第一章第三节极限运算

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新编高等数学》(理工类)(第八版)刘严第一章 (4)[3页]

第三节极限的运算(一)(Computation of Limit) 教学目的：掌握极限的性质及运算法则内容：1.极限的四则运算2.极限运算举例教学重点: 掌握不同类型极限的解法教学难点: 极限的运算教具：多媒体课件教学方法: 讲练结合教学过程：1. 引入新课：有了函数极限定义后又如何来计算函数的极限2. 教学内容：一、极限的四则运算设()lim f x 及()lim g x 都存在，则有法则1 ()()()()lim lim lim f x g x f x g x ±=±⎡⎤⎣⎦ 法则2 ()()()()lim lim lim f x g x f x g x = 推论1 ()()lim lim cf x c f x = (c 为常数) 推论2 ()()lim lim n n f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦法则3 ()()()()()()lim limlim 0lim f x f x g x g x g x =≠ 注意：(1)对0,x x x →→∞等情形，法则都成立。

(2)对数列极限法则也成立(3)法则１和法则２均可推广至有限个函数的情形二、极限运算举例例１求()24lim 31x x x →-+ 解 ()224444lim 31lim lim3lim15x x x x x x x x →→→→-+=-+= 例２求2222lim 53x x x x →--+ 解 ()()2222222lim 22lim 253lim 53x x x x x x x x x →→→--==--+-+ 例３求233lim 9x x x →--解 ()32333lim1311lim lim 93lim 36x x x x x x x x →→→→-===-++ (消去零因子法)小结:则有设,)(.1110n n n a x a x a x f +++=- n n x x n x x x x a x a x a x f +++=-→→→ 110)lim ()lim ()(lim 000 n n n a x a x a +++=- 10100).(0x f =则有且设,0)(,)()()(.20≠=x Q x Q x P x f )(lim )(lim )(lim 000x Q x P x f x x x x x x →→→=)()(00x Q x P =).(0x f = .,0)(0则商的法则不能应用若=x Q例４求2232341lim 43x x x x x →∞+--+ 解 3223234133413lim lim 134344x x x x x x x x x x→∞→∞+-+-==-+-+ 小结: 为非负整数时有和当n m b a ,0,000≠≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→,,,,0,,lim 00110110m n m n m n b a b x b x b a x a x a n n n m m m x 当当当例５求3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭ 解 ()()()()()()()2322111312131lim lim lim 111111x x x x x x x x x x x x x x x →→→-+++-⎛⎫-== ⎪---++-++⎝⎭ 212l i m 11x x x x →+==++课堂练习：求下列极限：22022111.lim 2.lim 2222313.lim 4.lim 3331x x x x x x x x x x x x x x →→→∞→∞+---+⎛⎫- ⎪-+⎝⎭小结:1.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;课后作业：P16：2(2)(4),3(1)(4)。

1-3极限的运算法则

x x0
lim f x f x 0
注在不能直接用极限的四则运算法则时，可先考虑将函数适当变形，再考虑能否用极限的四则运算法则。常用的变形方法有：通分，约去零因子，分子或分母有理化，等。
例 1、 lim
x 1 x 4x 3
2
2
0 0
x1
型极限
不能直接用极限运算法则
2
x 1 x 2x 3
2
x1
lim
( x 1 )( x 1 ) ( x 3 )( x 1 )
x1
lim
x 1 x 3
x1

1 2
.
lim (
x1
1 1 x

3 1 x
3
)
1.
例 4、lim
2 x x 1 1
0 0
型极限
x 2
原式 lim
推论1. 推论2. 推论3.
lim[ cf ( x )] c lim f ( x )
lim[ f ( x )]
n
常数因子可以提到极限记号外面
[lim f ( x )]
1
n
1
lim[ f ( x )] n [lim f ( x )] n
前提：两个函数在同一变化过程中极限都存在
法则3.两个函数商的极限（当分母极限不为零时）等于它们极限的商，即
x

x 1 x x
2
（分子有理化）
lim
1 1 1 x
2
x
1

1 2
例 6、lim
2x 1 3x 2x 1
2 1 x 3 2 x
2

高数第一章

极限第十一节无穷级数简介
第一节函数
一、函数的概念
１.函数的定义定义 1 设D是一个数集,如果对属于D的每一个数x,按照某个对应关系f ,都有确定的数值y与之对应,则称y是定义在数集D上的x的函数,记作 y = f(x),x叫作自变量,数集D叫作函数的定义域,当x取遍D中的一切数时, 与它对应的函数值的集合M叫作函数的值域. 当自变量取某一数值x0时, 函数y具有确定的对应值,则称函数在x0有定义.
......
函数y = f(x),当x = x0 D时,对应的函数值可以记为y0 = f(x0 ) .
例2 若f(x)= | x - 2 | ,求f(2), f(-2), f(0), f(a), f(a +b). x=1
解 f(2)=0,f(-2)=|--41| 4, f(0)=|-12| 2, f(a)=|aa-+21|,
x
(b)偶函数
图 1-2 奇函数与偶函数的图形
例3 判断函数f(x)=ln(x+ x2 +1 )的奇偶性.
解因为f(-x)=ln (-x)+ (-x)2 1 ln( x2 1 x)
=ln ( x2 1 x)( x2 1 x) ln
1
x2 1 x
x2 1 x
单调增加(或单调减少)函数的图形沿 x 轴的正向上升(或下降).
上述定义也适用于其它有限区间和无限区间的情形.
例4 证明f(x)= 1 在区间(0,1) 内是单调减少的函数. x
证在区间(0,1)内任取两点x1, x2 ,设x1 x2 ,则x1 x2 0.因为
所以
f(x2
)
f(x1
函数y f (x)的图形与其反函数y f 1(x)的图形关于直线y = x对称.

高等数学第一章：函数与极限

第一章：函数与极限第一节：函数1、函数的性质：单调性，有界性（包括有界与无界），奇偶性，周期性。

（重点在于单调性与奇偶性）单调性：)()(,,212121x f x f x x X x x <⇒<∈∀单调增加。

)()(,,212121x f x f x x X x x >⇒<∈∀单调减少有界性：M x f X x M ≤∈∀>∃)(,,0 无界性：M x f X x M >∈∃>∀)(,,0奇偶性：)()(x f x f -=偶，)()(-x f x f -=奇。

奇函数如果连续则一定经过0点，值为0周期性：)()(T x f x f +=，注意，a T x f a x f ++=+)()(，如果)()(b ax f x f +=，T 为)(x f 的周期，则周期为aT第二节：极限1、数列极限定义：εε<->>∃>∀⇔=∞→A x N n N A x n n n ,,0,0limM x N n N M x n n n >>>∃>∀⇔∞=∞→,,0,0lim性质：1) 唯一性：收敛数列极限唯一 2) 有界性：收敛数列必有界3) 子数列收敛：注意震荡数列并不是，一个数列收敛，则它的所有子数列都收敛。

4) 保号性：A x n n =∞→lim ，当A>0时，存在从某个N 开始，n x > 0.5) 有序性: n n y x ≤，则n n n n y x ∞→∞→≤lim lim 。

四则运算：1) b a y x n n n +=+∞→）（lim2) b a y x n n n ⋅=⋅∞→）（lim3) bay x n n n =∞→）（lim ，（b ≠0） 2、函数极限定义：εε<->>∃>∀⇔=∞→a x f X x X a x f x )(,0,0)(lim 时，当εδδε<-<-<>∃>∀⇔=→a x f x x a x f x x )(0,0,0)(lim 00，当性质：1) 唯一性，左极限等于右极限。

高等数学(同济第六版)课件第一章 3.函数的极限(一)

且a >b， (或a<b)
则正数X，当x<－X时，都有f(x) >b . (或f(x)<b) 当x>X时，当|x|>X时，
(4) 充要条件：
lim lim lim f ( x ) A x f ( x ) A且 x f ( x ) A.
x
证： " " 0, X 1 0, 当x>X1 时，成立 f ( x ) A .
得 | x x0 |
x0
当 | x x0 | x0 时，才能使x>0，取 min{ x0 , x0 } 当 0 x x0 时，成立 | x x0 |
lim x
x x0
x0
" "定义
x x0
lim f ( x ) A
2 x2 x 1 3 lim x 1 x 1 2 x2 x 1 3 | 2 | x 1 | ( x 1) 0, | x 1 2 x2 x 1 3 | 当x与1多么接近时? | x 1 | x 1 | 2
2 x2 x 1 0, 当 0 | x 1 | 时，成立 | 3 | 2 x 1
lim f ( x ) 0, 则 lim f ( x ) g( x ) 0
x x
1 x (7) 重要极限：lim (1 ) e x x
特点：（1）1 型（2）底数减1等于指数的倒数。
例2 求下列极限
2 x3 3 x2 5 (1) lim 3 2 x 7 x 4 x 1
二、自变量趋向有限值时函数的极限若当x无限接近于x0时，函数f(x)无限接近于常数A，称常数A为当x趋于x0时，函数f(x)的极限。记作 lim f ( x ) A

极限的四则运算

x3 x2 2
lim
x x2
x 1
1 x
2 x3
0
1
0,
lim x x 2 2 x
.
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B[ f (x)
A]
A[g( x ) B ]
g( x ) B
Bg ( x )
B g( x )
f ( x ) A A g( x ) B
g( x )
B g( x )
因 l i m g x ， B对于0正数， x x0
使B 得当1 0 时， 0 x x0 1
2
有 g x B,所以B 2
u u0
则 lim f [ g ( x )] A lim f ( u ).
x x0
u u0
证:
当
时, 有
对上述
当
时, 有
取
则当
时
故
因此①式成立.
此定理表明：若f (u )与g ( x )满足定理的条件
则可作代换 u g ( x )把求 lim f [ g ( x )]转化为
xx0
lim f (u ), 这里u0 lim g ( x—) —极限过程的转化
x x0
x x0
1 0, 当0
x x0
1时, 有
f (x)
A
,
2
2 0, 当0 x x 0 2时, 有 g ( x ) B ,
2
取 min{ 1 , 2 }, 当 0 x x 0 时,
[ f (x)
g ( x )] ( A
B)
.
22
lim [ f ( x ) g ( x )] A B .
由极限运算法则可知：

1(3)极限运算法则

1 (6) 2
(2) lim arcsin x2 x x x
6
5n 2n
1
(3)
limn5n14n15lim
x0
4
1
2 ex
不存在
1 2x5 1 5x2
(4) lim x0
x2 x5
15
(5) lim arctan x x x
0
15
极限运算法则
三、小结
1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法:
(1)参加运算的是有限个函数; (2)它们的极限都存在; (3)商的极限要求分母的极限不为0.
不要随便参加运算, 因为不是数, 它是表示函数的一种性态.
5
极限运算法则
二、求极限的方法举例
例1 求例2 求
lim
x x0
a0 xn
a1xn1
lim a0 xm a1xm1 xx0 b0 xn b1xn1
解不满足每一项极限都存在的条件,不能直接
应用四则运算法则.
分子有理化
原式 lim
3x 1
(型)
x x2 3x x2 1
lim x
3 1 x
1 3 x
1
1 x2
3 2
“根式转移”法化为型
10
极限运算法则
定理3 (复合函数的极限运算法则)
设函数 y f [g(x)]是由函数 y f (u)与函数
sin x
x
x lim
x0
有界函数 sin x 0 1
x0 x
lim x 0
x0
利用无穷小的性质
?
2.
lim
sin
x
lim
x

1-3函数极限的定义

a
3
.
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第一章极限与连续
练习题一、填空题:
1、当 x 2 时， y x
2
4，问当取 ___ 时， y 4 0 . 001 .
1，问当 z 取 ______
只要 0 x 2 ，必有
2、当 x 时， y 时，只要 x x
2 2
定理：
x x0
lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x0 x x0
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第一章极限与连续
求下列函数极限：例3、
(1 ) f ( x ) x
(2) f ( x ) [ x ]
lim f ( x )
x 0
x1
1 3
x z ，必有
y 1 0 . 01 .
二、用函数极限的定义
证明：
1、 lim 1
x
2
1 4x
2
2x 1 sin x x
2
2、 lim
x
0
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第一章极限与连续
练习题答案：
一、1、0.0002； 2、 .
397
作业：
41页：2(2)(4)，4
lim C C ,
lim sin x 0
x 0
返回
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f ( x )无限接近于 A ,
第一章极限与连续
即 0 ( 无论多么小 ), 有 f ( x ) A ,
即 0, 能找到 0, 当 0 x x0 时 , 有 f (x) A

第三节极限的运算法则

7
x −1 . 例6 求 lim x →1 x −1
共扼因子法
( x − 1)( x + 1) 解原式 = lim = lim( x + 1) = 2 . x →1 x →1 ( x − 1)( x + 1)
1+ x −1 例7 求 lim . x→0 1+ x −1
3
变量代换法
解
令 x +1 = t , x → 0, ⇒ t →1,
0
x → x0
例1 lim ( x + 3 x + 1) = lim x 2 + lim 3 x + 1
2 x → −2 x → −2 x → −2
= ( −2) 2 + 3 ⋅ ( −2) + 1= −1 .
3
x3 − 1 . 例2 求 lim 2 x→2 x − 3 x + 5
解
x −1 x→2 lim 2 = x→2 x − 3 x + 5 lim( x 2 − 3 x + 5)
证略
1
说明：说明：有两层意思: 1. lim u + v) = lim u + lim v 有两层意思 ( 也存在； (1) 在lim u和lim v都存在的前提下，都存在的前提下，也存在和都存在的前提下 lim(u+v)也存在； (2) lim (u+v)的数值等于 lim u+ lim v. 的数值等于 2. lim (u+v)存在不能倒推出存在, 都存在. 存在不能倒推出lim u和lim v 都存在和 3. 若lim u存在而 lim v不存在则lim (u+v)必不存在存在,而不存在,则必不存在. 存在不存在必不存在反证: 反证: v = ( u + v ) − u 存在, 存在, 若 lim (u+v) 存在已知 lim u 存在存在, 由定理知 lim v 存在矛盾 4. 可推广到有限多项可推广到有限多项.

2(3)极限运算法则

7
极限运算法则
例7 求
12 1 lim 3 x →2 x 2 x 8
[∞ ∞]
先充分
例8 求 lim sin x 问:
有界函数利用无穷小的性质 x →∞ x ∞ sin x lim sin x 0 1. lim = x →0 = =1 ? x →0 x lim x 0 x →0 sin x lim sin x 2. lim = x →∞ =0 ? x →∞ x lim x
求 a, b.
18
二,渐近线
1. 铅直渐近线
x → x0
(垂直于轴的渐近线垂直于x轴的渐近线) 垂直于轴的渐近线
x → x0
如果 lim + f ( x ) = ∞ 或 lim f ( x ) = ∞
那么 x = x0就是y = f ( x ) 的一条铅直渐近线铅直渐近线.
2. 水平渐近线
x → x0 u→ u0
当x ∈ U ( x0 , δ 0 )时,
有 g(x) ≠u0,
则
u = g ( x) x → x0时, === lim f [ g ( x)] lim f [u ] = A x → x0 u →u0 u → u0
u ≠ u0
13
极限运算法则
注意:
条件: 当x ∈ U ( x0 , δ 0 )时, 有 g(x) ≠u0, 很重要,否则结论不成立.
x2 1 2 2 1 = 2 < 2, 时, 证注意当x > 0时有 x 2 1 x +1 x + 2 x2 1 ε > 0,为了使 2 1 < ε, 只要使 2 < ε, x +1 x
x 解出 2 2 , 取G = , 当x > G时有即 x> , ε ε x2 1 x2 1 2 所以 lim 2 = 1. 1 < 2 < ε 2 x →+∞ x + 1 x +1 x x2 1 从而 y = 2 有水平渐近线y = 1. x +1

高数讲义第一章第三节函数的极限

问题：的选取仅与有关，与自变量 x 无关。
例3 证明: lim x2 4 . x2
请思考：为什么能这样？为什么要这样？
证 f ( x) A x2 4 ( x 2)( x 2)
又 x 2，不妨设 1 < x < 3，则有 | x 2 | 5
x2 4 ( x 2)( x 2) 5 | x 2 |
总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x X 的一切 x, 所对应的函数值 f ( x)都满足不等式
f (x) A , 那末常数 A就叫函数 f ( x)当 x 时的极限,记作
lim f ( x) A 或 f ( x) A(当x )
x
" X"定义 lim f ( x) A x 0,X 0,使当x X时, 恒有 f ( x) A .
x0 x x0
定义： 0, 0,使当 x0 x x0 时, 恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0
f ( x0 ) A.
定理 : lim x x0
f (x)
A
f ( x0 )
f ( x0 )
A.
例6 验证 lim x 不存在. x0 x
x
|x|
取X
1,
则当 x X时恒有 sin x 0 , 故 lim sin x 0.
x
x x
定义 : 如果 lim f ( x) c,则直线 y c 是函数 y f ( x)
x
的图形的水平渐近线.
例2 证明 lim ( 1 )x 0. x 2
y (1)x a
证 (1)x 0 (1)x
第三节函数的极限
• 一、函数极限的定义 • 二、函数极限的性质 • 三、小结

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高等数学第一章函数与极限第一节函数○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★）(){},|U a x x a δδ=-<(){},|0U a x x a δδ=<-<第二节数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞= 【证明示例】N -ε语言1．由n x a ε-<化简得()εg n >， ∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞→lim第三节函数的极限○0x x →时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0lim【证明示例】δε-语言1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg =2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0lim○∞→x 时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞→lim【证明示例】X -ε语言1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X =2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞→lim第四节无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质（★）函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f1-为无穷大【题型示例】计算：()()0lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U内是有界的；（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小；（()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）3．由定理可知()()0lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦（()()lim 0x f x g x →∞⋅=⎡⎤⎣⎦）第五节极限运算法则○极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--nn n mm m b x b x b x q a x a x a x p 110110则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0lim 0b a x q x p x m n m n m n >=<()()()()000lim 00x x f x g x f x g x →⎧⎪⎪⎪=∞⎨⎪⎪⎪⎩()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== （特别地，当()()00lim 0x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim9x x x →--【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()23333311limlim lim 93336x x x x x x x x x →→→--====-+-+ 其中3x =为函数()239x f x x -=-的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：()()0233323311lim lim lim 9269x L x x x x x x x '→→→'--===-'- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 【题型示例】求值：93lim 23--→x x x【求解示例】36x →===第六节极限存在准则及两个重要极限○夹迫准则（P53）（★★★）第一个重要极限：1sin lim 0=→xxx∵⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim0=→x x x 0000lim11lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===⎛⎫⎪⎝⎭（特别地，000sin()lim1x x x x x x →-=-）○单调有界收敛准则（P57）（★★★）第二个重要极限：e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim（一般地，()()()()lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中()0lim >x f ）【题型示例】求值：11232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x【求解示例】()()211121212122121122122121lim21221232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞+→∞⋅++++⋅⋅+++→∞+→∞++→∞+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦解：()()12lim 1212121212122lim 121x x x x x x x x x ee e e+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+→∞+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+⎛⎫⎪+⎝⎭====第七节无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★）1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1UU U U U U U e +- 2．U U cos 1~212-（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：()()xx x x x x 31ln 1ln lim 20++++→ 【求解示例】()()()()()()()3131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim,0,000020=++=+⋅+=++⋅+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解：因为第八节函数的连续性○函数连续的定义（★）()()()000lim lim x x x x f x f x f x -+→→==○间断点的分类（P67）（★）⎩⎨⎧∞⋯⋯⎩⎨⎧）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数()⎩⎨⎧+=x a e x f x 2 ，00≥<x x 应该怎样选择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数？【求解示例】1．∵()()()2010000f e e e f a a f a --⋅++⎧===⎪⎪=+=⎨⎪=⎪⎩2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0∴e a =第九节闭区间上连续函数的性质 ○零点定理（★）【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间【证明示例】1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ϕ=--在闭区间[],a b 上连续；2．∵()()0a b ϕϕ⋅<（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξϕ，即()()0fg C ξξ--=（10<<ξ） 4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ 第二章导数与微分第一节导数概念○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）【题型示例】已知函数()⎩⎨⎧++=b ax e x f x1 ，00>≤x x 在0=x 处可导，求a ，b【求解示例】1．∵()()0010f e f a -+'⎧==⎪⎨'=⎪⎩，()()()00001120012f e e f b f e --+⎧=+=+=⎪⎪=⎨⎪=+=⎪⎩2．由函数可导定义()()()()()0010002f f a f f f b -+-+''===⎧⎪⎨====⎪⎩ ∴1,2a b ==【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程（或：过()x f y =图像上点(),a f a ⎡⎤⎣⎦处的切线与法线方程）【求解示例】1．()x f y '='，()a f y a x '='=| 2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=- 法线方程：()()()1y f a x a f a -=--' 第二节函数的和（差）、积与商的求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★） 1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+ 特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=± 2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+3．函数商的求导法则（定理三）：2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭第三节反函数和复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★）【题型示例】求函数()x f1-的导数【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()()11fx f x -'⎡⎤=⎣⎦' ○复合函数的求导法则（★★★）【题型示例】设(ln y e =，求y '【求解示例】(22arcsi y ex a e e e ''='⎛⎫' ⎪+=⎝⎛⎫⎪ =⎝⎭=解：⎛ ⎝第四节高阶导数 ○()()()()1n n fx fx -'⎡⎤=⎣⎦（或()()11n n n n d y d y dx dx --'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）（★）【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数【求解示例】()1111y x x-'==++， ()()()12111y x x --'⎡⎤''=+=-⋅+⎣⎦， ()()()()()2311121y x x --'⎡⎤'''=-⋅+=-⋅-⋅+⎣⎦……()1(1)(1)(1)nn n y n x --=-⋅-⋅+！第五节隐函数及参数方程型函数的导数 ○隐函数的求导（等式两边对x 求导）（★★★）【题型示例】试求：方程ye x y +=所给定的曲线C ：()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程【求解示例】由ye x y +=两边对x 求导即()y y x e '''=+化简得1yy e y ''=+⋅∴ee y -=-='11111 ∴切线方程：()e x ey +--=-1111法线方程：()()e x e y +---=-111○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x γϕ，求22dx yd【求解示例】1.()()t t dx dy ϕγ''= 2.()22dy d y dx dxt ϕ'⎛⎫⎪⎝⎭=' 第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★） ()dx x f dy ⋅'=第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理 ○引理（费马引理）（★） ○罗尔定理（★★★）【题型示例】现假设函数()f x 在[]0,π上连续，在()0,π 上可导，试证明：()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0ff ξξξξ'+=成立【证明示例】1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ϕ=显然函数()x ϕ在闭区间[]0,π上连续，在开区间()0,π上可导；2．又∵()()00sin00f ϕ==()()sin 0f ϕπππ== 即()()00ϕϕπ==3．∴由罗尔定理知()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当1x >时，xe e x >⋅ 【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ∀>，显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间()1,x 上可导，并且()x f x e '=；2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ∃∈使得等式()11x e e x e ξ-=-成立，又∵1e e ξ>，∴()111x e e x e e x e ->-=⋅-，化简得x e e x >⋅，即证得：当1x >时，xe e x >⋅ 【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +< 【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对0x ∀>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区间()0,π上可导，并且()11f x x'=+；2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ∃∈使得等式()()()1ln 1ln 1001x x ξ+-+=-+成立，化简得()1ln 11x x ξ+=+，又∵[]0,x ξ∈， ∴()111f ξξ'=<+，∴()ln 11x x x +<⋅=，即证得：当1x >时，xe e x >⋅第二节罗比达法则○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★） 1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A ．属于两大基本不定型（0,0∞∞）且满足条件，则进行运算：()()()()lim limx a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B ．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） ⑴0⋅∞型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：0lim ln x x x α→⋅【求解示例】()10000201ln ln lim ln lim lim lim 111lim 0x x L x x x x x x x x x x x x x a ααααααα∞∞-'→→→→→'⋅===⋅'⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=解：（一般地，()0lim ln 0x x x βα→⋅=，其中,R αβ∈）⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭【求解示例】200011sin sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x →→→--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：()()()()000002sin 1cos 1cos sin limlim lim lim 0222L x x L x x x x x x xx x x ''→→→→''---====='' ⑶00型（对数求极限法）【题型示例】求值：0lim xx x →【求解示例】()()0000lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim111lim lim 0lim lim 11x x x x x L x yy x x x x x y x y x x x xx xx y xx x x y e e e x→∞∞'→→→→→→→===='→=='⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：()10lim cos sin xx x x →+【求解示例】()()()()()1000000lim ln ln 10ln cos sin cos sin ,ln ,ln cos sin ln 0limln limln cos sin cos sin 10lim lim 1,cos sin 10lim =lim x xx x L x x yy x x x x y x x y xx x y x y xx x x x x x x y e e e e→→→'→→→→+=+=+→='+⎡⎤--⎣⎦====++'===解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得⑸0∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：tan 01lim xx x →⎛⎫⎪⎝⎭【求解示例】()()tan 00200020*******,ln tan ln ,1ln 0lim ln lim tan ln 1ln ln lim limlim 1sec 1tan tan tan sin sin lim lim li xx x x L x x x L x y y x x x y x y x x x xx x x xx x x x x →→∞∞'→→→'→→⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫→=⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=-=-=-⎛⎫'⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'==='解：令两边取对数得对求时的极限，00lim ln ln 002sin cos m 0,1lim =lim 1x x yy x x x xy e e e →→→→⋅====从而可得○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★）00001∞⎧⎪∞-∞−−→←−−⋅∞←−−⎨∞⎪∞⎩∞(1)(2)(3)⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节函数的单调性和曲线的凹凸性 ○连续函数单调性（单调区间）（★★★）【题型示例】试确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域R 上连续，且可导∴()261812f x x x '=-+2．令()()()6120f x x x '=--=，解得：121,2x x ==4．∴函数f x 的单调递增区间为,1,2,-∞+∞；单调递减区间为()1,2【题型示例】证明：当0x >时，1xe x >+ 【证明示例】1．（构建辅助函数）设()1x x e x ϕ=--，（0x >）2．()10xx e ϕ'=->，（0x >）∴()()00x ϕϕ>=3．既证：当0x >时，1xe x >+【题型示例】证明：当0x >时，()ln 1x x +<【证明示例】1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ϕ=+-，（0x >）2．()1101x xϕ'=-<+，（0x >） ∴()()00x ϕϕ<=3．既证：当0x >时，()ln 1x x +<○连续函数凹凸性（★★★）【题型示例】试讨论函数2313y x x =+-的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】1．()()236326661y x x x x y x x '⎧=-+=--⎪⎨''=-+=--⎪⎩ 2．令()()320610y x x y x '=--=⎧⎪⎨''=--=⎪⎩解得：120,21x x x ==⎧⎨=⎩3．（四行表）x(,0)-∞ 0(0,1) 1(1,2) 2(2,)+∞y '-++- y '' ++--y1 (1,3) 5 4．⑴函数13y x x =+-单调递增区间为(0,1),(1,2)单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞；⑵函数2313y x x =+-的极小值在0x =时取到，为()01f =，极大值在2x =时取到，为()25f =；⑶函数2313y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,)+∞上凸；⑷函数2313y x x =+-的拐点坐标为()1,3第五节函数的极值和最大、最小值○函数的极值与最值的关系（★★★）⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ∃的某个邻域()M U x D ⊂，使得对()M x U x ∀∈，都适合不等式()()M f x f x <，我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ⎡⎤⎣⎦处有极大值()M f x ；令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足：()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =；⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ∃的某个邻域()m U x D ⊂，使得对()m x U x ∀∈，都适合不等式()()m f x f x >，我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ⎡⎤⎣⎦处有极小值()m f x ；令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],ab 上的最小值m 满足：()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =；【题型示例】求函数()33f x x x =-在[]1,3-上的最值【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导 ∴()233f x x '=-+2．令()()()3110f x x x '=--+=，解得：121,1x x =-= ．（三行表）x1- ()1,1-1 (]1,3()f x ' 0+-()f x极小值极大值4．又∵12,12,318f f f -=-==- ∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====- 第六节函数图形的描绘（不作要求）第七节曲率（不作要求）第八节方程的近似解（不作要求）第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质 ○原函数与不定积分的概念（★★） ⑴原函数的概念：假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I ∈时，有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =⋅成立，则称()F x 为()f x 的一个原函数⑵原函数存在定理：（★★）如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） ⑶不定积分的概念（★★）在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：()()f x dx F x C =+⎰（⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为积分表达式，x 则称为积分变量）○基本积分表（★★★）○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）()()()()1212k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ 第二节换元积分法○第一类换元法（凑微分）（★★★）（()dx x f dy ⋅'=的逆向应用）()()()()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰【题型示例】求221dx a x +⎰【求解示例】222211111arctan 11x x dx dx d Ca x a a aa x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰解：【题型示例】求【求解示例】()()121212x x C=+=+=○第二类换元法（去根式）（★★）（()dx x f dy ⋅'=的正向应用）⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）：t =，于是2t b x a-=，则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式（0a >）：tan x a t =（22t ππ-<<），于是arctan xt a=，则原式可化为sec a t ；⑶对于根号下平方差的形式（0a >）：asin x a t =（22t ππ-<<），于是arcsin xt a=，则原式可化为cos a t ；bsec x a t =（02t π<<），于是arccos at x =，则原式可化为tan a t ；【题型示例】求（一次根式）【求解示例】2221t x t dx tdttdt dt t C Ct =-=⋅==+=⎰⎰【题型示例】求（三角换元）【求解示例】()()2sin ()2222arcsincos 22cos 1cos 221sin 2sin cos 222x a t t xt adx a ta a tdt t dta a t t C t t t C ππ=-<<==−−−−−−→=+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰第三节分部积分法 ○分部积分法（★★）⑴设函数()u f x =，()v g x =具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv uv vdu =-⎰⎰⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指” ○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤： ⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； ⑵就近凑微分：（v dx dv '⋅=） ⑶使用分部积分公式：udv uv vdu =-⎰⎰⑷展开尾项vdu v u dx '=⋅⎰⎰，判断a ．若v u dx '⋅⎰是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）； b ．若v u dx '⋅⎰依旧是相当复杂，无法通过a 中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求2x e x dx ⋅⎰【求解示例】()()222222222222222x x x x x x x x x x x x x x x e x dx x e dx x de x e e d x x e x e dx x e x d e x e xe e dx x e xe e C⋅===-=-⋅=-⋅=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：【题型示例】求sin x e xdx ⋅⎰【求解示例】()()()()sin cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin cos sin sin x x x xx x x x x x x x x x e xdx e d x e x xd ee x e xdx e x e d x e x e x xd e e x e x e xdx⋅=-=-+=-+=-+=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：()sin cos sin sin x x x x e xdx e x e x xd e ⋅=-+-⎰⎰即：∴()1sin sin cos 2xxe xdx e x x C ⋅=-+⎰第四节有理函数的不定积分 ○有理函数（★）设：()()()()101101m m mn n nP x p x a x a x a Q x q x b x b x b --=++⋯+==++⋯+ 对于有理函数()()P x Q x ，当()P x 的次数小于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是真分式；当()P x 的次数大于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是假分式○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）⑴将有理函数()()P x Q x 的分母()Q x 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式()kx a -；而另一个多项式可以表示为二次质因式()2lx px q ++，（240p q -<）；即：()()()12Q x Q x Q x =⋅一般地：n mx n m x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则参数n a m =-22b c ax bx c a x x a a ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭则参数,b cp q a a ==⑵则设有理函数()()P x Q x 的分拆和式为：()()()()()()122k lP x P x P x Q x x a x px q =+-++其中()()()()1122...k kkP x A A A x a x a x a x a =+++----()()()()2112222222...ll llP x M x N M x N x px q x px q x px q M x N x px q ++=++++++++++++参数121212,,...,,,,...,l k lM M M A A A N N N ⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎩⎩⎩由待定系数法（比较法）求出⑶得到分拆式后分项积分即可求解【题型示例】求21x dx x +⎰（构造法）【求解示例】()()()221111111111ln 112x x x x dx dx x dx x x x xdx dx dx x x x Cx +-++⎛⎫==-+ ⎪+++⎝⎭=-+=-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰第五节积分表的使用（不作要求）第五章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质 ○定积分的定义（★）()()01lim nbiiai f x dx f x I λξ→==∆=∑⎰（()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x则称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[],a b 称为积分区间）○定积分的性质（★★★）⑴()()b baaf x dx f u du =⎰⎰ ⑵()0a af x dx =⎰ ⑶()()b ba akf x dx k f x dx =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⑷（线性性质）()()()()1212b b ba a a k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ ⑸（积分区间的可加性）()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >，则()0baf x dx >⎰；（推论一）若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满足()()f x g x ≤，则()()b baaf x dxg x dx ≤⎰⎰；（推论二）()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰○积分中值定理（不作要求）第二节微积分基本公式○牛顿-莱布尼兹公式（★★★）（定理三）若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰○变限积分的导数公式（★★★）（上上导―下下导）()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dxϕψϕϕψψ''=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰ 【题型示例】求21cos 2limt xx e dt x -→⎰【求解示例】()2211cos cos 2002lim lim 解：t t x x x L x d e dt e dt dx x x--'→→='⎰⎰()()()()2222221cos cos000cos 0cos cos 0cos 010sin sin limlim 22sin lim 2cos sin 2sin cos lim21lim sin cos 2sin cos 21122xxx x xL x xxx x x e ex x e xxdx e dx x x ex ex xe x x x x e e---→→-'→--→-→-⋅-⋅-⋅==⋅='⋅+⋅⋅=⎡⎤=+⋅⎣⎦=⋅=第三节定积分的换元法及分部积分法 ○定积分的换元法（★★★） ⑴（第一换元法）()()()()b ba a f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 【题型示例】求20121dx x +⎰【求解示例】()[]222000111121ln 212122121ln 5ln 5ln122解：dx d x x x x =+=⎡+⎤⎣⎦++=-=⎰⎰ ⑵（第二换元法）设函数()[],f x C a b ∈，函数()x t ϕ=满足： a ．,αβ∃，使得()(),a b ϕαϕβ==；b ．在区间[],αβ或[],βα上，()(),f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦连续则：()()()baf x dx f t t dt βαϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰。

高数第一章、第三节数列的极限

0(或a
0).
注意如果数列{xn}从某项起有 xn 0（或 xn 0）,
且 lim n
xn
a,
则有a 0(或a 0).
而得不出 a 0(或a 0). 例如 1 0, 但 lim 1 0,
n
n n
4、子数列的收敛性
定义：在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列xn中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列（或子列）．
四、数列极限的性质
1、有界性
定义：对于数列 { xn}, 若存在正数 M >0 ,
使得对一切的自然数 n , 均有 | xn | M, 则称该数列有界，否则称为无界．
例如,
数列 xn
n ;有界
n1
数列 xn 2n.无界
数轴上对应于有界数列的点 xn都落在闭区间[ M , M ]上.
定理1 收敛的数列必定有界.
| xn a | 成立
（2）为了找到上述 N ，常常先将 | xn a |
适当放大为 | xn a | (n) 再令 (n) , 并从中能方便的解出 n ( ),
此时取 N [ ( ) ] 即可,
（3）有时为了方便，在不妨碍可以任意小的前提下，可事先设小于某个正数。
例2 证明 lim n2 a2 1. n n
0.
证
xn a
(1)n (n 1)2
0
(n
1 1)2
1 n1
任给 0 (设 1), 要 xn 0 ,
只要 1 ,
n1
或n 1 1,
所以,
取N [1 1],
则当n N时,
就有n 1 1,
即
(1)n (n 1)2
0

1-05极限运算法则

f ( x ) A ,g ( x ) B , 其中 , 为无穷小
设 f (x) A A A 1
(BA)
g(x) B
B B
B(B ) 有界
无穷小
因此为无穷小, f ( x) A
g(x) 1 B 由极限与无穷小关系定B 理,
得
1 lgim( x
f ( x) g) ( x)
又 limf(u)A, 则有 limf[g(x)]limf(u)A ①
uu0
xx0
uu0
证: limf(u)A uu0
0, 0, 当 0uu0 时, 有 f(u)A
xl im x0g(x)u0
对上述 0 , 1 0, 当
0xx0 1 时, 有 g(x)u0
取 m in0,1, 则当 0 xx0 时
(a0b00,m ,n为非负常数
)
a0 , b0
0 ,
,
当nm ( 如P47 例5 ) 当nm ( 如P47 例6 ) 当nm ( 如P47 例7 )
例8. 求 lim sin x .
x x
解: Q sinx 1
1 lim 0 x x
利用定理 2 可知
sin x lim 0 .
x x
y
y sin x x
lim 1 x3 x 3
1 6
x = 3 时分母为 0 !
2x3
例4
.
求
lxi m1x2
. 5x4
解: x = 1 时分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
lim x2 5x4 12 514 0
x1 2x3
213
lx i1mx22x5x34
例5 .
求
4x2 3x9 lxi m 5x2 2x1 .