=︒，AF BE ⊥ ．90FAB FBA ∴∠+∠=︒，90FBA CBG ∠+∠=︒ ．FAB CBG ∴∠=∠又，AF BG = ．()AFB BGC SAS ∴∆≅∆，．90BGC ∴∠=︒CG BE ∴⊥（2），，ABF EBA ∠=∠ 90AFB BAE ∠=∠=︒．AEB FAB ∴∆∆∽．∴AE AF AB BF=点是的中点，，E AD AD AB =．∴12AE AF AB BF ==，AF BG = ，即．∴12BG BF =FG BG =，CG BE ⊥ ．CF CB ∴=14．（2019•金山区二模）已知：如图，菱形的对角线与相交于点，若．ABCD AC BD O CAD DBC ∠=∠（1）求证：四边形是正方形．ABCD （2）是上一点，，垂足为，与相交于点，求证：．E OB DH CE ⊥H DH OCF OE OF =【分析】（1）由菱形的性质得出，，，得出//AD BC 2BAD DAC ∠=∠2ABC DBC ∠=∠，证出，求出，即可得出结论；180BAD ABC ∠+∠=︒BAD ABC ∠=∠90BAD ∠=︒（2）由正方形的性质得出，，，，得出，AC BD ⊥AC BD =12CO AC =12DO BO =90COB DOC ∠=∠=︒，证出，证明，CO DO =ECO EDH ∠=∠()ECO FDO ASA ∆≅∆即可得出结论．【解答】（1）证明：四边形是菱形，ABCD ，，，//AD BC ∴2BAD DAC ∠=∠2ABC DBC ∠=∠，180BAD ABC ∴∠+∠=︒，BAD ABC ∴∠=∠，，2180BAD ∴∠=︒90BAD ∴∠=︒四边形是正方形；∴ABCD （2）证明：四边形是正方形，ABCD ，，，，AC BD ∴⊥AC BD =12CO AC =12DO BO =，，90COB DOC ∴∠=∠=︒CO DO =，垂足为，DH CE ⊥ H ，，90DHE ∴∠=︒90EDH DEH ∠+∠=︒，90ECO DEH ∠+∠=︒ ，ECO EDH ∴∠=∠在和中，，ECO ∆FDO ∆90ECO EDH CO DO COE DHE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()ECO FDO ASA ∴∆≅∆．OE OF ∴=15．（2019•奉贤区二模）如图，已知梯形中，，，，对角线ABCD //AD BC 90ABC ∠=︒28BC AB ==平分，过点作，垂足为点，交边的延长线于点，连接．AC BCD ∠D DE AC ⊥E AB F CF （1）求腰的长；DC （2）求的余弦值．BCF∠【分析】（1）根据勾股定理求出，求出，解直角三角形求出，根据勾股定理求出即可；AC CE DE DC （2）根据相似三角形的性质和判定求出，求出，解直角三角形求出即可．AF CF 【解答】解：（1），，90ABC ∠=︒ 28BC AB ==，4AB ∴=AC ==，//AD BC ，DAC BCA ∴∠=∠平分，AC BCD ∠，DCA ACB ∴∠=∠，DAC DCA ∴∠=∠，AD CD ∴=，DE AC ⊥，1122CE AC ∴==⨯=在中，，，Rt DEC ∆90DEC ∠=︒tan DE DCE CE ∠=在中，，，Rt ABC ∆90ABC ∠=︒41tan 82AB ACB BC ∠===，∴12DE CE =，CE =DE ∴=在中，由勾股定理得：；Rt DEC ∆5DC ===即腰的长是5；DC （2）设与相交于点，DF BC Q ，，90FBC FEC ∠=∠=︒ BQF EQC ∠=∠由三角形内角和定理得：，∴AFE ACB ∠=∠，90FAD ABC ∠=∠=︒ ，AFD BCA ∴∆∆∽，∴AD AB AF BC=，，5AD DC == 12AB BC =，∴512AF =解得：，10AF =，，AE CE = FE AC ⊥，10CF AF ∴==在中，，．Rt BCF ∆90CBF ∠=︒84cos 105BC BCF CF ∠===16．已知：如图，在中，，，点、分别是边、的中点，点、ABC ∆AB BC =90ABC ∠=︒D E AB BC F G 是边的三等分点，、的延长线相交于点，连接、．AC DF EG H HA HC 求证：（1）四边形是菱形；FBGH （2）四边形是正方形．ABCH【分析】（1）由三角形中位线知识可得，，根据菱形的判定的判定可得四边形//DF BG //GH BF FBGH 是菱形；（2）连结，交于点，利用平行四边形的对角线互相平分可得，，又BH AC O OB OH =OF OG =，所以．再根据对角线互相垂直平分的平行四边形得证四边形是菱形，再根据一AF CG =OA OC =ABCH 组邻边相等的菱形即可求解．【解答】证明：（1）点、是边的三等分点，F G AC ．AF FG GC ∴==又点是边的中点，D AB ．//DH BG ∴同理：．//EH BF 四边形是平行四边形，∴FBGH 连结，交于点，BH AC O ，OF OG ∴=，AO CO ∴=，AB BC = ，BH FG ∴⊥四边形是菱形；∴FBGH（2）四边形是平行四边形，FBGH ，．BO HO ∴=FO GO =又，AF FG GC == ，即：．AF FO GC GO ∴+=+AO CO =四边形是平行四边形．∴ABCH ，，AC BH ⊥ AB BC =四边形是正方形．∴ABCH17．（2019•普陀区一模）如图，和相交于、两点，与交于点，的延长线交1O 2O A B 12O O AB C 2O A 于点，点为的中点，，连接．1O D E AD AE AC =OE （1）求证：；11O E O C =（2）如果，，求的半径长．1210O O =16O E =2O【分析】（1）连接，根据垂径定理得到，根据相交两圆的性质得到，证明△1O A 1O E AD ⊥1O C AB ⊥Rt △，根据全等三角形的性质证明结论；1O EA Rt ≅1O CA （2）设的半径长为，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．2O r 【解答】（1）证明：连接，1O A 点为的中点，E AD ，1O E AD ∴⊥和相交于、两点，与交于点，1O 2O A B 12O O AB C ，1O C AB ∴⊥在△和△中，Rt 1O EA Rt 1O CA ，11O A O A AE AC =⎧⎨=⎩△△Rt ∴1O EA Rt ≅1()O CA HL ；11O E O C ∴=（2）解：设的半径长为，2O r ，116O E O C == ，21064O C ∴=-=在△中，，Rt 12O EO 28O E ==则，8AC AE r ==-在中，，即，2Rt ACO ∆22222O A AC O C =+222(8)4r r =-+解得，，即的半径长为5．5r =2O。
中考数学几何总复习1(PPT)4-1
⑷互为余角: 两个角的和是一个直角,这两个角互 为余角。
∠A 、∠B 互为余角 <====> A B 90
⑸互为补角: B 互为补角 <====> A B 180
⑹同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角 相等。
⑺对顶角: 对顶角相等。
用梳子在理头发的时候，常常会发现毛发在高压静电场力的作用下形成射线状。我们在每天夜晚脱衣服的时候，也常常会发现一种闪光效应和劈了啪啦的闪 光声响。有时，我们在触摸“猫或狗”的皮毛时，你会受到微量的“电击”。还有，你用梳子理一下你的头发，你就可以将碎纸屑吸引起来，这就是我们常 说的“电”现象。有很多种物体在运动中，都可生成两边的端点带有正负电荷的电场效应，当电荷量聚集达到数万伏的高压时，它就会向四周的其它物体产 生电荷放电，这就是物体的摩擦起电状态。 静电现象包括许多大自然例子，像塑胶袋与手之间的吸引、似乎是自发性的谷仓爆、在制造过程中电子元件的损 毁、影印机的运作原理等等。当一个物体的表面接触到其它表面时，电荷集结于这物体表面成
教学目的：通过概念的复习和典型例题评析，使学 生了解直线、线段、射线等概念的区别，理解线段 的和与差，线段中点，两点间的距离等概念，掌握 直线公理；理解角、角的分类、余角、补角、角平 分线等概念；掌握度、分、秒的换算，会计算角度 的和、差、倍、分，会比较角的大小，会画角的平 分线。 教学重点：典型例型评析。 教学难点：学生综合能力的提高。
绝缘体，并认为电是一种流体。 年德国牧师克茉斯脱，试用一根钉子把电引到瓶子里去，当他一手握瓶，一手摸钉子时，受到了明显的电击。年，荷兰莱顿 城莱顿大学的教授彼得.冯.慕欣布罗克无意中发现了同样的现象。 穆欣布罗克的发现，使电学史上第一个保存电荷的容器诞生了。它是一个玻璃瓶，瓶里瓶 外分别贴；股票入门基础知识大全 炒股入门知识下载 炒股票入门基础知识 股市入门基础知识 股票知识大全 股票基础知识入门新手 ；锡箔 通过金属链跟金属棒连接，金属棒的上端是一个金属球。由于它是在莱顿城发明的，所以叫做莱顿瓶，这就是最初的电容器。莱顿瓶很快在欧洲引起了强烈 的反响，电学家们不仅利用它们作了大量的实验，而且做了大量的示范表演，有人用它来点燃酒精和火。其中最壮观的是法国人诺莱特在巴黎一座大教堂前 所作的表演，诺莱特邀请了路易十五的皇室成员临场观看莱顿瓶的表演，他让七百名修道士手拉手排成一行，队伍全长达英尺（约米）。然后，诺莱特让排 头的修道士用手握住莱顿瓶，让排尾的握瓶的引线，一瞬间，七百名修道士，因受电击几乎同时跳起来，在场的人无不为之口瞪目呆，诺莱特以令人信服的 证据向人们展示了电的巨大威力。 年英国伦敦一名叫柯林森的物理学家，通过邮寄向美国费城的本杰明.富兰克林赠送了一只莱顿瓶，并在信中向他介绍了使 用方法，这直导致了年富兰克林著名 的费城实验。 他用风筝将"天电"引了下来，把天电收集到莱顿瓶中，从而弄明白了"天电"和"地电"原来是一回事。 十八 世纪后期，贝内特发明验电器，这种仪器一直沿用至今，它可以近似地测量一个物体上所带的电量。另外，8年，库仑发明扭秤，用它来测量静电力， 推导 出库仑定律， 并将这一 定律推广到磁力测量上 。 科学家使用了验电器 和扭秤后 ，使静电现象的研究工作从定性走上了定量的道路。 在日常生活中，我们
人教版九年级数学中考专题--三角形与四边形的证明与计算 (共15张ppt)
（3)解：∵∠AEC=90°，
且△AEC的外心在直线DE上，
∴点D是△AEC的外心，
∴ED=DC,
又∵ED=EC,
∴△EDC为等边三角形，
∴∠C=60°，
在Rt△AEC中，tan∠C= AE
∵EC=2，
EC=3, Nhomakorabea∴AE=2 3 .
3.如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a和直线b上，∠1=50°，点P是线 段MN上一动点，直线DE始终经过点P,∠NPE=a. (1)当点P在线段MN上运动的过程中，证明△MPD始终与△NPE相似； (2)当△MPD≌△NPE时，直接写出P点的位置； (3)当△NPE是等腰三角形时，求α的值.
(2)解：在□ABCD中，AB∥CD， ∴∠B=180°-∠BCD=50°， ∠BAD=130°， ∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=50° ∴BAC=80°，∠EAC=50°， 由折叠的性质可得，AC⊥EF， ∠AOF=90°， ∴∠AEF=40°.
4.在□ABCD中，AB=AC，点E、F分别在AD、BC上，沿直线EF
（1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD，∠BAD=∠BCD,∠B=∠D, 由折叠的性质可得， AB=CG，∠B=∠G,∠BAD=∠GCE, ∴∠BCD=∠GCE,CD=CG,∠D=∠G, ∵∠ECD+∠BCE=∠BCD,
∠BCE+∠FCG=∠GCE, ∴∠ECD=∠FCG, ∴△CED≌△CFG；
折叠□ABCD，使点A、C互相重合，点B落在点G的位置，连接
GF、CE.
（1）求证：△CED≌△CFG；
（2）若∠BCD=130°，求∠AEF的度数；
（3)连接AF，求证：四边形AFCE为菱形。
中考数学二轮复习 第4讲 简单的几何证明与计算对策课件初中九年级全册数学课件
【训练1】(2017·齐齐哈尔)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，DG＝DC，点E，F 分别是BG，AC的中点．
(1)求证(qiúzhèng)：DE＝DF，DE⊥DF； (2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．
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解：(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在△BDG 和△ADC 中，
(2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝∠DCG. ∵AB∥CD， ∴∠DCG＝∠F.∴∠EAG＝∠F. ∵∠AGE＝∠AGE， ∴△AGE∽△FGA. ∴AFGG＝AEGG. ∴AG2＝GE·GF.
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热点(rè diǎn)三：综合问题
例3、 (2017·青岛(qīnɡ dǎo))如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连 接CE，CF，OE，OF.
第二十二页，共三十二页。
【训练1】. (2017南宁)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，
BE=DF.
(1)求证(qiúzhèng)：AE=CF；
(2)若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积.
第二十三页，共三十二页。
(1)证明(zhèngmíng)：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°. ∵BE=DF，∴OE=OF. 在△AOE和△COF中，OA=OC,
6－ 2
6＋ 2
解得 x＝ 4 ，∴BN＝ 4 .
∴BG＝coBs3N0°＝3
2＋ 6
6 .
第三十页，共三十二页。
再见 (zàijiàn) 第三十一页，共三十二页。
内容(nèiróng)总结
中考专题复习(2)——第24题几何证明与计算ppt课件
（2）求证:2DF+ED=BD
G
A
DF
E
O
M
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C
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专题复习——几何证明与计算
24．如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP， 过点B作BE⊥DP交 DP的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE 交DP于点F，连接BF。 （1）若AE=2，求EF的长； （2）求证：PF=EP+EB。
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G
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专题复习——几何证明与计算
（2）若矩形ABCD的面积为48，且AB：AD=3:4，求DF的长。
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专题复习——几何证明与计算
24．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，三角形的角平分线CE和高AD相 交于点F，过F作FG∥BC交AB于点G， 求证：(1)AE＝BG．
(2)若∠B=30°,FD=5,求四边形EBDF的面积．
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M P
N 8
专题复习——几何证明与计算
24．如图，正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，∠ADE=15°, 过D作DG⊥ED于D,且AG=AD,过G作GF//AC交ED的延长线于F.
M
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广东2019年中考数学备考复习课件专题四几何证明与计算
【题型3】三角形相似
【例3】（2016· 大庆市）如图，在菱形AB 中，G是BD 上一点，连接CG并延长交BA的延长线 于点F，交AD于点E. 求证：（ 1）AG ＝CG； 思路点拨：（ 1）根据菱形的性质得到 AD 2＝GE· （ 2 ） AG GF. ＝CD，∠ADB ＝∠CDB，推出△ADG≌△CDG，根据 全等三角形的性 质即可得到结论；（2）由全等三角形的
【题型3】三角形相似 证明：(1) ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，∠ ADB ＝∠CDB. CD， AD
ADG CDG， DG ， DG 在△ADG与△ CDG 中，
∴△ADG≌△CDG（SAS）. ∴AG＝CG. (2) ∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG AG EG ＝∠DCGFG . AG
【题型3】三角形相似
【即时巩固3】（2018· 江西省）如图，在 △ABC中，AB＝ 8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠A 解：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD 的平分线， ＝∠CBD. BD交AC于点E，求AE的长. ∵AB∥CD，∴∠D＝∠ABD. ∴∠ D ＝∠ CBD . ∴ BC ＝ CD . AB AE 8 AE ， . ∵ BC ＝4，∴ CD＝4. CD CE 4 CE ∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE.
【题型2】解直角三角形 思路点拨：先求得AC＝PC· tan∠APC＝ 87，BC＝PC· tan ∠ BPC ＝ 21 ，据此得出 AB ＝ AC － BC 解：在Rt△APC中，AC＝PC· tan∠APC ＝ 87 － 21 ＝ 66 ， ＝30· tan 71° 从而求得该车通过AB段的车速，比较大 ≈30×2.90＝87， 小即可得 . 在Rt△BPC中，BC＝PC· tan∠BPC ＝30· tan 35°
中考数学复习讲义课件 中考题型讲练 题型5 几何图形中的证明与计算
∴△MOD≌△NOB（AAS），∴OM＝ON.
又OB＝OD， ∴四边形BNDM是平行四边形. 又MN⊥BD， ∴四边形BNDM是菱形.
类型2圆的相关证明与计算 ☞示例2 （2019·益阳）如图，在Rt△ABC中，M 是斜边AB的中点，以CM为直径作⊙O交AC于点N， 延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交 ⊙O于点E. （1）判断四边形AMCD的形状，并说明理由； （2）求证：ND＝NE； （3）若DE＝2，EC＝3，求BC的长.
4.（2020·连云港）如图，在四边形ABCD中， AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分 别相交于点M、N. （1）求证：四边形BNDM是菱形； （2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长.
（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DMO＝∠BNO. ∵MN是对角线BD的垂直平分线， ∴OB＝OD，MN⊥BD.
（2）证明：∵四边形CENM为⊙O的内接四边形， ∴∠CMN＝∠DEN. ∵四边形AMCD是菱形， ∴CD＝CM， ∴∠CDM＝∠CMN， ∴∠DEN＝∠CDM， ∴ND＝NE.
变式训 练
5.（2020·邵阳）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC， 点D是BC上一点，以BD为直径的⊙O过点A，连接 AD，∠CAD＝∠C. （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若AC＝4，求⊙O的半径.
∴BN＝ 23BC＝ 257，
∴S△ABC＝12× 19× 257＝194 3，
∴S
四边形
ABCD＝194
3＋3
2 3＝254
3 .
∵BE∥CD， ∴∠E＋∠ADC＝180°. ∵∠ADC＝120°， ∴∠E＝60°，∴∠E＝∠BDC. ∵四边形ABCD内接于圆，
中考数学总复习 第二部分 专题综合强化 专题四 特殊图形的计算与证明课件
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答图2
类型(lèixíng)三 与切线有关的计算与证明
• 【类型特征】圆的切线是圆的一部分重要内容，我省（江西）近六年的中考题都涉及与切线有关的证明或计算，而 且是解答题；切线问题除切线的性质与判定外，还有切线长定理，圆的外切三角形等内容，若再拓展还与特殊三角 形、四边形构成灵活多变的综合问题．
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【解答】如答图 2，过点 E 作 EN⊥AD 交 AD 于点 N.
∵EA＝ED，EN⊥AD，∴AN＝ND，
3－x 设 BD＝x，则 DN＝ 2 ，DE＝AE＝ 5，
3－x x＋3 ∵∠B＝45°，EN⊥BN，∴EN＝BN＝x＋ 2 ＝ 2 . 在 Rt△DEN 中，∵DN2＋NE2＝DE2，
∵DE＝EF，∠DEM＝∠CEF，EM＝EC，∴△DEM≌ △FEC，
∴DM＝CF，∠MDE＝∠F， ∴DM∥CF，∴∠BDM＝∠BAC＝90°. ∵AB＝AC，∴∠DBM＝45°，∴BD＝DM，∴BD＝CF.
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第七页，共二十三页。
（3）若 AB＝3，AE＝ 5，求 BD 的长．
• （2）连接(liánjiē)CF，求sin∠DCF的值；
解题(jiě tí)思 路
连接 DE 交 CF 于点 H，根据全等三角形的性质得到 DF＝AB＝CD＝4，AF＝ BE＝3，证明∠DCH＝∠DEC，求出 sin∠DEC，即可得到答案．
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【解答】连接 DE 交 CF 于点 H，如答图 1．
切点是常作的辅助线．（4）对于内心需关注：内心是三角形的内切圆的圆心，内心与各切点连线垂直相应 (xiāngyīng)的边，且到三边距离相等，内心与三角形的三个顶点的连线平分相应(xiāngyīng)的内角．