重庆市2017年普通高等学校招生统一考试5月调研文科数学测试卷及答案

重庆市2017年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷 文科数学文科数学测试卷共4页，满分150分。

考试时间120分钟。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知向量(2,1),(,1)a b t =-=r r，若a b ⊥r r ，则实数t ＝A 、－2B 、12-C 、12D 、22、设集合2{|log 1},{|12}xA x xB y y =〈==-，则A B ⋂=A 、（0，2）B 、（0，1）C 、（0，1）∪（1，2）D 、∅3、已知样本数据12,,x x …，n x 的方差是5，则12,,...,555n x x x 的方差是 A 、125B 、15C 、1D 、54、已知函数211log (2),1()2,1x x x f x x -+-〈⎧=⎨≥⎩，则2(6)(log 10)f f -+=A 、8B 、9C 、13D 、145、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若72n a n =-，则使得0n S 〉成立的n 的最大值为A 、3B 、4C 、5D 、66、设变量,x y 满足约束条件27244x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2x y -的最大值为A 、－9B 、－4C 、－1D 、17、命题:p “若0x 〉，则212x x x +≥”，命题q ：“不等式(1)(2)02x x x --≥-的解集为[1,)+∞”，下列命题为真命题的是A 、p q ∧B 、()p q ⌝∧C 、()p q ∧⌝D 、()p q ⌝∧8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A 、122+B 、22+C 、222+D 、12+9、如图，扇形AOB 的圆心角为3π，半径为3，在AOB ∠内随机作一条射线OP 交弧AB 于点P ，则扇形AOP 的内切圆半 径不超过1的概率为A 、13 B 、49 C 、23D 、8910、秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简 化算法，如图所示的程序框图表示用秦九韶算法求某多项式当0x x = 时的值的过程，其中000,x n 〉∈N *，若依次输入2，3，4后输出18， 则0x 和0n 的值分别为A 、7,22B 、7,32C 、2，2D 、2，311、设函数()sin 3cos (0),()2,()0f x x x f f ωωωαβ=+〉==，||αβ-的最小值为2π，若1212,(,)()63x x x x ππ∈-≠且12()()f x f x =，则12()f x x +=A 、3B 、1C 、－1D 、－312、设点P 在抛物线22(0)y px p =〉上，F 为抛物线的焦点，抛物线的准线与x 轴交于点A ，则||||PF PA 的最小值为A 、24B 、23C 、12D 、22第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做。

第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13、已知复数z 为纯虚数，且21z i-+为实数，则z ＝ 。

14、函数2()()xf x e x x a =-+在[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 。

15、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2b a =且sin cos 2B B +=，则A ＝AB 的中点为M ，点C 为圆心，则||CM 的最大值为 。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）数列{}n a 满足：1111,30(n n n n a a a a a n N ++=+-=∈*）。

（I ）求证：1{}na 是等差数列： （II ）设12n n nb a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，当2016n T 〉时，求n 的最小值。

18、（本小题满分12分）某银行对本区的100家企业进行评估，银行将根据企业的得分规定相应的贷款额度，已知所有企业的评估得分均在区间[50，100]内，数据整理如下：企业的得分 [50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]企业的贷款额度（百万元） 0 3 3 4 5 企业数量40a20105（I ）画出这100家企业评估得分的频率分布直方图， 并估计这100家企业评估得分的中位数；（II ）若按企业得分采用分层抽样的方法从得分不低 于80分的企业中抽取了6家，现从这6家企业中随 机选取2家，求这2家企业的贷款额度之和恰为9百 万元的概率。

19、（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥GU DM 1,3,2ABC AA BC ==，90,ACB D ∠=。

为棱BC 的中点，点,M N 分别在棱11CC AA 、上，1AN =,直线11//DN A MB 平面。

（I ）求CM 的长； （II ）求证：1DN MB ⊥。

20、（本小题满分12分）已知经过坐标原点O 的直线l 与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=〉〉相交于不同的两点,A B ，椭圆C 的右焦点为F ，离心率为12，且||||4AF BF +=。

（I ）求椭圆C 的方程；（II ）延长AF 交椭圆C 于另一点M ，若ABM V 的面积为2413，求直线AM 的方程。

21、（本小题满分12分）已知函数1()1,(),1x xf xg x e e ax =-=+为自然对数的底数。

（I ）当0a =时，求函数()()()F x f x g x =-的单调性； （II ）当102a ≤≤时，证明：不等式()()f x g x ≤对任意[0,)x ∈+∞成立。

请从下面所给的22、23、两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答题第一题评分。

22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0a π≤〈），在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22(2sin cos )3ρρθθ=+-，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B 。

（I ）若直线l 平分曲线C 的周长，求tan α的值； （II ）若直线l 的斜率为34，且点A 在点A 与点B 之间，求||||OA OB 的值。

23、（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()|1|||f x x x a =--+，且不等式()5f x a ≤-对任意x R ∈成立。

（I ）求实数a 的取值范围；（II ）设a 取最大值时，求不等式|()|2||3f x x -+〉的解集。

2017年普通高等学校招生全国统一考试 5月调研测试卷 文科数学参考答案一、选择题 1～6 CBBBCC7～12 CBBCAD（11）解析：()2sin()3f x x πω=+，由题知42T π=即1ω=，()2sin()3f x x π∴=+，12πππ2π()3363x x +∈+， ， ，12πππ3322x x +∴=++ ，12π3x x ∴+=，12()f x x ∴+=（12）解析：由P 向抛物线的准线作垂线，垂足记为B ，则||||PF PB =，故||||||||PF PB PA PA ==sin cos BAP PAF ∠=∠，由图形知，当直线PA 与抛物线相切时， PAF ∠最大，即cos PAF ∠最小，设过点(,0)2pA -的直线与抛物线切于点200(,)2y y p ， 则切线方程为200222y x p y y p +=⋅，代入点A 坐标得0y p =，此时45PAF ︒∠=，即最小值为2. 二、填空题 （13）2i -（14）1a ≥（15）6π（16（16）解析：由题知2a c b +=即20a b c -+=，所以直线0=++c by ax 恒过定点(1,2)P -，M 是弦的中点，CM AB ∴⊥，故||CM 的最大即C 到直线0=++c by ax 的距离最大，显然当直线CP⊥时，距离最大，此时M 点即为P 点， ||CM ∴.三、解答题（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）11111303n n n n n na a a a a a ++++-=⇒-=，故1{}n a 是以3为公差的等差数列；……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）113(1)32n n n a =+-=- ，322nn b n ∴=-+，213222n n n n T +-∴=+-，……9分*n N ∈Q ，n T ∴单增，易得91011510242016,14320482016T T =+<=+>，故n 的最小值为10 ．……12分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）25a =，各组频率分别为：0.4,0.25,0.2,0.1,0.05，……2分频分布直方图如右：……4分 估计中位数为0.16010640.25+⨯=；……6分 （Ⅱ）由题知，6家企业中，贷款额度4百万元的4家，5百万元的2家，从中任取两家，共有15种不同的结果，其中两家贷款额度之和为9百万元的结果有8种，所以所求概率为815．……12分（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）取1MB 中点E ，连接1,DE EA ，则11////DE BB NA ，故1,,,N D E A 四点共面，又直线DN ∥平面11A MB ，1//DN A E ∴，1DNA E ∴是平行四边形，……4分12DE NA ∴==，1CM ∴=； ……6分（Ⅱ）连接,NM DM ，由（Ⅰ）知，//NM AC ，1AA ⊥平面1ABC AA AC ⇒⊥，90ACB ︒∠=，AC ∴⊥平面11CC B B ，NM ∴⊥平面11CC B B ，1NM MB ∴⊥，…9分又1CM CD ==，1112C B C M ==，1145C MB CMD ︒∴∠=∠=，190B MD ︒∴∠=，……11分1B M ∴⊥ 平面DMN ，1B M DN ∴⊥．……12分（20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由椭圆的中心对称性知||||2AF BF a +=，即2a =，1,c b ∴==故椭圆C 的方程为22143x y +=；……4分 （Ⅱ）由图知ABM ∆的面积是AOM ∆的面积的2倍，……6分设1122(,),(,)A x y M x y ，则12112||213AOM S y y ∆=-=即1224||13y y -=，……8分 设直线:1AM x my =+，与椭圆方程联立得22(34)690m y my ++-=，12122269,3434m y y y y m m --∴+==++，2222122222223636144(1)24()(34)34(34)13m m y y m m m +∴-=+==+++,化简得4236731050m m --=，……10分即22(3)(3635)0m m -+=，23m ∴=，m =AM 的方程为1x =+．……12分（21）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）1()1x F x x e =--，1()100xF x x e'=->⇒<， ()F x 在(,0)-∞上单增，(0,)+∞上单减；……4分（Ⅱ）11(1)101x x x ax x e ax e ax -⇔-+--+≤≤，设()(1)1x h x ax x e ax =-+--， 则()[(1)]xh x a x a e a '=-+-，()[(1)21]xh x a x a e ''=-+-，……6分Q 102a ≤≤，∴ (0)210h a ''=-≤且(1)21y a x a =-+-在[0)+∞， 上单调递减， 故()0h x ''≤，从而()h x '单减，……8分由(0)0h '=知在[0)+∞， 上有()0h x '≤，()h x ∴在[0)+∞， 上单调递减，……10分 则()(0)0h x h =≤，即原命题得证．……12分（22）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）2222(2sin cos )3423x y y x ρρθθ=+-⇒+=+-，即22(1)(2)2x y -+-=，由题知l 过圆心(1,2)，则tan 2α=；……5分 （Ⅱ）3tan 4α=，则34sin ,cos 55αα==，代入C 的方程，有2342(2)355ρρ=⋅+-， 解得13ρ=或，||1||3OA OB ∴=．……10分 （23）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）|1||||1||1|x x a x x a a --+---=+≤，故|1|5a a +-≤，即515a a a -+-≤≤， 即2a ≤；……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2a =|1|2|2|3x x --+>|1|2|2|x x ⎧⎪--+=⎨⎪⎩图象如右：由图知解集为{|x x <。