江苏专转本模拟试题与解析(二)

江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷（二）解析

高等数学

注意事项：

1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。

2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。

3.本试卷五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。 1、下列极限中，正确的是（ ） A 、 sin 2lim

2x x x →∞= B 、arctan lim 1x x

x

→+∞=

C 、 224

lim

2

x x x →-=∞- D 、0lim 1x x x →+= 2、设2

1sin ,0

(),0

x x f x x

ax b x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在0x =处可导，则（ ） A 、1,0a b == B 、0,a b =为任意实数 C 、0,0b a == D 、1,a b =为任意实数 3、函数sin y x =在区间[]0,π上满足罗尔定理的ξ=（ ） A 、0 B 、

4π C 、2

π

D 、π 4、设在[]b a ,上0)(>x f ，0)(<'x f ，0)(>''x f ，令dx x f y b a

⎰

=

)(1，

))((2a b b f y -=,[]()a b b f a f y -+=

)()(2

1

3，则有（ ） A 、321y y y << B 、 312y y y << C 、213y y y << D 、132y y y <<

5、两个非零向量a 与b

垂直的充分必要条件是（ ）

A 、0=⋅b a

B 、 0 =⨯b a

C 、 0 =⨯a b

D 、0=⋅a a

下列级数发散的是（ ）

A 、1(1)ln(1)

n n n ∞

=-+∑ B 、131n n

n ∞

=-∑

C 、1

1(1)3n n n -∞

=-∑ D

、n ∞

=

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。

7、已知()g x 为有界函数，1

()sin ,0

(), 0

g x x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 0x =处连续，则=a

8、已知0

(23)(23)

(2)1,lim

h f h f h f h

→--+'=则= ______

9、2x y xe -=，则()0y ''= 10

、定积分

1

411ln 1x x dx x --⎛+ +⎝⎰的值为 11、微分方程232x

y y y xe '''-+=的特解y *

的形式应为____________________ 12、设22sin 2z x y x y =++，则(1,)2

dz π=_____________________________

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。

13、考查1

1sin ()x x f x e x

-=的连续性，若有间断点，判别类型。

14、设函数)(x y y =由方程 1)cos(2-=-+e xy e y x 所确定，求

0|=x dx

dy

。

15、求不定积分6d (1)x

x x +⎰。

16、设1

sin ,0()20,

0x x f x x x π

π⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩或，求⎰=Φx dt t f x 0

)()(在),(+∞-∞内的表达式。

17、求过点)2,1,3(-A 且通过直线43:

521

x y z

L -+==的平面方程。

18、将函数)54ln()(-=x x f 展开为2-x 的幂级数，并指出其收敛域。

19、设(

)22,x y

z f x y e +=+，其中),(v u f 有二阶连续偏导数，求x z ∂∂、y x z

∂∂∂2。

20、计算积分

y

x

D

e dxdy ⎰⎰，其中2

:,2D y x y x ==由所围成的区域。

四、证明题（每小题9分，共18分）

21、设()f x 在[0,1]上连续，且0()1f x ≤≤。证明：在[0,1]上至少存在一个ξ使()f ξξ=。

22、设)(x f 在0x =的邻域内有二阶连续导数，且0)0(=f ，⎪⎩⎪

⎨⎧=='≠=0

,0)0(0,)

()(x f x x x f x g ；

证明：)(x g 在0x =处可导。

五、综合题（每小题10分，共20分）

23、分析函数x xe y -=的单调性，凹凸性，极值，拐点及渐近线。

24、在曲线ln y x =上(),1e 点处作切线l ,

（1）求由曲线切线、曲线本身及x 轴所围的图形面积。 （2）求上述所围图形绕x 轴旋转所得立体的体积。

江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷解析（二）

高等数学

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。 1、下列极限中，正确的是（ ） A 、 sin 2lim

2x x x →∞= B 、arctan lim 1x x

x

→+∞=

C 、 224

lim

2

x x x →-=∞- D 、0lim 1x x x →+= 解析：求极限时，先判断极限类型，若是00或∞

∞

型可以直接使用罗比达法则，其余类型可以转化为

00或∞

∞

型。罗比达法则求极限的好处主要有两方面，一是通过求导降阶，二是通过求导将难求极限的极限形式转变为容易求极限的形式。不过，在求极限时应灵活使用多种方法，特别是无穷小量或是无穷大量阶的比较，无穷小量与有界变量的乘积还是无穷小量等性质。使用等价无穷小或是等价无穷大的目的是将函数转换为幂的形式，方便判别阶数。

0lim ln 00lim 1x x x

x

x x e

e →+

→+

===，故本题答案选D

2、设2

1sin ,0

(),0

x x f x x

ax b x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在0x =处可导，则（ ） A 、1,0a b == B 、0,a b =为任意实数 C 、0,0b a == D 、1,a b =为任意实数

解析：分段函数在分段点处的极限、连续性与可导性，若分段点的左右两侧的表达式互不相

同，则必须使用定义左右分别讨论。本题只需按照导数定义讨论即可。

00()(0)(0)lim

lim x x f x f ax

f a

x x -→-→--'===

2001sin ()(0)(0)lim lim x x x b

f x f x f x x

+→+→+--'== ，因为左、右导数应相等，易知0,0b a ==； 故本题答案选C

3、函数sin y x =在区间[]0,π上满足罗尔定理的ξ=（ ）