高等几何 精品 课件
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高等几何课件
3. 等价关系 定义1.4 设f 为集合A到自身的一个关系. 如果 (1) 若aA, 都有(a,a)f, 则称f 为自反的, 或称f 具有反身性. (2) 若(a,b)f, 就必有(b,a)f, 则称f 为对称的, 或称f 具有对称 性. (3) 若(a,b)f且(b,c)f, 就必有(a,c)f, 则称f 为传递的, 或称f 具 有传递性. 若f 同时满足上述3条, 则称f 为A上的一个等价关系. A上的一个等价关系必将A的元素分成等价类.
换的定义有
| AB | | BC || AC | | A' B'| | B'C'|| A'C'| .
即A', B', C'仍然为共线三点且B'在A', C'之间. 若A, B, C不共线, 则必有
| AB | | BC || AC | | AB | | BC || AC |
| A' B ' | | B 'C ' || A'C ' | | A' B ' | | B 'C ' || A'C ' |
A
a11 a21
a12
a22
称为的矩阵, 满足AAT=ATA=E, 为二阶正交矩阵.
注1：对于正交变换的矩阵A, 显然有A1=AT, 且|A|=1.
当|A|=1时, 将右手系变为右手系, 称为第一类正交变换；
当|A|= 1时, 将右手系变为左手系, 称为第二类正交变换.
注2：正交变换(1.1)在形式上与平面解析几何中的直角坐标变
(2) 正交变换使得平行直线变为平行直线, 矩形变为与之全等 的矩形.
§ 1.1 引 论
换的定义有
| AB | | BC || AC | | A' B'| | B'C'|| A'C'| .
即A', B', C'仍然为共线三点且B'在A', C'之间. 若A, B, C不共线, 则必有
| AB | | BC || AC | | AB | | BC || AC |
| A' B ' | | B 'C ' || A'C ' | | A' B ' | | B 'C ' || A'C ' |
A
a11 a21
a12
a22
称为的矩阵, 满足AAT=ATA=E, 为二阶正交矩阵.
注1：对于正交变换的矩阵A, 显然有A1=AT, 且|A|=1.
当|A|=1时, 将右手系变为右手系, 称为第一类正交变换；
当|A|= 1时, 将右手系变为左手系, 称为第二类正交变换.
注2：正交变换(1.1)在形式上与平面解析几何中的直角坐标变
(2) 正交变换使得平行直线变为平行直线, 矩形变为与之全等 的矩形.
§ 1.1 引 论
大学高等几何课件
空间几何体的分类
多面体、旋转体、组合体等。
空间几何体的性质
体积、表面积、重心等。
平面几何与立体几何的关系
平面几何是立体几何的基础
01
立体几何中的许多概念和性质都可以从平面几何中推广而来。
空间几何体的投影
02
通过投影将三维空间中的几何体投影到二维平面上，从而将三
维问题转化为平面问题。
空间几何体的展开
数形结合的思想方法
数形结合
在高等几何中，数和形是密不可分的，通过数形结合可以将几何问 题转化为代数问题，或者将代数问题转化为几何问题。
代数方法
利用代数方法研究几何问题，如线性代数中的矩阵和向量等，可以 更深入地研究几何图形的性质和关系。
几何直观
通过几何直观来理解代数概念和性质，使得代数问题更加直观易懂。
05
CATALOGUE
高等几何中的数学思想与方法
抽象思维与具体表达的结合
1 2
抽象思维
高等几何中，点、线、面等基本元素不再是具体 的实物，而是通过抽象思维来定义和理解。
具体表达
高等几何中，通过几何图形、图像等方式将抽象 的数学概念具体化，便于理解和应用。
3
结合应用
抽象思维与具体表达的结合，使得高等几何能够 更深入地探索和研究几何学中的本质和规律。
差异性
然而，射影几何和仿射几何也存在差异性。例如，在射影空 间中，无穷远点是重要的元素，而在仿射空间中则不重要。 此外，射影变换通常会改变图形的形状和大小，而仿射变换 则不会。
04
CATALOGUE
欧式几何与非欧式几何
欧式几何的基本概念
欧式几何
基于平面的二维空间，研究点 、线、面及其性质和关系。
不同空间结构
多面体、旋转体、组合体等。
空间几何体的性质
体积、表面积、重心等。
平面几何与立体几何的关系
平面几何是立体几何的基础
01
立体几何中的许多概念和性质都可以从平面几何中推广而来。
空间几何体的投影
02
通过投影将三维空间中的几何体投影到二维平面上，从而将三
维问题转化为平面问题。
空间几何体的展开
数形结合的思想方法
数形结合
在高等几何中，数和形是密不可分的，通过数形结合可以将几何问 题转化为代数问题，或者将代数问题转化为几何问题。
代数方法
利用代数方法研究几何问题，如线性代数中的矩阵和向量等，可以 更深入地研究几何图形的性质和关系。
几何直观
通过几何直观来理解代数概念和性质，使得代数问题更加直观易懂。
05
CATALOGUE
高等几何中的数学思想与方法
抽象思维与具体表达的结合
1 2
抽象思维
高等几何中，点、线、面等基本元素不再是具体 的实物，而是通过抽象思维来定义和理解。
具体表达
高等几何中，通过几何图形、图像等方式将抽象 的数学概念具体化，便于理解和应用。
3
结合应用
抽象思维与具体表达的结合，使得高等几何能够 更深入地探索和研究几何学中的本质和规律。
差异性
然而，射影几何和仿射几何也存在差异性。例如，在射影空 间中，无穷远点是重要的元素，而在仿射空间中则不重要。 此外，射影变换通常会改变图形的形状和大小，而仿射变换 则不会。
04
CATALOGUE
欧式几何与非欧式几何
欧式几何的基本概念
欧式几何
基于平面的二维空间，研究点 、线、面及其性质和关系。
不同空间结构
大学高等几何课件第五讲
： ∆ 切 切 边 点 证 例题 设 ABC内 圆 三 BC, CA, AB于 D, E, F, 求 : D(CA, EF) = −1. 其 D(CA, EF)表 以 为 束 心 四 直 DC, DA, DE, 中 示 D 线 中 的 条 线 DF的 比 交 .
： 点 BC 平 线 交 G DF H 证明 过 A作 的 行 ， DE于 , 交 于 , 则 ∠ = ∠2 = ∠3 = ∠4. 1 故 = AE,同 , 有 AG 理 AH = AF. 由 AE = AF, 故 = AH,即 是 段 的 点 P 表 于 以 AG A 线 GH 中 . ∞ BC HG 交 ， 直 GH 线 ， 示 与 的 点 用 线 截 束 得 D(CA, EF) = (P A, GH), ∞ HA 但 P A, GH) = (HG, AP ) = (HGA) = ( ∞ = −1 , ∞ GA 故 (CA, EF) = −1. D
二、线束的交比 设 a,b,c,d为 一线 中 束 的四 直 ， a和 作 条 线 取 b 为基 ， 它们 线 把 的 齐 坐 依 次 标 次表 a, b, c = a + λ1b, d = a + λ2b(a, b既 表 线 又 为 代 直 ， 代 表 线 坐 直 的 标向 ). 量 设 直 s截 一 线 此四 于 A, B, C, D,则 线 点 这四 的 点 坐标 次 顺 为 a× s, b× s, c× s = a× s + λ1(b× s), ( AB, CD) = d × s = a× s + λ2 (b× s). 故四 的 比为 点 交
一维射影几何学 : 和线束 一维基本图形 点列 : 射影变换的不变量交比 一、点列的交比 设射影 平面上 A的 点 齐次坐 标为a = (a1, a2 , a3 ),点B的齐次 坐标 为b = (b1, b2 , b3 ), 则 X在 连 点 AB 线上⇔∃λ, µ ∈R, 使点 的齐 X 次坐 标 x = (x1, x2 , x3 )可 表为x = λa + µb. 对 偶地 设 , 直线l的坐标 a = (a1, a2 , a3 ), 直线 的线坐 为 m 标为b = (b1, b2 , b3 ), 则 直线l与m重 ⇔矢量 与b线性相 . 直线 与 相 合 a 关 l m 异 ⇔矢量 与 线 a b 性无 . 关
大学高等几何课件第一讲
1.3 仿射不变性与不变量 定理1 间的平行性是 仿射不变 . 性 定理1.1 两条直线 射不变 形；梯 图 形是 仿射不变 形 图 . 推论 平行四边形是仿 述 定义1 , ( 定义1.1 设A,B,C为共线三点 这三点的简比 ABC)定义为下 有向线段 的比 ： AC . BC C在 线段AB上 ,简 ( ABC) < 0, C在 的延长线上 , ( ABC) > 0. 时 比 AB 时 ( ABC) = 在 解析 几何中讲过 线段 定比 的 分割 若点 分割线段 的分割比 , C AB 记 λ,则 为 AC AC λ= =− = −( ABC). CB BC 所 以简 ( ABC)等于点 分割线段 的 比 C AB 分割 比的相反数 .
例如 ，人眼 O处 在 观察水 平面 上的矩 ABCD时 形 ， 从O到矩 形的各 点连线 形成一个 投影棱 。若在 眼 锥 人 和矩 形之间 插入一 个平面 ，该平 面截棱 锥所得四边 形 A′B′C′D′即为 矩形ABCD的截 影。 但直观 上看 截影 ， 和 原矩 形既不 全等 ，又不相似， 那么 截影与 原形究竟 有 何关 系呢？ 这正 是阿尔贝 蒂苦 苦思索 而未 找到答案 的 问题 。 阿 尔贝 蒂还思 考了 以下问题 ：同一 原形的 不同截 影之 间究竟 有何关 ？ 系 这 些问 题成为 研究 射影几何 的出发 。 点
2. 平 π 到平 π ′的 行 影 透 仿 T 面 面 平 பைடு நூலகம் 或 视 射 平行 射影 的方 l要 既 与π 平 又 与 向 求 不 行 不 注： π′ 平行射影方向改变了 就得出另外的从π到π′ . , 的透 视仿 . 射
⇒(i)透 视仿射 保留同 素性(即几 何元素 点与线 保持原 先的种 ). 类 即: 两平面 间的 平行射 影将一 平面上 的点映 射为第 二平面 上的 , 点 将一平 面上的 直线映 第 为 二平面 上的直 . 线 ⇒(ii)透 . 视仿射 保留结 合性 ( 果这两 直线与 直线间 的透视 射有 仿 一个自 对应点 如 条直线 相 , 两平面 , 交线g 交).同 , 在平面 样 到平面 的透视 射下 若 仿 相交 则 为 自对应 点的轨 , 称为 迹 对应轴 对 , 应直线 与 ′或相 a a 交于轴 , 上 或都 与轴平 . 行 平面的 仿射是 有限 由 回的平 行射影 组成的 即仿 , 射是 ⇒平面到 透视仿 射链 .
2017年《高等几何》教学课件
影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个双射!
§1.1 拓广平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
: l l'
2、平面到平面的中心射影
定义1.2
: '
}
均不是双射
中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线
存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点
如何使得中心射影成为一个双射？
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的方法 综合法
给定公理系统(一套相互独立、 无矛盾、完备的命题系统)，演 绎出全部内容 形、数结合，利用代数、分析 的方法研究问题 以解析法为主，兼用综合法
解析法 本课程
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的
• 学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换 知识，接受变换群思想 • 训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养 • 新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何和其他 学科，提高观点，加深理解，举一反三
区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P
约定1.1 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体 无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞ 区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l 总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为双射.
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
: l l'
O投射中心(O l l ') OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像 因此 ，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影 三个特殊的点： X=l×l' 自对应点(不变点) OU//l', 与l'不相交， U为l上的影消点 OV'//l, 与l不相交， V'为l'上的影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射!
§1.1 拓广平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
: l l'
2、平面到平面的中心射影
定义1.2
: '
}
均不是双射
中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线
存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点
如何使得中心射影成为一个双射？
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的方法 综合法
给定公理系统(一套相互独立、 无矛盾、完备的命题系统)，演 绎出全部内容 形、数结合，利用代数、分析 的方法研究问题 以解析法为主，兼用综合法
解析法 本课程
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的
• 学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换 知识，接受变换群思想 • 训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养 • 新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何和其他 学科，提高观点，加深理解，举一反三
区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P
约定1.1 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体 无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞ 区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l 总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为双射.
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
: l l'
O投射中心(O l l ') OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像 因此 ，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影 三个特殊的点： X=l×l' 自对应点(不变点) OU//l', 与l'不相交， U为l上的影消点 OV'//l, 与l不相交， V'为l'上的影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射!
大学高等几何课件第二讲
x2 y2 例 . 求 圆 2 + 2 =1的 积 题 椭 面 。 a b
′ b x = x 2 2 ： 取 射 换 椭 变 圆 2 解 选 仿 变 a 将 圆 成 x′ + y′ = b . y′ = y S椭圆 S∆OAB 因 面 之 是 射 变 ， 为 积 比 仿 不 量 故 = , S圆 S∆OA′B ab 所 S椭圆 = 2 ⋅πb2 = π ab. 以 b
推论1 仿 变 下 何 对 应 边 面 之 等 推论1 在 射 换 , 任 一 对 多 形 积 比 于 数换 话 , 任 两 多 形 积 比 仿 不 常 . 句 说 意 个 边 面 之 是 射 变 量 . 推论2 仿 变 下 意 条 闭 曲 所 成 面 推论2 在 射 换 , 任 两 封 凸 线 围 的 积 比 仿 不 量 之 是 射 变 .
α1 β1
α2 a1 − a0 = b − b0 β2 1
a2 − a0 b2 − b0
≠ 0.
最 一 等 不 于 是 为 共 的 点 后 个 式 等 零 因 不 线 三 ′ 不 线 O, E , E2的 O′, E′, E2也 共 。 像 1 1
射 换 特 仿 变 的 例 x′ = ax, 1. 位 变 (a ≠ 0) 似 换 y′ = ay x′ = x, 2. x轴 的 匀 缩 换 (a > 0). 上 均 伸 变 y′ = ay 当 =1 为 等 换 a 时 恒 变 . x′ = x, 过 缩 换 例 ， x2 + y2 = a2经 伸 变 如 圆 b (a > 0, b > 0)后 y′ = a y, x′2 y′2 变 椭 为 圆 2 + 2 =1. a b 3. 运 变 （ 移 旋 或 移 旋 的 统 为 动 动 换 平 ， 转 平 与 转 积 称 运 ） x′ = x cosθ − y sinθ +α0 y′ = x sinθ + y cosθ + β0 x′ = x 4. 关 x轴 反 于 的 射 y′ = −y
大学高等几何课件第七讲
例如: 例如: 最 单 最 价 的 全 面 图 由 个 共 的 和 简 且 有 值 完 平 构 是 三 不 线 点 它 们 连 所 成 完 三 形 及 三 不 点 直 和 们 的 线 构 的 全 点 以 由 条 共 的 线 它 的 交 所 成 完 三 形 在 一 这 图 中 有 11 = 3个 和 点 构 的 全 线 . 每 个 种 形 都 a 点 a22 = 3条 线 及 每 点 有 12 = 2条 线 在 一 直 上 直 以 在 一 上 a 直 , 每 条 线 有 3 a21 = 2个 , 其 示 阵 点 表 矩 为 2 2 . 3
两 三 形 三 对 的 点 线 三 对 点 对偶定理: 设 个 角 中 双 边 交 共 ,则 对 顶 的 线 点 联 共 . 德 格 理 其 偶 理 射 几 中 有 其 要 地 .它 萨 定 及 对 定 在 影 何 占 极 重 的 位 表 述 两 三 (线 形 于 视 态 的 何 征 利 射 的 点 把 了 个 点 ) 处 透 状 下 几 特 ; 用 影 观 可 德 格 理 其 偶 理 造 各 不 形 的 等 何 理 萨 定 及 对 定 改 成 种 同 式 初 几 定 .
比 这 式得 较 三 , R = αA− βB = −(α′A′ − β′B′), P = βB −γC = −(β′B′ −γ ′ ′), C Q = γC −αA = −(γ ′ ′ −α′A′). C
从 1)式 A− βB = −(α′A′ − β′B′)左 观 , 它 表 点 和 联 上 一 ; ( α 端 之 代 两 A B 线 的 点 从 端 之 它 表 点 ′和 ′联 上 一 , 所 它 表 和 ′B′的 点 右 观 , 代 两 A B 线 的 点 以 代 AB A 交 R. 其 类 . 余 推 由 三 P, Q, R的 标 量 有 显 线 相 式: 于 点 坐 矢 间 明 的 性 关 P + Q + R = 0, 故 , Q, R三 共 . P 点 线 证 既 用 两 三 形 面 场 , 适 于 们 共 的 注: 此 法 适 于 个 角 共 的 合 也 用 它 不 面 场 . 合
高中数学立体几何PPT课件
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story 讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
目录
跟踪训练
1．以下命题：
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
目录
解析：选 B.命题①错，因为这条边若是直角三角形的 斜边，则得不到圆锥．命题②错，因这一腰必须是垂 直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于 圆锥底面的平面截圆锥才行．
目录
2．正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形、 内切圆半径、外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角 形中解决． 3．圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一特点，弄 清旋转轴、旋转面、轴截面． 4．对于三视图一般从两个方面考查 (1)由实物图画三视图或判断选择三视图，此时需要注意“长 对正、高平齐、宽相等”的原则； (2)由三视图还原实物图，这一题型综合性较强，解题时首先 对柱、锥、台、球的三视图要熟悉，再复杂的几何体也是由 这些简单的几何体组合而成的；其次，要明确三视图的形成 原理，并能结合空间想象将三视图还原为实物图．
建立如图所示的坐标系 xOy′，△A′B′C′的顶点 C′在 y′轴上，A′B′边在 x 轴上，OC 为△ABC 的高．
目录
把 y′轴绕原点逆时针旋转 45°得 y 轴，则点 C′变为点 C， 且 OC＝2OC′，A、B 点即为 A′、B′点，长度不变． 已知 A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得 sin∠OOCA′′C′＝As′in4C5′°， 所以 OC′＝ssiinn14250°°a＝ 26a， 所以原三角形 ABC 的高 OC＝ 6a， 所以 S△ABC＝12×a× 6a＝ 26a2.
目录
跟踪训练
1．以下命题：
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
目录
解析：选 B.命题①错，因为这条边若是直角三角形的 斜边，则得不到圆锥．命题②错，因这一腰必须是垂 直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于 圆锥底面的平面截圆锥才行．
目录
2．正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形、 内切圆半径、外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角 形中解决． 3．圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一特点，弄 清旋转轴、旋转面、轴截面． 4．对于三视图一般从两个方面考查 (1)由实物图画三视图或判断选择三视图，此时需要注意“长 对正、高平齐、宽相等”的原则； (2)由三视图还原实物图，这一题型综合性较强，解题时首先 对柱、锥、台、球的三视图要熟悉，再复杂的几何体也是由 这些简单的几何体组合而成的；其次，要明确三视图的形成 原理，并能结合空间想象将三视图还原为实物图．
建立如图所示的坐标系 xOy′，△A′B′C′的顶点 C′在 y′轴上，A′B′边在 x 轴上，OC 为△ABC 的高．
目录
把 y′轴绕原点逆时针旋转 45°得 y 轴，则点 C′变为点 C， 且 OC＝2OC′，A、B 点即为 A′、B′点，长度不变． 已知 A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得 sin∠OOCA′′C′＝As′in4C5′°， 所以 OC′＝ssiinn14250°°a＝ 26a， 所以原三角形 ABC 的高 OC＝ 6a， 所以 S△ABC＝12×a× 6a＝ 26a2.
高等几何第一章PPT课件
教材分析
本章地位
从透视仿射（平行射影）引入仿 射不变性与仿射不变量，为拓广 欧氏平面作准备。
本章内容
定义透视仿射，学习仿射不变性与 仿射不变量，证明平面仿射几何基 本定理，引入仿射变换的代数表示。 将注意力集中在仿射变换及其特 征上，学习用综合法、代数法证 明几何命题的方法。
3
学习注意
高等几何──朱维宗
y
OPPP2 OPPP2. 1 1
P( x, y)
P2பைடு நூலகம்
B T 3 ( B) B T ( B )
19
高等几何──朱维宗
1.4平面内的一般仿射
1.本节主目的
在1.3中，我们知道一条对应轴和一对对应点完全 确定平面内的一个透视放射变换。当每一个透视 仿射确定时，就确定了由它们所组成的放射变换。 但这种确定的方法必须先知道组成放射变换的透 视仿射的个数及每一个透视仿射的自对应轴。因 而受到限制。实际上不能依靠这样的方法。怎么 去确定一个仿射变换呢？这就是本节所要解决的。
7
高等几何──朱维宗
1.2仿射不变性与不变量
2.重要结论例讲
(1)定理1.4.一直线上任两线段之比是仿射不变量(Ex1.11)
A [证]设 A、B、C、D是直线a上任意四点， 、B、C 、D 是其仿射象，则
AB AB BD AB BD CD BD CD DB CD 简比是仿射量 AB BD AB . DB C D C D
T 1 T2 Tn1
T Tn1 T2T1 , k k1k2 kn1
则SAn BnCn kSABC
或 SAn BnCn SABC k
13
高等几何──朱维宗
推论1：在仿射变换下，任意一对对应多边形面积 之比是常量。
本章地位
从透视仿射（平行射影）引入仿 射不变性与仿射不变量，为拓广 欧氏平面作准备。
本章内容
定义透视仿射，学习仿射不变性与 仿射不变量，证明平面仿射几何基 本定理，引入仿射变换的代数表示。 将注意力集中在仿射变换及其特 征上，学习用综合法、代数法证 明几何命题的方法。
3
学习注意
高等几何──朱维宗
y
OPPP2 OPPP2. 1 1
P( x, y)
P2பைடு நூலகம்
B T 3 ( B) B T ( B )
19
高等几何──朱维宗
1.4平面内的一般仿射
1.本节主目的
在1.3中，我们知道一条对应轴和一对对应点完全 确定平面内的一个透视放射变换。当每一个透视 仿射确定时，就确定了由它们所组成的放射变换。 但这种确定的方法必须先知道组成放射变换的透 视仿射的个数及每一个透视仿射的自对应轴。因 而受到限制。实际上不能依靠这样的方法。怎么 去确定一个仿射变换呢？这就是本节所要解决的。
7
高等几何──朱维宗
1.2仿射不变性与不变量
2.重要结论例讲
(1)定理1.4.一直线上任两线段之比是仿射不变量(Ex1.11)
A [证]设 A、B、C、D是直线a上任意四点， 、B、C 、D 是其仿射象，则
AB AB BD AB BD CD BD CD DB CD 简比是仿射量 AB BD AB . DB C D C D
T 1 T2 Tn1
T Tn1 T2T1 , k k1k2 kn1
则SAn BnCn kSABC
或 SAn BnCn SABC k
13
高等几何──朱维宗
推论1：在仿射变换下，任意一对对应多边形面积 之比是常量。
大学高等几何课件第四讲
由 可 , 用 量 示 则 线 ,即 ⋅ x = 0和 线 ,即 ⋅ x = 0 此 见 矢 表 , 直 a a 直 b b 的 点 标 交 坐 为 x = a×b. 以 讲 是 上 的 点坐标 面 绍 点坐标下 介 线坐标 , .
直 线 a : a1x1 + a2 x2 + a3x3 = 0 由 的 数 a1, a2 , a3 ]决 (线 标 方 号 ]表 ), 并 [λa1, λa2 , λa3 ] 它 系 [ 定 坐 用 括 [ 示 且 (λ ≠ 0)和 a1, a2 , a3 ]代 同 直 . [ 表 一 线 我 把 全 零 三 数 们 不 为 的 个 u1, u2 , u3称 直 为 线 u ⋅ x = u1x1 + u2 x2 + u3x3 = 0 的 坐 , 矢 λu(λ ≠ 0)和 量 代 同 条 线 而 论 子 (≠ 0)为 线 标 量 矢 u 表 一 直 , 不 因 λ 何 , 线 标1 0,0],[0,1 0],[0,0,1]分 表 y轴 x轴 无 远 线 值 坐 [, , 别 示 , 和 穷 直 . 两 a(a1, a2 , a3 ), b(b , b2 , b3 )联 的 程 写 点 线 方 可 为 1 x1 x2 a1 a2 x3 a3 = 0,即 a2b3 − a3b2 )x1 + (a3b − a1b3 )x2 + (a1b2 − a2b )x3 = 0, ( 1 1
2 a11x1 + 2a12x1x2 + a22x2 + 2a13x1x3 + 2a23x2 x3 + a33x3 = 0. 2 2
它 x1, x2 , x3的 次 次 . 是 二 齐 式 斜 为 的 线 = kx + b的 次 程 x2 = kx + bx3, 和 穷 率 k 直 y 齐 方 为 无 1 远 线 3 = 0联 求 得 点 标 x1 : x2 : x3 =1: k : 0.故 直 x 立 解 交 坐 为 斜 率 k的 线 的 穷 点 (1 k,0). 为 直 上 无 远 是 ,
高等代数与解析几何-第八章完整ppt课件
2
x2
z
,
消 去 z得 投 影 柱 面 x2y2 1,
在 xoy面上的投影为
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由 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
得上、下半球面的方程分别是：
zz0 R2(xx0)2(yy0)2
zz0 R2(xx0)2(yy0)2
由上述方程可得球面的一般式方程为：
x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0
+
y2 b2
z2 c2
= 0 (a>0, b>0, c>0)
z
x = 0, y = 0,
y2 b2
z2 c2
=
0,
x2 a2
z2 c2
=
0,
y
=
bz c
x = az c
Oy x
z = 0, z = h,
x2 a2
+
y2 b2
=
0
x2 a2
+
y2 b2
=
h2 c2
当h 0 时，该交线是椭圆；
当h = 0 时，该交线是原点。 .
§8.1 曲面的方程
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨 迹．
曲面方程的定义：
如 果 曲 面 S 与 三 元 方 程 F ( x , y , z ) 0 有 下 述 关 系 ：
（ 1 ） 曲 面 S上 任 一 点 的 坐 标 都 满 足 方 程 ； （ 2 ） 不 在 曲 面 S上 的 点 的 坐 标 都 不 满 足 方 程 ；
大学高等几何课件第四讲
同样, 在平面上, 我们把非齐次的笛卡尔坐标( x, y )推广为齐次笛 卡尔坐标( x1 , x2 , x3 ), 使 x1 x2 x , y , x3 0. x3 x3 并规定对于任何 ( 0), ( x1 , x2 , x3 ) (x1 , x2 , x3 )和( x1 , x2 , x3 )代表 平面上的同一个点.当x3 0, 而x1 , x2不同时为零时, ( x1 , x2 ,0)代表以x1 , x2为方向参数的直线上的无穷远点. (0,0,0)不代表任何点. (1,0,0)代表 x轴上的无穷远点, (0,1,0)代表y轴上的无穷远点, (0,0,1)代表原点. 一点为无穷远点的特征是x3 0, 所以x3 0取作无穷远直线的方 程. 按射影的观点, x3 0跟其它的点没有区别.
由此可见, 用矢量表示, 则直线a, 即a x 0和直线b, 即b x 0 的交点坐标为 x a b. 以上讲的是点坐标, 下面介绍线坐标.
直线 a : a1 x1 a2 x2 a3 x3 0 ( 0)和[a1 , a2 , a3 ]代表同一直线. 我们把不全为零的三个数 u1 , u2 , u3称为直线 u x u1 x1 u2 x2 u3 x3 0 何值, 线坐标[1,0,0], [0,1,0], [0,0,1]分别表示y轴, x轴和无穷远直线. 两点a (a1 , a2 , a3 ), b(b1 , b2 , b3 )联线的方程可写为 x1 x2 a1 a2 b1 b2 x3 a3 0, 即(a2b3 a3b2 ) x1 (a3b1 a1b3 ) x2 (a1b2 a2b1 ) x3 0, b3
2.2
齐次坐标 点和直线的概念已经拓广,描述点和直线的代数表示也应作
大学高等几何课件第六讲
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Байду номын сангаас
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大一解析几何课件ppt
两点式方程
表示两点之间的直线方程，形式 为$frac{x-x_1}{x_2-
x_1}=frac{y-y_1}{y_2y_1}=frac{z-z_1}{z_2-z_1}$。
空间中平面与球面方程
平面方程
表示平面上所有点的坐标满足的 方程，形式为 $Ax+By+Cz+D=0$。
球面方程
表示球面上所有点的坐标满足的 方程，形式为$(x-a)^2+(yb)^2+(z-c)^2=R^2$。
上的向量即为这两个向量的和。
向量的模
向量的模表示向量的大小，记作|a|，计算 公式为$sqrt{a_1^2 + a_2^2 + cdots +
a_n^2}$。
数乘
数乘是指用一个实数乘以一个向量，结果 仍为同一向量类型的向量。数乘满足结合 律和分配律。
向量的积
向量的积分为点乘和叉乘两种，点乘结果 为标量，叉乘结果为向量。点乘满足交换 律和分配律，叉乘满足结合律。
矩阵及其运算
矩阵的加法
矩阵的加法是指对应元素相 加，得到的结果仍为一个矩 阵。
数乘矩阵
数乘矩阵是指用一个实数乘 以一个矩阵，结果仍为一个 矩阵。数乘矩阵满足结合律 和分配律。
矩阵的乘法
矩阵的乘法需要满足一定的 条件，即左矩阵的列数等于 右矩阵的行数。矩阵的乘法 不满足交换律和结合律。
转置矩阵
转置矩阵是指将矩阵的行列 互换得到的新矩阵。转置矩 阵满足$A^T = (A^T)^T$ 和$A^T B = B^T A$。
05
解析几何的应用
解析几何在物理学中的应用
解析几何在物理学的应用非常广泛，特别是在经典力学和电 磁学中。通过解析几何的方法，我们可以更好地理解和描述 物理现象，例如在研究物体的运动轨迹、速度和加速度时， 解析几何提供了重要的数学工具。
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§ 1.1 引 论
一、对应与变换
2. 关系的乘积(复合) 定义1.3 设有关系f : AB和 g: BC. 则由此可确定一个A到 C的关系h, 称h 为f 与g的乘积. 记作g◦f , 即 h g f : A C.
注：关的乘法满足结合律, 但是一般不满足交换律.
§ 1.1 引 论
§ 1.1 引 论
一、对应与变换 二、正交变换
坐标系运动而点和图形不动 平面上的点、图形均不改变其 位置, 但是随着坐标系的变动而取 得不同的坐标, 或得到不同的描述, 研究其间的关系. 在平面上点的集合上给定某种 双射(一一变换)f , 研究点以及由点 构成的图形与它们在f 下的像之间 的关系. 点和图形运动而坐标系不动
仿射不变性
研究图形的
仿射变换不变性的科学
比如——平行性、两平行 线段的比等等
射影几何
中心射影 透视变换 射影变换
有限次中心射影的结果
射影几何 射影不变性
研究图形的 射影变换不变性的科学 比如——几条直线共点、 几个点共线等等
射影变换将彻底改变我们原有的几何 空间观念！
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的方法 综合法
高 等 几 何
(国家精品课程) • 主讲教师：周兴和 (南京师大数学与计算机科学学院 教授) (江苏省教学名师) • 教材：周兴和, 《高等几何》, 科学出版社 (江苏省精品教材, ―十一五”国家规划教材) • 参考书：见教材中所列：“参考书目”
课 程 概 论
一、高等几何的内容
高等几何 数学类专业主干基础课课程之一
大力提倡：独立思考+交流讨论 注意2：把好入门关, 牢固掌握基本概念, 反复思考, 认真体会 线性代数+―齐次性”
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
1. 集合之间的关系 定义1.1 集合A, B的笛卡儿积: A B {(a, b) | a A, b B}. 理解集合的途径之一——Venn图
数学分析 实变函数
前三高
高等代数
高等几何
后三高
近世代数
点集拓扑
综合大学：空间解几＋仿射几何、射影几何, 一个学期 射影几何 高等几何 几何基础 …… 本课程 主要介绍平面射 影几何知识(教材 前四章)
课 程 概 论
一、高等几何的内容
什么是射影几何？
直观描述
鸟瞰下列几何学
欧氏几何
仿射几何
射影几何
其中(x, y)与(x', y')为的任一对对应点P, P'的坐标, 矩阵 a11 a12 T T A 称为的矩阵, 满足AA =A A=E, 为二阶正交矩阵. a21 a22 注1：对于正交变换的矩阵A, 显然有A1=AT, 且|A|=1. 当|A|=1时, 将右手系变为右手系, 称为第一类正交变换； 当|A|= 1时, 将右手系变为左手系, 称为第二类正交变换. 注2：正交变换(1.1)在形式上与平面解析几何中的直角坐标变 换式完全相同. 按相对运动观点, 坐标变换也是正交变换.
x ' a11 x a12 y a13 y ' a21 x a22 y a23 或 x' a11 a y ' 21 a12 x a13 . a22 y a23 (1.1)
一、对应与变换
3. 等价关系 定义1.4 设f 为集合A到自身的一个关系. 如果 (1) 若aA, 都有(a,a)f, 则称f 为自反的, 或称f 具有反身性. (2) 若(a,b)f, 就必有(b,a)f, 则称f 为对称的, 或称f 具有对称 性. (3) 若(a,b)f且(b,c)f, 就必有(a,c)f, 则称f 为传递的, 或称f 具 有传递性. 若f 同时满足上述3条, 则称f 为A上的一个等价关系. A上的一个等价关系必将A的元素分成等价类.
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
6. 归纳 定义1.10 设f 为定义于集合A上的某种一一变换. 若存在aA, 满足f(a)=a, 则称a为f 的一个不变元素. 设P为集合A中的元素或子集所带有的某种性质(或数量), 若 变换f 能够保持P不变, 则称P为变换f 的一个不变性质(或数量). f 的不变性质和数量统称为f 的不变性. 归纳：高等几何将用几何变换的观点讨论问题, 主要是研究 几何空间中的图形在某种双射(一一变换)下的不变性. 类似于代 数中对同构的讨论.
§ 1.1 引 论
二、正交变换
1. 正交变换 定理1.3 正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三 点变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变. 证明 设A, B, C为平面上三点, 为正交变换, 且上述三点在 下的像依次为A', B', C'. 若A, B, C共线且B在A, C之间, 则有|AB|+|BC|=|AC|. 由正交变 换的定义有
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
4. 集合之间的对应(函数、映射) 定义1.5 设f : AB为一个关系. 如果对于集合A中的每一个元 素, f 都唯一地指定集合B中的一个元素与之配对, 则称f 为从集合 A到B的一个对应(或映射, 函数).在f 下A中的元素a对应于B中的 元素b的事实常记为 f : a b 或者 f (a) b.
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的
代数角度
几何角度 三维线性空间的商空 间上的几何学 亏格为零不可定向的 闭曲面上的几何学 其他课程无可 替代的数学思 想与方法
本课程
四、计划及注意点
计划：周学时3-5, 一个学期, 第1～第4章; (第5章：自学阅读材料) 真正的大学课程教学模式
全体有序偶(配对) (a,b) 的集合. 特别 地, AA=A2. 定义1.2 集合A到B的一个关系:
R A B.
为集合AB的一个子集.
A B
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
1. 集合之间的关系 定义1.2' (通俗的定义)设A, B为两个集合, f 是一种将A的元素 与B的元素配对的法则. 则称f 为集合A到B的一个关系, 记作 f : A B. 设在f 下aA配对为bB. 则称b为a在f 下 的一个像; a为b在f 下的一个原像, 或者说 a是b在f 的逆关系 f 1: BA下的像.
教师授课助手 学生自修向导——
高等几何多媒体课件
南京师范大学 (国家精品课程主持人 周兴和 江苏省教学名师)
使 用 说 明
1. 请使用MS-Office2003及其以上版本. 2. 课件中的图形 分别是向后和返回链接. 3. 如果您是一位学生, 希望您——利用本课件帮助您预习、 自学、提出问题, 带着问题去听课；帮助您避免在课堂上被动 地抄笔记, 从而可以更主动地聆听老师授课. 4. 如果您是一位教师, 请恕作者班门弄斧, 权当我在抛砖引玉. 希望您——批评本课件, 或利用本课件为素材, 创作您自己的课 件. (作者制作本课件使用的主要软件为：MS-Office, MS-Visio) 5. 恳请读者和老师们批评指正！作者感谢您使用本教材及其 课件, 期待着您的宝贵意见！
§ 1.1 引 论
二、正交变换
1. 正交变换 推论1.2 正交变换使平面上的直角坐标系变为直角坐标系. 正交变换将平面上的一个直角坐标系O-exey变为另一个直角 坐标系O'-e'xe'y,有下述可能
右手系→右手系
右手系→左手系
§ 1.1 引 论
二、正交变换
1. 正交变换 定理1.4 对于平面上的一个取定的直角坐标系, 点变换是正 交变换具有表达式
解几中的坐标变换 改变观点 平面上的点变换
§ 1.1 引 论
二、正交变换
坐标变换 点变换
§ 1.1 引 论
二、正交变换
1. 正交变换 定义1.11 保持平面上任意两点间的距离不变的点变换称为平 面上的一个正交变换. 注：设为平面上的一个正交变换, A, B为平面上两个点, 且 (A)=A', (B)=B'. 则|AB|=|A'B'|. 定理1.2 正交变换是双射.设M表示平面上全体正交变换的集 合. 则有 (1) , M, 有M. (2) 恒同变换iM. (3) M, 存在1M, 满足1=1=i. 上述性质使得M对于变换的乘法构成一个群, 叫做正交变换群.
十九世纪名言
一切几何学都是射影几何
欧氏几何(初等几何)
研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数 量 (统称不变性，如距离、角度、面积、体积等)
搬动
正交变换
对图形作有限次的平移、 旋转、轴反射
欧氏几何
研究图形的 正交变换不变性的科学
仿射几何
平行射影 透视仿射变换 仿射变换
有限次平行射影的结果 仿射几何
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
4. 集合之间的对应(函数、映射) 定义1.8 设f : AB为一个对应. 如果f 既是单射又是满射, 则 称f 为一个双射(bijection),也称f 为一个一一对应.
注：在几何学中, 我们一般需要的对应都是双射.
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
5. 变换 定义1.9 集合A到自身的对应f 称为变换, 若f 是双射, 则称f 为 集合A上的一个一一变换. 若集合A上的一个变换将A的每一个元素变为其自身, 则称之 为集合A上的一个恒同变换, 记作i. 于是, aA, i(a)=a. 定理1.1 对于集合A上的一一变换, 下列结论成立. (1) 两个一一变换的乘积是一个一一变换. (2) 恒同变换i是一个一一变换. (3) 任意一个一一变换f 的逆变换f 1存在, f 1也是一个一一变 换, 且f f 1 =f 1f=i.