电磁场与电磁波 静电场 第三讲

qn = Cn1(φn − φ1) + Cn2 (φn − φ2 ) + + Cnnφn
固有部分电容和互有部分电容：
• 第 i个导体的固有电容：
C ii
= qi φi
• 导体的固有电容，即导体与参考导体（第n+1导体） 的电容，一般孤立系统取参考导体接地。
• 第 i个导体与第k个导体间的互有 电容：
Cik
=
φi
qi −φk
固有部分电容和互有部分电容均仅与 导体系统的几何结构及介质有关。
4
例1：计算同轴电容器的电容。已知内外导体的半径分
别为a和b，长度为L，它们之间介质的介电常数为 ε 。
解：设内导体带电q，根据高斯定理有：
E = q ρˆ 2πε L ρ
b
aε
∫ V = b E ⋅ d ρ = q ln b
的电位差与导体的带电量成正比。
定义这两个导体间的电容为：
C= q V
两个导体间的电容仅与导体的几何形状相对位 置和周围介质有关，与导体所带电量无关。
对于非孤立导体，其电位不再简单地与所带的电量成正比。 这是因为非孤立导体周围的场强不仅决定于该导体，还与周围 的情况有关。
例：半径为a 的导体球，球外包一层厚度为b，介电
V
b
2.7.3 多导体间的电容——部分电容
• 多导体系统间，任何一个导体的电位都受到其余多 个导体电荷的影响，其相互耦合用部分电容表示。
设线性介质中有 n +1个带电导体，总带电量为0，它们
的电位仅取决于它们中每个导体的带电量，而与它们之外 的导体无关。该系统叫孤立带电系统。
孤立带电系统中每个导体的电位与系统中每个导体的 带电量均成线性关系。
nˆ
D1
∆S
h
ε1
P
ε2
D2
nˆ2
ρs = 0
• 电位移矢量的法线分量连续。
2.6.2 不同介质分界面的边界条件
2.6.2.2 电场的切向分量
围绕P取一小矩形回路，上下边与分界面平行，高无限小。
取 lˆ1 方向为切线正方向。 电场在分界面两侧的方向不同。
nˆ E1 ∆l1 lˆ1 α1 h tˆ
∫l E ⋅dl = 0 ∫ ∫ ⇒ ∆l1 E1 ⋅lˆ1dl + ∆l2 E2 ⋅lˆ2dl = 0
别为D1与 D2 ；分界面法线方向由介质2指向介质1。
nˆ1
nˆ
•以P为中心取一小园柱体，
D1
上下面与分界面平行，
∆S
h
高h为无限小。
ε1
P
∫∫ D ⋅ d S S
=
qs
=
ρ s ∆S
ε2
D2
nˆ2
ρs
面电荷密度
∫∫ ∫∫ ∫∫ ⇒ D1 ⋅ nˆ1dS + D2 ⋅ nˆ2dS + D ⋅ nˆdS = ρs∆S
∆S
∆S
Sh
2.6.2 不同介质分界面的边界条件
∫∫ ∫∫ ∫∫ ⇒ D1 ⋅ nˆ1dS + D2 ⋅ nˆ2dS + D ⋅ nˆdS = ρs∆S
∆S
∆S
Sh
∫∫ ∫∫ D1ndS − D2ndS = ρs∆S
∆S
∆S
⇒ ∆SD1n − ∆SD2n = ρs∆S
D1n − D2n = ρs
nˆ1
∂n
ε
∂φ2 = 0 ∂n
例：计算图示两平行板间的电场及电荷分布。
解：忽略边缘效应，导体板上电荷均匀， 电场均匀，电力线为平行的直线。
ε1E1 = ε 2 E2
d1E1 + d 2 E2 = V
⇒
E1
=
ε 2V ε1d 2 + ε 2d1
ε1 d1 E1
ε2 d2 E2
V
E2
=
ε1V ε1d2 + ε 2d1
q1 = C11φ1 + C12 (φ1 −φ2 ) + C13(φ1 −φ3 ) + + C1n (φ1 −φn ) q2 = C21(φ2 −φ1) + C22φ2 + C23(φ2 −φ3) + + C2n (φ2 −φn ) qi = Ci1(φi −φ1) + Ci2(φi −φ2) + Ciiφi + + Cin (φi − φn )
qn
q3
q2 q1
两个点电荷系统
将q2从q1 的场中移到无穷远电场力做的功
r12
∫ W12 = q2
∞ q1 dr r12 4πε 0 r 2
W12
=
q1q2 4πε 0r12
q1
将q1从q2的场中移到
无穷远电场力做的功
∫ W21 = q1
∞ r21
q2 4πε 0r 2
dr
W21
=
q2q1 4πε 0 r21
ρ
′
s
=
ε 0V ε1d2 + ε 2d1
(ε 2
− ε1)
第2章 静电场
2.7 电容及部分电容
电容：带电系统在一定电压下储存电场能量的能力。
2.7.1 孤立导体的电容 2.7.2 两个导体间的电容 2.7.3 多导体间的电容——部分电容
平行板电容；同轴电容；球型电容；两导线间的电容。
3
2.7.1 孤立导体的电容
导体内： E = D = 0
∆S
h
E2 n = E2t = D2 n = D2t = 0 ε 1 介质 2 导体
∫∫D S
⋅
d
S
=
q
=
∆SρS
D1n∆ S = ρ s∆ S
∫ E ⋅ d l = 0 E1t = E2t
l
D1n = ρ s
E1n
=
ρs ε
表明：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体 E1t = 0
∵W12 = W21 = W
∑ ∵W12 = q2ϕ2
En
=
E⋅nˆ
=
−∇φ
⋅
nˆ
=
−
∂φ ∂n
a1 ∆l b1
a2
φa1 = φa2
φ
b2 = b1
φb2
U = U a1b1
a2b2
ε1E1n =ε2E2n
ε1
∂φ1 ∂n
=
ε2
∂φ2 ∂n
分界面上电位连续；电位沿法线方向的方向导数不连续。
2
2.6.3 导体与介质分界面的边界条件
nˆ
2.6.3.1 电场的边界条件
• 孤立导体带电则具有电位, 则导体的电位与电量成正比 。
半径为a的导体球的电位：
ϕ= q 4πε a
•
定义孤立导体的电容为：
C
=
q φ
单位为法拉（F）。
导体球的电容： C = 4πε a
孤立导体的电容仅与导体的几何形状和周围介质有关，与 导体所带电量无关。
2.7.2 导体间的电容
• 当线性介质中有两个带等量异号电荷的导体时，两个导体间
正负极板的电荷面密度为：
ρs′1 = D1n = ε1E1n
= ε1ε 2V ε1d2 + ε 2d1
= ρs′2
两介质分界面的电荷面密度为：(与自由电荷不同）
ρs′ = p1 − p2 = ε0(εr1 −1)E1n −ε0(εr2 −1)E2n = D1n − D2n + ε0(E2n − E1n ) = ε0(E2n − E1n )
a
2πε L a
L
C
=
q V
=
2πε L ln b
a
例2：计算图示平行板电容器的电容。
解：忽略边缘效应，导体板上电荷均匀，电场均匀，电
力线为平行的直线。
E1
=
ε 2V ε1d2 + ε 2d1
E2
=
ε1V ε1d 2 + ε 2d1
E1d1 + E2d2 = V ε1E1 = ε2E2
ε1 d1 E 1 ε2 d2 E 2
表（面 2）垂导直体，表电面场上仅任有一法点向的分D量就；等于该点的自由电荷度。D1t = 0
2.6.3 导体与介质分界面的边界条件
2.6.3.2 电位的边界条件
φ2 = C φ1 = φ2 = C
∵场强有限，电位连续。
E1n
=
−
∂φ1 ∂n
=
ρs ε
E2n = 0
∂φ1 = − ρ s ∂n ε
∂φ2 = 0 ∂n
在真空中有： D = ε 0 E
E
=
qRˆ 4πε0R2
∫∫SE
⋅
d
S
=
q ε0
∫l E ⋅ d l = 0
在介质中有： D = ε E
E
=
qRˆ 4πεR2
∫∫SD⋅dS = q ∫l E ⋅ d l = 0
在导体中有： E = D = 0
∇⋅E = ρ ε0
∇×E = 0
∇2φ = − ρ ε0
ε1 ∆l2 ε2 E2
α2 P lˆ2
∫∆l1 E1tdl
E1t = E2t
∫− ∆l2 E2t dl = 0
D1t = D2t ε1 ε2
⇒ E1t∆l1 − E2t∆l2 = 0
• 电场强度的切向分量连续。
2.6.2 不同介质分界面的边界条件
注记：
取切线方向为电场在切面 上的垂直投影方向。
ε1E1n =ε2E2n
φ1 = γ11q1 + γ12q2 + + γ q 1n+1 n+1
取 φn+1 = 0 qn+1 = −(q1 + q2 + + qn )
2.7.3 多导体间的电容——部分电容 φ1 = ∂11q1 + ∂12q2 + + ∂1nqn φ2 = ∂21q1 + ∂22q2 + + ∂2nqn
φn = ∂n1q1 + ∂n2q2 + + ∂nnqn 对该线性方程求解q，可得：
严肃认真、周到细致、稳妥可靠、万无一失
第2章 静电场
§2.0 前言 §2.1 电荷与电场强度 §2.2 真空中的静电场方程 §2.3 电位 §2.4 静电场中的介质与导体 §2.5 介质中的静电场方程 §2.6 静电场的边界条件 §2.7 电容及部分电容 §2.8 静电能量与力
2.6.1 静电场方程
2.6.4 小结
• 不同介质分界面的边界条件
ρs = 0
E1t = E2t D1n = D2n

（界面无自由电荷）
φ1 = φ2
ε1
∂φ1 ∂n
=
ε2
∂φ2 ∂n
• 导体表面的边界条件(介质1/导体2)
ρs ≠ 0
E2t = D2n = 0 E1t = 0, D1n = ρs
φ1 = φ2 = C
∂φ1 = − ρ s ,
ε 质的介电常数为 。若内外导体间加电压V，求此电容器中的电场。（忽略边缘
效应）
ρ 解：轴对称，电场只有法线分量。设内导体带电q，取半径为
的园柱面和两端面构成封闭面S，有：
∫∫ S D ⋅ d S = q
D = q ρˆ 2π L ρ
b ρa
L
E
=
q 2πε Lρ
ρˆ
1
第2章 静电场
§ 2.6 静电场的边界条件
q
4πε r 2 q
4πε 0r 2
rˆ rˆ
a< r < a+b r > a+b
b
ε ra
∫ φ(a) =
∞
E⋅dl
a
∫ ∫ =
a+b a
qdr 4πεr 2
+
∞ qdr a+b 4πε0r 2
= q (1 +εr −1) 4πε a a+b
例2：同轴电容器，内外导体的半径分别为a和b，长度L的电荷为q，它们之间介
静电场的边界条件：不同介质分界面；导体与介质分界面。 静电场方程 —— 描述同一种媒质中电场与源的关系。
2.6.1 静电场方程 2.6.2 不同介质分界面的边界条件 2.6.3 导体与介质分界面的边界条件 2.6.4 小结
2.6.2 不同介质分界面的边界条件
2.6.2.1 电场的法向分量
• 取分界面上点P，设两种介质中紧靠P点的电位移矢量分
常数为 ε 的介质，求导体球与介质外界面的电容。
解：导体球为等位体，带电量为q，电荷均匀分布在球面：
E
=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
q
4πε r 2 q
4πε 0 r 2
rˆ rˆ
a<r <a+b r > a+b
b aε
∫ V =
a+b a
E
⋅ d l=
q 4πε
(1 a
−
a
1 +
) b
C = q = 4πε a(a + b)
∇⋅ D= ρ
∇×E = 0
φ =C
∇2φ = − ρ ε
ε 例1：半径为a 的导体球带电量为q，球外包一层厚度为b，介电常数为 的
介质，求导体球的电位。
解：导体球为等位体，电荷均匀分布在球面:
∫∫SD ⋅ d S = q ∫∫S D⋅ d S = 4π r2D = q
D
=
q 4πr 2
rˆ
E
=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪⎪⎩
V
ρs1
= D1n
= ε1E1
=
ε1ε 2V ε1d2 + ε 2d1
qs
=
ε1ε 2VS ε1d2 + ε 2d1
C = q = ε1ε 2 S V ε1d 2 + ε 2d1
第2章 静电场
2.8 静电能量与力
2.8.1 静电能量
电荷系的相互作用能：
设有 n 个电荷组成的系统。
将各电荷从现有位置彼此分 开到无限远时，他们之间的 静电力所做的功定义为电荷 系在原来状态的静电能。
ε1E1 cosα1 = ε2 E2 cosα2
E1t = E2t
E 1 sin α1 = E 2 sin α 2
静电场折射定理
tgα1 = tgα2 ε1 ε2
2.6.2.3* 介质分界面电位边界条件 电场总是有限值 E = −∇φ 故电位必须是连续的。
则在两种介质分界面上： φ1 = φ2
E1t∆l = E2t∆l ⇒ E1t = E2t
电磁场与电磁波
韩宇南
Email:hanyn@ 教材： 谢处方、饶克谨，电磁场与电磁波（第四版），北京：高等教育出版社
参考书： 焦其祥，电磁场与电磁波，北京：科学出版社 严琪琪、赵丽珍，电磁场与电磁波全程导学及习题全解， 中国时代经济出版社 John D.Kraus, Daniel A. Fleisch. Electromagnetics with Application. Beijing:Tsinghua University Press.