(课件)一次函数与二次函数
第一节、一次函数、二次函数
3．下面为常见的二次方程根的分布问题(只列了a＞0的情况，a＜ 0的情况可自行类比a＞0的情况) 设x1、x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根，则 根的分布有以下几种情况：
根的分布
图象
充要条件
0 f k 0 b 2 a k
3 2
……. 6分
m 12 4 0, m 1 即 0 2, .......... 分 8 2 4 m 1 2 1 0,
m 3或m 1, 3 m 1, .......... 分 10 3 m , 2
2
∴m2 3m 3 1 ，解得 m 1或m 2 .
又∵函数
y m 2xm
2
m3
1
是增函数，
∴ m 2 0, 解得m 2 . 综上可得 m 1.
待定系数法
已知二次函数的对称轴为 x 2,截 x 轴上的弦 长为 4，且过点0,1，求函数的解析式．
m2 0
.
①
y x 又∵函数 y m 2x 2m 1 的图象与 轴的交点在 轴下方，
∴
2m 1 0
. ②
由①②解得 m 2 .
变式训练1
值．
若 y m 2xm m3 1是一次函数，且为增函数，求 m的
2
【解析】
∵函数y m 2xm m3 1 是一次函数，
x1 x2 k
k x1 x2
0 f k 0 b 2 a k
x1 k x2
f k 0
求函数
在 y x 2 4ax 1
0,上的最大值和最小 2
26.1二次函数课件(共26张PPT)
想一想
生活问题数学化
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结 （600-5x）个橙子,因此果园橙子的总产量 y=(100+x)(600-5x)=-5x² பைடு நூலகம்100x+60000 在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果 园橙子的总产量最多？
X/棵 Y/个
你能根据表格中的数据作出猜想 吗
1
2
3
4
5 6
=30a-a²
= -a²+30a .
是二次函数关系式.
小试牛刀
心动不如行动
如果函数y=
0或3 则k的值一定是______
x
k 3k 2
2
+kx+1是二次函数,
如果函数y=(k-3) x +kx+1是二 0 次函数,则k的值一定是______
k 2 3k 2
小结
拓展
回
味
无
穷
定义中应该注意的几个问题:
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到 期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转 存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本 息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
?
y=100(x+1)² =100x² +200x+100
思索归纳
二次函数
y=-5x²+100x+60000 y=100x²+200x+100
想一想
源于生活的数学
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但 是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所 接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一 棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
高中数学 第2章 函数 2.2.1 一次函数的性质与图象课件 b必修1b高一必修1数学课件
k>0,b<0
第一、三、四象限
k<0,b>0
第一、二、四象限
k<0,b<0
第二、三、四象限
第二十一页，共三十六页。
题型一
题型三
题型二
题型四
【变式训练(xùnliàn)2】 如果ab>0,bc<0,那么一次函数ax+by+c=0的图象的大
致形状是(
)
解析:函数可化为 y=− − . 因为ab>0,bc<0,
∴点(-1,0)在函数y=(2m-1)x+1-3m的图象上,
即(2m-1)×(-1)+1-3m=0.
2
∴m= 5.
反思解此类型的题目,要正确理解正比例函数、一次函数的概念(gàiniàn)
及一次函数的性质.从概念和性质入手,问题便可迎刃而解.
第十五页，共三十六页。
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 1】 若函数 f(x)=(t-2)
…
Δy
…
10
10
10
由上表可以看出,函数值后一个比前一个大10.
事实上,取x1=a,则y1=5a-3,取x2=a+2,
则y2=5(a+2)-3,
所以Δy=y2-y1=10.
一般地,设一次函数y=kx+b(k≠0),若取x1=a,则y1=ka+b;若取x2=a+2,则
y2=k(a+2)+b=ka+b+2k,
2.2 一次函数
和二次函数
(hánshù)
第一页，共三十六页。
(hánshù)
2.2.1 一次函数的性质
一次函数与二次函数
一次函数与二次函数一次函数与二次函数是高中数学中常见的重要概念。
它们在实际生活和各个领域中有广泛的应用。
本文将介绍一次函数和二次函数的定义、特点以及它们的应用。
一、一次函数一次函数又称为线性函数，其定义为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a≠0。
一次函数的图像是一条直线，其斜率为a，截距为b。
一次函数的特点如下：1. 斜率：斜率代表了函数图像上的每一单位自变量变化所对应的因变量的变化。
斜率为正时，函数图像上升，斜率为负时，函数图像下降。
斜率为0时，函数图像水平。
2. 截距：截距表示了直线与纵轴的交点在纵轴上的坐标。
当x=0时，f(x)=b，即截距为b。
3. 变化趋势：一次函数的图像是一条直线，其变化趋势是线性的，即斜率不变。
当斜率为正时，函数图像上升；当斜率为负时，函数图像下降。
一次函数有许多实际应用，如直线运动问题、成本问题等。
例如，在直线运动问题中，一次函数可以描述物体的位置随时间的变化。
在成本问题中，一次函数可以描述成本与生产量的关系。
二、二次函数二次函数的定义为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a≠0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或开口向下的抛物线。
二次函数的特点如下：1. 零点：二次函数的图像与x轴的交点称为零点。
根据一元二次方程的求解方法，可以求得二次函数的零点。
2. 极值点：二次函数的图像的最高点或最低点称为极值点。
当抛物线开口向上时，最低点为极小值点；当抛物线开口向下时，最高点为极大值点。
3. 对称轴：二次函数的图像关于一条垂直于x轴的直线对称。
对称轴的方程为x = -b/2a。
4. 变化趋势：二次函数的图像是一个平滑的曲线，变化趋势会向上或向下。
二次函数有许多实际应用，如弓箭的抛物线轨迹、天文学中的天体运动等。
例如，在弓箭的抛物线轨迹问题中，二次函数可以描述弓箭的轨迹；在天文学中的天体运动问题中，二次函数可以描述行星或彗星的轨迹。
一次函数和二次函数-课件ppt
去．故选B.
答案：B
◆高考总复习•数学•(文科)◆
4．若关于x的方程3tx2＋(3－7t)x＋4＝0的两个实根α，β满足
0<α<1<β<2，实数t的取值范围是______．
解析：令 f(x)＝3tx2＋(3－7t)x＋4，
∵α，β 满足 0<α<1<β<2，
∴f0f1<0， f1f2<0.
∴74<t<5.
◆高考总复习•数学•(文科)◆
(3)当t<1<t＋1，即0<t<1时，f(x)在区间[t,1]上是减函数，在
区间[1，t＋1]上是增函数，
∴f(x)min＝f(1)＝12－2＋3＝2， (i)当1－t≥t＋1－1，即0<t≤ 时1 ，f(t)≥f(t＋1)，
2
∴f(x)max＝f(t)＝t2－2t＋3， (ii)当1－t<t＋1－1，即 1 <t<1时，f(t)<f(t＋1)，
∞)⇔－ b ≤0⇔b≥0.故选A.
2
2
(2)∵f(x)＝x2＋bx＋c，a＝1，∴抛物线开口向上．又f(2＋t)＝
f(2－t)，故x＝2是其对称轴，即当x＝2时，f(x)取最小值，且f(1)
＝f(3)．而当x≥2时，f(x)是增函数，∴f(2)<f(1)<f(4)．故选A.
答案：(1)A (2)A
函数f(x)＝ax2＋bx＋c在区间[α，β]上的最值一般分为三种情况讨
◆高考总复习•数学•(文科)◆
二、二次函数定义及其性质 1．二次函数的定义：_____形__如__y_＝__a_x_2_＋__b_x_＋__c_(a_，_ b， _c_为__常__数__且__a_≠_0_)_的__函__数__叫__一__元__二__次__函__数________. 2．二次函数的三种表示形式为： (1)一般式：____y_＝__a_x_2＋__b_x_＋__c_(_a_≠_0_)______； (2)顶点式：___y_＝__a_(_x_－__h_)_2＋__k_(_a_≠_0_)______； (3)零点式：___y_＝__a_(x_－___x_1)_(_x_－__x_2)_(_a_≠_0_) ___.
高一数学课件一次函数和二次函数
02
二次函数基本概念与性质
二次函数定义及表达式
二次函数定义
形如$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a neq 0$）的函数称为二次函数。
二次函数表达式
二次函数的一般形式
通过配方，二次函数可以表示为$f(x) = a(x - h)^2 + k$的形式，其中$(h, k)$为顶点坐标。
$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、 $b$、$c$为常数，且$a neq 0$。
截距 $b$
截距表示一次函数与 $y$ 轴交点的纵坐标。当 $b > 0$ 时，交点在 $y$ 轴的 正半轴上；当 $b < 0$ 时，交点在 $y$ 轴的负半轴上；当 $b = 0$ 时，一次 函数过原点。
一次函数图像特征
一次函数的图像是一 条直线。
直线的斜率是 $k$， 截距是 $b$。
当 $k > 0$ 时，直线 从左向右上升；当 $k < 0$ 时，直线从 左向右下降。
转换方法
通过配方或完成平方的方法，可以将二次函数转换为顶点式y=a(x-h)^2+k的形式， 从而更清晰地了解函数的性质。同时，也可以利用求导的方法研究函数的单调性和 极值点。
复合函数类型识别
复合函数定义
设y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于 Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这 种函数称为复合函数。
高一数学课件一数次函数和二次函
目 录
• 一次函数基本概念与性质 • 二次函数基本概念与性质 • 一次函数与二次函数关系 • 典型例题解析与技巧指导 • 拓展延伸：高阶多项式初步认识 • 课堂互动环节与课后作业布置
高考数学讲义一次函数和二次函数
一、函数奇偶性的定义是什么？二、奇偶函数有什么图象特征？三、如何利用定义判断函数奇偶性？一、一次函数1. 一次函数的概念：形如(0)y kx b k =+≠的函数叫做一次函数．（一次函数又叫做线性函数）它的定义域为R ，值域为R ．①斜率：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是直线，其中k 叫做该直线的斜率． ②截距：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是直线，其中b 叫做直线在y 轴上的截距．注：截距不是距离，截距可以是正的，可以是负的，也可以是0．2. 一次函数的性质：（1）函数值的改变量21y y y ∆=-与自变量的该变量21x x x ∆=-的比值等于常数k ，即2121y y y k x x x -∆==∆-，k 的大小表示直线与x 轴的倾斜程度． （2）当0k >时，一次函数是增函数；当0k <时，一次函数是减函数． （3）当0b =时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当0b ≠时，它既不是奇函数，也不是偶函数．（4）直线(0)y kx b k =+≠与x 轴的交点为(,0)bk-，与y 轴的交点为(0,)b ． （5）直线111:l y k x b =+,直线222:l y k x b =+，①1l //2l 12k k ⇔=且12b b ≠．②1l 与2l 重合12k k ⇔=且12b b =．二、二次函数一次函数和二次函数知识讲解知识回顾1. 二次函数的概念：形如2(0)y ax bx c a =++≠叫做二次函数．它的定义域为R ．当0a >时，值域为24|4ac b y y a ⎧⎫-≥⎨⎬⎩⎭；当0a <时，值域为24|4ac b y y a ⎧⎫-≤⎨⎬⎩⎭2. 二次函数的4种解析式：（1）一般式2(0)y ax bx c a =++≠，对称轴2b x a -=，顶点24(,)24b ac b a a--（2）顶点式2()(0)y a x h k a =-+≠，对称轴x h =，顶点(,)h k（3）交点式12()()(0)y a x x x x a =--≠，抛物线与x 轴交于1(,0)x ，2(,0)x （4）对称点式12()()y a x x x x b =--+，抛物线图象上有两对称点12(,),(,)x b x b注：①二次函数的一般式可通过配方得到顶点式．②在求二次函数的解析式时，应根据已知条件，合理设式．已知三点坐标，若有对称点（两点的纵坐标相同），则设对称点式；若没有，则设一般式． 已知对称轴或顶点坐标，应设顶点式．3. 二次函数的性质：（1）函数的图象是一条抛物线，抛物线的顶点坐标是24(,)24b ac b a a--，对称轴2b x a-=，与y 轴交于(0,)c ;（2）当0a >时，开口向上，当2b x a -=时，2min 4()24b ac b y f a a--==；单调递增区间是,2b a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，单调递减区间为,2b a -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ （3）当0a <时，开口向下，当2b x a -=时，2max 4()24b ac b y f a a--==；单调递增区间是,2b a -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，单调递减区间为,2b a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （4）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是偶函数⇔0b = 4. 函数图象的平移：左加右减，上加下减（1）()y f x =(0)a a >−−−−−−−→向左平移个单位()y f x a =+； （2）()y f x =(0)a a >−−−−−−−→向右平移个单位()y f x a =-； （3）()y f x =(0)b >−−−−−−−→向上平移b 个单位()+y f x b =； （4）()y f x =(0)b >−−−−−−−→向下平移b 个单位()y f x b =-；注：左右平移只是针对单个x 而言． 5. 配方法：（1）提，提系数将平方项的系数化为1；（2）配，加上一次项系数的一半的平方，再减去一次项系数的一半的平方； （3）整理．注：“配方法”是研究二次函数的主要方法．熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键．6. 韦达定理：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，则1212,b c x x x x a a-+== 7. 中点坐标公式：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点00(,)M x y ，则0120122,2x x x y y y =+=+8. 交点距离公式：若二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x ，则12AB x x a∆=-=（其中24b ac ∆=-） 三、待定系数法1. 一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再跟据题设条件求出这些待定系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．2. 待定系数法解题的基本步骤是什么？第一步：设出含有待定系数的解析式；第二步：根据恒等的条件，列出含待定系数的方程或方程组； 第三步：解方程或方程组，从而使问题得到解决． 题型一、一次函数的平移【例1】 在平面直角坐标系中，把直线21y x =-向右平移一个单位长度后，其直线解析式为（ ）A ．2y x =B ．21y x =-C ．22y x =+D ．23y x =-【例2】 直线22y x =+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的直线的解析式是 ．题型二 用待定系数法求函数解析式【例3】 若直线y kx b =+与直线22y x =+关于x 轴对称，则k b ，的值分别是（ ） A ．﹣2，﹣2 B ．﹣2，2 C ．2，﹣2 D ．2，2【例4】 已知二次函数图象经过点()13A ，、()02B ，、()53C ，三点，求此二次函数解析式．【例5】 已知一条抛物线的形状和2y x =相同且对称轴为12x =-，抛物线与y 轴交于一点()01-，，求函数解析式．题型三、一次函数与方程及不等式综合【例6】 已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．5x >B ．12x <C ．6x <-D ．6x >-【例7】 一次函数y mx n =+（0m ≠），当25x -≤≤时，对应的y 值为07y ≤≤，求一次函数的解析式．【练一练】已知一次函数y kx b =+，当31x -≤≤时，对应的y 值为19y ≤≤，求kb 的值．【例8】 如图，直线y kx b =+经过()21A ，，()12B --，两点，则不等式122x kx b >+>-的解集为______．BAO yx【例9】 已知一次函数y 6kx b =++与一次函数2y kx b =-++的图象的交点坐标为A （2，0），求这两个一次函数的解析式及两直线与y 轴围成的三角形的面积．题型四、二次函数的图像与性质【例10】（1）已知2y ax bx =+的图象如下左图所示，则y ax b =-的图象一定过（ ）A ．第一、二、三象限Ｂ．第一、二、四象限 Ｃ．第二、三、四象限Ｄ．第一、三、四象限（2）若二次函数222y ax bx a =++-（a b ，为常数）的图象如下中图，则a 的值为（ ）A. 2-B. 2C. 1D.2（3）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下右图所示，则点()P a bc ，在第 象限．yxOyxOyxO【练一练】（1）函数1y ax =+与()210y ax bx a =++≠的图象可能是（ ）1xyO 1xyO1Cxy O1xy O（2）在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是 DC B A xyO xyO xyO O yx题型五、二次函数在某区间上的值域与最值【例11】求函数()221f x x ax =+-在区间[]0,3上的最小值．【例12】设函数()22g x x =-()x ∈R ，()()()()()4,,,,g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩则()f x 的值域是（ ）．Ａ．()9,01,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U Ｂ．[)0,+∞， Ｃ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ Ｄ．()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U 题型六、二次函数与一元二次方程【例13】已知方程2210x px ++=的两个实根一个小于1，一个大于1，求p 的取值范围．【练一练】设二次方程()22120x a x a +-+-=有一根比1大，另一根比1-小，试确定实数a 的范围．【例14】已知方程20x ax b ++=的两根均大于2，求a b ，的关系式．【练一练】方程()2250x m x m +-+-=的两根都大于2，求实数m 的取值范围．题型七、二次函数与不等式恒成立问题 【例15】设23y x ax a =++-（1）当x 取任意实数时，y 恒为非负数，求a 的取值范围；（2）当22x -≤≤时，y 的值恒为非负数，求实数a 的取值范围．【练一练】函数()23f x x ax =++．（1）当x R ∈时，()f x a ≥恒成立，求a 得取值范围； （2）当[]2,2x ∈-时，()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围．【练1】 一次函数经过沿y 轴向下平移3个单位，在向右平移2个单位，所得的直线的解析式为()23y x =-，则原来的一次函数解析式为 ．【练2】 直线1l 是正比例函数的图象，将1l 沿y 轴向上平移2个单位得到的直线2l 经过点()11P ，，那么（ ）A ．1l 过第一．三象限B ．2l 过第二．三．四象限C ．对于1l ，y 随x 的增大而减小D ．对于2l ，y 随x 的增大而增大【练3】 一次函数y kx b =+的图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（ ）A ．0x >B ．0x <C ．2x >D ．2x <【练4】 已知二次函数()()222143y x m x m m =-++-+-，m 为非负整数，它的图像与x 轴交于A B ，两点，其中点A 在原点左边，点B 在原点右边． （1）求函数的解析式；（2）若一次函数y kx b =+的图像经过A 与二次函数图像交于C 又10ABC =V S ，求一次函数的解析式．【练5】 若方程2(1)2(1)0m x m x m -++-=的根都为正数，求m 的取值范围．【练6】 设二次函数2()(0),f x ax bx c a =++>方程()f x x =的两根12,,x x 满足1210x x a<<<． （Ⅰ）当1(0,)x x ∈时，求证：1()x f x x <<（Ⅱ）设函数()f x 的图象关于0x x =对称，求证：102x x <随堂练习xOy 32【题1】 已知二次函数过点()01-，，且顶点为()12-，，求函数解析式．【题2】 设抛物线为21y x kx k =-+-，根据下列各条件，求k 的值．（1）抛物线的顶点在x 轴上；（2）抛物线的顶点在y 轴上； （3）抛物线经过点(1,2)--； （4）抛物线经过原点；（5）当1x =-时，y 有最小值； （6）y 的最小值为1-．【题3】 已知二次函数2()0y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；② 方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个1Oyx课后作业【题4】 若一元二次方程2330kx kx k ++-=的两根都是负数，求k 的取值范围．【题5】 已知()[]2221f x x x x t t =-+∈+，，，若()f x 的最小值为()g t ，写出()g t 的表达式．。
高考数学 2.6 一次函数 二次函数与幂函数复习课件
解 方法一 设 f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，
4a＋2b＋c＝－1， 依题意有a4－ac4－ba＋b2c＝＝8－，1，
解之，得ba＝＝4－，4， c＝7，
∴所求二次函数为 y＝－4x2＋4x＋7.
内有一个最大值－5，求 a 的值．
思维启迪 二次函数在给定区间上的最值问题，要讨论
对称轴与给定区间的关系．
解 f(x)＝－4x－a22－4a，对称轴为 x＝a2，顶点为
a2，－4a. (1)当a2≥1，即 a≥2 时，f(x)在区间[0,1]上递增．
∴ymax＝f(1)＝－4－a2.令－4－a2＝－5，
学生解答展示
解
当a 0时, f (x) a(x 1)2 2 1
a
a
1a f
1 (1)
a
2
2
或1
1 a
0
f
(4)
4 2
1 a
0
或1a4 f (4)16a820
a
a
1 0
或
1
4
a
a
1 2
1
或
a
a
1 4 3 8
a 1或 1 a 1或 .即 a 1
2
2
当
a
0时
,
§2.6 一次函数、二次函数与幂函数
基础知识 自主学习
要点梳理 1．一次函数、二次函数的图象及性质
(1)一次函数 y＝kx＋b，当 k>0 时，在实数集 R 上是 增函数，当 k<0 时在实数集 R 上是减函数．b 叫纵截 距，当 b＝0 时图象过原点，且此时函数是奇函数； 当 b≠0 时函数为非奇非偶函数．
二次函数_课件
(1)y=3x²+2
是
(3)y=(x-2)(x-3) (5)y=(x+2)(x-2)-(x-1)²
不是 是
不是 不是
练习 下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1
(2)y=3x²
(3)y=3x³+2x²
(4)y=2x²-2x+1 (6)y=x²-x(1+x)
答案：只有（2），（4）是二次函数．
正比例函数
y=kx
k≠0
二次函数
y=ax²+bx+c
a≠0
函数的名称都反映了函数表达式与自变量的关系
例题 下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1 （是）
（否）
(3) s=3-2t²
（是）
（否）
(5)y=(x+3)²-x² （否） (6)v=10πr²（是） (7) y=x²+x³+25 （否） (8)y=2²+2x（否）
九 年 级 数 学 上册
第二十二章 二次函数
精品 课件
二次函数
人教版
初三数学
上册
第二十二章 二次函数
《 二次函数》
人教版
教学目标 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．
教学重点 理解二次函数的定义．
教学难点 能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系．
知识回顾
什么叫函数？
在某变化过程中的两个变量x、y， 当变量 x 在某个范围内取一个确定的值， 另一个变量 y 总有唯一的值与它对应． 这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系． 对于上述变量x 、y，我们把 y 叫 x 的函数．x 叫自变量， y 叫因 变量． 目前，我们学习过哪几种类型的函数？
二次函数的图像和性质演示文稿(共81张PPT)
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
顶点是最高点
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
探究
画出二次函数
y 1(x1)2 2
y 12(x、1)2
的图像,并考虑它们的开口方向、对称轴和顶
点.
解:列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y1(x1)2 … -2
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 …
问题1：当自变量x取同 一数值时，这两个函数 的函数值之间有什么关
系?反映在图象上，相应
的两个点之间的位置又
口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．
y＝ax2
向上 y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝ 2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否
相同?它们有什么关系？我们应该采取什么 方法来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象，并
加以比较
y2x2 1
y 2x2
x … –1 –0.6 –0.3 0 0.3 0.6 1 …
y=3x2 … 3 1.08 0.27 0 0.27 1.08 3 …
y=3x2–1 … 2 0.08 –0.73 – 1 –0.73 0.08 2 …
（2）二次函数 y=3x²－1 的图象
与二次函数
y=3x²的图象有
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
一次函数、二次函数、幂函数模型的应用举例 课件
x2
300x
20
000 0
x
400，
60 000 100x x 400.
(2)当0≤x≤400时，f(x)=- 1(x-300)2+25 000,
【典例训练】
1.某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.6万元，
但每生产100台时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元，
市场对该机器的需求量为1 000台，销售收入(单位：万元)函 数为：R(x)=5x- 1 x2(0≤x≤10)，其中x是产品的数量(单位：
2
百台),则利润f(x)表示为产量的函数为________.
【解析】1.由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万
元，代入y=xα中，即3α=27，解得α=3，故函数关系式为
y=x3.所以当x=5时，y=125.
答案：125
2.(1)由题意可得R=kr4(k>0)；
(2)由r=3，R=400，可得krR=4
400，则流量速率R的表达式为
81R=400ຫໍສະໝຸດ .r42.某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有电 脑6台，乙分公司有同一型号的电脑12台.现A地某单位向该公 司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的 电脑8台.已知甲地运往A、B两地每台电脑的运费分别是40元和 30元，乙地运往A、B两地每台电脑的运费分别是80元和50元. (1)设甲地调运x台至B地，该公司运往A地和B地两地的总运费 为y元，求y关于x的函数关系式; (2)若总运费不超过1 000元，问能有几种调运方案？ (3)求总运费最低的调运方案及最低运费.
(2)若使y≤1 000，即20x+960≤1 000，得x≤2. 又0≤x≤6，x∈N，∴0≤x≤2，x∈N. ∴x=0,1,2，即有3种调运方案. (3)∵y=20x+960是R上的增函数，又0≤x≤6且x∈N， ∴当x=0时，y有最小值，为960. ∴总运费最低的调运方案为从甲地调运6台到A地，从乙地调运 8台至B地，调运4台到A地，运费最低为960元.
一次函数与二次函数
解 (1)由题意知，2x＋1≤3，解之，得 x≤1；
(2)因 y∈[ －3,3] ，所以－3≤2x＋1≤3，
解之，得－2≤x≤1；
(3)一次函数 y＝2x＋1 (0,1)，
1 与两个坐标轴的交点分别为－2，0、
1 1 1 所以图象与两坐标轴围成的三角形的面积 S＝2×2×1＝4.
当 a<0 时，函数 y＝ax2(a≠0)的图象张口向下，|a|越小图象 开口就越大，|a|越大图象开口就越小．
探究点二
二次函数的性质 1 2 例 1 试述二次函数 f(x)＝ x ＋4x＋6 的性质， 并作出它的图象． 2 1 2 1 1 2 解 (1)配方 f(x)＝2(x ＋8x＋12)＝2[(x＋4) －4] ＝2(x＋4)2－2. 1 由于对任意实数 x，都有2(x＋4)2≥0，因此 f(x)≥－2，当且仅
3.一元二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质：当 a>0 时，函 b b 数在区间 ( －∞，－ ] 上是 减函数 ，在 [ － ，＋∞) 上 2a 2a 4ac－b2 b 是增函数 ，当 x＝－ 时，ymin＝ ；当 a<0 时，函数 2a 4a b b 在区间(－∞， － ]上是增函数， 在[ － ， ＋∞)上是减函数 ， 2a 2a 4ac－b2 b 当 x＝－ 时，ymax＝ . 2a 4a
跟踪训练 1
解析
函数 y＝2mx＋3－m 是正比例函数， 则 m＝_____. 3
由正比例函数的定义可知，2m≠0，
且 3－m＝0，所以 m＝3.
例2
已知一次函数 y＝3x＋12.
求：(1)一次函数 y＝3x＋12 的图象与两条坐标轴交点的坐 标； (2)x 取何值时，y<0? (3)当 y 的取值限定在(－6,6)内时，x 允许的取值范围．
一次函数反比例函数及二次函数课件
考点 2 含参数问题的讨论 师生互动 考向 1 区间固定对称轴动型 [例 1]已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，求 f(x)在[－5，5]上的最 大值与最小值. 解：f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2，x∈[－5，5]，对称 轴为直线 x＝－a. (1)当－a＜－5，即 a＞5 时，函数 f(x)在[－5，5]上单调递 增，如图 2-8-2(1)， ∴f(x)max＝f(5)＝52＋2a×5＋2＝27＋10a，
根据图象知，A 选项 b＝0 不对 ； B 选项，若 g(x)成立，则 a>0，b>0，－ 2ba<0，此时 f(x)图 象不对；
C 选项，若 g(x)成立，则 a<0，b>0，－ b >0，此时 f(x)图 2a
象不对；
D 选项显然是正确的，故选 D. 答案：D
2. 设 abc ＞0，二次函数 f(x) ＝ax2 ＋bx ＋c 的图象可能是 ()
∴f(10)－f(t)＝12－t，即 t2－17t＋72＝0.
解得 t＝8(舍去)或 t＝9.∴t＝9. 综上所述，存在常数 t＝15－2 17或 t＝8 或 t＝9 满足条件.
【考法全练】 2.(多选题)一般地，若函数 f(x)的定义域为[a，b]，值域为[ka， kb]，则称[a，b]为 f(x)的“k 倍跟随区间”；特别地，若函数 f(x) 的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为 f(x)的“跟随
(2)二次函数在给定区间[m，n]上的最值求解，常见的有以 下四种情况：
①对称轴与区间
③定轴动区间，即对称轴是确定的，区间[m，n]不确定；
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Y
A
B
2 4 X
直线与X轴、Y轴的交点坐标 解 当Y=0时， - 3/2 x+8=0 解得：X=16/3。
Y
所以与X轴的交点P的坐标为：
（16/3，0） 当X=0时，Y=8 所以与Y轴的交点Q的坐标为：
5
（0，8） Q
A
2
B
P
（0，8）
O
2
（16/3，0）
4
X
Rt△PQO的面积 解： Rt△PQO的面积 =1/2（OP╳OQ） =1/2（16/3╳8） =64/3
所以与y的坐标为（0，6）
4、当x取什么值时，y=0、 y 〉0、y〈 0
解：当x=1和x=3时， y=0 当x 〉3或 x 〈1时， y 〉0 当1〈 x 〈3时， y 〈 0
O
Y
B （ 3， 0 ）
X
A（2，-2）
记住：要求当x取什么值时，y 〉0、y〈 0， 先求x什么值时，y=0； 因为它是y 〉0、y〈 0的分界点
一次函数
与二次函数
大家知道，一次函数和二次函数， 在中考中占相当的比重，今天我通过 两个例题，把一次函数和二次函数中
经常遇到的问题归纳总结一下
已知如图，从图上所给的信息， 你可以获得哪些结论： Y
5 解析式 面 积 2 方程的解 Y的取值 O
A
B
2 4 X
交点坐标
两点的距离
A、B两点的距离
Y
解：在Rt△ABC中，
5
A
∵ AC=5-2=3，
BC=4-2=2
2
C 2 4
B
O
X
2 2 2 2 ∴AB= AC BC 3 2 13
直线的解析式 解：设直线的解析式为 y=kx+b 5 ∵ A（2，5），B（4，2） 2 在直线上 ∴ 5=2k+b O 2=4k+b 解得 k= - 3/2 b=8 ∴直线的解析式为 y= - 3/2 x+8
（4）S△EBC ：S△EOB = BC ：OB
D
O B
C
X
A（2，-2）
（5）S△EOC=1/2（OC×OE） 注意：求三角形的面积，必须确定好三角形的底
和对应底上的高
大练兵
在直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2） 如果C点在X轴上（C与A不重合），当点的坐标 为 或 时，使得由点A、 O、C组成的三角形与三角形AOB相似
5
A
2
B
2 4 X （16/3，0）
O
即为直线与X轴交 点的横坐标
已知一条抛物线的顶点坐标为A（2，2）， 并且又过点B（3，0）。从以上的已知条件， 你能得到哪些不同的结论？
Y
解析式
面 积
y 随x值 的变化
Y的取值
B （ 3， 0 ）
O
对称轴及
X
A（2，-2）
交点坐标
函数的最值
1、抛物线的解析式及函数的 图象
O
Y
B （ 3， 0）
X
A（2，-2）
记住：对称轴是顶点坐标横坐标所在的直线；最
值是顶点坐标的纵坐标。
3、与x轴、y轴的交点坐标
解：当y=0时，2(x-2)22=0 解得x1=1，x2=3
Y
所以与x轴的交点坐标是
（1，0）、（3，0） 当x=0时，y=2(0-2)2-2=6
O
B （ 3， 0）
X
A（2，-2）
Y
（0，8） Qຫໍສະໝຸດ 5A2B
P
O
2
（16/3，0）
4
X
Y的取值 解：当X =16/3时， Y=0 当X 〉16/3时，Y 〈 0 当X 〈 16/3时，Y 〉0
Y随X值的增大而减小 直线与X轴的交点坐标 是确定Y的取值的关键
Y
5
A
2
B
2 4 X （16/3，0）
O
Y
方程 -2/3X+8=0 的解 解：方程的解是 X=16/3。
Y 5 2 O
B （0，2） A （4，0）
2 4 X
5、y 随x值的增大将如何变化
解：当x 〈2时y 随x值的增大
Y
而减小；
当x 〉2时y 随x值的增大
而增大；
B （ 3， 0） O A（2，-2）
X
记住：物顶必反
6、求三角形的面积
（1）S△ABC=1/2（BC×AD） （2）S△EBC=1/2（BC×OE）
E
Y
（3）S△EOB=1/2（OB×OE）
解：设抛物线的解析 式为y=a(x-2)2+2,因为 抛物线过点B（3， 0），所以得 0=a(3-2)2-2 a=2
Y
B （ 3， 0 ）
O A（2，-2）
X
所以抛物线的解析式 为：y=2(x-2)2-2
2、抛物线的对称轴及 函数的最值
解：因为顶点坐标是（2， -2），所以对称轴是x=2； 因为a = 2 〉0，所以函数有 最小值即y = -2