2010-2011年第一学期高等数学考试试题

2010-2011第一学期高等数学考试试题

一、 填空题（每题2分，共20分）

1、 已知2,1==b a ，则=-∙+)()(b a b a ________。

2、 yoz 面上的曲线22y z =绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面的方程为_____________。

3、 已知y x z =，则=dz ______________________。

4、 设32=+-xy e z z ，则

=∂∂x z ___________；=∂∂y

z

_______________. 5、曲线⎩⎨⎧==-x

y z

y x 22在原点)0,0,0(o 处的法平面的方程为

____________.

6、 设Γ为球面2222R z y x =++与平面0=++z y x 的交线，则

ds z y x ⎰

Γ

++222=__________________.

7、 设级数∑∞

=1

n n u 收敛，则=-∞

→)32(lim n n u _____________. 8、 设)(x f 是周期为π2的周期函数，且⎩⎨

⎧≤<+≤<--=π

πx x

x x f 0101)(2

,

则其傅里叶级数在1=x 处收敛于_____________；在π=x 处收敛于______________。

二、选择题（每小题2分，共10分）

1、 函数),(y x f z =在点),(00y x 的偏导数存在是该函数在点连续的( )

A. 充分条件

B. 必要条件

C. 充要条件

D.既非充分也非必要条件 2、 化

⎰

⎰---2

2

111

),(y y dx y x f dy 为另一积分次序的二次积分为

( )

A. ⎰

⎰-2

101

),(x dy y x f dx B.

⎰

⎰---2

2

111

0),(x x dy y x f dx C.

⎰

⎰--2

10

1

1

),(x dy y x f dx D.

⎰

⎰----2

2

1111

),(x x dy y x f dx

3、 在平面0=z 与2=z 之间的锥面22y x z +=的面积为( )

A. π4

B. π24

C.

3

16π

D. 上述答案都不对 4、已知在xoy 面上dy x y dx xy )(2ϕ+为某二元函数),(y x u 的全微分，

)(x ϕ具有连续导数，且0)0(=ϕ，则=)(x φ（ ）。

A. 2x -

B. 2x

C. x 2

D. x 2-

5、 常数项级数∑-n n

n 3

)1(2

A. 发散

B. 条件收敛

C. 绝对收敛

D. 不能确定其收敛性

三、解答下列各题（每小题6分，共12分） 1、 求x

x y x xy

sin )11(lim +

+∞

→+∞→ 2、 设)),(xy y x f z +=，其中f 具有二阶连续偏导数，求y

x z

x z ∂∂∂∂∂2,

四、（8分）求与两平面15234=--=-z y x z x 和的交线平行且过点

)5,2,3(-的直线方程

五、（每小题9分，共18分）

1 计算曲面积分⎰⎰∑

+-zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是由锥面2

2y x z +=和抛物面222y x z --=围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。 2 求

⎰

-+--L

x x dy x y e dx y x y e )cos ()2sin (，L 为从点)0,2(A 沿曲线

22x x y -=到点)0,0(O 的弧。

六、（每小题9分，共18分） 1 求幂级数∑∞

=-11

n n nx

的和函数，并求常数项级数∑

∞

=+1

1

22

n n n 的和。

2 将函数)23ln()(2++=x x x f 展开成关于x 的幂级数

七、（9分）求函数z y x z y x f ++=),,(在平面1=z 与柱面122=+y x 的交线上的最大值和最小值。

八、（5分）证明：若级数∑∞

=1n n u 绝对收敛，则级数∑+++)

(21n n u u u u 必收敛。 证明：

+∞<=++≤++=++∑∞

=∞→∞→∞→1

212121)u (lim lim )(lim n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u 所以所给的级数收敛。