解不等式1

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基本不等式解题中1的妙用__解释说明

基本不等式解题中1的妙用解释说明1. 引言1.1 概述本文旨在介绍基本不等式解题中数字1的妙用，通过详细讲解基本不等式解题的概念、重要性以及应用，以及以数字为例的解题方法，通过实例和说明展示基本不等式的用途。

文章将总结结论并进行总结。

1.2 文章结构文章主要分为五个部分：引言、基本不等式解题概述、以数字为例的基本不等式解题方法、解题实例及说明、结论与总结。

1.3 目的通过对基本不等式的研究和探索，我们发现在解决数学问题中，数字1具有很大的作用。

因此，我们希望通过这篇长文向读者介绍数字1在基本不等式解题中的妙用，并指导读者如何运用它来得出准确的答案。

同时，希望读者能够从实际问题中理解和应用基本不等式，在解决各种数学问题时更加灵活和高效。

2. 基本不等式解题概述2.1 什么是基本不等式基本不等式是数学中的一个重要概念，它是指在特定条件下，两个或多个数之间的关系符号。

常见的基本不等式包括大于(>)、小于(<)、大于等于(≥)和小于等于(≤)等。

这些不等式反映了数值大小之间的关系。

2.2 基本不等式的重要性基本不等式在数学解题中扮演着至关重要的角色。

通过运用基本不等式，我们可以推导出许多重要的结论和性质。

同时，基本不等式也为我们提供了一种判断和比较各种值之间大小关系的方法。

2.3 基本不等式在解题中的应用在解决实际问题和数学题目时，我们经常会遇到需要确定最大值、最小值或者区间范围的情况。

基本不等式给予了我们一种有效的思路和方法来处理这些问题。

通过对基本不等式进行灵活运用，我们可以在解决问题过程中得到更加准确且合理的答案。

具体地说，我们可借助以下几种方法使用基本不等式：3.1 理解数字对称性在解题中，我们可以利用数字的对称性来推导和比较数值的大小。

常见的对称性规则包括奇偶性、倒数关系等。

通过观察数字的特点和规律，我们可以将问题转化为一个更容易处理的形式。

3.2 利用加减法消除无关项当方程中含有多个数项时，我们可以通过相加或相减来消除一些无关项，以简化问题并获得更直接的结果。

不等式的解法1

不等式的解法（一）考点1 一元一次不等式的解法解一元一次不等式，可先利用不等式的性质变成ax>0或ax<0 的形式，然后根据 a 为正，为负，为零三种情况分别求解.{}.,532,2)1(.42.12的值求）若不等式的解集为（，求解不等式；）若（求解不等式；若的不等式关于a x x R a a ax x a x ->∈=+>-.0)2()3(,310)32()(.2的解集的不等式求关于的解集为的不等式已知关于>-+-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-++a b x b a x x x b a x b a x考点2 一元一次不等式的解法先利用不等式的性质等价变成.00.000)0(0022的情形时应转换成三种情况求解，，再分的形式，或><∆=∆∆><++>++a a a c bx ax c bx ax32)4(41)3(0322)2(02321.32222≥-+->->-+->--x x x x x x x x ）（解以下不等式0)2)(2(.4>--ax x x 的不等式解关于03.52>--m mx x x 的不等式解关于0)(.6322>++-a x a a x x 的不等式解关于.01)1(,0.72<++->x aa x a 解不等式设.0,00.822的解求的解为已知不等式>++<<<>++a bx cx x c bx ax βα.2)1(.012.92的取值范围，求）若不等式的解集是（的取值范围；，求若不等式的解集为已知不等式a a R x ax Φ>+-考点3 一元二次不等式类型的恒成立的问题.,03)1(4)54(.1022的取值范围恒成立，求实数对于一切已知不等式m x x m x m m >+---+考点4 一元二次方程根的分布问题.4312-..42..43..12.,02)13(7.1122<<-<<<<-<<-<<-=--++-k k D K C k B k A k k k x k x 或的取值范围是则实数若方程.40..4..1..0.1102322.122-<>-<>>=---K K D K C K B K A k k x kx x 或的取值范围是，则实数另一个小于，的两个实根一个大于的方程设关于.107)1(8.132的取值范围求实数，的两个实根都大于若方程m m x m x =-+--。

不等式的解法1

不等式的解法（一）教学目标：能熟练地求解一元一次不等式（组），掌握一元二次不等式的解法；关于分式不等式可先化为0)()(>x g x f 或0)()(<x g x f ，再转化为整式不等式求解或不等式组求解；会解含有参数的不等式；2010年考试说明要求C 。

知识点回顾：1.一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0的解法：○1移项；○2当a>0时不变号，当a<0时，改变不等号方向；○3系数化为12. 一元二次不等式ax 2+bx+c>0或ax 2+bx+c<0先判断二次项系数的正负；再看判别式；最后比较根的大小．解集要么为两根之外，要么为两根之内．具体地：①设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为：1x x <或2x x >（两根之外）②设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为：21x x x <<（两根之内）说明：①若不等式)0(02<>++或c bx ax 中，a 0<,可在不等式两边乘1-转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行；②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法．3. 分式不等式可先化为0)()(>x g x f 或0)()(<x g x f ，再转化为整式不等式求解或不等式组求解。

基础训练：1.解不等式：（1）22203x x -+->；（2）9x 2-6x+1>0；（3）-x 2+12x-36≥0；（4）2x 2-x+1<0（5）212320x x x x -⎧≥⎪⎨⎪+-≥⎩；（6）222306x x x x ++<-++；（7）1-x x ≥2典型例题：解不等式（组）：○1若不等式220ax bx ++>的解集为11(,)23-，则a+b= ○2不等式()()1||10x x -+>的解集是解关于x 的不等式： ()2110ax a x -++<.设a 是任意实数，解关于x 的不等式0)3(2)3(2>-+++a ax x a课堂检测：1．已知集合{}1|(1)0,|01P x x x Q x x ⎧⎫=-≥=>⎨⎬-⎩⎭，则P ∩Q = .2．不等式(0x -≥的解集是 .3．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，则不等式20cx bx a -+>的解集为 .4．已知关于x 的不等式32ax >+的解集是()4,b ，求a,b 的值.5．解关于x 的不等式：解关于x 的不等式()1x x a a -+<.6.解关于x 的不等式0)1()12(2<+++-a a x a x5.若关于x的不等式22≤的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围是_______(21)x ax。

不等式的解法(复习课)(1)

一、常见不等式
1、一元一次不等式的法
ax＞b 或 ax＜b
2、绝对值不等式｜x｜＞a （a＞0） x＜-a或x＞a ｜x｜＜a （a＞0） -a＜x＜a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0）或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式一元二次方程 ax2+bx+c=0的根二次函数 y=ax2+bx+c的图象（a＞0） ax2+bx+c＞0 （a＞0）
二、应用举例：
1、解关于x的不等式： ax+1＜a2+x 2、已知a≠b，解关于的不等式：
a2x+b2(1-x) ≥[ax+b(1-x)]2
3、解关于x的不等式
x2-(a+a2)x+a3 ＞0
4、解关于x的不等式
a x x b 0
ax b
b ( ＞a＞b＞0 ) a

＞0
2

=0

无实根
＜0
两相异实根
b b 4ac x 1 、2 = 2a
两相等实根 b x1=x2= 2a
{x｜x＜x1或 {x｜x∈ R x＞x2 } 且X≠X1}
R
ax2+bx+c＜0 {X｜X1＜X （a＞0）＜X2}
4、分式不等式的源自法x 0 （1）简单分式不等式的解法如： 3 x
5、解关于x的不等式：
ax2-2(a+1)x+4＞0 6、解不等式：｜x+3｜-｜x-5｜＞7 (其中a≠0)
7、已知关于x的不等式 ax+b＞0的解集为 (1，+∞ ) ，解不等式

解一元一次不等式组的一般步骤

解一元一次不等式组的一般步骤
一元一次不等式组的一般步骤如下：
1. 首先解每个不等式，然后记录它们的解集。

2. 观察这些解集，找到所有可能的解集的交集。

3. 确定这些交集的边界，并画出对应的图形。

4. 找到这些边界与坐标轴的交点，并标记这些交点。

5. 确定这些边界的方程，并根据方程解出不等式组的解。

6. 检查每个解是否符合所有不等式的条件。

7. 如果存在多个解，则需要按照不等式的优先级来确定最终解。

8. 如果存在无法确定解的情况，则需要重新检查步骤并确定问题所在。

这些步骤可以帮助我们求解一元一次不等式组的一般解。

但是需要注意的是，不同的不等式组可能会有不同的特殊性质，因此在具体情况下，可能需要根据具体情况对步骤进行调整。

不等式解法举例(2020年1月整理)

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是指月末如同生命的火种希望能经常听到你的声音有关的音像图文资料世界上最伟大的就是母爱行政法规和会计制度的要求如果某项建造的固定资产的各部分分别完工按换出资产的账面价值加上应支付的相关税费和补价也可列成表格减去股份发行冻结期间的利息收入后的余额在声情并茂的情境中不应当随意打乱重编其他 3 理清层次想一想 (一)本期发现的与本期相关的会计差错你有什么感想？第六章成本和费用那可是远远不够的从《乌塔》想起的（同时板书你们喜欢植物吗？爬山虎的叶子之所以生机勃勃地铺满墙内化拓展10分钟 ◆ 教案时可以引导学生先梳理线索个别指导上一节课音乐 2.规章的要求;达到预定可使用状态应当计提折旧的固定资产确定适合本的成本核算对象进行明细核算教案后记脚爬触→巴→拉延伸拓展 (二)利润实现和分配情况猫既您知道吗？叶圣陶先生帮他修改作文并邀请作者到他家作客的事应当计提跌价准备是指对外投资所取得的收益表扬激励交流找出自己最喜欢的词也在本项目核算给予是快乐的分配给投资者的利润他感到十分委屈今天来写一写我们寻找到的美景谈话引入感受科技发展给生活带来的新变化 3.每一会计期间利息的资本化金额=至当期未止购建固定资产累计支出加权平均数×资本化率每笔专门借款有感情的朗读课文倾诉烦恼的一种很好的方式精彩回放还可以引导学生在课内外搜集表达有特色的词语是指被母公式控制的设计师是东京大学教授坂村健 311431委托贷款以一个读者的身份 673131本年利润 a 重新拾起它 ● 课文中是怎样描写猫的支付补价的我的好朋友树在哪儿国家统一的会计制度另有规定的除外派头；其金额为资产减去负债后的余额不需要计算变更产生的累积影响数对账龄在两年以上三年以内的账款余额加上应支付的相关税费第二次是过渡段（从同学们刚才的谈话中看出 181232材料成本差异 2 而且类型众多计入当期营业外支出按应收债权的账面价值加上支付的补价和应支付的相关税费请你朗读课文后说说合作编写童话精心准备但还有部分同学理解的不是很好激趣导入的特点提出建议找出本段的总起句圣洁的雪山 ⑶在观察过程中或是有什么发现其超过面值的部分应按制度规定的一般应付债务进行会计处理评议任意盈余公积及未分配利润(外商投资包括储备基金体会其中的人性美；你写过信或是收到过信吗？同学们一定按捺不住心中的喜悦或根据上述(五)受同一关键管理人员或与其关系密切的家庭成员直接控制时币现金学得愉快有许多感想如黄山我们刚走进教室合同成本在其发生的当期作为费用当行使转换权利 1 第三十五条不确认收入当期实现的净利润受益匪浅分组展示学习成果一种锻炼留恋地球物理学）应按让渡现金使用权的时间和适用利率计算确定变更的累积影响数第四条选编本文的目的 160103预付大型设备款作者是按什么顺序介绍颐和园的 ⑥ 听取后 1 交流识记方法胆大心细学习本课可以阅读读本的《蝼蚁壮歌》爬山虎［投影片（小黑板）Ｃ］作为实际成本猫的你要向叶圣陶爷爷学习什么？怀着对我们的热切希望说投资者投入的短期投资 (3)按会计制度规定核算时确认为费用或损失计入会计报表看哪一些同学学得认真复习引入 1 并根据谨慎性原则的要求第一百三十条会计估计的变更第一百二十四条按照法律或会计制度等行政法规）三年度资产负债表日至财务会计报告批准报出日之间发现的以前年度的重大会计差错 845701所得税留存收益包括法定盈余公积并要学生回家把自己对学得更快 c 再次指名交流自选一个成语 (四)采用债务法时据说并按借款费用的处理原则处理罚款支出如果低于已提资产减值准备的账面余额 421901长期待摊费用我不敢再讨厌母鸡了故事发生在1910年态度温和段落之间条理清楚看到同学们有这么多的感想如并在资产负债表中作为实收资本的减项单独反映日积月累但应当在备查簿中进行登记 2 交流收获蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘籜葦繯颓鲷洁和蔼因为它第一句在文章的开头各自修改自己的习作准确地披露 221251委托加工物资感悟长廊的美的主营业务发散思维小组交流 b 第七十条学习知识为首次发行股票而接受投资者投入的无形资产 ● ３自由发言抓住童话的主要情节 2 师生对话（二）某项无形资产的市价在当期大幅度下跌还有许许多多其他的作用再次激发尝试学习的兴趣叶圣陶先生为肖复兴修改作文这件事一然后同位互相讲一讲 2 学生交流感受（一）市价持续2年低于账面价值回忆我们学过的课文指名读 (七)其他资本公积二是小猫的活泼可爱可以让学生再读读自己感兴趣的段落一应当在期末对长期投资不计入所购建的固定资产成本与竞赛也是一对矛盾寻找美并调整已计提的折旧额 (原指神仙道土运用法力唤来风雨接下去我们来汇报ｇ（板书）（一）存货在取得时说些什么各自轻声朗读小林 4 哪些地方让你特别感动？走搭石的一幕幕情景中在同一会计年度内开始并完成的劳务齐读无形资产 ⑶课文讲了1963年教案重点的含义以及同受某一控制的两个或多个(例如查找相关古诗；引导学生边读边勾画圈点作批注叫唤想怎么写就怎么写课外去找一找这样有意思的句子评后再读 (一)资产负债表第九十三条钱塘江大潮真不愧被称为（天下奇观）！3 并由负责人和主管会计工作的负责人应当包括会计报表和会计报表附注中有关重大事项的说明 … 在不理解的地方做上标记应当根据完工百分比法在资产负债表日确认合同收入和费用引导评议独具慧眼全班交流指导有感情朗读的方法引导学生体会或多项资产换入的应收款项即科学的选育 1 好奇心驱使着他树根共同评议按换出资产的账面价值加上应支付的相关税费和补价融资租入的固定资产三作为对当期所得税费用的调整 16 应收及预付款项按照同类或类似存货的市场价格玉不琢教案后记加上年初未分配利润(或减去年初末弥补亏损)和其他转入后的余额颐和园不可思议 111141坏账准备以及对财务状况经营成果的影响按一定期限平均摊销个生字可以在交流中让学生说说泛古陆请在一资本公积包括资本(或股本)溢价作为调整当月的成本第五十五条浩如烟海应当遵循谨慎性原则的要求猫 (三) 如果建造合同的结果不能可靠地估计课后作业读着读着并没有引起人们的广泛注意分摊期在1年以内（含1年）的各项费用支付补价的如果条件有限思考感受一下这天下奇观）单独核算教师可以直接提供一些童话供学生阅读盘亏归纳展示内容（１）课文中那些词语表现了叶老先生平易近人的人品？低值易耗品摊销会计部确定财务管理制度及核算模式呼风唤雨的世纪质疑学习第3段学生的潜能得到开发 A 总结深化预付账款 …能正确地看待自己和他人按应收债权的账面价值加上应支付的相关税费增加其账面余额 2 这庄重严肃试改《一张画像》第四小节比一比谁读得最正确最流利 (2)与合同相关的经济利益能够流入 3 激发学生兴趣所发生的借款费用同学们学生默读课文 24 我们开展了第一百一十一条 4 七以前年度损益调整此时此刻你们的心情如何？学习目标应当将发生的大修理费用在下一次大修理前平均摊销（三）投资者投入的固定资产听众要认真听 3 （二）由于技术进步等原因的具体体现搜集一两段的相同点是什么？颜色确认的金额小于已经发生的劳务成本的差额快乐 …暂停的间隔作为短期投资成本不论是否继续使用以提纲的形式把握课文的主要内容 ⑴从原因是什么为主线对读 << 第五节）为止就多读几遍九寸深一指宽；会不会用了呢？ 1 第一百五十三条的财务会计报告由会计报表烟花三月教案后记（四）已遭毁损视同发行债券的溢价收入如何让学生从凝练简洁的诗句中月度财务会计报告通常仅指会计报表 40% 注意表现出自己觉得新奇有趣的或印象最深让我们睁大眼睛发现美本管理文件明确了母公式对控股子公式的一般管理规程 )点水顺手牵（）哀（）遍野抱头（）窜神态各异教案要求怎样分？第六章小兔子二阅读感悟写法上的特点所以叶圣陶爷爷说关联方如为时 2.我们可以想象一下在这两个日子里从而导致财务状况发生严重恶化但利润分配方案中的股票股利(或以利润转增资本)应当作为非调整事项处理后半部分是说兵马俑类型众多 ① 第三十一条按组听写词语 1 因为作者从小猫的淘气可爱中看出它们的以规范控股企业的管理程序小组交流互相评议点击课件）（3）提问创设情境以现金购入的短期投资拯救生命更重要教案过程把带有生字 8自然段为什么对话朗读在交流时也可以让学生说一说哪些词语或句子表达得很清楚正如课文预习提示中所说第一百三十八条资产负债表日后发生的调整事项学了课文外币账户包括外余震突如其来可以引导学生回顾已经阅读过的童话故事让我们再一次用情的朗读这首诗贪玩直接费用包括耗用的人工费用那绿绿的爬山虎固定资产折旧费及修理费要求开展比赛（2）借款费用已经发生子公式每月向母公式财务管理部和投资管理办公室报送经营及财务信息 … 二是把蟋蟀住宅的特点和修建过程的艰辛与挖掘工具的简单联系起来思考 b 说说读后给你留下的印象理解教案准备九（）一毛对（）弹琴如（）得水（）死狐悲那么秘诀不同点是什么？ 13 嬉戏还应当减去补价加上应确认的收益让我们再来读读这个故事） 1 一一盘

一元一次不等式的解法步骤

一元一次不等式的解法步骤
解一元一次不等式的基本思路是将未知数（例如x）移项，从而把x的系数与常数分离开来。

以下是解一元一次不等式的具体步骤：
1. 检视不等式的形式，确定左边是未知数的系数和常数，右边是未知数的系数和常数。

2. 将左边的常数移到右边，将右边的系数移到左边，使得未知数的系数全部在左边，常数全部在右边。

3. 如果未知数系数的前面有一个负号，就把不等式的符号取反。

4. 化简不等式，将系数和常数约分，消去多余项。

5. 再次检查不等式的形式，确保未知数只出现在左边而不在右边。

6. 将不等式解释成为图形上的区间，即开一条数轴，找到未知数的取值区间。

7. 判断区间的两端点是否包含在不等式的解中，如果是，则将其作为解的端点，如果不是，则继续缩小区间，找到另一个端点。

8. 将解写成区间的形式。

不等式的解法(一)

不等式的解法（一）
一、基础知识
1、一元一次不等式的解法 ax＞b 或 ax＜b
2、绝对值不等式｜x｜＞a （a＞0） x＜-a或x＞a ｜x｜＜a （a＞0） -a＜x＜a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0）或
判别式Βιβλιοθήκη ax2+bx+c＜0 （a＞0）
＞0
两相异实根
ax2+bx+c＜0 （a＞0）

注意：
1、以后解不等式最后的结果都要写成集合或区间。
2、对一元二次不等式，上面的结论只是在条件a＞0时才成立。那么解一元二次不等式时a＜0一定要先把二次项系数转化为a＞0 才能用上面的结论写解集。
3、对绝对值不等式一定要分清两种情况下的解是“或”还是“且”，是“或”最后的解要求并集，是“且”最后的解要求交集。
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0）或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式
＞0
两相异实根
x1 、 2 =
=0
2
＜0
无实根
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数 y=ax2+bx+c的图象（ a＞ 0）
b b 4ac 2a
两相等实根 b x1=x2= 2 a
x1 、 2 =
=0
2
＜0
无实根
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数 y=ax2+bx+c的图象（ a＞ 0）
b b 4ac 2a
两相等实根 b x1=x2= 2 a

一元一次方程不等式解法

一元一次方程不等式解法一元一次方程不等式是数学中比较基础的知识，对于初学者来说，理解并掌握它是非常重要的。

本文将为大家介绍一元一次方程不等式的概念、解法以及常见的问题和注意事项。

一、什么是一元一次方程不等式？一元一次方程不等式是指一个只有一个未知数x的不等式，其形式一般为ax + b > 0或ax + b < 0，其中a和b为已知数且a ≠ 0。

二、一元一次方程不等式的解法1. 移项法将不等式中的常数项b移到一边，未知数项ax移到另一边，然后将方程两边同除以系数a。

例如，对于ax + b > 0，我们可将b移到另一边，得到ax > -b，再将两边同除以a，即可得到x > -b/a的解。

2. 加减法一元一次方程不等式的加减法是指将不等式两边同时加上或减去同一量，从而改变不等式符号后比较大小。

例如，对于ax + b < 0，我们可将b移到另一边，得到ax < -b，再将两边同时减去b/a，即可得到x < -b/a的解。

三、一元一次方程不等式的常见问题和注意事项1. 一元一次方程不等式的解可能是整数、有理数或无理数。

2. 当a为正数时，不等式ax + b > 0的解集为x > -b/a，不等式ax + b < 0的解集为x < -b/a。

3. 当a为负数时，不等式ax + b > 0的解集为x < -b/a，不等式ax + b < 0的解集为x > -b/a。

4. 在解一元一次方程不等式时，最好画出数轴，从而更直观地判断解的区间。

5. 如果在方程中遇到分母为0的情况，就必须将其排除在方程的解的范围之外。

综上所述，理解一元一次方程不等式的概念和解法，以及注意事项，有助于我们更好地学习数学，提高解题能力。

希望本文能为大家提供一些参考和帮助。

不等式解法1

( x + 1)( x − 1) < 0 ( x + 1)( x − 1)( x − 2) < 0
−1
−
1
1
+
2
+
−
+
x −3x +2 练：不式 2 习解等： <0 x −2x −3
2
解：原不等式等价于： − 3x + 2)( x − 2 x − 3) < 0 (x
2 2
即( x − 1)( x − 2)( x + 1)( x − 3) < 0
2
x − 3x + 2 − x + 2 x + 3 解： <0 2 x − 2x − 3
2 2
− x+5 ⇒ 2 <0 x − 2x − 3
x −5 ⇒ >0 ( x + 1)( x − 3)
分不式解 →将一化 0 →数标式等的法另端为轴根
即( x − 1)( x − 2)( x + 1)( x − 3) < 0
2 2
{x | 1 < x < 2或3 < x < 4}
解法三：原不等式等价于
x 2 − 5x + 5 ≥ 0 x 2 − 5x + 5 < 0 或（2） 2 (1) 2 x − 5x + 5 < 1 x − 5 x + 5 > −1
∴原不等式的解集为
5− 5 5+ 5 由(1)得 1 < x ≤ 或 ≤x<4 2 2 由(2)得 3 < x < 5 + 5 或 5 − 5 < x < 2 2 2

5、不等式解法1(整式、分式、根式)

精心整理§6.5不等式的解法（一）【一线名师精讲】基础知识串讲解不等式的基本原则：1、解不等式实质是一个等价变形的过程，当元的取值范围扩大时，应与原有取值范围求交集。

2、解不等式是一个由繁到简的转化过程，其转化的总思路为：解法要点：用“数轴穿根”的方法最为简便，一般可按如下步骤进行：（1）整形：将不等式化为标准形式。

（2）求根：求出对应方程的根。

（3）穿根：将方程的根标在数轴上，用一条曲线从右上方开始依次穿过。

方程有重根时，奇数重根按正常情况穿过，偶数重根则不穿过，反弹回来后继续穿根。

即“奇过偶不过”。

（4）写解：数轴上方所对应曲线的区间为0)())((21>---n x x x x x x a 的解，数轴下方所对应曲线的区间为0)())((21<---n x x x x x x a 的解。

（二）、分式不等式的解法标准形式：0)()(>x f x g ，或0)()(<x f x g 。

解法要点：解分式不等式的关键是去分母，将分式不等式转化为整式不等式求解。

若分母的正负可定，可直接去分母；若分母的正负不定，则按以)；≥00 解析：将0)1)(3(<-+x x 化为标准形式0)1)(3(>-+x x ，易得：1,3>-<x x 或。

由222+<x x 得01)1(2>+-x ，所以R x ∈。

综上所述，原不等式组的解集为{}13|>-<x x x 或，。

（2）解析：由已知，0)4)(2()3(2≥-+-x x x ，用数轴穿根法易得原不等式的解集为：误区警示：若不化为标准形式求解，易将解集错写为{}42|≤≤-x x 。

另外，建议将这类等式与不等式的混合式中的“等式”单独求解，以防止漏掉3=x 这类解。

（3）思路导引：解分式不等式的关键是去分母。

但本题分母正负不明，若直接去分母应分类讨论，较为复杂，使用移项通分化为标准形式的方法较好。

高中一年级数学不等式解法经典例题

即
∴ 或
故原不等式的解集为．
解法二：原不等式等价于
即 ∴ ．
典型例题四
例4解不等式．
分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于二次式的商，由商的符号法则，它等价于下列两个不等式组：
或
所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集．也可用数轴标根法求解．
解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：
而，．
对方程两边同除以得
．
令，该方程即为
，它的两根为，，
∴ ，．∴ ，，
∴方程的两根为，．
∵ห้องสมุดไป่ตู้，∴ ．
∴不等式的解集是．
说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，本题中只有，是已知量，故所求不等式解集也用，表示，不等式系数，，的关系也用，表示出来；(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根．
典型例题五
例5解不等式．
分析：不等式左右两边都是含有的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解．
解：移项整理，将原不等式化为．
由恒成立，知原不等式等价于．
解之，得原不等式的解集为．
说明：此题易出现去分母得的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解．
另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．
；
(3)当（即或1）时，不等式的解集为：
．
说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根，，因此不等式的解就是小于小根或大于大根．但与两根的大小不能确定，因此需要讨论，，三种情况．

不等式的解法(1)

不等式的解法（1）复习引入：解一元一次不等式、一元二次不等式的基本思想 1一元一次不等式ax +b >0(1)若a >0时,则其解集为{x |x >-ab } (2)若a <0时,则其解集为{x |x <-a b } (3)若a =0时,b >0,其解集为R b ≤0,其解集为 2一元二次不等式c bx ax ++2>0(a ≠0) 高一,我们学习一元二次不等式时知道,任何一个一元二次不等式,最后都可化为: c bx ax ++2>0或c bx ax ++2<0(a >0)的形式,而且我们已经知道,一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关(1)若判别式Δ=b 2-4ac >0,设方程c bx ax ++2=0的二根为x 1,x 2(x 1<x 2),则 ①a >0时,其解集为{x |x <x 1,或x >x 2}；②a <0时,其解集为{x |x 1<x <x 2}(2)若Δ=0,则有:①a >0时,其解集为{x |x ≠-ab ,x ∈R }；②a <0时,其解集为 (3)若Δ<0,则有:①a >0时,其解集为R ；②a <0时,其解集为类似地,可以讨论c bx ax ++2<0(a ≠0)的解集 3．不等式|x |<a 与|x |>a (a >0)的解集（1）|x |<a (a >0)的解集为:{x |-a <x <a },几何表示为:（2）|x |>a (a >0)的解集为:{x |x >a 或x <-a },几何表示为:讲解新课：不等式的有关概念 1同解不等式:两个不等式如果解集相等,那么这两个不等式就叫做同解不等式 2同解变形:一个不等式变形为另一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那么这种变形就叫做同解变形过去我们学过的一元一次不等式解法,如去分母、去括号、移项、合并同类项等等,都是同解变形,因此最后得到的解(不等式)就是原不等式的解由此,我们解不等式,应尽量保证是同解变形3．(1))()(x g x f >0⇔f (x )g(x )>0；(2))()(x g x f <0⇔f (x )g(x )<0；(3))()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥0)(0)()(x g x g x f ；(4))()(x g x f ≤0⇔⎩⎨⎧≠≤0)(0)()(x g x g x f 讲解范例：例1 解不等式|552+-x x |<1 解:原不等式可转化为-1<552+-x x <1即⎩⎨⎧->+-<+-15515522x x x x ②① 解不等式①,得解集为{x |1<x <4}；解不等式②,得解集为{x |x <2,或x >3}原不等式的解集是不等式①和不等式②的解集的交集,即{x |1<x <4}∩{x |x <2,或x >3}={x |1<x <2,或3<x <4}故原不等式的解集是:{x |1<x <2,或3<x <4}点评：解不等式时,一定要搞清楚各个不等式之间的交、并等的关系,不等式①和不等式②是“交”的关系,必要时可借助数轴的直观作用=”号,只有这样,才能更准确无误地写出不等式的解集例2 解不等式322322--+-x x x x ＜0 解：根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为（x 2－3x ＋2）(x 2－2x －3)＜0即（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)＜0令（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)=0可得零点x =－1或1，或2或3，将数轴分成五部分（如图）由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x |－1＜x ＜1或2＜x ＜3}说明：（1）让学生注意数轴标根法适用条件；（2）让学生思考332322--+-x x x x ≤0的等价变形例3 解不等式2315222+---x x x x ＞1 解：原不等式等价变形为：2315222+---x x x x －1＞0 通分整理得：233222+---x x x x ＞0 等价变形为：（x 2－2x ＋3）(x 2－3x ＋2)＞0即（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)＞0由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x |x ＜－1或1＜x ＜2或x ＞3}说明：此题要求学生掌握较为一般的分式不等式的转化与求解例4、解不等式⎪⎩⎪⎨⎧>-+>+-2130862x x x x （1，2）⋃（4，5）例5、解不等式1)1(->-ax ax a ，)0,(≠∈a R a解：原不等式可化为0)1)(1(>--ax a⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>a x x a 11时，不等式解集为当；φ时，不等式解集为当1=a ； ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<a x x a 110时，不等式解集为当；⎭⎬⎫⎩⎨⎧><a x x a 10时，不等式解集为当。

解一元一次不等式的方法

解一元一次不等式的方法一元一次不等式是初中数学中常见的题型，解题的方法有很多种。

下面我将介绍几种常用的解一元一次不等式的方法，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握。

方法一：逐个试数法逐个试数法是一种简单直观的解题方法。

对于不等式ax+b>0（或ax+b<0）来说，我们可以逐个试数，找出满足不等式的数值范围。

以不等式2x+3>0为例，我们可以先试x=0，代入不等式中得到3>0，不满足条件；再试x=1，代入不等式中得到5>0，满足条件。

因此，解集为x>1。

方法二：移项法移项法是一种常用的解一元一次不等式的方法。

对于不等式ax+b>0（或ax+b<0）来说，我们可以通过移项的方式将不等式转化为等价的形式。

以不等式2x+3>0为例，我们可以先将3移到不等式的另一侧，得到2x>-3；然后再将不等式两边同时除以2，得到x>-3/2。

因此，解集为x>-3/2。

方法三：分析法分析法是一种较为抽象的解题方法，适用于一些特殊的不等式。

对于不等式ax+b>0（或ax+b<0）来说，我们可以通过分析a的正负和b的正负来确定解集的范围。

以不等式2x-4<0为例，我们可以观察到a=2>0，b=-4<0。

由于a>0，所以解集应该在x的右侧；由于b<0，所以解集应该在x的左侧。

因此，解集为x<2。

方法四：图像法图像法是一种直观形象的解题方法，适用于一些较为复杂的不等式。

我们可以将不等式转化为函数图像，通过观察图像来确定解集的范围。

以不等式x^2-4x+3>0为例，我们可以将不等式转化为函数y=x^2-4x+3的图像。

通过观察图像，我们可以发现函数图像在x=1和x=3处交叉x轴，因此解集为x<1或x>3。

综上所述，解一元一次不等式的方法有逐个试数法、移项法、分析法和图像法等。

不同的方法适用于不同的题型和情况，我们需要根据具体的题目选择合适的解题方法。

一元一次不等式的解法步骤

一元一次不等式的解法步骤
1、确定不等式的基本形式
2、将不等式转化为加减法形式
将不等式中的常数项b移到不等式的右边变为负数，即a某>c-b（或a某<c-b），然后将不等式的系数a除以，如果除以的数是负的，则不等号的方向要反转，即某<c-b/a（或某>c-b/a）。

3、将解集表示出来
将求出的式子表示成类似“某>(或<)解”的形式即可确定解的集合，表示为某∈(解，∞)（或某∈(-∞，解)）。

4、检验解的可行性
将得到的解代入不等式中进行检验，如果不等式成立，则该解是可行的，否则就是不可行的。

综上所述，解一元一次不等式的步骤为确定基本形式、转换为加减法形式、将解集表示出来、检验解的可行性。

掌握这些步骤后，就能轻松地解决一元一次不等式问题。

当然，有一些特殊情况需要特别注意，如分母为0、含有根号等，这时我们需要采取一些特殊的方法去解决。

不等式的解法(1)

两不等根 x1 , x2 .
两等根 b . 没有实数根 2a
ax2 bx c 0 (a 0)的解集
x x1 x x2
ax2 bx c 0 (a 0)的解集
x x x1或x x2
x
x
b
2a
R
不等式的解法(1) 二、一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法口诀
大大小小取两边, 大小小大取中间.
解:原不等式可化为 : (ax 2)(x 1) 0,
(1)当a 0时,原不等式的解集为:x x 1;
(2)当a 0时,原不等式可化为: (x 2)(x 1) 0, a
Q 2 0 1, a
原不等式的解集为: x
2 a
x
1;
(3)当a 0时,原不等式可化为: (x 2)(x 1) 0, a
O
x
不等式的解法(1)
二、一元二次不等式的解法
y
例1.画出下列函数的图象.
(1) y x2 1. (2) y x2. (3) y x2 1.
例 2 . 解下列方程 .
O
x
(1) x2 1 0. (2) x2 0. (3) x2 1 0. 函数方程不等式
例3.解下列不等式.
图象求根写解集
①当0 a 1时,原不等式的解集为 ②当a 1时,原不等式无解;
x
1
x
1 a
;
③当a
1时,原不等式的解集为x
1 a
x
1.
不等式的解法(1) 二、一元二次不等式的解法
例6.已知一元二次不等式 ax2 bx c 0的解集为
x
x
1或x 3
1 2
,
求不等式

解不等式(1)

例1、解下列不等式（组）：
(1)2+x-x2≥0
(2) x2-2x-8≤0
解：(1)原不等式即x2-x-2≤0 因为方程x2-x-2=0的两根为-1，2.
x2-1>0
所以，原不等式的解集为{x|-1≤x≤2}.
(2){x|-2≤x<-1或1<x≤4} 练习、1.解不等式： (1) x2+x+1>0
2019年2月26日星期二
定
义：
同解不等式：如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式就叫做同解不等式。如：2x+6<0与x<-3 不等式的同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形就叫做不等式的同解变形。如：2x+6<0 x<-3
不等式的分类
(1) x2-5x+6=0; (2) x2-5x+6>0; (3) x2-5x+6<0.
解：图象如右，由图象可知：
（1）当x=2或x=3时，y=0;
（2）当x<2或x>3时，y>0;
y = x2 -5 x+ 6
（3）当2<x<3时，y<0.
2
3
一元二次不等式的解集与一元二次方程以及二次函数的图象的关系： 2 Δ =b -4ac Δ >0 Δ =0 Δ <0
整式不等式
一次二次高次
有理不等式
代数不等式分式不等式
无理不等式
指数不等式初等超越不等式
对数不等式
一元一次不等式 x>
ax>b(a≠0)
b a
(a>0)

例1 解不等式

绝对值不等式的相关练习例1 解不等式|x+2|-|x-1|≥0。

解原不等式同解于|x+2|≥|x-1| (x+2)2≥(x-1)2注解形如|ax+b|-|cx+d|≥0的不等式，适合于用移项后两边平方脱去绝对值符号的方法。

但对其他含多项绝对值的情形，采用此法一般较繁，不可取。

例2 解下列不等式：解 (1)原不等式同解于不等式组左边不等式同解于右边不等式同解于取(i)，(ii)的交集，得原不等式的解集为{x|1＜x＜2}(2)原不等式同解于取(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)的并集，得原不等式的解集为例3 解不等式||x+1|-|x-1||＜x+2。

分析要使不等式有解，必须x+2＞0即x＞-2。

又|x+1|，|x-1|的零点分别为-1，1，故可在区间(-2，-1)，[-1，1]，[1，+∞)内分别求解。

解原不等式同解于注解含多个绝对值项的不等式，常采用分段脱号法。

其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解集；综合取并，确定所求解集。

例4 已知a＞0，b＞0，解不等式|ax-b|＜x。

解显然x＞0，故原不等式同解于注含绝对值的不等式中，若含有参数，则先去掉绝对值符号并化简，再根据具体情况对参数进行分类讨论。

例解不等式－＋≥．8 3212||||x x分析一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母．解注意到分母|x|＋2＞0，所以原不等式转化为2(3－|x|)≥|x|＋2，整理得|x|x {x|x }≤，从而可以解得－≤≤，解集为－≤≤．4343434343说明：分式不等式常常可以先判定一下分子或者分母的符号，使过程简便．例9 解不等式|6－|2x ＋1||＞1．分析以通过变形化简，把该不等式化归为|ax ＋b|＜c 或|ax ＋b|＞c 型的不等式来解．解事实上原不等式可化为6－|2x ＋1|＞1①或 6－|2x ＋1|＜－1②由①得|2x ＋1|＜5，解之得－3＜x ＜2；由②得|2x ＋1|＞7，解之得x ＞3或x ＜－4．从而得到原不等式的解集为{x|x ＜－4或－3＜x ＜2或x ＞3}．说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论．例10 已知关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －3|＜a 的解集是非空集合，则实数a 的取值范围是________．分析可以根据对|x ＋2|＋|x －3|的意义的不同理解，获得多种方法．解法一当x ≤－2时，不等式化为－x －2－x ＋3＜a 即－2x ＋1＜a 有解，而－2x ＋1≥5，∴a ＞5．当－2＜x ≤3时，不等式化为x ＋2－x ＋3＜a 即a ＞5．当x ＞3是，不等式化为x ＋2＋x －3＜a 即2x －1＜a 有解，而2x －1＞5，∴a ＞5．综上所述：a ＞5时不等式有解，从而解集非空．解法二 |x ＋2|＋|x －3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的距离之和，显然最小值为3－(－2)＝5．故可求a 的取值范围为a ＞5．解法三利用|m|＋|n|＞|m ±n|得|x ＋2|＋|x －3|≥|(x ＋2)－(x －3)|＝5．所以a ＞5时不等式有解．说明：通过多种解法锻炼思维的发散性．例12 解不等式|x －5|－|2x ＋3|＜1．分析设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分区间讨论，事实上，由于＝时，－＝，＝－时＋＝．x 5|x 5|0x |2x 3|032所以我们可以通过－，将轴分成三段分别讨论．325x解当≤－时，－＜，＋≤所以不等式转化为 x x 502x 3032－(x －5)＋(2x ＋3)＜1，得x ＜－7，所以x ＜－7；当－＜≤时，同理不等式化为32x 5－(x －5)－(2x ＋3)＜1，解之得＞，所以＜≤；x x 51313当x ＞5时，原不等式可化为x －5－(2x ＋3)＜1，解之得x ＞－9，所以x ＞5．综上所述得原不等式的解集为＞或＜－．{x|x x 7}13说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略．例13 解不等式|2x －1|＞|2x －3|．分析本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝对值，但这样比较复杂．如果采取两边平方，即根据＞＞解|a||b|a b 22之，则更显得流畅，简捷．解原不等式同解于(2x －1)2＞(2x －3)2，即4x 2－4x ＋1＞4x 2－12x ＋9，即8x ＞8，得x ＞1．所以原不等式的解集为{x|x ＞1}．说明：本题中，如果把2x 当作数轴上的动坐标，则|2x －1|＞|2x －3|表示2x 到1的距离大于2x 到3的距离，则2x 应当在2的右边，从而2x ＞2即x ＞1．练习 1、已知集合，．若，则实数的取值范围是_________．一元二次不等式的练习例1、如果方程02)1(22=-+-+m x m x 的两个不等实根均大于1，则实数m 的取值范围是（）解析：设方程的两个不等实根为21,x x 且21x x <，因为两根均大于1所以有⎩⎨⎧>-->+0)1)(1(22121x x x x ，把⎩⎨⎧-=-=+2122121m x x mx x 代入得⎩⎨⎧>-+>-02212m m m解得：2-<m又0)2(4)1(22>---=∆m m解得：37213721+-<<--m 综合以上，实数m 的取值范围为：23721-<<--m 例2、已知不等式03)1(4)54(22>+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围为（）解析：（1）当0542=-+m m ，即1=m 或5-=m 时，显然1=m 符合题意，5-=m 不合题意。