专题1.3.1 单调性与最大(小)值(练)-2016-2017学年高一数学同步精品课堂(提升版)

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1.3.1 单调性与最大(小)值—第一课时单调性

练习:
利用刚才的方法描述一下左侧四个函数图象的 “上升” “下降” 的情况.
思考
如何利用函数解析式f(x)=x2描述“随着x的增大, 相应的f(x)反而随着减小.”“随着x的增大,相应的 f(x)也随着增大.”? 有同学认为可以这样描述:在区间(0,+∞)上, x1＜x2时, 有f(x1)＜f(x2).他并且画出了如下示意图,你认为他的说法对吗?
练习:
例1 下图是定义在区间[-5,5]的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?
解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中 y=f(x)在区间[-5,-2) ,[1,3)上是减函数,在区间[-2,1), [3,5]上是增函数.
第一课时:单调性 :
教学目标:
知识教学目标：知识教学目标： 1.理解函数的单调性概念理解函数的单调性概念. 理解函数的单调性概念 2.会判定函数的单调性会判定函数的单调性. 会判定函数的单调性能力训练目标：能力训练目标： 1.培养学生利用数学概念进行判断、推理的能力培养学生利用数学概念进行判断、培养学生利用数学概念进行判断推理的能力. 2.加强化归转化能力的训练加强化归转化能力的训练. 加强化归转化能力的训练情感渗透目标：情感渗透目标： 1.通过新概念的引进过程培养学生探索问题、发现规通过新概念的引进过程培养学生探索问题、通过新概念的引进过程培养学生探索问题归纳概括的能力. 律、归纳概括的能力 2.培养学生辨证思维、求异思维等能力培养学生辨证思维、培养学生辨证思维求异思维等能力.
例2:物理学中的波意耳定律p=k/V(k为正常数)告述我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之. 证明: 1 2 1.设(自变量); 2.比(函数值); 3.判(函数值大小关系); 4.结(论) 3 4

高中数学第一章1.3.1 单调性与最大(小)值讲解与例题新人教A版必修1

1.3.1 单调性与最大(小)值1．函数的单调性如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性．区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．谈重点对函数单调性的理解 (1)函数在区间D 上的单调性是针对定义域内某个区间D 而言的．①这个区间可以是整个定义域：如y ＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是单调递增的，y ＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是单调递减的，此时单调性是函数的一个整体性质．②这个区间也可以是定义域的一部分，也就是定义域的一个真子集，如y ＝x 2－2x ＋1在整个定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但是在(－∞，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，这时增减性即单调性是函数的一个局部性质．(2)x 1，x 2的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的x 1，x 2有三个特征：一是任意性，即任意取x 1，x 2，“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x 1＜x 2；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．(3)有的函数无单调性．如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，它的定义域是(－∞，＋∞)，但无单调性可言．【例1－1】若函数f(x)的定义域为(0，＋∞)且满足f(1)＜f(2)＜f(3)，则函数f(x)在(0，＋∞)上为( )A．增函数B．减函数C．先增后减D．不能确定解析：由于函数单调性的定义突出了x1，x2的任意性，所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系，是不能做为判断单调性的依据的，也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可．因此本题选D．答案：D【例1－2】函数1yx=的单调递减区间是( )A．[0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，0)和(0，＋∞)D．(－∞，0)U(0，＋∞)谈重点写函数的单调区间易忽略的问题(1)若函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B上都是增(或减)函数，一般不能简单地认为函数f(x)在A U B上是增(或减)函数，即单调区间不能并写；(2)当函数有两个或两个以上单调性相同的区间时，这些区间要用“，”或“和”连接．【例1－3】已知函数y＝f(x)的图象如图所示．试写出函数y＝f(x)的单调区间．解：观察图象可知，函数y＝f(x)的图象在区间[－2,1]和[4,6]上均是上升的，在区间(1,4)上是下降的，所以函数y＝f(x)的单调递增区间是[－2,1]，[4,6]，单调递减区间是(1,4)．谈重点由图象确定函数的单调区间易忽略的问题(1)单调区间必须是定义域的子集；(2)单调区间应用“，”或“和”连接，不能用“U”连接；1，4，因为单(3)本题的单调增区间也可写为(－2,1)，(4,6)，单调减区间也可写为[]独的一个点不影响函数的单调性，但对于某些无意义的点，单调区间就一定不包括这些点．2．函数的最值(1)最大值和最小值定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大(小)值．几何意义：函数y＝f(x)的最大(小)值是其图象上最高(低)点的纵坐标．(2)最值函数的最大值和最小值统称为函数的最值，则函数y＝f(x)的最值是图象上最高点或最低点的纵坐标．释疑点对函数的最值的理解(1)最大值(或最小值)必须是一个函数值，是值域中的一个元素．如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0．(2)使函数f(x)取得最值的自变量的值有时可能不止一个．如函数f(x)＝x2，x∈[－1,1]的最大值是1，此时有f(1)＝f(－1)＝1，即取得最大值的自变量有两个．(3)不等式f(x)≥M或f(x)≤M中的x是函数定义域中的任意值，不能是定义域中的部分值；(4)不等号“≤”或“≥”中的等号必须能够成立，否则M不是函数的最值．【例2－1】函数y＝x－1在区间[3,6]上的最大值和最小值分别是( )A．6,3 B．5,2C．9,3 D．7,4解析：函数y＝x－1在区间[3,6]上是增函数，则当3≤x≤6时，f(3)≤f(x)≤f(6)，即2≤y≤5，所以最大值和最小值分别是5,2．答案：B【例2－2】函数y＝f(x)(－2≤x≤2)的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为__________、__________．解析：由函数最值的定义，结合函数的图象可知，f (x )的最大值为12f ⎛⎫⎪⎝⎭，最小值为32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭．答案：12f ⎛⎫⎪⎝⎭ 32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭【例2－3】下图为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．解：观察函数图象可以知道，图象上最高点坐标为(3,3)，最低点坐标为(－1.5，－2)，所以当x ＝3时，函数y ＝f (x )取得最大值y max ＝3；当x ＝－1.5时，取得最小值y min ＝－2．3．单调性的证明与判断(1)单调性的证明①函数单调性的证明的最基本方法是依据函数单调性的定义来进行，其步骤如下：第一步：设元，即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2；第二步：作差，即作差f(x1)－f(x2)；第三步：变形，即通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；第四步：判号，即确定f(x1)－f(x2)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；第五步：定论，即根据单调性的定义作出结论．其中第三步是关键，在变形中一般尽量化成几个最简因式的乘积或几个完全平方的形式．②利用单调性定义的等价形式证明：设x1，x2∈[m，n]，x1≠x2，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x1)－f(x2)x1－x2＞0⇔f(x)在区间[m，n]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x1)－f(x2)x1－x2＜0⇔f(x)在区间[m，n]上是减函数．(2)单调性的判断判断函数的单调性常用的方法有：①定义法：即“设元——作差——变形——判号——定论”；②图象法：先作出函数图象，利用图象的直观性判断函数的单调性；③利用已知函数的单调性及运算来判断函数的单调性，具体方法如下：若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上：1°f(x)与f(x)＋C具有相同的单调性；2°f(x)与af(x)，当a＞0时单调性相同；当a＜0时，单调性相反；3°当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；4°当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x)·g(x)当两者都恒大于0时，是增(减)函数；当两者都恒小于零时，是减(增)函数．5°当f(x)恒不为零时，f(x)与1f(x)具有相反的单调性．6°当f(x)≥0时，f(x)与f(x)具有相同的单调性．注意：(1)判断单调性不等同于证明单调性．(2)f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)·g(x)不一定是增(减)函数．如f(x)＝x，g(x)＝2x，则f(x)·g(x)＝2x2在R上不是增(减)函数．同理，f (x )g (x )也不一定是增(减)函数．【例3－1】判断并证明函数f (x )＝1x-＋1在(0，＋∞)上的单调性．解：作函数f (x )＝1x-＋1，x ∈(0，＋∞)的图象．由图象可知函数f (x )＝1x-＋1在(0，＋∞)上为增函数．证明：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1＜x 2，(设元)则f (x 1)－f (x 2)＝121111x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(作差) ＝12121211x x x x x x --+=．(变形)()()()()121212121212(0)0.0.()0.x x x x x x x x f x f x f x f x ⎫∈∞>⎪<<⎬⎪<<⎭由，，＋，得又由，得－判于是－，即号因此，f (x )＝1x-＋1在(0，＋∞)上是增函数．(定论) 谈重点定义法证明函数单调性的四点注意 (1)“任意取x 1，x 2”的“任意”二字绝对不能去掉，更不可随意用两个特殊值代替；(2)x 1，x 2有大小之分，通常规定x 1＜x 2；(3)x 1，x 2同属于一个单调区间；(4)最重要的步骤是将f (x 1)－f (x 2)变形为能够与0比较大小的形式，常把它转化为几个因式的积或商的形式或者平方和的形式，采用的方法多为分解因式、配方、有理化等，要求化出来的形式能够直接与0比较，不能看不出正负就下结论．【例3－2】利用函数单调性的定义，证明函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数．原因是利用了函数f (x )＝x 的单调性，而这一点是需要证明的．正确证明任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝12x x -＝1212121212()()x x x x x x x x x x -+-=++．∵0≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，12x x +＞0．∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数．减的函数是( )A ．21y x =B ．1y x= C ．y ＝x 2 D ．y ＝x 3解析：对于A ，令y ＝f (x )＝21x，任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝212122221212()()11x x x x x x x x -+-＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以函数21y x=在区间(0，＋∞)上单调递减．同理可得函数21y x =在区间(－∞，0)上单调递增．对于B ，易知函数1y x=在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减．对于C ，易知函数y ＝x 2在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．对于D ，令y ＝f (x )＝x 3，任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 13－x 23＝(x 1－x 2)(x 12＋x 1x 2＋x 22)＝(x 1－x 2)·221221324x x x ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数y ＝x 3在R 上单调递增．答案：A4．函数的单调区间的求法 (1)基本初等函数的单调区间以上单调函数的单调区间可作为结论记住，可提高解题速度．(2)用图象法求函数的单调区间利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间．(3)利用单调性定义求函数的单调区间用单调性定义求函数单调区间，具体做法是：①明确函数的定义域；②在定义域内任取两个自变量x1，x2；③作差f(x1)－f(x2)并将差变形；④根据上一步差的变形结果，确定自变量x1和x2在定义域内一个子集E上差的符号，则该区间E是函数f(x)的一个单调区间；⑤写出函数的单调区间．【例4－1】求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝3|x|；(2)f(x)＝|x2＋2x－3|；(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3．解：(1)f(x)＝3|x|＝3,0, 3,0. x xx x≥⎧⎨-<⎩图象如图所示．函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为[0，＋∞)．(2)令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4．先作出函数g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x 轴上方就得到函数f(x)＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．由图象易得：函数f (x )的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数f (x )的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．(3)f (x )＝－x 2＋2|x |＋3＝2223,0,23,<0.x x x x x x ⎧-++≥⎪⎨--+⎪⎩图象如图所示．由图象可知，函数f (x )的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0]，(0,1]，(1，＋∞)，其中单调减区间为(－1,0]和(1，＋∞)，单调增区间为(－∞，－1]和(0,1]．【例4－2】求函数y ＝x ＋1x，x ＞0的单调区间．分析：函数的定义域是(0，＋∞)，在定义域中任取两值x 1，x 2，利用函数单调性的定义来确定单调区间．解：设x 1，x 2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝121211x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝(x 1－x 2)＋1211x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(x 1－x 2)＋2112x x x x -＝(x 1－x 2)12121x x x x -，由于0＜x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，当x1，x2∈(0,1]时，有x1x2－1＜0，此时f(x1)＞f(x2)，当x1，x2∈(1，＋∞)时，有x1x2－1＞0，此时f(x1)＜f(x2)．故函数y＝x＋1x的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(0,1]．析规律函数f(x)＝x＋ax(a＞0)的单调性函数f(x)＝x＋ax(a＞0)是一类非常重要的函数，在以后的学习中会经常遇到，其图象如图．由图象可知其单调增区间为(－∞，]，(0)，(0．记住它的图象，对我们以后的学习会有很大的帮助．5．复合函数单调性的判断(1)复合函数y＝f(g(x))g(x)与外层函数f(x)的单调性相同时y＝f(g(x))是增函数，单调性相反时y＝f(g(x))是减函数．(2)判断复合函数单调性的步骤以复合函数y＝f(g(x))为例．可按下列步骤操作：①将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(t)，t＝g(x)；②分别确定各个函数的定义域；③分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间；④若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则y＝f(g(x))为增函数；若为一增一减，则y＝f(g(x))为减函数．_____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________【例5－1】函数f (x )＝226969x x x x -++++的单调递增区间是________，单调递减区间是________．解析：原函数可化为f (x )＝|x －3|＋|x ＋3|＝236332 3.x x x x x -≤-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩，，，，，其图象如图所示，由图可得(－∞，－3]为函数f (x )的递减区间，[3，＋∞)为函数f (x )的递增区间．答案：[3，＋∞) (－∞，－3]【例5－2】已知函数f (x )＝8＋2x －x 2，g (x )＝f (2－x )，试求g (x )的单调区间．解：令t ＝2－x ，则f (t )＝8＋2t －t 2；由t ＝2－x 可知t 是关于x 的减函数．由f (t )＝8＋2t －t 2可知，当t ≤1时，f (t )是增函数；当t ≥1时，f (t )是减函数．(1)令t ＝2－x ≤1，即x ≥1，此时内函数为减函数，外函数f (t )是增函数，故当x ≥1时，g (x )为减函数．(2)令t ＝2－x ≥1，即x ≤1，此时内函数为减函数，外函数f (t )为减函数，故当x ≤1时，g (x )为增函数．综上可得，g (x )的单调增区间为(－∞，1]，g (x )的单调减区间为[1，＋∞)．析规律复合函数单调性的判断方法 (1)利用“同增异减”判断；(2)复合函数的单调区间必须在定义域内并且要确定内层函数g (x )的值域，否则就无法确定f (g (x ))的单调性[特别是当f (g (x ))的单调区间是由几个区间组成时]．6．函数最值的求法 (1)观察法对一些简单函数可直接观察求其最值．例如，求y ＝x ＋1在区间[0,9]上的最值．解：由题目条件可知0≤x ≤3，从而y ＝x ＋1∈[1,4]．即当x ＝0时，y min ＝1，当x ＝9时，y max ＝4． (2)用单调性求最值①利用定义法判断出函数y ＝f (x )的单调性；②再利用其单调性求最值．函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是f (b )，最小值是f (a )，如图a 所示；函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是f (a )，最小值是f (b )，如图b 所示；③归纳结论．有时也用以下结论来确定函数的最值：如果函数f (x )在区间(a ，b ]上是增函数，在区间[b ，c )上是减函数，则函数f (x )在区间(a ，c )上有最大值f (b )；如果函数f (x )在区间(a ，b ]上是减函数，在区间[b ，c )上是增函数，则函数f (x )在区间(a ，c )上有最小值f (b )．(3)利用图象求最值利用图象求函数y ＝f (x )最值的步骤： ①画出函数y ＝f (x )的图象；②观察图象，找出图象的最高点和最低点；③写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值．要注意：画函数的图象时，要尽量准确，如果条件允许可以借助于计算机．有时由于所画图象不够准确，不能确定最高点或最低点的纵坐标，这时，可以利用函数的解析式将所有关键点的纵坐标计算出来，这些点的纵坐标中的最大值就是函数的最大值，这些点的纵坐标中的最小值就是函数的最小值．【例6－1】求函数1y x x =-解：由x ≥0，且x －1≥0，得函数的定义域为[1，＋∞)．而函数y和y =在[1，＋∞)上都是增函数，则y =+当x ＝1时，它取得最小值．故y =1，即它的值域为[1，＋∞)．点技巧巧用“增函数＋增函数＝增函数”判断单调性若两个函数在公共区间上均为增函数，则它们的和函数也为增函数，当两个函数在公共区间上均为减函数，则它们的和函数也为减函数．本题就是利用这个性质，判断函数y =【例6－2】已知函数21xy x =+，x ∈[－3，－2]，求此函数的最大值和最小值．分析：先判断函数的单调性，再利用函数的单调性求得最值．解：(方法一)设－3≤x 1＜x 2≤－2，则f (x 1)－f (x 2)＝12122211x x x x -++12211212122(1)2(1)2()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x +-+-==++++．由于－3≤x 1＜x 2≤－2，则x 1－x 2＜0，x 1＋1＜0，x 2＋1＜0．所以f (x 1)＜f (x 2)．所以函数21xy x =+在区间[－3，－2]上是增函数．又因为f (－2)＝4，f (－3)＝3，所以函数的最大值是4，最小值是3．(方法二)22(1)222111x x y x x x +-===-+++，而函数2y x =-在(－∞，0)上单调递增，所以函数21y x =-+在(－∞，－1)上单调递增，所以函数y ＝2－21x +，即21xy x =+在(－∞，－1)上单调递增．所以函数21xy x =+在区间[－3，－2]上单调递增．所以当x ＝－2时，函数取得最大值4，当x ＝－3时，函数取得最小值3．点技巧分离常数法对于形如y ＝ax ＋bcx ＋d(ac ≠0)的函数，我们常用分离常数法解决其单调性或最值问题，具体方法如下：通过y ＝ax ＋b cx ＋d ＝a c (cx ＋d )－ad c ＋b cx ＋d ＝ac ＋b －ad c cx ＋d将问题转化为函数y ＝b －ad c cx ＋d 的单调性问题，进而转化为函数y ＝b －ad c cx 的单调性问题，而y ＝b －ad ccx的单调性可利用反比例函数的单调性轻松得到．【例6－3】求函数f (x )＝11,1,2,13x x x x ⎧≤<⎪⎨⎪≤≤⎩的最大值与最小值．解：画出函数的图象，如图所示．由图可知，函数的最大值是f (3)＝3，最小值是f (1)＝1． 7．二次函数在闭区间上的最值问题求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间[m ，n ]上的最值问题一般分以下几种情况：(1)若对称轴2b x a =-在区间[m ，n ]内，则最小值为2b f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，最大值为f (m )，f (n )中较大者(或区间端点m ，n 中与2bx a=-距离较远的一个对应的函数值为最大值)(2)若对称轴x ＝－b2a＜m ，f (x )在区间[m ，n ]上是增函数，则最大值为f (n )，最小值为f (m )；(3)若对称轴x ＝－b2a＞n ，f (x )在区间[m ，n ]上是减函数，则最大值为f (m )，最小值为f (n )．例如，已知函数y ＝x 2＋x －1，求： (1)x ∈[－1,2]的值域； (2)x ∈[1,3]的值域．分析：本题考查二次函数在某个给定区间上的值域问题．解题的关键是先配方再利用函数的单调性处理．解：∵y ＝x 2＋x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－54，∴这个函数图象开口向上，对称轴为x ＝－12．(1)∵－12∈[－1,2]，∴当x ＝－12时，y 有最小值－54．又当x ＝－1时，y ＝－1；x ＝2时，y ＝5， ∴y 的最大值为5．∴所求的函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，5． (2)∵－12∉[1,3]，且－12＜1，∴函数在区间[1,3]上单调递增．∴当x ＝1时，y 取最小值1；当x ＝3时，y 取最大值11． ∴所求的函数值域为[1,11]．【例7－1】求函数f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值与最小值．分析：画图象分类讨论．解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a．(1)当a＜0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a；(2)当0≤a＜1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a；(3)当1≤a≤2时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1；(4)当a＞2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1．【例7－2】求函数y＝x2＋x－1在区间[a，a＋1]上的值域．解：函数y＝x2＋x－1的对称轴为12x=-，开口方向向上．①∵当a＋1＜12-，即a＜32-时，区间[a，a＋1]在对称轴的左侧，∴函数y＝x2＋x－1在区间[a，a＋1]上单调递减．∴当x＝a＋1时，y min＝a2＋3a＋1；当x＝a时，y max＝a2＋a－1．②∵当a＞12-时，区间[a，a＋1]在对称轴的右侧，∴函数y＝x2＋x－1在区间[a，a＋1]上单调递增．∴当x＝a时，y min＝a2＋a－1；当x＝a＋1时，y max＝a2＋3a＋1．③当a≤12-≤a＋1，即32-≤a≤12-时，当x＝12-时，y min＝54-；当a≤12-＜a＋12，即－1＜a≤12-时，当x＝a＋1时，y max＝a2＋3a＋1；当a＋12≤12-≤a＋1，即32-≤a≤－1时，当x＝a时，y max＝a2＋a－1．综上可知，当a＜32-时，函数y＝x2＋x－1在区间[a，a＋1]上的值域为[a2＋3a＋1，a2＋a－1]；当32-≤a≤－1时，函数y＝x2＋x－1在区间[a，a＋1]上的值域为25,14a a ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦；当－1＜a ≤12-时，函数y ＝x 2＋x －1在区间[a ，a ＋1]上的值域为25,314a a ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦；当a ＞12-时，函数y ＝x 2＋x －1在区间[a ，a ＋1]上的值域为[a 2＋a －1，a 2＋3a ＋1]．8．利用函数的单调性求参数的取值范围根据函数的单调性求参数的取值范围有以下几种方法： (1)利用具体函数本身所具有的特性．例如，二次函数的对称轴把二次函数分成两个单调区间，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数的值或范围．(2)利用图象．先画出函数的图象，借助于函数的图象分析出参数的值，再用单调性的定义来证明，这样做起来方便快捷，不易出现错误．(3)单调性的定义法．设单调区间内x 1＜x 2，由f (x 2)－f (x 1)＞0(或＜0)恒成立，求参数的范围．其步骤是：第一步：在所给区间内任取两值x 1，x 2，且x 1＜x 2；第二步：作差f (x 1)－f (x 2)，并将差变形为因式的积或商的形式；第三步：根据函数的单调性，确定差的符号；第四步：讨论当差的符号确定时，参数满足的条件．【例8－1】已知函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[1，＋∞)上是减函数，求m 的取值范围．分析：画出函数图象，根据对称轴与区间端点的关系求解．解：根据题意画出函数的草图，由于二次函数f (x )在区间[1，＋∞)上是减函数，则其对称轴2mx =在点(1,0)的左侧或过该点，所以有2m≤1，解得m ≤2．所以实数m 的取值范围是(－∞，2]．【例8－2】已知函数f (x )＝2x a+在区间(2，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．分析：由于函数f (x )的图象不能画出，则只能利用单调性的定义来解决．在区间(2，＋∞)内任取两值x 1，x 2，作差f (x 1)－f (x 2)，将差变形，转化为讨论当差的符号确定时实数a 满足的条件．解：设2＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1222x a x a-++ ＝212112122()2()2()()()()()x a x a x x x a x a x a x a +-+-=++++，由于2＜x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0．又函数f (x )在区间(2，＋∞)上是减函数，则21122()()()x x x a x a -++＞0，所以(x 1＋a )(x 2＋a )＞0．所以120,0x a x a +>⎧⎨+>⎩或120,0,x a x a +<⎧⎨+<⎩即12,x a x a >-⎧⎨>-⎩或12,.x a x a <-⎧⎨<-⎩由于2＜x 1＜x 2，则仅有12,,x a x a >-⎧⎨>-⎩所以－a ≤2，即实数a 的取值范围是[－2，＋∞)．9．求不等式恒成立问题中参数的取值范围不等式中的恒成立问题，通常转化为参数与函数最值的大小关系问题．常见情况有：f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a ；f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a ．例如：设f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：根据题意，a ≤x 2－2ax ＋2在[－1，＋∞)内恒成立，即a ≤f (x )min 恒成立．下面研究f (x )＝x 2－2ax ＋2＝(x －a )2＋2－a 2在[－1，＋∞)上的最小值． ①当a ＜－1时，f (x )min ＝f (－1)＝1＋2a ＋2＝3＋2a ；②当a ≥－1时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2．故f (x )min ＝232,1,2,1,a a a a +<-⎧⎨-≥-⎩ 由a ≤f (x )min ，得－3≤a ≤1．【例9】已知函数f (x )＝22x x ax++，x ∈[1，＋∞)．若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求a 的取值范围．解法一：在区间[1，＋∞)上，f (x )＝22x x a x++＞0恒成立，等价于x 2＋2x ＋a ＞0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，由y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1递增，可知当x ＝1时，y min ＝3＋a ．于是当且仅当y min ＝3＋a ＞0时，函数f (x )＞0恒成立，故a ＞－3．解法二：在区间[1，＋∞)上f (x )＝22x x a x++＞0恒成立等价于x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，即a ＞－x 2－2x 恒成立．又∵x ∈[1，＋∞)，a ＞－x 2－2x 恒成立，∴a 应大于函数u ＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)的最大值．∴a ＞－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1． ∵当x ＝1时，u 取得最大值－3， ∴a ＞－3．10．利用单调性解不等式(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小，在解决比较函数值的大小问题时，要注意将对应的自变量放在同一个单调区间上．(2)解决抽象不等式(即没有具体解析式的不等式)的方法：由单调性的下述性质可脱去符号“f ”，从而解关于具体变量的不等式，即将函数值的大小关系问题转化为自变量的大小关系问题，同时应注意自变量的取值必须在同一单调区间内．若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，则当f (x 1)＜f (x 2)时，x 1＜x 2；当f (x 1)＞f (x 2)时，x 1＞x 2．若y ＝f (x )在给定区间上是减函数，则当f (x 1)＜f (x 2)时，x 1＞x 2；当f (x 1)＞f (x 2)时，x 1＜x 2．例如：若函数f (x )的定义域为R ，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＞f (a 2－a ＋1)B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≥f (a 2－a ＋1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＜f (a 2－a ＋1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≤f (a 2－a ＋1)解析：∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34＞0，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34．答案：B注：解题过程中要体现出a 2－a ＋1＞0，34＞0，即要求自变量在同一个单调区间内．【例10－1】已知函数f (x )是定义在区间(0，＋∞)上的减函数，解不等式f (a ＋1)＜f(－4a＋1)．解：∵函数的定义域为(0，＋∞)，∴有a＋1＞0，－4a＋1＞0．又函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，且f(a＋1)＜f(－4a＋1)，∴a＋1＞－4a＋1．解不等式组10, 410,141, aaa a+>⎧⎪-+>⎨⎪+>-+⎩得0＜a＜14．故所求不等式的解集是14a a⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．【例10－2】已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且xfy⎛⎫⎪⎝⎭＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，解不等式f(x)－13fx⎛⎫⎪-⎝⎭≤2．分析：用特殊值将不等式右边的常数2转化为f(a)的形式，将左边的两个函数记号转化为一个，再由单调性转化为自变量的大小．解：在xfy⎛⎫⎪⎝⎭＝f(x)－f(y)中取x＝4，y＝2，可得f(2)＝f(4)－f(2)．于是f(4)＝2f(2)＝2．因此不等式f(x)－13fx⎛⎫⎪-⎝⎭≤2可转化为不等式f(x(x－3))≤f(4)．∵函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴0,30, (3)4, xxx x>⎧⎪->⎨⎪-≤⎩解得3＜x≤4．∴不等式f(x)－13fx⎛⎫⎪-⎝⎭≤2的解集为{}34x x<≤．11．单调性与最值在实际生活中的应用函数的单调性在实际生活中的应用大多是最值问题，如用料最省、费用最低、利润最大等问题．其解题步骤是：(1)审清题意，读懂题；(2)恰当设未知数，所设未知数的个数尽量少；(3)根据已知条件列出函数关系式；(4)转化为求数的最值，求出最值；(5)还原结论．此类应用题中，所列出的函数通常是一次函数和二次函数，因此，一次函数和二次函数的图象与性质是常考常新的热点内容之一，它是基本初等函数的基础，贯穿于整个高中数学的始终．特别是涉及二次函数的应用题非常多，归纳起来，主要是关于二次函数最值的实际应用，所以二次函数模型是一种常见的函数应用模型，是整个高中数学的重点和热点．求最值的关键是列出二次函数解析式后，利用配方法把二次函数的解析式化为y＝a(x－m)2＋n的形式，这样便于讨论二次函数的最值．在确定最值的过程中，常常是根据定义域，画出二次函数的图象，借助于图象找到最高点和最低点，则最高点和最低点的纵坐标就是函数的最大值和最小值．画二次函数的图象时，主要体现二次函数的主要特征：对称轴、顶点、开口方向、与x 轴的交点情况，并且尽量准确，否则，利用图象求出的最值往往是错误的．【例11－1】某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价格是每份0.40元，卖出价格是每份0.60元，卖不掉的报纸以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(按30天计算)里，有18天每天可卖出400份，其余12天每天只能卖出180份．则摊主每天从报社买进多少份晚报，才能使每月获得的利润最大(设摊主每天从报社买进晚报的份数是相同的)?解：设摊主每天从报社买进x(180≤x≤400，x∈N)份晚报，每月获利为y元，则有y ＝0.20(18x＋12×180)－0.35×12(x－180)＝－0.6x＋1 188,180≤x≤400，x∈N．因为函数y＝－0.6x＋1 188在180≤x≤400，x∈N上是减函数，所以x＝180时函数取得最大值，最大值为y＝－0.6×180＋1 188＝1 080．故摊主每天从报社买进180份晚报时，每月获得的利润最大，为1 080元．【例11－2】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝21400,(0400),280000,(400),x x xx⎧-≤≤⎪⎨⎪>⎩其中x是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量x的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)分析：(1)根据“利润＝总收益－总成本”列出函数关系式；(2)转化为求分段函数(主要是二次函数)的最大值问题．解：(1)设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，从而f(x)＝2130020000,(0400), 260000100,(400).x x xx x⎧-+-≤≤⎪⎨⎪->⎩(2)∵当0≤x≤400时，f(x)＝12-(x－300)2＋25 000，∴当x＝300时，f(x)max＝25 000；当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，∴f(x)＜f(400)＝60 000－100×400＝20 000＜25 000．∴当x＝300时，f(x)max＝25 000．故每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元．21。

高中数学 1.3.1单调性与最大(小)值(第1课时)课件新人教A版必修1

∵x1＜x2，∴x1－x2＜0. 而x1＋x222＋34x22＋1＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． ∴f(x)＝x3＋x在R上是增函数．
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探究1 (1)证明函数的单调性的常用方法是利用函数单调性的定义．其步骤是：①取值：在给定区间上任取两个自变量．②作差变形：将f(x1)－f(x2)进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式，且含有x1－x2的因式．③判断符号：根据条件判断f(x1) －f(x2)变形后的正负．④得出结论．
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28
题型三含参数的函数的单调性
例 3 已知 f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 在(－∞，4]上是减函数，求实数 a 的取值范围．
∴f(x)＝2x＋－3x在(－∞，－3)，及(－3，＋∞)上也是减函数．
方法三：定义法(略)
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探究 2 求函数的单调区间常用方法：①图像法；②利用已知函数的单调性；③定义法．
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思考题 2 写出下列函数的单调区间． (1)y＝|x－32|； (2)y＝2xx－＋24； (3)y＝|x|(1－x)．【答案】 (1)单调减区间(－∞，32)，单调增区间(32，＋∞) (2)单调减区间(－∞，2)，(2，＋∞) (3)单调增区间0，12，单调减区间(－∞，0]，12，＋∞
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【证明】 (1)设0＜x1＜x2＜1，则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x11－x2＋x12 ＝(x1－x2)＋x11－x12＝(x1－x2)＋x2x－1x2x1 ＝(x1－x2)1－x11x2＝x1－x2x1xx21x2－1.
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∵0＜x1＜x2＜1， ∴x1－x2＜0,0＜x1x2＜1，∴x1x2－1＜0. ∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)． ∴f(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数．

【高中数学必修一】1.3.1 单调性与最大(小)值-高一数学人教版(必修1)(解析版)

第一章集合与函数概念1.3.1 单调性与最大(小)值一、选择题1．集合{x |x ≤–1}用区间形式表示正确的是A ．（–∞，–1]B ．（–∞，–1）C ．[–1，+∞）D ．（–1，+∞）【答案】A【解析】集合{x |x ≤–1}用区间表示为（–∞，–1]，故选A ． 2．区间（–3，2]用集合表示为A ．{–2，–1，0，1，2}B ．{x |–3<x <2}C ．{x |–3<x ≤2}D ．{x |–3≤x ≤2}【答案】C【解析】由开区间闭区间的概念，可得区间（–3，2]可表示为{x |–3<x ≤2}，故选C ． 3．设集合A ={x |–4<x <3}，B ={x |x ≤2}，则A ∩B =A ．（–4，3）B ．（–4，2]C ．（–∞，2]D ．（–∞，3）【答案】B【解析】∵集合A ={x |–4<x <3}，B ={x |x ≤2}，∴A ∩B ={x |–4<x ≤2}，故选B ． 4．函数f （x ）=1xx-的单调增区间是 A ．（–∞，1）B ．（1，+∞）C ．（–∞，1），（1，+∞）D ．（–∞，–1），（1，+∞）【答案】C 【解析】()()111111x f x xx --+==-+--，∴f （x ）的图象是由y =1x-的图象沿x 轴向右平移1个单位，然后沿y 轴向下平移一个单位得到，而y =1x-的单调增区间为（–∞，0），（0，+∞），∴f （x ）的单调增区间是（–∞，1），（1，+∞）．故选C ．5．函数f （x ）=–|x –2|的单调递减区间为A ．（–∞，2]B ．[2，+∞）C ．[0，2]D ．[0，+∞）【答案】B6．函数254y x x =-+A ．52⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．542⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．[4，+∞）D ．[)5142⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，，，【答案】C【解析】令x 2–5x +4≥0，解得x ≥4或x ≤1，而函数y =x 2–5x +4的对称轴是x =52，由复合函数同增异减的原则，可得函数254y x x =-+[4，+∞），故选C ． 7．f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f （x ）>f [8（x –2）]的解集是A ．（0，+∞）B ．（0，2）C ．（2，+∞）D ．（2，167）【答案】D【解析】由f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，得()()82082x x x x ⎧>⎪->⎨⎪>-⎩，解得2<x <167，故选D ．8．已知y =ax +1，在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是A ．2B ．–2C ．2，–2D ．0【答案】C【解析】①当a =0时，y =ax +1=1，不符合题意；②当a >0时，y =ax +1在[1，2]上递增，则（2a +1）–（a +1）=2，解得a =2；③当a <0时，y =ax +1在[1，2]上递减，则（a +1）–（2a +1）=2，解得a =–2．综上，得a =±2，故选C ．9．函数y =（k +2）x +1在实数集上是减函数，则k 的范围是A ．k ≥–2B ．k ≤–2C ．k >–2D ．k <–2【答案】D【解析】要使函数y =（k +2）x +1在实数集上是减函数，则k +2<0，∴k <–2，故选D ．二、填空题10．函数f （x ）=–x 2+2（a –1）x +2在（–∞，4）上为增函数，则a 的范围是__________．【答案】a ≥511．已知f （x ）在R 上是增函数，且f （2）=0，则使f （x –2）>0成立的x 的取值范围是__________．【答案】（4，+∞）【解析】∵f （x ）在R 上是增函数，且f （2）=0，要使f （x –2）>0，则有x –2>2，即x >4，成立的x 的取值范围是（4，+∞），故答案为：（4，+∞）．12．已知函数y =f （x ）是R 上的增函数，且f （m +3）≤f （5），则实数m 的取值范围是__________．【答案】（–∞，2]【解析】由题意，得m +3≤5，解得m ≤2，故答案为：（–∞，2]．13．已知y =f （x ）在定义域R 上是减函数，且f （1–a ）<f （2a –1），则a 的取值范围是__________．【答案】（–∞，23）【解析】因为y =f （x ）在定义域R 上是减函数，且f （1–a ）<f （2a –1），所以1–a >2a –1，解得a <23．所以a 的取值范围是（–∞，23）．故答案为：（–∞，23）． 14．已知函数f （x ）=246222x x x ax x -<⎧⎨-≥⎩，，是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是__________．【答案】12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【解析】∵函数f （x ）=246222x x x ax x -<⎧⎨-≥⎩，，是R 上的增函数，∴24486a a ≤⎧⎨-≥-⎩，∴a ≤12，故答案为：12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．三、解答题15．用单调性定义证明函数f （x ）=21x x +-在（1，+∞）上单调递减．【解析】任取x 1、x 2，且1<x 1<x 2≤+∞，则f （x 1）–f （x 2）=121221121222233–11(1)(1)x x x x x x x x x x +++-=----． ∵1<x 1<x 2<+∞，∴x 1–1>0，x 2–1>0，x 1x 2>0，x 2–x 1>0， ∴f （x 1）–f （x 2）>0． ∴f （x 1）>f （x 2）．∴f （x ）=在（1，+∞）上是单调减函数． 16．若函数f （x ）=1axx +在（2，+∞）上为增函数，求实数a 的取值范围．【解析】f （x ）=1ax x +=a –1ax +由于函数f （x ）在（2，+∞）上为增函数，所以a >0，故所求的a 的范围为（0，+∞）．17．函数f （x ）=x 2–ax +b 在（–∞，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，求a ．【解析】∵函数f （x ）=x 2–ax +b 在（–∞，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数 ∴函数f （x ）=x 2–ax +b 的对称轴为x =2a=1，解得a =2．18．已知f （x ）的定义域为（0，+∞），且在其定义域内为增函数，满足f （xy ）=f （x ）+f （y ），f （2）=1，试解不等式f （x ）+f （x –2）<3．【解析】∵f （xy ）=f （x ）+f （y ），f （2）=1， ∴f （2×2）=f （2）+f （2）=2， f （2×4）=f （2）+f （4）=3，由f （x ）+f （x –2）<3，又f（x）的定义域为（0，+∞），得()()2820f x x fxx⎧⎡⎤-<⎣⎦⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩，又在其上为增函数所以()2820x xxx⎧-<⎪>⎨⎪->⎩解得，2<x<4．所以不等式f（x）+f（x–2）<3的解集为{x|2<x<4}．19．已知函数()28f x x x=-．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）的最值．（2）由8x–x2=0求得x=0，或x=8，所以，当x=0，或x=8时，f min（x）=0；当x=4时，u max=16，这时()max 164f x==．。

高一数学必修一1.3.1函数单调性与最大(小)值

o
增函数 x 在 - ∞， b - 2a 减函数
课堂小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利根据图象判断，根据图象判断用定义证明．用定义证明．求函数的单调区间时必须要先求函必须要先求函数的定义域,单调区间是定义域的子集. 数的定义域,单调区间是定义域的子集.
单调性的证明一般分五步：单调性的证明一般分五步：
例1下图是定义在区间，5]上的函数下图是定义在区间[-5，上的函数下图是定义在区间 y=f(x)，根据图象说出函数的单调区，以及在每个区间上，间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？还是减函数？
解：函数y=f(x)的单调区间有函数的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]
函数单调性定义：函数单调性定义：设函数的定义域为I：设函数的定义域为：对于定义域内上的任意对于定义域I内某个区间 D上的任意两个自定义域上的任意两个自变量的值 x1 , x 2 ，当 x1 < x 2 时，都那么就说函数在区间D 有 f ( x1 ) > f ( x 2 ) ，那么就说函数在区间函数. 上是减函数
∴p(V ) − p(V2 ) > 0 1 即 p(V2 ) > p(V ) 1
就是说，当体积V减少时，压强p将增大.
k ) 所以，函数 p = V ,V ∈(0,+∞是减函数.也结论
判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间上的单在给定的区间D上的单利用定义证明函数在给定的区间调性的一般步骤：调性的一般步骤： 1 任取 1，x2∈D，且x1<x2；任取x ， 2 作差 1)－f(x2)；作差f(x －； 3 变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方） 4 定号（即论证 1)－f(x2)的正负）；定号（论证f(x －的正负）的正负 5 下结论（即指出函数下结论（即指出函数f(x)在给定的区间上的在给定的区间D上的在给定的区间单调性）单调性）．

人教版数学高一-课时同步16-17数学人教版必修1单调性与最大(小)值)

绝密★启用前1.3.1.单调性与最大（小）（A 卷）一、选择题 1．【题文】函数y ＝2x在区间[1,2]上的最大值，最小值分别是( ) A.1,12 B.1,14C.2 ,1D.4, 22．【题文】若122x ≤≤，则函数1y x x=-的最小值是( ) A ．－2 B ．32-C ．2D ．323.【题文】已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋a (x ∈[0,2])有最大值2，则实数a 的为( )A ．4B ．6C ．1D ．24.【题文】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝－x 2+1C ．f (x )＝－|x |D ．f (x )＝11x -+5．【题文】若函数y ＝2ax －b 在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．06.【题文】若函数f (x )＝－x 2＋2m x 与g (x )＝()121m x -+在区间[)1,+∞上都是减函数，则实数m的取值范围是( )A．1,12⎛⎤⎥⎝⎦B．[)1,+∞C．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D．(0,1]7.【题文】已知函数f(x)＝222,0,2,0,x x xx x x⎧+≥⎨-<⎩若f(2－3a)>f(a)，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－1) B．(12,∞+)C．(∞-,12) D．(1，＋∞)8.【题文】某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )A．90万元B．60万元C．120万元 D．120.25万元二、填空题9.【题文】定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a，b，总有()() f a f ba b--＞0成立，且f(－3)＝－1，f(1)＝2，则f(x)在[－3，1]上的最大值是________．10.【题文】已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f(2a+1)<f(－4a+1)成立，则a的取值范围是______.11.【题文】已知函数f(x)＝x2－2ax+3在区间[0,2]上的最小值为－1，则实数a 的值为________.三．解答题12.【题文】已知函数f(x)＝x＋12x＋1，其中x∈[1，＋∞)．(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值．13.【题文】已知函数f(x)＝x2－2x－1.(1)求f(x)在区间[12，3]上的最大值和最小值；(2)若g(x)＝f(x)－mx在[－1,2]上单调函数，求m的取值范围．14.【题文】某厂今年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量(即该厂的年产量)x（万件）与年促销费m(万元)(m≥0)满足x＝3－21m.已知今年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将今年该产品的利润y万元表示为年促销费m(万元)的函数；(2)求今年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？1.3.1.单调性与最大（小）（A卷）参考答案与解析1. 【答案】C【解析】∵y＝2x在[1,2]上是减函数，∴当x＝2时取最小值1；当x＝1时取最大值2，故选C. 考点：利用单调性求最值【题型】选择题【难度】较易2. 【答案】B【解析】函数1y x x =-在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，当x ＝12时，y 有最小值32-，故选B.考点：利用单调性求最值【题型】选择题【难度】较易3. 【答案】C【解析】f (x )＝－x 2＋2x ＋a ()211x a =--++ (x ∈[0,2])，当1x =时，f (x )取最大值1a +，所以1＋a ＝2，1a = . 考点：利用单调性求最值【题型】选择题【难度】较易4. 【答案】D【解析】函数f (x )＝3－x 在(0，＋∞)上为减函数；函数f (x )＝－x 2+1在(),0-∞上为增函数，在()0,+∞上为减函数；函数f (x )＝－|x |在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数；函数f (x )＝11x -+在(－∞，－1)上为增函数，在(－1，＋∞)上为增函数．考点：函数的单调区间【题型】选择题【难度】一般5. 【答案】C【解析】当a >0时，最大值为4a －b ，最小值为2a －b ，差为2a ，∴a ＝1；当a <0时，最大值为2a －b ，最小值为4a －b ，差为－2a=2，∴a ＝－1. 考点：利用单调性求最值【题型】选择题【难度】一般6. 【答案】D【解析】f (x )＝－(x －m )2＋m 2，当m ≤1时，f (x )在[)1,+∞上是减函数；g (x )＝()121m x -+要为减函数，需满足120m -<，得12m >.则实数m 的取值范围是12＜m ≤1. 考点:根据函数的单调性求参数的范围【题型】选择题【难度】一般7. 【答案】C【解析】当x ≥0时f (x )＝x 2＋2x ，可知f (x )在[0，＋∞)上递增，当x <0时f (x )＝2x －x 2，可判断f (x )在(－∞，0)上递增，又()00f = ，函数f (x ) 在R 上单调递增.故由f (2－3a )>f (a )得2－3a >a ，即a 12<. 考点：判断或证明函数单调性【题型】选择题【难度】一般8. 【答案】 C【解析】设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，设两地销售的利润之和为y 万元，则y ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30. 由题意知，0,150,x x ≥⎧⎨-≥⎩∴0≤x ≤15，且x ∈Z .当x ＝－()5.91219=-⨯时，y 值最大．∵x ∈Z ，∴取x ＝9或10.当x ＝9时，y ＝120，当x ＝10时，y ＝120.综上可知，公司能获得的最大利润为120万元．故选C. 考点：二次函数求最值【题型】选择题【难度】较难9. 【答案】2【解析】由题意可知函数f (x )在R 上为增函数，则其在[－3， 1]上最大值应为f (1)＝2.考点：函数单调性的定义【题型】填空题【难度】较易10. 【答案】(0,41) 【解析】∵f (x )的定义域是(0,+∞)，∴210,410,a a +>⎧⎨-+>⎩解得4121<<-a .∵f (x )在(0,+∞)上是减函数， ∴2a +1>－4a +1,∴a >0. ∴0<a <41,即a 的取值范围是(0,41). 考点：函数单调性的定义【题型】填空题【难度】一般11. 【答案】2【解析】函数f (x )＝x 2－2ax +3=()223x a a -+-的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．当2a ≥时，函数f (x )在区间[0,2]单调递减，当2x =时取最小值()2741, 2.f a a =-=-∴=当0a ≤时，函数f (x )在区间[0,2]单调递增，当0x =时取最小值()031,f =≠-不符合题意；当02a << 时，函数f (x )当x a =时取最小值－1，即231,a -=- 解得2a =±，不符合题意，综上可知2a =. 考点：函数的单调区间【题型】填空题【难度】较难12. 【答案】（1）略（2）52【解析】 (1)函数f (x )＝x ＋12x＋1，设1≤x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋(112x －212x )＝(x 1－x 2)(1－1212x x )＝()121212212x x x x x x --⋅， ∵1≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1， ∴2x 1x 2－1＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0.即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增． (2)由（1）可知当x ＝1时，f (x )有最小值52. 考点：函数单调性的定义，利用单调性求最值【题型】解答题13. 【答案】（1）最大值为2，最小值为－2 （2）(－∞，－4]∪[2，＋∞)【解析】(1)∵f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，x∈[12，3]，∴f(x)的最小值是f(1)＝－2.又f(12)＝74-，f(3)＝2，所以f(x)在区间[12，3]上的最大值是2，最小值是－2.(2)∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x－1，∴22m+≤－1或22m+≥2，即m≤－4或m≥2.故m的取值范围是(－∞，－4]∪[2，＋∞)．考点：二次函数求最值【题型】解答题【难度】一般14. 【答案】(1)y=28－161m+－m(m≥0) (2)21，3【解析】(1)每件产品的成本为816xx+元，故y＝1.5×816xx+×x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋2831m⎛⎫-⎪+⎝⎭－m＝28－161m+－m (m≥0)．(2)可以证明当0≤m≤3时，函数y＝28－161m+－m是增函数，当m＞3时，函数y＝28－161m+－m是减函数，所以当m＝3时，函数y＝28－161m+－m取最大值21，即今年该产品利润的最大值是21万元，此时的促销费是3万元．考点：二次函数的最值.【题型】解答题。

《金版新学案》高一数学第一章1.3.1单调性与最大(小)值(第2课时函数的最大值、最小值)练习题

1．函数f(x)(－2≤x ≤2)的图象如下图所示，则函数的最大值、最小值分别为( )A ．f(2)，f(-2)B ．f(12)，f(－1)C ．f(12)，f(－32)D ．f(12)，f(0)【解析】根据函数最值定义，结合函数图象知，当x ＝－32时，有最小值f(－32)；当x ＝12时，有最大值f(12)．【答案】 C2．y ＝2x 在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是( )A ．1，12 B.12，1C.12，14D.14，12【解析】因为y ＝2x 在[2,4]上单调递减，所以y max ＝22＝1，y min ＝24＝12.【答案】 A3．函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a ＝________.【解析】若a<0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是减函数，则在区间左端点处取得最大值，即a ＋1＝4，a ＝3不满足a<0；若a>0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是增函数，则在区间右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，a＝1，满足a>0，所以a＝1.【答案】 14．已知函数y＝－x2＋4x－2，x∈[0,5]．(1)写出函数的单调区间；(2)若x∈[0,3]，求函数的最大值和最小值．【解析】y＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2，x∈[0,5]．所以(1)此函数的单调区间为[0,2)，[2,5]；(2)此函数在区间[0,2)上是增函数，在区间[2,3]上是减函数，结合函数的图象知：当x＝2时，函数取得最大值，最大值为2；又x＝3时，y＝1，x＝0时，y＝－2，所以函数的最小值为－2.一、选择题(每小题5分，共20分)1.函数y=|x-1|在[-2,2]上的最大值为()A．0 B．1C．2 D．3【解析】函数y＝|x－1|的图象，如右图所示可知y max＝3.【答案】 D2．函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ＋6 x ∈[1，2]x ＋8 x ∈[－1，1]，则f(x)的最大值、最小值为( ) A ．10,7 B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对【解析】本题为分段函数最值问题，其最大值为各段上最大值中的最大值，最小值为各段上最小值中的最小值．当1≤x ≤2时，8≤2x ＋6≤10，当－1≤x ≤1时，7≤x ＋8≤9.∴f(x)min ＝f(－1)＝7，f(x)max ＝f(2)＝10.【答案】 A3．函数f(x)＝x 2＋3x ＋2在区间(－5,5)上的最大值、最小值分别为( )A ．42,12B ．42，－14C ．12，－14D ．无最大值，最小值－14【解析】 f(x)＝x 2＋3x ＋2＝(x ＋32)2－14，∵－5＜－23＜5，∴无最大值f(x)min ＝f(－32)＝－14.【答案】 D4．已知函数f(x)＝－x 2＋4x ＋a(x ∈[0,1])，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )A ．－1B ．0C．1 D．2【解析】函数f(x)＝－x2＋4x＋a的图象开口向下，对称轴为直线x＝2，于是函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，从而f(0)＝－2，即a＝－2，于是最大值为f(1)＝－1＋4－2＝1，故选C.【答案】 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y＝－3x，x∈(－∞，－3]∪[3，＋∞)的值域为________．【解析】y＝－3x在(－∞，－3]及[3，＋∞)上单调递增，所以值域为(0,1]∪[－1,0)．【答案】(0,1]∪[－1,0)6．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a的值为________．【解析】f(x)＝ax2＋2ax＋1＝a(x＋1)2＋1－a，对称轴x＝－1，当a＞0时，图象开口向上，在[－2,3]上的最大值为f(3)＝9a＋6a＋1＝6，所以a＝1 3，当a＜0时，图象开口向下，在[－2,3]上的最大值为f(－1)＝a－2a＋1＝6，所以a＝－5.【答案】13或－5三、解答题(每小题10分，共20分)7．求函数y＝2x－1在区间[2,6]上的最大值和最小值．【解析】设x1、x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)-f(x2)= -== .由2≤x1＜x2≤6，得x2-x1＞0，(x1-1)(x2-1)＞0，f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．所以，函数y= 是区间[2,6]上的减函数．如上图．因此，函数y= 在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x=2时取得最大值，最大值是2，在x=6时取得最小值，最小值是0.4.8．求f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．【解析】f(x)＝(x－a)2＋2－a2，当a≤2时，f(x)min＝f(2)＝6－4a；当2<a<4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2；当a≥4时，f(x)min＝f(4)＝18－8a.综上可知，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6－4a (a ≤2)2－a 2 (2<a<4)18－8a (a ≥4)9．(10分)某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价格是每份0.40元，卖出价格是每份0.60元，卖不掉的报纸以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(按30天计算)里，有18天每天可卖出400份，其余12天每天只能卖出180份．摊主每天从报社买进多少份，才能使每月获得最大利润(设摊主每天从报社买进的份数是相同的)?【解析】若设每天从报社买进x(180≤x ≤400，x ∈N )份，则每月(按30天计算)可销售(18x ＋12×180)份，每份获利0.20元，退回报社12(x －180)份，每份亏损0.35元，建立月纯利润函数，再求它的最大值．设每天从报社买进x 份报纸，每月获利为y 元，则有y ＝0.20(18x ＋12×180)－0.35×12(x －180)＝－0.6x ＋1 188,180≤x ≤400，x ∈N .函数y ＝－0.6x ＋1 188在区间[180,400]上是减函数，所以x ＝180时函数取最大值，最大值为y ＝－0.6×180＋1 188＝1 080.即摊主每天从报社买进180份时，每月获得的利润最大，最大利润为1 080元.。

人教必修一数学精品导学案：1.3.1 单调性与最大(小)值(1)

§1.3.1 单调性与最大（小）值（1）班级姓名学号学习目标1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性；3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.学习过程一、课前准备2729引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？复习1：观察下列各个函数的图象.探讨下列变化规律：① 随x 的增大，y 的值有什么变化？② 能否看出函数的最大、最小值？③ 函数图象是否具有某种对称性？复习2：画出函数()2f x x =+，2()f x x =的图象.小结：描点法的步骤为：列表→描点→连线.二、新课导学※ 学习探究探究任务：单调性相关概念思考：根据()2f x x =+、2()(0)f x x x =>的图象进行讨论：随x 的增大，函数值怎样变化？当x 1>x 2时，f (x 1)与f (x 2)的大小关系怎样？问题：一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？新知：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）.试试：仿照增函数的定义说出减函数的定义.新知：如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f (x )的单调区间.反思：① 图象如何表示单调增、单调减？② 所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？③ 函数2()f x x =的单调递增区间是，单调递减区间是 .试试：如图，定义在[-5,5]上的f (x )，根据图象说出单调区间及单调性.※ 典型例题例1．根据下列函数的图象，指出它们的单调区间及单调性，并运用定义进行证明.（1）()32f x x =-+；（2）1()f x x=.变式：指出y kx b =+，(0)k y k x=≠的单调性.例2．物理学中的玻意耳定律k p V=（k 为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 如何变化？试用单调性定义证明.小结：① 比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号；② 证明函数单调性的步骤：第一步：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；第二步：计算f (x 1)－f (x 2)并化至最简；第三步：判断差的符号；第四步：下结论.（注意一定要指明区间）※ 动手试试练1.求证1()f x x x=+的(0,1)上是减函数，在[1,)+∞是增函数.练2. 指出下列函数的单调区间及单调性.（1）()||f x x =；（2）3()f x x =.三、总结提升※ 学习小结1. 增函数、减函数、单调区间的定义；2. 判断函数单调性的方法（图象法、定义法）.3. 证明函数单调性的步骤：取值→作差→变形→ 定号→下结论.※ 知识拓展函数()(0)a f x x a =+>的增区间有)+∞、(,-∞，减区间有、[ .1. 函数2()2f x x x =-的单调增区间是（）A. (,1]-∞B. [1,)+∞C. RD.不存在2. 如果函数()f x kx b =+在R 上单调递减，则（）A. 0k >B. 0k <C. 0b >D. 0b <3. 在区间(,0)-∞上为增函数的是（）A ．2y x =-B ．2y x=C ．||y x =D ．2y x =- 4. 函数31y x =-+的单调性是 .5. 函数()|2|f x x =-的单调递增区间是，单调递减区间是 .1. 讨论1()f x x a=-的单调性并证明.2. 讨论2()(0)f x ax bx c a =++≠的单调性并证明.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

专题1.3.1单调性与最大(小)值-2019-2020学年高一数学人教版(必修1)学生用

增加一元则减少销售 100 枚，现设每枚纪念章的销售价格为 x 元， x 为整数．
（ 1）写出该专营店一年内销售这种纪念章所获利润
y(元 )与每枚纪念章的销售价格 x(元 )的函数关系式
(并写出这个函数的定义域 )；（ 2）当每枚纪念章销售价格 x 为多少元时，该特许专营店一年内利润
y(元)最大，并求出最大值．
1．函数单调性的判断或证明（1）判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作．利用定义法判断 (或运用 )函数的单调性的步骤为：
3
作者：于老师
（ 2）若判断复合函数的单调性，则需将函数解析式分解为一些简单的函数，然后判断外层函数和内
层函数的单调性，外层函数和内层函数的单调性相同时，则复合函数单调递增；外层函数和内层函
数的单调性相反时，则复合ห้องสมุดไป่ตู้数单调递减
.可简记为“同增异减” ，需要注意内层函数的值域在外层函
数的定义域内 .
（3）函数单调性的常用结论：
①若 f x , g x 均为区间 A 上的增 (减 )函数，则 f x g x 也是区间 A 上的增 (减) 函数；
②若 k 0 ，则 kf x 与 f x 的单调性相同；若 k 0 ，则 kf x 与 f x 的单调性相反；
2a
2a
b
b
单调减区间是 [
, ) ，单调增区间是 ( ,
)
2a
2a
二、函数的最大（小）值 1．最大值
一般地，设函数 y f ( x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足：（ 1）对于任意的 x I ，都有 ______ ；（ 2）存在 x0 I ，使得 _______. 那么，我们称 M 是函数 y f ( x) 的最大值 .

专题1-3-1 单调性与最大小值-2017-2018学年高一数学必修1 含解析精品

第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大（小）值一、选择题1．下列函数在错误！未找到引用源。

上是增函数的是A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

【答案】A【解析】选项B、C、D中的函数在错误！未找到引用源。

上都是减函数.2．函数错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的值域是A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

【答案】A3．函数错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上是A．减函数B．增函数C．先减后增D．无单调性【答案】B【解析】函数f(x)的图象如图所示，由图结合单调性的定义可知，函数错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上是增函数.4．函数f(x)在区间[-4,7]上是增函数,则错误！未找到引用源。

的一个单调增区间为A．[-2,3] B．[-1,7]C．[-1,10] D．[-10,-4]【答案】C5．若函数错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上是减函数，则错误！未找到引用源。

的取值范围是A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

【答案】B【解析】因为错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上是减函数，所以错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

，选B.6．函数错误！未找到引用源。

的单调递增区间为A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

【答案】A【解析】函数错误！未找到引用源。

的定义域为错误！未找到引用源。

，令错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

.错误！未找到引用源。

上递增，得函数错误！未找到引用源。

的单调递增区间为错误！未找到引用源。

.故选A.7．已知定义在错误！未找到引用源。

上的函数错误！未找到引用源。

满足错误！未找到引用源。

专题1-3-1 单调性与最大小值测-2017-2018学年高一数学

（时间：40分钟满分：75分）一、选择题（每小题5分，共30分）二、1. 函数f (x )在区间[－2,5]上的图象如下图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．－2，f (2)B ．2，f (2)C ．－2，f (5)D ．2，f (5) 【答案】C【解析】由函数最值的几何意义知，当x ＝－2时，有最小值－2；当x ＝5时，有最大值f (5)，.故选C.2. 函数2()9f x x mx =++在区间(3,)-+∞单调递增，则实数m 的取值范围为（A ）(6,)+∞ （B ）[6,)+∞ （C ）(,6)-∞ （D ）(,6]-∞3. 已知函数)(x f y =在R 上是增函数，且(21)(34)f m f m +>-，则m 的取值范围是（） A ．(-)5,∞ B ．(5,)+∞ C ．3(,)5+∞ D ．3(,)5-∞ 【答案】A 【解析】试题分析：根据函数的单调性，可知知函数)(x f y =在R 上是增函数，且(21)(34)f m f m +>-，那么必然满足2m+1>3m-4，m<5,可知参数m 的范围是(-)5,∞，选A.4. 若函数ax bx x f --=)(在区间)4(，-∞上是增函数，则有（） A. 4≥>b a B. b a >≥4 C. b a <≤4 D. b a <≤45．函数f (x )＝2x －x 2(x ∈[0,3])的最大值M 与最小值m 的和等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－2 【答案】D【解析】由于函数f (x )＝2x －x 2(x ∈[0,3])在区间[0,1]上是增函数，在区间(1,3]上是减函数，故当x ＝1时，函数取最大值M ＝1，当x ＝3时，函数取最小值m ＝－3. 因此M ＋m ＝－2.故选D.6．函数y 的单调递减区间是（）A.(],3-∞-B.[)3,-+∞C.(],1-∞-D.[)1,-+∞二、填空题（每小题5分，共15分） 7．函数y ＝11＋x 的单调区间为___________．8．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是_______.【答案】(0,1]【解析】f (x )＝－(x －a )2＋a 2，当a ≤1时，f (x )在[1,2]上是减函数；g (x )＝ax ＋1，当a ＞0时，g (x )在[1,2]上是减函数，则a 的取值范围是0＜a ≤1.9．已知()y f x =在定义域(1,1)-上是减函数，且(1)(21)f a f a -<-，则a 的取值范围是三、解答题（每小题10分，共30分） 10．已知函数112)(+-=x x x f ，]5,3[∈x , ⑴ 判断函数)(x f 的单调性，并证明； ⑵ 求函数)(x f 的最大值和最小值．11．(1)写出函数y＝x2－2x的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(2)写出函数y＝|x|的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(3)定义在[－4,8]上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，y＝f(x)的部分图象如图所示，请补全函数y＝f(x)的图象，并写出其单调区间，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(4)由以上你发现了什么结论？(不需要证明)【答案】见解析【解析】(1)函数y＝x2－2x的单调递减区间是(－∞，1]，单调递增区间是[1，＋∞)；其图象的对称轴是直线x＝1；区间(－∞，1]和区间[1，＋∞)关于直线x＝1对称，函数y＝x2－2x在对称轴两侧的单调性相反．(2)函数y＝|x|的单调减区间为(－∞，0]，增区间为[0，＋∞)，图象关于直线x＝0对称，在其两侧单调性相反．(3)函数y ＝f (x )，x ∈[－4,8]的图象如图所示．函数y ＝f (x )的单调递增区间是[－4，－1]，[2,5]；单调递减区间是[5,8]，[－1,2]；区间[－4，－1]和区间[5,8]关于直线x ＝2对称．区间[－1,2]和区间[2,5]关于直线x ＝2对称，函数y ＝f (x )在对称轴两侧的对称区间内的单调性相反．(4)发现结论：如果函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称，那么函数y ＝f (x )在直线x ＝m 两侧对称区间内的单调性相反．考点：函数的对称性与单调性的关系及数学分析能力。

20162017学年人教版高中数学必修一1.3.1单调性与最大

单调性与最大（小）值班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．假设函数f(x)在区间(a,b)上是增函数，在区间(c,d)上也是增函数，那么函数f(x)在区间(a,b)∪(c,d)上A.必是增函数B.必是减函数C.先增后减D.无法确定单调性2．以下函数在(0，1)上是增函数的是A.y=1−2xB.y=−x2+2xC.y=5D.y=√x−13．函数f(x)={x+1,x≥0x−1,x<0,在R上是A.减函数B.增函数C.先减后增D.无单调性4．下面说法错误的选项是A.函数的单调区间必然是函数的概念域B.函数的多个单调增区间的并集不必然是其单调增区间C.具有奇偶性的函数的概念域关于原点对称D.关于原点对称的图象必然是奇函数的图象5．已知函数f(x)=x2−2(1−a)x+1 在区间(−∞,2]上为减函数,那么a 的取值范围是_____________.6．设奇函数f(x)的概念域为[-5,5],且当x∈[0,5]时,f(x)的图象如下图,那么不等式f(x)<0的解集是.7．.已知函数f(x)=axx−1,假设2f(2)=f(3)+5.(l)求a 的值.(2)利用单调性概念证明函数f(x)在区间(1,+∞)的单调性.8．首届世界低碳经济大会在南昌召开，大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采纳了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每一个月的处置量最少为400吨，最多为600吨，月处置本钱y(元)与月处置量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=12x2−200x+80000，且每处置一吨二氧化碳取得可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每一个月处置量为多少吨时，才能使每吨的平均处置本钱最低？(2)该单位每一个月可否获利？若是获利，求出最大利润；若是不获利，那么国家至少需要补助多少元才能使该单位不亏损？【能力提升】函数f(x)的图象如下图.(1)说出f(x)的单调区间,和在每一个单调区间上它是增函数仍是减函数;(2)依据图象说明函数的最值情形.答案【基础过关】1．D【解析】因为(a，b)，(c，d)不是两个持续的区间，因此无法确信其单调性.2．B【解析】选项A中y＝1－2x为减函数，C中y＝5为常数函数，D中y＝√x－1的概念域为[1，＋∞).3．B【解析】解答此题可先画出函数图象，由图象分析.函数f(x)的图象如下图，由图结合单调性的概念可知，此函数在R上是增函数.4．A【解析】单调区间是概念域的子集，不必然是概念域，当多个单调区间并起来时，由单调性概念知，再也不是单调区间.具有奇偶性的函数的概念域关于原点对称，是函数奇偶性判定的要求.奇函数的图象关于原点对称，反之，关于原点对称的图象必然是奇函数的图象.5．(－∞,1]6．(-2,0)∪(2,5]【解析】由图可知在区间(2,5]上f(x)<0,因为奇函数的图象关于原点对称,因此在(-2,0)上也有f(x)<0.7．(1)由2f(2)＝f(3)＋5,得2×2a2−1=3×a3−1+5,解得a＝2.(2)由(1)知f(x)＝2xx−1.任取x 1,x 2∈(1,＋∞)且x 1＜x 2,f (x 1)＜f (x 2)=2x 1x 1−1−2x 2x 2−1=2x 1(x 2−1)−2x 2(x 1−1)(x 1−1)(x 2−1)=2(x 2−x 1)(x 1−1)(x 2−1),因为1＜x 1＜x 2,因此x 1－1＞0,x 2－1＞0,x 2－x 1＞0.因此f (x 1)－f (x 2)＞0,即f (x 1)＞f (x 2).因此f (x )在(1,＋∞)上是减函数.8．(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处置本钱为令t (x )＝y x =12x +80 000x －200，能够证明t (x )在(0，400)为减函数，在[400，＋∞)上是增函数，故每一个月处置量为400吨时，才能使每吨的平均处置本钱最低，最低本钱为200元.(2)设该单位每一个月获利为S ，那么S ＝100x －y ＝100x －(12x 2－200x ＋80 000) ＝−12x 2＋300x －80 000＝−12(x －300)2－35 000.因为400≤x ≤600，因此当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每一个月至少补助40 000元，才能不亏损.【能力提升】(1)由题图可知:函数f(x)的单调增区间为[0,12];单调减区间为(-∞,0)和(12,+∞).(2)观看图象可知,函数没有最大值和最小值.。

【精品】高中数学人教A版必修一练习：1.3.1　单调性与最大（小）值第二课时　函数的最大（小）值

第二课时函数的最大(小)值【选题明细表】1.函数f(x)的部分图象如图所示,则此函数在[-2,2]上的最小值、最大值分别是( C )(A)-1,3 (B)0,2 (C)-1,2 (D)3,2解析:当x∈[-2,2]时,由题图可知,x=-2时,f(x)的最小值为f(-2)= -1;x=1时,f(x)的最大值为2.故选C.2.若函数y=x2-6x-7,则它在[-2,4]上的最大值、最小值分别是( C )(A)9,-15 (B)12,-15 (C)9,-16 (D)9,-12解析:函数的对称轴为x=3,所以当x=3时,函数取得最小值为-16,当x=-2时,函数取得最大值为9,故选C.3.函数f(x)=-x+在[-2,-]上的最大值是( A )(A) (B)- (C)-2 (D)2解析:因为f(x)=-x+在[-2,-]上为减函数,所以当x=-2时取得最大值,且为2-=.故选A.4.(2018·于都县高一期中)函数f(x)=2-在区间[1,3]上的最大值是( D )(A)2 (B)3 (C)-1 (D)1解析:因为函数f(x)=2-在区间[1,3]上为增函数,所以f(x)max=f(3)=2-1=1.故选D.5.已知函数f(x)=,x∈[-8,-4),则下列说法正确的是( A )(A)f(x)有最大值,无最小值(B)f(x)有最大值,最小值(C)f(x)有最大值,无最小值(D)f(x)有最大值2,最小值解析:f(x)==2+,它在[-8,-4)上单调递减,因此有最大值f(-8)=,无最小值.故选A.6.函数f(x)=x 2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,则a 的取值范围是( A )(A)(-∞,1) (B)(-∞,1] (C)(1,+∞) (D)[1,+∞) 解析:由题意,f(x)=(x-a)2-a 2+a, 所以函数的对称轴为x=a.若a ≥1,则函数在区间(-∞,1)上是减函数, 因为是开区间,所以没有最小值所以a<1,此时当x=a 时取得最小值,故选A.7.已知函数f(x)=2x-3,其中x ∈{x ∈N|1≤x ≤},则函数的最大值为 .解析:函数f(x)=2x-3为增函数,且x ∈{1,2,3},函数自变量x 的最大值为3,所以函数的最大值为f(3)=3. 答案:38.(2017·濮阳高一期末)若函数f(x)=x 2-2x+m,在x ∈[0,3]上的最大值为1,则实数m 的值为 .解析:函数f(x)=x 2-2x+m=(x-1)2+m-1,其对称轴为x=1, 则f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,3]上单调递增, 则当x=3时,函数有最大值,即为9-6+m=1,解得m=-2.答案:-29.记函数f(x)=在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M和m,则等于( D )(A) (B) (C) (D)解析:因为f(x)==2+,所以f(x)在[3,4]上是减函数.所以m=f(4)=4,M=f(3)=6.所以==.故选D.10.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为( A )(A)1 (B)0 (C)-1 (D)2解析:函数f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+a+4,因为x∈[0,1],所以函数f(x)=-x2+4x+a在[0,1]上单调递增,所以当x=0时,f(x)有最小值f(0)=a=-2,当x=1时,f(x)有最大值f(1)=3+a=3-2=1.故选A.11.(2018·唐山高一月考)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]的最大值为2,则a的值为.解析:函数f(x)=-x2+2ax+1-a的对称轴为x=a,图象开口向下,①当a≤0时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上是减函数,所以f(x)max=f(0)=1-a,由1-a=2,得a=-1,②当0<a≤1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,a]上是增函数,在[a,1]上是减函数,所以f(x)max=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1,由a2-a+1=2,解得a=或a=,因为0<a≤1,所以两个值都不满足;③当a>1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上是增函数,所以f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=2,所以a=2.综上可知,a=-1或a=2.答案:-1或212.(2018·陕西师大附中高一上月考)已知函数f(x)=(1)画出函数f(x)的图象;(2)求函数f(x)的单调区间,并指出在每个单调区间上,它是增函数还是减函数;(3)求函数f(x)的最大值和最小值.解:(1)函数f(x)的图象如图所示.(2)f(x)的单调区间有[-3,-2),[-2,0),[0,1),[1,3),[3,6].其中y=f(x)在区间[-3,-2),[0,1),[3,6]上是减函数,在[-2,0),[1,3)上是增函数.(3)因为f(x)图象的最高点为(3,4),最低点为(6,-5),所以f(x)的最大值为4,最小值为-5.13.已知函数f(x)=x2+2mx+1.(1)若m=1,求f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值;(2)若f(x)在[-2,2]上为单调函数,求m的取值范围;(3)若f(x)在区间[-1,2]上的最大值为4,求实数m的值.解:(1)当m=1时,f(x)=x2+2x+1=(x+1)2,所以f(x)在[-1,3]上的最大值是f(3)=16,最小值是f(-1)=0.(2)因为f(x)在[-2,2]上为单调函数,所以区间[-2,2]在f(x)对称轴x=-m的一边,即-m≤-2,或-m≥2,所以m≥2,或m≤-2.所以m的取值范围为(-∞,-2]∪[2,+∞).(3)f(-1),f(2)中必有一个最大值,若f(-1)=2-2m=4,则m=-1,所以f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,符合f(-1)最大.若f(2)=5+4m=4,则m=-,所以f(x)=x2-x+1=(x-)2+,符合f(2)最大.所以m=-1或m=-.14.已知函数f(x)=,x∈[1,+∞).(1)当a=时,求函数f(x)的最小值;(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围. 解:(1)当a=时,f(x)=x++2.设1≤x1<x2,则f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(1-),因为1≤x1<x2,所以x2-x1>0,2x1x2>2,所以0<<,1->0,所以f(x2)-f(x1)>0,f(x1)<f(x2).所以f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,所以f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)=.(2)在区间[1,+∞)上f(x)>0恒成立⇔x2+2x+a>0恒成立. 设y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),则函数y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在区间[1,+∞)上是增函数. 所以当x=1时,y取最小值,即y min=3+a,于是当且仅当y min=3+a>0时,函数f(x)>0恒成立,故a>-3,即a的取值范围为(-3,+∞).。

高中数学人教A版必修一练习：1.3.1 单调性与最大(小)值第一课时函数的单调性.doc

1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小)值第一课时函数的单调性【选题明细表】1.(2018·伊春高一期中)在区间(0,+∞)上不是增函数的是( C )(A)y=2x+1 (B)y=3x2+1(C)y= (D)y=2x2+x+1解析:由反比例函数的性质可得,y=在区间(0,+∞)上是减函数,故满足条件.故选C.2.函数y=x2+x+1(x∈R)的单调递减区间是( C )(A)[-,+∞) (B)[-1,+∞)(C)(-∞,-] (D)(-∞,+∞)解析:y=x2+x+1=(x+)2+,其对称轴为x=-,在对称轴左侧单调递减,所以当x≤-时单调递减.故选C.3.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是( C )(A)函数在区间[-5,-3]上单调递增(B)函数在区间[1,4]上单调递增(C)函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减(D)函数在区间[-5,5]上没有单调性解析:若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接.故选C.4.(2017·湖北省荆州中学高一质检)若函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+∞)上是( B )(A)增函数 (B)减函数(C)先增后减 (D)先减后增解析:因为y=ax在(0,+∞)上是减函数,所以a<0.因为y=-在(0,+∞)上是减函数,所以-b>0,b<0.则y=ax2+bx的对称轴x=-<0且抛物线开口向下,所以y=ax2+bx在(0,+∞)上是减函数.故选B.5.已知函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则实数a的取值范围是( A )(A)(-∞,4] (B)(-∞,4)(C)[4,+∞) (D)(4,+∞)解析:若使函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则对称轴应满足≤1,所以a≤4,选A.6.函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是( B )(A)(-∞,3) (B)(0,3)(C)(3,+∞) (D)(3,9)解析:因为函数y=f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2m)>f(-m+9),所以解得0<m<3,故选B.7.(2018·郑州模拟)设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是.解析: g(x)=即g(x)=作出函数g(x)的图象,如图所示.由图象可知,g(x)的单调递减区间为[0,1).答案:[0,1)8.已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是.解析:由题意得解得-3≤a≤-2.答案:[-3,-2]9.(2018·江西省九江一中高一上期末)已知函数f(x)=x+.(1)用单调性的定义证明f(x)在[2,+∞)上是增函数;(2)解不等式f(x2-2x+4)≤f(7).(1)证明:设x1,x2是[2,+∞)上任意两个实数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-)=,因为2≤x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>0,x1x2-4>0,所以f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在[2,+∞)上是增函数.(2)解:因为x2-2x+4=(x-1)2+3≥3>2,所以由(1)知x2-2x+4≤7,即x2-2x-3≤0,解得-1≤x≤3.所以不等式的解集为{x|-1≤x≤3}.10.若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,则实数a的取值范围是( D )(A)(-1,0)∪(0,1) (B)(-1,0)∪(0,1](C)(0,1) (D)(0,1]解析:因为f(x)=-x2+2ax在[1,2]上是减函数,所以对称轴x=a应满足a≤1,因为g(x)=在区间[1,2]上是减函数,所以a>0,所以0<a≤1.故选D.11.若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0,2]上是增函数,且f(m)≥f(0),则实数m的取值范围是.解析:由于f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(2)>f(0),解得a<0.又因f(x)图象的对称轴为x=-=2.所以x在[0,2]上的值域与在[2,4]上的值域相同,所以满足f(m)≥f(0)的m的取值范围是0≤m≤4.答案:[0,4]12.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的单调性;(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.解:(1)令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1,由于当x>1时,f(x)<0,所以f()<0,即f(x1)-f(x2)<0.因此f(x1)<f(x2),故函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.(3)由f()=f(x1)-f(x2)得f()=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数, 且f(|x|)<-2=f(9),所以|x|>9,解得x>9或x<-9.故不等式的解集为{x|x>9或x<-9}.13.已知函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有<0成立,则实数a的取值范围是.解析:由<0对任意x1≠x2都成立,得f(x)是减函数,则得a≤0.答案:(-∞,0]。

人教A版高中数学必修一单调性与最大小值同步练习

1.3 函数的基本性质1．3.1 单调性与最大(小)值1．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则… ( )A ．k ＞12B ．k ＜12C ．k ＞－12D ．k ＜－122．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是…( ) A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．先递增再递减3．如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1、x 2∈[a ，b](x 1≠x 2)，则下列结论中不正确的是( )A.f(x 1)－f(x 2)x 1－x 2>0B ．(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]＞0C ．f(a)＜f(x 1)＜f(x 2)＜f(b)D.x 1－x 2f(x 1)－f(x 2)>0 4．下图表示某市2008年6月份某一天的气温随时间变化的情况，请观察此图回答下列问题：(1)这天的最高气温是__________；(2)这天共有______个小时的气温在31 ℃以上； (3)这天在______(时间)范围内温度在上升；(4)请你预测一下，次日凌晨1点的气温大约在______内．课堂巩固1．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，且a ＋b>0，则有( ) A ．f(a)＋f(b)>－f(a)－f(b) B ．f(a)＋f(b)<－f(a)－f(b) C ．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) D ．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b) 2．若函数f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是…( )A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥3 3．函数y ＝x ＋2x －1( )A ．有最小值12，无最大值B ．有最大值12，无最小值C ．有最小值12，最大值2D ．无最大值，也无最小值4．函数y ＝x 2＋2x －3的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－3] B ．(－∞，－1] C ．[1，＋∞) D ．[－3，－1]5．若y ＝ax ，y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是__________函数．(选填“增”或“减”)6．一次函数f(x)是减函数，且满足f[f(x)]＝4x －1，则f(x)＝__________.7．证明函数f(x)＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．8．已知函数f(x)＝3x ＋2，x ∈[－1,2]，证明该函数的单调性并求出其最大值和最小值．1．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则( ) A ．f(a)>f(2a) B ．f(a 2)<f(a) C ．f(a 2＋a)<f(a) D ．f(a 2＋1)<f(a)2．已知0<t ≤14，那么1t－t 的最小值是… ( )A.154B.638C ．2D ．－2 3．若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是( )A ．{m|0≤m ≤14}B ．{m|0<m ≤14}C ．{m|0≤m<14}D ．{m|0<m<14}4．函数f(x)＝x 2－4x ＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[2,4]C ．(－∞，2]D ．[0,2]5．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x 2－2x ，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)＝g(x)；当f(x)<g(x)时，F(x)＝f(x)，那么F(x)( )A ．有最大值3，最小值－1B ．有最大值3，无最小值C ．有最大值7－27，无最小值D ．无最大值，也无最小值6．(2009广西北海一检，文10)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)x ＋5，x ≤1，2a x，x>1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ．(0,2]7．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形．要使正方形和圆的面积之和最小，则正方形的周长应为__________．8．已知y ＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(3a －1)，则a 的取值范围是__________．9．已知函数f(x)＝kx 2－4x －8在[5,20]上是单调函数，求实数k 的取值范围．10．已知函数f(x)＝x －1x ＋1，x ∈[1,3]，求函数的最大值和最小值．11．已知f(x)＝x 3＋x(x ∈R )，(1)判断f(x)在(－∞，＋∞)上的单调性，并证明；(2)求证：满足f(x)＝a(a 为常数)的实数x 至多只有一个．答案与解析1．3 函数的基本性质 1．3.1 单调性与最大(小)值课前预习1．D 由已知，2k ＋1＜0，解得k ＜－12.2．C 如图所示，该函数的对称轴为x ＝3，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增的．3．C 由函数单调性的定义可知，若函数y ＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x 1－x 2与f(x 1)－f(x 2)同号，由此可知，选项A 、B 、D 正确；对于C ，若x 1<x 2时，可有x 1＝a 或x 2＝b ，即f(x 1)＝f(a)或f(x 2)＝f(b)，故C 不成立． 4．(1)37 ℃ (2)9 (3)3时～15时 (4)23 ℃～26 ℃课堂巩固1．C ∵a ＋b>0，∴a>－b ，b>－a.由函数的单调性可知，f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)．两式相加得C 正确．2．A 由二次函数的性质，可知4≤－(a －1)，解得a ≤－3.3．A ∵y ＝x ＋2x －1在定义域[12，＋∞)上是增函数，∴y ≥f(12)＝12，即函数最小值为12，无最大值，选A. 4．A 该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f(x)＝x 2＋2x －3的对称轴为x ＝－1，由复合函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．5．减由条件知a<0，b<0，∴－b2a<0.此时，该二次函数是开口向下，对称轴小于零的二次函数．6．－2x ＋1 由一次函数f(x)是减函数，可设f(x)＝kx ＋b(k<0)．则f[f(x)]＝kf(x)＋b ＝k(kx ＋b)＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ， ∵f[f(x)]＝4x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，kb ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1.∴f(x)＝－2x ＋1.7．证明：(1)设0＜x 1＜x 2＜1，则x 2－x 1＞0，f(x 2)－f(x 1)＝(x 2＋1x 2)－(x 1＋1x 1)＝(x 2－x 1)＋(1x 2－1x 1)＝(x 2－x 1)＋x 1－x 2x 2x 1＝(x 2－x 1)(1－1x 2x 1)＝(x 2－x 1)(x 2x 1－1)x 2x 1，若0＜x 1＜x 2＜1，则x 1x 2－1＜0，故f(x 2)－f(x 1)＜0，∴f(x 2)＜f(x 1)．∴f(x)＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．8．解：设x 1，x 2是区间[－1,2]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则 f(x 1)－f(x 2)＝3x 1＋2－3x 2－2＝3(x 1－x 2)．由x 1<x 2，得x 1－x 2<0，于是f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)．所以，函数f(x)＝3x ＋2是区间[－1,2]上的增函数．因此，函数f(x)＝3x ＋2在区间[－1,2]的两个端点上分别取得最小值与最大值，即在x ＝－1时取得最小值，最小值是－1，在x ＝2时取得最大值，最大值是8.课后检测1．D ∵a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34>0，∴a 2＋1>a.又∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数， ∴f(a 2＋1)<f(a)．2．A 由f(t)＝1t －t ，当t ∈(0，14]时，f(t)是两个减函数的和，仍是减函数，故当t ＝14时，f(t)min ＝f(14)＝4－14＝154.3.A 当m ＝0时，y ＝x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，符合题意；当m<0时，－12m>0，显然不合题意；当m>0时，由－12m ≤－2，得m ≤14，即0<m ≤14.综上可知0≤m ≤14.4．B f(x)＝(x －2)2＋1，最小值1为x ＝2时取得，最大值5为x ＝0,4时取得，∴m 的取值为[2,4]．5．C 画图得到F(x)的图象：为射线AC 、抛物线AB 及射线BD 三段，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x 2－2x ，得x A ＝2－7，代入得F(x)的最大值为7－27，由图可得F(x)无最小值，从而选C.6．D 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，a>0，a －3＋5≥2a ，解得0<a ≤2.7.4π＋4设正方形周长为x ，则圆的周长为1－x ，半径r ＝1－x 2π.∴S 正＝(x 4)2＝x 216，S 圆＝π·(1－x)24π2.∴S 正＋S 圆＝(π＋4)x 2－8x ＋416π(0<x<1)．∴当x ＝4π＋4时有最小值．8．(0，12) 由题意，可得1＞1－a ＞3a －1＞－1，即⎩⎪⎨⎪⎧1＞1－a ，1－a ＞3a －1，3a －1＞－1.解得0＜a ＜12.所以a 的取值范围是(0，12)．9．解：因为自变量最高次数项的系数含有变量，所以应分类讨论． (1)当k ＝0时，f(x)＝－4x －8，它是[5,20]上的单调减函数． (2)当k ≠0时，有下列两种情形： ①k>0时，当2k ≥20，即0<k ≤110，f(x)在[5,20]上是减函数；当2k ≤5，即k ≥25时，f(x)在[5,20]上是增函数． ②k<0时，当2k ≥20时，不等式无解；当2k≤5，即k<0时，f(x)在[5,20]上是减函数．综上可知，实数k 的取值范围是(－∞，110]∪[25，＋∞)．10．解：f(x)＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1.设x 1，x 2是区间[1,3]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝1－2x 1＋1－1＋2x 2＋1＝2x 2＋1－2x 1＋1＝2(x 1＋1)－2(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1) ＝2(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1). 由1≤x 1<x 2≤3，得x 1－x 2<0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)．所以，函数f(x)＝x －1x ＋1是区间[1,3]上的增函数．因此，函数f(x)＝x －1x ＋1在区间[1,3]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x ＝1时取得最小值，最小值是0，在x ＝3时取得最大值，最大值是12.点评：若函数在给定的区间上是单调函数，可利用函数的单调性求最值．若给定的单调区间是闭区间，则函数的最值在区间的两个端点处取得．11．(1)解：f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．证明如下：设x 1＜x 2，即x 1－x 2＜0.∴f(x 1)－f(x 2)＝(x 31＋x 1)－(x 32＋x 2)＝(x 31－x 32)＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22＋1)＝(x 1－x 2)[(x 1＋x 22)2＋34x 22＋1]＜0.∴f(x 1)－f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)．因此f(x)＝x 3＋x 在R 上是增函数．(2)证明：假设x 1＜x 2且f(x 1)＝f(x 2)＝a ，由f(x)在R 上递增，∴f(x1)＜f(x2)，与f(x1)＝f(x2)矛盾．∴原命题正确．点评：利用定义判断函数单调性时，通常将作差后的因式变形成因式连乘积的形式、平方和的形式等．在因式连乘积的形式中，一定含有因式“x1－x2”，这也是指导我们化简的目标．差的符号是由自变量的取值范围、假定的大小关系及符号的运算法则共同决定的．。

高中函数专题单调性与最大（小）值习题（附答案）

设函数1()f x x x=-.对任意1[1,,)x Î+¥，()()0f mx mf x +<恒成立，则实数m 的取值范围是______. 7.已知函数()f x 为定义在区间[1,1]-上的增函数，则满足1()()2f x f <的实数x 的取值范围为________. 8.A.23()(1)4f f a a >-+ B.23()(1)4f f a a ³-+ C.23()(1)4f f a a <-+ D.23()(1)4f f a a £-+10.A.21y x = B.1y x= C.2y x = D.3y x =12.已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)ff x æö<ç÷èø的实数x 的取值范围是（） A.(1,1)- B.(0,1) C.(1,0)(0,1)- D.(,1)1(1,,)-¥-+¥ 函数专题—单调性与最大（小）值习题1.已知函数()y f x =在[0,)+¥上是减函数，比较(1)f ，(2)f ，(4)f 的大小. 2.已知()f x 是定义在[1,1]-上的增函数，且(1)(13)f x f x -<-，求x 的取值范围. 3.若函数2()2(1)2f x x a x =+-+的单调递减的单调递减区间区间是(,4]-¥，则，则实数实数a 的取值范围是______. 4.设函数()f x 对任意的,a b R Î，都有()()()1f a b f a f b +=+-，且当0x >时，()1f x >. （1）求证：()f x 是R 上的增函数；上的增函数；（2）若(4)5f =，解，解不等式不等式2(32)3f m m --<. 5.若定义计算,,,,b a b a b a a b ³ì=í<î 则函数()(2)f x x x =- 的值域是_______. 6.函数12y x x =++-的递增区间是______. 9.若函数()f x 的定义域为R ，且在(0,)+¥上是减函数，则下列不等式成立的是（上是减函数，则下列不等式成立的是（）已知函数223()x x f x x ++=[)()2,x Î+¥. （1）求()f x 的最小值；（2）若()f x a >恒成立，求a 的取值范围. 11.下列函数中，在区间(,0)-¥上单调递增，且在区间(,0)-¥上单调递减的函数为（上单调递减的函数为（）元）的关系有经验公式：5xP =，35Q x =.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得最大利润是多少？ 15.若函数()f x 是(,)-¥+¥上的减函数，则（）A.()(2)f a f a >B.2()()f a f a < C.2()()f a a f a +< D.2(1)()f a f a +<13.函数()2xf x x =+在区间[2,4]上的上的最大值最大值为______，最小值为______. 14.有甲、乙两种乙两种商品商品，经营销售这两种产品所能获得的经营销售这两种产品所能获得的利润利润依次为P （万元）和Q (万元），它们与投入资金x （万解：容易产生错解12x <. 正解：111,1131,113,x x x x -£-£ìï-£-£íï-<-î即02,20,31,2x x x ìï££ïï££íïï<î，∴413m -<<. 5.解：由题意知(2)x x - 表示x 与2x -两者中的较小者，借助y x =与2y x =-的图象，不难得出()f x 的值域为(,1]-¥. 函数专题—单调性与最大（小）值习题答案1.由题意知()f x 的对称轴为2x =，故(2)(1)(4)f f f <<. 2.∴102x £<. 3.∵函数的单调递减∵函数的单调递减区间区间为(,4]-¥，且()f x 图象的对称轴为直线1x a =-，∴14a -=，即3a =-. 4.（1）证法一：设12x x <，∴210x x x D =->，∴()1f x D >，∴2111()()()()1()f x f x x f x f x f x =+D =+D ->，∴()f x 是R 上的增函数. 证法二：∵(00)(0)(0)1f f f +=+-，∴(0)1f =，∴(0)()()()11f f x x f x f x =-=+--=， ∴()2()f x f x -=-. 设12x x <，∴210x x ->，∴21212121()()()1()2()1()()11f x x f x f x f x f x f x f x -=+--=+--=-+>，∴21()()0f x f x ->，∴21()()f x f x >，∴()f x 是R 上的增函数. （2）(4)(2)(2)15f f f =+-=，∴(2)3f =，∴2(32)3(2)f m m f --<=. 由（1）的结论知()f x 是R 上的增函数，∴2322m m --<解析：由题知，10mmx mx mx x -+-<在[1,)+¥上恒成立，即112()mx m m x<+在[1,)+¥上恒成立. 显然0m ¹.当0m >时，即212m m x m +<在[1,)+¥上恒成立，即112m m m +<，即21m >，解得1m <-. 故m 的取值范围是(,1)-¥-. 7.112x -£< 由题设得11,1,2x x -££ìïí<ïî即112x -£<. 8.[2,)+¥上是减函数，且221331()0244a a a -+=-+³>，∴23()(1)4ff a a ³-+. 10.解法一：利用对勾函数进行解得. 解法二：利用单调性知识进行解答. （1）任取[)12,2,x x Î+¥，且12x x <，3()2f x x x=++，则1212123()()()(1)f x f x x x x x -=--. ∵12x x <，∴120x x -<，又∵12x ³，22x >，124x x >，12310x x ->.∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，故()f x 在[2,)+¥上是增函数. ∴当2x =时，()f x 最小值为11(2)2f =，∴()f x a >恒成立，只需min ()f x a >，112a <. 11. 11. A A 对于函数21y x =，令21()y f x x ==，任取12,(0,)x x Î+¥，且12x x <， ()()2121122222121211()()0x x x x f x f x x x x x -+-=-=>，即12()()f x f x >，∴函数21y x=在区间(0,)+¥上单调递6.(,1)-¥-时，212m m x m+>在[1,)+¥上恒成立，由于函数2()g x x =在[1,)+¥上无上无最大值最大值，因此不存在满足题意的m ；当0m <12,1,123,12,21, 2.x x y x x x x x -£-ìï=++-=-<<íï-³î由一次函数单调性可知递增区间是[2,)+¥. 9.B ∵()f x 在(0,)+¥有最小值，1111(2)2f =. （2）∵()f x易知函数1y x =在区间(0,)+¥和(,0)-¥上都单调递减；上都单调递减；对于函数3y x =，令3()y f x x ==，任取12,x x R Î，且12x x <，则33221212121122()()()()0f x f x x x x x x x x x -=-=-++<，即12()()f x f x <，故函数3y x =在(,)-¥+¥上单调递增. 12. 12. C C ∵()f x 为R 上的减函数，∴11x>，即11x <-或11x>，解得10x -<<或01x <<. 13. 23；12∵222()1222x x f x x x x +-===-+++，∴函数()f x 在[2,4]上是增函数， ∴min 1()(2)2f x f ==根据题意得133(03)55y x x x =+-££. 令3x t -=，则23x t =-，03t ££. ∴213(3)(03)55y t t t =-+££，即21321(),[0,3]5220y t t =--+Î. 当32t =时，max 2120y =，此时0.75x =，3 2.25x -=. 由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元. 15.∵()f x 是(0,)+¥上是减函数，且2213310244a a a æö-+=-+³>ç÷èø，∴23(1)()4f a a f -+£. 减，同理可得函数21y x=在区间(,0)-¥上单调递增；上单调递增；，max 2()(4)3f x f ==. 14.解析：设对甲种解析：设对甲种商品商品投资x 万元，则对乙种商品投资(3)x -万元，总万元，总利润利润为y 万元，万元，。

北京市2016-2017学年高一数学上册(必修1)1.3.1 单调性与最大(小)值(教学设计01)

必修一 1。

3。

1 单调性与最大（小）值（第1课时）【教学目标】1。

知识与技能：从形与数两方面理解函数单调性的概念。

初步掌握利用图像和定义判断、证明函数单调性的方法。

2.过程与方法：从已有知识出发，通过学生的观察、归纳、抽象和推理论证培养学生的数学能力。

3.情感态度价值观:通过知识的探究过程，突出学生的主观能动性,培养学生认真分析、科学论证的数学思维习惯。

【重点难点】1。

教学重点：函数单调性的概念;判断、证明函数的单调性。

2。

教学难点:函数单调性概念的符号语言的认知;应用定义证明单调性的代数推理论证。

【教学策略与方法】1。

教学方法:问题引导,主动探究，启发式教学．2。

教具准备：多媒体【教学过程】⒈说出上述情境中图像的变化规律。

⒉描述上述情境中气温或记忆保持量随时间变化规律.的观察，进行口答.图像入手来体会函数的单调性，进而为抽象出单调性的数学概念打下基础。

环节二：二、观察思考，归纳抽象，形成概念；问题1：观察下列函数的图象,回答当自变量x的值增加时，函数值f（x）是如何变化的?学生回答：1）函数()1f x x=+的图象从左到右上升，即当x增大时f（x）随着增大,所以称函数1()xf x=+在R用提问的方式，引导学生用图形语言和自然语言对函数单调性进行描述，合理设置层次，为揭示函数单调2(2)()f x x=(1)()1f x x=+问题2：你能根据自己的理解说说什么是递增什么是递减？问题3：你能借助数学符号,将上述“函数值随着自变量增大逐渐增大"描述出来吗？当x增大时f(x）随着增大，即:当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）。

增函数的定义：一般地，设函数f（x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，上是增函数。

2)函数2()f x x 在对称轴y轴的左侧下降、右侧上升,即在区间（—∞,0］上当x增大时f(x）随着减小,在区间（0,+∞)上当x增大时f（x）随着增大。

人教版数学高一必修1限时练 1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性

1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性教学目标1.理解单调区间、单调性等概念；2.会划分函数的单调区间，判断单调性；3.会用定义证明函数的单调性．教学过程一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《1．3.1 单调性与最大(小)值第1课时》课件“情景导入”部分，让学生与大家分享自己的了解。

通过举例说明和互相交流，做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价.二、自主学习1.一般地，设函数f(x)的定义域为I：(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是________．(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是________．提示：(1)增函数(2)减函数2.一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数，该区间称为增区间.反之则为减函数，相应区间称为减区间.3.一般地，有下列常识：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．三、合作探究探究点1：求单调区间并判断单调性问题1画出函数f(x)＝x、f(x)＝x2的图象，并指出f(x)＝x、f(x)＝x2的图象的升降情况如何？提示：两函数的图象如下：函数f (x )＝x 的图象由左到右是上升的；函数f (x )＝x 2的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的．问题2 用图象在某区间上上升(或下降)来描述函数单调性很直观，课本为什么还要用定义刻画单调性？提示：因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的．问题3：我们已经知道f (x )＝x 2的减区间为(－∞，0]，f (x )＝1x的减区间为(－∞，0)，这两个减区间能不能交换？提示： f (x )＝x 2的减区间可以写成(－∞，0)，而f (x )＝1x的减区间(－∞，0)不能写成 (－∞，0]，因为0不属于f (x )＝1x的定义域．例1 (1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？(2)写出y ＝x 2－3|x |＋2的单调区间．提示：(1)y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数．(2)由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＋2，x <0，x 2－3x ＋2，x ≥0，画出草图：∴f (x )在(－∞，－32]，[0，32]上递减，在[－32，0]，[32，＋∞)上递增．名师点评：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．探究点2：证明单调性例2 (1)物理学中的玻意耳定律p ＝k V(k 为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大．试用函数的单调性证明．(2)已知函数f (x )对任意的实数x 、y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且当x >0时，f (x )>1.求证：函数f (x )在R 上是增函数．提示： (1)根据单调性的定义，设V 1，V 2是定义域(0，＋∞)上的任意两个实数，且V 1＜V 2，则p (V 1)－p (V 2)＝k V 1－k V 2＝k V 2－V 1V 1V 2. 由V 1，V 2∈(0，＋∞)，得V 1V 2>0.由V 1<V 2，得V 2－V 1>0.又k >0，于是p (V 1)－p (V 2)>0，即p (V 1)>p (V 2)．所以，函数p ＝k V，V ∈(0，＋∞)是减函数，也就是说，当体积V 减小时，压强p 将增大．(2)方法一设x 1，x 2是实数集上的任意两个实数，且x 1>x 2.令x ＋y ＝x 1，y ＝x 2，则x ＝x 1－x 2>0.f (x 1)－f (x 2)＝f (x ＋y )－f (y )＝f (x )＋f (y )－1－f (y )＝f (x )－1.∵x >0，∴f (x )>1，f (x )－1>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴函数f (x )在R 上是增函数．方法二设x 1>x 2，则x 1－x 2>0，从而f (x 1－x 2)>1，即f (x 1－x 2)－1>0.f (x 1)＝f [x 2＋(x 1－x 2)]＝f (x 2)＋f (x 1－x 2)－1>f (x 2)，故f (x )在R 上是增函数．名师点评：运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x 1，x 2且x 1<x 2的条件下，转化为确定f (x 1)与f (x 2)的大小，要牢记五大步骤：取值→作差→变形→定号→小结．探究点3：用单调性解不等式例3 (1)已知函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，x 1，x 2∈(a ，b )且f (x 1)<f (x 2)，求证：x 1<x 2；(2)已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围．提示：(1)证明假设x 1，x 2∈(a ，b )且x 1≥x 2.则由f (x )在区间(a ，b )上是增函数，得f (x 1)≥f (x 2)，与已知f (x 1)<f (x 2)矛盾，故假设不成立．∴x 1<x 2.(2)解根据(1)，f (1－a )<f (2a －1)等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －1<1－a <1－1<2a －1<11－a >2a －1，解得0<a <23，即所求a 的取值范围是0<a <23. 名师点评：若已知函数f (x )的单调性，则由x 1，x 2的大小，可得f (x 1)，f (x 2)的大小；由f (x 1)，f (x 2)的大小，可得x 1，x 2的大小．四、当堂检测1．已知函数f (x )＝－x 2，则( )A ．f (x )在(－∞，－1)上是减函数B ．f (x )是减函数C ．f (x )是增函数D ．f (x )在(－∞，－1)上是增函数2．函数y ＝6x的减区间是( ) A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)3．下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)的是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝2x ＋14．已知函数y ＝f (x )满足：f (－2)>f (－1)，f (－1)<f (0)，则下列结论正确的是( )A ．函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上单调递减，在区间[－1,0]上单调递增B ．函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上单调递增，在区间[－1,0]上单调递减C ．函数y ＝f (x )在区间[－2,0]上的最小值是f (－1)D ．以上的三个结论都不正确5．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定提示：1．D 2.C 3.B 4.D 5.D五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1．若f (x )的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f (x )在A 和B 上都单调递减，未必有f (x )在A ∪B 上单调递减．2．对增函数的判断，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，也可以用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0.对减函数的判断，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0. 3．熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等．4．若f (x )，g (x )都是增函数，h (x )是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f (x )＋g (x )单调递增，f (x )－h (x )单调递增，②－f (x )单调递减，③1f (x )单调递减(f (x )≠0)． 5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f (x )，证明单调性时，也可以作商f (x 1)f (x 2)与1比较．六、课例点评1．在“概念教学”上，本课例能注意高一学生由初中到高中的知识与能力的衔接。

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