6. 材料力学第六章弯曲内力
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材料力学弯曲内力
mA(Fi ) 0
qLx1 M1 0 M1 qLx1 0
24
2--2截面处截取的分离体如图（c）
FY 0 qL Q2 0
Q2 qL
mB (Fi ) 0 ,
qL 1 1
qLa M 2 0 M 2 qLa qL
3 2
a2 3
(0 x a) (0 x a)
RA
Pb
Q
l
＋
RB
Pa
Q(x) RB l
(a x l)
Pa M(x) RB (l x) l (l x)
(a x l)
－
x
Pa
M
l
Pab
l
从图中不难看出： 在集中力P作用处，Q图有突变，
a、取其中的一段梁在任意位置以假想截面截开 b、取以左（或以右）为研究对象，在截面加上所求的剪力Q （x）和弯矩M（x）（方向假定为正方向） c、应用静力平衡方程得到剪力Q（x）和弯矩M（x）的 表达式 3 由剪力Q（x）和弯矩M（x）的表达式按比例作图。
28
[例]
q
悬臂梁受均布载荷作用。
x
l
q
试写出剪力和弯矩方程，并 画出剪力图和弯矩图。
mP B
RA
x
m
RB
A
RA
Q
qLx1 M1 0 M1 qLx1 0
24
2--2截面处截取的分离体如图（c）
FY 0 qL Q2 0
Q2 qL
mB (Fi ) 0 ,
qL 1 1
qLa M 2 0 M 2 qLa qL
3 2
a2 3
(0 x a) (0 x a)
RA
Pb
Q
l
＋
RB
Pa
Q(x) RB l
(a x l)
Pa M(x) RB (l x) l (l x)
(a x l)
－
x
Pa
M
l
Pab
l
从图中不难看出： 在集中力P作用处，Q图有突变，
a、取其中的一段梁在任意位置以假想截面截开 b、取以左（或以右）为研究对象，在截面加上所求的剪力Q （x）和弯矩M（x）（方向假定为正方向） c、应用静力平衡方程得到剪力Q（x）和弯矩M（x）的 表达式 3 由剪力Q（x）和弯矩M（x）的表达式按比例作图。
28
[例]
q
悬臂梁受均布载荷作用。
x
l
q
试写出剪力和弯矩方程，并 画出剪力图和弯矩图。
mP B
RA
x
m
RB
A
RA
Q
材料力学课件 第六章弯 曲 内 力(土木专业)
c
第六章
FRA
A E
弯曲内力
FSE F1
C a-c b-c l-c
FSE
F2
D
FRB
B
ME
ME
E
c
取右段为研究对象
Fy 0
F SE FRB F 1 F 2 0
M E 0 FRB (l c ) F 1 (a c ) F 2 (b c ) M E 0
FRA
A
弯曲内力
a F1 C F2 D B
FSE 和弯矩 ME ，且假设
FSE 和弯矩ME 的指向和转 向均为正值.取左段为研究
E
c b l
F
d
对象。
Fy 0 , M 0,
E
FRA FS E 0
M E FRA c 0
FRA
A E
FSE
解得 FSE FRA
ME
M E FRA c
解得
FSE FRA
+
M E FRA c +
第六章
FRA
A a
弯曲内力
FSF
MF F d
F1
C
F2
D B
FRB
B
E
c b
F
d
l
计算F点横截面处的剪力FSF 和弯矩MF .
材料力学6(1)
下面就利用以上关系绘制内力图。
例5 绘图示梁的剪力图和弯矩图。
例5图 解 （一）求支座反力 由平衡条件得：RA=7KN ，R0=9KN 。
（二）作剪力图
由梁 A 端开始。
由于 A 处有向上支座 反力 RA=7KN ，Q 图由零 向上突变，突变值为 RA=7KN 。
由于 AB 段内无分布荷 载，所以 AB 段的剪力图为 一水平直线，并从 A 点一直 延伸到 B 点稍偏左截面处。
例2图
解（一）求支座反力
MA
0, Pa
RB
l
0, RB
Pa l
Y
0, RA
RB
P
0, RA
Pb l
（二）列出各段的剪力方程，弯矩方程
AC 段：
Q
x1
RA
Pb l
0
x1
a
M
x1
RA
x1
Pb l
x1 0
x1
a
CB 段：
Q
x2
RA
P
Pa l
a
x2
l
M
x2
RA
x2
P
x2
a
Pa l
l
RA
x1
M l
x1 0
x1
a
CB 段：
Q
x2
RA
M l
例5 绘图示梁的剪力图和弯矩图。
例5图 解 （一）求支座反力 由平衡条件得：RA=7KN ，R0=9KN 。
（二）作剪力图
由梁 A 端开始。
由于 A 处有向上支座 反力 RA=7KN ，Q 图由零 向上突变，突变值为 RA=7KN 。
由于 AB 段内无分布荷 载，所以 AB 段的剪力图为 一水平直线，并从 A 点一直 延伸到 B 点稍偏左截面处。
例2图
解（一）求支座反力
MA
0, Pa
RB
l
0, RB
Pa l
Y
0, RA
RB
P
0, RA
Pb l
（二）列出各段的剪力方程，弯矩方程
AC 段：
Q
x1
RA
Pb l
0
x1
a
M
x1
RA
x1
Pb l
x1 0
x1
a
CB 段：
Q
x2
RA
P
Pa l
a
x2
l
M
x2
RA
x2
P
x2
a
Pa l
l
RA
x1
M l
x1 0
x1
a
CB 段：
Q
x2
RA
M l
材料力学-- 弯曲内力
x
ql FS ( x) －qx0 x l 2
M ( x)
FS
M
ql q x x2 2 2 q ( x l ) 2 1 ql 2 0 x l 2 2 8
(3)绘制剪力图、弯矩图 在FS=0处，M取得最大值。 14
F A RA
x x a
l
C b M(x) FS(x) F
（3）分段规律：
19
3. 刚架：在工程中，常遇到由不同取向的杆件，通过 杆端相互连接而组成的框架(frame)结构。 具有刚节点的框架称为刚架(rigid frame)。 刚节点：不能相对转动，也不能相对移动。 铰结点：能相对转动，不能相对移动。 注意：刚架的内力有Fs、M、FN , 这里只讲弯矩图画法。
1 q ( x2 a ) 2 0 2
y
0:
C
qlx2 M 2
1 M 2 q( x2 a) 2 qlx2 2 10
另外还可以直接利用外力简化法求解内力。 内力与外力之间的大小关系规律： （1）横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧（或 右侧）梁上所有外力在轴线垂直方向投影的代数和。 （2）横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧（或 右侧）梁上所有外力对截面形心取矩的代数和。 内力符号与外力方向之间的关系规律： （1）“左上右下”的外力引起正值剪力，反之则相反。 （2）“左顺右逆”的外力偶引起正值弯矩，反之则相反 。 （3）所有向上的外力均引起正值弯矩，反之则相反。
06材料力学
注册土木工程师（港口与航道工程）执业资格考试培训讲稿
基础考试：上午4小时120道题每题1分其中材料力学15道题平均每道题用时2分钟。
01年结构考题：
拉压2 剪切1 扭转2 截面性质3 弯曲内力2 弯曲正应力3 弯曲变形（含超）2 应力状态强度理论 1 组合变形 2 稳定 1
02年岩土考题：
拉压3 剪切1 扭转2 截面性质2 弯曲内力2 弯曲正应力1 弯曲变形（含超）1 应力状态强度理论 2 组合变形 1 稳定 1
02年结构考题：
拉压3 剪切1 扭转1 截面性质2 弯曲内力2 弯曲正应力2 弯曲变形（含超）1 应力状态强度理论 2 组合变形 1 稳定 2
全部是选择题，计算量小
根据考试特点复习时应：
基本概念要清楚，基本公式和定义要记牢，解题方法要熟练，要培养快速反应能力
一、基本概念
内力：构件在外力作用下发生变形，引起构件内部各质点之间产生的附加内力（简称内力）。
应力：截面内一点处内力的分布集度。单位是：N/m2（Pa）、N/mm2（MPa）等。应力可分为正应力σ和剪应力τ（剪应力）。
位移：构件内任一点由其原来位置到其新位置的连线称为该点的线位移。构件内某一线段（或平面）由原始位置所转过的角度称为该线段（或平面）的角位移。
变形：构件形状的改变。
应变：构件内任一点处的变形程度。应变又可分为线应变ε和剪应变γ，均为无量纲量。
线应变ε表示变形前构件内任一点处的一条微线段,变形后的长度改变量与其原始长度之比。
剪应变γ表示过构件内任一点的两个互相垂直的微线段，变形后两个微线段的角度改变量。
例题0 单元体变形后的形状如图中虚线所
材料力学梁的应力
E Ey
σmax M
Z
σmax y
中性轴的位置？
中性层的曲1率 ？
1
为梁弯曲变形后的曲率
第六章 弯曲应力
M Z
y A zσ
（三）、静力方面：
由横截面上的弯矩和正应
x
力的关系→正应力的计算公式。
y
(1) FN AdAA Eyd A EAyd E A S （z 中0 性 轴ZS 轴z 为0 形心轴）
例：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面的下边缘贴一应变片 ，已知材料的E=200GPa，试问该应变片所测得的应变值应为 多大？
q40kN/m
A C
B
300
200
1.5 m
1.5 m
CL8TU14
解： C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kNm
C截面下边缘的应力
C
MC Wz
15MPa
应变值
P y1
y2
Cz
解：
t
Mmaxy1 Iz
[t]
(1)
c
Mmaxy2 Iz
[c]
(2)
(1)得： (2)
y1 y2
[[ct]]
第六章 弯曲应力
例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力［σ］ =160MPa，校核该梁的强度。
材料力学—— 弯曲内力
弯曲的概念和实例 受弯杆件的简化 剪力和弯矩 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系
弯曲的概念和实例
车间桁吊大梁
工 程 实 例
镗刀杆
工 程 实 例
车削工件
工 程 实 例
火车轮轴
工 程 实 例
工 程 实 例
弯曲变形的受力特点
外力的作用线与杆件的轴 线垂直；
弯曲变形的变形特点
FS
M FAy x F1(x a)
M
Mc 0
FS
FBy M M C (FBy ) M C (F1) M C (F2 )
FAy 2. 用截面法求内力 FS ME FAy
1. 确定支反力
Fy 0 FAy FBy 2F MA 0
FBy
FBy 3a Fa 2F a
FBy
F 3
FAy
5F 3
FS FAy 2F
F 3
ME
FAy
3a 2
2F
a 2
3Fa 2
任一截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。 左上右下为正；反之为负
任一截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面 形心力矩的代数和。
左顺右逆为正；反之为负
目录
例 求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F=8kN
A
1
例2、简支梁受集中载荷作用 写内力方程，并画内力图
弯曲的概念和实例
车间桁吊大梁
工 程 实 例
镗刀杆
工 程 实 例
车削工件
工 程 实 例
火车轮轴
工 程 实 例
工 程 实 例
弯曲变形的受力特点
外力的作用线与杆件的轴 线垂直；
弯曲变形的变形特点
FS
M FAy x F1(x a)
M
Mc 0
FS
FBy M M C (FBy ) M C (F1) M C (F2 )
FAy 2. 用截面法求内力 FS ME FAy
1. 确定支反力
Fy 0 FAy FBy 2F MA 0
FBy
FBy 3a Fa 2F a
FBy
F 3
FAy
5F 3
FS FAy 2F
F 3
ME
FAy
3a 2
2F
a 2
3Fa 2
任一截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。 左上右下为正；反之为负
任一截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面 形心力矩的代数和。
左顺右逆为正；反之为负
目录
例 求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F=8kN
A
1
例2、简支梁受集中载荷作用 写内力方程，并画内力图
材料力学——06 梁的内力
Q(x2
)
m ab
M(x2 )
mx2 ab
m
m(a b ab
x2)
(0 x1 a) (a x2 a b) (a x2 a b)
a
b
m
A
B
C
RA
RB
Q
x
o
-
m
a+b
M mb
a+b
o
-
+
ma
x
a+b
Q(x2 )
m ab
M(x1)
mbx1 ab
M(x2 )
m(a b ab
x2)
Q qa/2 +
x
–
–
qa/2
qa/2
M
qa2/2
+ – qa2/2 3qa2/8 qa2/2 x
解：求支反力
RA
qa 2
;
RD
qa 2
QC
qaqa 2
qa 2
M
B
qa2 2
MM0Cqq2a2a2212q2aa2
例 绘制下图外伸梁的Q、M图。
解： 1) 外力分析：
YA 3kN() YB 2kN()
6．3 梁的剪力和弯矩方程 剪力图和弯矩图
剪力图和弯矩图：将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示 出来，这种图形分别称为剪力图和弯矩图。
材料力学第6章 弯曲内力
（5）计算截面4-4的内
由静力平衡方程得 ：
FS4 -FBy F / 4
M 2F l Fl / 2 4
By
秦飞 编著《材料力学》 第6章 弯曲(wānqū)内力
12
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6.1 梁的内力—剪力和弯矩
例题 6-1
讨论(tǎolùn)： （1）比较截面1-1和2-2上的内力
FS1 F FS2 F / 4 M1=M2=-2Fl 两者剪力相差 FAy 5F / 4 弯矩相等
（3）平：由力平衡方程： Fy 0 可确定剪力FS
由力矩平衡： M 0 可确定弯矩M 秦飞 编著《材料力学(cái li力Oào lìxué)》 第6章 弯曲内
8
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6.1 梁的内力—剪力和弯矩
剪力和弯矩的正负号规定
剪力：使得梁微段dx有发生 (fāshēng)顺时针转动趋势的剪 力为正,反之为负。“左上右下 为正”
弯矩：使得梁微段发生上凹下凸变 形的弯矩为正，反之为负。“上凹 下凸为正”
秦飞 编著《材料力学(cái liào lìxué)》 第6章 弯
9
曲内力
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6.1 梁的内力(nèilì)—剪力和弯矩 例题 6-1
外伸梁受载荷作用如图所示。截面1-1和2-2都无限接近于支座A ，截面3-3和4-4也都无限接近于截面D。试求截面1-1、2-2、3-3 和4-4的剪力和弯矩。 解:（1）计算支座反力 由力矩平衡，得：
材料力学6
平面(二向)应力状态是工程中常见的应力情况。
切应力有两个脚标,第一个脚标表示切应力作用面法线法线,第二脚标表 示切应力方向平行的坐标轴。
应力单位为Mpa。
α α
斜截面上的应力
(1)截面法:假想地沿斜截面ef将单元体截开，留下左边部分的单体元 aef作为研究对象; 在斜截面上设定正方向的正应力和切应力。
主单元体 各侧面上切应力均为零的单元体
主平面 切应力为零的截面
主应力 主平面上的正应力
4、应力状态的分类
三向 (空间) 应力状态
二向应力状态
纯剪应力状态
单向应力状态
单向应力状态:三个主应力中只有一个不等于零。
单向应力状态
平面应力状态 即使同一点在不同方位截面上 , 它的应力也是各不相同的。
5.6.2平面应力状态分析的解析法
某截面形心在垂直于轴线方向的位移,称 为该截面的挠度;
某截面的法线方向与x轴的夹角称为该 截面的转角；
挠度和转角是度量弯曲变形的基本量
挠度和转角的大小和截面所处的x方向的位置有关,可以表示为关于x 的函数。
挠度方程(挠曲线方程) 转角方程
挠曲线近似微分方程 挠度和转角的正负号规定
在图示的坐标系中,挠度w向上为正,向下为负。 转角规定截面法线与x轴夹角,逆时针为正,顺时针为负,即在图 示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角 为正。
切应力有两个脚标,第一个脚标表示切应力作用面法线法线,第二脚标表 示切应力方向平行的坐标轴。
应力单位为Mpa。
α α
斜截面上的应力
(1)截面法:假想地沿斜截面ef将单元体截开，留下左边部分的单体元 aef作为研究对象; 在斜截面上设定正方向的正应力和切应力。
主单元体 各侧面上切应力均为零的单元体
主平面 切应力为零的截面
主应力 主平面上的正应力
4、应力状态的分类
三向 (空间) 应力状态
二向应力状态
纯剪应力状态
单向应力状态
单向应力状态:三个主应力中只有一个不等于零。
单向应力状态
平面应力状态 即使同一点在不同方位截面上 , 它的应力也是各不相同的。
5.6.2平面应力状态分析的解析法
某截面形心在垂直于轴线方向的位移,称 为该截面的挠度;
某截面的法线方向与x轴的夹角称为该 截面的转角；
挠度和转角是度量弯曲变形的基本量
挠度和转角的大小和截面所处的x方向的位置有关,可以表示为关于x 的函数。
挠度方程(挠曲线方程) 转角方程
挠曲线近似微分方程 挠度和转角的正负号规定
在图示的坐标系中,挠度w向上为正,向下为负。 转角规定截面法线与x轴夹角,逆时针为正,顺时针为负,即在图 示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角 为正。
第6章 材料力学基本概念
P
∆A K
σ
p = σ 2 +τ 2
F2
工程力学 应力特点： 应力特点： 应力是矢量； 1. 应力是矢量；
第6章 材料力学基本概念
同一横截面上，不同点处的应力一般不同； 2. 同一横截面上，不同点处的应力一般不同； 过同一点，不同方位截面上的应力一般不同。 3. 过同一点，不同方位截面上的应力一般不同。 应力的国际单位为Pa或MPa 应力的国际单位为Pa或 Pa 1Pa = 1N/m2 1MPa = 106Pa 1GPa = 109Pa
F1
F1
M
M
FA
FB
工程中常用构件在荷载作用下， 工程中常用构件在荷载作用下，大多为几种基 本变形形式的组合——组合变形。 本变形形式的组合——组合变形。 ——组合变形
F 3
F 4
F 1 F 2
F 5
工程力学
第6章 材料力学基本概念
二、内力
物体受到外力作用时，构件内部各质点间的相对位置将发 物体受到外力作用时，构件内部各质点间的相对位置将发 相互作用力的改变， 生变化，从而引起各质点间的相互作用力的改变 生变化，从而引起各质点间的相互作用力的改变，其改变 量称为内力。 量称为内力。 内力 内力是构件各部分之间相互作用力因外力而引起的附加值。 内力是构件各部分之间相互作用力因外力而引起的附加值。 是构件各部分之间相互作用力因外力而引起的附加值 内力随外力的增加而增加，到达某一限度时， 内力随外力的增加而增加，到达某一限度时，引起构件的 破坏。 破坏。 内力与构件的强度密切相关
材料力学复习提纲
材料力学复习提纲二
弯曲变形的基本理论：
一、弯曲内力
1、基本概念：平面弯曲、纯弯曲、横力弯曲、中性层、中性轴、惯性矩、极惯性矩、主轴、主矩、形心主轴、形心主矩、抗弯截面模
2、弯曲内力：剪力方程、弯矩方程、剪力图、弯矩图; 符号规定
3、剪力方程、弯矩方程
1、首先求出支反力,并按实际方向标注结构图中;
2、根据受力情况分成若干段;
3、在段内任取一截面,设该截面到坐标原点的距离为x,则截面一侧所有竖向外力的代数和即为该截面的剪力方程,截面左侧向上的外力为正,向下的外力为负,右侧反之;
4、在段内任取一截面,设该截面到坐标原点的距离为x,则截面一侧所有竖向外力对该截面形心之矩的代数和即为该截面的弯矩方程,截面左侧顺时针的力偶为正,逆时针的力偶为负,右侧反之;
对所有各段均应写出剪力方程和弯矩方程
4、作剪力图和弯矩图
1、根据剪力方程和弯矩方程作图;剪力正值在坐标轴的上侧,弯矩正值在坐标轴的下侧,要逐段画出;
2、利用微积分关系画图;
二、弯曲应力
1、正应力及其分布规律
()()
max max max
3
2
4
3
41
1-
12
6
64
32
z
z Z
z z z z
z z I M E
M M M y y y W EI
I I W y bh bh d d I W I W σσσρ
ρ
ππα==
=
=
===
=
=
=
⨯抗弯截面模量矩形
圆形
空心
2、剪应力及其分布规律
一般公式 z z
QS EI τ*
=
3、强度有条件
正应力强度条件 [][][]
max z
z z
M
M
M W W W σσσσ=
≤≤≥
剪应力强度条件 []
max
max max
z maz z QS Q
材料力学-弯曲内力
1
a a
2 a F B
M
O
0
M1
FA
M 1 m1 m2 FB (4 a x1 ) 0
2—2截面：
m1
m2
M 1 m1 m2 FB (4 a x1 ) = 2.5N m
M1
FB
M 2 FA (4 a x2 ) F ( 3a x2 ) m1 m2 FB x2 = 2.5 N m
3.画剪力、弯矩图
x
FA
FS ql 2
l
FB
x
(0 x l )
+ －
ql FS ( x) | x 0 2
ql FS ( x) | x l 斜直线 2
M
ql 2 8
+
ql 2
x
M ( x) | x0 0 M ( x) | xl 0 二次抛物线
求弯矩的极值点（抛物线顶点）：
l /2
x
dM ( x) d qlx q 2 ql x qx 0 ql dx dx 2 2 2 M ( x) | l x
2
l 求得 x 时 2 2
8
例3 画出图示梁的FS 图和M图。 解： 1.列剪力方程和弯矩方程：
y
A
FS
q
B
FS ( x) qx
弯曲内力和应力基本概念练习
弯曲内力和应力基本概念练习
下卷材料力学 - 1 - 弯曲内力练习
一、选择题
1．外伸梁受均布载荷作用，如图所示。以下结论中（）是错误的。
A．AB段剪力表达式为FQ(x)=-qx；
B．AB段弯矩表达式为M(x)=-1qx2； 2
Ｃ．BCqa2段剪力表达式为FQ(x)=2L
2；
(L-x)。Ｄ．BC段弯矩表达式为M(x)=-qa
2L
题1图题2图
2．外伸梁受集中力偶作用，如图所示，以下结论中（）是错误的。
A．当力偶作用点C位于支座B的右侧时，梁的弯矩图为梯形；
Ｂ．当C点位于支座B的右侧时，梁上各截面的弯矩M(x)≥0；Ｃ．当C点在梁上移动时，梁的剪力图不改变；
Ｄ．当C点在梁上移动时，梁的中央截面上弯矩不改变。
第 1 页共 6 页
题3图
下卷材料力学 - 2 -
3．简支梁受集中力作用，如图所示，以下结论中（）是错误的。
A．AC段，剪力表达式为 FS(x)=Fb； L
Fbx；Ｂ．AC段,弯矩表达式为M(x)=L
Ｃ．CB段，剪力表达式为 FS(x)=Fa； L
Fa(L-x)。Ｄ．CB段,弯矩表达式为M(x)=L
4．简支梁的四种受载情况如图，设M1、M2、M3、M4分别表示梁（a）、（b）、（c）、（d）中的最大弯矩，则下列结论中（）是正确的。
A．M1 >M2 = M3 >M4；Ｂ． M1 >M2 > M3 >M4；Ｃ．M1 >M2 >M3 = M4；Ｄ． M1 >M2 >M4> M3 。
（a）（b）
（c）（d）
5
．外伸梁受均布载荷作用，如图所示。以下梁的剪力、弯矩图第 2 页共 6 页
(精品)材料力学课件：弯曲内力-
但当l»h时，纯弯正应力 曲变形也不相同，纯弯正应力公式
公式仍然相当精确。
不再适用。
y
Page6
二、工字形与盒形等薄壁梁的弯曲切应力：
工字形梁的弯曲切应力 腹板：//腹板侧边，均匀分布。
b/2
b/2
翼缘：//翼缘侧边，均匀分布。
翼缘 分析方法：分离体平衡
h0/2 h/2 h/2
h0/2
腹板
C z
内容
§6-3
§6-4 §6-5
矩形与薄壁截面梁的弯曲切应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计
Page1
§6-3 矩形与薄壁截面梁的弯曲切应力
一、矩形截面梁的弯曲切应力（对称弯曲）
梁在非纯弯段，横截面上一般同时存在剪力和弯矩，
此时，横截面上同时存在弯曲正应力和弯曲切应力。
FS (y)
横截面两侧边缘的各点：//侧边； 一般梁横截面窄而高；
( y) FS Sz ( )
Iz b 翼缘：
( y) FS (h0 h)
4Iz
腹板：
F2 tdx
F1
y
( y)
FS
8Iz
[b(h02
h2 ) (h2
4 y2 )]
翼缘与腹板的交接处：
应力分布较复杂，有应力集中现象
Page7
盒形薄壁梁的弯曲切应力：
C
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工程力学系
第六章 弯曲内力
轴力图和剪力图可画在杆轴的任意一侧，但必须注明正负
号。弯矩图画在杆件受压一侧，不必再标正负。
FA
1 2
qa
FD
1 2
qa
FHD qa
B
AB段：FN
( x1 )
1 2
qa
(0
x1
a)
x3 C
刚结点
FQ (x1) qx1(0 x1 a)
M
(x1 )
1 2
qx12(0
x1
FA
x1
解 1.求支反力
FB
FA
1 2
ql
1 FB 2 ql
2.列剪力与弯矩方程式
FQ
(x)
1 2
ql
qx
(0 x l)
M (x) ql x q x2 22
(0 x1 l)
3.画剪力图与弯矩图
dM (x) ql qx 0
x l
dx 2
2
ql 2
M max 8
结论3：均布载荷下，剪力图为斜直线，弯矩图为抛物线。
Fy 0 FA FQ1 0 MC1 0 FA 1 M1 0
FQ1 1.5kN M1 1.5kN m
3. Ⅱ－Ⅱ截面的剪力和弯矩。
Fy 0
FQ2 q 1 0
MC2 0 M2 q 1 0.5 0
FQ2 2kN
M2 1kN m
M
为负号，表示
2
M
2
的实际方向与（c）中所示相反
a)
工程力学系
第六章 弯曲内力
§6-4 载荷集度 剪力和弯矩之间的关系
一、q 、FQ 和M 之间的微分关系
dx
Fy 0
FQ (x) [FQ (x) dFQ (x)] q(x)dx 0
MC 0
M
(
x)
[M
(
x)
dM
(
x)]
FQ
(
x)dx
q(
x)dx
dx 2
0
工程力学系
第六章 弯曲内力
引起拉伸变形的轴力为正； 使对杆内任一点的矩为顺时针的剪力为正； 使轴线曲率增加的弯矩为正； 弯矩画轴线的法线方向，并画在杆件受压一侧。
la FA l F
FB
a l
F
2.列剪力与弯矩方程式
AC段：FQ (x1)
FA
l
l
a
F
(0 x1 a)
M (x1 ) FA x1
CB段：
l
l
a
Fx1
(0
x1
a)
FQ (x2 )
FB
a l
F
(a x2 l)
M
( x2
)
a l
F (l
x2
)
(a x2 l)
3.画剪力图与弯矩图
结论1：集中力作用点，剪力图有突变，弯矩图有转折。
a)
x1
DC段：FN (x2 )
1 2
qa (0
x2
a)
FQ (x2 ) qa (0 x2 a)
FA
qa
x2
FHD
FD
M (x2 ) qax2(0 x2 a)
CB段：FN (x3) qa (0 x3 a)
FQ (x3 )
1 2
qa
(0
x3
a)
M
( x3 )
qa2
1 2
qx3(0
x3
FA
FB
解 1.求支反力
FA 7kN FB 5kN
7kN
3kN 2kN
1kN
5m
20kN m
G 20.5kN m
3kN 16kN m
6kN m
6kN m
2.分段画剪力图与弯矩图
FQC (7 41)kN 3kN FQD (1 41)kN 3kN MC 20kN m MG 20.5kN m M D 16kN m M B 6kN m
工程力学系
第六章 弯曲内力
第六章 弯曲内力
§6-1 概述 §6-2 剪力与弯矩 §6-3 剪力与弯矩方程 剪力图与弯矩图 §6-4 载荷集度 剪力和弯矩间的关系 §6-5 叠加法作弯矩图 §6-6 平面曲杆的弯曲内力
工程力学系 §6-1 概述
一、平面弯曲的概念
第六章 弯曲内力
受力特点：轴线平面内受到外力偶或垂直于轴线方向的力
FQ (x2 ) FQ (x1)
x2 q(x)dx
x1
M (x2 ) M (x1)
x2 x1
FQ
(x)dx
在 x x1 和 x x2
两截面上的剪力之差，等于两截面间分布载荷图的面积，
两截面上的弯矩之差，等于两截面间剪力图的面积。
工程力学系
第六章 弯曲内力
例6-5 外伸梁所受载荷如图,画梁的剪力图和弯矩图。
Me l
x1
(0 x1 a)
FQ (x2 )
FA
Me l
(a x2 l)
M
(x2 )
Me l
(l
x2
)
(a x2 l)
3.画剪力图与弯矩图
结论2：集中力偶作用点，剪力图无改变，弯矩图有突变。
工程力学系
第六章 弯曲内力
例6-4 如图受均布载荷 q 作用的简支梁，q、l 均为已知，试绘
梁的剪力图与弯矩图。
工程力学系
第六章 弯曲内力
§6-5 叠加法作弯矩图
例6-6 如图外伸梁，已知：q 、l 、F ql ，按叠加法画弯矩图。
M max
3 ql 2 16
工程力学系
§6-6 平面曲杆的弯曲内力
2F
m
n
F
第六章 弯曲内力
FN F sin 2F cos F(sin 2cos) FQ F sin 2F cos F(sin 2cos) M 2Fa(1 cos) Fa sin Fa(2 2cos sin)
变形特点：轴线弯曲成曲线
——弯曲变形
工程力学系
第六章 弯曲内力
二、梁的计算简图及其分类 1、构件本身的简化：
不论截面形状，全部用轴线代替梁
2、载荷的简化：
① 集中力
② 集中力偶
3、支座类型和支反力：
③ 集中力
① 固定铰支座
Fy Fx
② 活动铰支座
Fy
③ 固定端 Fy
Fx M
工程力学系
第六章 弯曲内力
M F1(x a) FA x 0 M FA x F1(x a)
FQ —— 剪力 M —— 弯矩
工程力学系
第六章 弯曲内力
剪力符号:当剪力使微段梁绕微段内任一点沿顺时针方向转动 时规定为正号，反之为负。
弯矩符号:当弯矩使微段梁凹向上方时规定为正号，反之为负。
工程力学系
第六章 弯曲内力
平面弯曲：1、作用在梁上的所有外力到在纵向对称面内 2、梁的轴线变形后仍是这个纵向对称面内的曲线
其它截面形式：
工程力学系
4、梁的分类： ① 简支梁
② 外伸梁 ③ 悬臂梁 ④ 中间铰梁
⑤ 超静定梁
第六章 弯曲内力
工程力学系 §6-2 剪力与弯矩
第六章 弯曲内力
M FQ 弯曲内力
FA F1 FQ 0 FQ FA F1
工程力学系
第六章 弯曲内力
例6-3 如图受集中力偶 M e作用的简支梁，设 M e、a、b 及 l 均
为已知，试绘梁的剪力图与弯矩图。
FA
x1 x2
解 1.求支反力
FB
FA
Me l
FB
Me l
2.列剪力与弯矩方程式
AC段： FQ
( x1 )
FA
Me l
(0 x1 a)
M (x1)
CB段：
FA x1
dFQ (x) q(x) d2M (x)
Fra Baidu bibliotek
dx
dx 2
dM (x) dx FQ (x)
1、q(x) 0，Q 图是平行于 x 轴的直线，M图是斜直线。
2、FQ (x) 0 ，此截面上 M 取极值
3、雨伞法则
q q
工程力学系
二、q 、FQ 和 M 之间的积分关系
第六章 弯曲内力
在仅有q(x) 作用时，
工程力学系
第六章 弯曲内力
§6-3 剪力与弯矩方程 剪力图与弯矩图
剪力方程 弯矩方程
Q(x) M (x)
剪力图 弯矩图
工程力学系
第六章 弯曲内力
例6-2 如图受集中力 F 作用的简支梁，设 F 、l 及 a 均为已知
试列出剪力方程式与弯矩方程式，并绘剪力图与弯矩图。
x1
FA
x2
解 1.求支反力
FB
例6-1 如图受集中力及均布载荷作用的外伸梁，试求截面
Ⅰ－Ⅰ、Ⅱ－Ⅱ上的剪力和弯矩。
FA
FB
(a)
解 1.求支反力
MB 0 MA 0
FA 4 F 2 q 21 0 F 2 FB 4 q 21 0
FA 1.5kN FB 7.5kN
工程力学系
第六章 弯曲内力
2.计算Ⅰ－Ⅰ截面的剪力和弯矩。