2019-2020学年湖北省孝感市孝南区九年级(上)期末数学试卷-解析版

2019-2020学年湖北省孝感市孝南区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.方程5x2=6x−8化成一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是()A. 5、6、−8B. 5，−6，−8C. 5，−6，8D. 6，5，−83.下列事件中，是随机事件的是()A. 任意画两个圆，这两个圆是等圆B. ⊙O的半径为5，OP=3，点P在⊙O外C. 直径所对的圆周角为直角D. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆4.若(m+1)x m2+1=1是一元二次方程，则m的值是()A. −1B. 0C. 1D. ±15.将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的函数表达式为()A. y=(x+2)2−3B. y=(x+2)2+3C. y=(x−2)2+3D. y=(x−2)2+36.如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是()A. y=x2B. y=4x C. y=−3xD. y=12x7.如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB=40°，点D是弧BAC上一点，连结CD.则∠D的度数是()A. 50°B. 45°C. 40°D. 35°8.如图，在平面直角坐标系中，点A(−12,m)在直线y=2x+3上，连接OA，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点B恰好落在直线y=−x+b上，则b的值为()A. 2B. 1C. 32D. 529.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积(即阴影部分面积)为()A. π+√3B. π−√3C. 2π−√3D. 2π−2√310.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示(1<x=ℎ<2,0<x A<1).下列结论：①2a+b>0；②abc<0；③若OC=2OA，则2b−ac=4；④3a−c<0.其中正确的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.抛物线y=(x−1)2−3的顶点坐标是______．12.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则每个支干长出_____．13.在一个不透明的袋中装有黑色和红色两种颜色的球共计15个，每个球除颜色外都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定于0.6，则可估计这个袋中红球的个数约为______．14.已知A(2a+1,3)，B(−5,3b−3)关于原点对称，则a+b=______．15.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，点A在x轴上，点B的坐标是(0,3).若点C恰好在反比例函数y=10x第一象限内的图象上，过点C作CD⊥x轴于点D，那么点C的坐标为______．16.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，继续旋转至2020次得到正方形OA2020B2020C2020，那点B2020的坐标是______．三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）17.解方程：(1)x2−1=3x+3；(2)x2+2x−5=018.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=2.将Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到△AB′C′，连接B′C，求线段B′C的长．19.关于x的方程x2−2x+2m−1=0有实根．(1)求m的取值范围；(2)设方程的两实根分别为x1，x2且x1−x2=−2，求m的值．20.某市某幼儿园六一期间举行亲子游戏，主持人请三位家长分别带自己的孩子参加游戏，主持人准备把家长和孩子重新组合完成游戏，A、B、C分别表示三位家长，他们的孩子分别对应的是a、b、c．(1)若主持人分别从三位家长和三位孩子中各选一人参加游戏，恰好是A、a的概率是多少(直接写出答案)(2)若主持人先从三位家长中任选两人为一组，再从孩子中任选两人为一组，四人共同参加游戏，恰好是两对家庭成员的概率是多少．(画出树状图或列表)(m<0)图21.如图，已知A(−4,n)，B(−1,2)是一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx 象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．(1)求一次函数的解析式及m的值；(2)P是线段AB上的一点，连结PC、PD，若△PCA和△PBD的面积相等，求点P的坐标．22.孝感商场计划在春节前50天里销售某品牌麻糖，其进价为18元/盒．设第x天的销售价格为y(元/盒)，销售量为m(盒).该商场根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y=38；当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x=36时，y=37；x=40时，y=35.②m与x的关系为m=3x+30．(1)当31≤x≤50时，y与x的关系式为______；(2)x为多少时，当天的销售利润W(元)最大？最大利润为多少？23.如图，AB是⊙O的直径，AC=BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CF.连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．(1)求证：直线BF是⊙O的切线．(2)若AF=5，求⊙O的半径．24.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，且A(−1,0)，B(4,0)，与y轴交于点C，C点的坐标为(0,−2)，连接BC，以BC为边，点O为对称中心作菱形BDEC.点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0)，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．(1)求抛物线的解析式；(2)x轴上是否存在一点P，使三角形PBC为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当点P在线段OB上运动时，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；B、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项符合题意；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：C．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】C【解析】解：5x2=6x−8化成一元二次方程一般形式是5x2−6x+8=0，它的二次项系数是5，一次项系数是−6，常数项是8．故选：C．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．3.【答案】A【解析】解：A.任意画两个圆，这两个圆是等圆，属于随机事件，符合题意；B .⊙O 的半径为5，OP =3，点P 在⊙O 外，属于不可能事件，不合题意；C .直径所对的圆周角为直角，属于必然事件，不合题意；D .不在同一条直线上的三个点确定一个圆，属于必然事件，不合题意；故选：A ．先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．本题主要考查了随机事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．4.【答案】C【解析】解：由题意得：{m 2−1=2m +1≠0解得，m =1．故选：C ．一元二次方程必须满足两个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx +c =0(且a ≠0).特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．5.【答案】A【解析】解：抛物线y =x 2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的函数表达式为：y =(x +2)2−3，故选：A ．先确定抛物线y =x 2的顶点坐标为(0,0)，再根据点平移的规律得到点(0,0)平移后所得对应点的坐标为(−2,−3)，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．6.【答案】B【解析】解：根据图象可知：函数是反比例函数，且k>0，答案B的k=4>0，符合条件，故选：B．根据图象知是双曲线，知是反比例函数，根据在一三象限，知k>0，即可选出答案．本题主要考查对反比例函数的图象，二次函数的图象，正比例函数的图象等知识点的理解和掌握，能熟练地掌握反比例的函数的图象是解此题的关键．7.【答案】A【解析】解：∵AC是⊙O的直径，∵∠ABC=90°．∵∠ACB=40°，∴∠A=90°−40°=50°，∴∠D=∠A=50°．故选A．先根据圆周角定理求出∠ABC的度数，再由直角三角形的性质得出∠A的度数，根据圆周角定理即可得出结论．本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知圆周角定理及直角三角形的性质是解答此题的关键．8.【答案】D【解析】解：把A(−12,m)代入直线y=2x+3，可得：m=−1+3=2，因为线段OA绕点O顺时针旋转90°，所以点B的坐标为(2,12)，把点B代入直线y=−x+b，可得：12=−2+b，b=52，故选：D．先把点A坐标代入直线y=2x+3，得出m的值，然后得出点B的坐标，再代入直线y=−x+b解答即可．此题考查一次函数图象上点的坐标特征，关键是根据代入法解解析式进行分析．9.【答案】D【解析】【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=CD=1，AD=√3BD=√3，∴△ABC的面积为12×BC×AD=12×2×√3=√3，S扇形BAC =60π×22360=23π，∴莱洛三角形的面积S=3×23π−2×√3=2π−2√3，故选：D．10.【答案】C【解析】解：①∵抛物线的开口向下，∴a<0．∵抛物线的对称轴−b2a>1，∴b>−2a，即2a+b>0，①成立；②∵b>−2a，a<0，∴b>0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，∴c<0，∴abc>0，②错误；③点A的横坐标为−b−√b2−4ac，点C的纵坐标为c，2a∵OC=2OA，，整理得：2b−ac=4，③成立；∴−c=−b−√b2−4aca<2，④∵抛物线的对称轴1<−b2a∴−2a<b<−4a，∵当x=1时，y=a+b+c>0，∴a−4a+c>0，即3a−c<0，④正确．综上可知正确的结论有3个．故选：C．①根据抛物线的开口向下即可得出a<0，再根据抛物线的对称轴在x=1和x=2之间即可得出b>−2a，①正确；②由b>−2a可得出b>0，再根据抛物线与y轴交于y 轴负半轴可得出c<0，由此即可得出abc>0，②错误；③根据求根公式表示出点A 的横坐标，结合OC=2OA即可得出2b−ac=4，③正确；④根据抛物线的对称轴1<−b<2可得出−2a<b<−4a，再由当x=1时y>0即可得出a+b+c>0，进而即2a可得出3a−c<0，④正确．综上即可得出结论．本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出系数间的关系是解题的关键．11.【答案】(1,−3)【解析】解：抛物线y=(x−1)2−3的顶点坐标是(1,−3)．故答案为(1,−3)．根据抛物线y=a(x−ℎ)2+k的顶点坐标是(ℎ,k)直接写出即可．此题考查了抛物线的顶点求解方法，既会运用顶点式，又要会用公式法．12.【答案】4个小支干【解析】解：设每个支干长出x个小支干，根据题意得：1+x+x2=21，解得：x1=−5(舍去)，x2=4．故答案为：4个小支干．设每个支干长出x个小支干，根据主干、支干和小分支的总数是21，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13.【答案】6【解析】解：15×(1−0.6)=15×0.4=6答：估计这个袋中红球的个数约为6．故答案为：6．先求出摸到红球的频率，再利用红球个数=总数×摸到红球的频率，进而得出答案．此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．14.【答案】2【解析】解：∵A(2a+1,3)，B(−5,3b−3)关于原点对称，∴2a+1=5，3b−3=−3，解得：a=2，b=0，故a+b=2．故答案为：2．直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．15.【答案】(5,2)【解析】解：∵∠BAC=90°∴∠BAO+∠CAD=∠CAD+∠ACD=90°，∴∠BAO=∠ACD在△ABO与△CAD中{∠AOB=∠ADC ∠BAO=∠ACD AB=AC∴△ABO≌△CAD(AAS)∴OB=AD 设OA=a，∵B(0,3)∴OB=3，∴AD=3，∴OD=a+3，CD=OA=a，∴C(a+3,a)又∵点C在反比例函数y=10上x∴10=a(a+3)解得：a=2或a=−5，∴C(5,2)故答案为：(5,2)由于∠BAC=90°，容易求证△ABO≌△CAD，利用全等三角形的性质即可求出点C的坐标．本题考查反比例函数图象上点的特征，解题的关键是证明△ABO≌△CAD，利用AD= OB=3求出点C的坐标，本题属于中等题型．16.【答案】(−1,−1)【解析】解：∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴B(1,1)，连接OB，由勾股定理得：OB=√2，由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3=⋯=√2，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=⋯= 45°，∴B1(0,√2)，B2(−1,1)，B3(−√2,0)，B4(−1,−1)，…，发现是8次一循环，所以2020÷8=252 (4)∴点B2020的坐标为(−1,1)故答案为(−1,−1)．根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．17.【答案】解：(1)∵(x+1)(x−1)−3(x+1)=0，∴(x+1)(x−4)=0，则x+1=0或x−4=0，解得x1=−1，x2=4；(2)∵a=1，b=2，c=−5，∴△=22−4×1×(−5)=24>0，=−1±√6，则x=−2±2√62∴x1=−1+√6,x2=−1−√6．【解析】(1)利用因式分解法求解可得；(2)利用公式法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18.【答案】解：连BB′．∵∠ACB=90°，∠BAC=60°∴∠ABC=30°，AB=2AC=4，BC=2√3由旋转可知：AB=AB′，∠BAB′=60°∴△ABB′是等边三角形∴BB′=AB=4，∠BAB′=60°∴∠CBB′=90°∴B′C=√42+(2√3)2=2√7．【解析】由直角三角形的性质可得AB=4，BC=2√3，由旋转的性质可求∠BAB′=60°，AB′=AB，可证△ABB′是等边三角形，可得∠ABB′=60°，BB′=AB=6，由勾股定理可求解．本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．19.【答案】解：(1)根据题意得△=(−2)2−4(2m−1)≥0，解得m≤1；(2)由根与系数的关系可得x1+x2=2，x1⋅x2=2m−1，∵x1−x2=−2，∴x1=0，x2=2，∴2m−1=0，解得m=12．【解析】(1)根据判别式的意义得到△=(−2)2−4(2m−1)≥0，然后就解关于m的不等式；(2)利用根与系数的关系得到x1+x2=2，x1⋅x2=2m−1，而x1−x2=−2，则可先求出x1、x2的值，然后计算m的值．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca.也考查了根的判别式．20.【答案】解：(1)答：P(恰好是A,a)的概率是=19；(2)依题意列表如下：共有9种情形，每种发生可能性相等，其中恰好是两对家庭成员有(AB,ab)，(AC，ac)，(BC，bc)3种，故恰好是两对家庭成员的概率是P=39=13．【解析】(1)主持人分别从三位家长和三位孩子中各选一人参加游戏，恰好是A、a的概率则为13×13=19．(2)用列表法，找到恰好是两对家庭成员的情况即可求出其概率．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21.【答案】解：(1)把B(−1,2)，A(−4,n)代入y =m x(m <0)得m =−2，n =12． 则反比例函数解析式是y =−2x ．把A(−4,12)，B(−1,2)代入y =kx +b 得{−4k +b =12−k +b =2，解得{k =12b =52．则一次函数的解析式为y =12x +52． (2)如图，设P 的坐标为(x,12x +52)，由S △PCA =S △PDB 可得12×(x +4)=12×1×(2−12x −52)， 解得x =−52， 此时12x +52=54． 故P 点坐标为(−52,54)．【解析】(1)将点B(−1,2)代入反比例函数y =m x(m <0)得出m ，从而得出反比例函数的解析式，再把点A(−4,n)代入反比例函数y =m x(m <0)得出点A 坐标，将A 、B 坐标代入y =kx +b ，得出k 和b ，从而得出一次函数的解析式； (2)根据三角形面积相等，可得答案．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．22.【答案】y =12x +55【解析】解：(1)依题意，当x =36时，y =37；x =40时，y =35， 当31≤x ≤50时，设y =kx +b ， 则有{36k +b =3740k +b =35，解得{k =−12b =55，∴y与x的关系式为：y=12x+55，故答案为：y=12x+55；(2)∵W=(y−18)m ∴当1≤x≤30时，W=(38−18)(3x+30)=60x+600∵60>0∴当x=30时，W最大=2400(元)当31≤x≤50时W=(−12x+55−18)(3x+30)=−32x2+96x+1110=−32(x−32)2+2646∴当x=32时，当天的销售利润W最大，为2646元．2646>2400∴故当x=32时，当天的销售利润W最大，为2646元．(1)依据题意利用待定系数法，易得出当31≤x≤50时，y与x的关系式为：y=−12x+ 55；(2)根据销售利润=销售量×(售价−进价)，列出每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值)．23.【答案】解：(1)连接OC.∵AC=BC，AB是⊙O的直径∴CO⊥AB，∵E是OB的中点，∴OE=BE，又∵CE=EF，∠OEC=∠BEF，∴△OEC≌△BEF(SAS)，∴∠FBE=∠COE=90°，即AB⊥BF，∴BF是⊙O的切线；(2)由(1)知BF=OC=12AB,∠ABF=90°，设⊙O的半径为r，则AB=2r，BF=r，在△ABF中，由勾股定理得；r=√5，∴⊙O的半径为√5．【解析】(1)连接OC.根据等腰直角三角形的性质得到CO⊥AB，根据全等三角形的性质得到∠FBE=∠COE=90°于是得到结论；(2)根据勾股定理即可得到结论．本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．24.【答案】解：(1)由题意可设抛物线的解析式为：y=ax2+bx−2，∵抛物线与x轴交于A(−1,0)，B(4,0)两点，故抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−4)=a(x2−3x−4)，即−4a=−2，解得：a=12，∴抛物线的解析式为：y=12x2−32x−2；(2)设点P的坐标为(m,0)，则PB2=(m−4)2，PC2=m2+4，BC2=20，①当PB=PC时，(m−4)2=m2+4，解得：m=32；②当PB=BC时，同理可得：m=4±2√5；③当PC=BC时，同理可得：m=±4(舍去4)，故点P的坐标为：(32,0)或(4+2√5,0)或(4−2√5,0)或(−4,0)；(3)∵C(0,−2)∴由菱形的对称性可知，点D的坐标为(0,2)，设直线BD的解析式为y=kx+2，又B(4,0)解得k=−1，∴直线BD的解析式为y=−x+2；则点M的坐标为(m,−m+2)，点Q的坐标为(m,12m2−32m−2)，如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形∴(−m+2)−(12m2−32m−2)=2−(−2)，解得m1=0(不合题意舍去)，m2=1，∴当m=1时，四边形CQMD是平行四边形．【解析】(1)抛物线与x轴交于A(−1,0)，B(4,0)两点，故抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−4)=a(x2−3x−4)，即−4a=−2，解得：a=12，即可求解；(2)分PB=PC、PB=BC、PC=BC三种情况，分别求解即可；(3)直线BD的解析式为y=−x+2；如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，则(−m+2)−(12m2−32m−2)=2−(−2)，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理的运用、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中(2)，要注意分类求解，避免遗漏．。