第一章 函数与极限部分作业答案
高等数学 第1章 函数与极限 练习册 解答(10月19修改)
时,就有
2. 极 限 l i m f (x ) A的 定 义 是 : 对 于 0 , 存 在 X 0 , 当 x
f x A .
时,就有
3. 对 于 任 意 的 正 数 , 存 在 正 数 =
，当
时 5x 2 12 , 因 此
lim (5x 2) 12.
x2
解答：
1、当 0 x x0 时； 2、 x X 时；
1.设
xn
n n
1 ,则当 1
n
大于 正整 数
N
时, | xn 1| 104 , 对于任意正数 ,
当 n 大于正整数 N
时,
|
xn
1|
,所以
lim
n
xn
1.
2. 对于任意正数 , 存在正整数 N
cos n
, 当 n N 时,
2 0 , 所以
n
cos n lim 2 0 . n n
3. 设 xn 为任一数列, 又设对于任意正数 , 存在正整数 N1, N2 , 当 n N1 时,
第 1 章 函数与极限
V.同步练习
第 1 章 函数、极限与连续
1.1 函数及其性质
一、填空题
1.已知 f x ax2 bx 5 且 f x 1 f x 8x 3 , 则 a
；b
；
2. y cos 2x 1 的周期为
；
3.
函数
f
(x)
sin
1 x
,
x
0;
的定义域为
； 值域为
.
解. 设圆锥的半径与高分别为r, h , 则 2 r R 2 , 即 r R 2 , 从而
2
h
R2 r2
高等数学第一章课后习题答案
高等数学（本）第一章 函数与极限1. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6sin )6(ππϕ=21=224sin )4(==ππϕ ()0222)4sin()4(==-=-ϕππϕ2. 设()x f 的定义域为[]1,0，问：⑴()2x f ； ⑵()x f sin ； ⑶()()0>+a a x f ； ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么？（1）][；，－的定义域为所以知－11)(,111022x f x x ≤≤≤≤[]ππππ)12(,2)(sin ),()12(21sin 0)2(+∈+≤≤≤≤k k x f Z k k x k x 的定义域为所以知由][a a a x f ax a a x -+-≤≤≤+≤1,)(110)3(－的定义域为所以知－由][φ时，定义域为当时，定义域为当从而得－知由211,210111010)4(>-≤<⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a a a a a x a ax a a x a x班级 姓名 学号3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ，()x e x g =，求()[]x g f 和()[]x f g ，并做出这两个函数的图形。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=-1,1,11,)]([.)20,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)(x e x x e e x f g x x x x g f x g x g x g x g f x f 从而得4. 设数列{}n x 有界, 又,0lim =∞→n n y 证明: .0lim =∞→n n n y x{}结论成立。
1第一章 函数与极限答案
第一章 函数与极限第一节 映射与函数1.填空题:（1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ϕ=的图形关于 x y = 对称.（2）函数21()1f x x =+-的定义域为__________________________；（3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} .（4）设b ax x f +=)(，则=-+=h x f h x f x )()()(ϕ a .（5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x .（6）函数2xx e e y --=的反函数为 。
（7）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <12. 选择题:（1）下列正确的是：(B ，C )A.2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数.B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数.C.⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,10,00,1sgn x x xx y 是x 的奇函数.D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. .（2）)sin()(2x x x f -=是( A ).A.有界函数；B. 周期函数；C. 奇函数；D. 偶函数.（3）设54)(2++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ).A.1；B.–1；C.2；D.–2.（4）函数21arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ）(A)1≤x ； (B)13≤≤-x ；(C))1,3(-； (D){}{}131≤≤-⋂<x x x x .（5）函数⎩⎨⎧≤<+≤≤--=30,104,3)(2x x x x x f 的定义域是（ ）(A)04≤≤-x ； (B)30≤<x ;(C))3,4(-; (D){}{}3004≤<⋃≤≤-x x x x .（6）函数x x x y sin cos +=是（ ）(A)偶函数； (B)奇函数； (C)非奇非偶函数； (D)奇偶函数.（7）函数xx f 2cos 1)(π+=的最小正周期是（ ）(A)2π； (B)π； (C) 4 ； (D)21 .（8）函数21)(x xx f +=在定义域为（ ）(A)有上界无下界； (B)有下界无上界；(C)有界，且 2121)(≤≤x f ； (D)有界，且2122≤+≤-x x .（9）与2)(x x f =等价的函数是（ ）(A) x ； (B) 2)(x ； (C) 33)(x ； (D) x .3．设132)1(2--=-x x x g（1） 试确定c b a ,,的值使c x b x a x g +-+-=-)1()1()1(2 ；（2） 求)1(+x g 的表达式解. 352)1(,0,1,22++=+===x x x g c b a4．求x x x f sgn )1()(2+=的反函数)(1x f -.解：⎪⎩⎪⎨⎧-<+--=>-=-1,)1(0,01,1)(1x x x x x x f5．设249)3lg(1)(x x x f -+-=，求)(x f 的定义域及)]7([-f f 。
高数练习册答案
第一章 函数与极限部分习题答案§1 映射与函数一、填空题：1、224>-<<-x x 或2、)01(1ln>>-=x x x y 3、奇函数 4、41 §2 数列的极限一、填空题：1、不存在 2、必要 3、1二、计算题：1、0 2、1 3、21§3 函数的极限一、填空题：1、 充要 2、1 3、1；不存在 二、计算题：1、 6 2、21 3、62- 4、（1）：1；（2）：-1；（3）：不存在§4 无穷小和无穷大二、计算题：1、0 2、1 3、2§5 极限的运算法则一、计算题：1、-11 2、32 3、214、-15、236、17、528、1二、计算：a=2; b=-8 三、计算；a=1; b=-1§6 极限存在准则 两个重要极限一、填空题：1、0；1；1；0 2、1-e ；2e ；3e ；2e ；二、计算题：1、0； 2、2； 3、2； 4、2e ； 5、 3-e ； 6、6-e ；三、计算：1§7无穷小的比较一、 计算题：1、2； 2、32； 3、0； 4、1 二、 计算题；3=α§8函数的连续性与间断点一、 填空题：1、充要； 2、可去；二、不连续，跳跃间断点 三、跳跃间断点 四、41=a §9连续函数的运算与初等函数的连续性一、计算题；∞,21,31；二、1、2ln π2、1；3、0；4、1三、计算a=1； b=-1第一章自测题一、填空题：1、0≠x，1，-1； 2、0； 3、0； 4、2； 5、21三、计算题：1、2 x ； 2、1； 3、1； 4、3e ； 5、； 6、41； 7、1； 8、1四、计算；a=1； 23-=b§ 2.1 二、 )(a φ；三、 4311;33x ---；四、460;470x y x y --=++=；五、连续且可导。
§2.2 二、2,e e ππ--； 三、（1； （2）；(3)1tan 221111(cos sin sec )x e x x x x-+；（4）22sin 2[(sin )(cos )]x f x f x -。
考研高数--巩固测试题 第一章极限习题附答案(包含全书考点)
第一章函数与极限答案解析一、选择题（本题共 15小题，每小题３分，满分 45 分）1、函数 x x x y sin cos + = 是【 】(A)偶函数 (B)奇函数(C)非奇非偶函数 (D)奇偶函数【答案】B2、函数 21arccos 1 + + - = x x y 的定义域是【 】(A) ] 1 , (-¥ (B) ]1 , 3 [ - - (C) )1 , 3 (- (D) ]1 , 3 [- 【答案】Ｄ【解析】 0 1 ³ -x 且 1 211 £ + £- x ，解得 1 3 £ £ - x 3、设 îíì > £ = 10 11) ( x x x f 则 ( ) [ ]{ } x f f f 等于【 】（A ）0 （B ）1(C) îíì > £ 1 0 1 1 x x (D) îíì > £ 1 1 1 0 x x 【答案】B4、当 +®0 x 时，与 x 等价是无穷小量的是【 】（A ） xe - 1 （B ） xx- + 1 1 ln（C ） 11 - + x （D ） xcos 1- 【答案】B【解析】 +®0 x 时， 等价 与 x 1 - - x e ， 等价 与x x 2 1 1 1 - + ， 等价 与 x x 21cos 1- 1 1 1lim 11 1 lim 1 1 ln lim 0 0 0 = - + = - - + - + +++® ® ® x x x x xx x x x x x 等价代换 ，等价 与 x xx - + \ 1 1 ln 5、设 tx tx t ee x xf + + = ® 1 lim ) ( 0 ，则 0 = x 是 ) (x f 的【 】（A ）连续点 （B ）第一类间断点 （C ）第二类间断点 （D ）不能判断连续性的点【答案】A【解析】 211 e lim 1 lim ) ( 0 00 0 + = + + = + + = ® ® x e x e e x x f t tx tx t 是R 上的连续函数， 0 = \x 是 ) (x f 的连续点 6、 n n x ¥® lim 存在是数列{ }n x 有界的【 】(A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件【答案】B7、如果 ) ( lim 0x f x x + ® 与 ) ( lim 0x f x x -® 存在，则【 】（A） ) ( lim 0x f x x ® 存在且 )( ) ( lim 0 0x f x f x x = ® （B） ) ( lim 0x f x x ® 不存在（C） ) ( lim 0x f x x ® 存在但不一定有 )( ) ( lim 0 0x f x f x x = ® （D） ) ( lim 0x f x x ® 不一定存在【答案】D 8、设 xx x x x f 3 4 2 ) ( - + =，则 ) ( lim 0x f x ® 为【】（A ）12(B)1 3(C)1 4(D)不存在【答案】D9、如果 ) ( ), ( x g x f 都在 0 x 点处间断，那么【 】（A） ) ( ) ( x g x f + 在 0 x 点处间断 （B） ) ( ) ( x g x f - 在 0 x 点处间断 （C） ) ( ) ( x g x f + 在 0 x 点处连续 （D） ) ( ) ( x g x f + 在 0 x 点处可能连续【答案】D10、方程 0 1 4= - - x x 至少有一个根的区间是【 】（A） （0,1/2） （B） （1/2,1）（C） （2,3）（D） （1,2）【答案】D 11、设ï îïí ì = ¹ - + = 0 , 0 0 , 11 ) ( x x xx x f ，则 0 = x 是函数 ) (x f 的【 】 ‘（A）可去间断点（B）无穷间断点（C）连续点 （D）跳跃间断点【答案】A 12、已知 0 )( lim0 = ® xx f x ，且 1 ) 0 ( = f ，那么【】（A） ) (x f 在 0 = x 处不连续 （B） ) (x f 在 0 = x 处连续 （C） ) ( lim 0x f x ® 不存在（D） 1) ( lim 0= ® x f x 【答案】A13、已知当 0 ® x 时， 1 ) 1 312 - +ax （ 与 1 cos - x 是等价无穷小，则常数a 为【 】（A ）32 (B) 32 -(C)23 (D) 23 -【答案】D【解析】 2 31 32 21 3 1 lim 1 1 cos 1 ) 1 ( lim 22 0 31 2 0 -= Þ = - = - Þ = - - + ® ® a a x axx ax x x14、设 () f x 和 () g x 在(,) -¥+¥ 内有定义, () f x 为连续函数,且 ()0,() f x g x ¹ 有间断点, 则必有间断点的 函数是【】（Ａ） [()] g f x （Ｂ） 2 [()]g x （Ｃ） [()]f g x （Ｄ）()()g x f x 【答案】D【解析】 设 1 ) ( 2+ = x x f ， îí ì< - ³ = 0 , 1 0 x 1 ) ( x x g ， 则 ) (x f 为连续函数，且 ()0,() f x g x ¹ 有间断点 0= x 则 2 )] ( [ = x g f ， 1 ) 1 ( )] ( [ 2 = + = x g x f g ， 1 )] [( 2= x g 均为连续函数，所以 A,B,C 选项错 下面证明D 选项是对的，用反证法 假设()()g x f x 是连续函数，由于 () f x 是连续函数且 0 ) ( ¹ x f ) (x g Þ 也为连续函数，与假设矛盾 15、设数列 n x 与 n y 满足 0 lim = ¥® n n n y x ，则下列断言正确的是【】（A）若 n x 发散，则 n y 必发散 （B）若 n x 无界，则 n y 必有界（C）若 n x 有界，则 n y 必为无穷小 （D）若 nx 1为无穷小，则 n y 必为无穷小 【答案】D 【解析】 设 îí ì= 为奇数 ， 为偶数 n n n x n 0 , ， îíì= 为偶数 ， 为奇数 n n n y n 0 , ，满足 0 lim = ¥® n n n y x ，但 n x 和 n y 均无界，所以（B）选项错； 设 2 1 n x n = ， n y n = ，满足 0 1lim 1 lim lim 2 = = × = ¥ ® ¥ ® ¥ ® nn n y x n n n n n ， n x 有界，但 n y 为无穷大，所以（C）选项 错；0 1 lim0 lim = Þ = ¥ ® ¥® nnn n n n x y y x 极限存在， 若 n x 1 为无穷小， 则 n y 必为无穷小， 否则极限是不存在的， 所以 （D） 选项正确；二、 计算题（满分 105分）1.求下列极限（本题共 6 小题，每小题4 分，满分 24分） (1))1 ( lim 1- ¥® xx e x解： 等价 与 x1 1 , 0 ) 1 ( lim 1 1- \ = - ¥ ® xx x e e ， 1 1 lim 1 e lim 1= = - ¥ ® ¥ ® x x x x xx ） （ (2) )( lim x x x x x - - + +¥® 解： 11 1 1 1 2limx 2 lim= -+ + = - + + = +¥® +¥® xx xx x x x x 原式 (3) xxx x 2 sin sin tan lim3 0 - ® 解： 161 )2 ( 2 1 lim 2 sin sin tan lim3 30 3 0 = = - ® ® x xx x x x x (4) xx x 2 sin ln 5 sin ln lim 0+® 解： 1 5 sin 2 sin lim . 2 cos 2 5 cos 5 lim 2 cos 2 . 2 sin 1 5 cos 5 . 5 sin 1lim 2 sin ln 5 sin ln lim 0 0 0 0 = = = ++++® ® ® ® x x x x xxxx x x x x x x (5) xe x x x 1 ln 1 lim 0 - ® 解：方法一： 等价与 1 1 ) 1 1 1 ln( 1 ln - - - - + = - x e x e x e x x x Q 212 1 lim 1 . 1 lim ) 1 1 ( 1 lim 1 ln 1 lim 0 0 0 0 = - = - - = - - = - ® ® ® ® x e x x e x x e x x e x x x x x x x x x 方法二：洛必达法则21 2 lim 1 lim 1 1 lim 1lnlim 1 ln 1 lim 0 2 0 2 0 0 0 = = + - = + - × - = - = - ® ® ® ® ® x xe x e xe x e xe e x x x e x e x x x x x x x x x x x x x x (6) ) cos 1 ( cos 1 lim 0x x x x - - +® 解： 2 1cos 1 1 21 cos 1 lim cos 1 cos 12 1 . cos 1 lim )cos 1 ( cos 1 lim 2 0 0= + × - = + + × - = - - +++® ® ® x x x x x x x x x x x x x x 2.求下列极限（本题共 6 小题，每小题7 分，满分 42分）(1) () xx x 2 tan 4tan lim p®解：原式= )1 .(tan2 tan . 1tan 14)1 tan 1 ( lim - - ®- + x x x x x p1sin cos sin 2 lim cos 2 cos ) cos (sin 2 sin lim) 1 (tan 2 tan lim 444- = + - = - = - ®® ®x x xx x x x x x x x x x p p p1e- = \原式 (2) 21) 2 (cos lim xx x ® 解： 212 cos lim 12 cos .1 2 cos 1 012 0 22)1 2 cos 1 ( lim ) 2 (cos lim - - - - ® ® = = - + = ® eex x xx x x x x x x x (3) x x x 2tan 1)2 ( lim p- ® 解： xx x x x x x x x ex x 2tan ) 1 ( lim 2tan ) 1 ( 1 1 12tan 11 )1 1 ( lim )2 ( lim ppp- - - ® ® ® = - + = - p p p pp p p p p 2 2sin 2 2 cos ) 1 (2 2 sin lim2 cos 2 sin ) 1 ( lim 2 tan ) 1 ( lim 1 1 1 = - - + - = - = - ® ® ® xxx x x x x x x x x x p2e= \原式 (4) )33 ( lim 11 1 2+ ¥® - x x x x 解： 3ln 3 ln )1 ( 1lim ) 1 3( 3 lim ) 3 3 ( lim 2 111 1121112= + ×= - × = - ¥® + - + ¥® + ¥® x x x x x x x x x x x xx 其中 等价 与 )1 ( 11 3111 + - + - x x x x ， 13 lim 1 1= + ¥ ® x x (5) ) cos 1sin 1 (lim 2 2 2 0xx x x - ® 解： 42 22 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 sin cos lim cos sin sin cos lim ) cos 1 sin 1 ( lim x xx x x x x x x x x x x x x x - = - = - ® ® ® 32) 3 1 ( 2 3 sin lim 2 sin cos lim sin cos lim2 0 03 0 - = - × = - = + × - = ® ® ® x x x x x x x x x x x x x x (6) xx xx ) 1cos 2 (sin lim + ¥ ® 解：令 x t 1 = 则 ) cos 2 ln(sin 10 10 lim ) cos 2 (sin lim ) 1 cos 2 (sin lim t t t t t t x x et t xx + ® ® ¥ ® = + = +2 1 cos 2 sin lim ) cos 2 ln(sin lim0 0 = - + = + ® ® tt t t t t t t ， 2e= \原式 3. 2 2lim 2 2 2 = - - + + ® x x b ax x x ,求: b a , （本题满分 8 分） 解： b ax + + 2 x 和 2 x 2 - -x 均为多项式，它们都是连续函数且n 阶可导， 2 ® x 时 0 2 x 2 ® - - x 故一定符合洛必达法则的条件2 = \x 时 0 x 2 = + + b ax 即 02 4 = + + b a 2 234 1 2 2 lim 2 lim 2 2 2 2 = Þ = + = - + = - - + + \ ® ® a a x a x x x b ax x x x 8, 2 - = = \ b a 4.设 î íì > - £ = 1 , 1 1 , ) ( 2 x x x x x f ， ï îïí ì > + £ < - £ = 5 , 3 5 2 ), 1 ( 2 2 , ) ( x x x x x xx g , 考察 )] ( [ x g f 的连续性. （本题满分 11 分） 解： ï ï îïïíì > - - £ < - £ < - £ = îí ì > - £ = = 5 , 2 5 2 , 2 3 2 1 , 1 1 , 1 ) ( ), ( 1 1 ) ( ), ( )] ( [ ) ( 22 x x x x x x x x x g x g x g x g x g f x F 0 1 1 ) ( lim 1= - = + ® x F x ， 1 ) ( lim 1= - ® x F x ， ) (x F \ 在 1 = x 处不连续1 4 3 ) ( lim2 - = - = +® x F x ， 1 2 1 ) ( lim 2 - = - = -® x F x ， ) (x F \ 在 2 = x 处连续7 2 5 ) ( lim 5- = - - = + ® x F x ， 7 10 3 ) ( lim 5- = - = - ® x F x ， ) (x F \ 在 5 = x 处连续综上可得， )] ( [ x g f 在 ）， （ ） ， （ ¥ + È ¥ 1 1 上连续，在 1 = x 处间断， 1 = x 为其跳跃间断点。
上海财经大学出版的高数习题集答案 第一章 函数与极限
（3）举例证明不一定存在，
x6 x6 x6 x6 x6 ， lim ( ) x 4 3 x 4 2 x 4 1 x x 4 1 x 4 3
lim(
x 0
sin 2 x e 2 ax 1 ) 2 2a a ，即 a 2 。 x x
x 1 x 1
由题知 lim x(
x
ln(1
f ( x) f ( x) ) tan x lim tan x lim f ( x) 2, x 0 x ln 3 x 0 x 2 ln 3 3x 1
x2 1 b x2 1 b a ) 0 ，则 lim ( a )0 x x ( x 1) x( x 1) x x
（4） lim
2 sin x sin 2 x 2 sin x 2 sin x cos x 2 sin x(1 cos x) lim lim x 0 x 0 x 0 xa xa xa 2 x 2x lim a2 lim x a 3 1, 所以 a 3 。 x 0 x 0 x
sin x 2 x2 sin x 2 为 x 0 时的无穷小， lim 0 ，所以 x 0 ln(1 2 x ) x 0 2 x ln(1 2 x)
1 1 （7）A： lim (1 ) x 1 ，因为由第三章第三节介绍的罗比达法则 lim (1 ) x x 0 x 0 x x
f (5) 11 。由 f (0) 1 和 f (1) 1 知 f ( x) 在 (0,1) 内至少有一个实根。
（1） ① lim
x 0
由 f (0) 1 和 f (1) 5 知 f ( x) 在 (1,0) 内至少有一个实根。由 f (0) 1 ，
高等数学第一章函数例题及答案
高等数学第一章 函数、极限、连续§1．1 函数一．求函数的定义域例1．求函数()2100ln ln ln x x x f -+=的定义域 例2．求5ln 1-+-=x x x y 的定义域例3．设()x f 的定义域为[]()0,>-a a a ，求()12-x f 的定义域 例4．设()⎩⎨⎧≤≤<≤=42 ,220 ,1x x x g 求()()()12-+=x g x g x f 的定义域，并求⎪⎭⎫ ⎝⎛23f 。
二．求函数的值域 例1．求3311-=x ey 的值域例2．求()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤---<-==2,2122,52,323x x x x x x x f y 的值域，并求它的反函数 三．求复合函数有关表达式 1．已知()x f 和()x g ，求()[]x g f 例1．已知()1-=x xx f ，求()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11x f f 例2．设()21x x x f +=，求()()[]()重复合n x f x f f f n =例3．设()⎩⎨⎧>≤-=2,02,42x x x x f ，求()[]x f f 2．已知()x g 和()[]x g f ，求()x f 例1．设()x e e e f x xx++=+21，求()x f例2．已知()xxxee f -='，且()01=f ，求()x f例3．设()x x fsin =，求()x f '例4．已知()x x f 2cos 3sin -=，求证()x x f 2cos 3cos += 3．已知()x f 和()[]x g f ，求()x g例．已知()()x x f +=1ln ，()[]x x g f =，求()x g 解：()[]x fx g 1-=实际上为求反函数问题()[]()[]x x g x g f =+=1ln ，()x e x g =+1 ()1-=x e x g 4．有关复合函数方程 例．设()x x f x x f 2311-=⎪⎭⎫⎝⎛-+，求()x f 四．有关四种性质例1．设()()x f x F ='，则下列结论正确的是[ ]（A ）若()x f 为奇函数，则()x F 为偶函数。
第一章 函数与极限答案
第一章 函数与极限一 函数（见§1.1） Ⅰ 内容要求（ⅰ）在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调性、周期性和有界性）的了解。
（ⅱ）理解复合函数的概念，了解反函数的概念，了解分段函数的概念。
（ⅲ）记忆基本初等函数的图象，了解初等函数的概念，自学双曲函数及反双曲函数。
（ⅳ）学会建立简单实际问题中的函数关系式。
Ⅱ 基本题型（ⅰ）有关确定函数定义域的题型1．（4分）1)2ln()(+-=x x x f 的定义域为 21<<-x2．（4分）)2ln(1)(x x x f -+=的定义域为 [))2,1(1,1 -3．（4分）)32arcsin(-=x y 的定义域为--------------- （ D ） A )2,1( B )2,1[ C ]2,1( D ]2,1[ 4．设)(x f 的定义域D = ]1,0[，求下列各函数的定义域： （1）（6分）)(2x f []1,1-∈x（2）（6分）)2(xf (]0,∞-∈x（3）（7分）)31()31(-++x f x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈32,31x （ⅱ）有关确定函数（反函数）表达式的题型 5．（4分）已知： x xf cos 1)2(sin+=，则)(x f =)1(22x - 6．（4分）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=0,10,00,1)(x x x x f ，则=)]([x f f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=0,10,00,1)(x x x x f7．求下列函数的反函数（1）（4分）31+=x y 1,133-=-=x y y x （2）（4分）x x y +-=11 xxy y y x +-=+-=11,11 )1(-≠x（3）（6分）)2ln(1++=x y 2211-=⇒-=--x y e y e x8．（7分）已知：,2sin )(,)(3x x x x x f =-=ϕ 求)].([)],([x f x f ϕϕ解：x x x x x f 2cos 2sin 2sin 2sin )]([233-=-=-=ϕϕϕ)(2s i n )(2s i n )]([3x x x f x f -==ϕ9．（10分）设x e x g x x x x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<=)(,1||,11||,01||,1)(，求)]([x g f 和)]([x f g ，并作出这两个函数的图形。
(完整版)函数、极限与连续习题及答案
第一章 函数、极限与连续(A)1．区间[)+∞,a 表示不等式( )A ．+∞<<x aB ．+∞<≤x aC ．x a <D ．x a ≥ 2．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t 3．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 D ．()1,1-4．下列函数()x f 与()x g 相等的是( )A ．()2x x f =，()4x x g =B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g 5．下列函数中为奇函数的是( )A ．2sin xx y = B ．xxe y 2-= C ．x x x sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+= 6．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,0 7．设函数()x e x f =(0≠x )，那么()()21x f x f ⋅为( )A ．()()21x f x f +B ．()21x x f +C ．()21x x fD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x f8．已知()x f 在区间()+∞∞-,上单调递减，则()42+x f 的单调递减区间是( ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在 9．函数()x f y =与其反函数()x fy 1-=的图形对称于直线( )A ．0=yB ．0=xC ．x y =D ．x y -=10．函数2101-=-x y 的反函数是( ) A ．2lg-=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log 2= D ．()2lg 1++=x y 11．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 12．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件13．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 14．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值15．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以n n 2-为极限 D ．不存在在极限 16．=∞→xx x 1sin lim ( )A ．∞B ．不存在C ．1D ．017．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A ．2-eB ．∞C ．0D ．21 18．无穷小量是( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为 ，()0f = ，()1f = 。
高等数学课后习题答案--第一章 函数与极限
第一章 函数与极限1. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6sin )6(ππϕ=21=224sin )4(==ππϕ()0222)4sin()4(==-=-ϕππϕ2. 设()x f 的定义域为[]1,0，问：⑴()2x f ； ⑵()x f sin ； ⑶()()0>+a a x f ； ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么？（1）][；，－的定义域为所以知－11)(,111022x f x x ≤≤≤≤ []ππππ)12(,2)(sin ),()12(21sin 0)2(+∈+≤≤≤≤k k x f Z k k x k x 的定义域为所以知由][a a a x f ax a a x -+-≤≤≤+≤1,)(110)3(－的定义域为所以知－由 ][φ时，定义域为当时，定义域为当从而得－知由211,210111010)4(>-≤<⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a a a a ax a ax a a x a x3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ，()xe x g =，求()[]x gf 和()[]x fg ，并做出这两个函数的图形。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=-1,1,11,)]([.)20,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)(x e x x e e x f g x x x x g f x g x g x g x g f x f 从而得4. 设数列{}nx 有界, 又,0lim =∞→nn y证明:.0lim =∞→n n n y x{}结论成立。
从而时，有，当自然数即又有对有界，∴=<=-<>∃>∀=≤∀>∃∴∞→ ..0)(,0,0lim ,,0εεεεMM y x y x My N n N y Mx n M x n n n n n n n n n 5. 根据函数的定义证明: ⑴()813lim 3=-→x x8)13(lim 813303,033,33813,03=-<--<-<>∀<-<-=-->∀→x x x x x x x 所以成立时，恒有，当＝取故即可。
高数第一章 函数与极限答案(2013)
第一章 函数与极限答案第一节 映射与函数1.填空题: （1）2,1-≥±≠x x ； （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤--+=10011x x x xy ； （3）{0}； （4）a ；（5）x x 1-， x ；（6）⎩⎨⎧≤<≤-=32231-x ()1-(2x x xx f ）2. 选择题:（1）C ； （2）A ； （3） B ； （4）B ； （5） B ； （6）C ； （7）C ； 3． 352)1(0,1,22++=+===x x x g c b a ；；4． )1(22x -；5. 22()0()()()0x x f x x x x ⎧--≤-=⎨-+-->⎩，即：220()0x x f x x x x ⎧≥=⎨-<⎩ 6. 解：22()(1)f x f x x +-= （1）令1x t =- 得22(1)()(1)f t f t t -+=-22(1)()(1)f x f x x -+=- （2）由（1）和（2）得；221()3x x f x +-=7． （1）|sin |y x =； （2）sin ||y x =； （3）2sin 2x y =.8．设[()]f g x 由(),()y f u u g x ==复合而成的，证明：（1） 若()g x 是偶函数，则[()]f g x 是偶函数。
（2） 若()f x 单调增加，()g x 单调减少，则[()]f g x 单调减少。
（略）第二节 数列的极限1.填空题:（1）0； （2）0； （3）6,0==b a ；（4）数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的必要条件. 数列{}n x 收敛是数列{}n x 有界的充分条件. 2．选择题:（1）B ； （2） D ； （3） D ； 3. 根据数列极限的定义证明: （略）4. 若a u n n =∞→lim ，证明a u n n =∞→lim .并举例说明反之不成立.提示：利用不等式：a u a u a u n n n -≤-≤-5. 设数列{}n x 有界，又0lim =∞→n n y ，证明:0lim =∞→n n n y x . （略）第三节 函数的极限1．填空题:（1）=+)0(f b ，=-)0(f 1 . 当=b 1 时，1)(lim 0=→x f x .（2） 充分必要（3） 必要；充分；必要；充分；充分必要. 2．选择题:（1） A ； （2） C ； （3） D ； （4） C 3. 根据函数极限的定义证明: 8)13(lim 3=-→x x ； （略）4．证明xx 1sinlim 0→不存在. 提示：取2个子序列趋于0，但极限不等。
第一章 函数与极限答案
第一章 函数与极限第一节 映射与函数1.填空题:（1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ϕ=的图形关于 x y = 对称.（2）函数21()1f x x=-的定义域为__________________________； （3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} .（4）设b ax x f +=)(，则=-+=hx f h x f x )()()(ϕ a . （5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数2xx e e y --=的反函数为 。
（7）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <12. 选择题:（1）下列正确的是：(B ，C )A.2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数.C.⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数.D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. .（2）)sin()(2x x x f -=是( A ).A.有界函数；B. 周期函数；C. 奇函数；D. 偶函数.（3）设54)(2++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ).A.1；B.–1；C.2；D.–2.（4）函数21arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ）(A)1≤x ； (B)13≤≤-x ；(C))1,3(-； (D){}{}131≤≤-⋂<x x x x .（5）函数⎩⎨⎧≤<+≤≤--=30,104,3)(2x x x x x f 的定义域是（ ）(A)04≤≤-x ； (B)30≤<x ;(C))3,4(-; (D){}{}3004≤<⋃≤≤-x x x x .（6）函数x x x y sin cos +=是（ ）(A)偶函数； (B)奇函数； (C)非奇非偶函数； (D)奇偶函数.（7）函数x x f 2cos 1)(π+=的最小正周期是（ ）(A)2π； (B)π； (C) 4 ； (D)21 . （8）函数21)(x x x f +=在定义域为（ ）(A)有上界无下界； (B)有下界无上界；(C)有界，且 2121)(≤≤x f ； (D)有界，且2122≤+≤-xx . （9）与2)(x x f =等价的函数是（ ）(A) x ； (B) 2)(x ； (C) 33)(x ； (D) x .3．设132)1(2--=-x x x g（1） 试确定c b a ,,的值使c x b x a x g +-+-=-)1()1()1(2 ；（2） 求)1(+x g 的表达式解. 352)1(,0,1,22++=+===x x x g c b a4．求x x x f sgn )1()(2+=的反函数)(1x f -.解：⎪⎩⎪⎨⎧-<+--=>-=-1,)1(0,01,1)(1x x x x x x f5．设249)3lg(1)(x x x f -+-=，求)(x f 的定义域及)]7([-f f 。
高等数学第1章课后习题答案(科学出版社).
第一章函数、极限、连续习题1-11．求下列函数的自然定义域：x3+ (1)y=21-xx-1arccos (3) y=解：(1)解不等式组⎨(2) y=arctan1x⎧3x≠1⎪(4) y=⎨. ⎪3 , x=1⎩⎧x+3≥0得函数定义域为[-3,-1) (-1,1) (1,+∞); 2⎩1-x≠0⎧3-x2≥0(2)解不等式组⎨得函数定义域为[ ; ⎩x≠0x-1⎧-1≤≤1⎪(3)解不等式组⎨得函数定义域为[-4,-2) (3,6]; 52⎪⎩x-x-6>0(4)函数定义域为(-∞,1].2．已知函数f(x)定义域为[0,1]，求ff(cosx),f(x+c)+f(x-c) (c>0)义域．解：函数f要有意义，必须0≤1，因此f的定义域为[0,1]；同理得函数f(cosx)定义域为[2kπ-,2kπ+]； 22⎧0≤x+c≤11函数f(x+c)+f(x-c)要有意义，必须⎨，因此，（1）若c<，定义域为：2⎩0≤x-c≤1（2）若c=[c,1-c]；的定ππ111，定义域为：{；（3）若c>，定义域为：∅． 222 1⎛x-a⎫3．设f(x)=2 1-⎪,a>0,求函数值f(2a),f(1)． x⎝|x-a|⎭解：因为f(x)=f(2a)=1⎛x-a⎫1- ⎪，所以 2x⎝|x-a|⎭1⎛a⎫1⎛1-a1-=0，f(1)=1- ⎪2 4a⎝a⎭12 ⎝-a⎫⎧2 ,a>1,． =⎪⎪⎨0 ,0<a<1⎭⎩4. 证明下列不等式:(1) 对任何x∈R有 |x-1|+|x-2|≥1;(2) 对任何n∈Z+有 (1+1)n+1>(1+1)n; n+1n(3) 对任何n∈Z+及实数a>1有 a-1≤a-1. n1n证明：（1）由三角不等式得|x-1|+|x-2|≥|x-1-(x-2)|=1（2）要证(1+1)n+1>(1+1)n，即要证1+1>n+1nn+1=111(1+)+(1+)+ +(1+)+11 < =1+n+1n+1得证。
第一章函数与极限答案
第一章 函数与极限答案第一节 映射与函数1.填空题: （1）2,1-≥±≠x x ； （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤--+=10011x x x xy ； （3）{0}； （4）a ；（5）x x 1-， x ；（6）⎩⎨⎧≤<≤-=32231-x ()1-(2x x xx f ）2. 选择题:（1）C ； （2）A ； （3） B ； （4）B ； （5） B ； （6）C ； （7）C ； 3． 352)1(0,1,22++=+===x x x g c b a ；；4． )1(22x -；5. 22()0()()()0x x f x x x x ⎧--≤-=⎨-+-->⎩，即：22()0x x f x x x x ⎧≥=⎨-<⎩6. 解：22()(1)f x f x x +-= （1）令1x t =- 得22(1)()(1)f t f t t -+=-22(1)()(1)f x f x x -+=- （2）由（1）和（2）得；221()3x x f x +-=7．解：设圆锥的半径与高别离为,r h ，那么由图知2(2)r R ππα=⋅-，即 (2)2R r παπ-=.从而12h π== 故2222222211(2)1433421(2)4,02.24RV r h Rπαπππααπππαπαααππ-==⋅⋅-=--<<8.（1）|sin|y x=；（2）sin||y x=；（3）2sin2xy=. 9．设[()]f g x由(),()y f u u g x==复合而成的，证明：（1）若()g x是偶函数，那么[()]f g x是偶函数。
（2）若()f x单调增加，()g x单调减少，那么[()]f g x单调减少。
（略）第二节数列的极限1.填空题:（1）0；（2）0；（3）6,0==ba；（4）数列{}n x有界是数列{}n x收敛的必要条件. 数列{}n x收敛是数列{}n x有界的充分条件. 2．选择题:（1）B；（2） D；（3） D；3. 依照数列极限的概念证明: （略）4. 假设aunn=∞→lim，证明aunn=∞→lim.并举例说明反之不成立.提示：利用不等式：auauaunnn-≤-≤-5. 设数列{}n x有界，又0lim=∞→nny，证明:0lim=∞→nnnyx. （略）第三节 函数的极限1．填空题:（1）=+)0(f b ，=-)0(f 1 . 当=b 1 时，1)(lim 0=→x f x .（2） 充分必要（3） 必要；充分；必要；充分；充分必要. 2．选择题:（1） A ； （2） C ； （3） D ； （4） C 3. 依照函数极限的概念证明: 8)13(lim 3=-→x x ； （略）4．证明xx 1sinlim 0→不存在. 提示：取2个子序列趋于0，但极限不等。
第1章函数与极限习题解答
第1章 函数与极限习题解答1. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.解 不一定. 例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim0=→x x x βα, )()(x x βα不是无穷小.2. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .3. 证明: 函数x x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取 πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .4. 计算下列极限:(1)121lim22---∞→x x x x ;解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x . (2)13lim242--+∞→x x x x x ; 解 013lim242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零) 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x xx x x . (3))1311(lim 31xx x ---→; 解 112lim)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 212122131-=+++-=++-+--=++--++=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . (4)xx x 1sin lim 20→; 解 01sin lim 20=→x x x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量). (5)xx x arctan lim ∞→. 解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小, 而arctan x 是有界变量). (6)x x x cot lim 0→;解 1cos lim sin lim cos sin lim cot lim 0000=⋅=⋅=→→→→x x x x x x x x x x x x . (7)xx x x sin 2cos 1lim 0-→; 解法1 ()22200021cos 21cos 22limlim lim 2sin x x x x x xx x x x→→→--===.解法2 2sin lim 2sin sin 2lim sin 2cos 1lim 0200===-→→→xx x x x x x x x x x .(8)n n n x2sin2lim ∞→(x 为不等于零的常数). 解 x x xx x nn n n n n =⋅=∞→∞→22sinlim 2sin 2lim .(9)xx x 1)21(lim +→;解[]2221022101)21(lim )21(lim )21(lim e x x x x x x x x x =+=+=+→⋅→→.(10)x x xx 2)1(lim +∞→;解 []222)11(lim )1(lim e xx x xx x x =+=+∞→∞→.5. 利用极限存在准则证明:(1)111lim =+∞→nn ; 证明 因为n n 11111+<+<, 而 11lim =∞→n 且1)11(lim =+∞→n n , 由极限存在准则I, 111lim =+∞→n n .(2)()11211lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n ; 证明 因为()πππππ+<++⋅⋅⋅++++<+22222221 211n n n n n n n n n n , 而 1lim22=+∞→πn n n n , 1lim 22=+∞→πn n n ,所以 ()11211lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n . (3)[]11lim 0=+→xx x . 证明 因为[]x x x 1111≤<-, 所以[]111≤<-x x x . 又因为11lim )1(lim 00==-++→→x x x , 根据夹逼准则, 有[]11lim 0=+→xx x .6. 无穷小概念题(1) 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？ 解 因为02lim 2lim202320=--=--→→xx x x x x x x x , 所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2).(2) 当x →1时, 无穷小1-x 和(ⅰ)1-x 3, (ⅱ))1(212x -是否同阶？是否等价？ 解 (ⅰ)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小. (ⅱ) 因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.7. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: 解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2) ⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00. (3)33001sin (1)tan sin cos limlim sin sin x x x x xx xx →→--= 2220011cos 12lim lim cos sin cos 2x x xx x x x x →→-===. (4)因为sin tan tan (cos 1)x x x x -=-22312tan sin~2()222x x x x x =--⋅=-， (x →0)，211~3x (x →0)111~sin ~22x x (x →0),所以300212lim 31132x x x x x→→-==-⋅. 8. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续: (1)23122+--=x x x y ， x =1， x =2；解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点; 因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的.(2)x xy tan =, x =k π, 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)； 解 函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. 因∞=→xxk x tan limπ(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim0=→xxx ,0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的. (3) ,1cos 2x y = x =0；解 因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点. 又因为xx 1cos lim 20→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点. (4) ⎩⎨⎧>-≤-=1 311x x x x y ， x =1。
第1章 函数与极限 (详解答案)
第一节 映射与函数1. 填空题（1） [)4,5 （2）21x y e -=+, x R ∈ （3）214x（4）ln y t = ，cos t u =，vu e=，v x=（5）[]1,3 （6）15 （7）a （8）1 （9） 62. 选择题（1）D （2）B （3）B （4）C （5）A （6）B （7）B （8）A （9）D （10）D 3. 解：设 1t x =+ ，则1x t =-22()sin[(1)2(1)]2(1)sin(1)22f t t t t t t ∴=-+---=--+从而2(1)sin[(1)1]2(1)2f x x x -=----+2sin(2)24x x x =--+4. 解：1()11[1()]12()321xf x x x f f x x f x x x----++===-++++5. 解：（1） 由0sin 1x ≤≤ 解得 22k x k πππ≤≤+ k Z ∈(sin )f x ∴的定义域为{}22,k x k k Z απππ≤≤+∈（2） 由011011x a a x a x a a x a≤+<-≤≤-⎧⎧⇒⎨⎨≤-<≤≤+⎩⎩当 1a a -<时，即12a > 时， 不等式组无解，从而()()f x a f x a ++-定义域为∅当1a a -≥时，即12a ≤时不等式的解为1a x a ≤≤-所以()()f x a f x a ++-的定义域为{|1}x a x a ≤≤- 6. 解：设221xx y =+，解得21x y y=-从而2log ()1y x y=-，01y <<所以221xx y =+的反函数为：2log ()1x y x=-，01x <<7. 解：当10x -≤≤时，2()y f x x ==，解得x y =-，01y ≤≤当01x <≤时 ()l n y f x x ==，解得yx e = 0y -∞<≤当12x <≤时 12x y e -=，解得1ln2y x =+，22y e <≤综合得1,01(),01ln ,222xx x f x e x xx e -⎧-<≤⎪⎪=-∞<≤⎨⎪⎪+<≤⎩8. 解：1()sin662ππϕ==; 2()sin 442ππϕ-=-=; (2)0ϕ-=;图形略. 9. 解：22()1()1()x f x x ⎧--⎪-=⎨--⎪⎩ ，x x -≤>211x x-⎧=⎨-⎩ ，x x ≥<当0x >时，2()1f x x =- 2()1f x x -=- ()()0f x f x ∴+-= 当0x <时，2()1f x x =- 2()1f x x -=- ()()0f x f x ∴+-= 当0x =时，(0)1f =- ()()2(0)f x f x f +-==- 综合得0,0()()2,0x f x f x x ≠⎧+-=⎨-=⎩10. 解：1[()]01f g x ⎧⎪=⎨⎪-⎩，()1()1()1g x g x g x <=>101⎧⎪=⎨⎪-⎩，000x x x <=>()1,1[()]1,1,1f x e xg f x ex e x -⎧<⎪===⎨⎪>⎩11. 解：当0x <时，()x x ϕ=11[()][()()][]022f x x x x x ϕϕϕ=+=-=当0x ≥时，2()x x ϕ=21[()][()()]2f x x x xϕϕϕ=+=综合得：2[()]f x xϕ⎧=⎨⎩ ，00x x <≥12. 解：22()(1)f x f x x +-= ，① 令1t x =-，1x t =-代入①得22(1)()(1)f t f t t -+=-即22(1)()(1)f x f x x -+=-② 联立① ②解得21()(21)3f x x x =+-13. 解：()xf x e = 2()[()]x f x e ϕϕ∴=又[()]1f x x ϕ=- ，从而2()1x e x ϕ=-()ln(1)x x ϕ⇒=- ， 0x ≤14. 解：当20x -≤<时，即022x ≤+<22()(2)2(2)(2)2f x f x x x x x=+=+-+=--当02x ≤≤时，2()2f x x x =- 当24x <≤时，即022x <-≤22()(2)2(2)(2)68f x f x x x x x =-=---=-+-综合得2222()268x x f x x xx x ⎧--⎪=-⎨⎪-+-⎩ [2,0)[0,2](2,4]x x x ∈-∈∈15. 解：0.15()7.50.25(50)xf x x ⎧=⎨+-⎩ ，05050x x <≤>16.解：（1）90900.01(100)75P x ⎧⎪=--⎨⎪⎩， 010010016001600x x x ≤≤<≤> （2）.230310.0115x L x xx ⎧⎪=-⎨⎪⎩00010016001600x x x ≤≤<≤> （3）. 21000()L =元 17. 解：由题设圆锥的高为R 圆锥的底圆周长为(2)R πα- 从而底圆半径为22Rπαπ-于是圆锥的体积22312(2)3212V R R R παπαπππ--⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭18. 证明：（1）()g x 为偶函数，则有()()g x g x -= [()][()f g x f g x -=所以[()]f g x 为偶函数 （2）又12x x ∀<由于()g x 单调减小，则有12()()g x g x > 又()f x 单调增加，则有12[()][()]f g x f g x > 所以[()]f g x 单调减小19. 证明：()f x 为奇函数，故()()f x f x =-，任取120l x x -<<<，则有210x x l<-<-<又()f x 在(0,)l 内单调增加2121()()()()f x f x f x f x ∴-<-⇒-<- 即12()()f x f x <所以()f x 在(,0)l -内单调增加第二节 数列的极限1、填空题（1）0 （2）必要 （3）-12、选择题（1）B （2）D3. （1）lim 0n n x →∞=（2）lim 0n n x →∞=（3）3lim 2n n x →∞=（4）发散4. 证明： {}n x 有界，即0M ∃>，使n x M < 又lim 0n n y →∞= ，即0ε∀>，存在正整数N ，当n N >时，有0n n y y M ε-=<于是0n n n n x y x y M Mεε-=<= ，即lim 0n n n x y →∞=5. 证明： lim n n u a →∞= 从而0ε∀>，存在正整数N ，n N >当时，有n u a ε-<又n n u a u a ε-≤-< l i m n n u a →∞∴=反之不成立，例如(1)n n u =- l i m 1n n u →∞= 但lim lim (1)n n n n u →∞→∞=-不存在6. 证明：对任意0ε>由2lim k k x a →∞=，则10K ∃>，当1k K >时，则有2k x a ε-< ①21lim k k x a -→∞=，则20K ∃>，当2k K >时，有21k x a ε--< ②取{}12max 2,21N K K =-，当n N >时，若n 为偶数，设1122n k N K k K =>≥⇒> 由①得2n k x a x a ε-=-<若n 为奇数，设222121n k N K k K =->≥-⇒> 由②得21n k x a x a ε--=-<综合得0ε∀>，取{}12max 2,21N K K =-，当n N >时，有n x a ε-< l i m n n x a →∞∴=7. 证明：取2n k =，则2241k k x k =+有221lim lim412k k k k x k →∞→∞==+取21n k =-，则212143k k x k --=-- 21211lim lim 432k k k k x k -→∞→∞-=-=--221lim lim k k k k x x -→∞→∞≠数列{}n x 的极限不存在8. （1）证明：0ε∀>，取93N ε=-，当n N >时，有3993333n n n N ε-=<=+++3lim33n n n →∞∴=+（2）证明:0ε∀>，取4N ε=，当n N >时，有22244441(4)n n nnnnn n n ε++--==<<++24lim1n n n→∞+∴=第三节函数的极限1、填空题（1）充分 充分 （2）不存在 ，1 （3） b ，1，12、选择题（1）C （2）D （3）D （4）A3. （1）2 （2） 0 （3）23 （4）2π4. 解： 1111lim ()lim (1)2x x f x x --→→=+= 1111lim ()lim (1)0x x f x x ++→→=-=由于1111lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠∴当1x →时，函数的极限不存在5. 解：由题设2()2x f x xx -⎧⎪=⎨⎪-⎩1111x x x <--≤≤>11lim ()lim 1x x f x x --→→∴==；11lim ()lim (2)1x x f x x ++→→=-=-，于是1lim ()x f x →∴不存在又11lim ()lim (2)3x x f x x --→-→-=-=- ；11lim ()lim 1x x f x x ++→-→-==-，于是1lim ()x f x →-∴不存在6. （1）证明：0ε∀>，取3εδ=，当0x δδ<-<时，(32)4323x x δε--=-<=2lim (32)4x x →∴-=（2）证明：0ε∀>，取21K ε=，当x K <时cos 110x xxKε-<<=cos lim0x x x→+∞∴=7. 证明：设1()sinf x x=，取122n x n ππ=+，则0n x →当n →∞时，1lim ()lim sin1n n n nf x x →∞→∞==再取1'n x n π=，则0n x →，（n →∞）1lim (')lim sin0'n n n n f x x →∞→∞==由函数极限与数列极限的关系知01lim sinx x→不存在8. 证明：lim ()x f x A →+∞= ，∴对取定的02A ε=>，存在0M >，当x M >时，有()2A f x A -<从而()()2A f x A f x A -<-<，故有()2A f x >第四节 无穷小与无穷大1、 填空题（1）0， -5 （2）0 （3） 无穷小 （4）∞2、 选择题（1）A （2）D （3）C3. （1）解：有限个无穷小之和仍为无穷小 （2）无穷小与有界变量的乘积仍是无穷小 （3）lim ln x x →∞=+∞ 1l i mln x x→∞∴=（4）无穷小与有界变量的乘积仍是无穷小4. （1）证明：0ε∀>，取δε=，当01x δ<-<时，21011x x x δε--=-<=+211lim1x x x →-∴=+（2）证明：对任意0M >，取11m in{,}22Mδ=，当x δ<时，1212||2112x x x Mxxx x+-+=>>> 021limx x x→+∴=∞5. 解：取2n x n π=→∞ ()2n f x n π=lim ()lim 2n n n f x n π→∞→∞∴==∞故()cos f x x x =在(,)-∞+∞内无界 但'22n x n ππ=+→∞(')0n f x = l i m (')nn f x →∞= 由海涅定理知，当x →+∞时，函数不是无穷大第四节 极限运算法则1、填空题（1） 发散 （2） 0，6 （3） 0 （4）不存在2、选择题（1）D （2）C （3）D （4）B3. （1）解：=0原式（2）解：()()()()333111=limlim3333x x x x x x x x →→---==-++原式（3）解：()321133311=lim311x x x x x →-=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭原式（4）解：=3原式 （5）解：=0原式 （6）解：70209938=5原式（7）解：=2原式 （8）解：()()()()232211112132=limlim lim11111x x x x x x x x xx xx x x →→→-+++-+==-=--++-++原式（9）解：()()()()444221291414=limlimlim333222123x x x x x x x x x x x →→→-++--===---++原式（10）解：()22222111=limlimlim211111x x x x x xx x xx xx→∞→∞→∞+-===++++++原式（11）解：2222()11=limlim2()x x a x aax a x a a x a→→+-==++++原式（12）解：原式=()()()()1212111lim11n n m m x x x x x x xxx ----→-++++-++++=121211lim 1n n m m x x x x n xxx m----→++++=++++（13）解：原式=213(21)lim n n n →∞+++- = 222lim 1n n n n→∞=（14）解：原式= 1211333lim213nn n +→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭=13（15）解：原式=11111lim 12231n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =1lim 11n n →∞⎛⎫-⎪+⎝⎭ = 1（16）解： 原式=112112lim 113113nnn →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭-⎛⎫- ⎪⎝⎭-=1212lim31123nnn →∞⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=43（17）解： ()2233lim 03x x x x→-=+ ∴原式= ∞（18）解： 1lim0xxx e e-→+∞=+ c o s 1x ≤ ∴原式=0（19）. 原式=21(1)(1)(1)lim1nx x x x x →-+-++--=2121(1)1(1)(1)(0)lim1n n x x x x x xxx x --→⎡⎤-+-+++++++++⎣⎦-=211lim 1(1)(1)(1)n x x x x x x -→⎡⎤++++++++++⎣⎦=123n ++++ =(1)2n n +（20）. 解：原式=2222(1)(1)lim11x x x x x x x x x →∞++--++++-+=222lim11x xx x x x →∞+++-+又222222limlim11111111x x xx x x x x x xxx→+∞→+∞+++-++++-+同除=1222222limlim11111111x x xx x x x x x xx x→-∞→-∞-+++-++++-+同除=-1故此极限不存在4. 解：0lim ()lim (1)1x x f x x --→→=-=-2331lim ()lim 11x x x x f x x ++→→+-==-+lim ()1x f x →∴=-2331lim ()lim01x x x x f x x →+∞→+∞+-==+lim ()lim (1)x x f x x →-∞→-∞=-=-∞5. 解：因为21lim 01x x ax b x →∞⎛⎫+--=⎪+⎝⎭所以()()()211lim01x a x a b x b x →∞--++-=+由公式得100a ab -=⎧⎨+=⎩ 解得11a b =⎧⎨=-⎩6. 解：24lim94x x ax b x →++=- ()4l i m 40x x →-= ()24lim 0x x ax b →∴++= 即 4x = 是方程 20x ax b ++= 的一个根设()()24x ax b x c x ++=+-于是有()2449lim lim 44x x x ax b x c c x →→++==+=+-5c ∴=即()()225420x ax b x x x x ++=+-=+- 1a ∴= 20b =-7. 解：由33lim 10x x ax →∞⎡⎤--=⎣⎦得 331lim 10x x a x→∞⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦331lim 10x a x →∞⎡⎤⇒--=⎢⎥⎣⎦331lim11x a x→∞∴=-=-8. 解：由32()2lim2x f x xx→∞-=可设32()22f x x x ax b =+++又0()lim3x f x x→= 0lim ()0x f x →∴=可得0b =32223limx x x axa x→++∴==于是32()223f x x x x =++第六节 极限存在准则，两个重要极限1 填空题 （1）1 （2）1ln 83 （3）92 选择题（1）B （2）A （3）C （4）D 3 计算下列极限（1） 解：原式0sin 34limtan 32x xx x x→+==+（2） 解：原式22sin sin lim2lim2sin x x x x x x x →→===（3） 解：原式0cos lim limcos 1sin sin x x x xx x xx→→===（4） 解：原式2233000sin 2sin sintan (1cos )1sin 1122lim lim lim cos 2cos 22x x x xx x x x x xx x x x x→→→⎛⎫ ⎪-==== ⎪⎪⎝⎭（5） 解：另2t x π=-，原式000cos sin sin 222lim lim lim 1t t t t t t t t tπππ→→→⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-=-（6） 解：另arccos x t π-=，则()cos cos x t t π=-=-原式221121limlim 1cos 22sin2x x ttt t++→-→-===-（7） 解：原式sin2lim2nn nx x xx →∞==（8） 解：原式2222sin 25214104lim lim 2253535cos x x x x x x x x x x x→∞→∞++===++（9） 解：原式()()221sin111lim 231x x x x →-==+-（10） 解：原式()()sin 411sin 4lim lim41184x x xx x x xx→→++=++=4 计算下列极限（1） 解：原式1lim 22x x xee→∞==（2） 解：原式()121lim212lim 121x x x x x e ex →∞+++→∞⎛⎫=+== ⎪+⎝⎭（3） 解：原式0121lim 21102lim 11x x x xx x e e x →-→⎛⎫+== ⎪-⎝⎭ （4） 解：原式2lim 22lim 1x xx x x e ex ααααα→∞--+→∞-⎛⎫=+== ⎪+⎝⎭（5） 解：原式0lim 3tan cos x x xee →==（6） 解：原式()22cos 111lim20lim 1cos 1x x xx x x e e→--→=+-==⎡⎤⎣⎦（7） 解：原式01lim xx x e xe e →==（8） 解：原式limx xxeeαβαβ→+∞==（9） 解：原式11lim lnlim ln 1ln 1xx x x x e xx →+∞→+∞+⎛⎫==+== ⎪⎝⎭ （10） 解：原式3341133lim 1111xx x e e e x x x x →+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5 证明： （1）2222222nn n n n n n n n n n n πππππ≤+++≤+++++又2222limlim1n n nnn n n ππ→∞→∞==++由两边夹定理得22211lim ()12n n n n n n n πππ→∞+++=+++（2）先证：22n a ≤<，显然122a ≤<，假设22n a ≤< 12242n n a a +≤=<=由数学归纳法得{}n a 有界且22n a ≤< 又1221n n nnna a a a a +==>所以{}n a 是单调递增数列 由单调有界准则得{}n a 有极限 设lim n n a a →∞=，从而有2a a=解得2a =或0a =即lim 2n n a →∞=（3）0x → 不妨设12x <，即1122x -<<13122nn nx ∴<+<又13limlim122nnn n →∞→∞==所以，由两边夹定理得lim 11n n x →∞+=（4）设12n n nn n m x a a a =+++{}12max ,,,m A a a a = ，故nnn n n nn n x A A A m A A m≤+++==又有12nn n n nn n m x a a a A A =+++>=由lim lim n n n A A m A →∞→∞== 故lim n n x A →∞=12lim n n n n n m n x a a a A →∞∴=+++=第七节 无穷小的比较1 填空题（1）1 （2）-1 （3）52（4）22 选择题（1）A （2）C （3）C （4）A 3 计算下列极限（1） 解：原式033lim22x x x →==（2） 解：原式0lim212x xx →==（3） 解：原式03lim3x x x→==（4） 解：原式34lim212x x x x→==（5） 解：原式222sin limlim1x x x x x xx→→===（6） 解：原式00,limlim 1,,n n mmx x n m x xn m xn m -→→>⎧⎪====⎨⎪∞<⎩（7） 解：原式()200221tan cos 12lim lim 31111sin 3232x x x xx x x x x x →→--===- （8） 解：原式0lim x axan x n→==（9） 解：原式()()()11111lim lim1223x x x x x x →→-===-++（10） 解：原式()()222001cos sin 1sin cos 1limlim21sin cos 11cos sin 113lim lim 12224x x x x x x sx x x xxx x xx x x x →→→→-++-==++-⎡⎤⎛⎫=+=+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭4 解：()()0lim1lim 0x x fx fx x→→=∴=于是()()1112f x fx +-所以()()11112limlim 2x x fx fx xx→→+-∴==第八节 函数的连续与间断点1 填空题（1）-1 （2）0 （3）无穷，可去 （4）无穷 2 选择题(1)C (2)A (3)B 3 解：()211lim lim 1x x f x x ++→→==()()()11lim lim 1x x f x f x f +-→→==故()f x 在1x =处连续4 解：()f x 在(),+∞-∞内连续，故()f x 在0x =处连续 ()()0lim lim x x f x f x -+→→∴=()01lim lim sin0x x f x x x--→→== ()()2lim lim x x fx a xa ++→→=+=0a ∴=5 解：()()22211cos 2lim limlim 2x x x ax a x a f x xx---→→→-===()()()20lim lim ln ln 01x x f x b x bf ++→→=+==由()f x 在0x =处连续，有ln 12a b ==解得2a b e ==6 解：()11lim lim1x x xf x e ++→→==+ ()11lim lim11x x xf x e --→→==+()()0lim lim x x f x f x +-→→=所以，()f x 在0x =处连续 7 解：当1x <，即11x -<<时 ()2201lim lim1n nn x x f x x xx-→∞→-==+当1x =时，()221lim01n nn x f x x x→∞-==+当1x >时，()2222111lim lim 2111nnnn n nxx f x x x x x→∞→∞--===-++(),10,0,1x x f x x x x ⎧<⎪∴==⎨⎪->⎩()11lim lim 1x x f x x --→→== ()11lim lim 1x x f x x ++→→==-1x ∴=是()f x 的跳跃间断点()()1111lim lim 1x x f x x --→-→-=-= ()11lim lim 1x x f x x ++→-→-==-1x ∴=-也是()f x 的跳跃间断点第九节 连续函数的运算与初等函数的连续1 填空题（1）()(),00,-∞+∞ （2）1 （3）2 2 求下列极限（1） 解：原式=()(),,f x x F x A x b ∈⎧⎪=⎨=⎪⎩()2lim 211x x x ee→+--=（2） 解：原式334lim sin 2sin 12x x ππ→⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3） 解：原式=()2cos 05610ln 10e +=++-（4） 解：原式22231lim225x x x x x →∞+-==-+（5） 解：原式1112000ln 112lim lim ln 1ln lim 1ln 222x x x x x x x x e x →→→⎛⎫+⎡⎤ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎢⎥==+=+==⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（6） 解：原式()0lim cot sin lim cos cot ln 1sin 0lim x x x xxx x x e ee e →→+→====3 解：函数()()()()()()()()32231111336322x x x x x x x x f x x x x x x +-+-++--===+-+--其连续区间为()()(),33,22,-∞--+∞ 又()()()111lim lim22x x x x f x x →→+-==-()()()33118lim lim25x x x x fx x →-→-+-==--()()()2211lim lim2x x x x fx x →→-+==∞-第十节 闭区间上连续函数的性质1 选择题（1）A (2)B2 证明：设()5333f x x x =+- 在[]0,1上连续，且有()()030110f f =-<=>故由零点定理：()0,1ξ∃∈使得()0f ξ=，x ξ=是()0f x =的根 即：53330x x +-=在()0,1上至少有一个根 3 证明：设()sin f x x a x b =--()f x 在[]0,a b +内连续，且()00f b =-<()()1sin 0f a b a a b +=-+≥⎡⎤⎣⎦所以，由零点定理得：()0,a b ξ∃∈+使得()0f ξ=，x ξ=是()0f x =的根 即方程sin x a x b =+至少有一个根不超过a+b4 证明：设()()F x f x x =-在[],a b 上连续，且()()()()F 0F 0a f a ab f b b =-<=->由零点定理得：(),a b ξ∃∈使得()0f ξ=，即()f ξξ= 5 证明：设()()()[]F 0,x f x f x a x a =-+∈ 它在[]0,a 上连续且()()()F 2a f a f a =-，()()()F 00f f a =-若()()2f a f a =，则取a ξ=，即有()()f f a ξξ=+ 若()()2f a f a ≠，又因为()()02f f a ≠，()()F 020F a ∴< 由零点定理得：()0,a ξ∃∈使得()()f f a ξξ=+ 综合得，[]0,a ξ∃∈使()()f f a ξξ=+ 6 证明：设()lim x bf x A →=做辅助函数()()[),,,fx x a b F x A x b⎧∈⎪=⎨=⎪⎩显然()F x 在闭区间[],a b 上连续，故()F x 在[],a b 上有界 从而()f x 在[),a b 内有界综合练习题（一）1.填空题 （1）()211x x + （2）1 （3）12，3 （4）3 （5）0（6）32（7）-2,3 （8）（1,2） （9）1 （10）12.选择题（1）D （2）C （3）A （4）B （5）D （6）D （7）B （8）A （9）D（10）C3 解：()2222sin sin 12sin 1sin x f x x x=-+-，另2sin t x =所以，()121t f t t t=-+- 即()121x f x x x=-+-4 解：由()1sin af x bf x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭○1另1x t=-， 有()111sin sin af bf t t t t⎛⎫⎛⎫-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()11sinaf bf x x x⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭○2联立○1○2解得()22221sin sinab f x x a ba bx=+--5 解：()()()2243,1121,1012,12,10x x x x x x f x x x ⎧⎧++≤-++++≤⎪+==⎨⎨>-+>⎪⎩⎩()22,02,x x x f x x ⎧-≥-=⎨<⎩当0x >时，()()()222222f x f x x x x x +-=+-=-+ 当0x =时，()()000f x f x +-=+= 当0x <时，()()222f x f x x x +-=++综合得：()()2222,00,022,x x x f x f x x x x x ⎧-+>⎪+-==⎨⎪++<⎩ 6 证明：()f x 关于x a =，x b =对称，h ∴∀有()()f a h f a h -=+()()f b h f b h -=+ (),x ∴∀∈-∞+∞有()()()()()()()2222fx f a a x f a a x f a x f b x a b f b x a b f x b a =--=++=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=--+=+-+=+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以()f x 是以()2b a -为周期的周期函数7 解（1）()f x 是奇函数 ()()f x f x ∴-=-又()()()22f f x f x =+- 令1x =-得 ()()()()211212f f f f a =--== 令1x =有()()()231f f f =-- ○1 令3x =有()()()253f f f =- ○2○1+○2得，()()()5122f f f -=，()()()52215f f f a =+= （2）若()f x 是以2为周期的周期函数()()2f x f x x R ∴+=∀∈又()()()22f f x f x =+- ()20f ∴= 即20,0aa ==8（1）由2xxe ey --=得21x e y y =++ ()()2ln 1,x y y y ∴=++∈-∞+∞2xxe ey --∴=的反函数为()()2ln 1,y x x x =++∈-∞+∞（2）当0x -∞<<时，()1,,1y x y =-∈-∞- 解得，()1,,1x y y =-∈-∞- 当01x ≤≤时，2y x = 01y ≤≤解得x y =[]0,1y ∈当1x <<+∞时，13x y -= [)1,y ∈+∞ 解得31log x y =+ ()1,y ∈+∞综合得()[]()31,,1,0,11log ,1,x x y x x x x -∈-∞-⎧⎪⎪=∈⎨⎪+∈+∞⎪⎩9 （1）解：原式22222141cos 2tan 2limlimlim lim213sin sin x x x x x x x x x xx xxx→→→→-=+=+=+=（2）解：原式()()()()4428222222lim2lim32134213x x x x x x x x →→--+-+===++-++（3）解：同除x -，则原式2211141lim1sin 1x xxx x x→-∞+---==+（4）解：原式()()()23330011tan cos 21limlim1sin 1sin 20tan sin lim 11sin x x x x x x x x x x x x x x e ee x →→-++→-⎛⎫=+=== ⎪+⎝⎭（5）解：原式()()222211cos 1cos 12limlim lim 11121cos 1cos 222x x x xx x xxx xx +++→→→--====++（6）解：原式()()333311tan 1sin tan sin 12limlimlim41tan 1sin 1tan 1sin x x x xx xx xxxx xxx x→→→+-+-====++++++ （7）解：11220022lim lim 1111x x x x x x e x e x e e --→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭121220022lim lim 1111x x xx x x x e x e e x e e ++--→→-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以，原式1=（8）解：原式()()()1111lim 303lim 13xxxx ab c xxxxxx a b c e →-+-+-→⎛⎫++-=+= ⎪⎝⎭()()()001111limlimlim13ln 33xxxx x x abcxxx abceeabc→→→⎡⎤---⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦===10 解：()()221lim limlim 20x x x f x x x x--+→→→==+∞-=()0lim x f x →∴不存在()()222lim lim 20x x f x x x --→→=-= ()()22lim lim 360x x f x x ++→→=-=()2lim 0x f x →∴=又()()()21lim limlim lim 36x x x x f x fx x x→-∞→-∞→+∞→+∞===-=+∞11 解：由题设可得211lim 10x b x a xxx →+∞⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭所以，有211lim 10x b a x x x →+∞⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭ 得211lim 11x b a x x x →+∞⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭又由于()2211lim1lim21x x x b x x x x x x→+∞→+∞-+=-+-==--++12 解：22222111121n n n nn n n nn ≤+++≤+++++22limlim11n n nn n nn →∞→∞==++222111lim 112n n n n n →∞⎛⎫∴+++=⎪+++⎝⎭ 13 解：由()32lim2x P x xx→∞-=，可设()322P x x x ax b =-++又()0lim1x P x x→= 得()0lim 0x P x →=，于是有0b =1=322limx x x axax→-+= ()322P x x x x ∴=-+14 解：由题设可设()()()()24f x A x x x a =--- 又()()()2lim124212x fx A a x →=⇒--=- ○1 ()()()4lim142414x fx A a x →=⇒--=- ○2 由○1○2解得，1,32A a ==()()()()12432f x x x x ∴=---()()()311lim3234322x fx x →∴=--=--15 解：由题设可设可得()()l i m 1s i n 210x f x x →+-=，从而()l i m s i n 2x f x x →= ()()()11s i n 21s i n 22f x x f xx x f x∴+-又()()()301sin 2112limlimlim 133xx x x fx xxfx fx ex→→→+-===-()0lim 6x f x →∴=16 解：()()0sin lim lim110x x x f x f x--→→==-≠=- 所以()f x 在0x =处不连续17 解： ()f x 在0x =处连续， ()()()0lim lim 0x x f x f x f -+→→∴==()()()211ln 12lim lim lim 2211x x x xx xx a fx xx x---→→→++-+====+--()()20lim lim x x a f x x b b++→→==+=于是：2b =18 解：()()0lim lim ln 1ln 10x x f x x --→→=+== ()1110lim lim x x x f x e e ++--→→==故0x = 是()f x 的跳跃间断点又()1111lim lim 0x x x f x e---→→== ，()1111lim lim x x x fx e++-→→==+∞故1x =是()f x 的无穷间断点19 证明：设()sin 1f x x x =++，显然()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内连续又0202222f f ππππ⎛⎫⎛⎫-=-<=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由零点定理,22ππξ⎛⎫∃∈-⎪⎝⎭，使()0f ξ=，x ξ=即为()0f x =的一个根sin 1x x ∴++在区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内至少有一个根 20 证明：()f x 在 [],a b 上连续， ()f x ∴在[]1,n x x 上连续 于是()f x 在[]1,n x x 内存在最大值M ，最小值m ，从而有()()()12n n m f x f x f x n M ≤+++≤()()()12n fx f x f x m Mn+++∴≤≤由介值定理得，()1,n x x ξ∃∈使()()()()12n fx f x f x f nξ+++=21 证明：()00,x ∀∈+∞()()()0000000000lim lim lim limx x x x x x x xx x x f x f x f x f fx f x x x →→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()000000000lim lim lim lim x x x xx x x x x x x f x f x fx f fx f x x x →→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令0x t x =则()()010lim lim 1x xt x f f t f x →→⎛⎫==⎪⎝⎭又()()()()11110f f f f =+⇒=()()00lim x x fx fx →∴=所以，()f x 在0x 处连续 ，由0x 的任意性知，()f x 在()0,+∞ 内连续。
高等数学提高-第一章作业解答
x0
x x0 x0
x
(C) lim x0
x sin
1 x
lim
x0
sin 1 x
1
1
x
(D) lim x
x sin
1 x
lim
x
sin 1 x
1
1
x
解: 答案 D. 因为(A)中由于 lim x2 1 0 ,不能使用商的极限运算法则. x0
(B)中 lim sin 1 不存在,不能使用乘积的极限运算法则,而应使用无穷小和有界量的乘积为无穷
(C)无穷间断点 (D)连续点
1
1
解:
答案 B.
因为
lim
x0
2x
1
1
1,
lim
x0
2x
1
1 1 .
2x 1
2x 1
(13)如果 f (x) 在[a, b] 上连续且无零点,但有使 f (x) 取正值的点,则 f (x) 在[a, b] 上( ).
(A)可取正值也可取负值 解: 答案 B.
1
2 1 2x
2 x1 2
2 x1
e .
x2
(3)
lim
x0
(ex
1 x2 1 1) ln(1 x)
lim
x0
2 x2
1. 2
(4) lim x( x2 1 x) lim
x
1.
x
x x2 1 x 2
(5)
lim
x0
1 x2 2 x
1 2
lim
x0
x3
1 ,则 3 . 2
高等数学_第1章_函数与极限_计算题_204_答
高等数学院系_______学号_______班级_______姓名_________得分_______题 号 计算题 总 分 题 分 200 核分人 得 分复查人一、计算题（共 200 小题，100 分）1、f x x x xx x x x x ()sin sin sin sin cos sin sin (cos )=+-=-=--523232232312 =-⋅432sin sin x x4分而lim()limsin sin x x f x xx xx→→=-⋅=-03234312 7分所以取，，即A n g x x =-==-123123() 则当时，x f x g x →0()~()10分2、f x x xx()ln()ln(=++++111222=++++12111222l n ()l n ()x xx3分而lim()limln()limln()x x x f x xx xx xx→→→=++++02222221211=+=121328分所以取，，即A n g x x ===322322()则当时，x f x g x →0()~() 10分3、[][]原式=-+-++--→lim()()x x x x 313121231335分=+--------→→lim()lim()x x x x x x 3331313123138分=--+⋅--→→lim ()lim ()x x x x x x 33123313233=-=-12231610分4、原式=⋅→lim x nax x17分 =a n10分5、原式=---+-→→lim()lim ()x x x xx x12131411615分=⨯--⨯→→lim ()lim x x x xx x124136 8分=--=-()22410分6、原式=+-+---+→→limlimx x x x xx x x2215121312 5分=⋅+-⋅-+→→lim ()lim ()()x x xx x x x x 0012521232 8分=+++=+=→→limlim x x x x 005223225434210分7、证，则当时，αβαβ=+=-→-→arctan()arctan()1100x x x)1)(1(1)1()1(arctantan tan 1tan tan arctan)(x x x x -++--+=βα+β-α=β-α 且 3分)1)(1(1)1()1(~)1arctan()1arctan(x x x x x x -++--+--+[]因此，原式=+--++-→lim()()()()x x x x x x 011111 7分=+-=-=→→lim()limx x x x x x2221122110分8、原式=+→∞lim (tan)n nn1222π4分=+→∞⋅⋅lim (tan)tantan()n nn nn12122222πππππ 7分=e π2210分9、limlim()!()!n n nn n n nnx x an n na n →∞+→∞++=⋅++⋅⋅11111 4分=+→∞lim()n na n 11 7分=a e10分10、原式=-------+--→limx mn mn xx x x x x x x 1111111117分=-+m n m n10分11、原式=⋅+++→+∞lim x xx x xx11 8分=⨯=01010分12、)431ln(ln )751ln(ln lim22636xx x xx x x +-++++=∞→原式8分=++++-+→∞lim ln()ln ln()ln x x x x x x x3157113436222=310分13、原式=++→+∞limln ()ln ()x xxxxee ee22333223=++++→+∞--limln()ln()x x xx e x e23232323 5分=++++→+∞--lim ln()ln()x xxx e xe21323123238分=2310分14、证 s n n n s nnnn s n n n nn n n =+++++<+++=>+++=111212111112121214222222222()()()()()()ns n n 141<<即有6分)2(1)2(1)1(1lim 01lim 041lim222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++==∞→∞→∞→ 因此，而n n n n nn n n 10分15、0111111232333233≤+≤+<-<+<n n n nn nnn n n nsin !sin !即 7分而，lim ()limn n nn→∞→∞-==101033因此limsin !n n n n →∞+=231010分16、证有又有s n n n ns n n n ns n nn nn nn n nn n n =++++++<++++=>++++++=+11121111111112222222即：n n ns n 21+<<6分而，所以limlim lim lim ()n n n n n n n ns n n n n→∞→∞→∞→∞+===++++++222211111121=1 10分17、因为02212224<=⋅≤nn n n!6分而所以limlim!n n nnn →∞→∞==40210分18、原式=+--→limtan (tan )(tan )sin()x x x x x ππ33334分=+⋅--→→lim tan (tan )limtan sin()x x x x x x πππ33333=-⋅⋅-→63333limsin()cos cossin()x x x x ππππ 8分=⋅-⋅611212()=-2410分19、01000110011011110100lim3232=+++++=∞→xx x x x x x 原式20、当原式n n nx xn ≥=-++→∞21112lim(cos)(cos)(cos)πππ5分=+⋅→∞limcossin()n nn nππππ22217分=π2210分21、原式=⋅→∞--lim sinn n n 22211πππ7分=2π10分22、原式=⋅→∞limsinn e n e ne7分=e10分23、证：，则于是αααπαα=+=+-=-+=+-++=+arctantan tan()tan tan n nn nn n n nn 114111111121所以 απ-=+4121arctan n 5分故原式 =+⋅+=++⋅++→∞→∞lim (arctan)limarctann n n n n n n n 121112112112122 =1210分24、原式=+→lim ln()x x x 01133分 =+→⋅lim ln()x x x 0133138分==ln e 3310分注：直接用也可！limln()ααα→+=01125、)cos sin 1(tan cos sin 1limx x x x x x x x ++-+=→原式 5分)t a n c o s 1t a n s i n (21limxx x x x x x x -+=→ 8分=+=1211234()10分26、xx x xx x 2sin2lim2sin4lim2→→==原式 3分12sin2lim-=-→x x x 而12sin 2lim=+→xx x 8分不存在－因此xxx cos 22lim→10分27、原式=+-+-→limsin cos sin cos x xx x x px xpxx11 7分=++=1001p p10分28、原式=--→limsin cos sin cos ()cos cos x x x x x xαααα 4分=--⋅→limsin()cos cos x x x x xααα1 7分 ==122c o s s e c αα10分29、原式=+-++++→lim(tan )(sin )(tan sin )x x x x x x 031111 5分=-→12103limsin (cos )x x x x=⋅-→12102lim sin cos x x x xx7分 =1410分30、原式=⋅+→limsin ()cos x ax ax aax2221 7分=a2210分31、原式=-→lim cos sin x x x x1 4分 =⋅⋅→lim sin sin sin cos x x x x x x17分 =1210分32、f x ax x ax x a ()()()()()=+-+-12113分()lim ()lim1121111当时，a f x x x x x ==--=∞→→ 5分()lim ()lim2211112111x x f x x x aaa →→=--=-==-得7分()lim ()()lim ()lim ()31210012121212x x x ax x f x x a a →→→+-=>-=-=故欲使，必须即a =129分lim ()lim ()()()()x x f x x x x x →→=+-+-=121212121121122 10分33、原式 =⨯=→lim x x x431210(()~)x x x →+-⨯0131434，34、原式=+--+→→lim ()lim()x x x xx x53121145分 =⨯-⨯→→lim limx x x xx x52347分=-=-1012210分35、原式=+-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪-⎡⎣⎢⎤⎦⎥→lim ()()x a mmn na x a a a x a 12115分=⋅-+---→am x a xx a a m nx anlim()()211=⋅⋅-⋅--→am x aa n x a am nx alim2 8分=-2m anm n10分36、2422321)1(lim1)1(limxx xx x x ----+=→→原式 5分=⨯-⨯-→→lim lim()x x x xx x222234 8分=+=34710分37、原式=---------+-⋅+---⋅-→lim ()()()()()()()()x x x x xx xx x 03523121221111414413133 7分=-⨯--⨯⨯+-⨯=()()()231542331 10分38、原式=+++-→lim()()x x x x 0255556分=++=→lim ()x x 02554510分39、)5215)(2)(2()52()15(lim2++-+-+--=→x x x x x x x 原式5分=--+-++→lim()()()()x x x x x x 232225125 8分=+-++=→lim()()x x x x 23251251810分40、原式=+--++++→lim()(())x x x x x 22333282322324 5分=++++→lim()x x x 223333223248分=1410分41、原式=---+→lim()()()()x x x x x 22322 6分=-1410分42、原式=-+--++-→lim()()()()x x x x x x x x 12321213 4分=-+-++→lim()()()()x x x x x x 1212123 7分=1210分43、因 故即lim ()lim()lim ()x x x f x f x xx x xa a →-∞→-∞→-∞==-+-=--=0045102故a =14分由得lim ()lim ()x x x x x b b x x x →-∞→-∞-++-==-++2245045 =-+-+-=--++→-∞→-∞limlimx x x x x xx xx4545451451228分=+=4112 10分44、原式=-⋅-+→limtan tan tan tan x xx xxπ422111 5分=+→limtan (tan )x x x π4221 8分=1210分21)4(2)4(lim)4(2cot )22cot(2tan 4=-π-π=-π=-π=π→x x x x x x 原式或解：45、当时：010<<=→+∞a ax xlimlimx x xaa→+∞+=1025分当时，a ax x>=→+∞-10lim limlimx x xx xxaaa a→+∞→+∞-+=-+=11022 9分综上述得： ，lim()x x xaaa a →+∞+=>≠1001210分46、原式=--+→∞lim ()()()x xxx433267234258分=⋅436345=2310分47、原式=+++++-⋅→∞lim ()()()()()()x x xxxxx1121314151532222222223357分=⋅⋅⋅⋅=23455218522223510分48、原式=-----++→∞lim()()()()()()()x xxxxx xx 11213141512332328分=⨯=5235332!10分49、limlimx x xxxx xxee eee e→+∞--→+∞---+=-+=23423412323255 4分31432lim432lim552323-=+-=+--∞→--∞→xx x xxxx x ee eee e－而 7分.432lim2323不存在因此xxxx x eee e--∞→+-50、原式=-+-+-+-+→-∞lim()()x x x x x x x 48521485212225分=-+-+--→-∞limx x x x x 124485212=--+++→-∞limx xxxx1244852128分==124310分51、[]原式=++---++++→+∞lim()()x x x x x x x x x 22225212515分=++++→+∞limx x xx41251128分=210分52、原式=++++++++--→∞lim()()()()()()x xxxxxx 11213110110111122226分=++++⨯12310101122228分=⨯⨯⨯⨯=101121610117210分53、原式=+⋅-→∞limcos sin x x xxx2131 6分=2310分54、)1121(lim --+=+∞→x x x 原式 5分=⋅-→+∞lim ()x x x 12218分=-=→+∞limx x111110分解：原式2111111=⋅+--+-+→+∞lim x x x x x x 5分=-⋅+-+→+∞limx x x x x 2111118分=+=2111 10分55、[]由lim ()x x x ax b →+∞++-+3472=-+-+-++++=→+∞lim()()()()x a x ab x b x x ax b 3227347022224分有 得 3002032332-=>-=⎧⎨⎪⎩⎪==a a ab a b 6分而lim lim()x x x x x x x x x x →+∞→+∞++--⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-++++3473233743347323322=-++++→+∞lim()x x xxx743347323328分==173231718310分[]解法：由得234703473022lim ()limx x x x ax b x x xa b xa →+∞→+∞++-+=++--=-=a =3 4分即b x x x x =++-→+∞lim ()34732=++++==→+∞limx x x x x4734732323326分⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++∞→)32(3743lim 2x x x xx 而 )32(3743)347(lim2++++-=+∞→x x x x x 8分==173231718310分56、原式=-+=-→∞+limn nn 210331021015157、原式=-+--+++-++→∞lim()()n n n n n n n n 121121212335分=⋅-+→∞1332lim()n n n 8分 =-110分58、原式=--+-→∞lim()n n n n n n12121212 5分=-++-→∞lim()n n n n n n22121112 8分==→∞12214limn n n10分59、原式=++++-++-→∞lim()()()()n a n b n b n a n 122221 5分=+-+++++-→∞a b b n n a n nn 12112221lim 8分=+-a b 122()10分60、n nn n 1)32()31(3lim ++=∞→原式 7分 =3 10分61、原式=+-++++→∞lim()()()n n n n n n n 111 5分=++=→∞limn n n11010分62、原式．=++-+=→∞limn n n nn143351132263、原式=+==→∞limn n n10000110164、由()11112-=-⋅+kk k k k 5分原式=⋅⋅-⋅+→∞lim ()()()n n n n n1232234311=+→∞lim n n n 1218分 =1210分65、当时，因为a an n<=→∞10lim所以limn nnaa→∞+=20 5分当时，因为a an n>=→∞11lim ()11)1(21lim2lim=+=+∞→∞→n n nn n aaa所以 10分66、[]原式=+--+-+-+-+→∞lim()()n n n n n nn n n n 43424336213611 5分=+-+-++-+→∞lim()()n nnnnnn3271361111348分=3210分67、原式=++--+++-→∞lim ()()n n n n n n n 222451451=++++-→∞lim()n n n n n 6445125分=++++-→∞limn nnnn641451128分==62310分68、原式=+--+++→∞lim()n n n n n n 21215分=+++→∞limn n n11211 8分=1210分69、原式=+--⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞lim ()n n n n n 121222 5分=-+→∞lim()n n n 22 8分=-1210分70、原式=--→∞lim()()n a n n n n 231216 5分=--→∞lim()()n a n n2112168分=a2310分71、原式=-+-++-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞lim ()()()n n n 11212131114分⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∞→111lim n n8分 =1 10分72、原式=-+-++--+⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞lim()()()n n n 121131315121121 6分=-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞limn n 121121 8分=1210分73、因为1111121111()()()()a n a n a n a n a n a n +-+++=+⋅+--++=+-+-+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥121111()()()()a n a n a n a n5分故原式=+-+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞121111lim ()()()n a a a n a n 8分=+121()a a10分74、证则 S q q nqq S q q q nqS qS q S q q q nqn n n nn n n n n=++++⋅=++++-=-=++++---1232311212321()S q qq nqqn nn=-----111122()()5分因为，lim lim n n n nqnq→∞→∞==00 8分故原式==-→∞lim ()n n S q 11210分75、因为2122122321n n n nn n-=+-+- 2分故原式 =-+-+-+++-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞-lim ()()()()n n nn n 3525274749162122321 5分=-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥*→∞lim ()n n n 3232 8分 =3 10分注：当， 当 故．这段不推证不扣分n n n n n n n n n n nn n n>≤++-<-→∞-==→∞→∞121122121020()lim lim76、原式=+⋅-⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞lim ()n n 53237分 =510分77、原式=+---→∞lim()()n nnb a a b b a3232 7分=1a10分因为 -<b a178、当时，有x x >+>011f x x x x x x n nn ()lim()()=+++++=→∞11115分当时，x f ==0012() 8分⎪⎩⎪⎨⎧=>=0210)( x x x x f ，当，当因此10分79、令，解得：x x x ()12112-<-<< 3分当时，-<<-<12121x x x ()f x xx x x x x n n n n ()lim()()=----=-+→∞+++1121122211126分当时，极限不存在x x ()121-≥9分因此，f x x x x ()=-+-<<2212210分80、)!1(1!1)!1(11+-=+-+=k k k k b k k 因为4分于是 S n n n n n =+++++=-+-++-+12233411121213111!!!()!(!)(!!)(!()!)=-+111()!n 8分1)!1(11lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∞→n n 故原式 10分81、当时，x x n n<=→∞10limf x xxn n n()lim=+=→∞10 3分当时，x xn n<=→∞110limf x xxxn n nn n()limlim=+=+-→∞→∞11111 6分当时，x f x ==112() 8分因此，当，当，当f x x x x ()=<=>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪011211110分82、当时，＋x xf x x x x x x xx n n ≠<=+++++++⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞-0111111222221()lim ()() =-+-+→∞lim()n nx x xx11111225分=-+xx11128分=+==x xx f 1000当，()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0 001)(x x x x x f ，，因此： 10分83、令，即ϕ()x x x <-<-+<113312解得：12<<x4分f x f x x x n n n n ()lim ()lim()()==--→∞→∞+111ϕϕ =--+<<132122x x x 8分 当或时，不存在x x f x ≤≥12()10分84、当时，无意义当时，当＝时，x f x x f f ===--=0111110()()()当时，011<<=x f x x() 5分 当时，x f x x >=12()8分综上所述，，当，当，当，当，当f x x x x x x x x x x ()=-∞<<-=--<<<<≤<+∞⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪22101110101110分85、21)(1ln )(02==±==x f x e x x f x ，，当无意义，当 当，，无意义x e ex f x =±=-ln ()21 3分)(1ln 0)(1ln 022=>>=><<x f x e x x f xee x ，，当，，当1)(1ln 2=<<<x f xe x ee ，，当9分⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>=<<=e ex e x e x e x e ex f 00211)(；，当，当，当因此：10分86、()()sin cos()cos()cos()11211121121 当 当当当f x x x x a bx x a b x a b x =>+<++=+-=-⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪π6分()()()cos()lim ()()cos()lim ()()cos()210110111111 ， ，当且仅当 同量，当且仅当f f a b f x f a b f x f a b x x +=-=+=+==--=→+→- 解：a b m a b k a +=-=<<⎧⎨⎪⎩⎪2202πππ9分得：， 为任意整数a b m m ==-ππ()()2110分87、当时，x f x xx xx xn n n<=-+=-+=-→∞+11001212()lim4分当时，x f x xx xx xxxn n nn n n>=-+=-+=→∞+→∞-11111212212()limlim8分当时，因此 ，当，当，当x f x f x x x x x x ===-<>=⎛⎝101101()()10分88、因为：sin sin sin cosn n n nn n+-=+-++1212123分而2122cosn n ++≤5分lim sinlim sin()n n n nn n →∞→∞+-=++=121210 8分21cos221sinlim =++⋅-+=∞→ 故原式nn nn n 10分 89、lim ()x x→-=02103分又＋1221221211xx=+<6分因此limx xx→-+=0121220 10分90、因为arctan x <π23分 而lim arcsinx x→∞=106分故lim arctan arcsinx x x →∞⋅=1010分91、因为111+<e x3分而limx x→∞=106分故lim()x xx e →∞+=11010分92、因为21222x xx x+≤= 3分而lim arctanx x→∞=10 6分故limarctan x x xx→∞+⋅=2110210分93、因为0112≤+≤sinx3分 而lim x x →=06分故lim sinx x x→+=0110 10分94、原式=-+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥→+∞lim sinln ln()sinln ln()x x x x x 21212 4分=+⋅+→+∞lim sin lnsin ln x x x x x 2125分因为lim sin lnx x x→+∞+=10 而sin ln x x 21+≤8分 []所以lim cos ln()cos ln x x x →+∞+-=1010分95、原式 =⋅=⋅⋅→→→limsin sinlimsin lim sinx x x x x x xx xx x11 5分而limsin limsin x x x xx x→→==01又lim sinx x x→⋅=010 8分 因此：原式=010分96、原式=+--+---→lim()()()x x xx xx x5721311211217分=⨯-⨯-⨯=-3527221410分97、原式=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞+-lim ln x x x x x e 211114分=+-⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞lim ln x x x x x 2111 6分=+--→∞limln()ln()x xx x11111 8分 =--=112() 10分98、原式=-→+limln(sin )x x x x ex1314分=+→lim ln(sin )x x x x x31 7分 ==→limsin x x x x2110分99、原式=-→limsin ln cos x x xe x314分=→limsin ln cos x x xx36分 =⋅-→lim sin cos x x x x x218分 =-1210分100、[]由知lim (lim ()x x x x a b x b a b →→+-+=++=+=11313020得：a b =-24分原式 =--+-+=--+++-→→lim()lim()()()x x b x x x b x x x x 111313131321=-=24b8分 因此 b a =-=2410分101、由，知，lim ()x f x a b →∞===1014分由知lim ()limlim ()x x x f x x cx d x x x cx d c d →→→=+++-=++=++=112212210即c d =--1 5分于是 得 而有limlimlim ()()()()x x x x cx dx x x x dx dx x x x d x x dd c d →→→+++-=--++-=---+=-===--=-12212212211213112因此：，，，a b c d ===-=0121 10分102、0)(lim )1()1()1(3)( 1224=------+=→x f x x c x B A x x f x 则记得，即lim()()limx x x f x A x →→-==+=121410323分又由得lim ()()limlim()()(x x x x f x B x x x x x →→→-==+--=--++114144103211132 =+++=→1411132lim ()x x x x7分再由得 lim ()lim()()lim()()lim()()x x x x f x C x x x x x x x x x x x x →→→→==+----=+-+-=--+-+++114214214224321131122131=+--=++====→→1412114225421541212lim()()lim ()x x x x x x x A B C 因此，，， 10分103、原式=++→∞lim()()x x x x x62363232238分=27410分104、原式=+→∞lim()x nn x x82122 6分=+→∞41112limx nx8分=410分 105、()101 ，p q ==3分 ()20 p q ==6分()lim ()lim ()limlimlim ()35045255501555555151155252525 由知得：而 x x x x x x px x p q q p px qx x px px x x px p →→→→→-=++=++==--++-=--+-=-=-=于是：，p q ==--=-25123 10分106、原式=++-++-→limx xx xx0223112424分=++++++→limx x xx x223112428分=3210分107、原式=+⋅+-+---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→→lim lim ()()x x x x x x x00131415161121 7分=⋅⨯+⨯=1561321412() 10分108、原式=-+-+→lim()()()()x x x x x 1221211 6分=++=→limx x x 1213210分109、()lim()lim111112112u u f u u u u →→--=--= 2分()lim ()lim (sin)21110x x u x x x →→=+=4分[]()()()(sin )sin()31111111101102而在点的任意小的去心邻域内都存在点，属该邻域而使分母f u x u x x x x xx x n u x n n --=+-+-==-=π[]从而导致无定义f u x u x ()()--118分[]故无意义lim()()x f u x u x →--01110分110、原式=+-+-→lim(()cos )sin x xx x x x221211 4分=-+→+lim sin ln()x x x ex1221126分=++→lim sin ln()x x x x 0212128分 =+=2125210分111、12121111121121111211x x x x x x x y x x x x n n n n n nn n n n nn ++++++++=+=+=-=-()()， 2分y x x ba y xx x x b a1212322111111112111211=-=-=-=--=--()()y x x n n n n =-=-+-()()1112114分lim ()lim ()n n n n y ba→∞→∞-=--=1112015分又y y y x x ban n n 12112111111121412+++=-=--+-+-+- ()(()7分lim()n n x ababaa b ab→∞+=+-⋅+=+=+1111111223132319分∴=+→∞lim n n x ab a b32 10分112、解答要点原式=+⋅+→∞limln()n n nnn12111 7分=13分 113、解：原式=+-→+∞lim sin ()n n n n π223分=⋅⋅++⎡⎣⎢⎤⎦⎥→+∞lim sin n n n n π2225分=++→+∞limn n n n222π 8分=++→+∞limn n21212π 9分=π 10分114、原式=⋅+-→∞lim lnn n n n 2121 3分 =+-→∞lim ln()n n n 12215分=+--⋅-→∞limln()n n n n n 12212212218分=⨯=11110分115、解法一：若是的可去间断点，则存在x f x f x x =→00()lim ()2分从而lim ()sin lim(sin sin sin )x x f x x x x a b x →→⋅=++--=020210故a x x b x x =++-=→lim(sin sin sin )02115分再由得lim ()sin lim (sin sin sin )x x f x x x x xb →→⋅=++--=02011即b x x x x =++++=→limsin sin sin 02111129分故当，时，是的可去间断点a b x f x ===1120() 10分解法二：若是的可去断点，则必极限存在x f x f x x =→00()lim () 2分而 所以必须lim sin lim(sin sin (sin ))x x x x x a b x →→=++-+=0220105分[]求得：，此时 a f x x x b x xb b xxx x b x x x x ==++-+=-+-++++→→→1111211102222lim ()limsin sin (sin )sin lim()()sin sin sin sin (sin )仅当，即时，上面极限存在12012-==b b9分 综上述，，时，是的可去断点a b x f x ===1120()10分116、f x x x x x x x f x ()()()()()=+--==11101，与是的间断点 4分因为：lim()()()x x x x x →+--=∞0111所以是的无穷间断点x f x =0() 7分而lim()()()x x x x x →+--=11112所以是的可去间断点x f x =1() 10分 117、(]f x ()()的定义域为，，-∞1123分 x f x =1是的间断点()5分lim ()lim()()x x f x x x x →→=---=∞11214所以是的无穷断点x f x =1() 10分注：将作为间断点者，扣分x =43118、x x f x ==01及是的间断点() 4分由于lim ()limcos()x x f x xx x →→=-=∞021π 所以是的无穷间断点x f x =0() 7分而令limcos()limcos()()limsin ()x t t xx x t x t ttt t →→→-=-++=-+=-100211221212πππππ所以是的可去间断点x f x =1() 10分 119、x f x =±±012，，，时，没有定义 ()3分)sin()2(lim 1sin 1lim )(lim 0211t t t x t x x x f t x x π+π+-=π-=→→→令由于=+-⋅=-→lim()sin t t ntt 02212πππ5分lim ()limsin lim()sin()x x t f x x xt x t t t →-→-→=-=+--112112πππ令 =--⋅=→lim()sin t t t t212ππππ7分 所以是的可去间断点x f x =±1()8分的无穷间断点均为，，，)(320x f x ±±=10分 120、x f x =±±012，，，没定义 ()1分由于 lim ()limtan limtan x x x f x x xxx →→→==⋅=11πππππ所以是的可去间断点x f x =0()4分 x f x =±±12，，均为的无穷间断点 ()6分x k f x =±±±-1232212，，也是的间断点 () 7分且故，，是的可去间断点limtan ()x k x x x k f x →-==±±±-3121232212π10分121、x f x =0时，没定义()2分 因为f ()0032-=5分f e ee e x x xx x x()limlim002332233200110011+=++=++→+→+ =238分 所以是的跳跃间断点x f x =0()10分 122、x f x =0是的间断点()2分 因为，f f ()()000000-=+=6分 即lim ()x f x →=08分 所以是的可去间断点x f x =0()10分 123、x x x f x ===012，及是的间断点() 3分因为 限：lim ()limln limln()()x x x f x x x x x x x →→→=-=-=-<<011101所以是的可去间断点x f x =0()5分lim ()limln ()x x f x x x x f x →→=-==1111所以是的可去间断点 8分因limln x x x →-=∞21所以是的无穷间断点x f x =2() 10分124、x f x x f x >==<=-=-012012时，时()arcsin ()arcsin()ππ所以的连续区间为，及， 时没定义f x x f x ()()()()-∞+∞=0005分而 f f x f f x x x ()lim ()()lim ()0020020000+==-==-→+→+ππ所以是的跳跃间断点x f x =0() 10分 125、x f x =±01，是的间断点()3分因为lim ()lim arctanx x f x x x→→=-=0110所以是可去间断点x =05分而 f x x f x x x x ()lim arctan()lim arctan10112101121010+=-=-=-=-→+→-ππ所以是跳跃间断点x =18分f x x f x x x x ()lim arctan()lim arctan-+=-=--=-=-→-+→--10112101121010ππ所以也是跳跃间断点x =-1 10分 126、x x x f x ===-011，，是的三个间断点()3分f x x x x xx x x x ()()()()=+-=-+≠≠11111101 ，lim ()x f x x →=-=010，是可去间断点6分 lim ()x f x x →==101，是可去间断点8分 lim ()x f x x →-=∞=-11，是无穷间断点10分 127、) , 2 , 1 , 0(n ±±=π=n x 是)(x f 的间断点。
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第一章 函数与极限 部分作业答案习题1---1（P17）4、求下列函数的定义域： （1）1y x=-解：因2200010111x x x x x x ≠≠≠⎧⎧⎧⇔⇔⎨⎨⎨-≥≤-≤≤⎩⎩⎩[10)(01]⇔-，，，所以定义域为[10)(01]-，，。
（2）2232xy x x =-+ 解：因2320(2)(1)021x x x x x x -+≠⇔--≠⇔≠≠，且，所以定义域为{}|21x x x ≠≠，且。
（3）arcsin(3)y x =-解：因13124x x -≤-≤⇔≤≤，所以定义域为[24]，。
（4）1arctany x= 解：因30300x x x x -≥≤⎧⎧⇔⎨⎨≠≠⎩⎩，所以定义域为{}|30x x x ≤≠，且。
（5）ln(1)y x =+解：因101x x +>⇔>-，所以定义域为{}|1x x >-。
（6）1xy e =解：因0x ≠，所以定义域为{}|0x x ≠。
6、设sin 3()03x x x x πϕπ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，当，当，求()()()(2)644πππϕϕϕϕ--，，，。
解：66441()s i n ()s i n ()s i n (2)0.24242ππππππϕϕϕϕ===-=--=；；=；10、下列哪些函数是偶函数，哪些函数是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？ （1）22(1)y x x =-解：因()()2222()1(1)()f x x x x x f x ⎡⎤-=---=-=⎣⎦，于是22(1)y x x =-为偶函数。
（3）(1)(1)y x x x =-+解：因()()1222()(1)()(1)()f x x x f x x x x x f x ⎡⎤=--=---=--=-⎣⎦，且，于是(1)(1)y x x x =-+为奇函数。
（5）2x xa a y --=解：因222()()()x x x x x x a a a a a a f x f x ---------===-=-，于是2x xa a y --=为奇函数。
15、下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求这函数分别对应于所给自变量的函数值： （1）212sin 63y u u x x x ππ==，，=，=；解：2222263113sin |sin |sin 62434x x y x y y ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫======= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==；；； （3）212tan 04u y e u x x t t t π====，，，，=解：()2222tan tan0tan 01404|1|t t t y e y e e y ee e ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭=========；；。
习题1---2（P27）1、观察下列数列的变化趋势，写出它们的极限：（1）12n nx =; 解：1lim 02n n →∞=；（2）1(1)n n x n=-; 解：1lim(1)0n n n →∞-=；（3）212n x n =+; 解：21lim 2202n n →∞⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭； （4）11n n x n -=+; 解：11110limlim 111101n n n n n n→∞→∞---===+++； （5）(1)n n x n =-; 解：lim (1)n n n →∞-=∞（极限不存在）；3、根据数列极限的定义证明： （1）21lim0n n →∞= 证：对0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，有2211110n N n n ε-=<<≤，于是21lim 0n n →∞=。
（2）313lim212n n n →∞+=+证：对0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，有()()3131111121222122121n n n n n n Nε+--==<<<≤++++，于是21lim 0n n →∞=。
习题1---3（P36）1、根据函数极限的定义证明： （1）()3lim 318x x →-=证：对0ε∀>，取3εδ=，当03x δ<-<时，有()()318313f x A x x δε-=--=-<=， 于是()3l i m 318x x→-=。
（2）224lim 42x x x →--=-+证：对0ε∀>，取δε=，当0(2)x δ<--<时，有24()(4)24(2)2x f x A x x x δε⎛⎫--=--=-+=--<= ⎪+⎝⎭，于是224lim 42xx x →--=-+。
6、求()()x xf x x x xϕ==，当0x →时的左右极限，并说明它们当0x →时的极限是否存在。
解：因+++000000lim ()lim lim 11lim ()lim lim 11x x x x x x x xf x f x x x ---→→→→→→======；，所以10lim ()x f x →=；因+++000000lim ()lim lim 1lim ()lim lim 1x x x x x x x x x xx x x x x xϕϕ---→→→→→→-===-===；，所以0lim ()x x ϕ→不存在。
习题1---4（P43）2、求利用无穷小的性质，计算下列极限： （1）201lim cosx x x →； 解：因1c o s 1x ≤，且20l i m 0x x →=，于是201l i m c o s 0x x x→=； （2）arctan lim x x x→∞； 解：因a r c t a n 2x π<，且1l i m 0x x →∞=，于是a r c t a n 1l i ml i m a r c t a n 0x x x x x x →∞→∞==；习题1---5（P49）1、计算下列极限：（1）2225259lim 93231x x x→++===----；（3）()2222333303411x x x ---===+++；（5）22211121(1)111limlim lim 0(1)(1)1111x x x x x x x x x x x →→→-+---====+-++- （7）2222220000()22lim lim lim lim(2)202h h h h x h x x xh h x xh h x h x x h h h→→→→+-++-+===+=+=；（9）2222111101limlim112002212x x x x x x x x →∞→∞---===------；（11）23222111122221142181(21)(421)421322lim lim lim lim 611(21)(31)316513122x x x x x x x x x x x x x x x →→→→⎛⎫++ ⎪--++++⎝⎭=====----+-；（13）221111lim 121lim 2lim (10)(20)2x x x x x x x →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-=+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（15）[]222(1)1(1)123(1)(1)11112lim lim lim lim (1)(10)2222n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞-+-++++--===-=-=； （17）22322211113132lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→⎛⎫+++-⎛⎫-=-= ⎪⎪---++-++-++⎝⎭⎝⎭22211(1)(2)2123limlim 13(1)(1)1111x x x x x x x x x x →→-+++==-=-=-=--++++++。
2、计算下列极限：（1）32222lim (2)x x x x →+- 解：因2232322(2)(22)0lim 0162222x x x x →--===++⨯，于是32222lim(2)x x xx →+=∞-； （3）3lim(21)x x x →∞-+ 解：因31l i m021x x x →∞=-+，于是3l i m (21)x x x→∞-+=∞。
3、计算下列极限：（1）x →（3）(()(()2222222111limlim 111x x x x x x x x →→→→+++===-+-((0lim 112x →=-+=-+=-；习题1---6（P59）1、计算下列极限：（1）00sin sin limlim 1x x x x x x ωωωωωω→→=== 或 000s i n l i m l i m l i m x x x x xx x ωωωω→→→===；（3）00sin2sin25222lim lim 11sin52sin5555x x x x x x x x →→=== 或 000s i n 2222l i m l i m l i m s i n 5555x x x x x x x →→→===；（5）()()()2000022121cos 21cos 21cos 22limlim lim 2lim 121211sin sin5sin52222x x x x x x x x xx x x x x x x →→→→---==== 或 ()2220000121c o s 222l i ml i m l i m l i m 22s i n x x xx x x x x x x xx →→→→-====; （7）2cossin 2cos sin sin 2222limlimlim x a x a x a x a x a x a x ax ax ax a x a→→→+-+--==---limcos cos cos 22x ax a a aa →++===； （8）0lim2sin2n n n x→（x 为不等于0的常数） 解：000lim2sin lim2lim 22n n n n n n n x xx x →→→===2、计算下列极限：（1）1111110001lim(1)lim (1)lim(1)xxx x x x x x x e e -----→→→⎡⎤⎡⎤-=-=-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（3）1112222111lim 1lim 1lim 1xxxx x x e x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+==⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（5）1122112321lim lim 1lim 1121212x x x x x x x x x x ++++→∞→∞→∞⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭()11221211lim 1lim 1101122x x x e e x x +→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭或 ()()()12322221ln lim 1ln 1lim 1lim12121212123lim lim 21x x x x x x x x x x x x x x x x eee ee ex →∞→∞→∞++⎛⎫⎛⎫+++++⎪⎪++⎝⎭⎝⎭++→∞→∞+⎛⎫====== ⎪+⎝⎭。