2012高考数学二轮专题复习课件：第2讲 三角恒等变换与解三角形

(1)利用正弦定理，将角的正弦化为边时只能是用 a 替换 sin A， 用 b 替换 sin B，用 c 替换 sin C．sin A，sin B，sin C 的次数要相等，各项要 同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分． (2)求角的大小一定要有两个条件： ①角的范围； ②角的某一三角函数值． 用 三角函数值判断角的大小时，一定要注意角的范围及三角函数的单调性．
π π 2 7 sin 2θ＝－cos24＋θ＝2sin24＋θ－1＝ －1＝－ . 9 9
A
π 1 π β β π 3 π ＋α＝ ， － ＝ ， cosα＋ 2． (2011·浙江)若 0<α< ， <β<0， 4 － cos cos 4 2 则 2 3 2 2 3
(3)三角形的面积公式： 1 1 S＝ absin C＝ acsin B 2 2 1 ＝ bcsin A. 2 (4)三角形中的常用结论： ①A＋B＋C＝π； ②sin(A＋B)＝sin C， cos(A＋B)＝－cos C， tan(A＋B)＝－tan C；③角 A，B，C 成等差数列的充要条件是 B＝60°.
第2讲 三角恒等变换与解三角形 讲
◆三角恒等变换是高考考查三角内容的一个基本要求，它的基本题型包括： 求值、化简、恒等式证明． ◆三角恒等变换在高考中可直接出题，也可结合三角函数图象和性质进行 综合考查． ◆利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形． ◆在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、 诱导公式等知识点进行综合考查，其难度以中低档题为主．
【例题 2】►(2011·山东)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. cos A－2cos C 2c－a ＝ . 已知 cos B b sin C (1)求 的值； sin A 1 (2)若 cos B＝ ，b＝2，求△ABC 的面积 S. 4
解
(1)由正弦定理，设
a b c ＝ ＝ ＝k， sin A sin B sin C
π 1 ＋θ＝ ，则 sin 2θ＝( 1．(2011·辽宁)设 sin 4 3
)．
A．－
7 1 9
7 D. 9
解析
法一
π 1 2 1 sin4＋θ＝ ，即 (sin θ＋cos θ)＝ ，两边平方得 2 3 3
1 1 7 (1＋sin 2θ)＝ ，∴sin 2θ＝－ . 2 9 9 法二 答案
则
2c－a 2ksin C－ksin A 2sin C－sin A ＝ ＝ ， b ksin B sin B
cos A－2cos C 2sin C－sin A 所以 ＝ . cos B sin B 即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)·cos B， 化简可得 sin(A＋B)＝2sin(B＋C)． 又 A＋B＋C＝π，所以 sin C＝2sin A. 因此 sin C ＝2. sin A
解
5π 5π π π (1)由题设知：f 4 ＝2sin12－6＝2sin ＝ 2. 4
π 10 3α＋ ＝2sin α， (2)由题设知： ＝f 2 13
π 6 β＋ ＝2cos β， ＝f(3β＋2π)＝2sin 2 5
即 sin α＝
【例题 1】 ►已知 A， C 是△ABC 三内角， B， 向量 m＝(－1， 3)， n＝(cos A， sin A)，且 m·n＝1. (1)求角 A； (2)若 解 1＋sin 2B ＝－3，求 tan C. cos2 B－sin2 B
(1)∵m·n＝1，∴(－1， 3)·(cos A，sin A)＝1.
＝( A. 3 3
)． B．－ 3 3

5 3 C. 9

D．－
6 9

解析
π π β β cosα＋2＝cos4＋α－4－2
π π β π π β ＝cos4＋αcos4－2＋sin4＋αsin4－2， π 2 2 π π π 3π ＋α＝ ∵0<α< ，则 < ＋α< ，∴sin 4 . 2 4 4 4 3 π β π π π β π 6 又－ <β<0，则 < － < ，则 sin4－2＝ . 2 4 4 2 2 3 β 1 3 2 2 6 5 3 α＋ ＝ × ＋ 故 cos × ＝ . 2 3 3 3 3 9
(1)在△ABC 中，A>B⇔sin A>sin B，若没有条件“在△ABC 中”，它就不成 立． (2)当用正、余弦定理判断三角形形状时，特别注意当转化为角来解决时， 不要忽视角的范围．
三角恒等变换及求值
三角恒等变换是三角运算的核心和灵魂，特别是和与差的三角 函数公式与三角恒等变换的灵活运用．高考对该内容的考查，一般多以选 择题、填空题考查三角变换在求值、化简等方面的简单应用，解答题往往 与向量交汇命题．
利用两角和与差的三角函数公式时，常有如下变形：
α α b sin ±cos 2；②asin θ＋bcos θ＝ a2＋b2sin(θ＋φ)tan φ＝ . ①1±sin α＝ 2 a 2
1 π 【变式 1】►(2011·广东)已知函数 f(x)＝2sin3x－6，x∈R. 5π (1)求 f 4 的值； π π 10 6 (2)设 α，β∈0，2，f3α＋2＝ ，f(3β＋2π)＝ ，求 cos(α＋β)的值． 5 13
A.
3 3
B.
3 6
C.
6 3
D.
6 6
解析
3 2 2 设 BD＝1，则 AB＝AD＝ ，BC＝2.在△ABC 中，解得 sin A＝ ， 2 3 AB BC 6 ＝ ，得 sin C＝ . sin C sin A 6
在△ABC 中，由正弦定理 答案 D
6．(2010·山东)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a＝ 2， b＝2，sin B＋cos B＝ 2，则角 A 的大小为________． 解析
【变式 2】►(2010·辽宁)在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边， 且 2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)·sin C. (1)求 A 的大小； (2)求 sin B＋sin C 的最大值． 解 (1)由已知，根据正弦定理，得 2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即 a2＝b2＋c2
正弦定理、余弦定理 (1)正弦定理及其变形： a b c 在△ABC 中， ＝ ＝ ＝2R(其中 R 是外接圆的半径)； sin A sin B sin C a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. (2)余弦定理及其变形： a2＝b2＋c2－2bccos A； b c 2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B； c2＝a2＋b2－2abcos C； b2＋c2－a2 cos A＝ ； 2bc a2＋c2－b2 cos B＝ ； 2ac a2＋b2－c2 cos C＝ . 2ab
π ＋B＝ 2， ∵sin B＋cos B＝ 2 sin 4
π π ＋B＝1.又 0<B<π，∴B＝ .由正弦定理， ∴sin 4 4
2 2× 2 1 asin B π 得 sin A＝ ＝ ＝ .又 a<b，∴A<B，∴A＝ . b 2 2 6 答案 π 6
sin C (2)由 ＝2 得 c＝2a. sin A 1 由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B 及 cos B＝ ，b＝2， 4 1 得 4＝a2＋4a2－4a2× . 4 解得 a＝1，从而 c＝2. 1 又因为 cos B＝ ，且 0<B<π， 4 15 所以 sin B＝ . 4 1 1 15 15 因此 S＝ acsin B＝ ×1×2× ＝ . 2 2 4 4
＝ 3bc 得 a2－b2＝6b2，即 a2＝7b2. b2＋c2－a2 b2＋12b2－7b2 6b2 3 由余弦定理，得 cos A＝ ＝ ＝ ＝ . 2bc 2b·2 3b 4 3b2 2 又∵0°<A<180°，∴A＝30°. 答案 A
4． (2011·辽宁)△ABC 的三个内角 A， C 所对的边分别为 a， c， B， b， asin Asin b B＋bcos2A＝ 2a，则 ＝( a A．2 3 解析 B．2 2 C. 3 )． D. 2
二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝ 2tan α . 1－tan2α
2
1－cos 2α (2)降幂公式：sin α＝ ； 2 cos2α＝ 1＋cos 2α . 2
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β； sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； tan(α±β)＝ tan α±tan β . 1∓tan αtan β
(1)对于两角和与差的正切公式来说，当 tan α，tan β 或 tan(α±β)的值不存在 时，不能使用公式处理有关问题，应改用诱导公式或其他方法来解． (2)要辨证地看待和角与差角，根据需要，可以进行适当的变换：α＝(α＋β) －β，α＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(α＋β)－(β－α)等．
答案
C
3．(2010·天津)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c.若 a2－b2 ＝ 3bc，sin C＝2 3sin B，则 A＝( A．30° 解析 B．60° C．120° D．150° )．
由 sin C＝2 3sin B，根据正弦定理，得 c＝2 3b，把它代入 a2－b2