西南财经大学期末复习线性代数2
线性代数(经济数学2)-习题集(含答案)
线性代数(经济数学2)-习题集(含答案)第 2 页 共 34 页《线性代数(经济数学2）》课程习题集西南科技大学成人、网络教育学院 版权所有习题【说明】：本课程《线性代数(经济数学2）》（编号为01007）共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有[计算题5]等试题类型未进入。
一、计算题11.设三阶行列式为231021101--=D 求余子式M 11，M 12，M 13及代数余子式A 11，A 12，A 13．2.用范德蒙行列式计算4阶行列式12534327641549916573411114--=D3.求解下列线性方程组：第 3 页 共 34 页⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---1111322112132222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x其中 ),,2,1,,(n j i j i a aj i=≠≠4.问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？5.问λ取何值时, 齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解？二、计算题26.计算6142302151032121----=D 的值。
7.计算行列式5241421318320521------=D 的值。
8.计算0111101111011110=D 的值。
第 4 页 共 34 页9.计算行列式199119921993199419951996199719981999的值。
10.计算41241202105200117的值。
11.求满足下列等式的矩阵X 。
2114332X 311113---⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭12.A 为任一方阵，证明TA A +，TAA 均为对称阵。
线性代数期末考试试题汇总(最新整理)
16.设
A为三阶方阵，
A 为
A的伴随矩阵，
A＝－
1
，则
(4 A)1 3A*
＝
3
______________
17 设 n 阶方阵满足 A2 2 A 2E 0 ，试证：矩阵（A+3E）可逆，并求 ( A 3E)1 。
18 设 A 为 三 阶 矩 阵 ， A 为 其 伴 随 矩 阵 ， A = 1 ， 则 (1 A)1 10 A*
并求出向量组的一个最大无关组，并把其余向量用这个最大无关组线性表示。
8 已 知 向 量
1
1, a, a 2
T ,2
1, b, b2
T ,3
1, c, c 2
T
, a,b,c 互 不 相 等 ， 则 行 列 式
1, 2 , 3 =____________
9 向量组
1
1, , 2 ,1 T , 2
1 有唯一解， 2 无解， 3有无穷多解，此时求出通解。
1 1 1
3 已知 3 阶矩阵 A，B 有 A= 2 1
0
,
AB=A+2B,求矩阵
B;
1 1 0
4
设有线性方程组
x1 x2 ax3 x1 ax2 x3
1 a
，请解答：a 取什么值时，此方程组有
ax1 x2 x3 a 2
（1）唯一解；（2）无解； （3）有无限多个解，并在有无限多个解时，计算方程组的通解；
(1 2 2 , 2 2 3 , 3 21 ) ＝_____________________
第二章
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
1
设矩阵
A=
1
0
0
课程资料：西南财经大学2006线性代数(2)及答案
西南财经大学2006 — 2007学年第二学期 财 税 专业 本 科 2005 级（ 2 年级 2 学期） 人力资源 专业 本 科 2005 级（ 2 年级 2 学期）学 号 评定成绩 （分） 学生姓名 担任教师《 线形代数 》 期末 A 卷考题库（ 下述 —— 四 题 全 作计100分， 两小时完卷 ）考试日期： 2006 1 11 遵守考场纪律，防止一念之差贻误终生一、填空（每小题2分，共10分）5x 1 2 31．在多项式()f x = 1 x -2 1 2 中，4x 的系数项为 ，3x 的系数1 2 x 3 -1 1 2 2x 项为 。
20x y z +-=2．当k = 时，线性方程组 20x ky z +-= 有非零解。
350x z -= 3．设矩阵11112A --⎛⎫=⎪⎝⎭，则1()A *-= 。
1 2 3 04．设矩阵A = 0 -1 0 3 ，则A 中四个列向量构成的向量组是线性 ，1 -2 2 1 0 0 0 5且()R A = 。
5．设四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为11112345,,,,则行列式1BE --= 。
二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。
每小题2分，共20分）1 3 1λ 0 -11．设行列式1D = 2 2 3 ，2D = 0λ 0 ，若1D =2D ，则λ的取值为3 1 5 -1 0 λ （ ）。
（A ）0，1 （B ）0，2 （C ）1，-1 （D ）2，-1 2．设A ，B 为n 阶方阵，A ≠0，且0AB =，则（ ） （A ） 0BA = （B ） 222()A B A B -=+ （C ） 0B = （D ） 0B =或0A =3，已知A 、B 、C 均为可逆方阵，则1000000C B A -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=（ ）。
（A ）111000000C B A ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）11100000A B C ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）111000000A B C ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）111000000B C A ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4．若A 为n 阶对称矩阵，且A 可逆，则有（ ）。
线性代数 西南财经大学2006(3)
西南财经大学2006 — 2007学年第二学期财 税 专业 本 科 2005 级（ 2 年级 2 学期） 人力资源 专业 本 科 2005 级（ 2 年级 2 学期）学 号 评定成绩 （分） 学生姓名 担任教师《 线形代数 》 期末 A 卷考试题（ 下述 —— 四 题 全 作计100分， 两小时完卷 ）考试日期： 2006 7 3一、填空（每小题2分，共10分）1． 设A 是3阶方阵，2A =-，将A 按行分块：A= 123ααα ，其中(1,2,3)i i α==是A 的第i 行，则行列式312123αααα- = 。
2． 设n 阶方阵A 满足20A A E +-=，则1A -= 。
3． 设1，-2，-3是阶方阵A 的特征值，则A = 。
4． 已知10000101x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与10000001y⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭相似，则x = ，y = 。
5． 如果A 为可逆矩阵，则当A 有一特征值为2时，143A A E -++必有一特征值为 。
二、单选题（每小题2分，共20分）1 2 51．若行列式 1 3 -2 =0, 则x =（ ） 2 5 x（A ） 2 （B ） -2 （C ） -3 （D ） 32．初等矩阵（ ）（A ）都可逆 （B ）相加仍是初等矩阵 （C ）行列式值为1 （D ）相乘仍是初等矩阵 3．设A 是n 阶方阵且0A =，则（ ）（A ）A 中必有两行（列）元素成比例 （B ）A 中至少有一行（列）元素全为零（C ）A 中至少有一行向量是其余向量的线形组合 （D ）A 中每一行向量都是其余各行向量的线性组合4．设矩阵A 和B 等价，A 有一个k 阶子式不等于零，则B 的秩（ ）k 。
（A ）< （B ）= （C ）≥ （D ）≤5．n 维向量组12,,,(3)s s n ααα≤≤ 线性无关的充要条件是（ ）。
（A ）12,,,s ααα 中任意两个向量都线性无关（B ）12,,,s ααα 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 （C ）12,,,s ααα 中任一个向量都不能用其余向量线性表示 （D ）12,,,s ααα 中不含零向量6．设1112212223313233a a a A a a a a aa ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，111312212322313332222a a a B a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1100001010P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100020001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则矩阵B =（ ）（A ）12PP A （B ）21AP P （C ）12PAP （D ）21P AP7．若A ，B 是同阶正交矩阵，k 是非零实数，P 是可逆矩阵，则（ ）。
西南财经大学天府学院线性代数作业
线性代数单元练习一一、填空题1. 五元排列 5 3 4 1 2 的逆序数是______________.2. 2n 元排列1.3.5…(2n -1)2.4…2n 的逆序数是__________________. 3. 四阶行列式中含有11a 23a 的项是_______________________.4. 一个排列中任意两个元素对换, 排列改变________________.5.00000000a b b a a b b a=___________________6. 含有n 个未知量n 个方程的线性方程组若系数行列式不等于零则方程组有__________解7. 每一列元素之和为零的n 阶行列式D 的值等于____________。
二、单项选择题1. 五阶行列式|ij a |中含有22a 的共有( )(A) 5项 (B) 5!项 (C) 4项 (D) 4!项2.111212122100n n a a a a a a =( )(A) 1211n n n a a a -(B) 1211n n n a a a -- (C) (1)2121(1)n n n n n a a a --- (D) |1211|n n n a a a -序号______专业班级______________ 学 号______________ 姓名 ______________三、计算下列行列式1. abac ae bdcd de bfcfef---2. 222233331111a b c d D a b c d a b c d =3. n D =x a a axax a a aax4.1221111 100100100hnn aaD aaa--=四、利用性质证明a b c x y z y b q x y z p q r x a p p q r a b c z c r==五、设D=3112513420111533------，求31323334322M M M M ---六、问,λμ取何值时，齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ （1）有非零解? (2) 只有零解线性代数单元练习二一、填空题1. 设A 为m n ⨯型矩阵，B 为p m ⨯型矩阵，则T T A B 是_________矩阵。
2010-2011第一学期线性代数期末试卷A(1)及答案
西南财经大学200 － 200 学年第 学期专业 科 级（ 年级 学期）学 号 评定成绩 （分） 学生姓名 担任教师《线性代数》期末闭卷考试题（下述 一 — 四 题全作计100分， 两小时完卷）考试日期：试 题 全 文：一、 填空题（共5小题，每题2分）1、211121112---= 2、设A 是m n ⨯矩阵，B 是p m ⨯矩阵，则T T A B 是______矩阵。
3、设αβ、线性无关，则k αββ+、线性无关的充要条件是_______。
4、设αβ、为n 维非零列向量，则T R ()αβ=_________。
5、设3阶矩阵-1A 的特征值为-1、2、1，则A =_____。
二、选择题（共10小题，每题2分）1、设A 、B 为n 阶矩阵，则下列说法正确的是（ ）（A ）、=B+AA B + （B ）AB =BA（C ）、T(AB )=TTA B （D ）若AB A =，则B E =2、若某个线性方程组相应的齐次线性方程组仅有零解，则该线性方程组（ ） （A)、有无穷解 （B)、有唯一解 （C)、无解 （D ）、以上都不对3、一个向量组的极大线性无关组（ ）（A)、个数唯一 （B)、个数不唯一（C)、所含向量个数唯一 (D)、所含向量个数不唯一 4、若3阶方阵A 与B 相似，且A 的特征值为2、3、5，则B-E =（ ）。
(A)、 30 （B)、 8 （C)、11 (D)、75、若m n ⨯矩阵A 的秩为m,则方程组A X B =（ ）。
（A)、有唯一解 （B ）、有无穷解 (C)、有解 （D)、 可能无解6、设A 为3阶方阵，且1A 2=，则1*2A A -+=( )。
（A)、 8 （B)、16 （C)、10 (D)、127、已知行列式D 的第一行元素都是4，且D=-12，则D 中第一行元素代数余子式之和为（ ）。
（A)、0 （B)、-3 （C)、-12 （D)、4 8、设A 、B 都是正定矩阵，则（ ） （A)、AB,A+B 一定都是正定矩阵（B)、AB 是正定矩阵，A+B 不是正定矩阵（C)、AB 不一定是正定矩阵，A+B 是正定矩阵 （D)、AB 、A+B 都不是正定矩阵9、设A 是n 阶方阵，且k A O =(k 是正整数)，则（ ）（A ）、A O = （B ）、A 有一个不为零的特征值 (C)、 A 的特征值全为零 （D ）、A 有n 个线性无关的特征向量 10、已知2阶实对称矩阵A 满足232A A E O -+=，则A （ ） （A)、正定 （B)、半正定 （C ）、负定 （D)、不定三、计算题（共8小题，每题8分）1、计算四阶行列式01001100100k k k k2、设100110111A⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，且*22A BA BA E=-，求B3、设111111kA kk⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，求R(A)4、考虑向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1412,2615,1012,31407,023154321ααααα (1) 求向量组的秩;(2) 求此向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量分别用该极大线性无关组表示.5、设T α)0,2,1(1=, Tααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, Tβ)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.6、设12314315A a-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭有一个2重特征值，求a 的值并讨论A 是否可对角化。
大学数学线性代数第二学期期末复习测试试卷含答案
线性代数第二学期期末测试试卷含答案班别_________ 姓名___________ 成绩_____________第一部分 客观题（共30分）一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分）1. 若行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =，则212223111213313233232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d -2. 设123010111A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，ij M 是A 中元素ij a 的余子式，则313233M M M -+=（ ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（ ） (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足（ ）(A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是．．n 阶矩阵A 可逆的充要条件为（ ）(A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ⨯矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，B AC =，则 ( )。
(A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B )(C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,,,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是（ ） (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立(B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立(C) 存在一组数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立(D) 对β的线性表达式唯一8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解，12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解，则（ ）(A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解9. 设110101011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A 的特征值是( )。
线性代数(经济数学2)-习题集(含答案)
《线性代数(经济数学2）》课程习题集一、计算题11. 设三阶行列式为231021101--=D 求余子式M 11，M 12，M 13及代数余子式A 11，A 12，A 13．2. 用范德蒙行列式计算4阶行列式12534327641549916573411114--=D3. 求解下列线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---1111322112132222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i =≠≠4. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？5. 问λ取何值时, 齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解？二、计算题26. 计算6142302151032121----=D 的值。
7. 计算行列式5241421318320521------=D 的值。
8. 计算0111101111011110=D 的值。
9. 计算行列式199119921993199419951996199719981999的值。
10. 计算4124120210520117的值。
11. 求满足下列等式的矩阵X 。
2114332X 311113---⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭12. A 为任一方阵，证明T A A +，T AA 均为对称阵。
13. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=212321A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=103110021B 求AB ．14. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121311A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=212211033211B 求T )(AB 和T T A B15. 用初等变换法解矩阵方程 AX =B 其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011220111A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121111B16. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2100430000350023A求1-A17. 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=311121111A 的逆。
最新西南财经大学高等代数考试资料资料
一.填空题 （将正确答案填在题中括号内。
每小题2分，共10分）1.已知4阶行列式D 的第三行元素分别为;4,2,0,1-第四行元素对应的余子式依次是.4,,10,5a 则=a ( ).2.设方程0111)(112111121112==------n n n n n n a a a a a a x x xx f其中)1,,2,1(-=n i a i 为互不相等的实常数,则方程的全部解是( ). 3.设四阶矩阵[][],,,,,,,,432432γγγβγγγα==B A 其中432,,,,γγγβα均为14⨯列矩阵,且巳已知行列式,1,4==B A 则行列式=+B A ( ). 4.设),(21I B A +=则当且仅当=2B ( )時,.2A A =. 5.已知n 阶矩阵滿足关系式,0322=-+I A A 则=+-1)4(I A ( ).二.单项选择题 (每小题仅有一个正确答案, 将正确答案的番号填入下表内. 每小题2分, 共20分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案番 号1.设A 为方阵,则0=A 的必要条件是( ) )(A 両行(列)元素对应成比例; )(B 任一列为其它列的线性组合; )(C 必有一列为其它列的线性组合; )(D A 中至少有一列元素全为零.2.设A 为m 阶方阵,B 为n 阶方阵,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O B A O C 则=C ( ); )(A ;B A )(B ;B A -)(C ;)1(B A n m +- )(D .)1(B A mn -3. 行列式=600300301395200199204100103( ).)(A 1000; )(B -10000; )(C 2000; )(D -2000. 4. A 是n 阶矩阵,k 是非零常数,则=*)(kA ( ). )(A ;1-n Ak )(B ;1-n Ak )(C ;1)1(--n n n A k )(D .11--n n Ak5. 设B A ,为n 阶对称矩阵,则下面四个结论不正确的是( ). )(A B A +也是对称矩阵; )(B AB 也是对称矩阵; )(D m m B A +也是对称矩阵 ; )(D T T AB BA +也是对称矩阵.6. 设B A ,为n 阶方阵, 则下列结论成立的是( ) )(A 00≠⇔≠A AB 且;0≠B )(B ;0O A A =⇔= )(C 00=⇔=A AB 或;0=B (D) .1=⇔=A I A7. 设A 为n 阶可逆矩阵,则( ) )(A A 总可以只经过初等行变換变为;I)(B 对分块矩阵A ( )I 施行若干次初等变换,当子块变为I 时,相应地I 变为;1-A)(C 由.BA AX =得;A X = )(D 以上三个结论都不正确.8. 设A 是n m ⨯矩阵,其秩为,r C 是n 阶可逆阵,且B AC =的秩为,1r 则( ) 正确.)(A r ﹥;1r (B) r ﹤;1r)(C ;1r r = (D) r 与1r 的关系依C 而定. 9. 设B A ,为同阶可逆方阵,则( )成立. (A) ;BA AB =(B) 存在可逆阵,P 使;1B AP P =- (C) 存在可逆阵,C 使;B AC C T = (D) 存在可逆阵,,Q P 使.B PAQ =10. 设B A ,为n 阶非零矩阵,且,O AB =则A 和B 的秩( ). )(A 必有一个等于零; )(B 都小于;n )(C 一个小于,n 一个等于;n )(D 都等于.n三、计算题 (每小题9分, 共54分)1. 计算下列行列式:19980000000019970020010002. 计算下列n 阶行列式的值:βαβαβαβαβαβαβαβα+++++=00000000000n D3. 设矩阵,111111111111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k A 且,3)(=A R 则k 为什么?4. 当⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21232321A 时,,6I A =求.11A5. 已知矩阵,PQ A =其中[]2,1,2,121-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Q P ,求矩阵.,,1002A A A6. 设矩阵A 的伴随矩阵,8030010100100001*⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=A 且,311I BA ABA +=--其中I 为4阶单位矩阵,求矩阵.B四﹑证明题 (每小题8分,共16分)1. 设BA,是n阶正交矩阵,且,1+B=A=-BA证明.02. 设A 为n 阶非奇异矩阵,α为n 元列,b 为常数,记分块矩阵,,*⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=b A Q A A O I P T T ααα (1) 计算并化简;PQ(2) 证明:矩阵Q 可逆的充分必要条件是.1b A T ≠-αα。
西南财经大学线代考点归纳第三章 线性方程组
光华园 /光华园学习网 /study09/《线性代数》章节热点第三章 线性方程组1. 什么是向量组的线性相关和线性无关？答：参见教材P97，定义3.9.对于向量组12,,,s ααα，如果存在不全为零的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=则称向量组线性相关.只有当数120s k k k ====时，才有11220s s k k k ααα+++=则称向量组1α，2α，…，s α线性无关.2. 在理解线性相关和线性无关定义时应该注意什么问题？答：注意以下的结论是错误的：①如果存在一组不全为零的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++≠，则称向量组12,,,s ααα线性无关.②如果存在数120s k k k ====，有11220s s k k k ααα+++=，则称向量组12,,,s ααα线性无关.③如果向量组的12,,,s ααα的一个线性组合的等于零向量，则向量组12,,,s ααα线性相关.3. 判断向量组12,,,s ααα 线性相关的方法？答：（1）根据定义 3.9, 向量组12,,,s ααα线性相关的充要条件是齐次线性方程组（未知量为12,,,s k k k ）11220s s k k k ααα+++=有非零解.（2）向量组12,,,s ααα中，如果至少有一个向量可以用其余向量线性表示，则这组向量是线性相关的.（3）设12,,,s ααα是一组线性相关的向量，则在这一组向量里再添加若干个向量1,,t ββ，得到的新的向量组121,,,,,,s t αααββ仍是线性相关的.（4）设12,,,s ααα是s 个k 维向量，1~α，2~α，…，sα~ 是其k + l 维接长向量，若1~α，2~α，…，s α~ 线性相关，则12,,,sααα必线性相关. 4. 判断向量组12,,,s ααα 线性无关的方法？答：（1）根据定义 3.9, 向量组12,,,s ααα线性无关的充要条件是齐次线性方程组（未知量为12,,,s k k k ）11220s s k k k ααα+++= 仅有零解.（2）若12,,,s ααα是一组线性无关的向量，则从中取出的任意若干个向量都是线性无关的.（3）设12,,,s ααα是s 个线性无关的k 维向量，又1~α，2~α，…，s α~ 是12,,,sααα的k + l 维接长向量，则1~α，2~α，…，sα~必线性无关. 5. 什么是极大线性无关组？答：参见教材P104，定义3.11.下面给出一个等价定义：如果向量组12,,,s ααα的一个部分组12,,,ri i i ααα（r ≤s ）满足条件①12,,,ri i i ααα线性无关②12,,,s ααα中任意r + 1个向量（当r < s 时）都线性相关.则称12,,,r i i i ααα是12,,,s ααα的一个极大线性无关组，简称极大无关组.6. 什么是向量组的秩？答：参见教材P106，定义3.12.向量组12,,,s ααα的极大无关组中所含向量的个数r ，称为此向量组的秩.应该注意，一个向量组的极大无关组不一定是唯一的，但其秩是唯一确定的 7. 怎么求向量组的秩、 向量组的极大无关组?答：参见教材P108，定理3.9.矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量间的线性关系.根据定理3.9, 可以利用矩阵的初等行变换求向量组的秩、 向量组的极大无关组并将向量组中其余向量用所求出的极大无关组线性表示. 8. 非齐次线性方程组AX = B 有解的条件是什么？答：参见教材P88，定理3.2.= B 解.9. 解系.10. 解系.系为12,,, n r ηηη-，则其全部解为1122 n r n r X k k k ηηη--=+++（12,,, n r k k k -为任意常数）.11. 非齐次线性方程组AX = O 解的结构是什么？答：如果方程组AX = B 的一个特解为u ，其导出组AX = O 的一个基础解系为12,,, n r ηηη-,则方程组AX = B 的全部解（通解）为1122 n r n r X u k k k ηηη--=++++（12,,, n r k k k -为任意常数）.。
西南财经大学高等数学期末考卷及解答
西南财经大学高等数学期末考卷及解答一、选择题（每题5分，共25分）A. f(x) = |x|B. f(x) = x^2 + xC. f(x) = x^3D. f(x) = x^2 x2. 设函数f(x) = e^x，则f'(x)在x=0处的值为（）A. 0B. 1C. eD. e^23. 下列极限中，收敛的是（）A. lim(x→∞) (sin x / x)B. lim(x→0) (1 / x^2)C. lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)D. lim(x→∞) (x^3 e^x)4. 不定积分∫(1 / (x^2 + 1)) dx的结果是（）A. arctan x + CB. ln(x^2 + 1) + CC. 1 / x + CD. e^x + C5. 设函数f(x) = x^3 3x，则f''(x)的零点个数为（）A. 0C. 2D. 3二、填空题（每题5分，共25分）1. 设函数f(x) = x^2 + 2x，则f'(x) = _______。
2. 设函数f(x) = e^x，则f''(x) = _______。
3. 不定积分∫(cos x) dx = _______ + C。
4. 定积分∫(从0到π/2) (sin x) dx = _______。
5. 设函数f(x) = ln(x)，则f''(x) = _______。
三、计算题（每题10分，共30分）1. 求极限lim(x→0) (sin x / x)。
2. 求不定积分∫(x^2 + 1) / (x^2 + 2) dx。
3. 求定积分∫(从1到e) (1 / x) dx。
四、解答题（每题20分，共40分）1. 设函数f(x) = x^3 3x，求f'(x)和f''(x)，并判断f(x)在x=0处的凹凸性。
2. 设函数g(x) = e^x，求g'(x)和g''(x)，并讨论g(x)的单调性和极值。
线性代数（经济数学2）_习题集（含答案）
线性代数（经济数学2）_习题集（含答案）《线性代数(经济数学2）》课程习题集西南科技⼤学成⼈、⽹络教育学院版权所有习题【说明】：本课程《线性代数(经济数学2）》（编号为01007）共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有[计算题5]等试题类型未进⼊。
⼀、计算题11. 设三阶⾏列式为231021101--=D求余⼦式M 11，M 12，M 13及代数余⼦式A 11，A 12，A 13．2. ⽤范德蒙⾏列式计算4阶⾏列式12534327641549916573411114--=D3. 求解下列线性⽅程组：=++++=++++=++++---1111322112132222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i =≠≠4. 问λ, µ取何值时, 齐次线性⽅程组12312312300205. 问λ取何值时, 齐次线性⽅程组1231231 23(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=??+-+=??++-=?有⾮零解？⼆、计算题26. 计算6142302151032121----=D的值。
7. 计算⾏列式5241421318320521------=D的值。
8. 计算0111101111011110=D的值。
9. 计算⾏列式199119921993 199419951996199719981999的值。
10. 计算412412021052001111. 求满⾜下列等式的矩阵X 。
211432X 311113----=----12. A 为任⼀⽅阵，证明T A A +，TAA 均为对称阵。
13. 设矩阵-=212321A-=103110021B 求AB ．14. 已知--=121311A--=212211033211B 求T )(AB 和T T A B15. ⽤初等变换法解矩阵⽅程 AX =B 其中1220111A-=121111B 16. 设矩阵--=210430000350023A 求1-A17. 求=311121111A 的逆。
西南财经大学线代考点归纳 行列式
a1 j a 2 j a nj
1 2
n
a n1 a n 2
行列式是一个数值. 2. 二阶、三阶行列式的计算公式是怎样的？ 答：参见教材 P3，例 2.
D a 11 a 12 a 21 a 22 a 11a 22 a 12 a 21
a 11 a 12 a 13 D a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 a12 a 21 a 33 a12 a 23 a 31 a13 a 22 a 31 a13 a 21 a 32
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《线性代数》章节热点
第一章 行列式
1.
什么是 n 阶行列式？ 答：参见教材 P3，定义 1.1. 将 n 个数按(1.5)排列成 n 行 n 列，
a 11 a 12 a 21 a 22 a1n a2n a nn
故三角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积.
a 11 a 12 a 22 an2 a1n a2n a nn k a 11 k a 12 k a 22 kan2 ka1n ka2n k a nn
4. 已知 n 阶行列式 D ＝
a 21 a n1
， 如何求行列式
a
k 1
nபைடு நூலகம்
ik
A ik
a
k 1
n
kj
Akj
( i , j 1 , , 2
n,
)
7. 行列式有哪些典型解法？ 答: ( 1) 定义法：参见教材 P4，例 4； （2）三角形法：参见教材 P11，例 3； （3）降阶法：参见教材 P18，例 2、3； （4）递推法：参见教材 P19，例 4.
线性代数大二期末考试重点复习、题目,不可不看哦!
（3）若只有当 λ1 , λ2 ,L , λm , 全为 时， ） 全为0时
λ1a1 + L + λm am + λ1b1 + L + λmbm = o 才成立
⇔ λ1 (a1 + b1 ) + λ2 (a2 + b2 ) + L + λm (am + bm = , a2 = , b1 = , b2 = 满足 a 0 0 1 0
练习： 练习：设
2 1 8 2 −3 0 A= 3 −2 5 1 0 3 7 7 −5 8 0 2 0 3
（1）判定 的列向量组的线性相关性 ）判定A的列向量组的线性相关性
（2）判定 的行向量组的线性相关性 ）判定A的行向量组的线性相关性 (3) 求A的秩 的秩R(A) 的秩 3 9 1 − 0 0 (4) 求A的一个最高阶子式 2 的一个最高阶子式 2 1 1 0 (5)求A的列向量组的一个最大无关组， 的列向量组的一个最大无关组， 求 的列向量组的一个最大无关组 0 1 − 2 2 并将其它向量用这个最大无关组表示 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 解 （1）A的列向量组的线性相关 维数＜个数 ） 的列向量组的线性相关 维数＜ 的行向量组的线性相关性？ （2）A的行向量组的线性相关性？ 相关 ） 的行向量组的线性相关性 (3)R(A)＝３ ＝
复习： 复习：最大无关组与秩
1. 最大无关组 无关性 最大性 不唯一，但所含 不唯一， 向量个数唯一 2. 秩
任r+1个线性相关 个线性相关 再添一个就线性相关 A 能由 0 线性表示 能由A
A
B ⇔ A0
简单性质
第2版《线性代数》基础卷2期末考试习题及参考答案
《线性代数》期末试卷 (基础卷)一、填空题（本题满分24分，每空3分）1.排列632514与排列153642的逆序数之和为 .2.已知ab c d b a c dD b d c a dacb=，则11213141A A A A +++= . 3.已知100110011-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，则()()122-+-=A E A E .4．已知222abca b c b c c a a b=+++ . 5．设3阶方阵A 的特征值为1,1,2-，12-=-B E A ，其中1-A 是A 的逆矩阵，则矩阵B 的特征值为 .6．若n 元齐次线性方程组有解，其系数矩阵A 的秩()R r =A ，则当 时，方程组只有零解；当 时，方程组有非零解.7. 设矩阵111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，其中()0,1,2,,i j a b i j n ≠=，则()R =A .二、判断题（本题满分15分，每小题3分）8.已知,A B 为n 阶方阵，则222()2+=++A B A AB B . （ ） 9.设A 与B 为同阶可逆阵，则必有()111---+=+A B A B . （ ）10.若方阵A 的行列式0=A ，则必有=0A . （ ） 11.设A 与B 为同阶对角阵，则必有()()22+-=-A B A B A B . （ ） 12. 若方阵A 满足2=A A ，则必有=0A 或=A E . （ ）三、（本题满分8分）设1211⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭α是4维实向量空间4中一个固定向量，4中所有与α正交的向量构成4的一个子空间，求这个子空间的一个基.四、（本题满分12分）设201030102⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，100010000-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭B ，若X 满足22+=+AX B BA X ，求4X .五、（本题满分14分）k 取何值时，线性方程组1232123123424x x k x x k x x k x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩有惟一解？有无穷多个解？无解？在有无穷多解时给出通解.六、（本题满分13分）设二次型2221231231213(,,)32222f x x x x x x x x x x =++++，（1）求该二次型的矩阵A ；（2）求一个正交变换=X PY ，将此二次型化为标准形.七、（本题满分14分）设V 是全部2阶实方阵所构成的线性空间. 定义V 上线性变换T 为：对任意V ∈A ，T A 为A 的转置矩阵，()T T =-A A A . 求线性变换T 在基111000⎛⎫= ⎪⎝⎭E ，120100⎛⎫= ⎪⎝⎭E ，210010⎛⎫= ⎪⎝⎭E ，0011⎛⎫= ⎪⎝⎭M 下的矩阵.《线性代数》期末试卷 (基础卷)一、填空题（本题满分24分，每空3分）1.排列632514与排列153642的逆序数之和为 17 .2.已知ab c d b a c dD b d c a dacb=，则11213141A A A A +++= 0 . 3.已知100110011-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，则()()122-+-=A E A E 300430443-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭.4．已知222abca b c b c c a a b=+++ ()()()333a c b b a c c b a -+-+- . 5．设3阶方阵A 的特征值为1,1,2-，12-=-B E A ，其中1-A 是A 的逆矩阵，则矩阵B 的特征值为3,1,0- .6．若n 元齐次线性方程组有解，其系数矩阵A 的秩()R r =A ，则当 r n = 时，方程组只有零解；当 r n < 时，方程组有非零解.7. 设矩阵111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，其中()0,1,2,,i j a b i j n ≠=，则()R =A 1 .二、判断题（本题满分15分，每小题3分）8.已知,A B 为n 阶方阵，则222()2+=++A B A AB B . （ ╳ ） 9.设A 与B 为同阶可逆阵，则必有()111---+=+A B A B . （ ╳ ）10.若方阵A 的行列式0=A ，则必有=0A . （ ╳ ） 11.设A 与B 为同阶对角阵，则必有()()22+-=-A B A B A B . （ √ ） 12. 若方阵A 满足2=A A ，则必有=0A 或=A E . （ ╳ ）三、（本题满分8分）设1211⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭α是4维实向量空间4中一个固定向量，4中所有与α正交的向量构成4的一个子空间，求这个子空间的一个基.解 这个子空间的一个基即为方程组T =0x α的基础解系。
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为：A. 1/2B. 1/4C. 2D. 4答案：B2. 向量α=(1,2,3)和向量β=(4,5,6)，则向量α和向量β的点积为：A. 32B. 22C. 14D. 0答案：A3. 设A为3×3矩阵，且A的秩为2，则A的行向量线性相关，下列说法正确的是：A. 正确B. 错误答案：A4. 若A为n阶方阵，且A^2=0，则A的秩为：A. nB. n-1C. 0D. 不确定答案：C5. 设A为3阶方阵，且A的特征值为1，2，3，则矩阵A的迹为：A. 6B. 1C. 2D. 3答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的转置为\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]。
答案：\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]2. 设向量α=(2,3)，向量β=(4,6)，则向量α和向量β共线，其比例系数为2。
答案：23. 若矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 2 & 2\end{bmatrix}\]，则矩阵A的行列式为2。
答案：24. 设矩阵B=\[\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}\]，则矩阵B的逆矩阵为\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 &0\end{bmatrix}\]。
答案：\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\]5. 设矩阵C=\[\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}\]，则矩阵C的特征值为1和2。
大二线性代数知识点归纳
大二线性代数知识点归纳线性代数是一门研究向量空间和线性映射的数学学科，对于学习数学、物理学、计算机科学等领域都具有重要的作用。
在大二的学习中，线性代数是一门必修课程，本文将对大二线性代数的知识点进行归纳，以帮助读者更好地理解和掌握相关概念和技巧。
一、向量与向量空间1. 向量的定义与性质2. 向量的线性运算（加法和数乘）3. 向量的内积和外积4. 向量的线性相关性与线性无关性5. 极大线性无关组与极大线性无关集6. 向量空间的基与维数二、线性方程组1. 线性方程组的定义与解集2. 齐次线性方程组与非齐次线性方程组3. 初等变换与线性方程组的等价性4. 线性方程组的解的性质与特解的构造5. 齐次线性方程组的矩阵表示三、矩阵与行列式1. 矩阵的定义与性质2. 矩阵的加法与数乘3. 矩阵乘法与矩阵的转置4. 子矩阵与主子式5. 行列式的定义与性质6. 行列式的计算方法（余子式与代数余子式）7. 克拉默法则与逆矩阵的求解四、线性映射与线性变换1. 线性映射的定义与性质2. 线性映射的矩阵表示与性质3. 线性映射的核与像4. 线性映射的维数公式5. 线性变换的定义与性质6. 线性变换的矩阵表示与性质7. 特征值与特征向量五、特殊矩阵与特殊线性变换1. 对称矩阵与正交矩阵2. 对称线性变换与正交线性变换3. 施密特正交化过程与正交矩阵的求解4. 对角矩阵与相似矩阵5. 幂等矩阵与幂零矩阵总结：大二线性代数涵盖了向量与向量空间、线性方程组、矩阵与行列式、线性映射与线性变换、特殊矩阵与特殊线性变换等多个知识点。
通过对以上知识点的归纳和总结，我相信读者对大二线性代数的概念和技巧有了更清晰的理解。
希望读者能够在学习过程中注重理论的学习与实践的运用，通过练习和应用将理论知识转化为实际解决问题的能力。
线性代数是一门重要的数学学科，对于培养科学思维和解决实际问题都具有重要的作用，希望读者能够在以后的学习和工作中充分发挥线性代数的作用。
线性代数知识点总结(2)
大学线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列得n 个元素得乘积得与（奇偶）排列、逆序数、对换行列式得性质:①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式）② 行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论:若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③ 常数k 乘以行列式得某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论:行列式中某一行（列）元素全为零,行列式为零。
④ 行列式具有分行（列）可加性⑤ 将行列式某一行（列）得k 倍加到另一行（列）上,值不变行列式依行（列）展开:余子式、代数余子式定理:行列式中某一行得元素与另一行元素对应余子式乘积之与为零。
克莱姆法则：D,非齐次线性方程组：当系数行列式时，有唯一解= 土（丿・=1、2……a ）齐次线性方程组：当系数行列式时，则只有零解逆否:若方程组存在非零解，则D 等于零痔殊行列式： n il 牡 a iia n a 212）转置行列式: a 2i ci 22 a 口 —> ci l2 a 22a 31 6/32 °335 a 23 ②对称行列式:a tj = ciji③反对称行列式:a tj = -a jf 奇数阶得反对称行列式值为零⑤上（下）三角形行列式：行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多得）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、④三线性行列式：a 21a 22 5 °方法:用把化为零,。
化为三角形行列式第二章矩阵矩阵得概念：4”血（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、相等矩阵）矩阵得运算:加法（同型矩阵）交换、结合律数乘kA = （ka ij）^l分配、结合律A*〃 =（讥"*如旳=（工畋如）龄乘法V 注意什么时候有意义一般AB^=BA,不满足消去律;由AE=O,不能得A=0或B=0转置（A T）r = A（4 + By =A T+B T（kA）7 = kA T（AB）T=B T A T（反序定理）方幕:泸八=A kl+kz几种特殊得矩阵:对角矩|阵:若AB都就是N阶対角阵左就是数，则kA、A+B、AB都就是n阶对角阵数量矩阵:相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵:每一非零行左数第一个非零元素所在列得卜方都就是0分块矩阵:加法，数乘，乘法:类似，转置:每块转置并且每个子块也要转置注:把分出来得小块矩阵瞧成就是元素逆矩阵:设A就是N阶方阵，若存在N阶矩阵B得AB=BA=I则称A就是可逆得,= 奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵）初等变换1、交换两行（列）2、、非零k乘某一行（列）3、将某行（列）得K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵得可逆性初等矩阵都可逆初等矩阵:单位矩阵经过一次初等变换得到得（对换阵倍乘阵倍加阵）等价标准形矩阵矩阵得秩［（A）:满秩矩阵降秩矩阵若A可逆,则满秩若A就是非奇异矩阵，则r（AB）=r（B）初等变换不改变矩阵得秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式得联系与区别：都就是数表;行列式行数列数一样，矩阵不一样;行列式最终就是一个数,只要值相等, 就相等，矩阵就是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵伙® ）” = R （州）“，行列式5 广K a ijn逆矩阵注:®AB=BA=I则A与B —定就是方阵②EA=AB=I则A与B —定互逆；③不就是所有得方阵都存在逆矩阵;④若A可逆，则其逆矩阵就是唯一得。
西财高等代数期末模拟题(二)
光华园 /光华园学习网 /study09/专业 学号 姓名 成 绩 (分)试 题 全 文一、填空题（请将正确答案直接填在横线上。
每小题2分，共20分）： 1. 排列2．322若34. 11⎡⎢⎣设5. 向量67．设A 8．设AX 9．设X10．若λ每小题2分，共10分）：1.设行列式121213101223,010,,31510D D D D λλλ-==-=-若则λ的取值为 ( )。
① 0, 1 ② 0, 2 ③ 1, −1 ④ 2, −1 2. 设A , B 为n 阶方阵，A ≠O , 且AB = O , 则( )。
① BA = O ② (A −B )2 = A 2 + B 2③ B = O ④∣B ∣= 0或∣A ∣= 0 3. 设A 为n 阶方阵，那么T AA 是（ ）。
① 对称矩阵 ② 反对称矩阵 ③可逆矩阵④ 不可逆矩阵4. 设P 为m 阶非奇异矩阵，Q 为n 阶非奇异矩阵，A 为m ×n 阶矩阵，则（ ）。
① R(PA) = R(A)，R(AQ) ≠ R(A) ② R(P A) =R(A)，R(AQ )= R(A) ③ R(PA) ≠ R(A)，R(AQ) = R(A) ④ R(PA ) ≠ R(A)，R (AQ ) ≠ R(A) 5.① ③1. 计算2.3. 设4. 求向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113420112404321αααα，，，的极大线性无关组和秩，并将其余向量表示成极大线性无关组的线性组合。
5．6. 设1231100,1,1101ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦为R 3的一组基, 将其化为标准正交基。
7. 求解方程组⎪⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解。
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一、 填空题（共5小题，每题2分）
1. 设A 、B 是n 阶可逆矩阵，则1
O
A B
O -⎛⎫
⎪⎝⎭
= .
2. 设1α，2
α
，3α是齐次线性方程组A X θ=的基础解系，则当参数a 满足
时，122331
,,a αααααα+++也是该方程组的基础解系。
3. 若3阶矩阵B 的特征值为1、2、3，则*
B E -.=
4. 设3阶矩阵A 的秩为3，则*
()R A = .
5. 已知2
4A A E O +-=，则1
()A E --= .
二、选择题（共10小题，每题2分）
1. 如果11
121321
222331
32
33
1a a a D a a a a a a ==，11111312
121
21222231
3133
32
423423423a a a a D a a a a a a a a -=--，那么1D =（）。
A 、8 B 、12 C 、24 D 、-24
2. 下列说法正确的是（ ） (A) 若1α、2
α
线性相关，1β、2
β
线性相关，则11αβ+、22αβ+线性相关
(B) 若1α、2
α
线性无关，β为任一向量，则1αβ+、2αβ+一定线性无关
(C) 若1,,(2)m
m αα≥ 线性相关，则其中任意一个向量都可由其余向量线性表示
(D) 若1,,(2)m
m αα≥ 线性无关，则对于任意一组不全为零的数1,,m k k 一定有11m m
k k ααθ++≠ 3. 设向量组1α，2
α
，3α线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）
(A) 1
2
2
3
1
3
,,αααααα-++ (B) 1
2
2
3
1
3
,,αααααα+++
(C) 1
22
31
2
3
,,2ααααααα++++
(D)
12
31
2
31
2
3
,22,33ααααααααα++++++
4. 设11121314212223243132333441
424344a a a a a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭，
14
13121124
232221
3433323144
43
4241a a a a a
a a a B a a a a a a a a ⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
， 10001010000101
0P ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭，2
1
0000010
010000
1P ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，其中A 可逆，则1
B -等于（ ）。
A 、112A P P -；
B 、112P A P -；
C 、
1
12P P A
-； D 、 1
21P A P -。
5. 设A 是5阶矩阵，2A O =，则*
()R A =（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）不能确定
6． 设n 阶不可逆矩阵A 和n 维列向量α满足()0T
A
R R A αα
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则（ ）
（A ）方程组A X α=必有唯一解 （B ）方程组A X α=必有无穷解 (C) 方程组A X α=必无解 (D) 不能确定
7. 设矩阵A 可通过列初等变换化成B ，则（ ） （A ）()R A >()R B （B ）()R A <()R B （C ）()R A =()R B （D ）不能确定.
8. 下列矩阵中不能对角化的是（ ）
（A ）0
11
0⎛⎫
⎪⎝⎭ (B) 102
1⎛⎫ ⎪⎝⎭ (C) 1
00
2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D) 0
20
1⎛⎫
⎪⎝⎭
9. 设A B 、分别为为s n ⨯和t n ⨯的矩阵，则T
A B ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
（ ）
（A ）T T
A
B
⎛⎫
⎪⎝⎭ (B) ()A B
(C) ()T T
A B
(D) ()B
A
10. 设A 是n 阶方阵，且k
A O =(k 是正整数)，则（ ）
（A ）A O = （B ）A 有一个不为零的特征值
(C) A 的特征值全为零 （D ）A 有n 个线性无关的特征向量
三、计算题（共8小题，每题8分）
1、计算四阶行列式
1
111111111111
1
1
1
x x D x x ---+-=
--+--
2、若齐次线性方程组 (3)14202(8)023(2)0x y z x y z x y z λλλ+++=⎧⎪
-+--=⎨⎪--+-=⎩
有非零解，求λ的值。
3、设
()()1
2
1,0,0,3,1,1,1,2T
T
αα==-，(
)3
1,2,3,1T
a α=-，
()41,2,2,T a α=-，()0,1,,1T
b β=-，问,a b 取何值时，
（1）β可由1234,,,αααα线性表示，且表示式是唯一的； （2）β不能由1234
,,,αααα线性表示； （3）β可由1234
,,,αααα线性表示，但表示式不唯一，并写出一般的表示式。
4、设矩阵
111
111
111
A
-
⎛⎫
⎪
=-
⎪
⎪
-
⎝⎭
，且满足A X A X A E
*=-,求X..
5、设n 阶矩阵
11111
1
k k A k ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
求A 的秩.
6、已知4阶矩阵()
1
2
3
4
A αααα=的列向量组中，1
α、2
α
、4
α
线性无关，
312422αααα=+-，且1234
22βαααα=++-，求非齐次线性方程组AX β=的通解。
7、设1102
2041A x
-⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪⎝
⎭
可对角化，求与A 相似的对角阵Λ和n
A 。
8、设A是3阶实对称矩阵，其特征值为1、0、-1，A的属于1和0的特征向量分别为()
a a+，求A及属于-1的所有特征向量。
,1,1T
1,,1T
a和()
四、证明题（本题6分）
设B
A,为n阶方阵，若B
AB=.
A-可逆，且BA
A
AB+
=,证明：E。