数值分析第6章答案

第六章课后习题解答

(1)()()123(1)

()2

13(1)()()312(01.21125551154213351010(1,1,1),17( 4.0000186,2.99999k k k k k k k k k T x x x x x x x x x x x +++ìïï=---ïïïïï=-+íïïïïï=-++ïïïî

==-(17)解：(a)因系数矩阵按行严格对角占优，故雅可比法与高斯-塞

（b)雅可比法的迭代格式为

取迭代到次达到精度要求(1)()()123(1)

(1)()2

13(1)(1)(1)312(0)(8)15,2.0000012)21125551154213351010(1,1,1),8( 4.0000186,2.9999915,2.0000012)T k k k k k k k k k T T

x x x x x x x x x x ++++++-ìïï=---ïïïïï=-+íïïïïï=-++ïïïî

==-高斯塞德尔法的迭代格式为

x 取迭代到次达到精度要求

1

2

1

2:00.40.4.0.400.8

0.40.8

||(0.8)(0.80.32)

() 1.09282031,00.40.4()00.160.640

0.032

0.672D L U I B D L U l l l

l --骣--çççç=+=--çççç--ç桫

-=-+-=>-æ--çççç=-=-ççççè

l

J

J J S

解(a)雅可比法的迭代矩阵

B （）B B 故雅可比迭代法不

高斯塞德尔法迭代矩阵

1

3()||||0.81

02210122

0||S J B D L U I B l l ¥

-ö÷÷÷÷

÷÷÷÷

÷÷çø

?<骣-÷ç÷ç÷ç÷

ç÷=+=--ç÷ç÷÷

ç÷

ç÷--ç桫

-=骣l

l S J

J B 故高斯-塞德尔迭代法收敛。(b)雅可比法的迭代矩阵

B （）， （B ）=0〈1故雅可比迭代法收敛。高斯-塞德尔法的迭代矩阵

(1lim lim lim ,(0,...0,1,

(1,2,...,)

(k k k i

k k i i i n A x a

． ®萎

===(k)k ij ij K k k K K n

K i 3：证明

必要条件：由A =A,知a =a ,从而有||A -A||0（K

故对任意的x ，有||A x-Ax||||A -A|| ||x||0 (k )

即 A x Ax, A x=Ax.

充分条件： 对任意的x R 有A x Ax(k ),取x )()()212()

,,...,)()

(,,...,)(1,2,...,;1,2,...),lim .

k k T i ni i T i i i ni k ji

ji k k

k a a A x k

A x a a a a a j

n i n A A A A

=?=?故即14.()12(),10.84||0.296a A A ====l V V V J 23解：不一定，因其谱半径B 不一定小于。

对习题对称，又〉0，〉0，〉

5.解答见例6-4

()()()()1123(1)()

(1)()()22123(1)()(1)(1)33123()1221()55511(5)42313()10510k k k k k k k k k k k k k k x x w x x x x x w x x x x x w x x x +++++ìïï=+----ïïïïï=++--íïïïïï=+-+-ïïïî

(k+1)16.解：SOR 迭代格式为

0(1,1,1),T x =取初始值计算如表.

(8)

(7)

4

||||0.00037710,

x

x

-¥-=<因

||1|1()|120()

22

,0,||1,()1

()

w A w A w w B A m l l m b l -<<

<<<<

2232321

8.:1,2

1det 10,det()(1)(12)01.000det()32()(2)(J J J a a a A a a a A a a B a a a a a a I B a a a a a a a a B l l l l l l l l -<<骣÷ç÷ç=->=-+>÷ç÷ç÷桫骣--÷ç÷ç÷ç÷ç÷=--ç÷ç÷÷ç÷ç÷--ç桫

骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷-==-+=-+ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷桫l 证明当时由

故是正定的又雅可比法迭代矩阵故1111

)|2|,,.

229.:01,1,,()0,00i i r i i i n n n r a a G JP G J J n n a J x Gx g x g G l l ==´=-<<骣÷骣ç÷ç÷ç÷÷çç÷÷çç÷÷ç÷ç=÷ç÷ç÷÷çç÷÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç桫÷ç桫

=+==åO O -1故当时雅可比迭代法收敛证明相似与它的若当标准行J,即存在可逆阵P,使 G=P 由于的特征值全为零,故J 一定有如下形式J=方程组等价于(I-G)由于故***(1)*()*()1.k k G x g x x Gx g

l += ==+(I-G)=12-从而I-G 非奇异,即(I-G)有唯一解于是