高三解析几何：动点轨迹方程

精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级：高二 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
授课类型 T （动点轨迹方程） C （求解轨迹方法） T （轨迹求解提高）
授课日期及时段
教学内容
一、同步知识梳理
知识点1： 曲线的方程和方程的曲线：
一般地，如果某曲线C 与方程(,)0F x y =之间有以下两个关系： ① 曲线C 上的点的坐标都方程(,)0F x y =的解；
② 以(,)0F x y =方程的解为坐标的点都是曲线C 上的点，此时，把方程(,)0F x y =； 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(,)0F x y =的曲线.
知识点2：求轨迹方程的一般步骤：（以提问为主，让学生回答）
① 建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步骤省略)； ② 设曲线上任意一点的坐标为(),x y ； ③ 根据曲线上点所适合的条件，写出等式； ④ 用坐标,x y 表示这个等式(方程)，并化简；
⑤ 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(在沪教版中，这一步不作要求).
【上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明。

】 知识点3：求曲线的方程的常用方法：（老师引导，让学生回答）
① 直接法：直接根据动点满足的几何条件或等量关系列出等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，
0AC BC ⋅=，求动点AB 的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则A 的坐标分别为是轨迹上任意一点，则有(AC x =+(BC x =-0AC BC ⋅=，可得．整理得22x y +=（通过典型例题的讲解，让学生总结和掌握利用直接法求解曲线的轨迹方程的5个步骤，同时强调那一步最重要，及每步需注意的问题例2：若直角三角形
解：以线段AB 轴，建立平面直角坐标系，则A ，分别为(2,0-(AC x =+(BC x =-0AC BC ⋅=，即)2±.
(强调求解曲线的轨迹方程时，一定要结合实际意义和题目的已知条件写出自变量的取值范围.) 题型3：代入法求曲线方程例1：已知ABC ∆
|1MP =，所以1.
通过练习让学生理解和掌握什么条件下用代入法求轨迹方程，及用代入法求曲线的轨迹方程的方法和步骤OP mOA nOB =+，可得2，所以()(222x y y +-【现在的大多数孩子对于字母不敏感，更甚者对于字母多的题目产生畏惧，在含参数较多的题目中，要让孩子明
①-②可得12121212()()()()
042
x x x x y y y y -+-++=
而(1,1)P 为线段AB 的中点，故有12122,2x x y y +=+=
所以
12121212()2()210422x x y y y y x x -⨯-⨯-+=⇒=--，即1
2
AB k =-
所以所求直线方程为1
1(1)2
y x -=-
-化简可得230x y +-= 三、课堂达标检测
1、平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2，则点P 的轨迹方程
是 。

答案：
22
(2)11648
x y --= 2、已知(1,0),(1,4)A B -，在平面上动点Q 满足4QA QB ⋅=，点P 是点Q 关于直线2(4)y x =-的对称点，求动点P 的轨迹方程。

答案：2
2
(8)(2)9x y -++=
3、两条直线01=++y ax 和)1(01±≠=--a ay x 的交点的轨迹方程是___ ______。

答案：)0,0(02
2
≠≠=+-+y x y x y x
一、专题精讲
例1：一条线段AB 的长等于2a ，两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？
解: 设M 点的坐标为),(y x 由平面几何的中线定理：在直角三角形AOB 中，
,22
1
21a a AB OM =⨯==
所以22
x y a +=，即2
2
2
x y a +=
例2：过点(2,4)P 作两条互相垂直的直线12,l l ，若1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

90，求矩形
范围的影响；
（3）代入法：关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系。

3、注意事项：在求曲线方程的过程中，利用几何关系寻求代数关系时，要保证几何意义的存在；在消参数求曲线方程时，要注意自变量范围的转换。

一、 能力培养
综合练习1：过点()0,2A 作直线l 与曲线2
2
44x y +=相交于B ，C 两点，求弦BC 中点M 的轨迹方程.
解: 设B ，C 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，中点M 的坐标为(),x y ，当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，于是点B ，C 的坐标()11,x y ，()22,x y 为方程组22
2,
4 4.
y kx x y =+⎧⎨+=⎩的实数解．把2y kx =+代入曲线
2244x y +=的方程，并整理得
()2
24116120k
x kx +++=．因此当
()()2
221644112430k k k ∆=-⨯+⨯=->即3322
k -
<<时直线与曲线有两个交点，即弦BC 存在．由韦达定理可得1221641k x x k +=-+，12122
42241y y kx kx k +=+++=+，由中点坐标公式得228,412.
41k x k y k ⎧
=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
，消
去k 得中点M 的轨迹方程为()2322y x x =-≤≤．当直线l 的斜率k 不存在时，中点M 的坐标为()0,0，满足方程()2322y x x =-≤≤，所以中点M 的轨迹方程为()2322y x x =-≤≤．
（通过例题的讲解，让学生理解和掌握用参数法求轨迹方程的方法和步骤，同时注意使用点斜式斜率不存在的情
况．） 综合练习2：过点(2,0)M -作直线l 交曲线2
2
1x y -=于A 、B 两点，已知OP OA OB =+。

（1）求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（对于轨迹是什么曲线，需要老师根据方程的特点给学员以拓展）
（2）是否存在这样的直线l ，使OAPB 矩形？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。

解：当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =+≠，代入方程2
2
1x y -=，得
2222(1)4410k x k x k ----=
因为直线l 与双曲线有两个交点，所以2
10k -≠，设1122(,),(,)A x y B x y ，则
OP OA OB
=+得(x
所以x
k
y
=，代入22
（也可考虑用点差法求解曲线方程）
OA OB
⋅=即
3)、(2,3)
--
22)(1
x k +=+
化简得
2
2
1
1 k
k
+
=
-
为矩形。