2018版高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asinωx+φ的图象二导学案新人教A版必修4_174

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函数y=Asin(ωx φ)的图象

二、y＝函si数n(ωy x＋sin)的x图象，,可以0看的作图是象把周y＝期sin变(x换＋T)=的2
图象上所有点的横坐标缩短 (当ω>1时)或伸长 (当
1
0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到．
横坐标变为原来的 1 倍
y sinx
纵坐标不变
y sinx
y cos x
y
sin
0
3
0
-3 0
新知探究 A的变化引起图象上的点纵坐标的伸缩变换
三、函数y Asinx+的图象振幅变换 A决定最值
y＝Asin(ωx＋)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋)的
图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当
0<A<1时)到原来的
A倍(横坐标不变)而得到．
y sinx
纵坐标变为原来的A倍横坐标不变
y
sin
21x
3
纵坐标变为原来的3倍横坐标不变
y
3sin
2
x
3
o 7 2 5 7
3
6
-1 -2
12
6
y
3
12 3
sin
2
x
6
3
6
-3
5 ห้องสมุดไป่ตู้ x
3
y sin x
先平移后伸缩
步骤1 步骤2 步骤3 步骤4
y
1
o
-1
2
y
1
o
-1 2
1y
2
3 2
x
(沿x轴平行移动)
3
2 2
x
的图象之间的关系。
2x 3
0

数学：1.5《函数y=Asin(ωx+φ)的图像2》课件(新人教A版必修4)

2. 振幅变换：
Y=SinX 横坐标不变 Y=ASinX 纵坐标变为原来的A倍纵坐标不变 Y=SinωX 横坐标变为原来的1/ω倍左移(ψ>0)或右移(ψ<0) │ψ│
Y=Sin(X+ψ),
3. 周期变换：
Y=SinX
4. 平移变换：
Y=SinX
演示完毕敬请指导！
画出函数 Y=Sin2X,X∈R Y=Sin0.5X,X∈R 的简图。
0 0 0 0 π/2 π/4 1 π/2 π π/2 0 π 3π/2 3π/4 -1 3π/2 2π π 0 2π
X
Sin0.5X
0
0
π
1
2π
0
3π
-1
4π
0
1 O -1
Y X
4 2
3 4

3 2
2
3
4
Y=Sin2X
函数Y=ASin(ωX+ψ)的图象
(第一课时)
1. 函数Y=ASinX与Y=SinX的图象的联系
例1
x Sin X 2Sin X 0.5Sin X
画出函数 Y=2 SinX,X∈R Y=0.5 SinX,X∈R 的简图。
0 0 0 0 π/2 1 2 1/2 π 0 0 0 3π/2 -1 -2 -1/2 2π 0 0 0
不变）而得到。这种变换叫做振幅变换，A叫做函数
Y=ASinX的振幅。函数Y=ASinX,X∈R的值域是[-A,A]，最大值是A，最小值是-A。横坐标不变 Y=SinX Y=ASinX 纵坐标变为原来的A倍
2. 函数Y=SinωX与Y=SinX的图象的联系
例2
2X X Sin2X 0.5X
3. 函数Y=Sin（X+ψ）与 Y=SinX的图象的联系

函数y=sin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用导学案

函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用导学案[知识梳理]一、y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：[课前小测]1．函数y ＝sin x2的图象的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝0B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝2π2．(教材习题改编)已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6 B ．T ＝6，φ＝π3 C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π33．(2012·安徽高考)要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位4．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.5．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0) 在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.[课堂探究]探究点一三角函数的图象及变换[例1] 已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R.(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？针对练习1．(2012·江西省重点中学联考)把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2 B ．x ＝－π4 C ．x ＝π8D ．x ＝π42.设f (x )＝1＋sin(2x －π6)，x ∈R.(1)画出f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象；(2)求函数的单调区间；(3)如何由y ＝sin x 的图象变换得到f (x )的图象？探究点二求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式[例2] (2011·江苏高考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．若本例函数的部分图象变为如图所示，试求f (0)．针对练习1． (2012·陕西师大附中模拟)若三角函数f (x )的部分图象如图，则函数f (x )的解析式，以及S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)的值分别为( )A ．f (x )＝12sin πx 2＋1，S ＝2 012B ．f (x )＝12cos πx2＋1，S ＝2 012C ．f (x )＝12sin πx 2＋1，S ＝2 012.5D ．f (x )＝12cos πx2＋1，S ＝2 012.52．(2012·长春调研)函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A 、B 分别为最高点、最低点，且AB ＝22，则该函数图象的一条对称轴为( )A ．x ＝2πB ．x ＝π2C ．x ＝2D ．x ＝13．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R)的图象的一部分如图所示．求函数f (x )的解析式．[例3] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)．(1)求f (x )的解析式及x 0的值； (2)求f (x )的增区间； (3)若x ∈[－π，π]，求f (x )的值域．针对练习函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式； (2)设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．探究点三三角函数模型的简单应用例4 已知海湾内海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？针对练习交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6表示，求： (1)开始时的电压； (2)最大电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次取得最大值时的时间．[高考练兵]1.(2012湖南高考·满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，0<ω<π2的部分图象如图所示． (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的单调递增区间．2．(2012·北京模拟)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间； (3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．。

高中数学第一章三角函数 1.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)学案苏教版必修4-

1.3.3 函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)[学习目标] 1.会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.2.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，确定其解析式．[知识链接]由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象？答 y ＝sin x 的图象变换成y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象一般有两个途径：途径一：先相位变换，再周期变换先将y ＝sin x 的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．途径二：先周期变换，再相位变换先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．[预习导引]函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下：定义域 R 值域 [－A ，A ]周期性T ＝2πω奇偶性φ＝k π (k ∈Z )时是奇函数；φ＝π2＋k π (k ∈Z )时是偶函数；当φ≠k π2(k ∈Z )时是非奇非偶函数单调性单调增区间可由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )得到，单调减区间可由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )得到要点一 “五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图例1 用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的简图，并指出该函数的单调区间．解 (1)列表如下：2x ＋π30 π2 π 3π2 2π x －π6π12 π3 7π12 5π6 y2－2(2)描点、连线，如图由图象知，在一个周期内，函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减，函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－512π，π12上单调递增．又因为函数的周期为π，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )．规律方法用“五点法”画函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(x ∈R )的简图，先作变量代换，令X ＝ωx ＋φ，再用方程思想由X 取0，π2，π，32π，2π来确定对应的x 值，最后根据x ，y 的值描点、连线画出函数的图象．跟踪演练1 作出函数y ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π3在长度为一个周期的闭区间上的图象．解列表：X ＝13x －π3π2 π3π2 2πxπ 5π24π 11π27πy ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π332－32描点画图(如图所示)：要点二求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分如图所示，求此函数的解析式．解方法一 (逐一定参法)由图象知A ＝3，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴ω＝2πT＝2，∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0在函数图象上，且为第一个特值点， ∴0＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6×2＋φ.∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.方法二 (待定系数法)由图象知A ＝3.∵图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0，∴⎩⎪⎨⎪⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.方法三 (图象变换法)由A ＝3，T ＝π，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.规律方法给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法：(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ. (2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．跟踪演练2 如图，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象，根据图中条件，写出该函数解析式．解由图象知A ＝5.由T 2＝5π2－π＝3π2，得T ＝3π， ∴ω＝2πT ＝23.∴y ＝5sin(23x ＋φ)．下面用两种方法求φ：方法一 (单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上， ∴2π3＋φ∈[π2＋2k π，32π＋2k π](k ∈Z )．由sin(2π3＋φ)＝0，得2π3＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．∵|φ|<π，∴φ＝π3.方法二 (最值点法)将最高点坐标(π4，5)代入y ＝5sin(23x ＋φ)，得5sin(π6＋φ)＝5，∴π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )． ∵|φ|<π，∴φ＝π3.所以该函数式为y ＝5sin(23x ＋π3).1．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为偶函数，则φ满足的条件是________．答案 φ＝k π＋π2(k ∈Z )2．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则ω＝________，φ＝________.答案π4 π4解析由所给图象可知，T4＝2，∴T ＝8.又∵T ＝2πω，∴ω＝π4.∵图象在x ＝1处取得最高点，∴π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，∵0≤φ<2π，，∴φ＝π4.3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象说法正确的有________．①关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；②关于直线x ＝π4对称；③关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称； ④关于直线x ＝π12对称．答案 ①④4．作出y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4在一个周期上的图象．解 (1)列表：12x －π40 π2 π 32π 2π xπ2 32π 52π 72π 92π 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π43－3描点、连线，如图所示：1.由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2π|ω|，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx ＋φ＝π2＋2k π (k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时取得最小值．一、基础达标1．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为T ＝________，φ＝________. 答案 6π6解析 T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6.2．函数图象的一部分如下图所示，则符合题意的解析式是__________________．①y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6；②y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3；④y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 答案 ④解析由图知T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT ＝2. 又x ＝π12时，y ＝1，经验证只有④符合．3．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω＝________.答案 4解析设函数的最小正周期为T ，由函数图象可知T 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π4－x 0＝π4，所以T ＝π2.又因为T ＝2πω，可解得ω＝4.4．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象可能是________．答案 ①②③解析当a ＝0时f (x )＝1，③符合，当0<|a |<1时T >2π，且最小值为正数，①符合，当|a |>1时T <2π，②符合．5．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________．答案 x ＝－π6解析令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.6．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________. 答案5π6解析函数y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π2个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3向左平移π2个单位得到函数y ＝cos(2x ＋φ)，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3向左平移π2个单位，得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π＋π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，即φ＝5π6.7．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π，0，若φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫38π－π8＝π，ω＝2πT＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝π4，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(2)列出x 、y 的对应值表：x－π8 π8 38π 58π 78π 2x ＋π40 π2 π 32π 2π y2－2描点、连线，如图所示：二、能力提升8．如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，那么a ＝________.答案－1解析方法一 ∵函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于x ＝－π8对称，设f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝f (0)， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝sin 0＋a cos 0. ∴a ＝－1.方法二由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋x ，令x ＝π8，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝f (0)，即a ＝－1.9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．答案 2，－π3解析由图象知34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，解得T ＝π. 由T ＝2πω＝π，解得ω＝2，得函数表达式为f (x )＝2sin(2x ＋φ)又因为当x ＝5π12时取得最大值2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝2，可得5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z ) 因为－π2＜φ＜π2，所以取k ＝0，得φ＝－π3. 10．关于f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6； ③y ＝f (x )图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )图象关于x ＝－π6对称．其中正确命题的序号为________．答案 ②③解析对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π (k ∈Z )． ∴x ＝k 2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3利用公式得： f (x )＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∴②对；对于③，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k 2π－π6，k ∈Z . ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心，∴③对；对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z .∴x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，∴④错． 11．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的最小值为－2，其图象相邻的最高点与最低点横坐标差是3π，又图象过点(0,1)，求函数的解析式．解由于最小值为－2，所以A ＝2.又相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π.故T ＝2×3π＝6π，从而ω＝2πT ＝2π6π＝13， y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋φ. 又图象过点(0,1)，所以sin φ＝12，因为|φ|<π2，所以φ＝π6. 故所求解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π6. 12．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象过点P (π12，0)，图象与P 点最近的一个最高点坐标为(π3，5)． (1)求函数解析式；(2)指出函数的增区间；(3)求使y ≤0的x 的取值范围．解 (1)∵图象最高点坐标为(π3，5)，∴A ＝5.∵T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π. ∴ω＝2πT＝2. ∴y ＝5sin(2x ＋φ)．代入点(π3，5)，得sin(23π＋φ)＝1. ∴23π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．由|φ|<π2，得φ＝－π6， ∴y ＝5sin(2x －π6)． (2)∵函数的增区间满足2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )．∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )． ∴增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )． (3)∵5sin(2x －π6)≤0， ∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )， ∴k π－512π≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．三、探究与创新13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．解 ∵f (x )在R 上是偶函数，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0≤φ≤π，∴φ＝π2. 由图象关于M ⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0对称可知， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4ω＋π2＝0，解得ω＝43k －23，k ∈Z . 又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数， ∴T ≥π，即2πω≥π，∴ω≤2，又ω>0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2. 综上，φ＝π2，ω＝23或2.。

高中数学学案9：§1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象

§1.5 函数y=Asin（ωx＋φ）的图象预习导引区[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象有什么影响？(2)ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象有什么影响？(3)A(A>0)对函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象有什么影响？(4)函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，A、ω、φ的物理意义各是什么？2．归纳总结，核心必记(1)参数A、ω、φ对函数y＝A sin(ωx＋φ)图象的影响①φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响②ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响③A(A>0)对函数y＝A sin(ωx＋φ)图象的影响(2)由函数y＝sin x的图象得到函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的途径由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． ①先平移后伸缩②先伸缩后平移(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中，A 、ω、φ的物理意义 ①简谐运动的就是A ； ②简谐运动的周期T ＝； ③简谐运动的频率f ＝＝； ④ 称为相位；⑤x ＝0时的相位称为初相．[问题思考](1)如何由y ＝sin x 的图象得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象？(2)如何由y ＝sin x 的图象得到y ＝sin 2x 和y ＝sin 12x 的图象？(3)对于同一个x ，函数y ＝2sin x ，y ＝sin x ，y ＝12sin x 的函数值有什么关系？课堂互动区知识点1 “五点法”作图[思考] 用“五点法”作正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 的图象时，“五点”具体指哪些点？名师指津：用“五点法”作正弦函数y ＝sin_x 的图象时，“五点”是指(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)；用“五点法”作余弦函数y ＝cos_x 的图象时，“五点”是指(0，1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．讲一讲1．用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6的简图．类题·通法用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的步骤第一步：列表.第三步：用光滑曲线连接这些点，得到一个周期内的图象．练一练1．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3.(1)在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数f (x )在一个周期内的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)求f (x )的最大值和此时相应的x 的值．知识点2 三角函数的图象变换讲一讲2．由函数y ＝cos x 的图象如何得到函数y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2的图象？类题·通法解决三角函数图象变换问题的关键是明确左右平移的方向和平移量以及横纵坐标伸缩的量，在变换中平移变换与伸缩变换的顺序不同得到解析式也不同，这点应特别注意．练一练2．如何由函数y ＝sin x 的图象得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1的图象？知识点3 由图象确定函数的解析式讲一讲3．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分，求此函数的解析式．类题·通法由y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定解析式的方法(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．练一练3．如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0) 的图象的一部分，试求该函数的解析式．——————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————— 1．本节课的重点是五点法作图、图象变换及由三角函数的图象确定解析式，难点是图象变换及由三角函数的图象确定解析式．2．要掌握与函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有关的三个问题 (1)用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，见讲1； (2)三角函数图象变换，见讲2； (3)由函数图象确定解析式，见讲3.3．本节课的易错点是由y ＝sin ωx 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象时，平移的单位为⎪⎪⎪⎪φω而不是|φ|. 参考答案预习导引区[核心必知]1．(1)提示：函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R (其中φ≠0)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．(2)提示：函数y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω>0且ω≠1)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到的．(3)提示：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0且A ≠1)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A >1时)或缩短(当0<A <1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的值域为[－A ，A ]．最大值为A ，最小值为－A . (4)提示：A 是振幅，2πω是周期，ω2π是频率，φ是初相．2．(3)①振幅 ②2πω ③1T ω2π ④ωx ＋φ ⑤φ[问题思考](1)提示：将y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位长度即可．(2)提示：将y ＝sin x 的图象的横坐标变为原来的12，即可得y ＝sin_2x 的图象；将y ＝sin_x的图象的横坐标伸长为原来的2倍，即可得y ＝sin 12x 的图象．(3)提示：y ＝2sin x 的函数值是y ＝sin x 的函数值的2倍，而y ＝12sin x 的函数值是y ＝sin x的函数值的12倍．课堂互动区知识点1 “五点法”作图[思考] 名师指津：用“五点法”作正弦函数y ＝sin_x 的图象时，“五点”是指(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)；用“五点法”作余弦函数y ＝cos_x 的图象时，“五点”是指(0，1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．讲一讲1．解：先画函数在一个周期内的图象．令X ＝3x ＋π6，则x ＝13⎝⎛⎭⎫X －π6，列表练一练1．解：(1)列表：作图：(2)由2k π－π2≤x 2＋π3≤2k π＋π2，得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－5π3，4k π＋π3，k ∈Z . (3)当x 2＋π3＝π2＋2k π，即x ＝π3＋4k π(k ∈Z )时，f (x )max ＝2.知识点2 三角函数的图象变换讲一讲2．解：y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6＋2.y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6＋2. 练一练 2．知识点3 由图象确定函数的解析式讲一讲3．解：法一：(逐一定参法)由图象知A ＝3，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图象上，∴0＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ. ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 法二：(待定系数法)由图象知A ＝3.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0， ∴⎩⎨⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 法三：(图象变换法)由A ＝3，T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 练一练3．解：由图可得：A ＝3，T ＝2|MN |＝π.从而ω＝2πT ＝2，故y ＝3sin(2x ＋φ)，将M ⎝⎛⎭⎫π3，0代入得sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，取φ＝－2π3，得y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3.。

人教版数学必修四1.5 函数y=Asin(wx φ )的图象和性质教案

三角函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质高考考纲解读：三角函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定ϕω,,A 问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。

本节课的指导思想是以2015湖北高考17题为典型母题，在此基础上进行了三个变式，分散考点，逐步加深对知识的理解，帮助学生掌握解题技能。

教学目标：掌握五点作图法作出三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像理解三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像和性质。

教学重点：三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像伸缩变换和性质。

教学难点：解决三角函数的综合问题教学手段：合作学习，讲练结合教学过程：（一）高考考纲解读函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定ϕω,,A 问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。

（二）高考母题引领三角函数)sin(ϕω+=x A y 复习母题鉴析(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并写出函数f(x)的解析式；(2)将y ＝f(x)图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g(x)的图象，求y ＝g(x)的图象离原点O 最近的对称中心．选题意义：本题叙述简洁明了，不拖泥带水．题目的大条件是以学生十分熟悉的一元二次方程的根为背景给出的，显得平和而贴切．试题一共设置了两问，设问角度新颖，梯度明显，体现了浅入深出、简局表哥约而不简单的命题风格．本题所包含的主要数学知识有：五点作图法、三角函数的图像变换、由图表求三角函数解析式，三角函数的性质等；所涉及的数学思想有换元思想、整体代换思想和函数与方程思想等；考查的主要数学技能有数学运算和逻辑推理。

高中数学第一章三角函数 1.8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像学案北师大版必修4

1.8 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像1．“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像利用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0)的简图，先分别令ωx ＋φ＝____________，列表求出长度为一个周期的闭区间上的五个关键点的坐标，再描点，并用平滑的曲线连接作出一个周期上的图像，最后向左、右分别扩展，即可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的简图．2．A 、ω、φ的意义函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0)，在这里常数A 叫____，T ＝2πω叫____，f ＝1T ＝ω2π叫____，ωx ＋φ叫____，φ叫____．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (其中ω＞0，A ＞0)的最大值为____，最小值为____，周期为__．预习交流1函数y ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3，x ∈R 的值域是________，周期是________，振幅是________，初相是________．3.A ，ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像的影响 (1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)图像的影响(2)ω对函数y ＝sin(ωx ＋φ)图像的影响(ω＞0且ω≠1)(3)A 对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像的影响(A ＞0)准确认识理解“图像变换法”由y ＝sin x 到y ＝sin(x ＋φ)的图像变换称为相位变换；由y ＝sin x 到y ＝sin ωx 的图像变换称为周期变换；由y ＝sin x 到y ＝A sin x 的图像变换称为振幅变换．预习交流2将函数y ＝sin x 的图像向左平移π4个单位，再向上平移2个单位，所得图像的函数解析式是( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋2B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－2D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2 4．函数＝sin(ω＋φ)(＞0)的性质预习交流3函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心和对称轴各有什么特点？答案：1．0，π2，π，3π2，2π2．振幅周期频率相位初相 A ＋b －A ＋b 2πω预习交流1：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，152π3 15－π3预习交流2：D4．R [－A ，A ]2π|ω| k π＋π2，k ∈Z k π＋π2－φωk π，k ∈Z ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－φω，0 2k π－π2 2k π＋π2 2k π＋π2 2k π＋3π2预习交流3：提示：对称中心为图像与x 轴的交点坐标，在对称轴处图像位于最高点或最低点，也可以说函数在对称轴处取得最大值或最小值．1．用“五点法”作正弦函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率、初相和单调区间．用“五点法”作出函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图像，并指出它的振幅、周期、频率、初相、相位．“五点法”作图，要抓住要害，即要抓住五个关键点，使函数式中的ωx＋φ分别取0，π2，π，3π2，2π，然后求出相应的x ，y 值，作出图像．2．图像变换用两种方法将函数y ＝sin x 的图像变换为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像．思路分析：变换过程可以先平移后伸缩，也可以先伸缩后平移．将函数y ＝f (x )的图像上每一点的纵坐标变为原来的12，再将横坐标变为原来的12，最后将整个图像向左平移π3个单位，可得y ＝sin x 的图像，求函数f (x )的解析式．思路分析：逆向思考解答此问题．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图像可以看作把函数y ＝12sin 2x 的图像向__________平移__________个单位得到．由y ＝sin x 的图像，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图像，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．(2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．3．根据图像确定函数解析式如图，它是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图像，由图中条件写出该函数的解析式．1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(0＜φ＜2π，A ＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是__________．2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R )的部分图像如图所示，求函数表达式．由图像确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式，主要从以下三个方面来考虑：(1)A 的确定：根据图像的“最高点，最低点”确定A ；(2)ω的确定：结合图像先求周期T ，然后由T ＝2πω(ω＞0)确定ω；(3)φ的确定：常用的方法有： ①代入法：把图像上的一个已知点或图像与x 轴的交点代入(此时，A ，ω已知)求解．(此时要注意交点在上升区间还是在下降区间上)②五点法：确定φ的值时，往往以寻找“五点”中的第一个“零点”⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口．“五点”中的ωx ＋φ的值具体如下：“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图像的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.4．y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的性质及综合应用已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6＋1(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图像的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移π6个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )的单调递减区间．思路分析：(1)首先求出ω，φ的值，再求出f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值；(2)求出y ＝g (x )的解析式，再确定单调递减区间．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数f (x )的单调递增区间．(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)为偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；为奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )．同理，函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)为偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；为奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )．(2)求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，首先把x 的系数化为正的，再利用整体代换，即把ωx ＋φ代入相应不等式中，求解相应的变量x 的范围．答案：活动与探究1：解：(1)列表：列表时2x ＋π3取值分别为0，π2，π，3π2，2π，再求出相应的x 值和y 值.(2)描点：在直角坐标系中描出点⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0.(3)连线：用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如下图所示．利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R 的简图(图略)．这个函数的振幅是2，周期是T ＝2π2＝π，频率是f ＝1T ＝1π，初相是π3.函数的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )．同理，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．(2)描点：在直角坐标系中描出点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2，－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2，0， (3)连线：将所得五点用光滑的曲线连起来，如图所示．这样就得到了函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4在一个周期内的图像，再将这部分图像向左或向右扩展就得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R 的图像．这个函数的振幅为3，周期是T ＝2π12＝4π，频率f ＝1T ＝14π，初相为－π4，相位是12x －π4.活动与探究2：解：方法一：(先平移后伸缩)y ＝sin x 的图像y＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像――――――――――→横坐标不变纵坐标伸长为原来的2倍y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像．方法二：(先伸缩后平移)y ＝sin x 的图像y ＝sin 3x 的图像y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像―――――――――→纵坐标伸长为原来的2倍横坐标不变y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像．活动与探究3：解：将y ＝sin x 的图像向右平移π3个单位得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图像，把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图像，再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图像上所有点的纵坐标变为原来的2倍得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图像．∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3.迁移与应用：右 π8解析：y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8， ∴由y ＝12sin 2x 的图像向右平移π8个单位便得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图像．活动与探究4：解：由图像知，A ＝3. ∵T 2＝5π6－π3＝π2，∴T ＝π. ∴ω＝2πT＝2.∴y ＝3sin(2x ＋φ)．下面求φ.方法一：(单调性法)∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0在递减的区间上，∴2π3＋φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z . 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，得2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z .又∵|φ|＜π，∴φ＝π3.方法二：(最值点法)将最高点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3代入y ＝3sin(2x ＋φ)，得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝3.∴φ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z .∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z .又∵|φ|＜π，∴φ＝π3.方法三：(起始点法)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x 正是由ωx ＋φ＝0解得的，故只要找出起始点的横坐标x ，就可以迅速求得初相φ.由图像求得x 0＝－π6.故φ＝－ωx 0＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π3.方法四：(平移法)由图像知，将y ＝3sin 2x 的图像沿x 轴向左平移π6个单位，就得到本题图像，故φ＝2×π6＝π3.综上，所求函数的解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 迁移与应用：1.62 解析：由题图知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4， ∴T ＝π，ω＝2ππ＝2.∴2×π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z .∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z .∵0＜φ＜2π，令k ＝0，得φ＝π3.∴函数解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∴f (0)＝2sin π3＝62.2．解：由图像知A ＝4，T2＝6－(－2)＝8，∴T ＝16.从而2πω＝16，∴ω＝π8.由π8×6＋φ＝k π，k ∈Z 得φ＝k π－3π4，k ∈Z . ∵|φ|＜π2，令k ＝1，得φ＝π4.∴函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4.活动与探究5：解：(1)∵f (x )为偶函数，∴φ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋2π3，k ∈Z .又∵0＜φ＜π，∴φ＝2π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＋1＝2cos ωx ＋1. 又函数y ＝f (x )的图像的两相邻对称轴间的距离为π2，∴2πω＝2×π2，∴ω＝2. 故f (x )＝2cos 2x ＋1，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋1＝2＋1.(2)将f (x )的图像向右平移π6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的图像．所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＋1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3＋1. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z )时，g (x )单调递减．因此g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z )．迁移与应用：解：(1)由2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，得φ＝k π＋π4，k ∈Z ，∵－π＜φ＜0，令k ＝－1得φ＝－3π4.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4. (2)由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z .∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π5的周期、振幅各是( )．A ．4π，－2B ．4π，2C ．π，2D ．π，－22．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图像，只需将y ＝sin 2x 的图像( )． A ．向左平移π6个单位B ．向右平移π6个单位C ．向右平移π3个单位D ．向左平移π3个单位3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图像( )．A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称4．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在[0，π]上的单调减区间是__________．5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)上的最高点为(2，2)，该最高点到相邻的最低点间曲线与x 轴交于一点(6,0)，求函数解析式，并求函数在x ∈[－6,0]上的值域．答案：1．B 2.D3．D 解析：由题意知ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 当x ＝π3时，f (x )＝0，所以f (x )关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称．当x ＝π4时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝cos π3＝12，所以f (x )不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，也不关于直线x ＝π4对称． 4.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12 解析：由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ， ∵x ∈[0，π]，∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在[0，π]上的递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12. 5．解：由题意知A ＝2，T4＝6－2＝4，∴T ＝16. 又2πω＝16，∴ω＝π8. 又π8×6＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z .∵|φ|＜π2，令k ＝0，得φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4.∵x ∈[－6,0]，∴π8x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π4.∴f (x )∈[－2，1]．∴函数在x ∈[－6,0]上的值域是[－2，1]．。

1.5.1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)导学案

(2)由图象确定系数ω，φ通常采用两种方法：
①如果图象明确指出了周期的大小和初始值x1(第一个零点的横坐标)或第二，第三(或第四，第五)点横坐标，可以直接解出ω和φ，或由方程(组)求出．
②代入点的坐标，通过解最简单的三角函数方程，再结合图象确定ω和φ.
(3)A的求法一般由图象观察法或代入点的坐标通过解A的方程求出．
对称轴方程是x＝_______________(结果用ω，φ表示)．
例2已知函数f(x)＝a2sin 2x＋(a－2)cos 2x的图象关于点中心对称，求a的值．
小结对于函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)而言，函数图象与x轴的交点就是图象的对称中心，注意以下充要条件的应用：函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)关于点(x0,0)中心对称⇔f(x0)＝0，换为函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)结论仍成立．
训练1作出y＝2.5sin的图象．
解令X＝2x＋，则x＝.列表：
X
0
π
2π
x
y
【由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象求三角函数的解析式】
(1)在由图象求解析式时，“第一个零点”的确定是关键，一般地可将所给一段图象左、右扩展找离原点最近且穿过x轴上升的即为“第一零点”(x1,0)．从左到右依次为第二、三、四、五点，分别有ωx2＋φ＝，ωx3＋φ＝π，ωx4＋φ＝π，ωx5＋φ＝2π.
鸡西市第十九中学学案
2014年（）月（）日班级姓名
1.5.1函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
学习
目标
1．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
2．能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式．
3．了解y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．

人教a版必修4学案：1.5函数y=asin(ωx+φ)的图象(2)(含答案)

1.5 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象(二)自主学习知识梳理1．函数y ＝2.简谐振动在物理学中，常用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[0，＋∞)，其中A >0，ω>0描述做简谐运动的一个振动量．A 就是这个简谐运动的________，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的____________；这个简谐运动的周期是____________，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率f ＝1T＝________，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的__________；__________称为相位；x ＝0时的相位φ称为________．自主探究利用“五点法”作出函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω≠0，φ>0)在一个周期上的图象，要，____________，__________.若设T ＝2πω，则这五个关键点的横坐标依次为________，________，________，________，________.对点讲练知识点一利用五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图例1 作出y ＝2.5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象．回顾归纳 “五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx ＋φ分别为0、π2、π、3π2、2π，解出x ，从而确定这五点．变式训练1 作出y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4一个周期上的图象．知识点二求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段，求其解析式．回顾归纳由图象求解析式，本质就是“五点法”作图的逆向思维：五点对应．如本题用到五点中的第一、五个点．若图象中有最值点坐标，也可代入解方程求φ，但φ的范围不能太大．变式训练2 若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值分别为________．知识点三正、余弦函数的对称问题例3 如图为函数y 1＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一个周期的图象．(1)写出y 1的解析式；(2)若y 2与y 1的图象关于直线x ＝2对称，写出y 2的解析式； (3)指出y 2的周期、频率、振幅、初相．回顾归纳 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)关于(x 0,0)中心对称⇔f (x 0)＝0⇔ωx 0＋φ＝k π(k ∈Z )； (2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)关于直线x ＝x 0轴对称⇔f (x 0)＝A 或f (x 0)＝－A ⇔ωx 0＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．变式训练3 关于f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )图象关于⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )图象关于x ＝－π6对称．其中正确命题的序号为______(将你认为正确的都填上)．1．由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图象上的最大值，最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一零点⎝⎛⎭⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y ＝A sin(ωx ＋φ)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时，注意采用整体代换的思想．如，它在ωx ＋φ＝π2＋2k π (k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时取得最小值．课时作业一、选择题1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)为偶函数的条件是( )A ．φ＝π2＋2k π (k ∈Z )B ．φ＝π2＋k π (k ∈Z )C ．φ＝2k π (k ∈Z )D ．φ＝k π(k ∈Z ) 2．函数图象的一部分如图所示，其函数为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 3．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π34．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则( )A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π65．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π5，若对于任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D.12二、填空题6．函数y ＝－3sin ⎝⎛⎫－2x ＋π3 (x ≥0)的初相是________． 7．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________． 8．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值是________．三、解答题9. 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式； (2)写出f (x )的递增区间．10．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫38π，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．§1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(二)答案知识梳理 1.2.振幅最大距离 T ＝2πω ω2π次数 ωx ＋φ 初相自主探究⎝⎛⎭⎫－φω，0 ⎝⎛⎭⎫－φω＋π2ω，A ⎝⎛⎭⎫－φω＋πω，0 ⎝⎛⎭⎫－φω＋3π2ω，－A ⎝⎛⎭⎫－φω＋2πω，0 －φω －φω＋T 4 －φω＋T 2 －φω＋34T－φω＋T 对点讲练例1 解令X ＝2x ＋π，则x ＝1⎝⎛⎭⎫X －π.列表：变式训练例2 解方法一以N 为第一个零点，则A ＝－3，T ＝2⎝⎛⎭⎫5π6－π3＝π，∴ω＝2，此时解析式为y ＝－3sin(2x ＋φ)．∵点N ⎝⎛⎭⎫－π6，0，∴－π6×2＋φ＝0，∴φ＝π3，所求解析式为y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 方法二由图象知A ＝3，以M ⎝⎛⎭⎫π3，0为第一个零点，P ⎝⎛⎭⎫5π6，0为第二个零点．列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝0ω·5π6＋φ＝π解之得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2φ＝－2π3.∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3 ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 变式训练2 2，π6解析 ∵图象过点⎝⎛⎭⎫0，12，∴sin φ＝12. 又|φ|<π，∴φ＝π6或5π6.又由“五点法”可得ω×0＋φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6. ∵⎝⎛⎭⎫11π12，0是第五个点，∴ω⎝⎛⎭⎫11π12＋φ＝2π，即ω⎝⎛⎭⎫11π12＋π6＝2π. ∴ω＝2.综上，ω＝2，φ＝π6.例3 解 (1)由图知，A ＝2，T ＝7－(－1)＝8，ω＝2πT ＝2π8＝π4.∴y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ. ∴φ＝π4.∴y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. (2)设P (x ，y )为函数y 2图象上任意一点，则P (x ，y )关于直线x ＝2的对称点P ′为 (4－x ，y )．∵y 1与y 2关于直线x ＝2对称．∴点P ′(4－x ，y )落在y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4上． ∴y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4(4－x )＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－π4x ＋π即y 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4. (3)由(2)知y 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4. ∴周期T ＝2ππ4＝8；频率f ＝1T ＝18；振幅A ＝2；初相φ＝－π4.变式训练3 ②③解析对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π (k ∈Z )．∴x ＝k 2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3利用公式得： f (x )＝4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∴②对；对于③，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π (k ∈Z )，∴x ＝k 2π－π6(k ∈Z )， ∴⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心．∴③对；对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．∴④错．课时作业 1．B2．D [由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT＝2. 又x ＝π12时，y ＝1.]3．D [ω＝2π＝2，又f (0)＝2sin φ＝3，∴sin φ＝32.又∵|φ|<π2，∴φ＝π3.]4．D [由图象知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，ω＝2.且2×7π12＋φ＝k π＋π(k ∈Z )，φ＝k π－π6(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝－π6.]5．B [∵对任意x ∈R ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立． ∴f (x 1)＝f (x )min ＝－2，f (x 2)＝f (x )max ＝2.∴|x 1－x 2|min ＝T 2＝12×2ππ2＝2.]6．－π3解析由诱导公式可知y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故初相为－π3. 7．x ＝－π6解析令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.∴与y 轴最近的对称轴方程为x ＝－π6.8.5π129．解 (1)由图象可知：A ＝2，T ＝2×(6＋2)＝16，则ω＝2πT ＝2π16＝π8.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ由π8×2＋φ＝π2，得φ＝π4. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4.(2)由－π2＋2k π≤π8x ＋π4≤π2＋2k π，得16k －6≤x ≤16k ＋2，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4的递增区间为[16k －k,16k ＋2]，k ∈Z .10．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫38π－π8＝π， ω＝2πT＝2，sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1， ∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝π4. ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)列出x 、y。

高中数学优质学案 §1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)

§1.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)学习目标1.理解y＝A sin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响.2.掌握y＝sin x与y＝A sin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．知识点一φ(φ≠0)对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到的．知识点二ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到．知识点三 A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响如图所示，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A >1时)或缩短(当0<A <1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到．知识点四函数y ＝sin x 的图象与y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象关系正弦曲线y ＝sin x 到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换过程：y ＝sin x 的图象―――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度 y ＝sin(x ＋φ)的图象―――――――――――――→所有点的横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)的图象―――――――――――――→所有点的纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．1．把函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象．( × ) 提示得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象． 2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－x ＋π3的图象，可把函数y ＝sin(－x )的图象向左平移π3个单位长度得到．( × )提示 y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x －π3，故要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－x ＋π3的图象，可把函数y ＝sin(－x )的图象向右平移π3个单位长度．3．把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到y ＝sin 2x 的图象．( × ) 提示应得到y ＝sin 12x 的图象．4．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象是由函数y ＝cos x 的图象向右平移π3个单位长度得到的．( √ ) 提示由平移的规律可知其正确．题型一平移变换例1 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象可以看作是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的？ [考点] 三角函数图象的平移、伸缩变换 [题点] 三角函数图象的平移变换解函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，可以看作是把曲线y ＝sin x 上所有的点向右平移π6个单位长度而得到的．引申探究1．若将本例中y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6改为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，其它不变，又该怎样变换？解 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，可以看作是把y ＝sin x 上所有的点向左平移π3个单位长度得到．2．若将本例改为：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象可由y ＝sin 2x 的图象经过怎样变换得到？解 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12，可由y ＝sin 2x 的图象向右平移π12个单位长度得到．反思感悟对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x 前的系数，当x 前的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx →ωx ＋φ的平移量为⎪⎪⎪⎪φω个单位长度．跟踪训练1 要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度[考点] 三角函数图象的平移、伸缩变换 [题点] 三角函数图象的平移变换 [答案] D[解析] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6，故要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度．题型二伸缩变换例2 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________的图象．[考点] 三角函数图象的平移、伸缩变换 [题点] 三角函数图象的伸缩变换 [答案] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π3 引申探究若将本例中“横坐标伸长为原来的5倍”改为“纵坐标伸长为原来的5倍”，其它条件不变，则可得到函数[解析]式为________． [答案] y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 反思感悟对于函数y ＝sin x ，若横坐标伸长为原来的ω(ω>1)倍，则得到函数y ＝sin xω.若纵坐标伸长为原来的A (A >1)倍，则得到函数y ＝A sin x ，两者可理解为横向伸缩是反比例伸缩变换，纵向伸缩是正比例伸缩变换．跟踪训练2 把y ＝sin 12x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得到的[解析]式是________．[考点] 三角函数图象的平移、伸缩变换 [题点] 三角函数图象的伸缩变换 [答案] y ＝sin 2x题型三图象变换的综合应用例3 把函数y ＝f (x )的图象上的各点向右平移π6个单位长度，然后把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的[解析]式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，求f (x )的[解析]式． [考点] 三角函数图象变换的综合应用 [题点] 三角函数图象变换的综合应用解 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3――――――――――→纵坐标伸长到原来的32倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3――――――――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3―――――――――→向左平移π6个单位长度y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝3cos x . 所以f (x )＝3cos x .反思感悟 (1)已知变换途径及变换后的函数[解析]式，求变换前函数图象的[解析]式，宜采用逆变换的方法．(2)已知函数f (x )图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的[解析]式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A 或ω即可．跟踪训练3 将y ＝sin x 的图象怎样变换可得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1的图象？ [考点] 三角函数图象变换的综合应用 [题点] 三角函数图象变换的综合应用解方法一 ①把y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝2sin x 的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得y ＝2sin 2x 的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度，得y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8的图象； ④将所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度，得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1的图象．方法二 ①将y ＝sin x 的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象； ②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象； ③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象； ④将所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度，得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1的图象.1．(2018·广西贺州高二期末)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向上平移π3个单位长度D ．向下平移π3个单位长度[考点] 三角函数图象的平移、伸缩变换 [题点] 三角函数图象的平移变换[答案] B[解析] 将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的函数[解析]式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 2．要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度[考点] 三角函数图象变换的综合应用 [题点] 三角函数图象变换的综合应用 [答案] A[解析] y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4. 若设f (x )＝sin 2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4，则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，所以向左平移π8个单位长度，即可得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 3．将函数y ＝sin 3x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)可得到函数________的图象．[考点] 三角函数图象的平移、伸缩变换 [题点] 三角函数图象的伸缩变换 [答案] y ＝sin 9x[解析] 将函数y ＝sin 3x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)，可得函数y ＝sin(3×3x )＝sin 9x 的图象．4．(2018·山西孝义高二期末)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象．[考点] 三角函数图象的平移、伸缩变换 [题点] 三角函数图象的伸缩变换 [答案] 伸长 3[解析] A ＝3>1，故将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍，即可得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 5．将函数f (x )＝3cos 2x 的图象纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再向左平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象，则g ⎝⎛⎭⎫π3＝________. [考点] 三角函数图象变换的综合应用 [题点] 三角函数图象变换的综合应用 [答案] －2 3[解析] 将函数f (x )＝3cos 2x 的图象纵坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的[解析]式为y ＝23cos 2x ，则g (x )＝23cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝23cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，故g ⎝⎛⎭⎫π3＝23cos ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝－2 3.1．由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象，其变化途径有两条(1)y ＝sin x ―――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)―――→周期变换高中数学优质学案11 y ＝sin(ωx ＋φ)―――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．(2)y ＝sin x ―――→周期变换y ＝sin ωx ―――→相位变换y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋φω＝sin(ωx ＋φ)―――→振幅变换 y ＝A sin(ωx ＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位长度；(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位长度，这是很易出错的地方，应特别注意．2．类似地，y ＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象变换得到．。

高中数学必修4：1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图像(人教版高中数学必修4第一章三角函数+含高考真题演练)

y sin 2( x 5
5
12
)
个单位所得图象的函数
表达式为
12
⑵ 函数y=3cos(x+ 4 )图象向左平移
函数表达式为
y 3 cos(x 7 )
12
3
个单位所得图象的
练习2. 完成下列填空
⑶函数y=2loga2x图象向左平移3个单位所得图象的函数表
达式
y 2 log a 2( x 3)
图1
4 （2019年全国2卷理9）
图1
4 （2019年全国2卷理9）
图2
4 （2019年全国2卷理9）
图2
5 （2018年全国3卷理15）
5 （2018年全国3卷理15）
y
1
O
y cos3x 6
y cos3x
2
3
2
x
2
y cos x
6 （2017年全国1卷理9）
6 （2017年全国1卷理9）
y sin( x（) ＞ 0）
函数图像的伸缩变换
例作函数y 3 sin( 2 x )的简图.
3
y 3sin(2x )
3
3
1
x
o
2
-1
y sin x
-3
3
1
3
o -1
-3
y 3sin(2x )
3
y sin( x )
3x
5 2
y 3sin x
3
6
1
3
o -1
-3
5
6
y sin(2x )
3
y 3sin(2x )
3
y sin( x )
3x 5 2 y 3sin x

高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象课

关系?
提示y=Asin(ωx+φ)的图象可以由函数y=sin(ωx+φ)的图象经过上
下伸缩变换得到.
一
二
三
四
思维辨析
2.填空:如图,函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ) 的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.
1.作出函数y=Asin(ωx+φ)的图象可有哪些方法?如果用图象变换法,那么是先平移后伸缩还是先伸缩后平移呢?
提示作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以用“五点法”,也可根据图象间的关系通过变换法得到;如果用图象变换法,那么既可以先平移后伸缩,也可以先伸缩后平移.
2.填空:(1)五点法:①列表 ωx+φ 通常取 0,π2,π,32π,2π 这五个值 ;②描点;③连线.
数( )的图象.
A.y=sin
��
+
π 5
C.y=sin
π 5
-��
B.y=sin
��-
π 5
D.y=sin
5��-
π 5
解析将函数 y=sin x 的图象向右平移π5个单位,可以得到函数
y=sin
��-
π 5
的图象.
答案B
一
二
三
四
思维辨析
二、ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)的图象的影响
伸缩变换得到.
一
二
三
四
思维辨析
2.填空:如图,函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(x+φ)

高中数学：1.5函数y=Asin(ωx+φ)_3

课时提升作业十二函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018·临沂高一检测)函数y=3sin3x的图象可看作是由y=sinx的图象按下列哪种变换得到( )A.横坐标不变,纵坐标变为原来的倍B.横坐标变为原来的倍,纵坐标变为原来的3倍C.横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍D.横坐标变为原来的3倍,纵坐标变为原来的倍【解析】选 B. y=sinx y=sin3x y=3sin3x.【补偿训练】将函数y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( )A.y=cos2xB.y=sinC.y=sinD.y=sin【解析】选D.y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y=sin.2.(2018·长沙高一检测)为得到函数y=cos的图象,只需将函数y=sinx的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【解析】选A.y=sinx y=sin=sin=cos.3.把y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标不变,再把图象向左平移个单位,这时对应于这个图象的解析式为( )A.y=cos2xB.y=-sin2xC.y=sinD.y=sin【解析】选A.y=sinx y=sin2x y=sin2=cos2x .【补偿训练】若将某正弦函数的图象向右平移个单位后,所得到的图象的函数表达式是y=sin,则原来的函数表达式为( )A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin-【解析】选 A. y=sin向左平移个单位后,得到原函数y=sin.4.(2018·南昌高一检测)用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)的简图时,若所得五个点的横坐标从小到大依次为x1,x2,x3,x4,x5,且x1+x5=,则x2+x4等于( ) A. B.π C. D.2π【解析】选 C.由五点法作图原理知,x2-x1=x3-x2=x4-x3=x5-x4=,故x1与x5的中点是x3,x2与x4的中点是x3,所以x2+x4=2x3=x1+x5=.5.设函数f(x)=cosωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于( )A. B.3 C.6 D.9【解题指南】解答此题理解好三角函数周期的概念至关重要,将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,说明了是此函数周期的整数倍.【解析】选C.由题意=·k(k∈Z),解得ω=6k,令k=1,即得ωmin=6.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2018·哈尔滨高一检测)将y=sin2x的图象上的所有点的纵坐标都变为原来的倍,得到________的图象.【解析】y=sin2x的图象上的所有点的纵坐标都变为原来的倍得到y=sin2x.★答案★:y=sin2x7.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是________.【解析】函数y=sin2x的最小正周期是π,在同一个坐标系中画出两个函数的图象(如图所示),观察可得图象的交点个数为7个.★答案★:7【补偿训练】将函数y=sin(2x+)的图象向左平移个单位长度,所得函数的解析式为________.【解析】y=sin的图象向左平移个单位长度,得y=sin=sin=cos2x的图象.★答案★:y=cos2x8.要得到y=cos的图象,且使平移的距离最短,则需将y=sin2x的图象向________平移________个单位即可.【解析】将y=sin2x=cos=cos2(x-)向左平移个单位,得到cos2=cos.★答案★:左三、解答题(每小题10分,共20分)9.用“五点法”画出函数y=2sin的图象.【解析】(1)列表+0 π2π-xy 0 2 0 -2 0(2)描点:把上的图象向左、向右扩展,即可得它的简图.10.(2018·徐州高一检测)函数y=sin2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位,得到的图象恰好关于x=对称,求φ的最小值.【解析】y=sin2x的图象向左平移φ个单位,得到y=sin2(x+φ),其图象关于直线x=对称,则2×+2φ=kπ+(k∈Z),φ=+(k∈Z),又φ>0,所以φ的最小值为.【补偿训练】将函数y=l gx的图象向左平移一个单位长度,可得函数f(x)的图象记为C1;将函数y=cos的图象向左平移个单位长度,可得函数g(x)的图象,记为C2.(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象.(2)判断方程f(x)=g(x)解的个数.【解题指南】解答本题(1)利用平移变换法画出可得函数f(x)=l g(x+1)的图象,即图象C1;函数y=cos的图象向左平移个单位长度,可得函数g(x)=cos=cos2x的图象,即图象C2.【解析】(1)画出图象C1和C2的图象如图.(2)由图象可知:两个图象共有7个交点.即方程f(x)=g(x)解的个数为7.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018·荆州高一检测)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( )【解析】选B.把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得:y1=cosx+1,向右平移1个单位长度得:y2=cos(x-1)+1,再向下平移1个单位长度得:y3=cos(x-1).令x=0,得:y3>0;令x=+1,得:y3=0;观察即得★答案★.2.把函数y=sin的图象向左平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍,则所得函数的解析式为( )A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin【解题指南】按照先平移后伸缩的顺序进行.在平移过程中,3x→3,在伸缩过程中,3x→x.【解析】选D.把函数y=sin的图象向左平移个单位长度,可得y=sin,即函数解析式为y=sin,再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍,可得y=sin. 二、填空题(每小题5分,共10分)3.将函数y=sin(-2x)的图象向右平移个单位,所得函数的解析式为________.【解析】y=sin(-2x)y=sin=sin.★答案★:y=sin【误区警示】本题极易出现y=sin(-2x)y=sin的错误.4.把函数y=sin的图象向右平移个单位,然后把横坐标扩大为原来的3倍,则得到的函数解析式为________.【解析】把函数y=sin的图象向右平移个单位,则得到y=sin的图象,即解析式为y=sin,然后把横坐标扩大为原来的3倍,得到函数y=sin的图象,则解析式为y=sin.★答案★:y=sin三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知函数f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位,这样得到的图象与y=sinx的图象相同,求f(x)的解析式.【解析】y=sinx y=sin y=sin. 即f(x)的解析式为y=sin.【补偿训练】指出y=cos的图象是怎样由y=sinx的图象得到的?【解析】y=cos=sin=sin,所以y=cos的图象是由y=sinx的图象上所有点向左平移个单位长度,再将所有点的纵坐标伸长到原来的倍而得到的.6.(2018·莆田高一检测)作图并求值:利用五点作图法画出函数y=2sin, x∈的图象,并写出图象在直线y=1上方所对应的x的取值范围.【解析】因为x∈,所以0≤2x-≤2π,列表如下:x2x-0 π2π2sin0 2 0 -2 0 描点作图如下:ruize由y=2sin>1得:sin>,又2x-∈[0,2π],所以<2x-<,解得:<x<.所以当x∈时,图象在直线y=1上方所对应的x的取值范围为.。

用函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质导教案

课题： §1.5 函数y =A sin(ωx ＋φ)的图象导学案（第一课时）一、学习目标：1．借助flash 动画和几何画板动态演示三角函数图像，探索并发现A 对函数sin y A x =(0A >)图像及φ对函数sin()y x ϕ=+图像的变化规律，进一步了解三角函数图像各种变换的实质，并能够从中掌握函数图像变换的规律．2．经历ϕ对函数sin()y x ϕ=+图像变化规律的探究过程，提高数学发现能力和抽象概括能力；在研究各种变换的过程中，体验由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想，自始至终渗透了数形结合的思想．3．通过A 对函数sin y A x =(0)A >，ω对函数sin y x ω=(0)ω>图像变换规律的探求，提高自主探索能力、小组合作能力，钻研精神和科学态度，培养数学核心素养．二、学习重难点：重点：对 y=sin (x ＋φ)、y=Asin x(A>0)、y=sinωx (ω>0)的图象和y=sin x 的图象之间的变换规律的理解. 难点：ω对y ＝sin ωx (ω>0)的图象的影响三、学习过程：(一) 问题情境，建立数学模型摩天轮的半径为20米，摩天轮逆时针匀速转动，角速度为2 弧度每分钟，如果当摩天轮上点P 从图中点P 0处开始计算时间，已知P 0处与摩天轮中心所在直线与水平位置夹角为6π，请在如图所示的坐标系中，确定经过x 分钟时点P 的纵坐标y .（二）合作探究，感悟方法1、探究φ对 y =sin(x +φ)的图象的影响问题1：如何由y=sin x 的图象得到y =sin(x ＋3)的图象？问题2：如何由y ＝sin x 的图象得到y=sin(x+ φ)的图象？小结研究方法：（四）类比方法，自主探究2、探究A(A>0)和对 y =Asin(ω x +φ)的图象的影响问题：如何由y =sin x 的图象得到y =A sin x (A >0)的图象？探究过程：（1）取特殊值 A=（2）对于同一个x ，他们的函数值有什么关系？（3）你能画出它在[0,2π]的简图吗？（4）A 取任意值时，对于同一个x ，他们的函数值有什么关系？（5）如何由y =sin x 的图象得到y =A sin x (A >0)的图象？（五）自主学习教材第50~51页探究（二），思考以下问题3、探究ω(ω >0)对 y =sin(ω x +φ)的图象的影响探究：如何由y =sin x 的图象得到y =sin ωx (ω>0)的图象？（1）观察212==ωω，时，他们与y=sin x 在一个周期上的图像，你有什么发现？（2）图中B 与C 、A 与B 的坐标有什么关系？你还能举出存在同样关系的点吗？（3）设y =sin x 的图象上任意点的坐标为（x 0, sin x 0），则满足与（2）中关系相同的y =sin2x 图像上的点的坐标可以表示为（，）。

高中数学教学课例《函数y=Asin(ωx+φ)的图象》课程思政核心素养教学设计及总结反思

创设问题情境，建立函数的图像的关系。 2、引导学生思考研究问题的方法。 3、引导学生观察图像上点的坐标和图象上的点的坐标的关系，获得对的图象的影响的具体认识。 4、引导学生获得关于对图像的影响。 5、引导学生通过自己的概括认识对图像的影响。 6、让学生根据已有经验独立研究对函数的图像的影响，进一步熟悉研究方法。 7、巩固已有的经验，认识参数对的图象的影响。 8、用五点法作出的图像并从图像变换角度认识函数与函数的关系。 9、进一步认识经过变换得到的方法，并体会有简单到复杂，特殊到一般的划归思想。 10、建立与物理知识的联系，了解，，与简谐运动物理量之间的关系。 11、引导学生反思学习过程，，并概括出研究函数
的基础上，进一步研究生活生产实际中常见的函数类
型，函数图象，本节内容从一个物理问题引入，根据从
具体到抽象的原则，通过参数赋值，从具体函数的讨论
开始，把从函数 y=sinx 的图像到函数的图像的变化过
教材分析程，分解为先分别观察参数，，对图像的影响，然后整
合为对的整体考察。在解决这个问题的过程中，借助计
的图像的思想方法。
4、对函数的图像的影响？
做出的图像并观查分析三者的变化规律。
教学过程
归纳由到的变化规律（周期变换） 5、同学做出的函数图像，并观察小组讨论出规律。
归纳出的变化规律。（振幅变化）
7、类似的，你能谈论一下由如何变换得到学生讨
论得出结论。
除了教科书给出的经过图像变换，从函数的图像得
到的图像外，你还能得出别的方法吗？
学生学习了正余弦函数的图像和性质，已经具有了数学知识解决这类实际问题的能力，另外，本班学生思维活跃，学习积极性较高，初步形成了对数学问题进行学生学习能合作探究的意识与能力。根据课程标准关于本科课的教力分析学要求，以贯串创新意识和实践能力的培训为宗旨，以教材的特点和所教学生的学情为出发点，设定如下教学目标。

高中数学学案5：1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象

1.5 函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象问题导学一、作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 [活动与探究1]把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )[迁移与应用1]1．给出下列六种图象变换的方法：①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍；③图象向右平移π3个单位长度；④图象向左平移π3个单位长度；⑤图象向右平移2π3个单位长度；⑥图象向左平移2π3个单位长度．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图象变换为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，那么这两种变换正确的标号是__________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．2．用“五点法”作函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4在一个周期上的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相．[名师点津]1．用“五点法”作图时，利用五个关键点，令ωx ＋φ分别等于0，π2，π，3π2，2π，求出x 及相应的y 值，作出图象即可．2．图象变化中，当|ω|≠1时，应将ωx ＋φ化为ω⎝⎛⎭⎫x ＋φω．二、求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式 [活动与探究2]若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)在其一个周期内的图象上有一个最高点⎝⎛⎭⎫π12，3和一个最低点⎝⎛⎭⎫7π12，－5，求这个函数的解析式．[迁移与应用2]函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是__________．[名师点津]对于这类给定一些条件求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的解析式的题目，有一定的解题规律可寻：一般是先确定振幅A ，周期T ，解得ω，这些都是比较容易的，最难的是求φ的值，它一般是用点来代入求得，如果代入的是最高点或最低点，其φ值很容易确定；否则，则还要结合函数的单调性来确定．三、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的综合应用 [活动与探究3]函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2． (1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．[迁移与应用3]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．[名师点津]解决该类题目的关键是由y ＝A sin(ωx ＋φ)确定出函数的相应性质，如单调性、奇偶性、对称性、最值等，充分利用函数性质求解．当堂检测1．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位2．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝－π6D ．x ＝π63．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 4．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是__________．5．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)， x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (0)＝3，则ω＝__________，φ＝________．参考答案问题导学[活动与探究1] A【解析】y ＝cos 2x ＋1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y 1＝cos x ＋1，再向左平移1个单位长度得y 2＝cos(x ＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得y 3＝cos(x ＋1)，故相应图象为A ． [迁移与应用1] 1．④②或②⑥【解析】y ＝sin x ――→④y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3――→②y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3或y ＝sin x ――→②y ＝sin x 2⑥,y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3．2．【解】(1)列出五个关键点如下：(2)描点画图：周期T ＝π，频率f ＝1T ＝1π，相位为2x ＋π4，初相为π4．[活动与探究2]【解】由已知，y ma x ＝3，y min ＝－5，则①A ＝y max －y min 2＝3－(－5)2＝4；②B ＝y max ＋y min 2＝3＋(－5)2＝－1；③由T 2＝7π12－π12＝π2，∴T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2；④函数的解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ＝4sin(2x ＋φ)－1．将点⎝⎛⎭⎫π12，3代入，得4sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ－1＝3，即sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1，所以π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，这里对φ没有限制，应该说φ＝2k π＋π3，k ∈Z 的任意一个解都满足题意，一般取|φ|＜π2，故所求的函数解析式为y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1． [迁移与应用2]62【解析】由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2，又函数图象经过点⎝⎛⎭⎫π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝62． [活动与探究3]【解】(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2． ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π． ∴ω＝2．故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1． (2)∵f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3．∴α－π6＝π6．故α＝π3．[迁移与应用3]【解】由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即函数f (x )的图象关于y 轴对称，∴f (x )当x ＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1．依题设0≤φ≤π，解得φ＝π2．由f (x )的图象关于点M 对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫3π4ω＋π2＝0，解得ω＝4k 3－23，k ∈Z ．又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，∴T ≥π，即2πω≥π，∴ω≤2．又ω＞0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2．∴φ＝π2，ω＝2或23．当堂检测1． C【解析】∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只须将y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位即可得到y ＝cos(2x ＋1)的图象．2． C【解析】由x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，令k ＝－1，得x ＝－π6．3． D【解析】“五点法”对应解方程．设y ＝A sin(ωx ＋φ)，显然A ＝1，又图象过点⎝⎛⎭⎫－π6，0，⎝⎛⎭⎫π12，1，所以⎩⎨⎧ω×⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0，ω×π12＋φ＝π2.解得ω＝2，φ＝π3．所以函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6．故选D ． 4． y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 【解析】y ＝sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3． 5．2 π3【解析】由原函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω＞0)．又由f (0)＝3且|φ|＜π2得到φ＝π3．。

2017_2018版高中数学第一章三角函数8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(二)学案北师大

即x＝kπ＋ (k∈Z)时，函数取得最小值－1.
当堂训练
1．A 2.D 3.A 4.A
5．解 (1)易知A＝，T＝4×[2－(－2)]＝16，
∴ω＝＝，
∴f(x)＝ sin( x＋φ)，
将点(－2,0)代入得sin(－＋φ)＝0，
令－＋φ＝0，∴φ＝，
∴f(x)＝ sin( x＋ )．
(2)由－＋2kπ≤ x＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z，
8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(二)
学习目标 1.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像.2.能依照y＝Asin(ωx＋φ)的部份图像，确信其解析式.3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的图像的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．
知识点一 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像
第三步：用滑腻曲线连接这些点，形成图像．
知识点二函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质
名称
性质
定义域
值域
周期性
T＝________
对称性
对称中心 (k∈Z)
对称轴
奇偶性
当φ＝kπ(k∈Z)时是____函数；
当φ＝kπ＋ (k∈Z)时是____函数
单调性
通过整体代换可求出其单调区间
知识点三函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
(2)由(1)知，f(x)＝sin .
由2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ (k∈Z)，得kπ＋ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)，故函数的递增区间是 (k∈Z)．同理可得函数的递减区间是 (k∈Z)．
当2x－＝2kπ＋ (k∈Z)，

函数y=Asin(ωx+φ)学案

解法三：（起始点法）由题图得 T＝3π，A＝2，故ω＝2，函数 y＝Asin（ωx＋φ）的图象一般由“五 3
点法”作出，而起始点的横坐标 x0 正是由ωx0＋φ＝0 解得的，故只要找出起始点的横坐标 x0，就可以
π
迅速求得角φ．由图象求得ω＝23，x0＝－π2 ，φ＝－ωx0＝－23× － 2
π ＝．∴该函数的解析式为 y＝
π 3x－
T＝2π
下面用“五点法”画函数 y＝2sin
6 在一个周期 3 内的图象．
π
令 X＝3x－π，则 x＝1 X＋ 6 ，列表，描点画图（图 2）
6
3
π
X
0
2
π
3π
2
2π
π
2π
7π
5π
13π
x
18
9
18
9
18
y
0
2
－
0
0
2
状元随笔画函数 y＝Asin（ωx＋φ）的图象一般有 2 个方法．
法一：先画 y＝sinx，然后按φ，ω，A 的顺序依次画出图象．法二：五点法作图，按列表，描点，连线的步骤画图．
2．ω对函数 y＝sin（ωx＋φ）图象的影响
3．A 对函数 y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响
状元随笔（1）A 越大，函数图象的最大值越大，最大值与 A 是正比例关系．（2）ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．（3）φ大于 0 时，函数图象向左平移，φ小于 0 时，函数图象向右平移，即“左加右减”．
倍
横坐标不变
y＝2cos
2x＋7π 6
向上平移 2 个单位 ――――――→ ,
y＝2cos