初高中数学衔接教材

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初高中数学衔接知识

第一讲 数与式

在初中,我们已学习了实数,知道字母可以表示数,用代数式也可以表示数,我们把实数和代数式简称为数与式.代数式中有整式(多项式、单项式)、分式、根式.它们具有实数的属性,可以进行运算.在多项式的乘法运算中,我们学习了乘法公式(平方差公式与完全平方公式),并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便.由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算,因此本节中将拓展乘法公式的内容,补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式.在根式的运算中,我们已学过被开方数是实数的根式运算,而在高中数学学习中,经常会接触到被开方数是字母的情形,但在初中却没有涉及,因此本节中要补充.基于同样的原因,还要补充“繁分式”等有关内容.

【公式5】立方和公式:2233

()()a b a ab b a b +-+=+

【公式6】立方差式:2233

()()a b a ab b a b -++=-

【例2】计算:

2(1) (4)(164)m m m +-+

33331111:(

)().521258m n m n -=-解原式=

【例3】计算:

2

3

31310,.

x

x x

x -+=+已知求的值

222

2

2:

310

1

0 311

()(1)

11 ()[()3]3(33)18.

x x x x x

x x x x x x x x -+=∴≠∴+

=∴+-+=++-=-=解原式=

,.

n n a

n N a a a a ∈=⋅⋅⋅个当时0,(1)1(0),n Q a a ∈=≠当时零指数

1

(2)(0),n n

a a a -=

负指数(3) 0,,).n m

a

a m n =

>分数指数为正指数

(1), (2)(),

(3)()(,0,,)m n m n m n mn n n n a a a a a ab a b a b m n Z +⋅===>∈幂的运算法则

22

2

3331

211

22334433224

33433:8(2)224,

111 100,10100(10)

1622327

()().

813328

⨯-----===========解

【例5】计算下列各式

532111113

3

6

6

82

2

4

8

(1) (2)(6)(3), (2) ().a b a b a b p q --÷-

55

21121111113

3

6

6

326

236

2

2

33

1

1

884

4

02

8

8

8

23

3:(1) (2)(6)(3)444,

(2) ()()().a b a b a b a

b

ab a p p q p q p q q +-+-----÷-======解

式子

0)a ≥ 叫做二次根式,性质:

21 02300400()(),()||,(),),

(),).

a a a a

b a b =≥==≥≥=>≥

:(1)2|1|211,

(1)(2)2 3 (2)

(2)=|1||2|.

(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x +=-=-+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩解原式=原式

化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母的取值分类讨论.

:(1)6 (2) (3) =

=-=

-=

=-解原式=

原式原式

【例4】求下列各式的值:

21

3

32

4

168,100,().

81

--333:464.

m m =+=+解原式2211111(2) ()()5225104

m n m mn n -++42(3) (2)(2)(416)a a a a +-++24222336:(4)(44)()464.

a a a a a -++=-=-解原式=22222(4) (2)()x xy y x xy y ++-+2222

2223326336:()()[()()]()2.x y x xy y x y x xy y x y x x y y +-+=+-+=+=++解原式=3332223()(:)

a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---请证明333223

233322222()() =()[()3]=()3() ()[()()3] ((.:))a b c a b a ab b c a b a b ab c a b ab a b c a b c a b c a b c ab a b c a b c ab bc ca ++=+-++++-++-++=+++-++-=++++---证明(1),

(2)(),

(3)()(,0,,)

m n m n m n mn n n n a a a a a ab a b a b m n Z +⋅===>∈幂的运算法则

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