离散时间信号与系统分析
信号与系统离散时间信号与系统时域分析
20
x(n) ? ? 2? (n ? 2) ? 0.5? (n ? 1) ? 2? (n) ? ? (n ? 1) ? 1.5? (n ? 2) ? ? (n ? 4) ? 2? (n ? 5) ? ? (n ? 6)
图6.1.7 用单位采样序列移位加权和表示序列
21
6.1.2序列的运算
即：
4
x(n)
?
sin
? ??
π 4
(n
?
8)???
T=8
图6.1.6 正弦序列
17
设一般正弦序列可表示为
x(n) ? A sin(? 0n ? ? )
那么
x(n ? N ) ? A sin(? 0 (n ? N ) ? ? )? 0 ? A sin(? 0n ? ? 0 N ? ? )
若要
x(n ? N ) ? x(n)
y(n ? n0 ) ? T ?x(n ? n0 )?
因此该系统是移不变系统。
30
例6.3.3 检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是移不变系统。
y(n) ? nx(n)
y(n ? n0 ) ? (n ? n0 )x(n ? n0 )
T ?x(n ? n0 )?? nx(n ? n0 ) y(n ? n0 ) ? T ?x(n ? n0 )?
y(n) ? y1 (n) ? y2 (n)
信号与系统实验四离散时间LTI系统分析实验报告剖析
实验四离散时间LTI系统分析
一、实验目的
（一）掌握使用Matlab进行离散系统时域分析的方法
1、学会运用MATLAB求离散时间系统的零状态响应
2、学会运用MATLAB求解离散时间系统的单位样值响应
3、学会运用MATLAB求解离散时间系统的卷积和
（二）掌握使用Matlab进行离散时间LTI系统z域分析的方法
1、学会运用MATLAB求离散时间信号的z变换和z反变换
2、学会运用MATLAB分析离散时间系统的系统函数的零极点
3、学会运用MATLAB分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系
4、学会运用MATLAB进行离散时间系统的频率特性分析
二、实验条件
装有matlab2015a的计算机一台
三、实验内容
（一）熟悉两部分相关内容原理
（二）完成作业
1、表示某离散LTI系统的差分方程如下：
y(n)+0.2y(n-1)-0.24y(n-2)=x(n)+x(n-1)其中，x(n)为激励，y(n)为响应。
（1）试用MA TLAB命令中的filter函数求出并画出x(n)为单位阶跃序列时系统的零状态响应；
程序：
a=[10.2-0.24];
b=[11];
n=-5:30;
x=uDT(n);
y=filter(b,a,x);
stem(n,y,'fill');xlabel('n');
title('x(n)为单位阶跃序列时系统的零状态响应');
运行结果：
x(n)为单位阶跃序列时系统的零状态响应
2.5
2
1.5
1
0.5
-5051015202530
n
（2）试用MA TLAB命令求出并画出系统的单位样值响应[注：分别用filter函数和impz 函数求解，并比较二者结果是否一致]；
信号与系统第8章 离散信号的分析
8
（2）门序列 离散信号中的门序列又称为单脉冲序列，其函 数表达式为
与连续时间门信号一样，门序列也是一种典型 的时限信号，信号幅度只有在连续的 N 个点上不 为零，而其余所有点的幅度都恒为零。因此，可以 将门序列用阶跃序列表示为
9
图 8.1.4所示给出了 N =5时门序列的波形图。
图 8.1.4 门序列
28
③平移。给定 k=k0，将 f2（-i）沿横轴平移 k ，得到 f2（k-i）。 ④相乘。将 f1（i）和 f2（k-i）相乘得到 f1（i） f2（k-i）。 ⑤求和。将 f1（i）f2（k-i）中所有点的幅度相 加，得到当 k=k0 时卷积和的结果。 取不同的 k值，重复步骤③—⑤，分别得到卷 积和序列在各点的幅度，从而得到最后的卷积和结 果。
由此例可知，单位阶跃序列的一阶后向差分等 于单位脉冲序列。此外，对同一个序列，将其一阶 前向差分向右平移一个点即可得到其一阶后向差分 。
22
差分运算的结果得到一个新的序列，可以继续 对其求差分，从而得到原序列的高阶差分。例如二 阶后向差分为
23
例 8.1.4 求单位脉冲序列的迭分 y（k）。 解 直接根据定义得到
25
式（8.2.1）右边的累加级数实际上代表一种 特殊的运算，即离散信号 f（k）和单位脉冲序列的 卷积和运算。将这种运算推广到任意两个序列 f1（ k）和 f2（k），其卷积和定义为
实验一 离散时间信号与系统分析
实验一 离散时间信号与系统分析
一、实验目的
1、掌握两个序列的相加、相乘、移位、反褶、卷积等基本运算。
2、掌握离散时间信号与系统的时域分析方法和频率分析方法。
3、掌握序列傅氏变换的计算机实现方法，利用序列的傅氏变换对离散信号、系统及系统响应进行频域分析。
4、熟悉理想采样的性质，了解信号采样前后的频谱变化，加深对采样定理的 理解。 二、实验原理
1.离散时间信号在数学上可用时间序列{x(n)}来表示，其中x(n)代表序列的第 n 个数字，n 代表时间的序列。注意： x(n)只 在 n 为 整 数 时 才 有 意 义, n 不 是 整 数 时 无 定 义, 但 不 能 认 为 是 0。
2.离散时间信号可以是由模拟信号通过采样得到，例如对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T ，得到一个有序的数字序列{xa(nT)}就是离散时间信号，简称序列。
3.采样是连续信号数字处理的第一个关键环节。对采样过程的研究不仅可以了解采样前后信号时域和频域特性发生的变化以及信号信息不丢失的条件，而且可以加深对傅里叶变换、Z 变换和序列傅里叶变换之间关系式的理解。
我们知道，对一个连续信号xa(t)进行理想采样的过程可用(2-1)表示。
^
()()()
(21)
a a x t x t p t =-
其中^
()a x t 为
()a x t 的理想采样，()p t 为周期冲激脉冲，即
()()
(22)
n p t t nT δ∞
=-∞=
--∑
^
()a x t 的傅里叶变换^
()a X j Ω为
^
1()[()]
(23)
a a s m X j X j m T ∞
信号与系统(乙)第4章 离散时间信号与系统的频域分析
用复指数信号来表示一般信号。在本章中，仅考虑
z=ej情况下 ejn 形式的复指数信号：离散时间的傅里 叶变换。
§4.0 引言 §4.1 离散时间LTI系统的特征函数 §4.2 离散时间傅里叶级数(DFS) §4.3 离散时间傅里叶变换(DTFT) §4.4 离散时间周期信号的傅里叶变换 §4.5 离散时间傅里叶变换的性质 §4.6 对偶性 §4.7 离散时间LTI系统的频域分析
N
当 k 0, N , 2 N , 时 a k
2 N1 1 N
(c) N=40
Matlab: 计算离散傅里叶系数
【例4.18】序列x[n]如图所示，试求其离散傅里叶系数 ak
Matlab: 计算离散傅里叶系数
应该注意的是，在Matlab中，数组的第一维的标号是1，因此 上述代码中的a(1)实际上是离散傅里叶系数中的a0，而a(2)是 a1，依此类推。结果如下：
l
n N
x[n]e
jl (
2 )n N
1 ak N
1 x[n] [n] N n N
k
n N
x[n]e
jk (
2 )n N
4.2 离散时间傅里叶级数
离散时间信号及其傅里叶级数:
Fs x[n] ak
其中：
x[n]
k N
信号与系统第7章 离散系统的时域分析
信号与系统 电 电子 子教 教案 案 7.1 LTI离散系统的响应
三、零输入响应和零状态响应
已知单输入-单输出LTI离散系统的激励为f(k)，其 全响应为y(k)，那么，描述该系统激励f(k)与响应y(k) 之间的关系的数学模型是n阶常系数线性差分方程，
系统的全响应y(k)可以分解为零输入响应yx(k)和零状 态响应yf(k) 。
第3-13页
■
信号与系统 电 电子 子教 教案 案7.2 单位序列和单位序列响应
7.2 单位序列和单位序列响应
一、单位序列和单位阶跃序列
概念：连续信号 是连续时间变量t的函数，记为f (t)。
复习
离散信号 是离散时间变量tk（k为任意整数）的函数， 记为f (tk)。
离散信号表示： （a）图形表示：
r <1时，f (k)的实 虚部均为指数减 小的正弦序列。
第3-24页
■
r ＝1时，f (k)的 实虚部均为正弦 序列。
信号与系统 电 电子 子教 教案 案7.2 单位序列和单位序列响应
5.Z序列： f (k) z k z为复数
类比：连续与离散基本信号的对应关系
单位冲激信号： 单位阶跃信号：
(t) (k)
yf(0) = –3yf(–1) –2yf(–2) + 1 = 1 yf(1) = –3yf(0) –2yf(–1) + 2 = –1 分别求出齐次解和特解，得
第二章离散时间信号和系统分析基础
第二章离散时间信号和系统分析基础•2-1 引言
•2-2 连续时间信号的取样及取样定理
•2-3 离散时间信号的表示及运算规则
•2-4 离散时间线性非时变系统与差分方程
•2-5 离散时间信号与系统的频域分析
•2-6 引言
•2-7 z变换
•2-8 拉氏变换、傅式变换及z变换之间的关系
•2-9 逆z变换
•2-10 z变换的定理与性质
•2-11 单边z变换及双、单边z变换的应用场合
•2-12 系统函数
2-1 引言
数字信号处理系统的分析方法基于取样信号及系统，其后考虑幅度量化及有限字长效应。因此，离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
本章就一维信号讨论离散时间信号和信号处理的基本概念。
2-2 连续时间信号的取样及取样定理
（1）信号的取样（抽样）
有两种：实际（包括平顶及曲顶取样）取样，理想取样。
如P8 图2-1（曲顶取样，也称自然取样 ） 及P9 图2-2（理想取样）所示。 理想抽样：抽样脉冲序列是理想冲激脉冲序列)(t T δ；实质上是一个连续时
间信号经过抽样变成离散序列后，能否由此离散序列样值恢复原始模拟信号的问题。
（I ） 低通抽样定理：一个频带限制在（0，H f ）内的连续时间信号)(t x ，如果
以H
f T 21
≤
的间隔（即抽样频率H s f f 2≥）对它进行等间隔抽样，则可以由抽样序列{})(s nT x 无失真地恢复原始信号)(t x 。若抽样频率H s f f 2<则会产生混叠。
证明：设)(t m 为频带限制在（0，H f ）内的低通信号，抽样脉冲序列是一个周期性冲激函数)(t T δ。抽样过程是)(t m 与)(t T δ相乘的过程。
信号与系统第五章 离散系统分析
1. 只含激励信号ƒ(k)
一阶系统的数学模型，一阶系统的后向差分方程，稍加整理可得
y(k) f (k) a0 y(k 1)
用加法器、标量乘法器和单位延时器实现k域模拟框图，如图5-14所示。
图5-14 一阶后向差分方程k域模拟框图
描述一阶系统的前向差分方程为
图5-2 单位样值序列波形
延时k0个单位的单位样值序列可表示为
(k
k
0
)
1, k 0, k
k0 k0
wenku.baidu.com
单位样值序列 与单位冲激函数 类似，具有取样 特性，即有
f (k)(k) f (0)(k)
f (k)(k k0 ) f (k0 )(k k0 )
f (k)(k) f (0)
(2) 卷积和的其他性质
•关于δ(k)的卷积和
f (k) * (k) f (k)
f (k) * (k k0 ) f (k k0 )
•关于ε(k)的卷积和
k
f (k ) * (k ) f (i)
差分方程来进行描述。其中微分方程的自变量t是一个连续变量，而差分方程 的自变量k是一个离散变量，且通常只取整数。
一般，差分方程的左端包含的是未知序列y(k)及其移位序列y(k±n)；右 端包含的是激励信号ƒ(k)及其移位序列ƒ(k±m)。差分方程的阶数等于未知序
离散时间系统分析
3）序列表示
0.9, 0.8,0.3,0.1
n0
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
1.3 1.7 1.1 1.9 1.8
例:
试写出其序列形式并画出图形。
解：序列形式
f (k) ,0,0, 1 ,2,4,8,
k 0
k 11.5 k 3 k 2
f (k) f (m) (k m) m
注意：
(t)用面积（强度）表示， (幅度为,但强度为面积) (k)的值就是k=0时的瞬时值（不是面积）
(t)
0
t0 t0
(t)dt 1
U(k)可以看作是无数个出现在不同序号上的单位序列信号之和。
3.单位矩形序列（单位门序列）
1, GN (k) 0,
0 k N 1 k 0, k N
GN (k) U (k) U (k N)
1, GN (k m) 0,
m k N m 1 k m, k N m U (k m) U (k m N)
f (k) (k m) f (m) (k m) f (m)
(t) ：奇异信号，数学抽象函数；
可见，(k)作用类似于(t)，
6.离散时间信号与系统的时域分析
1
1
2
n
n
-1
0
1
6 线性时不变离散系统的时域分析
（2）插值： x(n)
x(n/m), m为正整数。
例如， m=2， x(n/2)，相当于两个点 之间插一个点；以此 类推。通常，插值用
x(n) I倍表示，即插入（I-1）个值。 x(n/2)
6 线性时不变离散系统的时域分析
3.矩形序列
RN (n)
1, RN (n) 0,
0 n N 1 其它n
RN ( n ) u ( n ) u ( n N ) RN (n) (n m) (n) (n 1) n ( N 1)
m 0 N 1
6 线性时不变离散系统的时域分析
4.正弦型序列
x(n) A cos( n 0 )
其中，0 为数字频率。
6 线性时不变离散系统的时域分析
5.实指数序列 a a为实数，当
n
u (n)
a 1 收敛 a 1 发散
实指数序列
6 线性时不变离散系统的时域分析
6.复指数序列
6 线性时不变离散系统的时域分析
6 线性时不变离散系统的时域分析
6.1.1 常用序列
1.单位样值序列 (n)
数字信号处理 第1章 离散时间信号与系统
1 ( n m) 0
nm nm
例如，的波形如图1.6所示，用式(1-11)可表示为
x(n) 1.38 (n 1) 1.93 (n 1) 0.55 (n 2) 0.83 (n 3) 0.55 (n 4)
0.83 (n 5) 0.90 (n 6) 0.60 (n 8)
数字信号处理 3
在数值上有 x(n) xa (nT ) ， n (n为正数)。 离散信号也可以是通过观测得到的一组离散数据，可用集合符号表示，例如：
x(n) 23.1， 22.5，20.8，21.0，21.8
式中，箭号表示离散时间信号的原点位置。离散时间信号除了用集合符号表 示，还可以用公式和图形表示。 1.2.1 常用典型序列 1.单位采样序列(unit sample sequence或 unit impulse sequence) (n)
数字信号处理 8
式(1-10)表示数字域频率可以看作模拟角频率对采样频率的归一化频 率。 6. 复指数序列(complex exponential sequence) x(n) e j n cos(0 n) jsin(0 n) 式中， 0为数字域频率。 ) 如果对所有的n，关系式 x(n) x(n N均成立，且 N为满足关系式的 最小正整数，则定义 x(n) 为周期序列 (periodic sequence) ，其周 期为N。 x(n) A sin(0 n ) 那么 设，
信号与系统PPT 第六章 离散时域分析
由上面几个例子的讨论可见，
设x(n)和h(n)两序列的长度分别是N和M，
线性卷积后的序列长度为
(N+M-1)。
（３）卷积的性质
•交换律、结合律和分配律
1）交换律
x1[n] x2[n] x1[m]x2[n m] m
x2[m]x1[n m] x2[n] x1[n] m
2）结合律
1
Ω 单位 弧度/ 秒 ω 单位 弧度
与之间的关系
连续域的模拟角频率
数字域频率
ω π，
f (t) sin(0t)
x[n] f (nT ) sin(0nT ) sin(n0)
0
0T
0 fs
周期序列
对于任意整数 n ，若 x(n) x(n N) （ N 为某一最小正整数），
则序列 x(n) 是周期序列， N 就是该序列的周期。
若有两个序列 x1n和x2 n,定义和式
x1k x2n k
k
为x1n和x2 n的卷积和，记作1n x2 n
（２）计算方法： 离散线性卷积的计算:图解法、解析法，对位相乘法
•图解法
卷积和的图解过程：换元 反褶 平移 相乘 取和
h[-m]、 h[n-m]、x[m] h[n-m]、 x[m]h[n m] m
xn 4
2
1
2 1 O 1
2n
实验二 离散时间系统分析实验报告
实验二离散时间系统分析实验报告
一、实验目的
1．掌握离散时间信号与系统的时域分析方法。
2．掌握序列傅氏变换的计算机实现方法，利用序列的傅氏变换对离散信号、系统及系统响应进行频域分析。
二、实验原理
1．离散时间系统时域分析
在时域中，离散时间系统对输入信号或者延迟信号进行运算处理，生成具有所需特性的输出信号，具体框图如下:
其输入、输出关系可用以下差分方程描述：
输入信号分解为冲激信号,
记系统单位冲激响应，则系统响应为如下的卷积计算式：
当时，h[n]是有限长度的（）），称系统为FIR系统；反之，称系统为IIR系统。
三、实验内容
1.编制程序求解下列两个系统的单位冲激响应和阶跃响应，并绘出其图形。要求分别用filter、conv、impz三种函数完成。
，
给出理论计算结果和程序计算结果并讨论。
2.求系统
的零、极点和幅度频率响应和相位响应，分析系统特性。
四、实验结果
1、（1）该系统的单位冲激响应用filter函数完成的程序如下：a2=1;
b2=[0 0.25*ones(1,4)];
n=0:9;
x1=[1 zeros(1,9)];
y2filter=filter(b2,a2,x1);
stem(n,y2filter);
title('y2filter');
xlabel('x');
ylabel('y')
该系统的单位冲激响应如图1.1所示：
y2filter
x
图1.1
（2）该系统的单位冲激响应用conv函数完成的程序如下：
a2=1;
b2=[0 0.25*ones(1,4)];
x1=[1 zeros(1,5)];
[h]=impz(b2,a2,5);
离散时间信号和系统的频域分析
离散时间信号和系统的频域分析
离散时间信号与系统是研究数字信号与系统的频域分析，其中离散时
间信号是对连续时间信号进行采样得到的，而离散时间系统是对连续时间
系统进行离散化得到的。频域分析是对信号与系统在频率域上的特性进行
研究和分析。
对于离散时间信号，其离散化的过程是将连续时间信号在时间轴上进
行均匀采样，得到指定的采样间隔，得到离散时间序列。在频域上，其频
谱是周期性的，并且频谱是以单位圆为单位周期的。频域分析的目的是研
究离散时间信号在频率域上的特性，包括频谱范围、频率分辨率、功率谱
密度等。
离散时间信号的频域分析可以通过离散时间傅里叶变换（DTFT）来实现。DTFT是信号在频域上的完全变换，将一个离散时间信号映射到一个
连续的频率域函数。DTFT是一个复数函数，表示信号在不同频率上的振
幅和相位。频谱的振幅可以表示信号在该频率上的能量大小，相位可以表
示信号在该频率上的相对位置。
除了DTFT之外，还可以使用离散傅里叶变换（DFT）进行频域分析。DFT是DTFT的一种计算方法，可以将离散时间信号转换为有限的频域信号。DFT的计算是通过对离散时间信号进行有限长的时间窗口进行采样，
并进行频域变换得到的。DFT的结果是一个离散的频域信号，也称为频谱。DFT通常使用快速傅里叶变换（FFT）算法来快速计算。
离散时间系统的频域分析主要是通过系统的频率响应函数来实现。频
率响应函数是系统在不同频率上对信号的响应情况的描述。对于线性时不
变系统，其频率响应函数是系统的传递函数的傅里叶变换。频率响应函数
拥有类似信号的频谱特性，可以描述系统对不同频率的信号的增益和相位。
信号与系统第五章 离散信号与系统的时域分析
一阶后向差分
f (k) f (k) f (k 1)
二阶后向差分
f (k) 2 f (k) f (k) f (k 1)
《信号与系统》SIGf (Nk)AL2SfA(kND1)SYfS(TkEM2)S
返回
ZB
6. 序列的求和（累加） (对应于连续信号的积分)
k
f1(k) f (n) n
k
f (k)
离散信号与系统的时域分析 信号和系统的整个分析过程都在离散时间域内进行
返回 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS ZB
5.1 离散时间信号
返回
5.1.1 离散时间信号的时域描述
一. 离散时间信号的概念 模拟信号 量化信号 离散信号
数字信号
f (t)
f (t)
f (k)
f (k)
6 5 4 3
各序列的序号自 k 以递减方式给出，称后向(或右移
序) 差分方程。
或写作
n
m
ai y(k i) bj x(k j) m n
说明： i0
j0
1. 差分方程的阶数：输出序列的最高序号与最低序号之 差。 2. 前向差分方程与后向差分方程之间可以相互转换。
3. 要求《解信n号阶与差系分统方》程S，IG需N要AL有S AnN个D独SY立S的TEM初S始条ZB 件 。
dt
第1章 离散时间信号与系统的时域分析
正弦序列（周期为16） 2 1 0 -1 -2 0 5 10 15 20 2 1 0 -1 -2 0 5 10 15 20 正弦序列（周期为11）
正 弦 序 列 （ 周 期 为 11） 2
m
T [ x(m ) (n m )] x(m ) T [ (n m )]
m
m
x(m ) h(n m ) x(n) * h(n)
y( n)
m
x( m )h( n m ) x( n) * h( n) ——离散卷积或线性卷积
4
2．单位阶跃序列u(n)
u (n )
1 u(n) 0
n0 n0
1 … n 0 1 2 3
3．矩形序列
R4 (n )
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1 R N ( n) 0
0 n N 1 n为 其 它
1
n 0 1 2 3
矩形序列(N=4)
5
4．实指数序列
x(n) a n u(n)
a为实数
N
2
（1）当 期序列。
2
2 为整数时，取k=1，x(n)即是周期为 的周
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离散时间信号与系统分析
离散时间信号与系统分析
5-1 下列系统中，表示激励，表示响应。试判断每个激励与响应的关系是否线性的，是否具有非移变性。
（1）（2）
解：
（1）线性性
则
所以系统是线性的。 移变性
则
所以系统是移变系统。
（2）线性性
，
则
所以系统是线性的。 移变性
()x n ()y n 2()()cos()510n y n x n ππ
=+()()n m y n x m =-∞
=∑112()()cos(
)510n y n x n ππ
=+222()()cos()
510n y n x n ππ
=+1122112211222()()[()()]cos(
)()()510
n k x n k x n k x n k x n k y n k y n ππ
+→++=+2()()cos(
)510
n y n x n ππ=+2()'()()cos()()510
n x n m y n x n m y n m ππ
-→=-+≠-11
()()
n
m y n x n =-∞
=
∑22
()()
n
m y n x n =-∞
=
∑11
22
11
2
2[()()]()()
n
m k x n k x n k y n k
y n =-∞
+=+∑
设
则
所以系统是非移变的。
5-2求下列信号的卷积。
（1）
（2）
解：
（1）由卷积的性质可知
（2）
5-3 已知差分方程，激励，初始值，，试用零输入、零状态法求全响应。
()()
n
m y n x n =-∞
=
∑()'()()()()()
n
n k
n k
m p m x n k y n x n k m k p x p x m y n k --=-∞
=-∞
=-∞
-→=
--===-∑∑∑而故[()(4)][()(4)]u n u n u n u n --*--sin()()2()
2n
n u n u n π*[()(4)][()(4)]
[()(1)(2)(3)][()(1)(2)(3)]
()2(1)3(2)4(3)3(4)2(5)(6)
u n u n u n u n n n n n n n n n n n n n n n n δδδδδδδδδδδδδδδ--*--=+-+-+-*+-+-+-=+-+-+-+-+-+-221111
5510510
Z[sin()()*2()]2122n i i
n z z u n u n z z z z i z i
π+-+=⋅=-++---+121111
5510510sin()()2()Z []
2221111
[2()()()]()5510510
n n n n i i
n u n u n Z Z i Z i
i i i i u n π
-+-+*=-+--+=⋅-++-+-()3(1)2(2)()y n y n y n f n +-+-=()2()n
f n u n =(0)0y =(1)2y =()y n
解：
①求零输入响应。系统的特征方程为，故特征根为，，故零输入响应的通解。待定系数，必须根据系统的起始条件来求，而不能根据初始值，来求。又因为激励是在时刻作用于系统。故起始条件应为，。下面求，。
取代入原差分方程有
即
故得
取代入原差分方程有
即
故得
。
将所求得的，值代入通解中，有
联立求解，得，，故零输入响应为
②差分方程的转移算子为
()zir
y n 2
320p p ++=1
1p =-2
2p =-1
2
()(1)(2)k
k
zrs
y n A A =-+-1A 2
A (0)0y =(1)2y =()f n 0n =(1)y -(2)y -(1)y -(2)y -1n =(1)3(0)2(1)2y y y ++-=202(1)2y ++-=(1)0y -=0n =(0)3(1)2(2)1y y y +-+-=002(2)1y ++-=1
(2)2
y -=
(1)y -(2)y -12121
(1)0211
(2)42zir zir y A A y A A -=--
=-=+=
1
1A =2
2A =-()(1)2(2)(0)
k
k
zir
y n k =---≥
故单位取样响应为
③零状态响应为
④全响应为，即
5-4用经典法求解差分方程的全响应。
（1），，；
（2），，。
解：
（1） 初始条件：
由方程知
，
即
，。
齐次解为
21221
()13232(1)(2)
122()1212
P P
H P P
P P P P P P P P P P P P P --===++++++--=+=+
++++()[(1)2(2)]()
n n h n u n =--+-()()()2[(1)2(2)]
2[(1)]22(2)11
(1)2(2)(0)
33
n n n zsr n n n n n n n
y n f n h n n =*=*--+-=*--+*-=--++-≥()()()zir
zsr y n y
n y n =+21
()(1)2(2)(0)
33
n n n
y n n =-+--≥()5(1)6(2)()y n y n y n u n --+-=(1)3y -=(2)5y -=()3(1)2(2)()3(1)y n y n y n u n u n --+-=+-(0)1y =(1)1y =(0)5(1)6(2)11530114y y y =---+=-+=-(1)5(0)6(1)17018187y y y =--+=--+=-2
560αα-+=12
α=2
3α=