2015届高三数学平面向量

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2015年高考数学《新高考创新题型》之4：平面向量(含精析)

Go the distance
之 4.平面向量（含精析）
一、选择题。 1．设 A1 , A2 , A3 , A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若
A1 A3 A1 A2 R , A1 A4 A1 A2 R ,且
1

1

2 ，则称 A3 , A4 调和分割
A． (1,3) B． ( ,3)
）
1 3
C． ( ,1)
1 2
D． ( ,2)
1 2
7．已知向量 a （1，0）， b （0，1）， c a b （ R），向量 d 如图所示.则(
)
Go the distance
A．存在 0 ，使得向量 c 与向量 d 垂直 B．存在 0 ，使得向量 c 与向量 d 夹角为 60 C．存在 0 ，使得向量 c 与向量 d 夹角为 30 D．存在 0 ，使得向量 c 与向量 d 共线
b 1 , a b 0 ,Q 满足点
O Q 2 ( a b ) . 曲线
C { P
O P c o a s

sb i n
)
, 区 0 ，
域
2
}
{P 0 r PQ R, r R} .若 C 为两段分离的曲线，则(
A. 1 r R 3 B. 1 r 3 R C. r 1 R 3
3 6 ，cos θ＝ . EAI ＝cos EAI＝ 3 3 2
故( AB × AD )· AE ＝| AB || AD |sin BAD| AE |. cos θ＝8× 5．B 【解析】因为圆的半径为 2，所以正方形的边长为 2 2 .因为 ME FA .所以

2015年高考数学平面向量(理)

平面向量1.【2015高考新课标1，理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r，则（）（A ）1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r (B)1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r（C ）4133AD AB AC =+u u u u u r u u u r u u u r (D)4133AD AB AC =-u u u u u u u ru u u r u u u r【答案】A【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =1433AB AC -+u u ur u u u r ，故选A.2.【2015高考山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=o,则BD CD ⋅=u u u r u u u r （）（A ）232a -（B ）234a - （C ） 234a 错误!未找到引用源。

（D ）232a 错误!未找到引用源。

【答案】D【解析】因为()BD CD BD BA BA BC BA ⋅=⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()22223cos 602BA BC BA a a a +⋅=+=o u u u r u u u r u u u r .故选D.3.【2015高考陕西，理7】对任意向量,a b r r，下列关系式中不恒成立的是（）A ．||||||a b a b ⋅≤r r r rB ．||||||||a b a b -≤-r r r rC ．22()||a b a b +=+r r r r D ．22()()a b a b a b +-=-r r r r r r【答案】B【解析】因为cos ,a b a b a b a b ⋅=≤r r r r r r r r ，所以选项A 正确；当a r 与b r方向相反时，a b a b -≤-r r r r 不成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；()()22a b a b a b +-=-r r r r r r ，所以选项D 正确．故选B ．4.【2015高考四川，理7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =u u u r ，4AD =u u u r .若点M ，N 满足3BM MC =u u u u r u u u u r ，2DN NC =u u u r u u u r ，则AM NM ⋅=u u u u r u u u u r（）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C【解析】311,443AM AB AD NM CM CN AD AB =+=-=-+u u u u r u u u ru u u r u u u u r u u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以 221111(43)(43)(169)(1636916)94124848AM NM AB AD AB AD AB AD =+-=-=⨯-⨯=u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，选C.5.【2015高考重庆，理6】若非零向量a ，b 满足|a ||b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为（） A.4πB.2πC.34πD.π【答案】A6.【2015高考安徽，理8】C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r ，b r 满足2a AB =u u u r r，C 2a b A =+u u u r rr ，则下列结论正确的是（）（A ）1b =r （B ）a b ⊥r r （C ）1a b ⋅=r r （D ）()4C a b +⊥B u u u r rr【答案】D【解析】如图，由题意，(2)2BC AC AB a b a b =-=+-=u u u r u u u r u u u r r r r r ，则||2b =r ，故A 错误；|2|2||2a a ==r r ，所以||1a =r，又22(2)4||222cos 602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯=ou u u r u u u r r r r r r r ，所以1a b ⋅=-r r ，故,B C 错误；设,B C 中点为D ，则2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ，且AD BC ⊥u u u r u u u r ，而22(2)4AD a a b a b =++=+u u u r r r r r r，所以()4C a b +⊥B u u u r rr ，故选D.7.【2015高考福建，理9】已知1,,AB AC AB AC t t⊥==u u u r u u u r u u u r u u u r，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB ACAP AB AC=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，则PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于（）A ．13B ．15C ．19D ．21【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP =u u u r （，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以11PB t-u u u r =（，-4)，1PC -u u u r =（，t-4)，因此PB PC ⋅u u u r u u u rxy BCAP11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t +≥⋅=，所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13，当14t t=，即12t =时取等号． 8.【2015高考北京，理13】在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =u u u u r u u u u r ，BN NC =u u u r u u u r ．若MN xAB y AC =+u u u u r u u u r u u u r，则x = ；y = ．【答案】11,26-9.【2015高考湖北，理11】已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r，则OA OB •=u u u r u u u r .【答案】9【解析】因为OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r，所以OA OB •=u u u r u u u r 93||||)(222===•+=+•OA OB OA OA AB OA OA .10.【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=o,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r的最小值为 .【答案】2918【解析】因为1,9DF DC λ=u u u r u u ur 12DC AB =u u u r u u u r ，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，AE AB BE AB BC λ=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BCλλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r 19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒211721172929218921818λλλλ=++≥⋅+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅u u u r u u u r 的最小值为2918. BAD C E11.【2015高考浙江，理15】已知12,e e r r 是空间单位向量，1212e e ⋅=r r ，若空间向量b r 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=r r r r ，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈r u r u u r r u r u u r u u u u r ，则0x = ，0y = ，b =r．【答案】1，2，22.12.【2015高考新课标2，理13】设向量a r ，b r 不平行，向量a b λ+r r 与2a b +r r 平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】因为向量a b λ+r r 与2a b +r r 平行，所以2a b k a b λ+=+r r r r （），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．13.【2015江苏高考，14】设向量a k (cos ,sin cos )(0,1,2,,12)666k k k k πππ=+=L ，则11k =∑(a k g a k+1)的值为【答案】93 【解析】 a k g a k+1(1)(1)(1)(cos ,sin cos )(cos ,sin cos )666666k k k k k k ππππππ+++=+⋅+ (1)(1)(1)coscos (sin cos )(sin cos )666666k k k k k k ππππππ+++=++⋅+(1)(1)(1)(1)(1)(coscos sin sin )(sin cos cos sin )cos cos 6666666666k k k k k k k k k k ππππππππππ+++++=++++22(1)3231cos sincos cos sin cos cos sin66662626266k k k k k k k ππππππππππ+++=++=++- 3231sin (1cos )sin 264343k k k ππππ+=+++-3321(21)sin cos4626k k πππ++=++ 因为21(21)sin cos 626k k πππ++，的周期皆为6，一个周期的和皆为零，因此11k =∑(a k g a k+1)3312934=⨯=. 14.【2015江苏高考，6】已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______. 【答案】3-【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-15.【2015高考湖南，理8】已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的最大值为（）A.6B.7C.8D.9 【答案】B.。

2015年高考数学(理)试题分类汇编：专题05 平面向量-推荐下载

1.【2015 高考新课标 1，理 7】设 D 为 ABC 所在平面内一点 BC 3CD ，则（）
（A）
（C）
【答案】A
【解析】由题知
AD
AD

4
1
AB
33
AB
33
AD
【考点定位】平面向量的线性运算

AC

4a

b

C ，故选 D.
【考点定位】1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积.
【名师指点】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点.当出现线性运算问题时，注意两个向

量的差 OA OB BA ，这是一个易错点，两个向量的和 OA OB 2OD （ D 点是 AB 的中点）.另
a
，
b
D、
满足
A

a
2a
b cos
，
a,b
，
AC

2a
（A） b 1
【答案】D 【解析】如图，

b
，则下列结论正确的是（
（B）
a

b

）
（C）
a

b
由题意， BC AC AB (2a b) 2a b ，则| b | 2 ，故 A 错误；| 2a | 2 | a | 2 ，所以| a | 1，
（A） 3 a2 2
【答案】D
【解析】因为 BD CD BD BA
故选 D.
【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.
（B） 3 a2 4

苏州市2015届高三数学必过关题(逐题解析)——平面向量

高三必过关题7 平面向量一、填空题例1 给出下列命题,其中不正确的序号是．① 0a = 0；② 对于实数m 和向量,a b （m ∈R ），若m m =a b ，则=a b ； ③ 若≠a 0，⋅=⋅a b a c ，则=a c ；④ ()()⋅=⋅a b c a b c 对任意,,a b c 向量都成立；⑤对任意向量a，有a ．答案：①②③④例2 与a = (3,－4)平行的单位向量是_________；答案： (35 ，－45 )或(－35 ，45)．例3 平面向量a 与b 的夹角为60°，(,),||==201a b ，则|2|+=a b 答案：例4已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a +b 与向量ka -b 垂直，则k=_______ 答案: 1k =.例5 如图，正方形ABCD 内有一个正ABE △，设,AB AD ==i j ，则DE 等于．（用i 、j 表示）答案：12i j ．例6 定义*a b 是向量a 和b 的“向量积”，它的长度||||sin ,*=⨯⨯θa b a b 其中θ为向量a 和b的夹角，若(2,0),(1,=-=u u v 则|()|*+u u v = ．答案：．例7 如图，在△ABC 中，AN =31NC ，P 是BN 上的一点，若 AP =m AB +112AC ，则实数m 的值为___________. 解析： 123,.41144AP AC NP mAB AC NP mAB AC =+=+=-BD()3144NB NC CB AC AB AC AB AC =+=+-=-,设,NP NB λ=则14AB AC λλ-=344mAB AC -，3.11m λ==例8. 已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为____________.答案:5例9 如图，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+， AQ ＝23AB ＋14AC ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为．解析：设25AM AB =，15AN AC =，则AP AM AN =+，由平行四边形法则，知NP ∥AB ，所以ABP ABC S AN S AC∆∆=＝15，同理可得14ABQ ABC S S ∆∆=，故45ABP ABQ S S ∆∆=．例10 如图，在ABC ∆中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=︒==是边BC 上一点，2,DC BD = 则AD BC ⋅=__________．解析：1()()3AD BC AB BD BC AB BC BC ⋅=+⋅=+⋅=121[()]()()333AB AC AB BC AB AC AC AB +-⋅=+⋅-2221183333AB AC AB AC =-++⋅=-．例11 设函数()2x f x x x =⋅+，0A 为坐标原点，n A 为函数()y f x =图像上横坐标n ()n N *∈的点，向量11,(1,0)nn k k k A A -===∑a i ，设n n θ为与a i 的夹角，则1tan nk k θ==∑ ．解析：0(,2)n n n A A n n n ==⋅+a ，n θ即为向量0n A A 与x 轴的夹角，所以tan 21n n θ=+，所以211tan (222)22nn n k k n n θ+==++⋅⋅⋅++=+-∑．例12 已知20=≠a b ，且关于x 的函数3211()()32f x x x x =++⋅a a b 在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为．DCABC N MQ P BA解析：()y f x =在R 上有极值⇔方程2()||f x x x '=++⋅a a b ＝0在R 上有两个不同的实数根，则22||||404∆=-⋅>⇒⋅<a a a b a b ，设向量,a b 的夹角为θ，则221||14cos 1||||2||2θ⋅=<=a a b a b a ，所以(,]3πθπ∈．例13已知A 、B 、C 是直线l 上的不同的三点，O 是外一点，向量OA 、OB 、OC 满足：23(1)[ln(23)]02OA x OB x y OC -+⋅-+-⋅=，记()y f x =，则函数()y f x =的解析式为．解析：23(1)[ln(23)]02OA x OB x y OC -+⋅-+-⋅=，∴23(1)[ln(23)]2OA x OB x y OC =+⋅++-⋅．又A 、B 、C 在同一条直线上，∴1])32[ln()123(2=-+++y x x ， ∴223)32ln(x x y ++=．即223)32ln()(x x x f ++=．例14 已知O 是锐角ABC ∆的外接圆的圆心，且A θ∠=，若cos cos sin sin B CAB AC C B+=2mAO ，则m = 。

2015年高考数学(理)一轮总复习课件：第四章+平面向量与复数第2节平面向量的基本定理及坐标运算

第二十五页，编辑于星期五：十一点五十七分。
变式训练 3 (1)(2013·皖南八校高三第三次联考)已知向
量 a＝(－1,2)，b＝(2,0)、c＝(1，－1)，若向量(λa＋b)∥c，
则实数 λ 为( )
A．－2
B．－1
C．－13
D．－23
(2)若平面向量 a，b 满足|a＋b|＝1，a＋b 平行于 x 轴，
－3)＝－ 3×(－1， 3)，故向量 c 可以是(－1， 3)
【答案】 D
第二十二页，编辑于星期五：十一点五十七分。
考向 3 平面向量共线的坐标表示
【例 3】 (1)已知向量O→A＝(3，－4)，O→B＝(6，－3)，O→C
＝(m，m＋1)，若A→B∥O→C，则实数 m 的值为( )
A．－32
4．(2013·辽宁高考)已知点 A(1,3)，B(4，－1)，则与向量
A→B同方向的单位向量为( )
A.35，－45
B.45，－35
C.－35，45
D.－45，35
【解析】 A→B＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量 e
＝|AA→→BB|＝15(3，－4)＝35，－45. 【答案】 A
第二十九页，编辑于星期五：十一点五十七分。
三个结论 1.若 a 与 b 不共线，λa＋μb＝0，则 λ＝μ＝0. 2．已知O→A＝λO→B＋μO→C(λ，μ 为常数)，则 A，B，C 三点共线的充要条件是 λ＋μ＝1. 3．平面向量的基底中一定不含零向量．
B．－14
1 C.2
3 D.2
(2)(2012·重庆高考改编)设 x，y∈R，向量 a＝(x,1)，b＝
(1，y)，c＝(2，－4)，且 a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝________.

2015届高三数学(理,山东版)一轮课件：第4章第4节平面向量应用举例

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数学·新课标(理科)山东专用
一、向量在平面几何中的应用
1．平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及
数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、
夹角等问题．
2．用向量解决常见平面几何问题的技巧
问题类型
线平行、点共线、相似等问题
所用知识共线向量定理
【解析】如图所示． |F1|＝|F|cos 60°＝10×12＝5(N)．
【答案】 5 N
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5．(2012·湖南高考)在△ABC 中，AB＝2，AC＝3，A→B·B→C＝1，
则 BC＝( )
A. 3 C．2 2
B. 7 D. 23
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公式表示
a∥b⇔_a_＝___λb___ ⇔_⇔__x_1_y_2－__x_2_y_1_＝__0_(b__≠_0_)
其中 a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)
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数量积的垂直问题
运算性质
a⊥b⇔__a_·_b_＝__0__ ⇔__x_1x_2_＋__y_1_y_2_＝__0___
【答案】 C
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考向一 [080] 向量在平面几何中的应用
(1)(2014·长沙模拟)在△ABC 中，已知向量A→B与A→C满
足
→ AB →
＋
→ AC →
·B→C＝0，且
→ AB →

2015届高三数学成才之路二轮专项复习课件2.3平面向量

[ 解析]
→ → 如图，令AB＝a，AC＝b，
→ 1 AD＝2(a＋b)，
b 2 → → → BE＝BC＋CE＝(b－a)＋－3＝3b－a， a b 2 → → b－a ∴AD· BE＝2＋2· 3
1 |a|2 |b|2 1 ＝3a· b－ 2 ＋ 3 －2a· b |b|2 |a|2 1 1 1 1 1 1 ＝ 3 － 2 －6a· b＝3－2－6×2＝－4.
→ → → → 3→ → 3 → → → ∴AM＝AD＋DM＝AD＋4DF＝AD＋4(DA＋AB＋BF)＝a 3 1 1 3 ＋4(－a＋b＋3a)＝2a＋4b， 1 3 → → → 又AM＝λAB＋μAD＝λb＋μa，∴μ＝2，λ＝4， 3 ∴λμ＝8.
• [方法规律总结] • 1.解答向量的线性表示的题目，要抓住向量的起点、终点，按照“首尾相接，首指向尾” 的加法运算法则和“同始连终，指向被减” 的减法运算法则进行，运用平行四边形法则时，两向量起点必须重合，运用三角形法则时，两向量必须首尾相接，否则就要把向量平移． • 2.在两直线相交(或三点共线)问题中，常应用待定系数法，将共线的向量中一个用另一个表示，再通过运算确定待定系数．经常依
2 (2)|a|＝ x1 ＋y2 1；
(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0； x1x2＋y1y2 (4)cosθ＝ 2 2 2 2. x1＋y1· x2＋y2
1．两向量夹角的范围是[0，π] ，a· b>0 与〈a，b〉为锐角不等价；a· b<0 与〈a，b〉为钝角不等价． 2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别． a· b a· b 3．a 在 b 方向上的投影为 |b| ，而不是 |a| . 4．若 a 与 b 都是非零向量，则 λa＋μb＝0⇔a 与 b 共线，若 a 与 b 不共线，则 λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝0.

2015年高考数学真题分类汇编：专题(05)平面向量(文科)及答案

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7.【2015高考陕西，文8】对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（）
A． B． C． D．
8.【2015高考湖北，文11】.已知向量，，则 _________．
9.【2015高考安徽，文15】是边长为2的等边三角形，已知向量满足，，则下列结论中正确的是.（写出所有正确结论得序号）
① 为单位向量；② 为单位向量；③ ；④ ；⑤ 。
10.【2015高考山东，文13】过点作圆的两条切线，切点分别为，则 =.
11.【2015高考天津，文13】在等腰梯形ABCD中,已知 , 点E和点F分别在线段BC和CD上,且则的值为．
12.【2015高考浙江，文13】已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足，则．
第பைடு நூலகம்章平面向量
1.【2015高考新课标1，文2】已知点，向量，则向量 ( )
（A）（B）（C）（D）
2.【2015高考广东，文9】在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（）
A． B． C． D．
3.【2015高考重庆，文7】已知非零向量满足则的夹角为（）
(A) (B) (C) (D)
4.【2015高考新课标1，文8】函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
5.【2015高考福建，文7】设，，．若，则实数的值等于（）
A． B． C． D．
6.【2015高考北京，文6】设，是非零向量，“ ”是“ ”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

2015年高考数学(新课标Ⅱ版)分项汇编专题05平面向量(含解析)理

专题05 平面向量
一．基础题组
1. 【2012全国，理6】△ABC中，AB边的高为CD．若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝( )
A． B． C． D．
【答案】D
2. 【2015高考新课标2，理13】设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．
【答案】
【解析】因为向量与平行，所以，则所以．
【考点定位】向量共线．
二．能力题组
1. 【2014新课标，理3】设向量a, b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab = ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
【答案】A
2. 【2010全国2，理8】△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则等于( )
A. a＋b
B. a＋b
C. a＋b
D. a＋b
【答案】：B
3. 【2005全国3，理14】已知向量，且A、B、C三点共线，则k= .
【答案】
【解析】由平面向量共线定理的推论可知：，可得：4=kt-k(1-t)，
5=12t+10(1-t)，解得：，.
三．拔高题组
1. 【2005全国2，理8】已知点，，．设的一平分线与相交于，那么有，其中等于（）
(A) 2 (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】
2. 【2013课标全国Ⅱ，理13】已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则＝__________. 【答案】：2。

2015届高考数学(文)二轮专题课件：2.3平面向量

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3．两非零向量平行、垂直的充要条件．
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a∥b⇔a＝λb(λ≠0)⇔________ x1y2－． x2y1＝0
x1x2＋y1 y2＝0 (2)a⊥b⇔a· b＝0⇔________ ．
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4．若a＝(x1， y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，
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向量(－4，－7)共线，则λ＝________．
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(1)利用公式|a|2＝a2及向量的数量积即可思路点拨：解决；(2)由向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线 ⇔x1y2－x2y1＝0即可解决．解析： (1)|5a－b|＝
|5a－b|2＝（5a－b）2
＝ 25a2－10a· b＋b2 ＝＝ 25|a|2－10|a||b|cos 120°＋|b|2
4 4 D. a－ b 5 5
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解析：由 a· b＝0 可得∠ACB＝90°，故 AB＝ 5，用
2 5 4 5 → ＝4AB →＝等面积法求得 CD＝，所以 AD＝，故AD 5 5 5 4 → → 4 4 (CB－CA)＝ a－ b.故选 D. 5 5 5
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随堂讲义· 第一部分
知识复习专题
专题二
三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
第三讲平面向量
平面向量每年广东高考都有单独小题，因此认真掌握好
平面向量很重要，通过近三年广东高考真题统计，预测 2015年平面向量仍为考查的重点，向量的概念、坐标运算为主要内容．
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考点1

2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全(平面向量)

2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全（平面向量）一、选择题：1.（2015安徽理）C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（）（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅= （D ）()4C a b +⊥B2、（2015北京文）设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：||||cos ,a b a b a b •=•<>，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，//a b .而当//a b 时，,a b <>还可能是π，此时||||a b a b •=-，故“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件.考点：充分必要条件、向量共线.3．（2015福建文）设(1,2)a =，(1,1)b =，c a kb =+．若b c ⊥，则实数k 的值等于（）A ．32-B ．53-C ．53D ．32【答案】A考点：平面向量数量积．4．（2015福建理）已知1,, ABAC AB AC tt⊥==，若P点是ABC∆所在平面内一点，且4AB ACAPAB AC=+，则PB PC⋅的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21【答案】AxyBCAP考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．5.（2015广东文）在平面直角坐标系x yO中，已知四边形CDAB是平行四边形，()1,2AB=-，()D2,1A=，则D CA⋅A=（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】试题分析：因为四边形CDAB是平行四边形，所以()()()C D1,22,13,1A=AB+A=-+=-，所以()D C23115A⋅A=⨯+⨯-=，故选D．考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．6、(2015湖南文)已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++ 的最大值为（）A 、6B 、7C 、8D 、9【答案】B【解析】试题分析：由题根据所给条件不难得到该圆221x y +=是一AC 位直径的圆，然后根据所给条件结合向量的几何关系不难得到24PA PB PC PO PB PB ++++==，易知当B 为（-1，0）时取得最大值.由题意，AC 为直径，所以24PA PB PC PO PB PB ++++== ,已知B 为（-1，0）时，4PB +取得最大值7，故选B.考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质7. (2015湖南理)已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为（） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】B.【考点定位】1.圆的性质；2.平面向量的坐标运算及其几何意义.【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量的几何意义以及点到圆上点的距离的最值问题，属于中档题，结合转化思想和数形结合思想求解最值，关键是把向量的模的最值问题转化为点与圆上点的距离的最值问题，即圆221x y +=上的动点到点)0,6(距离的最大值.8、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) （A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)9.(2015全国新课标Ⅰ卷理)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（）（A ）1433AD AB AC =-+ (B)1433AD AB AC =-（C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =- 【答案】A【解析】试题分析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A.考点：平面向量运算10. (2015全国新课标Ⅱ卷文)已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点：向量数量积.11.(2015山东理)已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（）（A ）232a -（B ）234a - （C ） 234a （D ） 232a【答案】D【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.【名师点睛】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题.12.(2015陕西文、理)对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（） A ．||||||a b a b •≤ B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=-【答案】B考点：1.向量的模；2.数量积.13.(2015四川理)设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C【考点定位】平面向量.【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素.本题中，由于6AB =，4AD =故可选,AB AD 作为基底.14、(2015四川文)设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝( )(A )2 (B )3 (C )4 (D )6 【答案】B【考点定位】本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.【名师点睛】平面向量的共线、垂直以及夹角问题，我们通常有两条解决通道：一是几何法，可以结合正余弦定理来处理.二是代数法，特别是非零向量的平行与垂直，一般都直接根据坐标之间的关系，两个非零向量平行时，对应坐标成比例(坐标中有0时单独讨论)；两个向量垂直时，对应坐标乘积之和等于0，即通常所采用的“数量积”等于0.属于简单题.15．(2015重庆理)若非零向量a ，b 满足|a |=223|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为（）A 、4π B 、2πC 、34πD 、π【答案】A【考点定位】向量的夹角.16. (2015重庆文)已知非零向量,a b 满足||=4||(+)b a a a b ⊥，且2则a b 与的夹角为（）(A)3π (B) 2π (C) 32π (D) 65π 【答案】C考点：向量的数量积运算及向量的夹角.二、填空题：1.（2015安徽文）ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB 2=→，b a AC+=→2，则下列结论中正确的是 .（写出所有正确结论得序号）①a为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤→⊥+BC b a )4( 。

2015年高考数学试题分类汇编F单元平面向量

数学F 单元平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算 2．F1[2015·四川卷] 设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x ,6)共线,则实数x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．62．B [解析] 由向量a ,b 共线,得2×6－4x ＝0,解得x ＝3,选B.2．F1、F2[2015·全国卷Ⅰ] 已知点A (0,1),B (3,2),向量AC →＝(－4,－3),则向量BC →＝( ) A ．(－7,－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)2．A [解析] AB →＝(3,1),BC →＝AC →－AB →＝(－4,－3)－(3,1)＝(－7,－4)．2．F1[2015·四川卷] 设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x ,6)共线,则实数x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．62．B [解析] 由向量a ,b 共线,得2×6－4x ＝0,解得x ＝3,选B.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算 6．F2[2015·江苏卷] 已知向量a ＝(2,1),b ＝(1,－2),若m a ＋n b ＝(9,－8)(m ,n ∈R ),则m －n 的值为________．6．－3 [解析] 因为m a ＋n b ＝(2m ＋n ,m －2n )＝(9,－8),所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3.2．F1、F2[2015·全国卷Ⅰ] 已知点A (0,1),B (3,2),向量AC →＝(－4,－3),则向量BC →＝( ) A ．(－7,－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)2．A [解析] AB →＝(3,1),BC →＝AC →－AB →＝(－4,－3)－(3,1)＝(－7,－4)．4．F2、F3[2015·全国卷Ⅱ] 向量a ＝(1,－1),b ＝(－1,2),则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．C [解析] 2a ＋b ＝2(1,－1)＋(－1,2)＝(1,0),所以(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1,－1)＝1. 9．F2、F4[2015·湖南卷] 已知点A ,B ,C 在圆x 2＋y 2＝1上运动,且AB ⊥BC ,若点P 的坐标为(2,0),则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．99．B [解析] 方法一：因为A ,B ,C 均在单位圆上,且AB ⊥BC ,所以A ,C 为直径的端点,故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4,0),|P A →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|≤2|PO →|＋|PB →|,又|PB →|≤|PO →|＋1＝3,所以|P A →＋PB →＋PC →|≤4＋3＝7,故最大值为7,选B.方法二：因为A ,B ,C 均在单位圆上,且AB ⊥BC ,所以A ,C 为直径的端点,令A (cos x ,sin x ),B (cos (x ＋α),sin (x ＋α)),C (－cos x ,－sin x ),0<α<π,则P A →＋PB →＋PC →＝(cos(x ＋α)－6,sin(x ＋α)), |P A →＋PB →＋PC →|＝[cos （x ＋α）－6]2＋sin 2（x ＋α）＝37－12cos （x ＋α）≤7,故选B. F3 平面向量的数量积及应用 4．F2、F3[2015·全国卷Ⅱ] 向量a ＝(1,－1),b ＝(－1,2),则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．C [解析] 2a ＋b ＝2(1,－1)＋(－1,2)＝(1,0),所以(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1,－1)＝1. 6．A2,F3[2015·北京卷] 设a ,b 是非零向量．“a·b ＝|a||b|”是“a ∥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．A [解析] 根据数量积的定义,a ·b ＝||a ·||b cos θ,由a ·b ＝||a ·||b 可得cos θ＝1,根据向量所成角的范围得到θ＝0,所以a ∥b ；若a ∥b ,可得向量a 与向量b 共线,即所成的角为0或π,所以a ·b ＝±||a ·||b ,故选A. 13．H4、F3[2015·山东卷] 过点P (1,3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线,切点分别为A ,B ,则P A →·PB →＝________．13.32 [解析] 如图所示,|P A |＝|PB |＝3,|OP |＝2,|OA |＝1,且P A ⊥OA ,∴∠APO ＝π6,即∠APB ＝π3,∴P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos ∠APB ＝3×3×cos π3＝32.8．F3[2015·陕西卷] 对任意平面向量a ,b ,下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a ·b|≤|a||b| B ．|a －b|≤||a|－|b|| C ．(a ＋b )2＝|a ＋b|2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2 8．B [解析] 根据数量积的定义知a·b ＝|a||b|cos 〈a ,b 〉,所以|a·b|＝||a||b|cos 〈a ,b 〉|≤|a||b |,选项A 中的关系式一定成立；如果选项B 中的关系式成立,则|a －b|2≤||a|－|b||2,可得a·b ≥|a||b|,此式只可能在a ,b 共线且同向时成立；根据向量的运算法则可知,选项C,D 中的关系式是恒成立的．20．F3,H5,H8[2015·四川卷] 如图1-3,椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22,点P (0,1)在短轴CD 上,且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程．(2)设O 为坐标原点,过点P 的动直线与椭圆交于A ,B 两点．是否存在常数λ,使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在,求λ的值；若不存在,请说明理由．图1-320．解：(1)由已知,点C ,D 的坐标分别为(0,－b ),(0,b )．又点P 的坐标为(0,1),且PC →·PD →＝－1,于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2,b ＝2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1,A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0, 所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1,x 1x 2＝－22k 2＋1.从而OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝（－2λ－4）k 2＋（－2λ－1）2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以,当λ＝1时,－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3.此时,OA →·OB →＋λP A →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时,直线AB 即为直线CD .此时,OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1,使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－3.13．F3[2015·浙江卷] 已知e 1,e 2是平面单位向量,且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1,则|b |＝________．13.233 [解析] 令b ＝x e 1＋y e 2(x ,y ∈R ),b ·e 1＝x e 1·e 1＋y e 2·e 1＝x ＋12y ＝1,b ·e 2＝x e 1·e 2＋y e 2·e 2＝12x ＋y ＝1,解得x ＝y ＝23,则b ＝23(e 1＋e 2),所以b 2＝49(e 1＋e 2)2＝49(e 21＋2e 1·e 2＋e 22)＝43,故|b |＝2 33. 7．F3[2015·重庆卷] 已知非零向量a ,b 满足|b|＝4|a|,且a ⊥(2a ＋b ),则a 与b 的夹角为( )A.π3B.π2C.2π3D.5π67．C [解析] 由已知得a ·(2a ＋b )＝2a 2＋a ·b ＝0,即a ·b ＝－2a 2,所以cos 〈a ,b 〉＝a ·b|a ||b |＝－2a 24a 2＝－12,所以〈a ,b 〉＝2π3. 9．F3[2015·广东卷] 在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形,AB →＝(1,－2),AD →＝(2,1),则AD →·AC →＝( )A ．5B ．4C ．3D ．29．A [解析] 因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AC →＝AB →＋AD →＝(1,－2)＋(2,1)＝(3,－1),所以AD →·AC →＝2×3＋1×(－1)＝5,故选A.11．F3[2015·湖北卷] 已知向量OA →⊥AB →,|OA →|＝3,则OA →·OB →＝________． 11．9 [解析] 根据题意作出图形,如图所示．设向量OA →,OB →的夹角为θ,则OA →·OB →＝||OA →||OB→cos θ.因为OA →⊥AB →,所以||OB →cos θ＝||OA →,所以OA →·OB →＝||OA →2＝9. 14．C7、F3[2015·江苏卷] 设向量a k ＝⎝⎛⎭⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6(k ＝0,1,2,…,12),则k ＝011(a k ·a k ＋1)的值为________．14．93 [解析] 因为a k ·a k ＋1＝cosk π6cos （k ＋1）π6＋⎝⎛⎭⎫sin k π6＋cos k π6⎣⎡⎦⎤sin （k ＋1）π6＋cos （k ＋1）π6＝2cosk π6cos （k ＋1）π6＋sin k π6sin （k ＋1）π6＋sin k π6cos （k ＋1）π6＋cos k π6sin （k ＋1）π6＝cos k π6cos （k ＋1）π6＋cos π6＋sin （2k ＋1）π6＝12cos （2k ＋1）π6＋sin （2k ＋1）π6＋334,所以k ＝011(a k ·a k ＋1)＝12×334＋12k ＝011c os （2k ＋1）π6＋k ＝011s in （2k ＋1）π6＝9 3.F4 单元综合7．F4[2015·福建卷] 设a ＝(1,2),b ＝(1,1),c ＝a ＋k b .若b ⊥c ,则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53 C.53 D.327．A [解析] c ＝(1,2)＋k (1,1)＝(1＋k ,2＋k ),因为b ⊥c ,所以b ·c ＝1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝3＋2k ＝0,所以k ＝－32.9．F2、F4[2015·湖南卷] 已知点A ,B ,C 在圆x 2＋y 2＝1上运动,且AB ⊥BC ,若点P 的坐标为(2,0),则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．99．B [解析] 方法一：因为A ,B ,C 均在单位圆上,且AB ⊥BC ,所以A ,C 为直径的端点,故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4,0),|P A →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|≤2|PO →|＋|PB →|,又|PB →|≤|PO →|＋1＝3,所以|P A →＋PB →＋PC →|≤4＋3＝7,故最大值为7,选B.方法二：因为A ,B ,C 均在单位圆上,且AB ⊥BC ,所以A ,C 为直径的端点,令A (cos x ,sin x ),B (cos (x ＋α),sin (x ＋α)),C (－cos x ,－sin x ),0<α<π,则P A →＋PB →＋PC →＝(cos(x ＋α)－6,sin(x ＋α)), |P A →＋PB →＋PC →|＝[cos （x ＋α）－6]2＋sin 2（x ＋α）＝37－12cos （x ＋α）≤7,故选B. 13．F4[2015·天津卷] 在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB ＝2,BC ＝1,∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且BE →＝23BC →,DF →＝16DC →,则AE →·AF →的值为________．13.2918 [解析] 根据题意,AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝AB →＋23BC →·AD →＋16DC →＝AB →·AD →＋16AB →·DC →＋23BC →·AD →＋19BC →·DC →＝1＋13＋13－118＝2918. 15．F4[2015·安徽卷] △ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足AB →＝2a ,AC →＝2a ＋b ,则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →.15．①④⑤ [解析] 由AB →＝2a ,AC →＝2a ＋b ,得a ＝12AB →,b ＝AC →－2a ＝BC →,④正确；|a |＝12|AB→|＝1,①正确；|b |＝|BC →|＝2,②错误；且a 与b 的夹角为120°,故a ·b ＝1×2×cos 120°＝－1,③错误；(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋b 2＝－4＋4＝0,⑤正确．10．[2015·泉州五校联考] 在直角梯形ABCD 中,AB ∥DC ,AD ⊥AB ,AD ＝DC ＝2,AB ＝3,点M 是梯形ABCD 内(包括边界)的一个动点,点N 是CD 边的中点,则AM →·AN →的最大值是________．10．6 [解析] 以A 为原点,分别以AB →,AD →所在的方向为x 轴、y 轴的正方向,建立平面直角坐标系,可得A (0,0),B (3,0),C (2,2),D (0,2),N (1,2),则直线BC 的方程为y ＝－2x ＋6.由题易知,当AM →·AN →取得最大值时,点M 在线段BC 上,故设M (λ,－2λ＋6)(2≤λ≤3),可得AM →＝(λ,－2λ＋6),AN →＝(1,2),∴AM →·AN →＝λ＋2×(－2λ＋6)＝12－3λ.∵2≤λ≤3,∴当λ＝2时,AM →·AN →取得最大值6.7．[2015·丽水一模] 已知P 是边长为2的正方形ABCD 内的点,若△P AB ,△PBC 的面积均不大于1,则AP →·BP →的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－1,1)C ．0,12 D.12,327．B [解析]以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,建立直角坐标系(如图所示),则B (2,0),C (2,2)．设P (x ,y ),0<x <2,0<y <2.由△P AB ,△PBC 的面积均不大于1,得0<y ≤1,1≤x <2,则AP →·BP →＝x (x －2)＋y 2＝(x －1)2＋y 2－1.又(x －1)2＋y 2表示平面区域0<y ≤1,1≤x <2内的点P (x ,y )与点(1,0)间的距离的平方,所以AP →·BP →的取值范围是(－1,1)． 9．[2015·辽宁师大附中模拟] 已知a ,b 是单位向量,且a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b|＝1,则|c|的取值范围是________．9．[2－1,2＋1] [解析] 由a ,b 是单位向量,且a·b ＝0,可设a ＝(1,0),b ＝(0,1),c ＝(x ,y )． ∵向量c 满足|c －a －b|＝1,∴（x －1）2＋（y －1）2＝1,即(x －1)2＋(y －1)2＝1.该方程表示圆心为(1,1),半径为1的圆,∴2－1≤|c |＝x 2＋y 2≤2＋1,∴|c |的取值范围是[2－1,2＋1]．4．[2015·湛江调研] 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,设向量OA →＝a ,OB →＝b ,其中a ＝(3,1),b ＝(1,3)．若OC →＝λOA →＋μOB →,且0≤λ≤μ≤1,则点C 所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )4．D [解析] 当λ＝μ＝1时,OC →＝λa ＋μb ＝a ＋b ＝(4,4),故可以排除C.当λ＝μ＝0时,OC→＝λa ＋μb ＝(0,0),故可以排除 B.当μ＝13,λ＝12时,OC →＝λa ＋μb ＝12a ＋13b ＝116,32,故可以排除A.故选D.。

2015届高考数学(新课标)二轮复习课件专题二第5讲平面向量及其应用

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2．平面向量的基本定理和坐标运算例2(1)设向量 a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a －λb)，则实数 λ＝________．【解析】±3 因为 a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋ λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得 λ＝±3.
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考题2(2014 天津)已知菱形 ABCD 的边长为 2，
∠BAD＝120°，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，B→E＝
λB→C，D→F＝μD→C.若A→E·A→F＝1，C→E·C→F＝－23，则
λ＋μ＝( )
1
2
5
7
A.2
B.3
C.6
D.12
【解析】选 C. 建立如图所示的坐标系，则 A(－1，0)，B(0，－ 3)，
〔备选题〕例5已知向量 a＝(sin x，1)，b＝
cos
x，－12.
(1)当 a⊥b 时，求|a＋b|的值；
(2)求函数 f(x)＝a·(b－a)的最小正周期；
(3)求使(a·b)2－(m＋1)a·b＋1>0 恒成立的 m 的取
值范围．
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【解析】(1)由已知得 a·b＝0， |a＋b|＝（a＋b）2 ＝ a2＋2a·b＋b2＝ a2＋b2
C(1，0)，D(0， 3)．设 E(x1，y1)，F(x2，y2)．由B→E＝ λB→C得(x1，y1＋ 3)＝λ(1， 3)，解得xy11＝＝λ，3（λ－1），
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2015年高考数学真题分类汇编：专题(05)平面向量(文科)及答案

第五章平面向量
1.【2015高考新课标1，文2】已知点，向量，则向量 ( )
（A）（B）（C）（D）
2.【2015高考广东，文9】在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（）
A． B． C． D．ห้องสมุดไป่ตู้
3.【2015高考重庆，文7】已知非零向量满足则的夹角为（）
(A) (B) (C) (D)
① 为单位向量；② 为单位向量；③ ；④ ；⑤ 。
10.【2015高考山东，文13】过点作圆的两条切线，切点分别为，则 =.
11.【2015高考天津，文13】在等腰梯形ABCD中,已知 , 点E和点F分别在线段BC和CD上,且则的值为．
12.【2015高考浙江，文13】已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足，则．
4.【2015高考新课标1，文8】函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
5.【2015高考福建，文7】设，，．若，则实数的值等于（）
A． B． C． D．
6.【2015高考北京，文6】设，是非零向量，“ ”是“ ”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7.【2015高考陕西，文8】对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（）
A． B． C． D．
8.【2015高考湖北，文11】.已知向量，，则 _________．
9.【2015高考安徽，文15】是边长为2的等边三角形，已知向量满足，，则下列结论中正确的是.（写出所有正确结论得序号）

江苏省苏州市2015届高考数学必过关题7 平面向量

2015届苏州市高三数学过关题7——平面向量一、填空题【考点一】平面向量的概念及线性运算1．在平面直角坐标系xoy 中，点( 1.2) B A --、(2,3),C(-2,-1)．则以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长分别为．【答案】[解析] 由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==- ，则(2,6),(4,4)AB AC AB AC +=-=，∴．||||AB AC AB AC +=-=∴所求的两条对角线的长分别为、2．[2012年第4版·必修4教材第72页第10题]设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，若==,，= ，= （用,表示）．【答案】221,333OP OB BA a b =+=+[解析]因为b -=所以221,333OP OB BA a b =+=+ 112333OQ OB BA a b =+=+ ．3．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC ==则AD = ．【答案】()1,1--.[解析](1,3)(2,4)(1,1)AD AC AB =-=-=--.4．[2012年第4版·必修4教材第78页例4]已知),,(),,(222111y x P y x P P 是直线21P P 上一点，且)1(21-≠=λλPP P ，则点P 的坐标为．【答案】)1,1(2121λλλλ++++y y x x[解析]设),(y x P ，则).,(),,(222111y y x x PP y y x x P --=--=由21PP P λ=得),(),(2211y y x x y y x x --=--λ 得到⎩⎨⎧-=--=-)(),(2121y y y y x x x x λλ因为,1-≠λ所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x 因此，P 点坐标为)1,1(2121λλλλ++++y y x x ．5．ABC ∆中设,,AB a AC b ==AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP = ．（用,a b 表示）【答案】2477AP a b =+[解析]()1122AP AC CP AC CR AC BR BC =+=+=+-()()1142AC AQ AB AC AB =+--- 111248AC AB AP =++,所以2477AP a b =+【考点二】平面向量的数量积6．若12,e e 是夹角为3π的单位向量，且122a e e =+ ，1232,b e e =-+ 则a b ⋅= ．【答案】72-[解析] ()1212127(2)324.2a b e e e e e e ⋅=+⋅-+=-+⋅=- 考查向量的概念，向量的加减数乘运算，向量的数量积.7．[2009·重庆卷]已知向量(1,1),(2,)a b x ==若a b + 与42b a - 平行，则实数x 的值是．【答案】2x =[解析]解法1 因为(1,1),(2,)a b x ==，所以(3,1),42(6,42),a b x b a x +=+-=- 由于a b +与42b a -平行，得6(1)3(42)0x x +--=，解得2x =．解法2 因为a b +与42b a -平行，则存在常数λ，使(42)a b b a λ+=-，即(21)(41)a b λλ+=-，根据向量共线的条件知，向量a 与b 共线，故2x =8．[2012年第4版·必修4教材第87页例4]在⊿ABC 中，设),,1(),3,2(k ==且⊿ABC是直角三角形，则k 的值为．【答案】;32-或;311或2133± [解析]若∠A =90°，则AB AC ⊥，于是0312=⨯+⨯k ，解得;32-=k 若∠B =90°，则AB BC ⊥ ，又()13BC AC AB ,k ,=-=--故得0)3(3)1(2=-⨯+-⨯k 解得;311=k 若∠C =90°，则AC BC ⊥，故0)3()1(1=-+-⨯k k解得2133±=k ；所求k 的值为;32-或;311或2133±.9．已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c = ．【答案】 77(,)93--[解析] 不妨设(,)C m n = ，则()1,2,(3,1)a c m n a b +=+++=- ，对于()//c a b + ，则有3(1)2(2)m n -+=+；又()c a b ⊥+，则有30m n -=，则有77,93m n =-=-，所以c =77(,)93--10. [2009·辽宁卷理]平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b += ．【答案】[解析] 由已知|a|＝2,|a ＋2b|2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴2a b +=11．[2014·江苏卷] 如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅ 的值是．【答案】22.AP AD DP ABP BC CP B=+==+= [解析]由题意所以221313()()44216AP BP AD AB AD AB AD AD AB AB ⋅=+⋅-=-⋅-即1322564216AD AB =-⋅-⨯,解得22AD AB ⋅=12．[2012年第4版·必修4教材第89页15题]设()()321a x,,b ,,==-若a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围为．【答案】23<x [解析]cos ||||a ba b θ⋅==因为θ为钝角，所以0cos <θ则032<-x 所以23<x ．【考点三】平面向量的基本定理第11题13．设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若12DE AB AC λλ=+(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为 .【答案】12[解析]1212()2323DE AB BC AB AC AB =+=+- 12DE AB AC λλ=+所以1212λλ+=． 14．如图,在△ABC 中,AN =31NC ,P 是BN 上的一点,若AP =m AB +112AC ,则实数m 的值为．[解析]【答案】311 [解析]123,.41144AP AC NP mAB AC NP mAB AC =+=+=-()3144NB NC CB AC AB AC AB AC =+=+-=- ,设,NP NB λ= 则14AB AC λλ-= 344mAB AC - ，3.11m λ==15．如图,在正方形ABCD 中,已知2=AB ,M 为BC 的中点,若N 为正方形内（含边界）任意一点,则AM AN ⋅的最大值是．【答案】6[解析]以AB 所在的直线为x 轴,AD 所在的直线为y 轴,建立直角坐标系,设N （x ，y ）则(,)AN x y = ,(2,1)AM = ,则2AM AN x y ⋅=+因为0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩,由线性规划的知识可得26AM AN x y ⋅=+≤ ．【考点四】平面向量的应用16．在△ABC 中,AB ＝2,AC ＝3,AB ·BC＝1,则BC ＝．【答案】 3.[解析]由AB →·BC →＝1可得2||BC cos (180°－B )＝1,即2|BC |cosB ＝－1,又由三角形的余弦定理可得32＝||BC 2＋22－2×2||BC cosB ，把2||BC cosB ＝－1代入,解得9＝||BC 2＋4＋2,即||BC＝第14题BDCNMA第15题3.17．在△ABC 中,若AB =1,AC||||AB AC BC += ,则||BA BC BC ⋅ =________．【答案】12. [解析]本题主要考查向量与解三角形的有关知识.满足||||AB AC BC +=的A ,B ,C 构成直角三角形的三个顶点,且∠A 为直角,于是BA BC ⋅ =2BA =1 . 所以||BA BC BC ⋅=12 18．[2006·江苏卷]已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN ||MP |MN NP 0⋅+⋅=，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为________.【答案】x y 82-=[解析]设P （x ，y ），0,0x y >>，M （－2，0）、N （2，0），MN 4=，则MP (2,), NP (2,)x y x y =+=-，由|MN ||MP |MN NP 0⋅+⋅=，则4(2)0x -=，化简整理得x y 82-=19．在面积为2的ABC ∆中,E ,F 分别是AB ,AC 的中点,点P 在直线EF 上,则2+⋅的最小值是．【答案】[解析]解法一：问题可转化为已知PBC ∆的面积为1,求2+⋅的最小值. 设PBC ∆中点,,P B C 所对的边分别为,,p b c ，由题设知sin 2bc P =，∴22222cos (2cos )cos 2(2cos )2cos sin PC PB BC bc P b c bc P b c bc P P bc bc P P ⋅+=++-=+--≥-=从而进一步转化为2cos sin PP-的最小值.（可数形结合，可用引入辅助角化一个三角函数的形式，可用万能公式转化后换元等，下略）解法二：建立坐标系，立即得目标函数.由题设知，PBC ∆的面积为1,以B 为原点,BC 所在直线为x 轴,过点B 与直线BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系,设2(,0),(,)(0)C a P t a a>,则22(,),(,),PB t PC a t a a=--=--∴222222443()()024a a PC PB BC t a t a t a a ⋅+=--++=-++≥+当且仅当,2at a ==,∴2+⋅的最小值是20．对任意两个非零的平面向量α 和β ,定义αβαβββ⋅=⋅.若平面向量,a b 满足0a b ≥> ,a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4,且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则a b ＝．【答案】32.[解析]根据新定义得：a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b |cos θ|b ||b |＝|a |cos θ|b |≥cos θ>22,b ∘a ＝b ·a a ·a ＝|a ||b |cos θ|a ||a |＝|b |cos θ|a |≤cos θ<1，且a ∘b 和b ∘a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,所以b ∘a ＝|b |cos θ|a |＝12,|b ||a |＝12cos θ，所以a ∘b ＝|a |cos θ|b |＝2cos 2θ<2,所以1<a ∘b <2,所以a ∘b ＝32.二、解答题21．[2012年第4版·必修4教材第97页第12题]已知)1,(),3,7(),5,3(),1,(-b D C B a A 是菱形的四个顶点，求实数b a ,的值．【答案】9,55,1====b a b a 或[解析]（1）若BC 为菱形的边，且=，即)2,()2,4(--=-a b则,4=-a b 且AB 的模等于的模，即41616)3(2+=++a 所以9,55,1====b a b a 或（2）若BC 为菱形的边，且=即)2,()2,4(b a -=-不成立（3）若BC 为菱形的对角线，则0=⋅，即1,04_)(4-=-=-a b a b 且=，即)4,7()4,3(--=-b a ，显然不成立．综上可知，9,55,1====b a b a 或．22．在平行四边形OABC 中，已知过点C 的直线与线段,OA OB 分别相交于点,M N ，若sin ,OM OA θ=⋅ cos ON OB θ=⋅ 其中，(0,)2πθ∈（1）求sin 2θ的值；（2）记OMN ∆的面积为1S ，平行四边形OABC 的面积为S ，试求1S S之值.【答案】（1）2；（2）112S S =[解析]（1）由题意得OC AB OB OA ==-所以(1sin )MC OB OA θ=-+⋅，又cos sin MN OB OA θθ=⋅-⋅又因为,,M N C 三点共线，得cos sin 11sin θθθ=+，则sin cos sin cos θθθθ-=⋅（1）（1）式两边平方，得2212sin cos sin cos θθθθ-⋅=⋅，即2sin 24sin 240θθ+-=解得：sin22)θ=或舍去（2）由题意得，11||||sin 2S OM ON AOB =⋅∠ =11sin 222AOB S S θ∆⋅=即112S S -=.23．在ABC ∆中,已知3AB AC BA BC ⋅=⋅ ．（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值．【答案】4A π=[解析]（1）证：设ABC ∆三边分别为c b a ,,，则B ca A cb cos 3cos =，B A A B cos sin 3cos sin =∴，∴tan 3tan B A =；（2）法一：由cos C =2tan =C ，2tan )tan(-=-=+∴C B A ，2tan tan 1tan tan -=-+∴B A B A ，又tan 3tan B A =，2tan 31tan 42-=-∴AA，1tan =∴A ，由tan 3tan B A =＞０知)2,0(π∈A ，=∴A 4π．法二：由（1）B a A b cos 3cos =得22222b c a =+，由c os C =得ab c b a 52222=-+，从而ab b a 52322+=，aba b 52322+=，解得53=a b ，53sin sin =∴A B ，59cos 1cos 122=--∴A B ，结合B a A b cos 3cos =与53=a b 知A a b B cos 3cos =， 22cos =∴A ，又由（1）知)2,0(,π∈B A ，=∴A 4π．24．在平面直角坐标系x O y 中,点A (－1,－2)、B (2,3)、C(－2,－1) ．（1）求以线段AB 、A C 为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t 满足()AB tOC OC -⋅=0,求t 的值．【答案】（1）所求的两条对角线的长分别为（2）115t =-[解析]（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==- ,则(2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=所以|||AB AC AB AC +=-=故所求的两条对角线的长分别为（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则E 为B 、C 的中点,E(0,1)，又E(0,1)为A 、D 的中点，所以D(1,4)故所求的两条对角线的长分别为B C=A D=（2）由题设知：OC =(－2,－1)，(32,5)AB tOC t t -=++．由(()AB tOC OC -⋅ =0,得：(32,5)(2,1)0t t ++⋅--=,从而511,t =-所以115t =-．或者 2· AB OC tOC = ,(3,5),AB =2115||AB OC t OC ⋅==- ．25．如图ABC ∆中,3,AB BC CA PQ ==是以A 为圆心,以1为半径的圆的一条直径．问：BC 与PQ 的夹角θ为何值时,BP CQ ⋅有最大值和最小值．【答案】0θ=时BP CQ ⋅ 有最大值0；πθ=时BP CQ ⋅有最小值-6 [解析]11,22BP AP AB PQ AB CQ AQ AC PQ AC =-=--=-=-，()211112242BP CQ PQ AB PQ AC PQ AB AC PQ AC AB⎛⎫⎛⎫⋅=---=-+⋅+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭211(2)cos 42r bc A PQ BC =-++⋅ 222211()2cos 22r b c a r a θ=-++-+⋅⋅ 22221cos ()2ar b c a r θ=++--，当cos 1θ=，即0θ=时， ()2222max11()(239)131022BP CQb c a r ar ⋅=+--+=+--+⨯=；当cos 1θ=-，即πθ=时， ()2222min11()(239)131622BP CQb c a r ar ⋅=+---=+---⨯=-．26．如图，在边长为1的正三角形ABC 中，,E F 分别是边,AB AC 上的点，若 ,AE mAB AF nAC ==，,(0,1)m n ∈．设EF 的中点为M ，BC 的中点为N ．（1）,,A M N 三点共线，求证:m n =；（2）若1m n +=，求||MN的最小值．【答案】4[解析]（1）由,,A M N 三点共线，得//AM AN，设AM AN λ= （λ∈R ），即11()()22AE AF AB AC λ+=+ ，所以()mAB nAC AB AC λ+=+，所以m n =．（2）因为MN AN AM =- ＝11()()22AB AC AE AF +-+ 11(1)(1)22m AB n AC =-+- ，BQACP第25题ABCEFM N 第26题又1m n +=，所以11(1)22MN m AB mAC =-+，所以22222111||(1)(1)442MN m AB m AC m mAB AC =-++-⋅＝222111113(1)(1)()4444216m m m m m -++-=-+，故当12m =时，min ||MN = ．三．课本改编题：1. 原题[2012年第4版·必修4教材第73页习题2.2第15题] 已知,OA OB不共线，设OP OA bOB α=+,,a b 均为实数，且满足1a b +=，求证：,,A B P 三点共线．变式1：已知OA = a + 2b ，OB = 2a + 4b ，OC =3a + 6b (其中a 、b 是两个任意非零向量) ，证明：A 、B 、C 三点共线．证明：∵AB OB OA =-= a + 2b ，AC OC OA =-=2a + 4b ，∴ 2AC AB =所以，A 、B 、C 三点共线．变式2：已知点A 、B 、C 在同一直线上，并且OA = a + b ，(2)OB m =-a + 2b ，(1)OC n =+a + 3b (其中a 、b 是两个任意非零向量) ，试求m 、n 之间的关系．【答案】260m n --=[解析](3)AB OB OA m =-=-a +b ，AC OC OA n =-= a + 2b 由A 、B 、C 三点在同一直线上可设AB k AC =，则 (3)21m kn k -=⎧⎨=⎩ 所以 1(3)2m n -= 即 260m n --=为所求．2.原题[2012年第4版·必修4教材第91页复习题第10题]已知：,OA BC OB AC ⊥⊥.求证：OC AB ⊥变式1：如图，矩形ABCD 内接于半径为r 的圆O ，点P 是圆周上任意一点，求证：222228PA PB PC PD r +++=证明：OP OA OP OA PA ⋅-+=2222 ，OB OP OB PB ⋅-+=22222，OP OC OP OC PC ⋅-+=22222 ，OP OD OP OD PD ⋅-+=22222，以上各式相加可证．变式2：已知△ABC 中，===,,，若⋅=⋅=⋅，求证：△ABC 为正三角形.证明：⋅=⋅ ， ∴0)(=-a b c ，又∵0=++， )(b a c +-=，故0))((=-+- ，知a =b ，同理可知b=c ，故a =b=c ，得证．变式3：已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证OE OD OC OB OA 4=+++.证明∵E 是对角线AC 与BD 的交点，∴DE ED BE CE EC AE -==-==,. 在△OAC 中，=+，.同理有OE DE OD OE CE OC OE BE OB =+=+=+,, 四式相加可得：4=+++.变式4：四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ，求证：)(21+=证法一 ∵E 、F 分别为DA 、BC 的中点.∴BF FC EA DE ==,又∵+++=0①+++=0② ①+②，得2)()()(AE DE BA CD FB FC EF ++++++=0∴2+=-+-=)(∴)(21+= 证法二连结EC ，EB∵=+，①=+② ①+②,得2+0=EB EC +，∴)(21+=又∵DC ED EC +=③ AB EA EB +=④③+④,得)(21AB EA DC ED EF +++=又∵EA ED +=0， ∴)(21DC AB EF +=.3.原题[原题[2007南通高三押题]如图,设P ,Q 为△ABC 内的两点,且2155AP AB AC =+,AQ ＝23AB ＋14AC,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为．【答案】45. [解析] 设25AM AB = ,15AN AC = ,则AP AM AN =+ ,由平行四边形法则,知NP ∥AB ,所以ABP ABC S AN S AC∆∆=＝15,同理可得14ABQ ABC S S ∆∆=,故45ABP ABQ S S ∆∆=．变题1．已知点O 在ABC ∆内部，且有2=++．求AOC ∆与AOB ∆的面积比．【答案】1:2[解析]如图D 是AB 的中点，由平行四边形法则得：==+2，由题意知2-=+，所以O 是CD 的中点，即OC=OD ，由平面几何知识得C N MQPBAEDFO AB ABC S S ∆∆=2，AO C AD C ABC S S S ∆∆∆==42，因此AOC ∆与AOB ∆的面积比为1:2变题2．已知点O 在ABC ∆内部，且有42=++，求OAB ∆与OBC ∆的面积比．【答案】4:1[解析]如图O 是三角形ADE 的重心，取B 为OD 的中点，C 为OE 的四等分点，这样才有42=++成立，不妨设三角形ADE 的面积为24，由重心的性质知8===∆∆∆EO A D O E AO D S S S 所以4,1,2===∆∆∆OAB BO C AO C S S S ，所以OAB ∆与OBC ∆的面积比4:1通过上述三道习题的展示，我们不难发现面积比与系数有很大的联系，于是大胆的拓展面积比就是对应的系数比，下面用重心的向量式来证明：已知点O 在ABC ∆内部，且有0321=++OC OB OA λλλ不妨设321,,λλλ均大于1 则321::::λλλ=∆∆∆O AB O AC O BC S S S证明：如图：设O 是DEF ∆的重心，那么=++（重心的向量式）不妨设OC OF OB OEOA OD 321,,λλλ===，由三角形的面积公式得AOBS OAB ∠⋅=∆，AOB S ODE ∠=∆因此211λλ=∆∆ODE OAB S S ，同理321λλ=∆∆OEF OBC S S ，131λλ=∆∆OFD OCA S S ，又因为O FD O EF O D E S S S ∆∆∆== 所以321211332::1:1:1::λλλλλλλλλ==∆∆∆OAB OAC OBC S S S。

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