命题形式变化及真假判定

命题形式变化及真假判定一、基础知识： （一）命题结构变换1、四类命题间的互化：设原命题为“若p ，则q ”的形式，则 （1）否命题：“若p ⌝，则q ⌝” （2）逆命题：“若q ，则p ” （3）逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”2、p q ∨，p q ∧（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为p q ∨（2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为p q ∧3、命题的否定p ⌝：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法（1）一些常用词的“否定”：是→不是 全是→不全是 至少一个→都没有 至多n 个→至少1n +个 小于→大于等于 （2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时,p q 均变为,p q ⌝⌝：p 或q →p ⌝且q ⌝ p 且q →p ⌝或q ⌝ （3）全称命题与存在性命题的否定全称命题：():,:,()p x M p x p x M p x ∀∈→⌝∃∈⌝ 存在性命题：():,:,()p x M p x p x M p x ∃∈→⌝∀∈⌝规律为：两变一不变①两变：量词对应发生变化（∀⇔∃），条件()p x要进行否定()p x⇒⌝②一不变：x所属的原集合M的不变化（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联。

1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同。

而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联2、p q∨，p q∧，如下列真值表所示：简而言之“一真则真”简而言之“一假则假”3、p⌝：与命题p真假相反。

4、全称命题：真：要证明每一个M中的元素均可使命题成立假：只需举出一个反例即可5、存在性命题：真：只需在M 举出一个使命题成立的元素即可 假：要证明M 中所有的元素均不能使命题成立 二、典型例题例1：命题“若方程20ax bx c -+=的两根均大于0，则0ac >”的逆否命题是（ ） A. “若0ac >，则方程20ax bx c -+=的两根均大于0” B. “若方程20ax bx c -+=的两根均不大于0，则0ac ≤” C. “若0ac ≤，则方程20ax bx c -+=的两根均不大于0” D. “若0ac ≤，则方程20ax bx c -+=的两根不全大于0”思路：所谓逆否命题是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换，“0ac >”的对立面是“0ac ≤”，“均大于0”的对立面是“不全大于0”（注意不是：都不大于0），再调换顺序即可，D 选项正确 答案：D例2：命题“存在2,20x Z x x m ∈++≤”的否定是（ ）A ． 存在2,20x Z x x m ∈++>B ．不存在2,20x Z x x m ∈++>C ． 对任意2,20x Z x x m ∈++≤D ．对任意2,20x Z x x m ∈++>思路：存在性命题的否定：要将量词变为“任意”，语句对应变化222020x x m x x m ++≤→++>，但x 所在集合不变。

所以变化后的命题为：“对任意2,20x Z x x m ∈++>” 答案：D例3：给出下列三个结论（1）若命题p 为假命题，命题q ⌝为假命题，则命题“p q ∨”为假命题 （2）命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题为“若0xy ≠，则0x ≠或0y ≠”（3）命题“,20x x R ∀∈>”的否定是“,20x x R ∃∈≤”，则以上结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0思路：（1）中要判断p q ∨的真假，则需要判断,p q 各自的真值情况，q ⌝为假命题，则q 为真命题，所以,p q 一假一真，p q ∨为真命题，（1）错误（2）“若……，则……”命题的否命题要将条件和结论均要否定，而（2）中对“0x =或0y =”的否定应该为“0x ≠且0y ≠”，所以（2）错误（3）全称命题的否定，要改变量词和语句，且x 的范围不变。

而（3）的改写符合要求，所以（3）正确 综上只有（3）是正确的 答案：C例4 ：有下列四个命题① “若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题 ② “全等三角形的面积相等”的否命题③ “若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题 ④ “不等边三角形的三个内角相等”的逆命题 其中真命题为（ ）A. ①②B.②③C. ①③D. ③④ 思路：①中的逆命题为“若,x y 互为相反数，则0x y +=”，为真命题。

②中的否命题为“如果两个三角形不是全等三角形，则它们的面积不相等”，为假命题（同底等高即可）。

③中若要判断逆否命题的真假，则只需判断原命题即可。

1q ≤时，判别式440q ∆=-≥，故方程有实根。

所以原命题为真命题，进而其逆否命题也为真命题。

④中的逆命题为“如果一个三角形三个内角相等，则它为不等边三角形”显然是假命题。

综上，①③正确 答案：C小炼有话说：在判断四类命题的真假时，如果在写命题或判断真假上不好处理，则可以考虑其对应的逆否命题，然后利用原命题与逆否命题同真同假的特点进行求解例5：下列命题中正确的是（ ）A. 命题“x R ∃∈，使得210x -<”的否定是“x R ∀∈，均有210x -<”B. 命题“若3x =，则2230x x --=”的否命题是“若3x ≠，则2230x x --≠”C. 命题“存在四边相等的四边形不是正方形”，该命题是假命题D. 命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题是真命题思路：分别判断4个选项的情况，A 选项命题的否定应为“x R ∀∈，均有210x -≥”，B 选型否命题的形式是正确的，即条件结论均否定。

C 选项的命题是正确的，菱形即满足条件，D 选项由原命题与逆否命题真假相同，从而可判断原命题的真假，原命题是假的，例如终边相同的角余弦值相同，所以逆否命题也为假命题。

D 错误 答案：B例6：如果命题“p 且q ”是假命题，“q ⌝”也是假命题，则（ ） A. 命题“p ⌝或q ”是假命题 B. 命题“p 或q ”是假命题 C. 命题“p ⌝且q ”是真命题 D. 命题“p 且q ⌝”是真命题思路：涉及到“或”命题与“且”命题的真假，在判断或利用条件时通常先判断每个命题的真假，再根据真值表进行判断。

题目中以q ⌝为入手点，可得q 是真命题，而因为p 且q 是假命题，所以p 只能是假命题。

进而p ⌝是真命题。

由此可判断出各个选项的真假：只有C 的判断是正确的 答案：C例7：已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >，在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④ ()p q ⌝∨中，真命题是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 思路：可先判断出,p q 的真假，从而确定出复合命题的情况。

命题p 符合不等式性质，正确，而q 命题是错的。

所以①是假的，②是真的，③④中，因为p ⌝为假，q ⌝为真，所以③正确，④不正确。

综上可确定选项D 正确 答案：D例8：下列4个命题中，其中的真命题是（ ）()111:0,,23x xp x ⎛⎫⎛⎫∃∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()21123:0,1,log log p x x x ∃∈>()3121:0,,log 2x p x x ⎛⎫∀∈+∞> ⎪⎝⎭ 41311:0,,log 32xp x x ⎛⎫⎛⎫∀∈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A. 13,p pB. 14,p pC. 23,p pD. 24,p p 思路：12,p p 为存在性命题，所以只要找到符合条件的x 即可。

1p 可作出11,23x xy y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像，通过观察发现找不到符合条件的x ；2p 同样作图可得()11230,1,log log x x x ∀∈>，所以2p 正确；3p 通过作图可发现图像中有一部分121log 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以3p 错误；在4p 中，可得当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，011331111,log log 1223x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1311log 2xx ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，4p 正确。

综上可得：24,p p 正确答案：D小炼有话说：（1）在判断存在性命题与全称命题的真假，可通过找例子（正例或反例）来进行简单的判断，如果找不到合适的例子，则要尝试利用常规方法证明或判定（2）本题考察了指对数比较大小，要选择正确的方法（中间桥梁，函数性质，数形结合）进行处理，例如本题中123,,p p p 运用的数形结合，而4p 通过选择中间量判断。

例9：已知命题200:,10p x R mx ∃∈+≤，命题2:,10q x R x mx ∀∈++>，若p q ∨为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A. 22m -≤≤B. 2m ≤-或2m ≥C. 2m ≤-D.2m ≥思路：因为p q ∨为假命题，所以可得,p q 均为假命题。

则,p q ⌝⌝为真命题。

22:,10;:,10p x R mx q x R x mx ⌝∀∈+>⌝∃∈++≤。

解决这两个不等式能成立与恒成立问题即可。

解：p q ∨为假命题,p q ∴均为假命题 22:,10;:,10p x R mx q x R x mx ⌝∀∈+>⌝∃∈++≤,p q ∴⌝⌝为真命题对于2:,10p x R mx ⌝∀∈+>22110mx m x +>⇒>- 当x R ∈时，210x-< 0m ∴≥ 对于2:,10q x R x mx ⌝∃∈++≤，设()21f x x mx =++，由图像可知：若q ⌝成立，则240m ∆=-≥ ，解得：2m ≥或2m ≤-所以综上所述：2m ≥小炼有话说：因为我们平日做题都是以真命题为前提处理，所以在逻辑中遇到已知条件是假命题时，可以考虑先写出命题的否定，根据真值表得到命题的否定为真，从而就转化为熟悉的形式以便于求解例10：设命题:p 函数()()22lg 4f x x x a =-+的定义域为R ；命题[]:1,1q m ∀∈-，不等式253a a --≥p q ∨”为真命题，且“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围思路：由“p q ∨”为真命题可得,p q 至少有一个为真，由“p q ∧”为假命题可得,p q 至少有一个为假。