2015年秋期南阳地区高二上学期期中考试数学(文)试题答案
2015-2016年河南省南阳市高二上学期数学期中试卷带答案
2015-2016学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷一、选择题1．（5分）在等差数列{a n}中，a1=21，a7=18，则公差d=（）A．B．C．﹣ D．﹣2．（5分）在△ABC中，若sinA=cosB=，则∠C=（）A．45°B．60°C．30°D．90°3．（5分）已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．a2b＜ab2C．2a﹣2b＜0 D．＞4．（5分）设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则=（）A．2 B．4 C．D．5．（5分）如果方程x2+（m﹣1）x+m2﹣2=0的两个实根一个小于﹣1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是（）A．﹣＜m＜B．﹣2＜m＜0 C．﹣2＜m＜1 D．0＜m＜16．（5分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，其公比q≠1，且b i ＞0（i=1，2，3，…），若a1=b1，a11=b11，则（）A．a6=b6B．a6＞b6C．a6＜b6D．a6＞b6或a6＜b67．（5分）平面区域如图所示，若使目标函数z=x+ay（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是（）A．B．1 C．D．48．（5分）等差数列{a n}的公差d＜0，且a12=a112，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5 B．6 C．5或6 D．6或79．（5分）若关于x的不等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0在1＜x＜4内有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣4 B．a＞﹣4 C．a＞﹣12 D．a＜﹣1210．（5分）△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．11．（5分）已知a＞0，b＞0，，若不等式2a+b≥4m恒成立，则m的最大值为（）A．10 B．9 C．8 D．712．（5分）设等差数列{a n}（n∈N+）的前n项和为S n，该数列是单调递增数列，若S4≥10，S5≤15，则a4的取值范围是（）A．（] B．（]C．（﹣∞，4]D．（3，+∞）二、填空题13．（5分）设公比为q的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n+1、S n、S n+2成等差数列，则q=．14．（5分）在约束条件下，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则ab的最大值等于．三、解答题（共7小题，满分80分）15．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．16．（10分）已知数列{a n}满足数列{b n}的前n项和S n=n2+2n．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．17．（10分）已知关于x的不等式ax2+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜}，（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）解关于x的不等式ax2+（ac+b）x+bc≥0．18．（12分）已知三角形ABC中，A为锐角，且b=2asinB（1）求A，（2）若a=7，三角形ABC的面积为10，求b+c的值．19．（12分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400 元/米，中间两道隔墙建造单价为248 元/米，池底建造单价为80 元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．（1 ）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2 ）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低．20．（12分）三角形ABC中，a（cosB+cosC）=b+c，（1）求证A=（2）若三角形ABC的外接圆半径为1，求三角形ABC周长的取值范围．21．（12分）设数列{a n}的前n项的和S n=a n﹣×2n+1+（n=1，2，3，…）（Ⅰ）求首项a1（Ⅱ）证明数列{a n+2n}是等比数列并求a n．2015-2016学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）在等差数列{a n}中，a1=21，a7=18，则公差d=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：由等差数列的通项公式可得a7=a1+6d，∴18=21+6d，解得d=．故选：D．2．（5分）在△ABC中，若sinA=cosB=，则∠C=（）A．45°B．60°C．30°D．90°【解答】解：△ABC中，若sinA=cosB=，则∠B=60°，∴∠A=30°，∠C=90°，故选：D．3．（5分）已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．a2b＜ab2C．2a﹣2b＜0 D．＞【解答】解：A 不正确，如a=﹣3，b=﹣1，显然a2＜b2不成立．B 不成立，如a=﹣3，b=1时，显然a2b＜ab2不成立．D不正确，如a=﹣3，b=1时，＞显然不成立．∵函数y=2x在定义域R上是个增函数，∴2a＜2b，∴2a﹣2b＜0，故选：C．4．（5分）设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则=（）A．2 B．4 C．D．【解答】解：由等比数列的求和公式和通项公式可得：==，故选：C．5．（5分）如果方程x2+（m﹣1）x+m2﹣2=0的两个实根一个小于﹣1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是（）A．﹣＜m＜B．﹣2＜m＜0 C．﹣2＜m＜1 D．0＜m＜1【解答】解：令f（x）=x2+（m﹣1）x+m2﹣2，则由题意可得，求得0＜m＜1，故选：D．6．（5分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，其公比q≠1，且b i ＞0（i=1，2，3，…），若a1=b1，a11=b11，则（）A．a6=b6B．a6＞b6C．a6＜b6D．a6＞b6或a6＜b6【解答】解：由题意可得a1+a11=b1+b11=2a6．∵公比q≠1，b i＞0，∴b1+b11＞2=2b6，∴2a6＞2b6，即a6＞b6，故选：B．7．（5分）平面区域如图所示，若使目标函数z=x+ay（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是（）A．B．1 C．D．4【解答】解：∵z=x+ay（a＞0），∴y=﹣x+，∵目标函数z=x+ay（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，∴﹣=k AB==﹣，∴a=，故选：A．8．（5分）等差数列{a n}的公差d＜0，且a12=a112，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5 B．6 C．5或6 D．6或7【解答】解：由，知a1+a11=0．∴a6=0，故选：C．9．（5分）若关于x的不等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0在1＜x＜4内有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣4 B．a＞﹣4 C．a＞﹣12 D．a＜﹣12【解答】解：原不等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0化为：a＜2x2﹣8x﹣4，只须a小于y=2x2﹣8x﹣4在1＜x＜4内的最大值时即可，∵y=2x2﹣8x﹣4在1＜x＜4内的最大值是﹣4．则有：a＜﹣4．故选：A．10．（5分）△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．【解答】解：由AB=，AC=1，cosB=cos30°=，根据余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，即1=3+BC2﹣3BC，即（BC﹣1）（BC﹣2）=0，解得：BC=1或BC=2，当BC=1时，△ABC的面积S=AB•BCsinB=××1×=；当BC=2时，△ABC的面积S=AB•BCsinB=××2×=，所以△ABC的面积等于或．故选：D．11．（5分）已知a＞0，b＞0，，若不等式2a+b≥4m恒成立，则m的最大值为（）A．10 B．9 C．8 D．7【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴2a+b＞0∵，∴2a+b=4（2a+b）（）=4（5+）≥36，∵不等式2a+b≥4m恒成立，∴36≥4m，∴m≤9，∴m的最大值为9，故选：B．12．（5分）设等差数列{a n}（n∈N+）的前n项和为S n，该数列是单调递增数列，若S4≥10，S5≤15，则a4的取值范围是（）A．（] B．（]C．（﹣∞，4]D．（3，+∞）【解答】解：∵等差数列{a n是单调递增数列，若S4≥10，S5≤15，∴4a1+6d≥10 ①5a1+10d≤15 ②（﹣1）①+②a5≤50＜d≤1，由②得，a3≤3，∴故选：A．二、填空题13．（5分）设公比为q的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n+1、S n、S n+2成等差数列，则q=﹣2．【解答】解：记等比数列{a n}的通项为a n，则a n+1=a n•q，a n+2=a n•q2，又∵S n+1、S n、S n+2成等差数列，∴S n﹣S n+1=S n+2﹣S n，即﹣a n•q=a n•q+a n•q2，∴q2+2q=0，∴q=﹣2，故答案为：﹣2．14．（5分）在约束条件下，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则ab的最大值等于．【解答】解：约束条件对应的平面区域如图3个顶点是（1，0），（1，2），（﹣1，2），由图易得目标函数在（1，2）取最大值1，此时a+2b=1，∵a＞0，b＞0，∴由不等式知识可得：1≥∴ab，当且仅当a=，b=时，取等号∴ab的最大值等于故答案为：三、解答题（共7小题，满分80分）15．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．16．（10分）已知数列{a n}满足数列{b n}的前n项和S n=n2+2n．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解（1）∵∴数列{a n}是以1为首项以3为公办的等比数列∴∵S n=n2+2n当n≥2时，b n=s n﹣s n﹣1=n2+2n﹣（n﹣1）2+2（n﹣1）=2n+1当n=1时，b1=s1=3适合上式∴b n=2n+1（2）由（1）可知，c n=a n b n=（2n+1）•3n﹣1∴T n=3•1+5•3+7•32+…+（2n+1）•3n﹣13T n=3•3+5•32+…+（2n+1）•3n两式相减可得，﹣2T n=3+2（3+32+33+…+3n﹣1）﹣（2n+1）•3n=3=2n•3n∴17．（10分）已知关于x的不等式ax2+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜}，（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）解关于x的不等式ax2+（ac+b）x+bc≥0．【解答】解：（Ⅰ）由题得a＜0且，是方程ax2+5x+c=0的两个实数根则=﹣，=，解得a=﹣6，c=﹣1，（Ⅱ）由a=﹣6，c=﹣1，原不等式化为﹣x2+（6+b）x﹣b≥0，即（6x﹣b）（x﹣1）≤0．①当即b＞6时，原不等式的解集为[1，]；②当=1即b=6时，原不等式的解集为{1}；③当1即b＜6时，原不等式的解集为[，1]；综上所述：当即b＞6时，原不等式的解集为[1，]；当b=6时，原不等式的解集为{1}；当b＜6时，原不等式的解集为[，1]；18．（12分）已知三角形ABC中，A为锐角，且b=2asinB（1）求A，（2）若a=7，三角形ABC的面积为10，求b+c的值．【解答】解：﹙1﹚由正弦定理知a=2RsinA，b=2RsinB，∴×2RsinB=2×2RsinAsinB，sinB≠0，∴sinA=且A为锐角，∴A=60°（2）∵S=bcsinA=bc×=10，∴即解得：bc=40，∴由余弦定理可求得：49=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣120，∴b+c=13．19．（12分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400 元/米，中间两道隔墙建造单价为248 元/米，池底建造单价为80 元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．（1 ）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2 ）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低．【解答】解：（1）设污水处理池的宽为x米，则长为米．则总造价f（x）=400×（2x+2×）+248×2x+80×162=1296x++12960=1296（x+）+12960≥1296×2×+12960=38880（元），当且仅当x=（x＞0），即x=10时取等号．∴当长为16.2 米，宽为10 米时总造价最低，最低总造价为38 880 元．（2）由限制条件知，∴10≤x≤16设g（x）=x+（10≤x≤16）．g（x）在[10，16]上是增函数，∴当x=时，g（x）有最小值，即f（x）有最小值．∴当长为16 米，宽为10米时，总造价最低．20．（12分）三角形ABC中，a（cosB+cosC）=b+c，（1）求证A=（2）若三角形ABC的外接圆半径为1，求三角形ABC周长的取值范围．【解答】解：（1）证明：∵a（cosB+cosC）=b+c，∴由余弦定理可得：a+a=b+c，∴整理可得：（b+c）（a2﹣b2﹣c2）=0，∵b+c＞0，∴a2=b2+c2，∴A=，得证．（2）∵三角形ABC的外接圆半径为1，A=，∴a=2，∴b+c=2（sinB+cosB）=2sin（B+），∵0，＜B+＜，∴2＜b+c，∴4＜a+b+c≤2，∴三角形ABC周长的取值范围是：（4，2+2]．21．（12分）设数列{a n }的前n 项的和S n =a n ﹣×2n +1+（n=1，2，3，…） （Ⅰ）求首项a 1（Ⅱ）证明数列{a n +2n }是等比数列并求a n ．【解答】（I ）解：∵S n =a n ﹣×2n +1+（n=1，2，3，…）， ∴当n=1时，a 1=S 1=﹣+，解得a 1=2．（II ）证明：当n ≥2时，S n ﹣1=﹣+， 可得a n =a n ﹣×2n +1+﹣（﹣+），化为：a n =4a n ﹣1+2n ． ∴=，∴数列{a n +2n }是等比数列，首项为4，公比为4． ∴a n +2n =4n ， ∴a n =4n ﹣2n ．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DA1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DEa+b-aa45°A BE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。
河南省南阳市高二数学上学期期中质量评估试题 文(扫描
勘误：22题（Ⅰ）为：求首项a12015年南阳市秋期期中考试高二数学试题答案（文）一.选择题：DACCD BACAD CA 二.填空题：13.81 14. 2- 15. 8116. 43三.解答题：17.解：（1）由题意得a n ＝3n-1………………………………2分 由数列{}n b 满足b 1＝s 1＝3 …………………………3分 当n ≥2时，b n ＝s n －s n －1＝2n ＋1∴b n ＝2n ＋1（n ∈N ＋） ……………………………………6分（2）由（1）得c n ＝（2n ＋1）·3n －1∴Tn ＝3＋5·3+7·32＋…＋（2n －1）·3n －2＋（2n ＋1）·3n －1①∴3Tn ＝ 3·3＋5·32＋…＋ （2n －1）·3n －1＋（2n ＋1）·3n②①－② －2Tn ＝－2n ·3n∴Tn ＝n ·3n………………………………………10分 18.（1）由题意得a ＜0，且31，21是方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两个实数根，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+ac a21·3152131 解得⎩⎨⎧-=-=16c a ………………………………………4分 （2）由（1）知原不等式可化为－6x 2＋（6＋b ）x －b ≥0， 即（6x －b ）（x －1）≤0 ………………………6分 ①当6b ＞1，即b ＞6时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤61 b x x ……………8分 ②当6b＝1，即b ＝6时，原不等式的解集为{}1=x x ……………………………10分 ③当6b＜1，即b ＜6时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤16x b x …………12分 19. (本小题共12分)解：（1） 由B a b sin 23=⇒2sin sin B A B =⇒sin 2A =,又A 是锐角， 所以60A =︒ ………………………………………………6分 （2）由面积公式1sin 2S bc A ===40bc ⇒=，………8分又由余弦定理：2222cos 4913a b c bc A b c =+-=⇒+=…………………………12分20.…………………………………12分21.（22）解：（I ）由Λ,3,2,1 ,32231341=+⨯-=+n a S n n n ① …………………6分…………………6分…………………12分得 3243134111+⨯-==a S a 所以 a 1=2 ………………………………4分（Ⅱ）再由①有 Λ,3,2 ,322313411=+⨯-=--n a S n n n ② 将①和②相减得 Λ,3,2 ),22(31)(34111=-⨯--=-=+--n a a S S a nn n n n n n整理得 Λ,3,2 ),2(4211=+=+--n a a n n n n ，因而数列}2{nn a +是首项为a 1+2=4，公比为4的等比数列，……………………8分 即nn n n a 44421=⨯=+-，n=1，2，3，…，因而 ,24nn n a -= n=1，2，3，…， ………………………………………12分。
河南省南阳市2015-2016学年高二上学期期终质量评估数学(文)试题(扫描版)
2015年秋期高中二年级期终质量评估数学试题（文）参考答案一、选择题1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C 7．A 8. D 9. B 10．D 11．A 12．C二、填空题13．7 14．1 15．16. 1(,1)4三、解答题17．解析：(1)设等差数列{}n a 的公差为d,则1(1)n a a n d =+-因为719942a a a =⎧⎨=⎩,所以11164182(8)a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩. 解得,111,2a d ==. ……………4分所以{}n a 的通项公式为12n n a +=.…………5分 (2)1222(1)1n n b na n n n n ===-++, ……7分 所以2222222()()()122311n n S nn n =-+-++-=++ . …………10分 18．解析：(1)由已知条件得cos 2A ＋3cos A ＝1，∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，………4分解之得cos A ＝12 (cos A ＝－2舍去)，由000180A <<得A ＝60°,∴角A 的大小为60°……6分(2)由面积公式S ＝12bcsin A ＝53，及b ＝5得c ＝4.………………………………8分根据余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccos A 得a 2＝21.又因为正弦定理中a sin A ＝2R ，所以(2R)2＝a 2sin 2A ＝28.………………………………10分由正弦定理可得sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，∴sin Bsin C ＝bc 4R 2＝57.∴sin Bsin C 的值为57.………………………12分19．解析：(1)若a ＝1，则f(x)＝3x －2x 2＋ln x ，该函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1x －4x ＋3＝－4x 2＋3x ＋1x ＝－(4x ＋1)(x －1)x (x>0)．………………2分当x ∈(0,1)，f ′(x)>0时，函数f(x)＝3x －2x 2＋ln x 单调递增． 当x ∈(1，＋∞)，f ′(x)<0时，函数f(x)＝3x －2x 2＋ln x 单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．……………6分 (2)f ′(x)＝3a －4x ＋1x，若函数f(x)在区间[2,4]上为单调递增函数，即在区间[2,4]上，f ′(x)＝3a －4x ＋1x ≥0，即3a －4x ＋1x ≥0在[2,4]上恒成立．………8分即3a ≥4x －1x . 令h(x)＝4x －1x ，因为函数h(x)在[2,4]上单调递增， 所以()()max 6344h x h ==， 即3a ≥634，…………10分 解之得4021a <≤,∴实数a 的取值范围为4|021a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.…………………………………………12分20．解析：(1)∵F(1,0)，∴直线l 的方程为y ＝2(x －1），…………………………1分设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由22(1)4y x y x =-⎧⎨=⎩得x 2－3x ＋1＝0，………3分 ∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1. …………4分 ∴|AB|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 25. ∴|AB|的大小为5………………6分 (2)证明：设直线l 的方程为x ＝my ＋1，由214x my y x=+⎧⎨=⎩得y 2－4my －4＝0. ∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4…………10分 OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)．∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＋y 1y 2 ＝m 2y 1y 2＋m(y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4m 2＋4m 2＋1－4＝－3.∴OA →·OB →是一个定值．……………12分 21. 解析：(1)f ′(x)＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a.曲线y ＝f(x)在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2. 由题设得－2a＝－1，所以a ＝2 …………………4分(2)证明：由(1)知，f(x)＝x 3－3x 2＋2x ＋2. 设g(x)＝f(x)－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(2－k)x ＋4.由题设知2－k>0. 当x ≤0时，g ′(x)＝3x 2－6x ＋2－k>0，g(x)单调递增， g(－1)＝k －2<0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一实根． …………………8分 当x>0时，令h(x)＝x 3－3x 2＋4， 则g(x)＝h(x)＋(2－k)x>h(x)．h ′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)．h(x)在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增， 所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0.所以g(x)＝0在(0，＋∞)没有实根． ………………………………………11分 综上，g(x)＝0在R 有唯一实根，即曲线y ＝f(x)与直线y ＝kx －2只有一个 交点． ……………………………………………………………………12分 22．解析：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，F(c,0)，则c ＝1，因为AF →·FB →＝(a ＋c)(a －c)＝a 2－c 2＝1，所以a 2＝2，b 2＝1，则椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.……………………………4分(2)假设存在直线l 符合题意，由题意知k MF ＝1－00－1＝－1，故可设直线l 的方程为：y ＝x ＋n ， 代入x 22＋y 2＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－2＝0，则Δ＝16n 2－24(n 2－1)＞0，解得n 2＜3. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－43n ，x 1x 2＝2n 2－23， …………………………………………8分FP →·MQ →＝(x 1－1，y 1)·(x 2，y 2－1)＝(x 1－1)x 2＋(y 2－1)y 1＝2x 1x 2＋(n －1)(x 1＋x 2)＋n 2－n ＝0，即3n 2＋n －4＝0，……………………………………………………………………10分解得n ＝1或n ＝－43，当n ＝1时，P 或Q 与M 重合，所以n≠1，所以n ＝－43.所以满足题意的直线l 存在，其方程为：y ＝x －43.………………………………12分。
2014-2015学年河南省南阳市高二上学期数学期中试卷带解析(文科)
2014-2015学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2） B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]2．（5分）复数z1=3+i，z2满足z1•z2=4﹣2i（i为虚数单位），则z2在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11=（）A．4 B．3 C．2 D．14．（5分）已知向量的模为2，=（1，﹣2），条件p：向量的坐标为（4，2），条件q：⊥，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）设函数f（x）=bsinx的图象在点A（，f（））处的切线与直线x ﹣2y+3=0平行，若a n=n2+bn，则数列{}的前2014项和S2014的值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知（x，y）满足，则k=的最大值等于（）A．B．C．1 D．7．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）在R上是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）8．（5分）函f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sinωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平个单位长度B．向右平个单位长度C．向左平个单位长度D．向左平个单位长度9．（5分）定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，f（x）+f′（x）＜xf′（x）恒成立，a=f（2），b=f（3），c=（+1）f（），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a10．（5分）若正数x，y满足+=5，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．5 D．611．（5分）已知O为△ABC内任意的一点，若对任意k∈R有|﹣k|≥||，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定12．（5分）已知曲线方程f（x）=sin2x+2ax（a∈R），若对任意实数m，直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，+∞） D．a∈R且a≠0，a≠﹣1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）如果log a4b=﹣1，则a+b的最小值为．14．（5分）O为△ABC所在平面内的一点，若，则O必是△ABC 的．（填写“内心”、“重心”、“垂心”、“外心”之一）15．（5分）已知正项数列{a n}中，a1=1，a2=，（n≥2），则a6=．16．（5分）给出下列四个命题：①∀x∈R，e x≥ex；②∃x0∈（1，2），使得（x02﹣3x0+2）e x0+3x0﹣4=0成立；③在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是锐角三角形；④已知长方体的长、宽、高分别为a，b，c，对角线长为l，则l3＞a3+b3+c3；其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式．（Ⅱ）若sinα+f（α）=，求的值．18．（12分）设曲线f（x）=x2+1和g（x）=x3+x在其交点处两切线的夹角为θ，求cosθ．19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．20．（12分）设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有a n2=2S n﹣a n，其中S n为数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=3n+（﹣1）n﹣1•λ•2an（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得＞b n成立．对任意n∈N*，都有b n+121．（12分）已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1．（1）求f（x）在[﹣1，0）上的解析式；（2）求f（24）的值．22．（12分）设f（x）=﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．2014-2015学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2） B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：D．2．（5分）复数z1=3+i，z2满足z1•z2=4﹣2i（i为虚数单位），则z2在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z1=3+i，z2满足z1•z2=4﹣2i，∴z2====1﹣i所对应的点（1，﹣1）在第四象限．故选：D．3．（5分）各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11=（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，∴a4•a14=（2）2=8，∵a4•a14=（a9）2，∴a9=2，∴log2a7+log2a11=log2a7a11=log2（a9）2=3，故选：B．4．（5分）已知向量的模为2，=（1，﹣2），条件p：向量的坐标为（4，2），条件q：⊥，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：若向量的坐标为（4，2），则•=4﹣2×2=4﹣4=0，此时⊥，即充分性成立．若⊥，设=（x，y），则x﹣2y=0，即x=2y，∵向量的模为2，∴x2+y2=20，由，解得或，即=（4，2）或（﹣4，﹣2），即必要性不成立，故p是q的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）设函数f（x）=bsinx的图象在点A（，f（））处的切线与直线x ﹣2y+3=0平行，若a n=n2+bn，则数列{}的前2014项和S2014的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=bsinx，∴f′（x）=bcosx，则f′（）=bcos=，∵图象在点A（，f（））处的切线与直线x﹣2y+3=0平行，∴切线斜率k==，解得b=1．∴a n=n2+bn=a n=n2+n=n（n+1），则==﹣，∴数列{}的前2014项和S2014的值为1﹣=1﹣，故选：D．6．（5分）已知（x，y）满足，则k=的最大值等于（）A．B．C．1 D．【解答】解：k的几何意义为点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象可知AB的斜率最大，其中B（0，1），此时k=，故选：C．7．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）在R上是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）【解答】解：由解析式可知，当x≤0时，f（x）=cosx，为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，是二次函数的一部分，∴函数不是偶函数，不具有周期性，不是单调函数，对于D，当x≤0时，值域为[﹣1，1]，当x＞0时，值域为（1，+∞），∴函数的值域为[﹣1，+∞）．故选：D．8．（5分）函f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sinωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平个单位长度B．向右平个单位长度C．向左平个单位长度D．向左平个单位长度【解答】解：设f（x）的周期为T，根据函数的图象，可得=﹣=，得T=π，由=π，可得ω=2．∵A＞0，函数的最小值为﹣1，∴A=1．函数表达式为f（x）=sin（2x+φ），又∵当x=时，函数有最小值，∴2+φ=﹣（k∈Z），解之得φ=﹣（k∈Z），∵|φ|＜，∴取k=1，得φ=，因此，函数的表达式为f（x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，由此可得函数g（x）=sin2x=f（x﹣），∴将函数f（x）的图象右移个单位，即可得到g（x）=sin2x的图象．故选：A．9．（5分）定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，f（x）+f′（x）＜xf′（x）恒成立，a=f（2），b=f（3），c=（+1）f（），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵x∈（1，+∞）时，f（x）+f′（x）＜xf′（x）∴f′（x）（x﹣1）﹣f（x）＞0∴[]′＞0∴g（x）=在（1，+∞）上单调增∵∴g（）＜g（2）＜g（3）∴∴∴c＜a＜b故选：A．10．（5分）若正数x，y满足+=5，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．5 D．6【解答】解：由于正数x，y满足+=5，则3x+4y=（3x+4y）（）=++≥+2+2×=5，当且仅当=，即y=2x，即+=，∴x=，y=时取等号．故3x+4y的最小值是5，故选：C．11．（5分）已知O为△ABC内任意的一点，若对任意k∈R有|﹣k|≥||，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定【解答】解：从几何图形考虑：|﹣k|≥||的几何意义表示：在BC上任取一点E，可得k=，∴|﹣k|=|﹣|=||≥||，又点E不论在任何位置都有不等式成立，∴由垂线段最短可得AC⊥EC，即∠C=90°，则△ABC一定是直角三角形．故选：A．12．（5分）已知曲线方程f（x）=sin2x+2ax（a∈R），若对任意实数m，直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，+∞） D．a∈R且a≠0，a≠﹣1【解答】解：∵对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线∴曲线y=f（x）的切线的斜率不可能为﹣1即f'（x）=2sinxcosx+2a=﹣1无解∵0≤sin2x+1=﹣2a≤2∴﹣1≤a≤0时2sinxcosx+2a=﹣1有解∴对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是a＜﹣1或a＞0故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）如果log a4b=﹣1，则a+b的最小值为1．【解答】解：由log a4b=﹣1，得：a＞0，b＞0，，即ab=．所以a+b．当且仅当a=b=时上式取“=”．所以a+b的最小值为1．故答案为1．14．（5分）O为△ABC所在平面内的一点，若，则O必是△ABC 的重心．（填写“内心”、“重心”、“垂心”、“外心”之一）【解答】解：取BC中点D，连接并延长OD至E，使DE=OD 于是四边形BOCE 是平行四边形，∵=，又，∴==2，∴A，O，D，E四点共线，即AD是中线，同理延长BO交AC于F，则F也为中点，∴O是重心．故答案为：重心15．（5分）已知正项数列{a n}中，a1=1，a2=，（n≥2），则a6=．【解答】解：∵a1=1，a2=，（n≥2），∴﹣=﹣，∴数列{}为等差数列，首项为1，公差d=﹣=4﹣1=3，∴=1+3（n﹣1）=3n﹣2，∴=16，∵{a n}正项数列，∴a6=，故答案为：16．（5分）给出下列四个命题：①∀x∈R，e x≥ex；②∃x0∈（1，2），使得（x02﹣3x0+2）e x0+3x0﹣4=0成立；③在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是锐角三角形；④已知长方体的长、宽、高分别为a，b，c，对角线长为l，则l3＞a3+b3+c3；其中正确命题的序号是①②③④．【解答】解：①，令f（x）=e x﹣ex，则f′（x）=e x﹣e，当x≥1时，f′（x）≥0，f（x）=e x﹣ex在[1，+∞）上单调递增；当x＜1时，f′（x）＜0，f（x）=e x﹣ex在（﹣∞，1）上单调递减；∴当x=1时，f（x）=e x﹣ex取得极小值，也是最小值，又f（1）=e1﹣e=0，∴∀x∈R，e x≥ex，①正确；②，∵（x02﹣3x0+2）e x0+3x0﹣4=0，∴e x0==，当＜x＜2时，＞0，即∃x0∈（1，2），使得（x02﹣3x0+2）e x0+3x0﹣4=0成立，②正确；③，在△ABC中，∵tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）+tanC=﹣tanC（1﹣tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC＞0，∴tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，∴△ABC是锐角三角形，③正确；④，∵l3﹣a3﹣b3﹣c3=（a2+b2+c2）•l﹣a3﹣b3﹣c3=a2（l﹣a）+b2（l﹣b）+c2（l﹣c）＞0，∴l3＞a3+b3+c3，④正确．故答案为：①②③④．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式．（Ⅱ）若sinα+f（α）=，求的值．【解答】解：（I）∵f（x）为偶函数∴sin（﹣ωx+ϕ）=sin（ωx+ϕ）即2sinωxcosϕ=0恒成立∴cosϕ=0，又∵0≤ϕ≤π，∴（3分）又其图象上相邻对称轴之间的距离为π∴T=2π∴ω=1∴f（x）=cosx（6分）（II）∵原式=（10分）又∵，∴（11分）即，故原式=（12分）18．（12分）设曲线f（x）=x2+1和g（x）=x3+x在其交点处两切线的夹角为θ，求cosθ．【解答】解：由，得x3﹣x2+x﹣1=0，即（x﹣1）（x2+1）=0，∴x=1，∴交点为（1，2）．又f'（x）=2x，∴f'（1）=2，∴曲线y=f（x）在交点处的切线l1的方程为y﹣2=2（x﹣1），即y=2x，又g'（x）=3x2+1．∴g'（1）=4．∴曲线y=g（x）在交点处的切线l2的方程为y﹣2=4（x﹣1），即y=4x﹣2．取切线l 1的方向向量为，切线l2的方向向量为，则．19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．【解答】解：（Ⅰ）由，由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC．于是=．（6分）（Ⅱ）由．由余弦定理：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，又b2=ac=2，cosB=，得a2+c2=b2+2ac•cosB=2+4×=5，则（a+c）2=a2+c2+2ac=5+4=9，解得：a+c=3．（12分）20．（12分）设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有a n2=2S n﹣a n，其中S n为数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=3n+（﹣1）n﹣1•λ•2an（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有b n＞b n成立．+1【解答】解：（Ⅰ）∵n∈N*时，，…①当n≥2时，，…②…（2分）由①﹣②得，即，＞0，∵a n+a n﹣1∴a n﹣a n=1（n≥2），…（4分）﹣1由已知得，当n=1时，，∴a1=1．…（5分）故数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．∴．…（6分）（Ⅱ）∵，∴，…（7分）∴=2×3n﹣3λ•（﹣1）n﹣1•2n．＞b n恒成立，要使得b n+1只须．…（8分）（1）当n为奇数时，即恒成立．又的最小值为1，∴λ＜1．…（9分）（2）当n为偶数时，即恒成立．又的最大值为，∴…（10分）∴由（1），（2）得，又λ≠0且λ为整数，…（11分）＞b n成立．…（12分）∴λ=﹣1对所有的n∈N*，都有b n+121．（12分）已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1．（1）求f（x）在[﹣1，0）上的解析式；（2）求f（24）的值．【解答】解：（1）令x∈[﹣1，0），则﹣x∈（0，1]，∴f（﹣x）=2﹣x﹣1．又∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=f（﹣x）=2﹣x﹣1，∴．（2）∵f（x+4）=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数，∴，∴，∴．22．（12分）设f（x）=﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．【解答】解：（1）f′（x）=﹣x2+x+2af（x）在存在单调递增区间∴f′（x）≥0在有解∵f′（x）=﹣x2+x+2a对称轴为∴递减∴f′（x）≤f′（）=+2a，由0≤+2a，解得a≥﹣．检验a=﹣时，f（x）的增区间为（，），故不成立．故a＞﹣．（2）当0＜a＜2时，△＞0；f′（x）=0得到两个根为；（舍）∵∴时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4）=8a＜f（1）当x=4时最小∴=解得a=1所以当x=时最大为。
河南省南阳市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 文(含解析)
河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）不等式≤1的解集为（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2] C．[﹣1，2] D．（﹣1，2]2．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若a=2ccosB，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形3．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0，a1=3，S3=21，若a n=48．则n=（）A．4 B．5 C．6 D．74．（5分）已知圆C1：（x+4）2+y2=4，圆C2：（x﹣4）2+y2=1，若圆C与圆C1外切且与圆C2内切，则圆心C的轨迹是（）A．椭圆B．椭圆在y轴上及其右侧部分C．双曲线D．双曲线右支5．（5分）如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（）A．（30+30）m B．（30+15）m C．（15+30）m D．（15+15）m 6．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9在x=﹣1时取得极值，则a等于（）A．1 B．2 C．3D．47．（5分）在等差数列{a n}中公差d≠0，若a3+a m﹣a7=a n+a2﹣a5，则m﹣n=（）A．B．1 C．2 D．48．（5分）下面命题中，正确命题的个数为（）①命题：“若x2﹣2x﹣3=0，则x=3”的逆否命题为：“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”；②命题：“∃x∈R，使x﹣2＞lgx”的否定是“∀x∈R，x﹣2≤lgx”；③“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标为（1，2）”的必要不充分条件．A．0个B．1个C．2个D．3个9．（5分）若x，y满足条件，z=x﹣y的最小值为（）A．﹣1 B．C．﹣D．﹣10．（5分）定义在R上的函数f（x），g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x）且f′（x）＜g′（x）．则下列结论一定成立的是（）A．f（1）+g（0）＜g（1）+f（0）B．f（1）+g（0）＞g（1）+f（0） C． f （1）﹣g（0）＞g（1）﹣f（0）D．f（1）﹣g（0）＜g（1）﹣f（0）11．（5分）若数列，则称数列{a n}为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且b1+b2+…+b9=90，则b4•b6的最大值是（）A．10 B．100 C．200 D．40012．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接了AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知函数f（x）=，f′（e）=．14．（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为．15．（5分）若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣4的最小距离为．16．（5分）已知抛物线y=﹣x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）=x3=ax2﹣4x+3（x∈R）．（1）当a=2时求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程（2）若函数f（x）在区间（1，2）上为减函数，求实数a的取值范围．．18．（12分）已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bsinA=c．（1）求角A的大小．（2）若a=1，bc=2﹣，求b+c的值．19．（12分）设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．20．（12分）如图，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2）两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．（1）若，求直线l的斜率；（2）求∠ATF的最大值．21．（12分）已知数列{a n}的各项为正值且首项为1，a2=2，S n为其前n项和．函数f（x）=a n•a n+2x+a2n+1cosx在x=处的切线平行于x轴．（1）求a n和S n．（2）设b n=log2a n+1，数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜1．22．（12分）已知两点F1（﹣1，0），F2（1，0），点P在以F1，F2为焦点的椭圆C，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m（|k|≤1）（m＞0）与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N 是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，当|F1M|+|F2N|最大时，求直线l的方程．河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）不等式≤1的解集为（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2] C．[﹣1，2] D．（﹣1，2]考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：不等式即，等价转化为，由此求得它的解集．解答：解：不等式≤1，即，即，解得﹣1＜x≤2，故选：D．点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．2．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若a=2ccosB，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形考点：正弦定理；余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：已知等式利用正弦定理化简，将sinA=sin（B+C）代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到sin（B﹣C）=0，确定出B=C，即可得出三角形形状．解答：解：已知等式a=2ccosB，利用正弦定理化简得：sinA=2sinCcosB，将sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC代入得：sinBcosC+cosBsinC=2sinCcosB，即sinBcosC ﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，∴B﹣C=0，即B=C，则△ABC为等腰三角形．故选：B．点评：此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．3．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0，a1=3，S3=21，若a n=48．则n=（）A．4 B．5 C．6 D．7考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知求得等比数列的公比，代入等比数列的通项公式得答案．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由a1=3，S3=21得3（1+q+q2）=21，解得：q=2．由=48，得2n﹣1=16，即n=5．故选：B．点评：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．4．（5分）已知圆C1：（x+4）2+y2=4，圆C2：（x﹣4）2+y2=1，若圆C与圆C1外切且与圆C2内切，则圆心C的轨迹是（）A．椭圆B．椭圆在y轴上及其右侧部分C．双曲线D．双曲线右支考点：轨迹方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据两圆外切和内切的判定，圆心距与两圆半径和差的关系，设出动圆半径为r，消去r，根据圆锥曲线的定义，即可求得动圆圆心C的轨迹．解答：解：设动圆圆心C（x，y），半径为r，∵圆M与圆C1：（x+4）2+y2=4外切，与圆C2：（x﹣4）2+y2=1内切，∴|CC1|=2+r，|CC2|=r﹣1，∴|CC1|﹣|CC2|=3＜8，由双曲线的定义，C的轨迹为以C1，C2为焦点的双曲线的右支，故选：D．点评：本题考查两圆的位置关系及判定方法和双曲线的定义，正确运用两圆的位置关系是关键．5．（5分）如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（）A．（30+30）m B．（30+15）m C．（15+30）m D．（15+15）m考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：要求建筑物的高度，需求PB长度，要求PB的长度，在△PAB由正弦定理可得．解答：解：在△PAB，∠PAB=30°，∠APB=15°，AB=60，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=由正弦定理得：=30（+），∴建筑物的高度为PBsin45°=30（+）×=（30+30）m，故选A．点评：此题是实际应用题用到正弦定理和特殊角的三角函数值，正弦定理在解三角形时，用于下面两种情况：一是知两边一对角，二是知两角和一边．6．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9在x=﹣1时取得极值，则a等于（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：因为f（x）在x=﹣1时取极值，则求出f′（x）得到f′（﹣1）=0，解出求出a 即可．解答：解：∵f′（x）=3x2+2ax+3，f（x）在x=﹣1时取得极值，∴f′（﹣1）=6﹣2a=0∴a=3．故选：C．点评：本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，考查学生的计算能力，比较基础．7．（5分）在等差数列{a n}中公差d≠0，若a3+a m﹣a7=a n+a2﹣a5，则m﹣n=（）A．B．1 C．2 D．4考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的通项公式和条件化简已知的式子，即可得到答案．解答：解：∵在等差数列{a n}，有a3+a m﹣a7=a n+a2﹣a5，∴（a1+2d）+a1+（m﹣1）d﹣（a1+6d）=a1+（n﹣1）d+a1+d﹣（a1+4d），即（m﹣5）d=（n﹣4）d，∵公差d≠0，∴m﹣n=1，故选：B．点评：本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．8．（5分）下面命题中，正确命题的个数为（）①命题：“若x2﹣2x﹣3=0，则x=3”的逆否命题为：“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”；②命题：“∃x∈R，使x﹣2＞lgx”的否定是“∀x∈R，x﹣2≤lgx”；③“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标为（1，2）”的必要不充分条件．A．0个B．1个C．2个D．3个考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①根据逆否命题的定义进行判断；②根据特称命题的否定是全称命题进行判断；③根据充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：①命题：“若x2﹣2x﹣3=0，则x=3”的逆否命题为：“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”；故①正确，②命题：“∃x∈R，使x﹣2＞lgx”的否定是“∀x∈R，x﹣2≤lgx”；故②正确，③点（4，4）在曲线y2=4x上，但点M的坐标为（1，2）不正确，故③“点M在曲线y2=4x 上”是“点M的坐标为（1，2）”的必要不充分条件，故③正确，故选：D．点评：本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点有四种命题之间的关系，含有量词的命题的否定，以及充分条件和必要条件的定义．9．（5分）若x，y满足条件，z=x﹣y的最小值为（）A．﹣1 B．C．﹣D．﹣考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y得y=x﹣z，平移y=x﹣z，由图象知当直线y=x﹣z经过点A时，直线的截距最大，此时z最小．由，解得，即A（3，3），则z═×3﹣3=﹣，故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．10．（5分）定义在R上的函数f（x），g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x）且f′（x）＜g′（x）．则下列结论一定成立的是（）A．f（1）+g（0）＜g（1）+f（0）B．f（1）+g（0）＞g（1）+f（0） C． f （1）﹣g（0）＞g（1）﹣f（0）D．f（1）﹣g（0）＜g（1）﹣f（0）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：由题意构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），从而可得F′（x）=f′（x）﹣g′（x）＜0，从而可判断出f（1）﹣g（1）＜f（0）﹣g（0）；从而求解．解答：解：设F（x）=f（x）﹣g（x），则F′（x）=f′（x）﹣g′（x）＜0，故F（x）=f（x）﹣g（x）在定义域上为减函数，故F（1）＜F（0），故f（1）﹣g（1）＜f（0）﹣g（0）；故f（1）+g（0）＜g（1）+f（0）；故选A．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，中档题．11．（5分）若数列，则称数列{a n}为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且b1+b2+…+b9=90，则b4•b6的最大值是（）A．10 B．100 C．200 D．400考点：等差数列的性质；基本不等式．专题：新定义．分析：由已知数列为调和数列可得{b n}为等差数列，由等差数列的性质及已知可求b4+b6，利用基本不等式可求b4•b6的最大值解答：解：由已知数列为调和数列可得b n+1﹣b n=d（d为常数）∴{b n}为等差数列，由等差数列的性质可得，b1+b2+…+b9=9b5=90，∴b4+b6=2b5=20，又b n＞0，∴．故选B点评：本题以新定义为载体在，注意考查了等差数列的通项公式、等差数列的性质及基本不等式在求解最值中的应用．12．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接了AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．分析：由已知条件，利用余弦定理求出|AF|，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形，由此能求出离心率e．解答：解：如图所示，在△AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF=100+64﹣2×10×8×=36，∴|AF|=6，∠BFA=90°，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．∴|BF′|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．∴e==．故选B．点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理、椭圆的对称性等知识点的合理运用．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知函数f（x）=，f′（e）=﹣．考点：对数的运算性质．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的运算法则，先求导，再代入值计算解答：解：f（x）=，∴f′（x）==，∴f′（e）=﹣故答案为：﹣点评：本题考查了导数的运算法则，属于基础题14．（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为44．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a“解决．求出周长即可．解答：解：根据题意，双曲线C：的左焦点F（﹣5，0），所以点A（5，0）是双曲线的右焦点，虚轴长为：8；双曲线图象如图：|PF|﹣|AP|=2a=6 ①|QF|﹣|QA|=2a=6 ②而|PQ|=16，①+②得：|PF|+|QF|﹣|PQ|=12，∴周长为：|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44故答案为：44．点评：本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题．15．（5分）若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣4的最小距离为2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；两条平行直线间的距离．专题：导数的概念及应用；直线与圆．分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣4平行时，点P到直线y=x﹣4的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x ﹣4的距离即为所求．解答：解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣4平行时，点P到直线y=x﹣4的距离最小．直线y=x﹣4的斜率等于1，y=x2﹣lnx的导数y′=2x﹣令y′=1，解得x=1，或 x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣4平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x﹣4的距离d=，故点P到直线y=x﹣4的最小距离为d==2，故答案为：2．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查点到直线的距离公式的应用，求出函数的导数及运用两直线平行的条件是解题的关键，体现了转化的数学思想．16．（5分）已知抛物线y=﹣x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|=3．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题．分析：设AB的方程为y=x+b，代入抛物线y=﹣x2+3化简利用根与系数的关系可得x1+x2=﹣1，x1•x2=b﹣3，根据AB的中点（﹣，﹣+b）在直线x+y=0上，求出b值，由|AB|=•求得结果．解答：解：由题意可得，可设AB的方程为 y=x+b，代入抛物线y=﹣x2+3化简可得 x2 +x+b﹣3=0，∴x1+x2=﹣1，x1•x2=b﹣3，故AB 的中点为（﹣，﹣+b）．根据中点在直线x+y=0上，∴﹣+（﹣+b）=0，∴b=1，故 x1•x2=﹣2，∴|AB|=•=3，故答案为3．点评：本题考查直线和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，弦长公式的应用，求得 x1+x2=﹣1，x1•x2=﹣2，是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）=x3=ax2﹣4x+3（x∈R）．（1）当a=2时求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程（2）若函数f（x）在区间（1，2）上为减函数，求实数a的取值范围．．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）a=2时，f（x）=x3+2x2﹣4x+3，f′（x）=3x2+4x﹣4；从而求得f′（1）=3，f（1）=2；从而写出切线方程．（2）求导f′（x）=3x2+2ax﹣4；从而由f（x）在区间（1，2）上单调递减可得f′（x）≤0在（1，2）上恒成立；从而可得a≤﹣x，令h（x）=﹣x，从而化为最值问题．解答：解：（1）a=2时，f（x）=x3+2x2﹣4x+3，f′（x）=3x2+4x﹣4；故f′（1）=3，f（1）=2；故所求切线方程为y=3（x﹣1）+2，即3x﹣y﹣1=0．（2）∵f（x）=x3=ax2﹣4x+3，∴f′（x）=3x2+2ax﹣4；∵f（x）在区间（1，2）上单调递减，∴f′（x）≤0在（1，2）上恒成立；即3x2+2ax﹣4≤0，即a≤﹣x，令h（x）=﹣x，又由h min（x）=h（2）=﹣2；故a≤﹣2；故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法应用，属于中档题．18．（12分）已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bsinA=c．（1）求角A的大小．（2）若a=1，bc=2﹣，求b+c的值．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（1）运用正弦定理和诱导公式及两角和的正弦公式，化简整理，即可得到A；（2）运用余弦定理，配方整理，计算即可得到b+c的值．解答：解：（1）由acosB+bsinA=c，运用正弦定理得sinAcosB+sinBsinA=sinC，而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，可得sinBsinA=cosAsinB，所以tanA=，由于A为三角形的内角，则A=；（2）a=1，bc=2﹣，由余弦定理知a2=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣bc（2+）即有1=（b+c）2﹣（2﹣）（2+），即有（b+c）2=2，可得b+c=．点评：本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查同角的基本关系式和两角和的正弦公式，考查运算能力，属于基础题．19．（12分）设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R，知f′（x）=e x﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表讨论能求出f（x）的单调区间区间及极值．（2）设g（x）=e x﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．由此能够证明e x＞x2﹣2ax+1．解答：（1）解：∵f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R，∴f′（x）=e x﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，ln2）ln2 （ln2，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）单调递减 2（1﹣ln2+a）单调递增故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞），f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），无极大值．（2）证明：设g（x）=e x﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即e x﹣x2+2ax﹣1＞0，故e x＞x2﹣2ax+1．点评：本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用．解题时要认真审题，仔细解答．20．（12分）如图，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2）两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．（1）若，求直线l的斜率；（2）求∠ATF的最大值．考点：平面向量数量积的运算；抛物线的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：（1）由题意可得F（1，0），T（﹣1，0），当直线l与x轴垂直时，经过检验不满足条件．设直线l的方程为y﹣0=k（x﹣1），代入抛物线C的方程，利用根与系数的关系求得 x1+x2=，且x1•x2=1，且 y1y2=﹣4．结合求得k的值．（2）根据 y1＞0，tan∠ATF===，利用基本不等式求得tan∠ATF 的最大值，从而求得∠ATF 的最大值．解答：解：（1）由题意可得F（1，0），T（﹣1，0），当直线l与x轴垂直时，A（1，2），B（1，﹣2），此时，，这与矛盾．故直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为 y﹣0=k（x﹣1），代入抛物线C：y2=4x的方程化简可得 k2 x2﹣（2k2+4）x+k2=0．∴x1+x2=，且x1•x2=1…①．∴=16x1•x2=16，∴y1y2=﹣4…②．由可得（x1+1）（x2+1）+y1•y2=1．把①②代入可得 k2=4，∴k=±2．（2）∵y1＞0，tan∠ATF===≤1，当且仅当=，即 y1=2时，取等号，故tan∠ATF 的最大值为1，故∠ATF的最大值为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，抛物线的定义和性质，一元二次方程根与系数的关系以及基本不等式的应用，属于中档题．21．（12分）已知数列{a n}的各项为正值且首项为1，a2=2，S n为其前n项和．函数f（x）=a n•a n+2x+a2n+1cosx在x=处的切线平行于x轴．（1）求a n和S n．（2）设b n=log2a n+1，数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜1．考点：数列与函数的综合．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系，判断数列为等比数列，求出公比即可求a n和S n．（2）求出b n=log2a n+1的表达式，利用裂项法进行求和，即可证明不等式．解答：解：（1）由f（x）=a n•a n+2x+a2n+1cosx知f′（x）=a n•a n+2﹣a2n+1sinx，∵f（x）=a n•a n+2x+a2n+1cosx在x=处的切线平行于x轴，∴f′（）=0，即a n•a n+2﹣a2n+1sin=a n•a n+2﹣a2n+1=0，即a n•a n+2=a2n+1，∴{a n}是等比数列，公比q=，∴a n=a1q n﹣1=2n﹣1，=2n﹣1，（2）由（1）知a n+1=2n，∴b n=log2a n+1=log22n=n．∴=﹣．∴T n=﹣=1﹣＜1，点评：本题主要考查数列通项公式和前n项和的计算，以及数列求和，利用裂项法是解决本题的关键．22．（12分）已知两点F1（﹣1，0），F2（1，0），点P在以F1，F2为焦点的椭圆C，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m（|k|≤1）（m＞0）与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N 是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，当|F1M|+|F2N|最大时，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，设椭圆C的方程为，c=1．再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，即可得到a，利用b2=a2﹣c2得到a即可得到椭圆的方程；（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得到关于x的一元二次方程，由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=0，即可得到m，k的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到|F1M|+|F2N|，利用|F1M|+|F2N|最大时，即可求直线l的方程．解答：解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为（a＞b＞0）．∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，∴2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4，a=2．又∵c=1，∴b2=3．∴椭圆C的方程为…（4分）（Ⅱ）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，化简得：m2=4k2+3．…（6分）设坐标原点到动直线L的距离为d，则2d=|F1M|+|F2N|=2…（8分）=2，∵k2≤1，∴k2=1时，|F1M|+|F2N|最大此时m=．故所求直线方程为y=﹣x+或y=x+…（12分）点评：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、等差数列等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．。
河南省南阳市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷(文科)
河南省南阳市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知i是虚数单位，则（﹣1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3+i B．﹣1+3i C．﹣3+3i D．﹣1+i2．（5分）变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r表示变量Y与X之间的线性相关系数，r表示变量V与U之间的线性相关系21数，则（）A．r＜r＜0 B．0＜r＜r C．r＜0＜r D．r=r 111122222342015的末两位数字为（）则77=2401分）观察下列各式：则7，=49，7…=343，．3（5 A．01 B．43 C．07 D．49z=的四个命题：分）下面是关于复数4．（5 对应的点在第二象限，p：复数z12：z，=2ip2，：z的共轭复数为1+ip3．：z的虚部为﹣1p4其中真命题为（），．pp p，p D，．p，p B．pp C．A44122323骰子向A，“5分）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件5．（，B中至少有一件发生的概率是（）”为事件B，则事件A上的点数是3．．．A B．D C6．（5分）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）．C．．AD B．7．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，），2，…，n，（，根据一组样本数据（xy）i=1ii 则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系，）回归直线过样本点的中心（ B ．C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg8．（5分）广州2010年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的距离（单位：百公里）见表．若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是（）A B C D EA 0 5 4 5 6B 5 0 7 6 2C 4 7 0 9 8.6D 5 6 9 0 5E 6 2 8.6 5 0A．20.6 B．21 C．22 D．239．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a，a，…，a，输出A，n12B，则（）A．A+B为a，a，…，a的和n12为a，a，．B…，a的算术平均数n21 C．A和B分别是a，a，…，a中最大的数和最小的数n21 D．A和B分别是a，a，…，a中最小的数和最大的数n1210．（5分）设z是复数，则下列命题中的假命题是（）22＜0，则z是虚数B．若z A．若z ≥0，则z是实数22＜0 z是纯虚数，则z≥0 D．C．若z是虚数，则z若243，（cosx）′=﹣sinx，由归纳推理可得：若定义在）′=2x，（xR）′=4x11．（5分）观察（x 上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（）A．﹣g（x）B．f（x）C．﹣f（x）D．g（x）12．（5分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息，设定原信息为aaa，a∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为haaah，其11001022i中h=a⊕a，h=h⊕a．⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息201001为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．10111 B．01100 C．11010 D．00011二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）观察下列等式：2=1122=﹣213 ﹣222=621+3﹣2222=﹣+310 1﹣﹣24…照此规律，第n个等式可为．z=（i是虚数单位），则|z|=14．（5分）已知复数．15．（5分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为．16．（5分）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A，A和A表示由甲罐取出的球是红321球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）．=；）①P（B=；P（B|A）②1③事件B与事件A相互独立；1④A，A，A是两两互斥的事件．321三、解答题2+m﹣2）i（i为何值时，复数为虚数单位）是（z=+（m1）m17．（10分）实数实数；（2）纯虚数．18．（12分）某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：甲厂分组30.14）频数29 71 85 159 76 62 18（1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；（2）由于以上统计数据填下面2×2（3）列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．甲厂乙厂合计优质品非优质品合计附：．19．（12分）设直线l：y=kx+1，l：y=kx﹣1，其中实数k，k满足kk+3=0．21211221（1）证明l 与l相交；2122为定值．+b，求证3a 与ll的交点为（a，b）（2）设2120．（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x（单位：千克）与i2=720．=184 ，x计算得x=80，y=20y，x单位：月储蓄y（千元）的数据资料，iiiiiix+，并判断变量xx与的线性回归方程y=之间是y（Ⅰ）求家庭的月储蓄关于月收入正相关还是负相关；（Ⅱ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．，为样本平均值．x+中，=，其中注：线性回归方程=21．（12分）已知数学、英语的成绩分别有优、良、及格、不及格四个档次，某班共60人，在每个档次的人数如表：优良及格不及格1 优1 3 1良6 1 0 7及格9 2 4 0不及格a+41 b 7（1）求数学及格且英语良的概率；（2）在数学及格的条件下，英语良的概率；（3）若数学良与英语不及格是相互独立的，求a，b的值．x2（其中a∈R，e是自然对数底数）．12分）已知函数f（x）=ae ﹣x22．（（1）若a=﹣2，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x，x（x＜x），求a的取值范围；2112（3）在（2）的条件下，试证明0＜f（x）＜1．1河南省南阳市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知i是虚数单位，则（﹣1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3+i B．﹣1+3i C．﹣3+3i D．﹣1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用两个复数代数形式的乘法法则，以及虚数单位i的幂运算性质，运算求得结果．解答：解：（﹣1+i）（2﹣i）=﹣2+i+2i+1=﹣1+3i，故选B．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r 表示变量Y与X之间的线性相关系数，r表示变量V与U之间的线性相关系21数，则（）A．r＜r＜0 B．0＜r＜r C．r＜0＜r D．r=r 11221221考点：相关系数．专题：计算题．分析：求两组数据的相关系数的大小和正负，可以详细的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较．解答：解：∵变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），=11.72r=，这组数据的相关系数是∴变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），∴这组数据的相关系数是﹣0.3755，∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，故选C．点评：本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，也利用散点图判断两个变量之间是否有相关关系．2342015的末两位数字为（）7 ，…，7则=343，73．（5分）观察下列各式：则7=2401=49 A．01 B．43 C．07 D．49考点：归纳推理．专题：推理和证明．2015的7由题意依次求出7的乘方对应的值，归纳出末两位数出现的规律，再确定分析：末两位数．23456=117649，7 =2401，解：根据题意得，77=49，7，=343，7=16807解答：789=40353607...，7 =5764801，77=823543，4k24k14k﹣﹣的末两位数字是01，437，7的末两位数字是49，7 的末两位数字是发现：4k+1的末两位数字是49，（k=1、2、3、4、 (7)∵2015=504×4﹣1，20157∴的末两位数字为43，故选：B．点评：本题考查了归纳推理，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力．z=的四个命题：分）下面是关于复数4．（5 z对应的点在第二象限，p：复数12：z，=2ip2，z 的共轭复数为1+ip：3的虚部为﹣1．p：z4其中真命题为（）C．p，p D p，B ，p．A p．p．p，p 42232143考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，即可利用复数的几何意义，基本运算判断选项即可．==﹣1z=﹣i．解答：解：复数复数z对应的点（﹣1，﹣1）是在第三象限，p不正确；122=2i，p：正确；﹣i）z =（﹣12z的共轭复数为﹣11+i，p：不正确；3z的虚部为﹣1．p：正确．4故选：C．点评：本题考查复数的基本运算，复数的基本概念的应用，考查计算能力．5．（5分）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（）．D B． C A．．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题．分析：根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立（），进而可得P，由对立事件的、P（B）事件，由古典概型的计算方法，可得P（A）概率计算，可得答案．解答：解：根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件，=，P（B）由古典概型的计算方法，可得P（A），==，﹣1=（）﹣）（则P1（）﹣”的概率为1“事件A，B中至少有一件发生则=；故选C．点评：本题考查相互独立事件的概率的乘法公式，注意分析题意，首先明确事件之间的相互关系（互斥、对立等）．6．（5分）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）．D C．． A ． B考点：条件概率与独立事件．专题：计算题．分析：用列举法求出事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求p=即可求得结果．）），根据条件概率公式P（B|A（A），同理求出P（AB解答：解：事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（3，5）、（2，4），=，A∴p（）=）∴P（AB个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），事件B=“取到的2=（B|A）．∴P故选B．点评：此题是个基础题．考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度．7．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，回归方程为=0.85x），用最小二乘法建立的﹣，2，…，n，根据一组样本数据（xy）（i=1ii85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系，）归直线过样本点的中心（B．回C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg考点：回归分析的初步应用．专题：阅读型．根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于分析：D回归方程只能进行预测，但不可断定．解答：解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；，），回归直线过样本点的中心（，故正确；对于B回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加对于C，∵0.85kg，故正确；时，=0.85×170﹣85.71=58.79，D，x=170cm但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，对于故不正确故选D．点评：本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题．8．（5分）广州2010年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的距离（单位：百公里）见表．若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是（）A B C D EA 0 5 4 5 6B 5 0 7 6 2C 4 7 0 9 8.6D 5 6 9 0 5E 6 2 8.6 5 0A．20.6 B．21 C．22 D．23考点：频率分布表；统筹问题的思想及其应用的广泛性．专题：概率与统计．分析：以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的路线是中3种结果，列举出六种结果的路途长度选出最短的路途，A列出路径间三个位置的排列共有3的长度，得到结果．解答：解：∵以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，3=6种结果，那么火炬传递的路线是中间三个位置的排列共有A3列举出六种结果的路途长度选出最短的路途，A→B→C→D→E，总长是26，A→C→D→B→E，总长是21，A→B→D→C→E，总长是28.6，A→D→B→C→E，总长是26.6，A→C→B→D→E，总长是22，A→D→C→B→E，总长是23，总上可知最短的路径是21．故选B点评：本题考查频率分布表，考查统筹问题的思想及其应用的广泛性，考查利用统计问题解决实际问题，本题采用列举法来解题．9．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a，a，…，a，输出A，n21B，则（）A．A+B为a，a，…，a的和n12为a，a，…，a的算术平均数B．n12 C．A和B分别是a，a，…，a中最大的数和最小的数n21 D．A和B分别是a，a，…，a中最小的数和最大的数n12考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a，a，…，a中最大的数和最小的数．n21解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a，a，…，a中最大的数和最小的数n12其中A为a，a，…，a中最大的数，B为a，a，…，a中最小的数n211n2故选：C．点评：本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．10．（5分）设z是复数，则下列命题中的假命题是（）22＜0，则z B是实数，则z A ．若≥0z ．若z是虚数2≥0 D．若z 若z是虚数，则z是纯虚数，则C．2＜z0考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．2，利用a，b的值，判断四个选项的正误即可．分析：设出复数z，求出z222+2abi，﹣b∈R，zb=a解答：解：设z=a+bi，a，2≥0，则b=0，所以z对于A，z是实数，真命题；2＜0，则a=0，且b≠0，?z是虚数；所以对于B，zB为真命题；2≥0z是假命题．z是虚数，则b≠0，所以对于C，2＜0z是真命题；a=0，b≠0，所以对于D，z是纯虚数，则故选C．点评：本题考查复数真假命题的判断，复数的基本运算．243，（cosx）′=﹣sinx，由归纳推理可得：若定义在）′=2x，（xR）′．11（5分）观察（x=4x 上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（）A．﹣g（x）B．f（x）C．﹣f（x）D．g（x）考点：归纳推理．专题：规律型．243，（cosx）'=﹣xsinx）'=4x，…分析：由已知中（x分析其规律，我们可以归纳）'=2x，（推断出，偶函数的导函数为奇函数，再结合函数奇偶性的性质，即可得到答案．2）'=2x中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；解：由（x 解答：43中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；'=4xx ）（（cosx）'=﹣sinx中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；…我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，又∵g（x）为f（x）的导函数，则g（x）奇函数故g（﹣x）+g（x）=0，即g（﹣x）=﹣g（x），故选A．点评：本题考查的知识点是归纳推理，及函数奇偶性的性质，其中根据已知中原函数与导函数奇偶性的关系，得到结论是解答本题的关键．12．（5分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息，设定原信息为aaa，a∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为haaah，其100i01221中h=a⊕a，h=h⊕a．⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息200101为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．10111 B．01100 C．11010 D．00011考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：根据题意，只需验证是否满足h=a⊕a，h=h⊕a．经验证，A，B，C都符合．D210100中，h=h⊕a=0⊕1=1，故错误210解答：解：A选项原信息为101，则h=a⊕a=1⊕0=1，h=h⊕a=1⊕1=0，所以传输信210100息为11010，A选项不正确；B选项原信息为110，则h=a⊕a=1⊕1=0，h=h⊕a=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B201010选项正确；C选项原信息为110，则h=a⊕a=1⊕0=1，h=h⊕a=1⊕1=0，所以传输信息为11010，C201010选项正确；D选项原信息为001，则h=a⊕a=0⊕0=0，h=h⊕a=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D201010选项正确；故选：A．点评：本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．此题注意正确理解题意，根据要求进行计算．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）观察下列等式：2=1122=﹣3 ﹣21222=6+3﹣212222=﹣﹣1﹣24+310…个等式可为．第n 照此规律，考点：归纳推理．专题：压轴题；规律型．222+3﹣n 等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第个等式左边为12分析：2n12﹣．再分n（﹣1）n﹣4为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示+…即可．解答：解：观察下列等式：2=1122=﹣13 ﹣2222=61+3﹣22222=﹣10 1﹣﹣24+3…分n为奇数和偶数讨论：2222n12﹣（﹣11）﹣2n+3﹣4．+…个等式左边为第n2222﹣，…+=（3 ﹣4+）n当为偶数时，分组求和（1﹣2+）222222=+n．…4（2（个等式左边第n当为奇数时，n=1﹣）+3﹣）+++n=﹣个等式为综上，第n．故答案为：．既要分别看左右两边的规律，找等式的规律时，点评：本题考查规律型中的数字变化问题，还要注意看左右两边之间的联系．（i是虚数单位），则．|z|=14．（5分）已知复数z=复数求模．考点：计算题．专题：分析：通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．=|z|=．解答：解：=故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，考查计算能力．，类似4，则它们的面积比为1：115．（5分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为：2 ．：，则它们的体积比为8地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：21类比推理．考点：立体几何．专题：直线或平面，类比分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即由平面图形面积类比立体图形的体积，可．4，，则它们的面积比为1：2解答：解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：8 1：2，则它们的体积比为在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：．1：8故答案为：将已知的一类类比推理是指依据两类数学对象的相似性，点评：本题主要考查类比推理．找出两类事物之间的相似①数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或②性或者一致性．．猜想）个个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，33．16（5分）甲罐中有5个红球，2个白球和表示由甲罐取出的球是红和AA，A黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以312表示由乙罐取出的球是红球的事B球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以．件．则下列结论中正确的是②④（写出所有正确结论的编号）=）；①P（B；）（B|A=P②1 A与事件相互独立；③事件B1是两两互斥的事件．，A，④AA312考点：条件概率与独立事件；互斥事件与对立事件．专题：概率与统计．分析：由题意A，A，A是两两互斥的事件，由条件概率公式求出P（B|A），P（B）1123=P（AB）+P（AB）+P（AB），对照四个命题进行判断找出正确命题，选出正确选项．321=，A）PA）===，P（，解答：解：由题意A，AA是两两互斥的事件，P（23112=）（A；3=，由此知，②=正确；P（B|A）=1=；（B|A（B|A））=，PP32而P（B）=P（AB）+P（AB）+P（AB）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）+P（A）32322111=．由此知①③B|A）+=不正确；×++ ×P（3A，A，A是两两互斥的事件，由此知④正确；312对照四个命题知②④正确；故答案为：②④．点评：本题考查相互独立事件，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握了相互独立事件的概率简洁公式，条件概率的求法，本题较复杂，正确理解事件的内蕴是解题的突破点．三、解答题2+m﹣2）im（i为虚数单位）是（1m17．（10分）实数为何值时，复数）z=+（实数；（2）纯虚数．考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：（1）根据复数为实数的充要条件列出方程组，注意分母不为零，求出m的值即可；（2）根据复数为纯虚数的充要条件列出方程组，注意分母不为零，求出m的值即可．为实数的充要条件是，解得m=1，解：（1）复数z解答：…分）（5时复数所以m=1z为实数为纯虚数的充要条件是，解得m=﹣3（2）复数z，所以m=﹣3时复数z为纯虚数…（10分）点评：本题考查复数为纯虚数、实数的充要条件，牢记复数的基本概念是解题的关键，属于基础题．18．（12分）某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：甲厂分组优质品360 320 680非优质品140 180 320合计500 500 1000≈7.35＞6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”点评：独立性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出列联表，再根据列联表中的数据，代入公式，计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．19．（12分）设直线l：y=kx+1，l：y=kx﹣1，其中实数k，k满足kk+3=0．21221211（1）证明l 与l相交；2122为定值．3a +b的交点为（a，b），求证（2）设l与l21考点：直线的一般式方程．专题：反证法；直线与圆．分析：（1）用反证法，假设l与l不相交，则l∥l，k=k，得出矛盾，从而证明命题222111成立；22是否为定值即可．+b的坐标满足两直线方程，求出）根据点P3a （2解答：解：（1）证明：反证法，假设是l与l不相交，21则l与l平行，有k=k，2121代入kk+3=0，得21+3=0，此时与k为实数的事实相矛盾；1从而k≠k，即l与l相交；…（6分）2112（2）因为交点P的坐标（a，b）满足，22，3a =kka=﹣b+1﹣即（b1）（）2122=1；3a+b 整理，得22为定值1．…（12分）所以3a+b点评：本题考查了直线方程的应用问题，也考查了反证法的应用问题，是基础题目．20．（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x（单位：千克）与i2=720．，x，y=20y，单位：月储蓄y（千元）的数据资料，x计算得x=80=184iiiiii x+，并判断变量x与关于月收入xy的线性回归方程之间是=y（Ⅰ）求家庭的月储蓄正相关还是负相关；（Ⅱ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．，为样本平均值．x+，其中中，注：线性回归方程==考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．=y=2，Ⅰ）由题意可知n=10，代入可得，b值，进而可=x=8 分析：（ii得a值，可得方程，由回归方程x的系数b的正负可判；（Ⅱ）把x=7代入回归方程求其函数值即可．=y=2，，=x=8 解：解答：（Ⅰ）由题意，n=10，ii，=2﹣0.3×=0.38=﹣0.4，∴=∴=0.3x﹣0.4，∵0.3＞0，∴变量x与y之间是正相关；时，=0.3×7﹣0.4=1.7千元．（Ⅱ）x=7点评：本题考查线性回归方程的求解及应用，属基础题．21．（12分）已知数学、英语的成绩分别有优、良、及格、不及格四个档次，某班共60人，在每个档次的人数如表：优良及格不及格1 1 1 3 优6 7 1 良09 0 4 2 及格a+41不及格 b7（1）求数学及格且英语良的概率；（2）在数学及格的条件下，英语良的概率；（3）若数学良与英语不及格是相互独立的，求a，b的值．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）记数学及格且英语良为事件A，由题中表格知数学及格且英语良的人数为7人，根据概率公式计算即可得到答案；（2）数学及格的共有15人，其中英语良的7人，即可求出在数学及格的条件下，英语良的概率；（3）记数学良为事件B，英语不及格为事件C，分别求出P（B），P（C），再根据概率公式计算即可得到答案．解答：解：（1）记数学及格且英语良为事件A，由题中表格知数学及格且英语良的人数为7人，=…（）3分）故P（A（2）数学及格的共有15人，其中英语良的7人，故数学及格的条件下，英语良的概率为…（6分）a+b+47=60，（3）表中所有数字和为，∴a+b=13=），=，记数学良为事件B，英语不及格为事件C．则P（B）P=（C3，，B与C独立，故m=（PBC）﹣=，即（C）=P（﹣=，B）PP（BC）得b=5，a=8…（12分）点评：本题考查了相互独立事件的乘法公式，考查了古典概型的概率加法公式，考查了学生的读取图表的能力，是中档题x2（其中a∈R，e是自然对数底数）（x）=aex﹣．分）已知函数22．（12f（1）若a=﹣2，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x，x（x＜x），求a的取值范围；2112（3）在（2）的条件下，试证明0＜f（x）＜1．1考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）将a=﹣2代入函数f（x）的表达式，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；=，求出h（x）的导数，得到x有两个根，设h（）h（x）的）问题转化为方程（2a==，从而求出a1ha0单调区间，得到＜＜（）的范围；（3）先求出a的值，从而表示出f（x）的表达式，进而求出f（x）的单调区间，从而证11出结论．x2x﹣2x，）=﹣﹣x2e，f′（x解：解答：（1）a=﹣2时，f（x）=﹣2e当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）递减；x﹣2x=0的两个根，）=ae ，x是f′（xx（2）函数f（）有两个极值点x，x，则x2211=，x）=，则h′（即方程）a=有两个根，设h（x令h′（x）＞0，解得：x＜1，令h′（x）＜0，解得：x＞1，∴h（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，=，）＜h（要使1a=有两个根，只需0＜a，）；a的范围是（0 故实数（3）证明：由（2）得：函数f（x）的两个极值点x，x满足0＜x ＜1＜x，2211a=，﹣）2x=a=0得f由′（x11xf（∴﹣+2x，=a﹣= ）11+2x在（0，1）递增，xf由于（）=﹣11由0＜x＜1得：0=f（0）＜f（x）＜f（1）=1．11点评：本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，本题是一道中档题．。
河南省南阳市2015—2016学年高二文科数学下学期期中考试(精编完美版)
河南省南阳市2015—2016学年高二数学(文)下学期期中质量评估一、选择题1.i 为虚数单位，(1－i1＋i)²＝ 。
A .1B .－1C .－iD .i2.在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A .－1B .0C .12D .13.数列2,5,11,20，x ，47，…中的x 等于( ) A .28 B .32 C .33 D .274.对变量x 、y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )A .变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B . 变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C .变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D . 变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 5.设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A .5 B .－5 C .－4＋i D . －4－i6.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2＞0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A .恒为负值B .恒等于零C .恒为正值D .无法确定正负7.四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ⑴y 与x 负相关且y =2.347x －6.423 ⑵y 与x 负相关且y =－3.476x ＋5.648 ⑶y 与x 正相关且y =5.437x ＋8.493⑷y与x正相关且y=－4.326x－4.578其中一定不正确的结论的序号是( )A. ⑴⑵B. ⑵⑶C.⑶⑷D. ⑴⑷8.执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－2,2]，则输出的S属于( )A. [－6,－2]B. [－5,－1]C. [－4,5]D. [－3,6]9.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x³＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A.方程x³＋ax＋b＝0没有实根B. 方程x³＋ax＋b＝0至多有一个实根C. 方程x³＋ax＋b＝0至多有两个实根D. 方程x³＋ax＋b＝0恰好有两个实根10.登山族为了了解某山高y(km)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了4次山高－2x＋a(a∈R).由此估计山高为72km处气温的度数为( )A.－10B.－8C.－6D.－411.已知z1，z2，z3∈C，下列结论正确的是( )A.若z1²＋z2²＋z3²＝0，则z1＝z2＝z3＝0B.若z1²＋z2²＋z3²＞0，则z1²＋z2²＞－z3²C.若z1²＋z2²＞－z3²，则z1²＋z2²＋z3²＞0D.若—z1＝－z1(—z为复数z的共轭复数)，则z1为纯虚数.12.已知“整数对”按如下规律排列成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是.A.(5,7)B. (7,5)C. (2,10)D. (10,1)二、填空题13.已知函数f(x)＝x1＋x，x≥0，若f1(x)＝f(x)，f n＋1(x)＝f(f n(x))，n∈N*，则f2016(x)的表达式为 。
河南省南阳市2015届高三上学期期中质量评估数学(文)试题 扫描版含答案
2014年秋期高三年级文科期中考试答案一.选择题: 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ADBADCDAACAB二.填空题:13.1 14.重心 15.4116.①②③④ 三.解答题:17.解：（I ）∵f x ()为偶函数()()∴s i n s i n -+=+ωϕωϕx x 即20s i n c o s ωϕx =恒成立∴cos ϕ=0 ∵，∴02≤≤=ϕπϕπ……………………………………………………………3分 又其图象上相邻对称轴之间的距离为π ∴T =2π ∴ω=1∴f x x ()c o s = ……………………………………………………………………5分 （II ）∵原式=-++=s i n c o s t a n s i n c o s22112αααα ……………………………7分 又∵，∴s i n c o s s i n c o s αααα+=+=231249 …… ………………………9分 即259s i n c o s αα=-， 故原式=-59………………………………………10分18.解：由⎩⎨⎧+=+=xx y x y 321，得0123=-+-x x x ， 即0)1)(1(2=+-x x ，1=∴x ，∴交点为)2,1(．…………………………………2分 又x x f 2)('=，2)1('=∴f ,∴曲线)(x f y =在交点处的切线1l 的方程为)1(22-=-x y ， 即x y 2=， ……………………5分又13)('2+=x x g . ∴4)1('=g .∴曲线)(x g y =在交点处的切线2l 的方程为)1(42-=-x y ，即24-=x y . ………………………………………………………………8分 取切线1l 的方向向量为)2,1(=a ，切线2l 的方向向量为)4,1(=b ，…………10分 则858591759||||cos =⨯=⋅=b a b a θ. ……………………………………12分19.解：（Ⅰ）由,47)43(1sin ,43cos 2=-==B B 得由ac b =2及正弦定理得 .s i n s i ns i n 2C A B = 则CA AC A C C C A A C A sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1tan 1+=+=+22sin()sin 147.sin sin sin 7A CB B B B +==== …………………………6分（Ⅱ）由32BA BC ⋅=，得23cos =B ac ，由43cos =B ，可得ac ＝2，即b 2＝2．…………………………………………………………8分由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得5cos 2222=+=+B ac b c a ， 3,9452)(222=+=+=++=+c a ac c a c a ……………………12分20.解：（Ⅰ）∵*n N ∈时，n n n a S a -=22，当2≥n 时，21112n n n a S a ---=-，…………………………………………………2分由①－②得，22111(2)(2)n n n n n n a a S a S a ----=---即2211n n n n a a a a ---=+，∵01>+-n n a a ∴)2(11≥=--n a a n n ，………………4分 由已知得，当1=n 时，21112a S a =-，∴11=a .………………………………５分故数列}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列.∴*()N n a n n =∈. …………６分 （Ⅱ）∵*()N n a n n =∈，∴n n n n b 2)1(31⋅-+=-λ,…………7分∴111133(1)2(1)2n n n n n n n n b b λλ++-+-=-+-⋅--⋅1233(1)2n n n λ-=⨯-⋅-⋅.要使得1n n b b +>恒成立,只须113(1)()2n n λ---⋅<. …………８分(1)当n 为奇数时,即13()2n λ-<恒成立.又13()2n -的最小值为1,∴1λ<. ……9分(2)当n 为偶数时,即13()2n λ->-恒成立.又13()2n --的最大值为32-,∴32λ>- ……………………………………１０分∴由(1),(2)得312λ-<<,又0λ≠且λ为整数,……………………１１分∴1λ=-对所有的*N n ∈,都有1n n b b +>成立. ………………１２分21.解：[)(] 1.-2f(-x),0,1x -,1,0-x )1(-x =∴∈∈则令又,)(是奇函数x f ∴f(-x)=-f(x),∴,12)()(-=-=--x x f x f ∴[).0,1,1)21()(-∈+-=x x f x.................................6分（2） f(x+4)=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数， ),4,5(24log 24log 221--∈-=∴),0,1(424log 21-∈+∴211161241)21()424(log )24(log 424log 212121-=+⨯-=+-=+=∴+f f .......12分22.解：（I ）ax x x x f 22131)(23++-= ，a x x x f 2)('2++-=∴ …………………2分 函数)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，即导函数在),32(+∞上存在函数值大于零的部分， 0232)32()32('2>++-=∴a f 91->∴a ……………………………………6分(II))(x f 取到最小值316-，而a x x x f 2)('2++-=的图像开口向下，且对称轴方程为21=x ，02)1('>=a f ，0122)4('<-=a f则必有一点使得0'()0=f x……………………………………8分此时函数)(x f 在0[1,]x 上单调递增，在0[,4]x 单调递减.612)1(+=a f ,a f 8340)4(+-=,)1()4(f f <∴3168340)4()(min -=+-==∴a f x f , 1=∴a , …………………10分 此时，由200000'()202,1()=-++=∴==-舍去f x x x x x ，所以函数max 10()(2)3==f x f ………………………………………………………12分[],4,10∈x。
2015高二(上)期中数学试卷答案
中学部2015-2016学年第一学期高二年级期中测试数 学 学 科 试 题 参 考 答 案（第一部分 满分100分） 一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分)1. 10x y --=2.2y x =3.28y x = 4.相离5.2e +6.47. 55(2,)(,3)228.{0}二、解答题 (本大题共4小题，共计60分) 9. （本小题满分14分）解（1）53BC k =-，BC 边所在直线在y 轴上的截距为2， BC 边所在直线方程为52,53603y x x y =-++-=（2）25AC k =，AC 边上的高的斜率为52k =-，AC 边上的高的直线的方程为53(3)2y x +=--，即5290x y +-=10. （本小题满分14分）解（1）右焦点2(3,0)F ，对应右准线253x =.右焦点到对应准线的距离为163. （2）椭圆的离心率为35e =,根据第二定义, 231616535PF ed ==⋅=, 根据第一定义12163421055PF a PF =-=-=,点P 到左焦点1F 的距离为345. 11. （本小题满分16分）解（1）17 (2)能切点坐标(2(2,)33k k k Z ππππ+-∈或 12. （本小题满分16分）解：（1）设圆C 方程为,022=++++F Ey Dx y x则0443206480F D E F D F ⎧=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 解得D= —8，E=F=0.所以圆C ：2280.x y x +-= （2）圆C ：22(4)16.x y -+=圆心C(4,0),半径4当斜率不存在时，:0l x =符合题意；当斜率存在时，设直线:0,l y kx kx y =+-+=即因为直线l 与圆C 相切，所以圆心到直线距离为4，4,k ==解得所以直线:120.l y x x =++-=即故所求直线0,120.l x x =-=为或（第二部分满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分)13.20x y -= 14. 22(1)(3)25x y -+-= 15.4259()122f x x x =-+ 16. 25/2. 17.011x -≤≤ 18．.6 四、解答题 (本大题共2小题，共计30分) 19. (本题满分14分)解：（1）由抛物线2:C y x =得x y 2='，02|0x y x x ='∴= 切线l 的方程为)(2000x x x y y -=- 其中200x y = 令,0=x 得20x y -=；令,0=y 得20x x =；所以)0,2(0x A ，),0(20x B - 22400174x AB x =+=得到2004,2x x ==±,点P 的坐标为(2,4)±（2）设圆心E 的坐标为),0(b ，由题知1-=⋅l PE k k ，即12000-=⋅-x x by ，所以210-=-b y ；由||||PA PE =得20202020)2()(y x b y x +=-+整理得0134020=--y y解得10=y 或410-=y （舍去） 所以23=b ，圆E 的圆心E 的坐标为)23,0(，半径=r =||PE 25)(2020=-+b y x 圆E 的方程为45)23(22=-+y x20. (本题满分16分)解(1)①由已知得c a =，22411a b +=，222a b c =+，联立解得228,2a b ==. 椭圆M 的方程为22182x y +=. ②直线AB 的斜率为定值12由已知直线1:1(2)PA y k x -=-代入椭圆M 的方程消去y 并整理得22111(2)[(14)(288)]0x k x k k -+++-=所以2112188214A k k x k --=+,从而2112144114A k k y k --+=+同理2222288214B k k x k --=+,2222244114B k k y k --+=+因为120k k +=所以121222124()(41)(14)(14)A B k k k k y y k k ---==++121222128()(41)(14)(14)A B k k k k x x k k ---=++12A B ABA B y y k x x -==-为定值 (2) 解法一：12TBC S BC t =⋅=△直线TB 方程为：11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x 22284,44t t E t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭到:TC 30x ty t --=的距离d ==直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22436F t x t =+，所以=所以S 所以k 令21212t m +=>，则2213k m m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”， 所以k 的最大值为43．解法二：直线TB 方程为11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得F x =1sin 21sin 2TBC TEFTB TC BTCS TB TC k S TE TF TE TF ETF ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠△△T CT B T E T F x x x x TB TC TE TF x x x x --=⋅=⋅-- 22824436t tt t t t t t =⋅=+-++令21212t m +=>，则22192413k m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”，所以k 的最大值为43．18解。
2023-2024学年河南省南阳市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线l 过点（2，3），且倾斜角为90°，则直线l 的方程为（ ） A ．﹣x +y ＝1B ．x +y ﹣5＝0C ．y ＝3D ．x ＝22．二次函数y ＝ax 2（a ≠0）的图像为抛物线，其准线方程为（ ） A ．x =−14aB ．x =−a 4C ．y =−14aD ．y =−a 43．已知三条直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，倾斜角分别为α，β，γ．若α＜β＜γ，则下列关系不可能成立的是（ ） A ．k 3＜k 1＜k 2B ．k 1＜k 2＜k 3C ．k 2＜k 3＜k 1D ．k 3＜k 2＜k 14．国家体育场（鸟巢），是2008年北京奥运会的主体育场．在《通用技术》课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm ，短轴长为20cm ，小椭圆的短轴长为10cm ，则小椭圆的长轴长为（ ）cm ．A ．30B ．20C ．10√3D ．105．直线y ＝kx +1与椭圆x 24+y 2m=1总有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，+∞）B ．[1，4）∪（4，+∞）C ．（0，1）∪（1，4）D ．（1，+∞）6．已知△ABC 的顶点在抛物线y 2＝4x 上，若抛物线的焦点F 恰好是△ABC 的重心，则|F A |+|FB |+|FC |的值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．已知实数x 、y 满足x 2+y 2＝1，则|2x +y ﹣5|的最小值是（ ） A ．√5−1B ．√5+1C ．5−√5D ．5+√58．如图，加斯帕尔•蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点P 的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．双曲线C ：x 24−y 2=1的蒙日圆的面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知直线l 1：ax +2y ﹣1＝0和直线l 2：x +（a +1）y ﹣1＝0，下列说法不正确的是（ ） A ．当a ＝﹣2或1时，l 1∥l 2 B ．当a =−23时，l 1⊥l 2C ．直线l 1过定点（0，1），直线l 2过定点（1，0）D ．当l 1，l 2平行时，两直线的距离为√2 10．已知方程x 27−t +y 23+t=1表示的曲线为C ，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．当﹣3＜t ＜7时，曲线C 是椭圆B ．当t ＞7或t ＜﹣3时，曲线C 是双曲线 C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则﹣3＜t ＜2D ．若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞7 11．P 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上的一点，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）A ．c ≤|OP |≤aB ．若∠F 1PF 2＝60°，则S △F 1PF 2=√3b 2C ．若存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆C 的离心率e ∈[√22，1)D ．若PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2|=b2a12．已知F 是抛物线C ：y 2＝2px 的焦点，直线AB 经过点F 交抛物线于A 、B 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 B ．若AF →=2FB →，则直线AB 的斜率k ＝3C ．弦AB 的中点M 的轨迹为一条抛物线，其方程为y 2＝2px ﹣p 2D ．若p ＝4，则|AF |+4|BF |的最小值为18三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．请写出一个焦点在y 轴上，焦距为2的椭圆的标准方程 ．14．P 、Q 分别是圆E ：（x +9）2+（y +4）2＝1与圆F ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝1上的动点，A 为直线y ＝x 上的动点，则|AP |+|AQ |的最小值为 ． 15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的焦点与椭圆x 281+y 272=1的焦点重合，离心率互为倒数，设F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则双曲线C 的离心率为 ；|PF 1|2|PF 2|的最小值为 ．16．参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点．他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P （当成质点），灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A ，影子椭圆的右顶点到A 点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e ＝ ．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在平行四边形ABCD 中，A （﹣2，1），B （1，7），D （1，﹣2），点E 是线段CD 的中点． （1）求直线CD 的方程；（2）求过点E 且与直线BC 垂直的直线方程．18．（12分）已知焦点在y 轴上的双曲线的离心率为32，焦点到其中一条渐近线的距离为√5．（1）求双曲线的标准方程；（2）过双曲线的上焦点F 1的直线l 交双曲线的上支于M 、N 两点．在y 轴上是否存在定点T ，使得∠F 1TM ＝∠F 1TN 恒成立？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（12分）已知圆C ：x 2+3λx +y 2﹣λy ﹣10﹣10λ＝0． （1）证明：圆C 过定点．（2）当λ＝1时，是否存在斜率为1的直线l 交圆C 于A 、B 两点，使得以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2且垂直于x 轴的弦长为3，且_____．（从以下三个条件中任选一个，将其序号写在答题卡的横线上并作答．） ①椭圆C 的长轴长为4；②椭圆C 与椭圆x 213+y 212=1有相同的焦点；③F 1，F 2与椭圆C 短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 经过F 2，且与椭圆交于M ，N 两点，求△F 1MN 面积的最大值．21．（12分）已知动圆M 经过点A （2，0），且与直线x ＝﹣2相切．设圆心M 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设P 为直线x ＝﹣2上任意一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为E 、F ，求证：PE ⊥PF ． 22．（12分）已知两定点A （﹣3，0），B （3，0），过动点P 的两直线P A 和PB 的斜率之积为−89．设动点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设F 1（﹣1，0），过F 1的直线l 交曲线C 于M 、N 两点（不与A 、B 重合）．设直线AM 与BN 的斜率分别为k 1，k 2，证明k 1k 2为定值．2023-2024学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线l过点（2，3），且倾斜角为90°，则直线l的方程为（）A．﹣x+y＝1B．x+y﹣5＝0C．y＝3D．x＝2解：∵直线l过点（2，3），且倾斜角为90°，∴直线l的方程为x＝2．故选：D．2．二次函数y＝ax2（a≠0）的图像为抛物线，其准线方程为（）A．x=−14aB．x=−a4C．y=−14a D．y=−a4解：将二次函数y＝ax2（a≠0）化为抛物线标准式得x2=1ay，所以准线方程为y=−14a．故选：C．3．已知三条直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α，β，γ．若α＜β＜γ，则下列关系不可能成立的是（）A．k3＜k1＜k2B．k1＜k2＜k3C．k2＜k3＜k1D．k3＜k2＜k1解：若γ＞90°＞β＞α，则tanβ＞tanα＞0＞tanγ，A成立，若α＜β＜γ＜90°，则tanα＜tanβ＜tanγ，B成立，若α＜90°＜β＜γ，则tanα＞0＞tanγ＞tanβ，C成立，故选：D．4．国家体育场（鸟巢），是2008年北京奥运会的主体育场．在《通用技术》课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（）cm．A．30B．20C．10√3D．10解：扁平程度相同的椭圆，即离心率相等，大椭圆a1=20，b1=10，c1=√202−102=10√3，离心率为e1=√32，小椭圆b 2＝5，离心率e 2=e 1=√32=√a 22−25a 2，解得a 2＝10，故长轴长为20．故选：B ．5．直线y ＝kx +1与椭圆x 24+y 2m=1总有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，+∞）B ．[1，4）∪（4，+∞）C ．（0，1）∪（1，4）D ．（1，+∞）解：直线y ＝kx +1恒过点（0，1），只需该点落在椭圆内或椭圆上， 即024+12m≤1，解得m ≥1，又m ≠4，则m 的取值范围是[1，4）∪（4，+∞）．故选：B ．6．已知△ABC 的顶点在抛物线y 2＝4x 上，若抛物线的焦点F 恰好是△ABC 的重心，则|F A |+|FB |+|FC |的值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），抛物线y 2＝4x ，则F （1，0）， 因为焦点F 恰好是△ABC 的重心，所以x 1+x 2+x 3＝3×1＝3， 故|F A |+|FB |+|FC |＝x 1+1+x 2+1+x 3+1＝6． 故选：D ．7．已知实数x 、y 满足x 2+y 2＝1，则|2x +y ﹣5|的最小值是（ ） A ．√5−1B ．√5+1C ．5−√5D ．5+√5解：x 2+y 2＝1，则圆心C （0，0），半径r ＝1， |2x +y ﹣5|=√5|2x+y−5|√2+1，√22+12表示圆上的点到直线2x +y ﹣5＝0的距离，该距离的最小值为√22+12−r =√5−1，故|2x +y ﹣5|的最小值是：√5×(√5−1)=5−√5． 故选：C ．8．如图，加斯帕尔•蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点P 的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．双曲线C ：x 24−y 2=1的蒙日圆的面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解：不妨设P （x 0，y 0），则过点P 的切线方程为y ﹣y 0＝k （x ﹣x 0），联立{x 2a 2−y 2b 2=1y −y 0=k(x −x 0)，消去y 并整理得（b 2﹣a 2k 2）x 2﹣2a 2k （y 0﹣kx 0）x −a 2[(y 0−kx 0)2+b 2]，因为过点P 的切线方程与双曲线只有一个交点，所以Δ＝0，解得(x 02−a 2)k 2−2x 0y 0k +y 02+b 2=0，易知k AP ，k BP 为关于k 的方程(x 02−a 2)k 2−2x 0y 0k +y 02+b 2=0的两个根，且k AP •k BP ＝﹣1，所以y 02+b 2x 02−a 2=−1，整理得x 02+y 02=a 2−b 2，所以点P 的轨迹方程为x 02+y 02=a 2−b 2（a ＞b ），可得双曲线C ：x 24−y 2=1的蒙日圆的轨迹方程为x 2+y 2＝3， 所以r =√3，则该蒙日圆的面积S ＝πr 2＝3π． 故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知直线l 1：ax +2y ﹣1＝0和直线l 2：x +（a +1）y ﹣1＝0，下列说法不正确的是（ ） A ．当a ＝﹣2或1时，l 1∥l 2 B ．当a =−23时，l 1⊥l 2C ．直线l 1过定点（0，1），直线l 2过定点（1，0）D ．当l 1，l 2平行时，两直线的距离为√2解：A 中，两条直线平行时，则a （a +1）＝2×1，且a ×（﹣1）≠﹣1×1，解得a ＝﹣2，所以A 不正确；B 中，a =−23时，a •1+2•（a +1）=−23+23=0，即两条直线垂直，所以B 正确； C 中，直线l 1：ax +2y ﹣1＝0可得恒过定点（0，12），直线l 2：x +（a +1）y ﹣1＝0整理可得ay +x +y ﹣1＝0，恒过定点（1，0），所以C 不正确；D 中，由A 可知，两条直线平行时a ＝﹣2，此时直线l 1：﹣2x +2y ﹣1＝0，即x ﹣y +12=0， 直线l 2：x ﹣y ﹣1＝0，所以两条直线的距离d =|12−1|√1+(−1)=√24，所以D 不正确．故选：ACD ． 10．已知方程x 27−t+y 23+t=1表示的曲线为C ，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．当﹣3＜t ＜7时，曲线C 是椭圆B ．当t ＞7或t ＜﹣3时，曲线C 是双曲线 C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则﹣3＜t ＜2D ．若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞7 解：当方程x 27−t+y 23+t=1是椭圆时，则{7−t ＞03+t ＞07−t ≠3+t，解得﹣3＜t ＜2或2＜t ＜7，∴A 错误，当方程x 27−t+y 23+t =1是双曲线时，则（7﹣t ）（t +3）＜0，解得t ＜﹣3或t ＞7，∴B 正确；若方程x 27−t +y 23+t =1是焦点在x 轴上的椭圆，则{7−t ＞3+t 3+t ＞0，解得﹣3＜t ＜2，∴C 正确； 若方程x 27−t+y 23+t=1是焦点在y 轴上的双曲线，则 {3+t ＞07−t ＜0，解得t ＞7，∴D 正确．故选：BCD ． 11．P 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上的一点，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）A ．c ≤|OP |≤aB ．若∠F 1PF 2＝60°，则S △F 1PF 2=√3b 2C ．若存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆C 的离心率e ∈[√22，1)D ．若PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2|=b2a解：对于A ，易知|OP |∈[b ，a ]，故A 错误； 对于B ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m +n ＝2a ，根据余弦定理，（2c ）2＝m 2+n 2﹣2mn cos60°，解得mn =4a 2−4c 23=4b23，所以S △F 1PF 2=12mnsin60°=√3b 23，故B 错误；对于C ，若存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°， 则c ⩾b ，所以c 2⩾a 2﹣c 2，即c 2a 2⩾12，所以e ∈[√22，1)，故C 正确；对于D ，若PF 1的中点在y 轴上，则PF 2⊥x 轴，所以|PF 2|=b2a，故D 正确．故选：CD ．12．已知F 是抛物线C ：y 2＝2px 的焦点，直线AB 经过点F 交抛物线于A 、B 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 B ．若AF →=2FB →，则直线AB 的斜率k ＝3C ．弦AB 的中点M 的轨迹为一条抛物线，其方程为y 2＝2px ﹣p 2D ．若p ＝4，则|AF |+4|BF |的最小值为18解：A ．由抛物线的方程可得焦点F （p2，0），准线方程为：x =−p2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB 的中点M （x 1+x 22，y 1+y 22），利用焦点弦的性质可得|AB |＝x 1+x 2+p ，而AB 的中点M 到准线的距离d =x 1+x 22−（−p 2）=12（1+x 2+p ）=12|AB |，∴以AB 为直径的圆与该抛物线的准线相切，因此A 正确；B ．设直线AB 的方程为x ＝my +p 2，k =1m ＞0，联立{x =my +p2y 2=2px ， 整理可得：y 2﹣2mpy ﹣p 2＝0， 可得y 1+y 2＝2mp ，y 1y 2＝﹣p 2， ∵AF →=2FB →，∴y 1＝﹣2y 2， 解得y 2＝﹣2mp ，y 1＝4mp ， ∴﹣8m 2p 2＝﹣p 2，解得m 2=18， ∴k =√1m 2=2√2，因此B 不正确； C ．设M （x ，y ），结合A ，B 可得：y =y 1+y 22=mp ，x =x 1+x 22=m(y 1+y 2)2+p 2=m 2p +p 2，消去m 可得：2y 2＝2px ﹣p 2，因此C 不正确； D ．若p ＝4，则抛物线C ：y 2＝8x ，不妨设x 1＞x 2＞0，x 1x 2=(y 1y 2)264=4，∴|AF |+4|BF |＝x 1+4x 2+10=4x 2+4x 2+10≥4×2√1x 2⋅x 2+10＝18，当且仅当x 2＝1，x 1＝4时取等号，因此D 正确． 故选：AD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．请写出一个焦点在y 轴上，焦距为2的椭圆的标准方程 y 22+x 21=1（答案不唯一，只要焦点在y轴上且a 2﹣b 2＝1） ． 解：y 22+x 21=1（答案不唯一，只要焦点在y 轴上且a 2﹣b 2＝1）． 故答案为：y 22+x 21=1（答案不唯一，只要焦点在y 轴上且a 2﹣b 2＝1）．14．P 、Q 分别是圆E ：（x +9）2+（y +4）2＝1与圆F ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝1上的动点，A 为直线y ＝x 上的动点，则|AP |+|AQ |的最小值为 11 ． 解：由题意知E （﹣9，﹣4），F （1，3），如图，设圆E 关于y ＝x 的对称圆为圆G ，点Q 与点Q '关于y ＝x 轴对称，则圆G 的方程为（x +4）2+（y +9）2＝1，G （﹣4，﹣9），所以（|AP |+|AQ |）min ＝（|AP |+|AQ ′|）min ≥|PQ ′|，当且仅当P ，A ，Q ′三点共线时取得最小值， 此时|PQ ′|＝|FG |﹣1﹣1=√(−4−1)2+(−9−3)2−1﹣1＝11，所以AP |+|AQ |的最小值为11． 故答案为：11． 15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的焦点与椭圆x 281+y 272=1的焦点重合，离心率互为倒数，设F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则双曲线C 的离心率为 3 ； |PF 1|2|PF 2|的最小值为 8 ． 解：已知椭圆x 281+y 272=1的离心率e 1=√1−7281=13，而c =√81−72=3， 因为双曲线C 与椭圆x 281+y 272=1的离心率互为倒数，所以双曲线C 的离心率e 2＝3，① 因为双曲线C 的焦点与椭圆x 281+y 272=1的焦点重合，所以双曲线C 的半焦距c ＝3，② 又a 2+b 2＝c 2，③联立①②③，解得a ＝1，b ＝2√2，则双曲线C 的方程为x 2−y 28=1，若F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点， 可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ＝2， 即|PF 1|＝2+|PF 2|， 所以|PF 1|2|PF 2|=(2+|PF 2|)2|PF 2|=4+4|PF 2|+|PF 2|2|PF 2|=4|PF 2|+|PF 2|+4，因为|PF 2|≥c ﹣a ＝1， 所以4|PF 2|+|PF 2|+4≥2√4|PF 2|⋅|PF 2|+4=8， 当且仅当4|PF 2|=|PF 2|，即|PF 2|＝2时，等号成立，则|PF 1|2|PF 2|的最小值为8．故答案为：3；8．16．参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点．他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P （当成质点），灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A ，影子椭圆的右顶点到A 点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e ＝79．解：以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意可知，|NQ |＝a +c ，|QR |＝a ﹣c 由题意可得P （0，4），R （﹣3，0），则PR ：4x ﹣3y +12＝0，k PR =43， 设M （n ，1），Q （n ，0）， 则M 到PR 的距离d =|4n−3+12|√4+3=1，解得n ＝﹣1（舍去）．n =−72，则|QR |=72−3=12=a ﹣c ， 又设PN ：kx ﹣y +4＝0，由d =|−72k−1+4|√1+k =1，得45k 2﹣84k +32＝0．∴k PR •k PN =3245，则k PN =815，得x N =−152， ∴2a =152−3=92，a =94，解得c =74． ∴椭圆的离心率e =ca =79． 故答案为：79．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在平行四边形ABCD 中，A （﹣2，1），B （1，7），D （1，﹣2），点E 是线段CD 的中点．（1）求直线CD 的方程；（2）求过点E 且与直线BC 垂直的直线方程． 解：（1）由题意可得k AB =7−11−(−2)=2，由平行四边形可得CD ∥AB ，所以直线CD 的斜率为2，所以直线CD 的方程为y ﹣（﹣2）＝2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣4＝0； （2）设所求直线为l ．设点C 的坐标为（m ，n ），则DC →=(m −1，n +2)， 由题意AB →=DC →，又AB →=(3，6)，故{m −1=3n +2=6，解得m ＝4，n ＝4，即C （4，4）， 点E 是线段CD 的中点，则E(52，1)， 直线BC 的斜率为k BC =7−41−4=−1，由于直线BC 与l 垂直，故直线l 的斜率为1， 所以直线l 的方程为y −1=x −52， 即2x ﹣2y ﹣3＝0．18．（12分）已知焦点在y 轴上的双曲线的离心率为32，焦点到其中一条渐近线的距离为√5．（1）求双曲线的标准方程；（2）过双曲线的上焦点F 1的直线l 交双曲线的上支于M 、N 两点．在y 轴上是否存在定点T ，使得∠F 1TM ＝∠F 1TN 恒成立？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）因为焦点在y 轴上的双曲线的离心率为32，所以e =√1+b 2a2=32，①因为焦点到其中一条渐近线的距离为√5， 所以d =√a 2+b=b =√5，②联立①②，解得a ＝2， 则双曲线的标准方程为y 24−x 25=1；（2）易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为y ＝kx +3，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立{y =kx +3y 24−x 25=1，消去y 并整理得（5k 2﹣4）x 2+30kx +25＝0，由韦达定理得x 1+x 2=−30k 5k 2−4，x 1x 2=255k 2−4，假设在y 轴上存在定点T ，使得∠F 1TM ＝∠F 1TN 恒成立， 不妨设点T （0，t ），此时k TM +k TN ＝0， 即y 1−t x 1+y 2−t x 2=x 2(y 1−t)+x 1(y 2−t)x 1x 2=x 2(kx 1+3−t)+x 1(kx 2+3−t)x 1x 2=2k +(3−t)(x 1+x 2)x 1x 2=2k +(3−t)−30k 5k 2−4255k 2−4=0，解得t =43，则点T 的坐标为(0，43)．综上，y 轴上存在点T(0，43)，使∠F 1TM ＝∠F 1TN 恒成立． 19．（12分）已知圆C ：x 2+3λx +y 2﹣λy ﹣10﹣10λ＝0． （1）证明：圆C 过定点．（2）当λ＝1时，是否存在斜率为1的直线l 交圆C 于A 、B 两点，使得以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．解：（1）证明：圆C ：x 2+3λx +y 2﹣λy ﹣10﹣10λ＝0，即x 2+y 2﹣10+λ（3x ﹣y ﹣10）＝0， 令{3x −y −10=0x 2+y 2−10=0，解得{x =3y =−1， 把（3，﹣1）代入圆C ：x 2+3λx +y 2﹣λy ﹣10﹣10λ＝0成立， 所以圆过定点（3，﹣1）．（2）当λ＝1时，圆C 的方程为：x 2+y 2+3x ﹣y ﹣20＝0． 假设存在直线l 符合题意，直线l 的斜率为1，设直线l 的方程为y ＝x +m ，与圆C 联立{y =x +mx 2+y 2+3x −y −20=0，化简整理可得，2x 2+2（m +1）x +m 2﹣m ﹣20＝0，Δ＝4（m +1）2﹣4×2×（m 2﹣m ﹣20）＞0①， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） x 1+x 2＝﹣（m +1），x 1x 2=m 2−m−202， 若以AB 为直径的圆经过原点，则OA ⊥OB ，OA →⋅OB →=0，即x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1+m)(x 2+m)=2x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2=m m 2﹣m ﹣20﹣m （m +1）+m 2＝m 2﹣2m ﹣20＝0，解得m =1±√21，均满足①，故直线l 的方程为y =x +1−√21或y =x +1+√21． 20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2且垂直于x 轴的弦长为3，且_____．（从以下三个条件中任选一个，将其序号写在答题卡的横线上并作答．） ①椭圆C 的长轴长为4；②椭圆C 与椭圆x 213+y 212=1有相同的焦点；③F 1，F 2与椭圆C 短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 经过F 2，且与椭圆交于M ，N 两点，求△F 1MN 面积的最大值． 解：（1）选①：由题意得{2a =42b 2a =3，解得{a =2b =√3．所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．选②：椭圆x 213+y 212=1的焦点坐标为（±1，0），则c ＝1，又2a ＝4，得a ＝2，由a 2＝b 2+c 2得，b 2＝4﹣1＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．选③：由题意得2b 2a=3，因为F 1，F 2与椭圆C 短轴的一个端点组成等边三角形， 所以b =√3c ，又a 2＝b 2+c 2，得a ＝2，b =√3， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（2）【解法一】：由题知F 2（1，0）， 设直线l 的方程为x ＝my +1，联立{x =my +1x 24+y 23=1，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0，设点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 所以y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4． 所以S △F 1MN =S △MF 1F 2+S △NF 1F 2=12⋅2c|y 1−y 2|=|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√(−6m 3m 2+4)2−−363m 2+4=12√m 2+13m 2+4， 设t =√m 2+1≥1，则S △F 1MN =12t 3t 2+1=123t+1t，因为函数y =3t +1t在t ∈[1，+∞）上单调递增， 所以函数y =123t+1t在t ∈[1，+∞）上单调递减， 所以当t ＝1时，y max =123×1+1=3（此时m ＝0，直线为x ＝1）， 所以△F 1MN 面积的最大值为3． 【解法二】：由题知F 2（1，0），当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，此时M （1，32），N （1，−32）或M （1，−32），N （1，32），所以|MN |＝3，所以△F 1MN 的面积为12|F 1F 2|⋅|MN|=3，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1）， 联立{y =k(x −1)x 24+y 23=1，得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12＝0，设点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 所以x 1+x 2=8k23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，所以y 1+y 2=−6k3+4k 2，y 1y 2=−9k23+4k2，所以S △F 1MN =S △MF 1F 2+S △NF 1F 2=12⋅2c|y 1−y 2|=|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√(−6k 3+4k2−4⋅−9k23+4k2)=12√k 2(k 2+1)3+4k 2，设t ＝3+4k 2＞3，则k 2=t−34，所以S =12√(t−34)2−t−34t 2=3√1−2t −3t2（其中0＜1t ＜13），所以当1t→0时，S →3，综上所述：△F 1MN 面积的最大值为3．21．（12分）已知动圆M 经过点A （2，0），且与直线x ＝﹣2相切．设圆心M 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设P 为直线x ＝﹣2上任意一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为E 、F ，求证：PE ⊥PF ． 解：（1）因为动圆M 经过点A （2，0），且与直线x ＝﹣2相切， 所以|MA |＝|x +2|，即点M 到点A （2，0）的距离与到直线x ＝﹣2的距离相等，由抛物线定义知圆心M 的轨迹C 为抛物线，且焦点为（2，0），准线方程为x ＝﹣2， 所以曲线C 的方程为y 2＝8x ；（2）证明：易知过点P 的切线斜率存在，且不为0； 因为P 为直线x ＝﹣2上任意一点，不妨设P （﹣2，t ），切线方程为x +2＝m （y ﹣t ），联立{x +2=m(y −1)y 2=8x ，消去x 并整理得y 2﹣8my +8mt +16＝0，此时Δ＝64m 2﹣4（8tm +16）＝64m 2﹣32tm ﹣64＝0， 因为过点P 存在两条切线，所以关于m 的方程有两个不相等的实数根m 1，m 2， 由韦达定理得m 1m 2＝﹣1，不妨设切线PE 、PF 的斜率分别为k 1，k 2， 此时k 1k 2=1m 1⋅1m 2=−1，故PE ⊥PF ．22．（12分）已知两定点A （﹣3，0），B （3，0），过动点P 的两直线P A 和PB 的斜率之积为−89．设动点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设F 1（﹣1，0），过F 1的直线l 交曲线C 于M 、N 两点（不与A 、B 重合）．设直线AM 与BN 的斜率分别为k 1，k 2，证明k 1k 2为定值．解：（1）不妨设点P （x ，y ），因为过动点P 的两直线P A 和PB 的斜率之积为−89， 所以k PA ⋅k PB =yx+3⋅yx−3=−89， 整理得x 29+y 28=1(x ≠±3)；（2）证明：不妨设直线l 的方程为x ＝my ﹣1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立{x =my −1x 29+y 28=1，消去x 并整理得（8m 2+9）y 2﹣16my ﹣64＝0，由韦达定理得y 1+y 2=16m 8m 2+9，y 1y 2=−648m 2+9， 则k 1k 2=y 1x 1+3⋅x 2−3y 2=x 2y 1−3y 1x 1y 2+3y 2=(my 2−1)y 1−3y 1(my 1−1)y 2+3y 2=my 1y 2−4y 1my 1y 2+2y 2=−64m8m 2+9−4y 1−64m 8m 2+9+2(16m8m 2+9−y 1)=−64m8m 2+9−4y 1−32m8m 2+9+2y 1=2．综上，k 1k 2为定值2．。
—15学年上学期高二期中考试数学(文)(附答案)
长春市十一高中2014-2015学年度高二上学期期中考试数 学（文科）试 题本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，测试时间120分钟。
说明：请将选择题答案填涂在答题卡上，把填空题和解答题答案写在答题纸的相应的位置上.第一部分（选择题）一、选择题（此大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的）1．若A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |1≤x <2}，则A ∪B ＝( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |x ≥2}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0<x <2} 2．已知函数f (x －1)＝x 2－3，则f (2)的值为( )A ．－2B ．6C ．1D ．03．三棱锥又称四面体，则在四面体A －BCD 中，可以当作棱锥底面的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．已知两条相交直线a 、b ，a ∥平面α，则b 与平面α的位置关系( ) A ．b ∥α B ．b 与α相交 C ．b ⊂α D ．b ∥α或b 与α相交 5．若a<b<0，则下列不等式中不能成立的是( )A.1a >1bB.1a －b >1a C ．|a|>|b| D ．a 2>b 2 6．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为( ) A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝4 B ．(x ＋2)2＋(y +1)2＝4 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝16 D ．(x+2)2＋(y-1)2＝16 7．赋值语句N ＝N ＋1的意义是( )A ．N 等于N ＋1B ．N ＋1等于NC ．将N 的值赋给N ＋1D ．将N 的原值加1再赋给N ，即N 的值增加1 8．用秦九韶算法计算f(x)＝6x 5－4x 4＋x 3－2x 2－9x-9，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为( )A ．5,4B ．5,5C ．4,4D ．4,5 9．k 进制数32501(k)，则k 不可能是( )A ．5B ．6C ．7D ．810．以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2＝0；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；体验 探究 合作 展示④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．311．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．4 212．椭圆x 24＋y 33＝1上有n 个不同的点P 1、P 2、…、P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F|}是公差大于11 000的等差数列，则n 的最大值是( )A ．2 000B ．2 006C ．2 007D ．2 008第二部分（非选择题）二、填空题 （每题5分，共20分）13．若角α的终边经过P （－3，b ），且tan α=－35，则sin α=_________． 14．已知向量=⊥=-=m m 则若,),,3(),2,1( ． 15．sin20°cos40°+sin70°sin40°=_________．16．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为________．三、解答题 （前五个题每题12分，最后一题10分，共70分） 17．已知{n a }为等差数列,且3660a a =-,=. (1)求{n a }的通项公式;(2)若等差数列{n b }满足121238b b a a a =-,=++,求{n b }的前n 项和公式.18．如图所示,在斜三棱柱111ABC A B C -中1126A AC ACB AAC ππ,∠=∠=,∠=,侧棱1BB与底面所成的角为13AA π,=BC=4.求斜三棱柱111ABC A B C -的体积V.19．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/米2,水池所有墙的厚度忽略不计.试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.20. 已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，0sin sin sin sin 3cos sin =--+C B C A C A (1)求A ；(2)若a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c.21．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|.22．已知椭圆的焦点是F 1（-4，0）、F 2（4，0），过F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B|+|F 2B|=10，椭圆上的不同两点A （x 1,y 1）、C (x 2,y 2)． (1)求椭圆的方程；(2)若弦AC 中点的横坐标为4，设弦AC 的垂直平分线的方程为,m kx y +=求m 的取 值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题．每小题5分，共60分）二、填空题（本题共4个小题。
4—15学上学期高二期中考试数学(附答案) (1)
汇文中学2014-2015学年度第一学期期中考试高二数学试卷第一卷一、填空题：（本大题共8小题，每题5分，共40分。
请将答案填在答卷上．．．．．．．．．） 1．抛物线24y x =的焦点坐标为 ▲ ． 2．“2x >”是“1x >”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个） 3．在平面直角坐标系中，若点(,1)a -在直线210x y -+=的上方（不含边界）， 则实数a 的取值范围是 ▲ ．4．已知函数()21f x x =+，则()f x 在区间[0,2]上的平均变化率为 ▲ ．5．双曲线221416x y -=的渐近线方程为 ▲ ． 6．设变量x ，y 满足约束条件311x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为 ▲ ．7．一物体做加速直线运动，假设t s 时的速度为2()3v t t =+，则2t =时物体的加速度为 ▲ ．8x a <+在区间[1,1]-上恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：（本大题共4道题，满分60分。
答题应有必要的步骤和推理过程．．．．．．．．．．．．．．） 9．（本题满分14分）已知p ：x R ∀∈，不等式2302x mx -+>恒成立，q ：椭圆22113x y m m+=--的焦点在x 轴上．若命题p q ∧为真命题，求实数m 的取值范围．10．（本题满分14分）已知函数2()f x x =．（1）若曲线()f x 的一条切线的斜率是2，求切点坐标； （2）求()f x 在点(1,(1))f --处的切线方程．11．（本题满分16分）已知一个圆经过直线l ：240x y ++=与圆C ：222410x y x y ++-+=的两个 交点，并且面积有最小值，求此圆的方程．12．（本题满分16分）如图，F 是中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 的右焦点，直线l ：x ＝4是椭圆C 的 右准线，F 到直线l 的距离等于3． （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上动点，PM ⊥l ，垂足为M ．是否存在点P ，使得△FPM 为等腰 三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第二卷一、填空题：（本大题共6小题，每题5分，共30分。
河南南阳市14-15学年高二下学期期中质量评估数学(理)试题 (扫描版含答案)
2015年春期期中质量评估高二数学试题（理）参考答案一、选择题：CBDCC DBCAB BA 二、填空题：13、q 14、1283π 15、(]1-∞，- 16、112⎛⎫- ⎪⎝⎭，三、解答题：17.解：（Ⅰ）当⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--023023222m m m m 时，解得⎪⎩⎪⎨⎧≠≠=-=21221m m m m 且或， 即21-=m 时，复数z 为纯虚数． …………………（5分） （Ⅱ）当0m =时，22i z =-+，28i 8i(34i)3224i 52i 34i 252525z z ---===--+++ ………（10分）18. 解：(Ⅰ)由()22(xf x e x x R =-+∈）得()2x f x e '=-，………（2分）令()20xf x e '=-=得ln 2x =， ………（3分）当ln 2x >时，()0f x '>；当ln 2x <时，()0f x '<， ………（4分） 故当ln 2x =时，()f x 有极小值也是最小值为(ln 2)2(2ln 2)f =-.………（6分） (Ⅱ) 设2()21(0)x g x e x x x =-+->，则()22xg x e x '=-+，………（7分） 由(Ⅰ) 知()22xg x e x '=-+有最小值(ln 2)2(2ln 2)0g '=-> ………（9分） 于是对于0x >，都有()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上递增， ………（10分） 而(0)0g =，从而对任意(0,)x ∈+∞，()0g x >，即221xe x x >-+.………（12分）19.解：（Ⅰ）点P 的坐标为）（1,2-a a ，设切点Q 的坐标为）（200,x x ， 221PQ a x k a x --=-，又002PQ x x k y x ='==，所以220012a x x a x --=-解得01x a =+或01x a =-.所求切线方程为22(1)(1)y a x a =---或22(1)(1)y a x a =+-+…………（6分） （Ⅱ）S ＝2212(1)(1)aa x a x a dx -⎡⎤--+-⎣⎦⎰＋+12222(+1)(+1)=3a a x a x a dx ⎡⎤-+⎣⎦⎰. 故所围成的图形面积S ＝23，此为与a 无关的一个常数． ………………（12分）20. 解：假设存在一次函数()()0g x kx b k =+≠，使得()()12311n n a a a a g n a -++++=-对2n ≥的一切自然数都成立，则当n=2时有，()()1221a g a =-，又()1211,1,222a a g ==+∴=即22kb +=……①.当n=3时有，()()12331a a g a +=-，又1231111,1,1,223a a a ==+=++()33g ∴=，即33k b +=……②，由①②可得1,0k b ==，所以猜想：()g x x =，…………………………（5分） 下面用数学归纳法加以证明：（1）当n=2时，已经得到证明； ……………………………………（6分） （2）假设当n=k （2,k k N ≥∈）时，结论成立，即存在()g k k =，使得()()12311k k a a a a g k a -++++=-对2k ≥的一切自然数都成立，则当1n k =+时，()1231231+k k k a a a a a a a a a -++++=++++()()=11k k k k a a k a k -+=+-， ……………………（8分）又11111112311k k a a k k k +=+++++=+++，111k k a a k -∴=-+， ()()()1231111111k k k a a a a k a k k a k ++⎛⎫∴++++=+--=+- ⎪+⎝⎭，∴当1n k =+时，命题成立.………………………………………………（11分）由（1）（2）知，对一切n ，（2,n n N *≥∈）有()g n n =，使得()()12311n n a a a a g n a -++++=-都成立.…………………………（12分）21.解：(Ⅰ）由题意a ax x x f --=2)('2，假设在1-=x 时)(x f 取得极值，则有021)1('=-+=-a a f ，∴1-=a 而此时，0)1(12)('22≥+=++=x x x x f ，函数)(x f 在1-=x 处无极值. ………（4分）（Ⅱ）设)()(x g x f =，则有033123=---c x x x ，∴32133c x x x =--， 设c x G x x x x F =--=)(,331)(23，令032)('2=--=x x x F ，解得11x =-或3x =. 随着x 值变化时)(),(x F x F '的变化情况如下表：由此可知：F （x)在（-3，1），（3，4）上是增函数，在（-1，3）上是减函数.当x=-1时，F （x)取得极大值F （-1）=35；当x=3时，F （x)取得极小值 F （-3）=F （3）=9-，而F （4）=320-. ………………………（10分）如果函数)(x f 与)(x g 的图像有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点， 所以35320<<-c 或9-=c . ………………………………（12分） 22解：（Ⅰ）因为()ln f x ax x x =+，所以()'ln 1f x a x =++……………………（2分） 因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =处的切线斜率为3， 所以，()'3f e =，即lne 1=3a ++，所以，1a =.……………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()ln f x x x x =+，所以，()1f x k x <-对任意2x e >恒成立，即ln 1x x x k x +<-对任意2x e >恒成立.……（5分） 令()ln 1x x xg x x +=-，则()()2ln 2'1x x g x x --=-…………………………………………（6分） 令()()2ln 2h x x x x e =-->，则()11'10x h x x x-=-=>， 所以函数()h x 在()2,+e ∞上单调递增……………………………………………………（8分）所以()()2240h x h e e >=->，可得()'0g x >故函数()ln 1x x xg x x +=-在()2,e +∞上单调递增.所以()()()22223333,411e g x g e e e >==+∈--……………（11分） ()2k g e ∴≤故整数k 的最大值是3.………………………………………………………………（12分）。
2015-2016学年高二上学期期中考试数学试卷
高二期中数学卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页。
满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷、答题卡和答题纸规定的地方。
第Ⅰ卷注意事项：第Ⅰ卷为选择题，共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求。
每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其他答案标号。
不能直接写在本试卷上。
1、集合}032|{2<--=x x x M ，}|{a x x N >=，若N M ⊆，则实数a 的范围是（ ）A ．),3[+∞B ．),3(+∞C ．]1,(--∞D ．)1,(--∞ 2、将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为（ ）3、已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为3π，那么3a b + 等于（ ）D.44、已知直线l ，m 与平面αβγ，，满足//l l m βγαα=⊂ ，，，m γ⊥，则有（ ） A ．αγ⊥且//m β B ．αγ⊥且l m ⊥ C ．//m β且l m ⊥ D ．//αβ且αγ⊥5、设函数2,0(),01x x bx c f x x ≥⎧++=⎨<⎩，若(4)(0)f f =，(2)2f =，则函数()()g x f x x=-的零点的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36、已知0)](log [log log 237=x ，那么21-x 等于（ ）A.31 B.63 C.33 D.427、已知3cos(),sin 245x x π-=则=（ ）（D ）（C ）（B ）（A ）A ．1825 B ．725 C ．725- D ．1625- 8、利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落 在坐标轴上的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3 9、各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a的等比中项为7112a a +的最小值为（ ）A ．16B ．8C．D ．410、在错误！未找到引用源。
2 数学-2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题
2015-2016学年第一学期期中考试高二数学2015.11注意事项:1.本试卷分填空题和解答题两部分，共160分，考试用时120分钟.2.答题前，考生务必将自己的班级、姓名、学号写在答题纸的密封线内．答题时，填空题和解答题的答案写在答题纸对应的位置上，答案写在试卷上无效．．．．．．．．．，本卷考试结束后，上交答题纸. 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1. 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是 ▲ ．2. 若三个球的半径之比是1:2:3，则它们的体积之比是 ▲ ．3. 过点(1,3)P -且垂直于直线230x y -+=的直线方程为 ▲ ．4. 若三条直线两两互相垂直，则下列结论正确的是 ▲ ． ①这三条直线共点；②其中必有两条直线是异面直线； ③三条直线不可能在同一平面内；④其中必有两条在同一平面内．5. 方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是 ▲ ．6. 已知m n 、是不重合的直线，αβ、是不重合的平面，则下列命题中正确的序号为 ▲ ． （1）若,//n m n αβ= ，则//,//m m αβ； （2）若,m m αβ⊥⊥，则//αβ； （3）若//,m m n α⊥，则n α⊥；（4）若,m n αα⊥⊂，则.m n ⊥．7. 已知正三棱锥P —ABC 中，侧棱0,30PA a APB =∠=，D 、E 分别是侧棱PB 、PC 上的点，则ADE ∆的周长的最小值是 ▲ ．8. 直线l 经过点(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是 ▲ ． 9. 若,62ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,则直线2x cos α＋3y ＋1=0的倾斜角的取值范围 ▲ ．10. 点A ，B 到平面α的距离分别为4cm 和6cm ，则线段AB 的中点M 到α平面的距离为 ▲ ．11. 已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA =AB =BC O 的体积等于 ▲ ．12. 已知(2,0)A ，(1,2)B --，P 是直线y x =上的动点，则PA PB +的最小值为 ▲ ．13. 若圆2221:240C x y mx m +-+-=与圆2222:24480C x y x my m ++-+-=相交，则m 的取值范围是 ▲ ．14. 若直线y =x +b 与曲线x b 的取值范围是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题14分）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，点H是BE 的中点，点G是AE、DF的交点．（1）求证：GH∥平面CDE；（2）求证：BD⊥平面CDE.16.（本题满分14分）已知直线1:23160l x y+-=，2:3220l x y-+=．（1）求两直线的交点P；（2）求经过点P且平行于直线230x y+-=的直线方程；（3）求以点P为圆心，且与直线230x y+-=相切的圆的标准方程．17.（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD-中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，60BAD∠= ，N是PB中点，截面DAN交PC于M，E是AD中点，求证：（1）//AD MN；（2）AD⊥平面PBE；（3）PB⊥平面ADMN．18..（本题满分16分）如图，在四棱锥P ABCD-中，平面PAD⊥平面A B C D，AB DC∥，PAD△是等边三角形，已知4AD=，BD=，28AB CD==．（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（2）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？（3）求四棱锥P ABCD-的体积．19.（本题满分16分）已知圆C:22(1)(3)9x y-+-=,直线:(23)(4)220l m x m y m++++-=．（1）无论m取任何实数，直线l必经过一个定点P，求出定点P的坐标；（2）过点P作圆C的切线，求切线方程；（3）以CP为直径的圆与圆C交于A、B两点，求线段AB的长．20.（本题满分16分）方程2()20f x x ax b=++=的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：（1）21ba--的值域；（2）22(1)(2)a b-+-的值域；（3）3a b+-的值域．ACBDMNPECMDCBDHFGEAPA2015-2016学年第一学期期中考试高二数学2015.11一、填空题：本大题共14小题．每小题5分，共70分．1．________________________；2．________________________；3．________________________；4．________________________；5．________________________；6．________________________；7．________________________；8．________________________；9．________________________；10．_______________________；11．_______________________；12．_______________________；13．_______________________；14．_______________________．二、解答题15．(本题14分)CBDHF G EA16．(本题14分) 17．(本题14分)ACBDMNPE18．(本题16分)19．(本题16分)CMDPA B20．(本题16分)2015-2016学年第一学期期中考试高二数学 （参考答案）2015.11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1； 2．1:8:27； 3．210x y +-=； 4．③；5．223a -<<； 6．(2)(4)； 7；8．3502x y y x +-==或；9．5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；10．1cm 或5cm ； 11．92π； 1213．122(,)(0,2)55-- ； 14．(1,1]{-⋃．二、解答题15．（本题满分14分）证明 (1)因为G 是AE 与DF 的交点，所以G 是AE 的中点．…………２分 又H 是BE 的中点，所以在△EAB 中，GH ∥AB . …………４分 因为AB ∥CD ，所以GH ∥CD . …………５分 又CD ⊂平面CDE ，GH ⊄平面CDE ， 所以GH ∥平面CDE . …………７分 (2)平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD ，因为ED ⊥AD ，ED ⊂平面ADEF ， 所以ED ⊥平面ABCD . …………１０分 所以ED ⊥BD . …………１１分 又BD ⊥CD ，CD ∩ED ＝D ，所以BD ⊥平面CDE . …………１４分16．（本题满分14分）解：(1)由231603220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，得24x y =⎧⎨=⎩，所以()2,4P …………４分 (2)设20x y c ++=，…………５分则8c =-…………6分280x y +-=为所求…………8分(3)d ==10分因为相切，所以半径r 12分 所以圆方程为()()22245x y -+-=…………14分17．（本题满分14分）证明：（1）∵//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，∴//AD 平面PBC ，…………2分 ∵AD ⊂平面ADMN ，平面ADMN 平面PBC MN =， ∴//AD MN ．…………4分（2）连结BD∵PAD ∆和BAD ∆都是正三角形，∴AD PE ⊥，AD BE ⊥，又PE AE E = ，…………6分 ∴AD ⊥平面PBE ，…………7分（3）又PB ⊂平面PBE ，…………9分∴PB AD ⊥，…………10分 ∵AP AD AB ==，N 是PB 中点， ∴PB AN ⊥，…………12分 又AD AN A = ，∴PB ⊥平面ADMN ．…………14分 18．（本题满分16分） 证明：（1）在ABD △中，∵4AD =，BD =，8AB =，∴222AD BD AB +=． ∴AD BD ⊥．…………2分 又 ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥平面PAD ． 又BD ⊂平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面PAD ．…………4分（2）当M 点位于线段PC 靠近C 点的三等分点处时，PA ∥平面MBD ．……5分 证明如下：连接AC ，交BD 于点N ，连接MN ．AC BMPD∵AB DC ∥，所以四边形ABCD 是梯形． ∵2AB CD =，∴:1:2CN NA =． 又 ∵:1:2CM MP =，∴:CN NA =:CM MP ，∴PA ∥MN ．…………7分 ∵MN ⊂平面MBD ，∴PA ∥平面MBD ．…………9分 （3）过P 作PO AD ⊥交AD 于O ， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ．即PO 为四棱锥P ABCD -的高．…………11分又 ∵PAD △是边长为4的等边三角形，∴4PO ==12分在Rt ADB △中，斜边AB =，此即为梯形ABCD 的高．∴梯形ABCD 的面积482ABCD S +=⨯14分故1243P ABCD V -=⨯=．…………16分19．（本题满分16分）解：(1) 直线: :(23)(4)220l m x m y m ++++-=可变形(22)(342)0m x y x y ++++-=…………2分220,23420,2x y x x y y ++==-⎧⎧⎨⎨+-==⎩⎩由解得。
高二数学-2015年高二上学期期中考试数学试卷
2014-2015学年高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．只填结果，不要过程！）1．过点（﹣2，3）且与直线x﹣2y+1=0垂直的直线的方程为．2．过三点A（﹣4，0），B（0，2）和原点O（0，0）的圆的标准方程为．3．已知△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则BC边上的高AD的长为．4．已知两条直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8．若直线l1与直线l2平行，则实数m= ．5．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l∥α，m⊂α，则l∥m；②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则l∥m；③若l∥m，m⊂α，则l∥α；④若l⊥α，m∥α，则l⊥m．其中真命题是（写出所有真命题的序号）．6．若圆x2+y2=4 与圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0相外切，则实数m= ．7．若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是．8．过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，当α最小时，此时点P坐标为．9．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．10．已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心11．已知点P在抛物线x2=4y上运动，F为抛物线的焦点，点A的坐标为（2，3），若PA+PF的最小值为M，此时点P的纵坐标的值为n，则M+n= ．12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，若直线y=kx﹣3上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．13．已知等腰三角形腰上的中线长为2，则该三角形的面积的最大值是．14．已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是．二、解答题（共6题，90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．（1）若AA1⊥AD，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，AP=AD，PB⊥AC，BD⊥AC，E为PD的中点．求证：（1）AE∥平面PBC；（2）PD⊥平面ACE．（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，准线方程为x=±，求该双曲线的标准方程．18．已知△ABC三个顶点坐标分别为：A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线l经过点（0，4）．（1）求△ABC外接圆⊙M的方程；（2）若直线l与⊙M相切，求直线l的方程；（3）若直线l与⊙M相交于A，B两点，且AB=2，求直线l的方程．19．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1），（1）求实数a的取值范围以及直线l的方程；（2）若圆C上存在四个点到直线l的距离为，求实数a的取值范围；（3）已知N（0，﹣3），若圆C上存在两个不同的点P，使PM=PN，求实数a的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．2014-2015学年高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．只填结果，不要过程！）1．过点（﹣2，3）且与直线x﹣2y+1=0垂直的直线的方程为2x+y+1=0 ．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线x﹣2y+1=0垂直的直线方程为2x+y+c=0，再把点（﹣2，3）代入，即可求出c值，得到所求方程．解答：解：∵所求直线方程与直线x﹣2y+1=0垂直，∴设方程为2x+y+c=0∵直线过点（﹣2，3），∴﹣4+3+c=0，∴c=1∴所求直线方程为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．点评：本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于常规题．2．过三点A（﹣4，0），B（0，2）和原点O（0，0）的圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5 ．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：由条件利用圆的弦的性质求出圆心的坐标，可得圆的半径，从而求得圆的标准方程．解答：解：由于所求的圆经过三点A（﹣4，0），B（0，2）和原点O（0，0），故圆心在直线x=﹣2上，又在y=1上，故圆心的坐标为M（﹣2，1），半径为MO=，故要求的圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，故答案：（x+2）2+（y﹣1）2=5．点评：本题主要考查求圆的标准方程，关键在于利用圆的弦的性质求出圆心的坐标，属于基础题．3．已知△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则BC边上的高AD的长为 5 ．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由已知条件分别求出直线BC和直线AD所在的方程，联立方程组，求出点D，由此能求出高AD的长．解答：解：∵△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），∴BC边的斜率k BC==﹣，∴BC边上的高AD的斜率k AD=，∴直线AD：y﹣4=，整理，得3x﹣4y+10=0，直线BC：，整理，得4x+3y+5=0，联立，得D（﹣2，1），∴|AD|==5．故答案为：5．点评：本题考查三角形的高的求法，是基础题，解题时要注意直线方程和两点间距离公式的合理运用．4．已知两条直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8．若直线l1与直线l2平行，则实数m= ﹣7 ．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：对x，y的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出．解答：解：当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x+y=4，此时两条直线不平行；当m=﹣5时，两条直线分别化为：x﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行；当m≠﹣3，﹣5时，两条直线分别化为：y=x+，y=+，∵两条直线平行，∴，≠，解得m=﹣7．综上可得：m=﹣7．故答案为：﹣7．点评：本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件，属于基础题．5．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l∥α，m⊂α，则l∥m；②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则l∥m；③若l∥m，m⊂α，则l∥α；④若l⊥α，m∥α，则l⊥m．其中真命题是②④（写出所有真命题的序号）．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：①若l∥α，m⊂α，则l与m平行或异面，故①错误；②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则由直线与平面平行的性质得l∥m，故②正确；③若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故③错误；④若l⊥α，m∥α，则由直线与平面垂直的性质得l⊥m，故④正确．故答案为：②④．点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．若圆x2+y2=4 与圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0相外切，则实数m= ±3 ．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：先求出圆的圆心和半径，根据两圆相外切，可得圆心距等于半径之和，求得m的值．解答：解：圆x2+y2=4 的圆心为（0，0）、半径为2；圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0，即（x﹣m）2+y2=1，表示圆心为（m，0）、半径等于1的圆．根据两圆相外切，可得圆心距等于半径之和，即|m|=2+1=3，求得m=±3，故答案为：±3．点评：本题主要考查圆的标准方程，两个圆相外切的性质，属于基础题．7．若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是﹣3 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据条件画出可行域，设z=x﹣y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=x﹣y，过可行域内的点A（0，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，将z=x﹣y整理得到y=x﹣z，要求z=x﹣y的最小值即是求直线y=x﹣z的纵截距的最大值，当平移直线x﹣y=0经过点A（0，3）时，x﹣y最小，且最小值为：﹣3，则目标函数z=x﹣y的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．8．过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，当α最小时，此时点P坐标为（﹣4，﹣2）．考点：简单线性规划；直线与圆的位置关系．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，确定α最小时点P的位置即可．解答：解：如图阴影部分表示，确定的平面区域，当P离圆O最远时，α最小，此时点P坐标为：（﹣4，﹣2），故答案为：：（﹣4，﹣2）．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．9．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．考点：抛物线的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．解答：解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故答案为：2．点评：本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．10．已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得渐近线y=x经过点（1，2），可得b=2a，代入可得离心率e===，化简即可．解答：解：双曲线的渐近线方程为y=x，故y=x经过点（1，2），可得b=2a，故双曲线的离心率e====故答案为：点评：本题考查双曲线的离心率，涉及渐近线的方程，属中档题．11．已知点P在抛物线x2=4y上运动，F为抛物线的焦点，点A的坐标为（2，3），若PA+PF的最小值为M，此时点P的纵坐标的值为n，则M+n= 5 ．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的标准方程求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PN|=M，由此可得．解答：解：抛物线标准方程 x2=4y，p=2，焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1．设p到准线的距离为PN，（即PN垂直于准线，N为垂足），则M=|PA|+|PF|=|PA|+|PN|=4，此时P（2，1），∴n=1，则M+n═5点评：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，是解题的关键．12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，若直线y=kx﹣3上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：圆C的方程表示以C（4，0）为圆心，半径等于1的圆．由题意可得，直线y=kx﹣3和圆C′：即（x﹣4）2+y2=9有公共点，由点C′到直线y=kx﹣3的距离为d≤3，求得实数k的最大值．解答：解：圆C的方程为：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣3上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=9与直线y=kx﹣3有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣3的距离为d，则d=≤3，即7k2﹣24k≤0，∴0≤k≤，∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．13．已知等腰三角形腰上的中线长为2，则该三角形的面积的最大值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：建系，设C（m，0），B（﹣m，0），A（0，n），可得D（，），进而由题意可得BD2=（）2+（）2=4，故三角形的面积S=mn=••≤•=，注意等号成立的条件即可．解答：解：以等腰三角形底边BC的中点为原点，建立如图所示的坐标系，设C（m，0），则B（﹣m，0），A（0，n），由中点坐标公式可得D（，），由题意可得BD2=（）2+（）2=4，∴三角形的面积S=mn=••≤•=当且仅当=即n=3m时取等号，∴三角形的面积的最大值为故答案为：点评：本题考查基本不等式求最值，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．14．已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；压轴题．分析：设点P到直线l的距离为d，根据椭圆的定义可知|PF2|比d的值等于c比a的值，由题意知|PF1|等于2d，且|PF1|+|PF2|=2a，联立化简得到：|PF1|等于一个关于a与c的关系式，又|PF1|大于等于a﹣c，小于等于a+c，列出关于a与c的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围，即为离心率e的范围，同时考虑e小于1，从而得到此椭圆离心率的范围．解答：解：设P到直线l的距离为d，根据椭圆的第二定义得=e=，|PF1|=2d，且|PF1|+|PF2|=2a，则|PF1|=2a﹣|PF2|=2a﹣=2d，即d=，而|PF1|∈（a﹣c，a+c]，即2d=，所以得到，由①得：++2≥0，为任意实数；由②得：+3﹣2≥0，解得≥或≤（舍去），所以不等式的解集为：≥，即离心率e≥，又e＜1，所以椭圆离心率的取值范围是[，1）．故答案为：[，1）点评：此题考查学生掌握椭圆的定义及椭圆简单性质的运用，是一道中档题．二、解答题（共6题，90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．（1）若AA1⊥AD，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1．考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）证明AD⊥BC，AD⊥CC1，利用线面垂直的判定定理，可得AD⊥平面BCC1B1，即可证明AD⊥DC1；（2）连结A1C，交AC1于点O，连结OD，则O为A1C的中点，证明OD∥A1B，可得A1B∥平面ADC1．解答：证明：（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．…（2分）因为AA1⊥AD，AA1∥CC1，所以AD⊥CC1，…（4分）因为CC1∩BC=C，所以AD⊥平面BCC1B1，…（6分）因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥DC1…（7分）（2）连结A1C，交AC1于点O，连结OD，则O为A1C的中点．因为D为BC的中点，所以OD∥A1B …（9分）因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，…（12分）所以A1B∥平面ADC1…（14分）点评：本题考查直线与平面平行的判定、考查线面垂直的判定定理与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，AP=AD，PB⊥AC，BD⊥AC，E为PD的中点．求证：（1）AE∥平面PBC；（2）PD⊥平面ACE．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（1）要证明线面平行，需要构造线面平行的判定定理的条件﹣﹣在面PBC内找到与AE平行的直线，取PC的中点F利用题目中的平行关系，可证得AE∥BF，即得AE∥BF．（2）由PB⊥AC，BD⊥AC可得AC⊥平面PBD，利用线面垂直的定义得AC⊥PD，然后由AP=AD，E 为PD的中点得到PD⊥AE，由线面垂直的判定定理可得PD⊥平面ACE．解答：证明：（1）取PC中点F，连接EF，BF，∵E为PD中点，∴EF∥DC且EF=．∵AB∥DC且，∴EF∥AB且EF=AB．∴四边形ABFE为平行四边形．∴AE∥BF．∵AE⊄平面PBC，BF⊂平面PBC，∴AE∥平面PBC．（2）∵PB⊥AC，BD⊥AC，PB∩BD=B，∴AC⊥平面PBD．∵PD⊂平面PBD，∴AC⊥PD．∵AP=AD，E为PD的中点，∴PD⊥AE．∵AE∩AC=A，∴PD⊥平面ACE．点评：本题考查了线面平行和线面垂直的判断，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，是个中档题．17．（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，准线方程为x=±，求该双曲线的标准方程．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；（2）利用双曲线的标准方程及其性质即可得出．解答：解：（1）设椭圆的标准方程为：，由题意得a=2，c=1，⇒b2=3，∴所求椭圆的标准方程为．（2）由题意知双曲线标准方程为：，（a，b＞0）．∴，，又c2=a2+b2，解得a=4，b=3，∴所求双曲线标准方程为．点评：本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．18．已知△ABC三个顶点坐标分别为：A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线l经过点（0，4）．（1）求△ABC外接圆⊙M的方程；（2）若直线l与⊙M相切，求直线l的方程；（3）若直线l与⊙M相交于A，B两点，且AB=2，求直线l的方程．考点：直线和圆的方程的应用；圆的一般方程．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）确定△ACB是等腰直角三角形，因而△ACB圆心为（1，2），半径为2，即可求△ABC 外接圆⊙M的方程；（2）当直线l与x轴垂直时，显然不合题意，因而直线l的斜率存在，设l：y=kx+4，由题意知，求出k，即可求直线l的方程；（3）分类讨论，利用勾股定理，可得直线l的方程．解答：解：（1）∵A（1，0），B（1，4），C（3，2），∴=（﹣2，﹣2），=（﹣2，2），∴，则△ACB是等腰直角三角形，因而△ACB圆心为（1，2），半径为2，∴⊙M的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．（2）当直线l与x轴垂直时，显然不合题意，因而直线l的斜率存在，设l：y=kx+4，由题意知，解得k=0或，…（8分）故直线l的方程为y=4或4x﹣3y+12=0．…（10分）（3）当直线l与x轴垂直时，l方程为x=0，它截⊙M得弦长恰为；…（12分）当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+4，∵圆心到直线y=kx+4的距离，由勾股定理得，解得，…（14分）故直线l的方程为x=0或3x+4y﹣16=0．…（16分）点评：本题考查直线和圆的方程的应用，考查直线、圆的方程，考查点到直线的距离公式，属于中档题．19．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1），（1）求实数a的取值范围以及直线l的方程；（2）若圆C上存在四个点到直线l的距离为，求实数a的取值范围；（3）已知N（0，﹣3），若圆C上存在两个不同的点P，使PM=PN，求实数a的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）圆的方程化为标准方程，可得实数a的取值范围，利用垂径定理，可求直线l的方程；（2）确定与直线l平行且距离为的直线，即可求实数a的取值范围；（3）利用PM=PN，可得圆的方程，结合两个圆相交，求实数a的取值范围．解答：解：（1）圆…（1分）据题意：…（2分）因为CM⊥AB，⇒k CM•k AB=﹣1，k CM=﹣1，⇒k AB=1所以直线l的方程为x﹣y+1=0…（4分）（2）与直线l平行且距离为的直线为：l1：x﹣y+3=0过圆心，有两个交点，…（6分）l2：x﹣y﹣1=0与圆相交，；…（8分）（3）设…（12分）据题意：两个圆相交：…（14分）且，所以：…（16分）点评：本题考查圆的方程，考查直线和圆的方程的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由椭圆的离心率得到a2=3b2，设出椭圆上点P的坐标，写出点到直线的距离，然后对b分类求出|PQ|的最大值，由最大值等于3求解b的值，进一步得到a的值，则椭圆方程可求；（2）求出圆心到直线l的距离，由勾股定理得到弦长，代入三角形的面积公式，把面积用含有d 的代数式表示，配方后求出面积的最大值并求得使面积最大时的d值，从而得到m，n的值，则点M的坐标可求．解答：解：（1）∵，∴，于是a2=3b2．设椭圆C上任一点P（x，y），则（﹣b≤y≤b）．当0＜b＜1时，|PQ|2在y=﹣b时取到最大值，且最大值为b2+4b+4，由b2+4b+4=9解得b=1，与假设0＜b＜1不符合，舍去．当b≥1时，|PQ|2在y=﹣1时取到最大值，且最大值为3b2+6，由3b2+6=9解得b2=1．于是a2=3，椭圆C的方程是．（2）圆心到直线l的距离为，弦长，∴△OAB的面积为，于是．而M（m，n）是椭圆上的点，∴，即m2=3﹣3n2，于是，而﹣1≤n≤1，∴0≤n2≤1，1≤3﹣2n2≤3，∴，于是当时，S2取到最大值，此时S取到最大值，此时，．综上所述，椭圆上存在四个点、、、，使得直线与圆相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大，且最大值为．点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了函数取得最值的条件，体现了分类讨论的数学思想方法，训练了利用配方法求函数的最值，是压轴题．。
河南省南阳市部分示范高中高二数学上学期期中试题 文(扫描版)新人教A版
河南省南阳市部分示范高中2013-2014学年高二上学期期中考试南阳市2013年秋期高二期中考试数学试题（文）答案一、选择题 CBCDD CAAAB DC 二、填空题 .13.7 14.3315.（1,2） 16.4 三、解答题17. 解：(1) 3m =时，原不等式即220x x -->0)2)(1(>-+∴x x1,2x x <->解得或∴不等式的解集为：(,1)(2,)-∞-+∞U .——————————5分(2)由题，对于任意的实数x ，不等式210x x m --+>恒成立，0)1(41<--=∆∴m解得,43<m ∴实数m 的取值范围为：3(,)4-∞.——————————10分18. 解：（1）)6(326)232(61-=-+=-+n n n a a a ，161=-a 。
所以{}6-n a 是以1为首项，32为公比的等比数列。
111)32()32)(6(6--=-=-n n n a a ，6)32(1+=-n n a ————6分（2）设{}n a 的公差为d 。
由2321+=+n n a a 得2321+=-n n a a 。
两式相减得)(3211-+-=-n n n n a a a a 即032=∴=d d d ，所以2321+==+n n n a a a ，得6=n a ——————————12分19．解：（1）由正弦定理，得C A A C cos sin sin sin ⋅-=⋅ 因为C C A A cos sin 0sin ,0-=∴>∴<<π 由1tan 0cos ,0-=∴≠∴<<C C C π则43π=C ——————————5分 （2）1)6sin(125,664,0<+∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+∴⎪⎭⎫⎝⎛∈πππππA A A由（1）知A B -=+ππ)43(， 于是 A A B A cos sin 3)43cos(sin 3+=+-π =2)6sin(2<+πA∴这样的三角形不存在。
河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期中质量评估数学(文)试题
高二文科数学参考答案与评分标准1 选择题13．2 14. 1)15.16. 417.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d ． 因为3660a a =-=，，所以112650.a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得1102a d =-=，．所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-． .........................................5分（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．因为21231248b a a a b =++=-=-，，所以824q -=-，即．所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q -==--． (10)分18.（1）2()2f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()0,5，所以220x bx c ++<的解集是()0,5，所以是方程220x bx c ++=的两个根，由韦达定理知，5,0,10,0,22b cb c -==∴=-=2()210f x x x=-.厖..................................................5分（2）()2f x t +≤ 恒成立等价于021022≤-+-t x x 恒成立,所以22102x x t -+-的最大值小于或等于0.设021022≤-+-t x x ，则由二次函数的图象可知2102)(2-+-=t x x x g 在区间]1,1[-为减函数，所以tg x g +=-=10)1()(max ，所以10t ≤-. ..........................................12分19. （本题满分12分）（Ⅰ）由正弦定理，得sin sin cos C A A C ，因为sin 0A ≠，解得tan C =3C π=． 4分（Ⅱ）由sin sin()3sin 2C B A A +-=，得sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=，整理，得sin cos 3sin cos B A A A =． 若cos 0A =，则2A π=，tan3c b π=，b =， ABC ∆的面积12S bc ==．................................................8分 若cos 0A ≠，则sin 3sin B A =，3b a =．由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，解得1,3a b ==．ABC ∆的面积1sin 2S ab C ==．综上，ABC ∆的面积为或．...........................................12分20.解：由题意得，1300v x =，250v y =∵204,1003021≤≤≤≤v v ∴525310,22x y ≤≤≤≤由题设中的限制条件得149≤+≤y x于是得约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤22525103149y x y x 目标函数yx y x p 23131)8(2)5(3100--=-+-+= ………６分做出可行域（如图），当223,23zx y y x z +-=+=即平行移动到过（10，4）点时纵截距最大，此时p 最小.所以当4,10==y x ，即5.12,3021==v v 时，93min =p 元 ……１２分 （没有图扣２分） 21．（本题满分12分）解（1）证明：∵A 、B 、C 成等差数列，∴B=600， --------------------------2分又∆ABC 的面积为3，∴360sin ac 210=，∴ac=4 -----------------------5分 ∴a 、2、c 成等比数列 -----------------------------6分 （2）在∆ABC 中，根据余弦定理，得b 2=a 2+c 2-2accos600=a 2+c 2-ac ≥2ac-ac=ac=4，∴b ≥2, 当且仅当a=c 时，等号成立 ------------------9分 ∴∆ABC 的周长L=a+b+c ≥b ac 2+=.当且仅当a=c 时，等号成立∴426L ≥+=, 当且仅当a=c 时，等号成立 ∴∆ABC 周长的最小值为6，因为a=c ，B=600，此时∆ABC 为等边三角形. -----------------12分 22. （Ⅰ）11133133n n nn n n n a a a a ++--=∴-=所以数列13n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以3为首项，以1为公差的等差数列， 112(2)33n n nn a n a n --∴=+=+得 ........................................3分（Ⅱ）2123314353(2)33334353(2)3n n nn s n s n -=⨯+⨯+⨯+++⨯=⨯+⨯+⨯+++⨯21231333(2)333(2)32n nn n ns n n -∴-=⨯++++-+⨯+=-+⨯(23)334nn n s +-=..........................................................7分（Ⅲ）()()21623(2)3n n n n n n a n λλ---=+-≤=+13()3n n h n λ--≥=12327(1)()333n n n n n n h n h n ----++-=-=当1,2,3n =时(1)()0(4)(3)(2)(1)h n h n h h h h +->>>>得 当4n ≥时(1)()0(4)(5)(6)h n h n h h h +-<>>>得max 1()(4)27h n h ==112727λλ⎡⎫∴≥+∞⎪⎢⎣⎭即的取值范围是， ....................12分。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
河南省南阳市高二上学期期末考试数学(文)试题 扫描版含答案.pdf
2013年秋期高二（文科）期终考试参考答案
18、解：p真： (3)
q真： (6)
依题p或q为真，p且q为假，则p与q一真一假。
从而或
即或 (10)
故所求的范围为 (12)
19、解：（1）依题
即
(6)
（2）由（1）△ABC中，
其中
从而的最大值为 (12)
20、解：（1）∵动圆过点F（2,0）且与直线x=-2相切，
∴动圆的圆心轨迹为抛物线 (6)
（2）法（一）
设直线AB方程为,
联立方程组且得
∵ ∴-y1=2y2
∴
∴直线AB的方程为或者 (12)
法（二）
如图
依题设，则
Rt△ABC中
又 故直线AB斜率，
根据对称性易知也合题意
故所求直线方程为 (12)
21、解：（ 1） (6)
（2）设
代入椭圆方程得：
>0得
(8)
∵直线PA,PB关于轴对称
∴
则
得k=b, 当k=b时，△＞0
则直线过定点（-1，0） (12)
（2）
由（1）知，当时，一定符合题意；
当时，的单调增区间为
依题只需
综上，的范围为 (12)
B’
C
B
O
F A A’ x y。
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2015年南阳市秋期期中考试高二数学试题答案（文）
一.选择题：DACCD BACAD CA
二.填空题：13.
81 14. 2- 15. 81 16. 43 三.解答题：
17.解：（1）由题意得a n ＝3n-1 ………………………………2分 由数列{}n b 满足b 1＝s 1＝3 …………………………3分 当n ≥2时，b n ＝s n －s n －1＝2n ＋1
∴b n ＝2n ＋1（n ∈N ＋） ……………………………………6分
（2）由（1）得c n ＝（2n ＋1）·3n －1
∴Tn ＝3＋5·3+7·32＋…＋（2n －1）·3n －2＋（2n ＋1）·3n －1 ① ∴3Tn ＝ 3·3＋5·32＋…＋ （2n －1）·3n －1＋（2n ＋1）·3n ② ①－② －2Tn ＝－2n ·3n
∴Tn ＝n ·3n ………………………………………10分
18.（1）由题意得a ＜0，且31，2
1是方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两个实数根，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+a
c a 21·3152131 解得⎩⎨⎧-=-=16c a ………………………………………4分 （2）由（1）知原不等式可化为－6x 2＋（6＋b ）x －b ≥0，
即（6x －b ）（x －1）≤0 ………………………6分 ①当6b ＞1，即b ＞6时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩
⎨⎧≤≤61 b x x ……………8分 ②当
6b ＝1，即b ＝6时，原不等式的解集为{}1=x x ……………………………10分 ③当6b ＜1，即b ＜6时，原不等式的解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤≤16x b x …………12分
19. (本小题共12分)
解：（1） 由B a b sin 23=
2sin sin B A B =
⇒sin A =,又A 是锐角， 所以60A =︒ ………………………………………………6分
（2
）由面积公式1sin 2S bc A =
==40bc ⇒=，………8分
又由余弦定理：2222cos 4913a b c bc A b c =+-=⇒+=…………………………12分
20.
…………………………………12分
21.
（22）解：（I ）由 ,3,2,1 ,3
2231341=+⨯-=+n a S n n n ①
得 3243134111+⨯-==a S a 所以 a 1=2 ………………………………4分
（Ⅱ）再由①有 ,3,2 ,3
22313411=+⨯-=
--n a S n n n ② 将①和②相减得 ,3,2 ),22(31)(34111=-⨯--=-=+--n a a S S a n n n n n n n 整理得 ,3,2 ),2(4211=+=+--n a a n n n n ， 因而数列}2{n n a +是首项为a 1+2=4，公比为4的等比数列，……………………8分 即n n n n a 44421=⨯=+-，n=1，2，3，…， 因而 ,24n n n a -= n=1，2，3，…， ………………………………………12分。