高三数学备考冲刺140分问题04函数中的存在性与恒成立问题含解析

问题04 函数中的存在性与恒成立问题

一、考情分析

函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选. 二、经验分享

(1) 设)0()(2

≠++=a c bx ax x f ,（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）

R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a .

(2) 对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：

⎩⎨

⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0

)(0

)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 (3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求参数范围转化为求函数值域．

(4) 利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥,（ D x ∈,λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤:

①将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； ②求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；

③解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ,得λ的取值范围.

(5) 对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解.利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围.

(6) 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果. 三、知识拓展

(1)恒成立问题

①. ∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A；

②. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则 f(x)ma x

③. ∀x∈D,均有f(x) >g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,∴ F(x)min >0；

④. ∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,∴ F(x) ma x <0；

⑤. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立,则f(x)min> g(x)ma x；

⑥. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1)

(2)存在性问题

①. ∃x0∈D,使得f (x0)>A成立,则f(x) ma x >A；

②. ∃x0∈D,使得f(x0)﹤A成立,则 f(x) min

③. ∃x0∈D,使得f(x0) >g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x),∴F(x) ma x >0；

④. ∃x0∈D,使得f(x0)

⑤. ∃x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x) ma x > g(x) min；

⑥. ∃x1∈D, ∃x2∈E,均使得f(x1)

(3)相等问题

若f(x)的值域分别为A,B,则

⊆；

①. ∀x1∈D, ∃x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立,则A B

I.

②∃x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1)=g(x2)成立,则A B≠∅

(4)恒成立与存在性的综合性问题

①∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x)m in> g(x)m in；

②∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1)

四、题型分析

解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等.

(一) 函数性质法

【例1】已知函数f(x)＝x3－ax2＋10,若在区间[1,2]内至少存在一个实数x,使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围．

【分析】本题实质是存在性问题

【点评】 解法一在处理时,需要用分类讨论的方法,讨论的关键是极值点与区间[1,2]的关系；解法二是用的参数分离,由于ax 2

>x 3

＋10中x 2

∈[1,4],所以可以进行参数分离,而无需要分类讨论． 【牛刀小试】【2017山西大学附中第二次模拟】设函数()()21x

f x e x ax a =--+,其中1a <,若存在唯一

的整数t ,使得()0f t <,则a 的取值范围是（ ） A ．3,12e ⎡⎫-

⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

【答案】D

【解析】令()()()21,x

g x e x h x ax a =-=-.由题意知存在唯一整数t ,使得()g t 在直线()h x 的下

方.()()'

21x

g x e

x =+,当12x <-

时,函数单调递减,当12x >-,函数单调递增,当1

2

x =-时,函数取得最小值为1

2

2e

-

-.当0x =时,(0)1g =-,当1x =时,(1)0g e =>,直线()h x ax a =-过定点()1,0,斜率为a ,