1.4 船有触礁的危险吗(标杆)
《船有触礁的危险吗》直角三角形的边角关系
01
在直角三角形中，勾股定理、锐角三角函数等是常用的边角关
系。
利用GPS定位和航海仪器
02
通过GPS定位和航海仪器，船员可以精确地测量出船只的位置
和航向，从而判断是否会触礁。
利用航海图和航道标志
03
通过分析航海图和航道标志，船员可以了解航道的宽度、深度
、水流等情况，从而判断是否会触礁。
实际应用案例分析
的导航。
对未来航海技术的展望与预测
1 2 3
自动化技术
预计未来航海技术将更加依赖自动化技术，例如 自动识别系统（AIS）和自动舵等，以提高航行 的安全性和效率。
虚拟现实与增强现实
新技术如虚拟现实（VR）和增强现实（AR）可 以用于模拟航行环境，帮助船员进行更好的训练 和决策。
环保技术
随着对环境保护的重视度提高，未来的航海技术 将更加注重环保，例如使用更清洁的燃料等。
船只触礁的危险性分析
船只触礁的原因
由于各种原因，如天气恶劣、航 道狭窄等，船只在航行过程中可
能会触礁。
触礁的危害
船只触礁后，轻则造成船体损坏， 重则导致船只沉没，对船上人员和 货物造成严重威胁。
避免触礁的必要性
为了确保船只安全，避免触礁是非 常重要的。
利用直角三角形的边角关系进行避免的方法
直角三角形的边角关系基本理论
案例一
某海轮在通过一道狭窄航道时，由于船员对航道不熟悉，导致船只触礁。事后 分析发现，如果船员能够准确判断航道的宽度和深度，就可以避免触礁。
案例二
某货轮在海上遭遇大风浪，由于船员对天气预报和航海技术掌握不足，导致船 只偏离航向并触礁。事后分析发现，如果船员能够准确测量船只的位置和航向 ，就可以避免触礁。
§1.4 船有触礁的危险吗——三角函数的应用
∴x=
∴货轮船继续向东行驶途中 不会有触礁的危险.
550
250
20海里
解决实际问题的步骤: 1、审题，画出(补全)图形。 2、审图，确定已知和未知。 3、解直角三角形，列方程（组）。
4、解方程（组），结论。
解直角三角形的典型图形——双直 角三角形
基本等量关系：BD-CD=BC
A A
B
DC
D
想一想
在Rt ABC 中sin 35 调整后楼梯的长：
A BC D
,
┌ C
AB BD 4.48 4 0.48m.
AD AC DC
1 1 BC 0 0 tan35 tan40 1 1 BD sin 400 0 0 tan35 tan40
某商场准备改善原有楼梯 的安全性能,把倾角由原来的 400减至350,已知原楼梯的长度 为4m,调整后的楼梯会加长多 少?楼梯多占多长一段地面? (结果精确到0.01m).
A D
B
┌ C
某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原 来的400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯 会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).
如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处 仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前 进50m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多 高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).
解:
设CD=x,则∠ADC=600,∠BDC=300,
D
AC BC tan ADC , tan BDC , x x
§1.4
船有触礁的危险吗 ——三角函数的应用
1、求 BD、CD；
船有触礁的危险吗_ppt课件99365
sin60º=
DC 50
∴DC=50×sin60º=25 3 43 (m)
300 A 50m
答:该塔约有43m高
D
6┌00 BC
本题的解法你又得到了哪些经验？
相互说说
刚才遇到的三个问题转化为数学问题后有什么共同点？ 1、都有2个直角三角形 2、都是给出2个角、1条线段线 3、都需要用三角函数来解决 4、都可以用方程来解决
§1.4 船有触礁的危险吗? （三角函数的实际应用）
驶向胜利 的彼岸
Hale Waihona Puke 试一试1、如图,根据图中已知数据,求△ABC的BC边上的高.
解：设AD的长为X cm ∵在Rt△ADC,∠ACD=45º
∴CD=AD=X
∵在Rt△ABC中，∠B=30º,
∴tan30º= AD
x=3
BD
x4
3
A
x= 2 3 2
（1）该城市是否会受到台风的影响？请说明理由。
（2）若会受台风影响，那么台风影响该城市的
持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
回顾与思考
解直角三角形的四个基本图形
α
β
β α
α
β
α
解法1:如图,根据题意知,∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.
设CD=x,
x
在Rt△ADC中,tan30º=
AC
x tan 300
,
BC
ACx tan 600
在Rt△BDC中,tan60º=
x BC
D
∵AC-BC=AB
x tan 300
x tan 600
50.
1.4船有触礁危险吗
1.4船有触礁危险吗 ok学习目标：运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题知识回顾方向角的定义:1.方向角是以观察点为中心(方向角的顶点)，以正北(或正南)为始边，旋转到观察目标所成的锐角，方向角也称象限角．右上图,目标方向线 OA 、OB 、OC 的方向角分别为北偏东____°、南偏东____°、北偏____°.2.左下图1，点B 在点A 的 位置，点A 在点B 的 位置。
东北3右上图2，灯塔A 周围1000m 水域内有礁石，一舰艇由西向东航行，在O 处测得灯塔A 在北偏东74°方向上，这时O 、A 相距4200m ，如果不改变航向，此舰艇是否有触礁危险？说明你的理由。
000(sin160.2756,cos160.9613,tan160.2867)≈≈≈学习新课：1.海中有一个小岛A ，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西60°的B 处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西30°的C 处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.60302.海中有一个小岛A,该岛四周10海里内暗礁.今有货轮四由西向东航行,开始在A 岛南偏西550的B 处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西250的C 处.之后,货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?000(sin350.5736,cos350.8192,tan350.7002)≈≈≈000(sin650.9063,cos650.4226,tan65 2.1445)≈≈≈反馈练习1. 轮船每小时36海里的速度向正北航行到A 处， 发现它的东北方向有灯塔B ，轮船继续向北航行2小时到达C 处，发现灯塔B 在它的北偏东75°方向，求此时轮船与灯塔的距离。
F30︒北A 60︒C2.某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子, 如图所示,一潜水员在A 处以每小时8海里的速度向正东方向划行,在A 处测得黑匣子B 在北偏东60°的方向,划行半小时后到达C 处,测得黑匣子B 在北偏东30 °的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离黑匣子B 最近,并求最近距离.巩固训练：1.我舰在A 处接到紧急情报，在A 处南偏西60°方向上的B 处有一艘可疑船只，正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，我舰立刻沿南偏西45°方向迅速前进，经过1h 的航行，正好在C 处截住可疑船只，求我舰航速是多少 N2.如图,公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇,且∠QPN=30°,点A 处有一所学校,AP=160米,假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 的方向行驶时 ,学校是否会受到噪声影响?请说明理由.3．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.(1)问：B 处是否会受到台风的影响?请说明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物? ( 2≈1.4，3≈1.7 )D。
1.4船有触礁的危险吗99306
第一章 直角三角形 的边角关系
船有触礁 的危险吗
小明在A处仰望塔顶,测得∠1的大小 为α,再往塔的方向前进50m到B处,又 测得∠2的大小为β,根据这些他就求出 了塔的高度.
塔高问题
A 1 B2
典型例题 如图,∠D＝90°,∠B=30°,
∠ACD=45°,BC=4cm,求AD.
x tan 55 x tan 25 20
B
A东 550 250
CD
x
20 tan 55 tan 25
20 1.4281 0.4663
20.79海里
答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
1.在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直 角三 角形的五个元素.图中∠A，∠B，a，b，c即为直 角三角形的五个元素.
A
解：在Rt△ACD中,∠BDA＝45°
∴CD=AD
在Rt△ABD中，∠B＝30°
x
∴tan3Байду номын сангаас°= AD BD
30° 45° ┌
B 4C x D
∴BD= 3 AD
∵BD－CD=BC, 即 3AD－AD＝4
∴ AD＝2 3 +2
体会这两个图形的“模型”作用.
变式 如图，△ABC中，∠B=45°， ∠C=30°，AB=2，求AC的长.
2.解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求 未知元素的过程，叫做解直角三角形．
A
b
c
实际问题向数学模型的转化
(解直角三角形)
Ca
B
练习
课本Ｐ24页 做一做和随堂练习
作业
课本Ｐ32页 第6、7、9、10题
1.4船有触礁的危险吗 素材 行船问题
船有触礁的危险吗老师：“运用解直角三角形的知识研究受台风、噪音影响及楼房采光、轮船是否有触礁危险等问题，在近几年的中考试题中经常出现．解决这类问题的关键是根据实际问题建立数学模型，然后选择合理的方法解答，今天我们以历年的中考试题为例来探索类似船有触礁问题的解法．”例1 如图1，某船以36海里/时的速度向正东航行，在A 点测得某岛C 在北偏东60方向上，航行半小时后到B 点，测得该岛在北偏东30 方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．（1）试说明B 点是否在暗礁区域外；（2）若船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．解：（1）因为360.5186030AB ADB DBC =⨯=== ，∠，∠，所以30ACB = ∠．又因为30CAB = ∠，所以1816BC AB ==>，因此B 点在暗礁区域外； （2）过点C 作CH AF ⊥，垂足为H ．在Rt CBH △中，30BCH = ∠，令BH x =，则CH =．因为在Rt ACH △中，30CAH = ∠，所以AH =，所以18x +=． 解得9x =．因为6CH =<，所以船继续向东航行有触礁的危险．学生甲：“解决这类问题的关键是灵活运用方向角的有关知识建立数学模型，若把船改成台风，就可以变式为考虑岛C 是否会受到影响的问题了．”学生乙：“你说的很对，不过，你听说台风向正东刮吗？要说台风，还是看看下面的这个题吧．”例2 据气象台预报，一强台风的中心位于宁波（指城区，下同）东南方向）千米的海面上，目前台风中心正以20千米/时的速度向北偏西60 的方向移动，距台风中心50千米的圆形区域均会受到强袭击．已知宁海位于宁波正南方向72千米处，象山位于宁海北偏东60方向56千米处．请问：宁波、宁海、象山是否会受这次台风的强袭击？如果会，请求出受强台风袭击的时间；如果不会，请说明理由．（为解决问题，须画示意图，现已画其中一部分，请根据需要，把图形画完整）解：如图4，过P 点作东西方向（水平）直线与AB （南北）延长线交于点O ，延长台风中心移动射线PQ 与AO 交于点M ．因为45AP OAP APO AO OP ===⊥ ∠，，所以108AO OP ==，36BO AO AB =-=．因为30OPM = ∠，所以tan 30108)36MO OP OB ===+= ，所以M 与B 重合，因此台风中心必经过宁海，经过宁海的时间为502520⨯=（小时）； 如图4，C 为象山，由题意得303060CBP =+= ∠，C 到PQ 的距离56s i n 60350CN ==< ，所以象山会受到此次台风强袭击． 假设台风到达点E 时开始受到影响，到达点F 时影响结束，则有50CE CF ==海里，由勾股定理求得EN ==EF =击的时间为20=．如图4，A 到PQ 的距离sin 607250AD AB ===> ，所以宁波不会遭受此次台风的袭击．综上所述，宁波不会受到台风的强袭击，宁海受台风袭击的时间为5小时，象山受台风学生丙：“这个问题的背景可真够丰富的，原来，预报天气也要用到解直角三角形的知识啊！”老师：“解直角三角形的知识在航海、航空、测量、修路筑坝、机械加工等领域运用非常广泛，只要我们掌握将实际问题抽象建模的方法，就可以做到以不变应万变，……”。
船有触礁的危险吗PPT课件
1、方向角坐标：上北下南，左西右东。
2、 如图中点A的方向角为 北偏东30°，点B的方 向角为南偏西54 ° 。
北(N)
30° A
西(W) 54 ° O
东(E)
B
南(S)
3、确定方向角应先确定观测点，在观测点建立方向角坐标，
所以观测点不同，所得的方向角不同。
A
C东
练一练2
北偏东45º,注意观 测点是?
你会求方向角吗?
北偏西45º
如图所示，在一次实践活动中，小兵从A地出发， 沿东北方向行进了5 千米3到达B地，然后再沿西北 方向行进了5千米到达目的地C。
（1）A、C两地的距离为 10
千米。
（2）试确定目的地C在A地的什么地方？
N
答:C在A地的北偏东15º,离A地10千米处.
今有货船由东向西航行,开始在A岛南偏东550的B处,往
西行驶20海里后到达该岛的南偏东250的C处。之后,货
船继续向西航行。
你认为货船继续向西航行途中会有触礁的危险吗?
（参考数据：sin55º≈0.819,cos55º≈0.574,tan55º≈1.428,
Sin25º≈0.423,cos25º≈0.906,tan25º≈0.466)
C 45°
分析(1)∠ABC=90º,所以AC2=AB2+BC2
B
A
分析(2):以A为观测点，确定Ｃ的方向 E 角，即求∠CAN=?,AC=?.
重点2：解决实际问题的步骤
1、 审题，画出(补全)图形。 2、审图，确定已知和未知。 3、解直角三角形，列方程（组）。 4、解方程（组），结论。
重点1：方向角
练一练 1
真知在实践中诞生
一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航 行，上午8时，该船在A处测得某灯塔位于它的 北偏东30º的B处。上午9时行至C处，测得灯塔 恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离
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北 东
A
55° 25°
B 20海里 C
(2)如何判断货轮继续向东航行是否会有触礁的危
险？
北
A
东
B
C
D
（二）分析解题思路，写出解题过程；
解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要 过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无触礁 的危险.根据题意可知,∠BAD=55°,∠CAD=25°,BC= 20 海里.设AD=x海里.
A
北
东
60° B 12海里
30°
C D
对比题的操作步骤
• （一）审题，弄清题意，画出示意图。 • （二）找到对比题与标杆题的相同点和 不同点，寻找解题的思路和方法； • （三）学生写出解答过程，师生共同矫 正；
（四）反思: （1）以上两题在构图和解法上有什么不同？ （2） 此类问题应该注意的问题是什么？
二、学生知识状况分析
1、学生的知识技能基础： 学生已经知道直角三角形三角关系(两锐角互余),三 边关系(勾股定理)及边角关系(锐角三角函数). 2、学生活动经验基础： 在相关知识的学习过程中，学生已经经历了大量的 解直角三角形的活动，解决了一些简单的现实问题，感 受到了用直角三角形的有关知识解决现实问题的必要性 和作用，获得了用直角三角形的有关知识解决现实问题 所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学 学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一 定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
注意：题目中两个方位角的确定方法。 思考：货轮继续向东航行是否会有触 礁的危险的意思的理由
1、根据《新课程标准》和《考试说明》的要求：能 应用三角函数解决简单的实际问题； 2、利用锐角三角函数解决简单的实际问题，是中考 的重点题型之一，它包含了直角三角形和三角函数 的相关知识，考察了学生对基础知识的掌握情况以 及应用知识解决问题的能力。 3、生活问题 数学化，要求学生能把实际问题转化 为数学问题，对学生来说本身就有一定的难度，另 一方面，大量的阅读材料，复杂的图形之间的联系， 使学生对这类题容易产生畏惧心里，不敢尝试，导 致本来容易得分的题因而失分，帮助学生消除这种 心里的方法，就是由“生”变“熟”。
北师大版九年级下册
一、教学任务分析
直角三角形中边角之间的关系，是现实世界 中应用广泛的关系之一，锐角三角函数在解决现 实问题中有着重要的作用，教材基于学生对直角 三角形的认识，提出了本课的具体学习任务：利 用锐角三角函数知识解决船有触礁的危险吗等实 际问题。但这仅仅是这堂课外显的具体教学目标， 或者说是一个近期目标。本节课的内容最终服务 于三角学教学的远期目标：“三角函数的性质及 其应用”。
【标杆题】：
北
【对比题】：
A
东
A
55
° 25
°
60°
30° C D
B 20海里 C
D
B 12海里
【拓展题】：
如图，一艘货轮以36海里/小时的速度在 海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一 灯塔B.货轮继续向北航行40min后到达C处，发现灯塔B在 它的北偏东75°方向，求此时货轮与灯塔B的距离(结果精 确到0.01海里).
3、学生学习中可能存在的问题： （1）学生不能将实际问题转化为数学问题； （2）不能准确画出示意图，并在图中表示各种 角（仰角、俯角、方位角等）。 （ 3）对三角函数的概念不清，不能准确地选择 三角函数解决问题；
问题背景(设疑)
如图,海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗 礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西 55°的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西 25°的C处.之后,货轮继续向东航行. 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危 险吗? A
答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
（四）反思：解决船是否有触礁危险的基本思路是什么？ 什么时候船有触礁的危险？
【对比题】
(课本34页15题)：海岛A的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪 鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°， 航行12海里后到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°. 如果渔船不改变航向继续向东航行，那么它有没有触礁 的危险？
北 东 D
课本P26.第4题
75°
C 45° A
E
步骤: （1）审题、弄清题意，思考解 B 题思路； （2）写出解题过程，点拨矫正； (3)反思此题与标杆题在解法上 的相同点。还有哪些方法？
思考：（1）此时货轮与灯塔B的距离指的是什么？ (2)应该如何求解？
课堂小结
• (一)本节课你学到了什么？ • （二）利用你学会的知识，规律，方法可以解决 哪些问题？ • （三）解决此类问题应注意的问题是什么？
BD CD tan 55 , tan 25 , x x
北 东
BD x tan55 , CD x tan25.
x tan55 x tan25 20.
A
55° 25°
B
C
┌ D
20 20 x 20.79海里 10海里. tan 55 tan 25 1.4281 0.4663
学习目标
1．经历探索船是否有触礁的危险的过程,进一 步体会三角函数在解决问题过程中的作用. 2、能够把实际问题转化为数学问题，并用 有关三角函数的知识进行解答。
学习指导:看课本23页的问题情景，与同桌交流解决问 题的方法，弄清解题思路。
【标杆题】：
如图,海中有一个小岛A,该岛四周 10海里内有暗礁.今有货轮由西向 东航行,开始在A岛南偏西55°的B 处,往东行驶20海里后到达该岛的 南偏西25°的C处.之后货轮继续向 东航行.是否会有触礁的危险？
使用标杆题的目的
通过对标杆题的学习，寻找解决问题的思路 与方法，并依托这种解题思路与方法学会处理 同类问题，形成解决该类问题的方法、思维。 从而进一步巩固、掌握《新课程标准》规定的 基础知识、基本技能和基本方法，培养学生分 析问题，解决问题的能力
标杆题的操作步骤(探疑、解疑)
（一）学生独立思考后，小组讨论交流下列问题： （1）如何确定方位角？根据条件怎样画出示意图？ 开始在A岛南偏西55°的B处,往东行驶20海里后到 达该岛的南偏西25°的C处.